（理论物理专业论文）暴涨宇宙学中可能的新物理.pdf

中文摘要 捅要 暴涨宇宙学是研究极早期宇宙的理论。本文主要关心的暴涨宇宙学中可能 的新物理。包括非对易效应，t r a n s p l a n c k i a n 物理以及超弦的信息。重点是我 们自己的工作 1 】。 在第一部分中，我们介绍了暴涨宇宙学的基础知识，特别是有关功率谱的 计算。 在非对易部分中，我们研究了单场暴涨宇宙学模型中的非对易效应。包括 慢滚暴涨，d b i 暴涨和k 暴涨。我们导出了原初功率谱修正的一般形式，并做 了模型的数据拟合。发现非对易修改的部分能很好地解释w m a p 试验中发现的 跑动谱指数的问题。发现除了在d b i 模型中非对易对势能的修正为零，其它模 型，比如慢滚暴涨模型和k 暴涨模型，势能项的非对易修正是不能忽略的。 在t r a n s p l a n k i a n 物理部分中，我们研究了闭宇宙中的t r a n s p l a n k i a n 效应。 我们导出了闭宇宙中新物理功率谱的一般形式，并结合w m a p 3 的实验数据分 析了修正部分的物理意义。我们的结果表明新物理在g u t 的尺度上，同时发现 闭宇宙与数据结合地更好。 我们在最后一部分中介绍了不同方式紧化的d b i 模型对宇宙背景辐 射( c m b ) 的影响。我们发现不同的紧化对应的功率谱和跑动明显不同。 关键词：暴涨宇宙学非对易t r a n s p l a n c k i a n 效应新物理超弦 英文摘要 p o s s i b l en e w p h y s i c si ni n f l a t i o nc o s m o l o g y h o n g g u a n gz h a n g ( a s t r o p h y s i c sp a r t i c l ep h y s i c sa n dc o s m o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rx i n h em e n g i n f l a t i o nh a se m e r g e da st h em o s ts u c c e s s f u lm o d e lf o ru n d e r s t a n d i n gt h ep h y s i c s o ft h ev e r ye a r l yu n i v e r s e i nt h i st h e s i s im a i n l yf o c u so nt h ei n f o r m a t i o nt op o s - s i b l yn e wp h y s i c si n c l u d i n gn o n c o m m u t a t i v i t y , t r a n s - p l a n c k i a ne f f e c tf r o mi n f l a t i o n c o s m o l o g yp h y s i c s t h i st h e s i si sm a i n l yb a s e do no u ro w nw o r k s 【1 】 i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ep r e s e n tt h ef r a m e w o r ko ft h i st h e s i s ，e s p e c i a lt h ep o w e r s p e c t r u mc a l c u l a t i o n i nt h en o n c o m m u t a t i v i t ys e c t i o n ，w es t u d yt h ee f f e c to fn o n c o m m u t a t i v i t yo n s i n g l ef i e l di n f l a t i o ni n c l u d i n gs l o w r o l l ，d b ia n dk - i n f l a t i o n w ed e d v et h eg e n e r a l f o r mo fm o d i f i e dp o w e r s p e c t r u ma n dt h er u n n i n gs p e c t r a li n d e xa n dm a k es o m em o d e l t e s t i n g s w ef i n dt h a tt h em o d i f i e dp a r t sc a nw e l lb er e a l i z e da st h eo r i g i no ft h er u n n i n g s p e c t r a li n d e xf r o mw m a p 3w h i c hi m p l i e san