（应用数学专业论文）时间尺度上二阶时滞微分方程的振动性和非振动性.pdf

摘要 自1 9 8 8 年s t e f a nh i l g e r 1 】在他的博士论文中首次提出测度链理 论以来，时间尺度理论作为其一种特殊情形，便引起了人们广泛的 关注但对于时间尺度上二阶微分方程的振动性却研究甚少，本文 讨论了时间尺度上二阶微分方程振动准则、非振动解的分类以及各 类非振动解的存在性全文共分为四章第一章，我们对时间尺度 上的微积分理论作了一个简单的介绍第二章，我们基于二阶微分 和差分方程的已有结果，研究了时间尺度上二阶微分方程，获得了 方程振动的充分条件；更进一步，我们应用比较定理，获得了时间尺 度上二阶时滞和时超微分方程的振动和非振动的一些充分条件；在 第三章中，我们研究了时间尺度上二阶拟线性微分方程非振动性， 获得了方程振动的充分条件；第四章，主要讨论了时间尺度上一类 二阶中立型时滞微分方程渐近性主要包括非振动解的分类，以及 每类非振动解的存在的充分条件，有些条件还是充要的 关键词：时间尺度，微分方程，差分方程，中立型，振动性，非振 动性 a b s t r a c t t h et h e o r yo ft i m es c a l e s ，w h i c hw a se s t a b l i s h e do nt h eb a s i so ft h e t h e o r yo fm e a s u r ec h a i n s ，h a sr e c e i v e dal o to fa t t e n t i o ns i n c es t e f a nh i l g e r i n t r o d u c e di ti nh i sp h d i n1 9 8 8 b u tf e ws t u d i e sc o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no f t h es e c o n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o a n so nt i m es c a l e s i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l y d i s c u s st h eo s c i l l a t i o n ，e x i s t e n c ea n dc l a s s i f i c a t i o no fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s o fs e c o n e d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nt i m es c a l e s t h ea r t i c l ei sc o m p o s e d o ff o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n e ，w eg i v eas h o r ti n t r o d u c t i o nt ot h et i m es c a l e s c h a p t e rt w o ，b a s e do nt h er e s u l t so fo s c i l l a t i o nt h e o r yf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o n o fas e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no nt i m es c a l e s f u r t h e r m o r e ，w ea p p l y c o m p a r i s o nt h e o r e m ，s o m eo f t h eo s c i l l a t o r ya n d n o n o s c i u a t o r yr e s u l t sf o rt h e s e c o n d o r d e rd e l a y ( o ra d v a n c e d ) d y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e s c h a p t e r t h r e e ，w ec o n s i d e rt h es e c o n d - o r d e rh a l f - l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n0 nt i m e s c a l e s ，a n do b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re v e r ys o l u t i o no ft h ee q u a t i o n sw h i c hi so s c i l l a t o r y c h a p t e rf o u r ，w em a i n l ys t u d ya s y m p t o t i co fac l a s s o fs e c o n d o r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no nt i m es c a l e s a l ls o l u t i o n sa r e c l a s s e di n t of o u rt y p e sb ym e a n so ft h e i ra s y m p t o t i cb e h a v i o r s o m en e c e s s a r ya n d o rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rs u c he q u a t i o n st op o s s e s sa s o l u t i o no fe a c ho ft h ef o u rt y p e s k e yw o r d s ：t i m es c a l e s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，n e u t r a l ，o s c i l l a t i o n ，n o n o s c i l l a t i o n 3 引言 1 问题提出的历史背景和理论意义 时滞泛函微分方程有着丰富的应用背景，它是来自生物学、物 理学、电路信号系统、自动控制系统以及社会经济学等许多领域的 数学模型在过去的几十年里取得了十分丰富的结果时滞差分方 程作为时滞泛函微分方程的离散形式，同时也从各种实际领域中提 出，其定性研究自1 9 8 9 年开创以来得到了迅速的发展 通常人们研究常微分方程和差分方程时，都是把他们分别开来 进行研究因此，很自然的问题是；能否建立一种能统一离散和连 续分析的理论? 直至1 9 8 8 年，s t e f a nh i l g e r 1 1 在他的博士论文中首 次对时间尺度( 实数r 的一个任意闭子集【1 - 2 ) 理论的引入，这一问 题在一定程度上才得到了解决这一理论的提出，给对时滞微分方 程和时滞差分方程统一进行研究提供了有力的工具因而，时间尺 度上的微分方程的定性理论研究便引起了国内外许多学者广泛的关 注，并获得了一些很好的研究成果b o h n e r 及p e t e r s o n 的专著【3 以 及a g a w a l 4 7 1 等人的著作是这方面的一些重要成果振动性和非振 动性理论，作为时间尺度上的微分方程定性理论之一，也一直是方 程定性理论中的重要研究课题近年来也吸引了一些学者的注意， 文f 8 1 0 是这些工作的一部分 因此，研究时间尺度上的微分方程，对于寻求微分与差分方程的 联系和区别以及统一、推广和改进微分与差分方程的许多重要结果 有着重要意义另一方面，由于时间尺度的特殊性，其研究方法既有 与研究微分与差分方程的方法相同的地方，又有其自身的特殊性 2 本文的工作 本文讨论了几类常见的时间尺度上二阶微分方程的振动性和非 振动胜，以及非振动解的分类等问题，共分为四章 在第一章中，我们对时间尺度上的微分方程的微积分理论作了 一个简单的介绍，一些证明和更深入的结果，详见 1 - 3 5 在第二章中，我们研究了时间尺度上二阶微分方程 已有不少学者 1 1 1 3 】研究了二阶时间尺度上微分方程边值问题解的 存在性，但对其振动性的研究却还不多见在这一章中，基于经典 的振动理论结果，我们得到了方程( 3 ) 振动和非振动的一些充分条 件更进一步，我们运用比较定理，获得了具有时滞和时超二阶时 间尺度上微分方程 振动和非振动的一些充分条件 在第三章中，我们研究了如下时间尺度上二阶拟线性微分方程 p o ) ( 。( t ) ) 。】+ p ) z 。( t ) = 0 ，t z( 3 ) 近年来，许多学者【1 4 1 7 】对上述形式的方程边值问题解的存在性以 及方程所有解振动性进行了研究0 d o s l y , 和s h i l g e r 9 已经对方 程 ( t ) 。