（计算数学专业论文）一阶双曲型方程的时空间断全离散有限元的收敛性.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1中文摘要 本文在研究常微分方程间断有限元的基础上，利用能量方法和 单元正交分析方法，构造了特殊的r n d a u 型单元正交展开和张量积 分解，简明论证了一阶双曲方程时空间断有限元的收敛性，得到了 丰满阶的整体误差估计数值实验不仅证实了这些理论结果，还发现 了具有更高阶收敛率的超收敛性。 主要结果如下 ( 1 ) 利用单元上的r a d a 型正交展开和张量积思想，用能量法， 论证了一阶线性双曲方程的时间为p = 0 ，1 次，空间为m 0 次的时 空间断有限元解u 舻os “有丰满阶的收敛性： 其中s 。为时间p 次有限元空间，s “是空间? t t 次有限元空间这种方 法对多维同样有效 ( 2 ) 陈传淼教授对常微分方程情形曾证明单元内部的p + 1 阶 r a d a u 点上有超收敛性。对一阶双曲型方程情形，用间断有限元求 解，数值实验首次证实，单元内部的p + 1 阶和+ 1 阶r a d a u 点的乘 积点上也有类似的超收敛性但还未能在理论上给出证明 关键词：一阶双曲方程组，间断有限元，张量积分解，丰满误差阶 超收敛 o 2 a b s t r a c t b a s i r l g o nt h ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee e m e n ti d e a lf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i m ，w eh a v et a k e na d v a n t a g eo fe n e r g ym e t h o d ，o r t h o g o n a la n a l y s i s i ne l e m e n t l c o n s t r u c te s p e c i a lo r t h o g o n a la n a l y z e a n dt e n s o rp r o d u c td e c o m p o s e l s i m p l y p r o v ec o n v e r g e n c eo fs p a c e - t i m ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n to fo n o r d e rh y p e r h o l i cs y s t e mw eh a v eh a df u l l d e g r e e e r r o re s t i m a t i o n n u m e r i c a le x p e r i m e n t a t i o nh a v en o to n l yp r o v e dt h et h e o r e t i c a lr e s u l tb u ta l s of o u n do u t s u p c r c o n v e r g e n c eo fh i g h e ro r d e r m a i nr e s u l tf o l l o w s ： ( 1 ) a c c o r d i n gt ot h ei d e a l o fr - o r t h o g o n a le x p a n d ，t e n s o rp r o d u c td e c o m p o s ea n dt h em e t h o do fe n e r g y ，w eh a v es i m p l yp r o v e do n e o r d e rh y p e r b o l i cs y s t e m sp r o b l e mt i m e - s p a c ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n ts o l u t i o nu 驴o s “( f o rt i m es p a c e o ，ld e g r e b 、s p a c em - d e g r e e ) h a v ef u l l - d e g r e ec o n v e r g e n c e ： | i ( u u ) l lsc ( t ，) ( “+ 1 + k p + 1 ) w h e r es ki sp - d e g r e ef i n i t ee l e m e n ts p a c ei nt i m e s i sm d e g r e ef i n i t ee l e m e n t s p a c ei ns p a c e t h i sm e t h o d i sg o o df o rm u l t i p l i c i t y d i m e n s i o nt o o r 2 ) p r o f a s s o rc h u a n m i a c c h e nh a sp r o v e d s u p e r e o n v e r g e n c e 扯p - l - 1 - o r d e r r a d a u p o i n t si nt h ee l e m e n t a tt h e