e g a t i v er u n n i n g i nt h et r a n s p l a n k i a np h y s i c ss e c t i o n ，t h ev a c u u mi n f l a t i o nw i t hab o u n d a r yc o n - d i t i o ns p e c i f i e da tas h o r t - d i s t a n c es c a l ei nag e n e r a l l yp r i m e v a ln o n f l a tu n i v e r s e ， a n di m p l i c a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n g l ym o d i f i e dp r i m o r d i a lp o w e rs p e c t r u mv i at h e w m a pt h r e ey e a rd a t aa r ei n v e s t i g a t e d w eo b t a i nag e n e r a lf o r mo ft h em o d i f i e dp r i - m o r d i a lp o w e rs p e c t r u mi n c l u d i n gt h ee f f e c t so fb o t hp o s s i b l yn e wp h y 7 s i c ss c a l ea n d t h ec u r v a t u r et e r m u s i n gd b ii n f l a t i o na sa ne x a m p l e ，w ed e m o n s t r a t et h a tt h ed e t a i l e dg e o m e t r yo f w a r p e dc o m p a c t i f i c a t i o nc a nl e a v ea ni m p r i n to nt h ec o s m i cm i c r o w a v eb a c k g r o u n d ( c m b ) i nt h el a s ts e c t i o n w ec o m p u t ec m bo b s e r v a b l e sf o rd b i i n f l a t i o ni nag e n e r i c c l a s so fw a r p e dt h r o a t sa n df i n dt h a tt h er e s u l t s ( s u c ha st h es i g no ft h et i l to ft h es c a l a r p e r t u r b a t i o n sa n di t sr u n n i n g ) d e p e n ds e n s i t i v e l yo nt h ep r e c i s es h a p e o ft h ew a r pf a c t o r k e yw o r d s ： i n f l a t i o nc o s m o l o g y n o n c o m m u t a t i v i t i y t r a n s p l a n c k i a ne f f e c t n e w p h y s i c ss u p e r s t r i n g i i i 表格 表格 3 1两种方法对功率谱影响的对比。p b d 是b u n c h d a v i e s 真空中的功 率谱。 3 2 一v i i 插图 插图 2 1谱指数n 。与共动模k 的关系。1 6 2 2 跑动谱指数q 与共动模k 的关系。1 6 3 1 只有新物理时的拟合结果( 6 8 ，a n d9 5 c o n f i d e n c el e v e l s ) 。 2 5 3 2 只有曲率时的拟合结果( 6 8 ，a n d9 5 c o n f i d e n c el e v e l s ) 。2 6 3 3 曲率和新物理同时存在时的结果( 6 8 ，a n d9 5 c o n f i d e n c el e v e l s ) 。 2 6 3 4 谱指数及其跑动的关系，我们取k = 1 0 6 ，实的虚的以及点状的 线分别对应于参数( e ，) 的值为：( 0 0 2 4 ，0 0 1 5 ) ，( 0 0 2 4 ，0 0 1 ) ，( 0 0 2 ， 0 0 1 5 ) 。2 7 3 5 功率谱中两种调节的关系。参数取值如图3 1 。 2 7 4 1 a ) 两种紧化a d s ( b l u ed a s h e d ) 和k s ( b l a c ks o l i d ) 在边缘处的i en 标量场方程。我们取参数h t 伽= 1 0 ， 砧= 1 0 0 m 。