4 ( ) ) 6 + q ( t ) z ( 矿( t ) ) = 0 ，t t ，( 4 ) 进行了研究，获得了方程( 4 ) 所有解振动的充要条件但这些充要 条件都是在未知解需满足一定的附加条件时才能成立l e r b e 和 p e t e r s o n 1 8 l 研究了同一方程( 4 ) ，获得了在p ( t ) 有界的条件下方程( 4 ) 振动的一些充分条件可见， 9 】和 1 8 】的结果并不适用于非线性的 方程在本章，我们研究了方程( 3 ) ，获得了该方程所有解非振动的 一个充分必要条件另外，还获得了方程当r ( t ) = 1 时，存在最终正 解的一些充分条件 在第四章中，我们研究了如下二阶中立型时间尺度上微分方程 x ( t ) 一c ( t ) z 0 一r ) + f ( t ，x ( g l ( f ) ) ，z ( 9 h ( ) ) ) = 0 ，t t ( 5 ) 给出了方程( 5 ) 所有非振动解的一个分类，更进一步，获得了每类 解存在的一些充分条件，有些条件还是充要的 6 第一章预备知识 时间尺度理论是s t e f a nh i l g e r 于1 9 8 8 年在他的博士论文中首次 提出来的，其目的是为了统一连续和离散变量的分析实数r 的任 意一个非空闭子集称作一个时间尺度，本文以符号t 表示例如， r ，z ，n ， 0 ，1 】un ，都是时间尺度下面的定义和引理对于我们的结 果的理解和证明是必要的 定义1 1 对任意的t t ，定义向前跳跃算子盯：t 一t 如下 仃( f ) ：= i n f s t ：s 2 ， 以及向后跳跃算子p ：t 斗t 为 p ( t ) ：= s u p s t ，则称t 是右边稀散的，如果p ( t ) 0 ，存在u 的一个6 邻域，( 即对 任意6 0 ，u = ( t 一正t + d ) n t ) ，使得 i ，( 盯0 ) ) 一，( s ) 】一，( t ) p ( t ) 一s 】i 兰5 l o ( t ) 一s | ， s 则称f a ( t ) 为，在t 的d e l t a ( h i l g e r ) 导数如果对所有的t t 。都有 f z x ( t ) 存在，则称，在t 上d e l t a ( h i l g e r ) 可微，简称可微的 定义1 5 函数，：t _ r 称为州连续的如果它在右边密集的点 连续在左边密集的点的极限存在r d 连续的函数集，：t _ r 记作 口d = g d ( t ) = c , d ( t ，固 7 定义1 6 函数 ( t ) ：t _ r 称为回归的如果 1 一p 0 ) ( t ) 0 ，t t 定义1 7 称方程的一个解茁( t ) 在t 处有一个广义零点如果嚣( t ) = 0 如果。( t ) 。( a ( t ) ) 0 则称方程的一个解。( t ) 在( t ，仃( t ) ) 上有一个广义零点如果方程在区间【c ，胡上没有超过两个或两个以 上的广义零点的非平凡解，则称方程在区间【c ，d 】上是非共轭的 定义1 8 称方程在( t o ，。) 上非振动的如果存在c ( t 。，o 。) 使 得对任意的d c 方程在区间 c ，d 上是非共轭的反之，称方程在 ( t o ，o 。) 上是振动的振动性也可以这样定义：方程的一个非平凡解 在( t o ，o 。) 上如果有无限多个广义零点，则称这个解是振动的 引理1 1 设i ：t _ + r ，t t k ，则有以下结论成立： ( i ) 如果，在t 可微，则，在t 连续 ( i i ) 如果，在t 连续且t 是右边稀散的，则，在t 可微，并且 ，“f ( c r ( t ) ) 一f ( t ) 。”7 一矿 ( i i i ) 如果t 是右边密集的，则，在t 可微当且仅当极限 l i r a 地上塑 存在这种情况下， 心= l 。i m 等掣 ( i v ) 如果，在t 可微，则 f ( c r ( t ) ) = f ( t ) + 卢( ) ，( t ) 显然，如果t = r ，则，= ，如果t = z ，则，= ， 引理1 2 设，g ：t _ + r 均在t t k 处可微，则 ( i ) ，+ g ：t _ r 在f 可微，且 ( ，+ 9 ) ( t ) = ，( ) + g ( t ) 只 ( i i ) 对任意常数卢，a f ：t - + r 在t 可微，并且 ( a ，) ( t ) = a f ( t ) ( i i i ) f g ：t _ + r 在t 可微，且 ( ，9 ) ( f ) = ，( t ) 