f i r s tt i m e ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t a t i o np r o v e h a ss i m i l a rs u p e r c o n v e r g e n c ea tp + la n dk + 1 - d e g r e er a d a up o i n t s p r o d u c t p o i n t sf o ro n e o r d e rh y p e r b o l i cp r o b l e mb yu s i n gd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d b u tt h er e s u l th a sn o tb e e np r o v e di nt h e o r yy e t k e y w o r d s ：o n e - o r d e rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，d i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n t t e n s o rp r o d u c td e c o m p o s e lf u l l d e g r e ee r r o re s t i m a t i o n ，s u p e r c o n v e r g e n c e 湖南师范大学硕士学位论文 第一章序言 1 1引言 在科学和技术的各个领域中有许多问题，如流体力学，空气动力 学和电磁场理论等问题，都可用一组复杂的一阶偏微分方程组描述 以往的传统方法常是，在某些简化的假定下将这些方程组化为二阶 偏微分方程或方程组，再用熟悉的方法求解，并研究它们的各种性质 人们为此也提出了许多数值求解的近似方法，例如差分法，谱方法， 有限元等用这些方法求解二阶方程的缺点是，往往对解的光滑性要 求过高，实际上不易满足，而且对解变化剧烈的地方逼近精度不高、 在现代科学技术中出现的一阶方程组已越来越复杂，将他们约化 为二阶方程的传统方法常常已不可能这就导致对一阶方程组的直 接研尧早在1 9 5 4 - 5 8 年，国际名家f _ r i e d r i c h s 就用能量方法研究了一 阶对称正定组和一阶双曲组，他的两篇论文是这方面的先驱性工作 以后许多学者在此领域做了广泛深入的研究，形成了较完整而系统 的理论我们关心的问题又回到数值计算，特别是用有限元计算的研 究上来 在实际应用中，水利，气象，海洋，地理等领域里的流体力学闷 题乃至航空航天，分子学中的某些流体力学问题都可以归结为求解 一阶双曲方程或一阶双曲方程组的问题用经典的差分方法往往容 易受到限制，因为这种经典方法对函数的光滑性要求较高，而一阶双 曲方程或方程组的解经常会有剧烈的振荡用标准的g a l e r k i n 方法 有时也会存在类似的问题所以出现了一些非标准的有限元方法， 间断有限元就是其中很成功的一种 具体的，用有限元法求解一阶双曲型方程组，在理论分析它的误 差估计时，经历了十分艰难的道路，由于一阶组对应的双线性蛩是不 对称性的，研究二阶方程的对称正定理论就不灵了首先人们回想到 湖南师范大学硕士学位论文 连续有限元法早在1 9 7 3 年p l e s a i n t 用连续有限元离散时间，得到半 离散有限元格式，但是在处理空间导数项r 时精度不得不降低一个 阶，误差估计达不到最优阶不久g b a k e r 在1 9 7 5 年提出改用p e t r o v g a l e r k i n 有限元离散时间，取试探函数和检验函数为不同的空间虽 然此半离散的格式的误差估计达到了最佳阶但此办法用于时空全离 散时仍比最佳阶少一个阶周爱辉教授曾在他的博士论文( 1 9 9 0 ) 中采 用改进的时间e u l e r 格式+ 空间连续线性元的全离散格式，用陈传淼 教授在研究超收敛时提出的单元合并技巧，在较均匀的网格上首次 证明了最佳阶的误差估计 另一种想法是采用间断有限元很早ls a i n t r a v i a r t ( 1 9 7 4 ) 就用间 断元求解一阶对流传输方程( 但没有理论分析) ，以后此法也被许多学 者成功地用于常微分方程初值问题，抛物问题，甚至椭圆问题等对 于一阶双曲组的时空间断有限元的全离散格式，是一种迎风的显格 式，它从入流边界开始，沿流场方向，自上游往下游计算，可逐个单元 进行计算，计算十分简单，并且可以局部化并行计算间断有限元和 连续有限元相比，有更好的逼近精度和稳定性特别是对真鳃急剧变 化的地方，模拟得相当好( 连续有限元可能会有较大的波动现象) 但 要在理论上证明它能达到丰满阶仍很困难1 9 8 7 年c j o h n s o n 曾用多 种方法讨论一阶对称组的时空全离散格式，作了细致而深刻的分析 但其理论误差估计仍比丰满阶少半个阶，甚至使人们感到这也许就 是最佳阶十年后，1 9 9 7 年aq u a r t e r o n i ，a v a l l i z 在其著作【9 】中仍然只 是综合了这些结果可见对一阶组间断元的理论分析进展不大这项 研究目前仍在许多国家中以各种各样的变形格式在继续紧张地进行 着 本文研究用时空间断有限元求解一阶双曲方程，对时空平面的矩 形区域上作矩形元剖分，利用单元正交分析法，构造单元上的r a d a u 型正交展开和张量积思想，证明了时空间断有限元具有丰满阶的误 差估计我们的数值实验不仅验证了其收敛阶与理论相符和，而且还 发现在r a d a u 点上具有高一阶精度的超收敛性这就为进一步研究 提供了一个新的命题 湖南师范大学硕士学位论文 3 1 2几个常用不等式 下面几个不等式是在以后的证明耍用到的 不等式1 1 ：( y o u n g 不等式) 若o ，b20 ，对任何 0 有 n 6 血”+ c e p p b p 其中；1 + 矛1 = 1 ，1 p 。 - 不等式1 2 ( s c h w a r z 不等式) 设x 为数域k 上的内积空间，则对 任意x ，y 属于x 成立 湖南师范大学硕士学位论文 4 第二章矩形单元上的r 一型正交展开和张量积 2 1一维单元上的r a d a u o 型正交展开 陈传淼教授提出以单元上的各种正交展开为基础的单元正交分 析法，是国际上研究有限元收敛性及超收敛性的重要方法之一本节 首先介绍一维单元上的r - 型正交展开 考虑标准单元r = ( 一h ， ) ，用变换。= t h 变到参考单元e = ( 1 ，1 ) ，记函数u ( z ) = u ( t h ) 为“( ) ，对“( ) 求导数有哦“= h i d ：u 由 于我们以后经常在e 上计算，记住这个小量的级是有益的 我们知道当单元边界无约束时，函数u ( ) 在e = ( 1 ，1 ) 上的最 佳逼近是l e g e n d r e 正交逼近 在参考单元e = ( 一1 ，1 ) 上，记l e g e n d r e 多项式序列 l o ( t ) = l ，f 1 ( ) = t ，1 2 ( t ) = ( 3 2 1 ) ，f 。( ) = o 。d ? ( 2 1 ) “ 其中0 l n = ( 2 n ) ! 2 ”( n ! ) 2 n 次l e g e n d r e 多项式与任意的n 1 次多项式 r 一- 正交，并且f 。( 4 - 1 ) = ( i l ) ” 任何平方可积函数uel 2 ( 司可展开为l e g e n d r e 多项式级数 u ( t ) = b f l j ( t ) ，b = u + i 2 ) ( u ，l j ) 系数经过is j 次积分后有估计 屯= o ( h ) t t 的n 次部分和及其余项分别为 no 。 。= b j j j ( t ) ，r = 一u 。= b a ( t ) 上r ( ) j = oj = n + l 若“w n 十l 1 旧) ，用b r a m b l e - h i l b e r t 引理可得到误差估计： i l r i | p c l i d p + 1 ”| f p ，1 p 0 0 若“彤“怕9 ( e ) ，在n + i 阶g u a s s 点t i 上有超逼近 i r ( t 。) j c l l n ? ”“怯 上述余项有最好的局部正交性，与任何n 次多项式正交，但是在两 端点不为零，并不是我们所需要的 为了研究间断元，这里需要右端点连续的艮型正交展开，取新 的多项式序列构造新的基， 妒o = l ，如( ) = l j ( t ) 一f ，一1 ( ) ，j = 1 ，2 显然，在右端点上如( 1 ) = f ，( 1 ) 一l i - 1 ( 1 ) = 0 ，函数c j ( t ) 在( 一1 ，1 】上有j 个实根，称为单元上的j 阶右r m ：i a u 点，记为t r 设对函数u ( o ) 以经 完成了r 型正交展开 ( ) = q 九( ) = a o l o + a l ( t l f o ) + 2 ( 1 2 一f 1 ) + j = o 由于九( 1 ) = o ，则a o = u ( 1 ) 对比l e g e n d r e 正交展开的系数可知 b j = a j 一吩+ l 因此新的系数a j 可用6 j 表示为 唧= b d + a i + l = b j + b j + l + a d + 2 = e b i 1 2 j 由b r u m h l e - h i l b e r t 引理可知系数的量级为q = o f f t ：9 记此级数的n 次部分和( n 次多项式) n p 龟= u 。= 吩如( ) j = o 显然( 1 ) = u ( 1 ) ，它就是间断有限元中所需要的n 次插值函数( 称超 接近函数) ，其余项为 r 。= 钍一u h ( 亡) = ( 一j d 。) 札= a n + 1 九+ 1 + 上p n l 其中i 为单位算子，这种多项式的投影的余项有以下四个重要性质 1 在e 上 r ( ) 上r 一1 ； 湖南师范大学硕士学位论文 6 2 r 。( 1 ) = 0 ；r ( 一1 ) = o ( ， ”1 ) ； 3 r 。( t ) = o ( i i d ；”1 训) 4 r 。