b ) 两种紧化 时谱指数随动量的变化。为了能便于比较，我们取礼。一1 的绝对 值，a d s 中的突变点( c u s p ) 点对应于蓝移。c ) 跑动谱随动量变化 的比较。同样，我们取绝对值，a d s 中的突变点对应于红移。 3 5 一v m 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：孤袁刈 a 卯身年多月2 乙日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：故囊幻 2 肿妒年y 月堤e t 第一章暴涨宇宙学基础 第一章暴涨宇宙学基础 宇宙学研究的两个重要方向，是探索宇宙的起源和预言宇宙的命运。然而 对于有限生存在宇宙中的我们来说，探测早期宇宙以及以及预测宇宙未来的最 好方式是得到尽量多的宇宙演化的信息，然后利用正确的理论和合理的假设， 建立宇宙运行机制的模型。 1 1 热大爆炸理论 标准宇宙模型也就是热大爆炸理论，在一些宇宙学问题上给出了预言和解 释，l i - , 女n 有关宇宙背景辐射的预言，有关对h u b b l e 定律的解释，以及同位素丰 度的预言。但在另外一些问题上，热大爆炸理论则无能为力。 1 1 1 热大爆炸理论的困难 热大爆炸理论存在无法克服的困难： 1 平坦性问题。w m a p 的观测告诉我们宇宙的曲率极小，也就是说宇宙基 本是平的。我们不得不用精细调节来解释。 2 视界问题。以现在的宇宙膨胀速度推测过去，在极早期宇宙有很 多p l a n c k 尺度大小的区域组成，所以因果关联成了问题。 3 结构起源问题。我们不能说明宇宙的结构从何而来。 除此宇宙学中还有以下几个更为基本的问题： 1 宇宙的诞生机制是怎样的? 目前研究宇宙学的方法仍是以自下而上为 主，我们在绝大部分模型中只是唯象地描述宇宙的暴涨，并不能给出清晰地宇 宙暴涨的机制。膜暴涨模型有清晰的图景，但有太多人为因素，也存在弦景观 的困扰。 2 宇宙为何是四维的? 建立在超弦理论上的宇宙学模型并不能给出宇宙是 四维的自然解释。 3 宇宙是不是唯一的? 弦景观给出数目极其巨大的宇宙类型，绝大部分暴 涨模型很难避免永久暴涨，这就为多宇宙的存在提供了可能性。也就是说永久 暴涨将弦景观一个一个地展示给我们。 1 2 暴涨宇宙学的基本计算 1 1 2 宇宙演化方程 宇宙学原理( 假设) 告诉我们：宇宙在大尺度空间上是均匀而且各向同性 的。在宇宙学原理的假设下，描述宇宙的最好的度规是f r w 度规： d s 2 = _ 班2 + a 2 ( 亡) ( 二d r 丽2 + r 2 嘲) ( 1 1 ) 其中n ( 亡) 是尺度因子，k 表示三维空间的曲率，k 0 分别对应于开 的，平的，闭的宇宙。 由广义相对论，我们知道，描述宇宙动力学演化的作用量可以写成： s = 醚yld x 4 怕矗抵 ( 1 2 ) 对作用量变分，分别取其时时分量和空空分量，然后再利用能动张量守恒就得 到我们常用的两个方程。再加上宇宙的物态方程，我们得到常用的宇宙演化三方 程： 日2 = 壶p 一k p + 3 h ( p + p ) = 0 p = p ( p ) ( 1 3 ) 这就是研究宇宙演化的出发点。我们可以针对不同的物态方程或者是不同的真 空势能，对宇宙的演化进行拟合。宇宙本身是一个非常复杂的系统，从自下而 上的研究方法来讲，只要能得到与观测相符的结果，我们就可以接受这样的模 型。 1 2 暴涨宇宙学的基本计算 暴涨宇宙学是热大爆炸理论必要的改进与补充。它能解决热大爆炸理论存 在的几个问题。 1 暴涨宇宙在小尺度上的不均各向同性，也就是密度扰动，提供了宇宙结 构形成的种子。 一2 一 第一章暴涨宇宙学基础 2 一个超光速的暴涨将抹平最初宇宙的各向异性，我们不再需要精细调 节。 3 出视界的，已失去联系的，震动模式将在以后的演化中逐渐进入视界并 建立联系。 暴涨宇宙学解决了大爆炸理论留下的一些难题，并能部分地回答后三个更 基本的问题。暴涨理论认为宇宙在极早期有一个极度膨胀，能量来自真空能， 由标量场即暴涨子西来推动。下面我们以慢滚暴涨模型为例来介绍暴涨宇宙学 的基本计算方法。 1 - 2 - 1 暴涨计算第一步：慢滚条件j l l e f o l d s 数 慢滚暴涨模型的作用量可以表述为： s = 等舻倒一舻锕( 三钆扩州州 ( 1 4 ) 暴涨子只是时间的函数。从上式我们得到： = 踯= 鲁+ w ) ( 1 5 ) 死= 昂= 等一y ( ) ( 1 6 ) f r i e d m a n 方程和暴涨子的运动方程： 日2 = 壶( 譬+ w ) ) ( 1 7 ) ；+ 3 h + v 7 = 0( 1 8 ) 慢滚假设为：参y ( 妒) 。由慢滚假设，我们很容易得到p = 一p ，也就是说暴涨 过程中宇宙处于d es i d e r 相。考虑到满滚条件，暴涨子的运动方程和f r i e d m a n 方 程可以写为： 3 h 一v 7 = 0 日2 = 珥1 y ( )( 1 9 ) 一3 一 1 2 暴涨宇宙学的基本计算 此时i 扫f r i e d m a n 方程我们得到：ao ( e h t 。