9 ( t ) + ，( 盯( t j ) 9 0 ) = f ( t ) g o ) + ，( t ) 9 ( 盯( t ) ) ( i v ) 如果9 ( t ) 9 ( 口0 ，则 在t 可微，且 ( 纷，= 掣措 例1 1t 2 的导数是t + 仃( t ) ， 的导数是一者百 引理1 3 如果，：t - + r 可微，并且f a ( t ) 0 ，则，( t ) 非减 引理1 4 如果a ，b ，c t ，r ，g g d ，则 ( i ) 露【，( t ) + g ( t ) a t = j ：f ( t ) a t + 片9 0 ) t ； ( i i ) f ：( a f ) ( t ) a t = aef ( t ) a t ； ( i i i ) f ：f ( t ) a t = 一臂f ( t ) a t ； ( i v ) 片f ( t ) a t = c f ( t ) a t + e ，( t ) 厶 ( v ) j ：，( 盯( t ) ) 9 ( t ) z x t = ( f g ) ( b ) 一( f g ) ( a ) 一j ：j f ( t ) 9 ( t ) t ； ( v i ) 片f ( t ) g ( ) t = ( f g ) ( b ) 一( ，9 ) ( o ) 一c ，( t ) 9 p ( t ) ) t i ( v i i ) 如果i ，( t ) lsg ( t ) ，t a ，b ) ，则 巾，6 f ( t ) a t l 墨g ( t ) a t 引理1 5 设a t ，b t ，假定，：t t _ + r 在( t ，t ) 连续，这 里t t 。，t n 并且假定，( t ，) 在【a ，盯( t ) l 上r d 连续进一步假定 对任意的e 0 ，存在t 的一个u 邻域，以及不依赖于t 的丁，使得 ，( 盯( t ) ，r ) 一f ( s ，丁) 一，( t ，r ) ( 口( t ) 一s ) i i 盯0 ) 一s i ，8 u 这里，为，的关于第一个变量的导数，则 z ，( t ，s ) s 】a = 上，( t ，s ) s + ，( 盯( t ) ，t ) 9 引理1 6 如果p ( t ) 是坩连续的且是回归的，则初值问题 y a ( t ) + p ( t ) y ( t ) = 0 ，y ( t o ) = 1 的解由下式给出 ，i 可( ) = e 】【“厶o ( 一p ( s ) ) s h ( 如) 这里 ，l 、f 业产， p 0 ， 0 ( z ) = 一 l z ，卢= u - 引理1 7 ( k n a s t e r s 不动点定理) 设x 是一个具有偏序s 的巴 拿赫空间，m 是x 的一个子集且满足：m 的下界属于m 且m 的 每个非空子集有一个属于m 的上界设t ：m _ m 是一个递增的 映射，即xs y 暗含t x t y 则t 在m 中有一个不动点 1 0 第二章时间尺度上二阶时滞和时超 微分方程的振动准则 我们首先考虑时间尺度上二阶微分方程的振动准则，然后借助 我们的一个比较定理，获得了二阶时间尺度上具有时滞和时超的微 分方程振动和非振动的一些充分条件 第一节时间尺度上二阶微分方程的振动准则 考虑如下时间尺度上二阶微分方程 已有不少学者【1 1 1 3 】研究了二阶时间尺度上微分方程边值问题解的 存在性，但对其振动性的研究却还不多见在这一章中，基于经典 的振动理论结果，我们得到了方程( 2 1 1 ) 振动和非振动的一些充分 条件我们假定p ( t ) 口d ( t ，r + ) 定理2 1 1 如果对充分大的t t ，恒有 t j ( 。p ( s ) s 五1 ( 2 1 2 ) 成立，则方程( 2 1 1 ) 无最终正解 证明若不然，令z ( t ) 为方程( 2 1 1 ) 的一个最终正解，则x a ( t ) 最终为负，由引理1 3 得x a ( t ) 最终非增我们首先证明对充分大的 t t o 有x a ( t ) 0 事实上，如果存在t 。t o 使得庐( t 1 ) = c 0 ( t t 1 ) 矛盾因此对充分大的t t l 有护( t ) 0 设 呻) = 等，峨 则对充分大的t t 。有w ( t ) o i 并且 x a a o ) = f 叫( t ) 茁( t ) = 叫( 盯( t ) ) z ( t ) + w ( t ) 茁( t ) = 叫( 盯( ) ) 训o ) z ) + w ( t ) z ( z ) 代入方程( 2 1 1 ) ，我们有 w ( t ) + 叫( 盯( t ) ) 叫( ) + p ( t ) = 0 ，t t 1 ， 从t 到t 积分上式得 叫( t ) 一伽( t ) = r 叫p ( s ) ) 叫( s ) s + t p ( s ) s ，t t ， 令t _ o 。