也就是说宇宙指数暴涨。 由慢滚假设y ( ) ，我们进一步可以得到： 函y ( ) ，可v t 2 日2 ，函3 日函 ( 1 1 。) 定义慢滚新参数( 在其他暴涨模型中，由于不再满足慢滚条件，我们称为慢变参 数) ： 慢滚条件可以表达为： 一旦h 2 ：竽( 罟) 22 一一2 于【可厂 7 7 = m 苫v ， - - 刀1 以上两个慢滚条件破坏时暴涨结束。以下我们定义e f o l d s 数： 肚j c 融竺j e 竽竺去z ：等 如e 口 ni 加e 口 矗l 矽。1 p ，咖b e 口竹 y 对e f o l d s 数的限制是6 0 左右。 1 - 2 - 2 暴涨计算第二步：计算原初功率谱 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 我们将暴涨子分解为各向同性的背景部分以及涨落部分妒，= o + 妒。定义一个新参数 ：n d 。如果r 减少，那么地 0 ) 时，张标比r 会明显减少。当声速 很小时，r c 8 变得很大。 一9 一 第二章非对易效应 第二章非对易效应 帚一早 非列勿，舣挫 我们研究非对易在单场暴涨模型中的应用。这些单场暴涨模型包括慢滚暴 涨，d b i 暴涨以及k 暴涨。b r a n d e n b e r g e r 等人首先计算了暴涨宇宙学中的非对 易效应。他们计算了对波函数的非对易修正，而暴涨势保持不变。我们在保 持波函数不变的情况下，计算了势的非对易修正。对比w m a p 3 【2 7 】的观测数 据，我们得到了很好的结果。 从实验数据上看，暴涨模型成功地描述了极早期宇宙的演化规律。但 宇宙暴涨的本质我们仍然没有发现。现在的宇宙学的研究方法仍然是自下 而上的，没有一个更深刻的理论告诉我们宇宙的暴涨是必须。从建立在 纯d es i d e r 时空上的简单暴涨模型，我们得到的是尺度不变的绝热的原初 功率谱，a p n 。一1 = 0 。但是w m a p 以及其它的天文实验数据表明，并 不是严格等于0 ，而是有一个跑动，跑动范围从k = 0 0 0 2 m p c - 1 处的n 。 1 到尼= 0 0 5 m p c - 1 处的 1 。我们希望能找到跑动的可能的理论根据，进而发 现更多极早期宇宙的信息和更小尺度上的物理规律。 有关跑动谱指数的问题，已有好多文章进行了探讨。在文献 6 ，7 ，9 】中，跑 动谱指数来自非b d 真空。但是由于我们的理解有限，d es i d e r 时空的描述仍存 在很多模糊性( 具体细节我们将在下一章中介绍) 。在文献 1 0 ，1 4 】中，作者将非 对易引入暴涨宇宙论并很自然地解释了跑动谱指数的来源，并得到了与实验相 符的结果。与他们的方法不同，我们对暴涨势的非对易修正做了精确的计算。 为了简单而清晰地说明问题，我们只讨论单场暴涨的情况。 2 1 非对易及其修正 在超弦理论中非对易的引入是必然的。我们用m o y a l 乘积来有效地研究非 对易。在一般的弯曲时空中我们定义m o y a l 乘积： 厶= ( 1 - 1 - 兰日缈 a b ，一丢p 口胪q a b p c u 盯d ) 厶( 2 1 ) a b a b ，c d 最低阶扰动( 精确至u o ( 0 2 ) ) 是： 西 厶= 一1 8 0 p 目一( 啡a p b p c 口d ) 厶 a b c d ( 2 2 ) 一11 2 1 非对易及其修正 我们已经不失一般性地，保持幺正地设定口o t = 0 。另外，考虑到弦论中的不确 定性以及膜世界面上的非对易，我们在共动坐标中取口1 2 = 堙0 2 。 动能项x = 一j 钆秒的非对易修正计算如下： 南x =丢( t ? 1 2 ) 2 9 t ( d 1 d 1 巩d 2 d 2 d 咖一d 1 d 2 d p c d 2 d 1 d )( 2 3 ) 我们不失一般性地假定暴涨势：y ( ) = 妒，礼1 。其非对易修正为： 西y = 一丛兰手型( 目1 2 ) 2 n _ 2 ( 。1 。1 。2 d 。一。，。2 d 2 d 1 ) 一生掣渺2 ) 2 ( d ，叫聊聊+ 。2 聊叫刚 - d 1d 2 0 d i o d 2 一d 2 d i c d 2 d i 咖)( 2 4 ) 考虑关联函数的最低阶修正p 2 ，并用如x 和南y 分别标识动能和势能的修 正，暴涨子作用量的修正是： s=d z 厅( 尸x 南x + 尸y 面y ) ( 2 5 ) 在背景时空附近将尸x ，p v 泰勒展开为6 0 x ，南y 的项，同时取慢滚参数 的领头阶，我们得到： 如&= d z 狐( 尸蜘( 晶x ) 2 + 尸( 如x ) 1 ( 6 0 x ) 1 + 尸( 南y ) 2 + 尸蜘( 如x ) 1 ( 如y ) 1 ) + 尸硒曲。c l p ( a o x ) l ( 2 6 ) 这里如x = x x o ，( 如x ) 1 = 易。驴，( 岛x ) 2 = j ( 驴2 一( a 妒) 2 ) 。 我们将势6 0 x 的微扰分解为不同阶( 我们只考虑到第二阶微扰) ： 一1 2 6 0 x = ( 5 e x ) 2 + ( 6 0 x ) l + ( 6 0 x ) o ( 2 7 ) 第二章非对易效应 其中，在慢滚参数的( a o x h 和( 南x ) 2 最低阶微扰修正： ( 南x ) 1 = 一丢( p 1 2 ) 2 h o a 如( 钟驴+ 磋9 2 h 0 2 妒一2 h 0 2 ( _ p + 2 h a & ( o ) ( a o x ) 2 2 吉0 1 2 ) 2 ( 壶钟侥妒磅侥妒一壶a 侥侥妒a 侥魏妒一日钟侥妒魏驴 一日秀侥l ，9 侥驴4 - h 2 研魏妒a 妒4 - h 2 磴侥妒侥妒+ a 2 0 1 9 0 1c ) + a 2 岛驴侥9 + a 2 侥p 魏眵一2 h h 2 0 1 i 0 0 1 q o 一2 h 1 2 2 0 2 1 0 0 2 ￥, 一2 h a 2 侥驴侥( ，p + ( h a ) 2 a 妒a 妒+ ( h a ) 2 晚妒侥妒 + ( 日a ) 2 侥妒侥妒一钟磋驴+ a 侥驴a 岛驴一( 日o a ) 2 驴2 一h a h ( 0 0 2 ( p + h a a 驴o g i o4 - 2 h 0 2 c ) 0 2 2 妒4 - 2 h a 2 妒谚驴 + 2 日2 a & ) o ；c f l4 - 2 h 2 口a 驴砖垆一4 h 0 1 0 q 2 9 0 q i 况妒 一4 h 2 钾妒谚妒+ 4 h 2 a 侥妒a 岛垆- 4 - a i l 0 1 2 驴+ o a 侥2 驴 一a 2 h 2 一a 2 ( 2 a 2 妒4 - 2 侥2 妒一a h ( ，b ) ) ( 2 8 ) 同样地，我们将势y 的微扰分解为不同阶( 我们只考虑到第二阶微扰) ： v = ( 西y ) 2 + ( 6 0 v ) i + ( 5 0 v ) o ( 2 9 ) 其中，( 西y ) ，和o o v ) 2 中的最低阶微扰修正是： ( 西y ) 1 = ( 品y ) 2 = 一巫( 日1 2 ) 2 档一2 ( 2 ( 。a ) 2 而驴一。a 参。钟妒一。a 如谚妒) 一丛生( 目1 2 ) 2 筛一2 ( 钟妒霹妒一西侥妒a 侥妒+ ( 。a ) 2 2 一a & ) i ) 2 c p o a 9 醴妒) 我们计算两点格林函数在最低阶下的非对易修正： ( 2 1 0 ) ，7 6 ( e ( z 1 ) ( ( z 2 ) ) 一= 一2 冗e ( d 叩7 i ( ( z 1 ) ( ( z 2 ) ( 6 l 僦- 4 - 2 ( 南y ) 2 ) ( 叩，) ) o ) ( 2 1 1 ) i ，珊 这里我们已经设定k 1 = k 2 = k ，所以我们明确地写出修正的功率谱为： 6 巧= 6 ( ( ( z ，) ( ( z 2 ) ) 口 一1 3 2 2 模型检验 鬻2 4 2 r 2 i 。万- 1 一丽4 5 + 品一妒3 3 3 1 6 已k 1 。8 c ! _ , k 1 4 胁 3 2 e 2 i 、后2 8 忍6 7 “ + c 嘉+ 嚣陬x 一警尸y + # 胁 2 2 模型检验 我们将对单场暴涨的各种模型的非对易修正进行检验。 ( 2 1 2 ) 2 _ 2 1 滚模暴涨 慢滚暴涨模型是目前最简单最流行的模型。其有效作用量的正则非相对论 形式为： p ( x ，咖) = x y ( ) 声速c s = 1 。修正的部分可以写成： 修正的功率谱为： ( 2 1 3 ) p , x = 1 ，p , x x = 0 ，p , v = 一1 ，p , x v = 0 ( 2 1 4 ) 6 巧= 警2 4 2 2 吾+ 警 非修正的功率谱为： 一丽4 5 + 瓦6 8 1 一面3 3 3 j ( 2 1 5 )8 七6 1 6 c ：南1 08 c ! 尼1 4 1、。7 巧= c l k 咄 这里g 是常数。 2 _ 2 2d b i 暴涨 d b i 暴涨发生在紧化的空间中 1 9 1 。有效拉氏量为： 1 4 ( 2 1 6 ) p ( x ，) = 一，( ) 一1 、百= 污丽+ ，( ) 一1 一y ( ) ( 2 1 7 ) 第二章非对易效应 这里厂是弯曲因子厂= 嘉，而入依赖于通量的数目。声速c 。= f 丽。修 正的部分可以写成： p , x i 1 ，e , x x 爱( 专- 1 ) ，p , v 一- - 脚= 。 ( 2 1 8 ) 这里我们可以发现d b i 暴涨的修正部分全部来自于动能项的修正。修正的功率 谱为： 占巧= 至2 4 2 2 杀+ 瓣1 + 南一去 + 旦1 6 x o c 2 k 6 一熟1 6 x o k + 品一品l 亿 6 。1 6 西庇加8 c ；七1 4l p 7 在文献 2 0 】中，k i n n e y 计算的功率谱为： 巧= c 2 k 一址1 - - e - - s 这里g 是常数，流参数e ，8 也是常数 2 0 】。 