，得 r o 。r o 。 训( ) 上t 叫( 盯( s ) ) 叫( s ) s + j ( p ( s ) s ，t t 1 ( 2 1 ，3 ) jj f 由( 2 1 2 ) 知，存在一个t z t l 和一个常数o o 使得 f 。p ( s ) s 字，t 独， 上p ( 8 ) 8 詈， t t 2 ， 由此不等式与( 2 1 3 ) 知，对t t 。有 叫( t ) f ”叫( 盯( s ) ) 叫( s ) s + 了a o j ti n ：j ( 。0 赤蚺半 ：a 3 + a o t 设 a i = o f 2 1 + a o i = 1 ，2 ，一， ( 2 1 ，4 ) 则 叫( t ) _ a l ，t t 2 ， 据数学归纳法，可以证明 训( t ) _ a i ，t t 2 ， i = 1 ，2 ，一 由( 2 1 4 ) ，我们有 a i - ( z i - i = 。l ，+ 。一。t t = o t z 一互1 ) 2 + 印一； o ，i = 1 ，2 ，一 因此，a t 非减不难证明l i m i + 。a 产o o ，从而，易得l i r a t 。w ( t ) = o o ， 矛盾证毕 定理2 1 2 假定对充分大的t t ，如果 t z 。p ( s ) ss 互1 ， ( 2 - 1 5 ) 则方程( 2 1 1 ) 有一个最终正解 证明设t 充分大使得 j ( 。如) s 去 定义函数序列如下： 1 ”o ( 。) 2 壶， t t 1 t t l ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) t o o r 毗( 2 ) 2 上毗l ( 口( s ) ) 崛1 ( s ) s + 上p ( s ) s ， t 九江1 ，2 ，- ( 2 1 8 ) 由( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 以及( 2 1 8 ) ，对t2t l 我们有， 州= z 。丽1 s + o o p ( s ) s 0 如果不等式 z ( t ) + f ( t ，z ( 丁0 ) ) ) o ，t j r( 2 2 2 ) 有一个最终正解，则方程 x a a ( t ) + f ( t ，茁( r ( t ) ) ) = 0 ，t t ( 2 2 3 ) 也有一个最终正解 证明若不然，设z ( t ) 是( 2 2 2 ) 的一个最终正解，而( 2 2 3 ) 无 最终正解令t o t o 使得当t t o 时有x ( t ) 0 以及z ( r ( t ) ) 0 成 立由( 2 2 2 ) ，则x a a ( t ) 最终为负，从而最终一( t ) 非增与定理2 1 1 证明类似，可以证明对充分大的t t t 有庐( t ) 0 从t 到。积分 ( 2 2 2 ) ，得 。( t ) 2c + f ( s ，z 一( s ) ) ) s ，t t l ， ( 2 2 4 ) 其中c = l i m 。护( t ) 20 再从t 1 到t 积分( 2 2 4 ) ，有 坤) 刈m + f ( c + ，0 0 f ( u , x ( 丁( 蝴) u ) s i t t l ，( 2 删 设t r a i n t 1 ，i n f t 孙丁( t ) ，定义集合q 如下： q = x ：x c k ( 【r ，0 0 ) ，r ) ，0 x ( t ) 口( t ) ，t 矿 ， 且集合q 具有偏序： 。1 。2 甘。1 ( t ) x 2 ( t ) t t + 1 5 显然，对任意的a cq 存在i n f a 和s u p a 定义q 上的映射丁如下： ，fz ( t ) + 层( c + f f ( u ，z ( r ( u ) ) ) u ) s ，t ， ( t x ) ( t ) = i ( t x ) ( t )。t + 墨t t 1 由( 2 2 5 ) ，易证 ( t z ) ( t ) s y o - ) + r ( e + j ( ”f ( 钍，( r ( 珏) ) ) 甸s y ( t ) ，t t ， ( t x ) ( t ) 掣( t ) ，t + t t t 即，t x x 显然，t 是连续且递增的因此，由k n a s t e r s 不动点 定理知存在一个z x 使得t z = 茁也就是， 邢) 叫如+ f ( g + z 。f ( u , z ( r ( u ) ) ) “) s 圳- ， 这意味着z ( t ) 是( 2 2 3 ) 的一个最终正解矛盾，证毕 定理2 2 2 设当t _ o o 时，有6 ( z ) - + o 。，另设g g d ( m ，r ) ，r ) 且u g ( t ，“0 假定 丁( t ) 6 ( t ) ，( 2 2 6 ) 以及 f ( t ，u ) a ( t ，扎) ( 2 2 7 ) 如果 x a a ( t ) + g ( t ，z ( d ( t ) ) ) = 0 t t ( 2 2 8 ) 所有解振动，则方程( 2 2 3 ) 所有解也振动 证明假定( 2 2 8 ) 所有解振动而方程( 2 2 3 ) 有一个最终正解 由定理2 2 1 的证明可知，x a ( t ) 最终非负由( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) ，则 存在t 。t o 使得对t t - 有z ( 下( t ) ) $ ( 6 ( t ) ) 以及f ( t ，茁( r ( t ) ) ) f ( t ，z ( 6 ( t ) ) ) c ( t ，z ( 6 ( t ) ) ) 成立从而茁( t ) 满足不等式 x a 。t ( t ) + a ( t ，。( 6 ( t ) ) ) 茎o ，t t 1 ( 2 2 9 ) 由定理2 2 1 知，( 2 2 9 ) 暗含( 2 2 8 ) 有一个最终正解，与题设矛盾， 证毕 1 6 定理2 2 3 假定方程( 2 2 3 ) 有一个非振动解，则对任意的单调 递增的7 ( ) ( 对t 蜀，7 ( t ) t c t ) ) ，则方程 。( t ) 4 - f ( r - ：1 ( 7 ( t ) ) ，z ( ，y ( t ) ) ) = 0( 2 2 1 0 ) 也有一个非振动解这里r _ 为r 的反函数 证明设z ( t ) 是( 2 2 3 ) 的一个非振动解，不妨假定x ( t ) 0 ( t t 1 ) 由定理2 2 1 的证明可知， z ( t ) = 。( t ，) + ( g4 - ，。f ，。p ( 钍) ) ) u ) s ， t 。( 2 2 1 1 ) 因7 ( 句7 - ( t ) ，故t 7 - 1 ( 7 _ ( t ) ) 令t = t - 1 ( ，y ( t ) ) ，贝0 f l u ，z ( r ( ) ) j2f p 一1h ( s ) 】，z ( r ( 丁一1 【7 ( s ) 】) ) 因此， ，o 。 f o o f ( t ，。( r ( t ) ) ) t f ( r 一1 ( ，y ( 亡) ) ，x c y c t ) ) ) t ， ，5j 3 从而 z ( f ) 。( t ，) + e ( g + j ( 。f ( 丁。1 ( 7 ) ) ，。h ( 札) ) ) ) s ，t t t ( 2 2 1 2 ) 设t k m i n t l ，i n f t 兰t 。7 ( t ) ) 定义一个具有偏序的集合n 如下： q = 。：z g d ( 【t + ，o o ) ，r ) ，0 x ( t ) 茎( t ) ，t r ) 显然对任意a c f t 存在i n f a 以及s u p a 定义n 上的映射t ： ( t 州归p 1 + 后( r 聊_ l ( 伽) ) 】撕) ) ) 龇) 3 ，吲1 ， i ( t x ) ( t ) t + t t 1 由( 2 2 1 2 ) ，易证 ( 丁州纠u + ( g + z 。f ( r - 1 ( 小) ) ? 晰( ) ) ) u ) s 蚓巩t 独， ( t x ) ( t ) ( t ) ，t + tst 1 所以，t x x t 显然是连续递增的因此，由k n a s t e r s 不动点定 理知存在一个髫x 使得t x = z 也就是， tp 、 x ( t ) = 口( t 1 ) + ( c + f ( r - 1 ( 7 m ) ) ，。