2 2 3k 暴涨 我们考虑低声速的k 暴涨模型。其有效拉氏量的形式为： f 2 2 0 ) 即卅= 鲁芋嘉( 一x 树) ， ( 2 2 1 ) 这里7 是常数。考虑到。一亡南，我们设定o 7 ；。所以声速是= 南。为 了得到小的声速，我们考虑7 1 。修正的部分可以写成： p , x - 等( 2 x - 1 ) ，p , x x = 2 等，p , v 枷= 。( 2 2 2 ) 因此，修正的功率谱为： 6 巧= 鼍2 4 扩2 2 【- 万- 1 一丽4 5 + 硒6 8 1 一母3 3 3 ) 如 一1 5 一 2 2 模型检验 + c 嘉吲a s 叫 低声速下，y 1 ，原初功率谱 1 6 为： 这里岛为常数。 1 6 e - 砭= 岛七一3 3 图2 1 谱指数佗。与共动模k 的关系。 图2 2跑动谱指数q 与共动模k 的关系。 f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 第二章非对易效应 2 3 数据对比 据以上分析，原初功率谱的非对易修正可以统一写成： 砭= a ( 胪一百c ) ( 2 2 5 ) 这里a ，e ，c 都是常数。图表2 1 描述了谱指数随共动模k 的变化。图表2 2 描 述了跑动谱指数q 随共动模k 的变化。 非对易在暴涨中的应用有效地解释跑动功率谱的存在，并和实验数据拟合 很好。这也打开了我们了解非对易物理以及小尺度物理的一扇窗口。我们的方 法不仅可以计算最流行的慢滚暴涨模型，也可以计算d b i 暴涨以及k 暴涨。但 是，非对易本身存在的问题我们无法回避。比如：我们无法同时知道坐标和动 量的对易。 一1 7 第三章t r a n s p l a n c k i a n 效应和新物理 第三章t r a n s - p l a n c k i a n 效应和新物理 有限于理论工具的缺失，我们对早期宇宙仍有好多方面没有触及。在这些 相互纠缠的问题中，自然地解释大爆炸的奇点问题，p l a n c k 尺度的物理规律以 及宇宙的初始条件问题，都是非常棘手的问题。虽然没有明确的答案，宇宙学 这些年的进步，尤其是有效理论在解释宇宙暴涨问题上的研究为我们彻底理解 宇宙起源以及小尺度上的物理规律带来了曙光。在这部分中，我们将研究宇宙 背景辐射( c m b ) 中的t r a n s p l a n c k i a n 信息。 标准的功率谱的计算建立在两个假设上： 1 平坦时空中量子场论的动力学在任意小的尺度上都是成立的。 2 平坦时空中量子场论的标准边界条件在任意小的波长下都是成立的。 t r a n s p l a n c k i a n 的研究是对以上两个假设的挑战。也即是在动力学和边界 条件上的挑战。这两者的修正会体现在原初功率谱上。 3 1 计算基础 我们下面讨论修改功率谱的基本内容。定义叩= 一壶，我们将共动坐标中 的f r w 度规写成： d s 2 = n ( 叼) 2 ( 一d q 2 + d x 2 ) 定义p = a q o ，扰动公式可以写成： ( + ( 秽一等) p = o ( 3 1 ) ( 3 2 ) 我们发现无论p o w e r - l a w 暴涨a ( t ) o ( t p 还是指数暴涨o ( 亡) o ( e 。在共形时间下都 可以写成p o w e r - l a w 的形式n ( 7 7 ) o ( r 。当c = 1 ，w = 一1 时就是我们所熟悉的 宇宙学常数，这样公式( 3 2 ) 可以写成； 卅卜掣卜。 ( 3 3 ) 一1 9 3 2 t r a n s p l a n c k i a n 效应在原初功率谱中的体现 方程( 3 3 ) 的解要满足渐进自由条件： 我们给出其精确解： 南(0lhim)。ps,t(叩)=百e-ik(n-rld。 ( 3 4 ) 乱( 7 7 ) = g 锕皿+ 1 2 ( k r l ) + 岛沥啄1 2 ( 幻) ， ( 3 5 ) 这里a ，岛是取决于自由条件( 3 4 ) 的常数，凰( z ) 是h a n k e l 函数。自由条 件( 3 4 ) 描述一个动量空间中的球面波，我们取球面h a n k e l 函数h i ( x ) 。那么其解 是珏( 叩) = c ( 尼) 7 7 h * ( r l k ) 。下面我们会看到新物理的效应中会出现这两项。在通 常情况下，原初功率谱可以写成： 跗) = ( 苦) 2 ( 芸) 2 瓣卅m ) + 州汗 6 ， 3 2t r a n s p l a n c k i a n 效应在原初功率谱中的体现 t r a n s p l a n c k i a n 效应在原初功率谱中的原始计算方法，是由d a n i e l s s o n 和e a s t h e r 2 8 给出的。我们简要地给出他们的计算结果。假设初始动l i p = a ， 这里a 截断是新物理的能量尺度。