h ( u ) ) ) u ) s ， t t 1 ， j t l j s 这意味着g ( t ) 是( 2 2 1 0 ) 的一个最终正解证毕 推论2 2 1 考虑时间尺度上微分方程 正( t ) + f ( t 一1 ( t ) ，茹( t ) ) = 0 ， t t o ( 2 2 1 3 ) ( i ) 如果r ( t ) t 0 t o ) ，方程( 2 2 3 ) 有一个非振动解，则方程( 2 2 1 3 ) 也有一个非振动解 ( i i ) 如果r ( t ) t0 t o ) 且递增，若方程( 2 2 1 3 ) 有一个非振动解， 则方程( 2 2 3 ) 也有一个非振动解 2 方程( 2 2 1 ) 的振动性和非振动性 下面，我们考虑方程( 2 2 1 ) 的振动性 定理2 2 4 如果 fp ( s ) l x 8 = o o ，( 2 2 1 4 ) j i 0 则方程( 2 2 1 ) 所有解振动 证明若不然，设z ( t ) 是方程( 2 2 1 ) 的一个最终正解因为x a ( ) 最终为正，则存在c 0 以及t 1 t 0 使得对所有的t - 有z ( 7 - ( t ) ) c 从t 1 到o o 积分( 2 2 1 ) 得， g 上。p ( s ) s j ( 。p ( s ) z ( _ ( s ) ) 血 音， ( 2 2 1 5 ) t o 。 ，t 、 4 。 7 则方程( 2 2 1 ) 所有解振动 ( i i ) 如果7 - ( t ) 递增，对充分大的t t o ， 。上p ( v - 1 ( s ) ) s i ， ( 2 2 1 6 ) 】8 则方程( 2 2 1 ) 有一个非振动解 证明( i ) 由( 2 2 1 5 ) 和定理2 1 1 知方程( 2 1 1 ) 所有解振动因 r ( t ) t ，定理2 2 2 暗含( 2 2 1 ) 所有解振动 ( i i ) 由推论2 2 1 ( i i ) 知，如果方程 x & a ( t ) + p ( r “( t ) ) 。( t ) = 0( 2 2 1 7 ) 有一个非振动解，则方程( 2 2 1 ) 也有一个非振动解由定理2 1 2 ，方 程( 2 2 1 7 ) 有一个非振动解的一个充分条件是对充分大的t t o ，有 t 上”p ( t - 1 ( s ) ) ss ； 成立，证毕 定理2 2 6 假定r ( t ) t ( i ) 如果 l i 。r a 。i n f t ”p ( r - 1 ( s ) ) s ；， ( 2 2 1 8 ) 则方程( 2 2 1 ) 所有解振动 ( i i ) 如果对充分大的t t o ，有 t ，。p ( s ) ss ：， ( 2 2 1 9 ) 则方程( 2 2 ，1 ) 有一个非振动解 证明( i ) 由推论2 2 1 ( i ) 知，如果方程( 2 2 1 7 ) 所有解振动则方程 ( 2 2 1 ) 所有解振动由定理2 1 1 ，如果 l i 。m 。i n f t j ( 。0 p ( t - t ( s ) ) s 五1 则方程( 2 2 1 7 ) 所有解振动 ( i i ) 假定( 2 2 1 9 ) 成立，则由定理2 1 2 知，方程( 2 1 1 ) 有一个非振动 解又由定理2 2 2 ，易知方程( 2 2 1 ) 有一个非振动解 1 9 第三章时间尺度上二阶拟线性 微分方程的振动准则 1 引言和引理 在这一章，我们考虑如下时间尺度上二阶拟线性微分方程 【r ( t ) ( 茁( t ) ) 。】6 + p ( t ) x 。o ) = 0 ，t z( 3 1 ) 这里p ( t ) ，r ( t ) c r y ( t , r ) 为正，l i m t + 。j 丢( 杰) s = ，o 1 是 一个两个正奇数之商 近年来，许多学者1 1 4 - 1 7 对上述形式的方程边值问题解的存在 性以及方程所有解振动性进行了研究o d o s l y 和s h i l g e r 9 i 已经对 方程( 3 1 ) 当o = 1 时进行了研究，获得了方程所有解振动的充要条 件但这些充要条件都是在未知解需满足一定的附加条件时才能成 立l e r b e 和p e t e r s o n 1 8 研究了同一方程，获得了在p ( t ) 有界的条 件下方程振动的一些充分条件可见，【6 3 和【8 】8 的结果并不适用于 非线性的方程在本章，我们研究了方程( 3 1 ) ，获得了该方程所有 解非振动和振动的一些充分条件，有些条件还是充分必要 下面的一些引理对于我们的证明是必要的 引理3 1 1 2 4 】如果x20 ，y 0 ，则 r 矿一1 ( 石一可) sx r 一矿曼r x r 一1 ( z 一掣) ， r 1 引理3 2 设o 1 是一个常数如果f ( t ) 0 是r d 连续的，则 口，o 一1 p ( t ) ) ，( t ) ( ，。( t ) ) a ，o 一1 ( t ) ，0 ) 证明由引理1 1 及引理3 1 ，如果t 是右边密集的，结论显然成 立如果t 是右边稀散的，则 ( 削) 一l 。i m 譬辫 l。ira生等o-掣t s 一 ( 1 一s = 。