我们把e a 看成是自由参数，有实验数据来 定。共动动量是尼= a p = 丽a ，初始条件可以写成： 定义共轭动量： 量子化： 一2 0 一 ：一一aro ( 3 7 ) 2 一h k u j 丌七= 以一弘 p 七( 叩) = 而1 ( 。惫( 叩) + 。) ) 州小一z 店“) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 第三章t r a n s p l a n c k i a n 效应和新物理 在特殊共形时间卵。下，由b o g o f i u b o v 变换，我们有： 所以鲰，7 r k 有： 这里 真空选择 a k ( j ，7 ) a t _ 南( 叼) = u 凫( 7 7 ) ( 伽) + 讥( 叩) n ! - 凫( 珊) = 钆：( 叼) o ! - 七( 叩0 ) + u ：( 叩) n 七( 珈) 纵( 叩) = ( 叩) 口七( 伽) + 露( 7 7 ) o ! - 七( 伽) 7 r 知( 叩) = 一i ( g 七( r 1 ) a 血( 伽) 一菇( 7 7 ) n ：( 珈) ( 叩) = 丽1 ( u 蠡( 7 7 ) + 口) 夕七( 叩) = ( u k ( u ) 一u ：( 叩) ) a k ( o o ) l o ，r o ) = 0 意味着v k ( v o ) = o 和7 r k ( 叩o ) = i k # k ( y o ) 。 我们将球谐函数以及其共轭函数结合在一起： ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) = 去e 一切( 1 一南) + 急扩卵( 1 + 南) ， 作为在c = 1 时，自由函数方程( 3 3 ) 的解。鲰取g k = i t r 后，我们用方程( 3 1 5 ) 可 以得到钆惫和v 七的值。w r o n s k i a n 条件 给出： 纨i d u k 一乱j c 掣：一z 纨石一乱惫苫2 叫 a 1 2 一i b 惫1 2 = 1 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 一2 1 _ 3 3 新物理加曲率 真空的选择( 叩0 ) = 0 表明 最后，原初功率谱可以写成： p ( k ) 鼠= 杀a 南 ( 3 2 0 ) = 丽k 3 卅 一磊丽1 ( i a 后1 2 + b 七1 2 一a ：b 一a 且：) = ( 芸) 2 1 一癸8 t n 百2 a + 万h 28 t n 2 会 c 3 埘， 这是张量场的结果，标量场的结果还要在前面加一个因子1 e 。在一般的背景时 空中： 结果是： u 血= 丢候住卜凰( 圭) + 口蟛( 圭) ( 3 2 2 ) 即) = 1 + _ s l ho n 尚+ h 2n 2 尚p o ( 城( 3 2 3 ) 这里r ( 忌) 是b d 真空的功率谱。 3 3 新物理加曲率 我们考虑在非平坦时空中的情况。有曲率的情况已在文献【2 9 中有过讨 论，他们称闭的p r e i n f l a t i o n 宇宙能解释w m a p 观测到的低极矩各向异性。开闭 宇宙的计算有所不同，我们只计算闭宇宙的情况。需要指出的是曲率来自于暴 涨之前，我们现在的宇宙仍是平的。闭宇宙的尺度因子是： m ) ：雩c o s 日亡 这里k 是空间的曲率。共形时间下的尺度因子是： 一2 2 一 咖卜譬高， ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 第三章t r a n s p l a n c k i a n 效应和新物理 这里譬 n o o ，一焘 7 7 h 处给模赋值，相6 是动量依赖，对应于所有的模。关联很小的时 一2 8 第三章t r a n s p l a n c k i a n 效应和新物理 候i b ( k ) l 1 ，原初功率谱可以表达为： p ( 七) p b 。( k ) 1 + 2 1 b ( k ) lc 。s ( q ( 南) + 6 ) ( 3 4 0 ) 明显的特征是初始条件对功率谱的影响是通过复b o g o l i u b o v 参数6 ( 尼) = 1 6 ( 七) ie x p ( i a ( k ) ) 有一个震荡项。我们最终会扔掉常数相j 。 3 5 1 b o u n d a r ye f t 对原初功率谱的影响 有效场论q h b o g o l i u b o v 参数并不是一个自然的参数。边界的作用量是： & = 正。护z 怕( 7 1 剃2 ) ， 4 t ， 建立在有效场论上的维数分析方法告诉我们： m 胁肋+ p ( 杀) ( 3 4 2 ) 为了自然，我们人为地选取p 在l 的尺度上( 精细调节问题) 。有一点要注意：我 们写出边界作用量是为了确定边界条件。对作用量变分我们得到耦合的忌对应 于标量场矽的边界条件： 如驴j 。= 一尤( o o ) ( 3 4 3 ) 这里巩= 日志对应于对边界的正则求导。 用两个互不相关的模展开标量场，用任意i 拘b o g o l i u b o v 变换，我们可以得 到耦合k 与b o g o l i u b o v 参数b 的关系是： = 一丽t 呓( k ) 硒u k ( t 再o ) + 砸o n u k l t = t o ( 3 4 4 ) 这就是两者之间的关系。对上式进行展开，我们得到： 啪) 嘲m 蛐) 2 p ( 斋) + ( 3 4 5 ) 出视界时k a o h ，对于所有的暴涨子来说：y o 三k a o h 1 ，此时修正功率 一2 9 3 5 初始条件，t r a n s p l a n c k i a n 效应以及新物理的进一步讨论 谱的表达是： p ( 尼) p b 。( 尼) i1 + p 赢8 i n ( 2 y o ) l ( 3 4 6 ) 初始态会以一个震荡因子的方式出现在原初功率谱中。这意味着c m b 中应 该有两个互不相关的可观测参数。我们希望能在未来的数据中观测到个震荡的 部分。边界有效场论方法与尺度不变n p h 假设对原初功率谱的影响体现在动量 依赖的两个可观测参数中。 有效场论的方法预言：关联因子的大小依赖于会在c m b 体现出的共动 模忌 溉k m 口爿中的两个模k 日和k m ，其中k m 对应于共动的截断尺度，在这 个尺度之外有效场论描述失败。所以我们要求七z ( 缶) 梳z ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) 在此我们要做一下估计：目前的观测有7 r l m 们1 0 4 以及a l 1 0 ，我们发 现h m 1 0 3 时能在c m b 中被发现。如果h m 在0 1 的尺度上，我们就能 在a 1 1 0 0 上发现震荡部分。， n 3 5 2n p h 对原初功率谱的影响 纯d es i t t e r 背景中日是常数，因此功率谱是尺度不变的。b o g o f i u b o v 参 数b 与新物理的超曲r j 豇p ( t ) = m = 幻f ，紧密相联，最小的关联是：b = 品e - 2 i m 日( 1 _ 啊) ，这里e 日是慢滚参数。d es i t t e r 时空中，日与动量的依赖 是ho ( k 一日。 对于新物理的超曲面，更一般的b o g o f i u b o v 参数b = 声南e - 2 噜是仅有的尺 度不变的修正。此时功率谱的表达是： 一3 0 一 跗，酬卟+ 矽訾s i n ( 蒜) 4 9 ， 第三章t r a n s p l a n c k i a n 效应和新物理 我们来讨论一下。n p h 的方法得到震荡部分是：1 n ( 七 m ) 。这里碱是 动量空间中的轴点，我们用来定可观测的功率谱和慢滚参数，周期是： 龇瓦k = 哿 ( 3 5 0 ) 我们可以从这里看出功率谱中振动子的数目。目前c m b 方法观测的范围 是：1 0 4 上o 。n t k 缉甲e s e n t 或者是： 一4l n1 。乩瓦k p i 伽v o t n t 一, ( 1 n 尼一l n 瓦k p i = v o t ( 3 5 1 ) 因此c m b 中振动子的数目是： n = 4 1 n 1 0 等竺可3 m e h ( 3 5 2 ) 丌1 f 1 对于观测，我们的估计是e h 0 0 1 比较乐观的估计是m h 一1 0 2 。我们希望在 功率谱中能看到l 一1 0 个振动子。 3 5 3 两种方法结果的比较 n p h 的方法的优点是：只要知道慢滚参数e 日，我们可以从震荡子的周期直 接来看初始条件对功率谱的影响。也没有精细调节的问题。 两种方法的不同在于：e f t 的关联是随着动量的增加而增加的，而n p h 正 好相反。也就是说，在接近截断时e f t 的效应可以很大；而在n p h 中，动量依 赖的关联正比于随时间变小的h u b b l e 尺度，大动量的模会在以后进入视界并且 受到小的h u b b l e 常数的影响。需要指出：n p h 的最自然的观测地方是c m b 功 率谱，而e f t 最自然的观测地方是形成星系的大动量的功率谱中。 我们对两种方法得出的结论做一些总结。 图表中列出的是两种方法计算出的初始条件对c m b 的影响。我们看到e f r 预言的修正要稍大于n p h 的预言。我们可以对t r a n s p l a n c k i a n 物理有一个展 望：我们的确可以期望在未来的观测中找到高能物理在c m b 中的影响。理论 部分我们也有一点要指出，有些文献 2 1 】声称修正的大小是日m 五o ，有些文 献 9 】声称是( 日蚝t d r ，) 2 。但考虑至l j b a c kr e a c t i o n 我们可以看出修正日o f ， 一3 l 一 3 5 初始条件，t r a n s p l a n c k i a n 效应以及新物理的进一步讨论 b o u n d a r ye f t n p h p = p b d ( 1