f - - 1 ( t ) l i m 紫 = a ”1 ( t ) f ( t ) 类似证明余下部分 2 主要结果和证明 在这小节，我们首先研究了方程( 3 1 ) 的最终正解存在性，获得 了方程存在最终正解的一个充分必要条件，然后给出了方程振动的 一个推论最后，研究了当r ( t ) = 1 时，方程存在最终正解的一些充 分条件 定理3 1 如果不等式 r ( z ) ( z ( ) ) 。 + p ( t ) 茁“( ) 0 ，t t ，( 3 2 ) 有一个最终正解，则方程( 3 1 ) 也有一个最终正解 证明若不然，令卫( t ) 为( 3 1 ) 一个最终正解，设t 。t o 使得对 充分大的t t o 有x ( t ) 0 ，z ( 7 _ ( t ) ) 0 由( 3 1 ) 得，【r ( t ) ( 一( t ) ) n 1 最终为负，由引理1 3 知r ( t ) ( 一( t ) ) 。最终非增我们首先可证明对 充分大的t t 。有r ( z ) ( 一( t ) ) 。0 事实上，如果存在一个t 。t 。使 得r ( t 。) ( t 。) ) 。= c 0 矛盾因此r ( t ) ( 一( t ) ) 。0 从t 到。积分( 3 1 ) 得 r ( t ) ( z ( t ) ) 。2 上p ( s ) 护( s ) s ， t t 1 ( 3 3 ) ( 3 3 ) 两边同时除以r ( t ) ，得 1 ，o o ( 。( t ) ) 。赢z p ( s ) 护( s ) s ， 。t 1 因此， z ( ) 2 ( 而1 j ( o o p ( s ) 。( s ) s ) ， z t ， ( 3 4 ) 2 1 从t l 到t 积分( 3 4 ) ，得 础胁m ) + f ( 高，。p 州 m ) s 定义一具有偏序的集合q 如下： q = 。：z o d ( p l ，。o ) ，r ) ，0 sx ( t ) ) ，t t 1 ) x l x 2 = 争z l ( 动x 2 ( t ) t 芝t l 则对任葸的子集acq 存在i n f a 以及s u p a 定义一个q 上的映射 t 如下： ( t 州= 坤) + f ( 而1 ! o o p ( u ) 州钍) ) 她t 独 由( 3 5 ) ，易见 ( 驯纠如+ ( 而1 。p ( 仳矿( ) u ) a s 纠力，吲， 也就是，t x x 显然t 连续递增的因此，由k n a s t e r ，s 不动点定 理存在一个z x 使得t x = z 这样， 邢) 叫如+ ( 而1 ，0 。出) 州u ) 她 吲。， 这意味茁( t ) 是( 3 1 ) 的一个最终正解证毕 为讨论方程( 3 1 ) 的振动性，定义一个序列 风( t ) 匕t t z ， ( 3 6 ) 如下： b o ( t ) = p ( s ) a s ， j t r o o， b n ( t ) = n f 7 ( s ) 一：岛一1 ( 仃( s ) ) b n 一1 ( s ) s + b 0 ( t ) ，礼= 0 ，1 ，2 ， ( 3 7 ) 可以推断 鼠( t ) b n 十1 ( t ) ，n = 0 ，1 ，2 ，( 3 8 ) 因此( 3 6 ) 定义的序列在f t l ，o o ) t 上非减 定理3 2 方程( 3 1 ) 有一个非振动解当且仅当存在一个t 。t 。 使得 t 1 + i m 。b n ( t ) = b ( t ) 0 类似定理3 1 的证明，不难证 明，对t t l 有$ ( t ) 0 设 呻) = 婵，吲。， 则对t t 有叫( t ) 0 由引理1 2 ，我们有 【r ( t ) ( 。0 ) ) 。】= 【叫( t ) $ 。( t ) 】= t u ( 盯( t ) ) ( 。( t ) ) + w a ( t ) 。( t ) o 似( 仃( t ) ) z 。一1 ( t ) z ( t ) + w ( t ) 茁8 ( ) = 陋( 盯( t ) ) 训( t ) r ( t ) 一i 1 + 铷( t ) l x “( t ) 代人万槿( 3 1 ) ，得 伽( t ) + a r ( t ) 一1 w ( a ( t ) ) w ( t ) 1 + p ( t ) 0 ，t t l ， ( 3 1 0 ) 这暗含叫( t ) 非增积分( 3 1 0 ) ，得 叫( t ) 一曲( t ) f ra t ( s ) 一言加p ( s ) ) 训( s ) s + ，t p ( s ) s ， t2 t 。 令丁_ 0 0 ，我们有 叫( t ) t n r ( s ) 一伽( 仃( s ) ) ( s ) i a s + f f p ( s ) s ， 这与( 3 7