n r ) = o ( i i d p + 2 “ j l ，( e ) ) 值得注意的是，由于要求满足条件心( 1 ) 0 ，这个强加条件的存在 使这种余项的正交性也比l e g e n d r e 展开的余项低一次， n = 11 1 3 n = 210 2 8 9 8 9 7 9 4 80 6 8 9 8 9 7 9 4 8 n = 310 5 7 5 3 1 8 9 2 30 1 8 1 0 6 6 2 7 10 8 2 2 8 2 4 0 8 1 n = 4l0 7 2 0 4 8 0 2 7 10 1 6 7 1 8 9 8 6 504 4 6 3 1 3 9 7 308 8 5 7 9 1 6 0 8 2 2矩形上的r - 型张量积展开 在二维矩形单元r = ( 一i ，tsh ，一k z k ) 上，可以类似一维 问题构造双n 次右r a d a u 张量积正交投影蛳= p c o p 2 其误差可以 作以下张量积分解( 见d o u g l a s d u p o n t w h e e l e r ，1 9 7 4 ) ( ，一p p 。) = ( ，一尸) + ( ，一p 2 ) 一( ，一p ) 圆( ，一p 2 ) = f o + 酽一f o g 。 根据r - 型投影的余项的性质有 f 。“= ( j p 。) “上j p i 一1 ( ) ，g 。“= ( ，一p 2 ) “上f i l ( z ) f 。g 2 “= ( ，一p 2 ) o ( ，一p 。) 上r l ( ) 圆j r l 扛) 其中f g u 是高阶小量 i i f g ul c h “| u 。，n4 - 1s m s 2 n + 2 因此张量积的误差主部可分解为对t 的误差和对x 的误差之和，特 别地在右上角点，上边和右边上有 r ( t ，1 ) = 0 ，r ( 1 ，z ) = u ( 1 ，。) ，r ( t ，1 ) = f “t ，1 ) 湖南师范大学硕士学位论文 ， 7 注意后两式并不为零，它们的量级仍是o ( h 一1 ) ，这是出处理多维问题 出现的新困难，此外，f ，g 还可以对另一变量求导，并有以下求导法则 和正交性 d 。f 。u = ( 一p 。) u 。j - r l ( ) ，d t g u = ( ，一尸。) u c 上只卜1 ( z ) 湖南师范大学硕士学位论文 第三章常微分方程的间断有限元分析 3 1间断有限元的计算格式及收敛性 本章先考虑简单的常微分方程初值问题 ”：王。( ) ”5 峨6 ( o ，n( 11 ) ( 0 ) = u o ； p 叫 其中函数n ( t ) ，b ( t ) 适当光滑对区间j = ( o ，t ) 作拟一致剖分j h ：0 = t o t l t 2 0 正定 在( 23 ) 中取v = 2 u 在q 上积分有 ( “， ) i o + f s u b u d i d t4 - 2 岛u b + u d z d i = 2 ，。f u d z d t ( 2 4 ) 因为b + 正定及在s 上u u 非负，对等式的右端项用s c h w a r z 不等 式，可以直接得到以下能量不等式 定理21 对初边值问题( 2 ，1 ) 的解有以下能量估计 f i i ( t ) f 1 2sc ( t ) ( bk u ( o ) 1 1 2 n 十，l 刖2 d r ) ，0 st( 2 5 ) 此能量不等式特别重要，他包含了整个问题的适定性结论，即由 此可推出解的唯一性和对数据的连续依赖性，甚至用若紧性可以证 明弱解的存在性，但是即使对连续问题，这种能量估计已经比椭圆和 抛物问题差很多我们知道，若，l 。，在一定条件下，二阶椭圆问 题的解”圩2 ，且2 c u l l ；对抛物问题也有恤+ d 矧q u ( 例i 。+ l o ) 但是对于上述一阶方程组，相应的双线性型日( ”) 是不对称的，对于，l 2 不能得到解的h ，( 曰) 估计，而只能得到“ l 2 ( q ) 及其在截面n 。上的估计因此，不仅解的光滑性变差了，而且 用有限元的对偶论证技术很难将有限元的误差估计提高到丰满阶， 这些给数值分析带来了极大困难 湖南师范大学硕士学位论文 - 1 6 第五章全离散有限元分析 5 1记号和重要结论 本章将用单元正交展开技术，证明时空间断有限元也具有丰满 阶误差估计我们考虑简单的单个方程情形 ：t ，+ ，a 、u z + 。b ui 乏扎? ，| ：2 q = j 。( o ，r ) ，j = ( o ，x ) (11)0 “( o ，t ) = = g ( ) ，u ( z ，) = 妒( z ) ； 、7 为了理论论证需要，我们用变换u = e 。u + ，可化为以下方程 ，札；+ “：+ ( b + 口) 。= e - e 。t l ( t ，茁) ，( t ，z ) 印，r ，q 、 1 ( o ，) = 9 e n 。( ) ：矿( t ) ，n ( z ：o ) ：妒( z ) ； 【1 2 j 取实数a 适当大，可以使得矿= b + 。 0 ，以后不妨一开始就假设 b 1 我们还要假定n 0 ，即特征线是从左下指向右上，因此初值和 边值应给定在迎风边界上，即下底和左边界上，而逆风边界就是上 底和右边界为了方便，我们直接把矿，扩，矿记为“曲，g 将矩形区域q 剖分为有限个矩形单元，它们在x , t 方向的步长分 别为h = 柳，k = 叫m 记节点为 x i = i h ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，一，；如= j k ，j = o ，1 ，2 ，3 记时间区间乃= ( 白，+ - ) ，如= ( o ，0 + ，) ，空间区间x ；= ( ，z m ) ，矩形 单元功= 咒乃，简记内积和范数 ，9 ) ( n ) = l of g d t ，俐( n ) = ( l9 2 d t ) 1 胆，) = ( l 。2 圳，2 记函数在0 的左右极限为芹= ，( 白士o ) ，其跃度为魄】= 疗一疗，在 点如的左右极限为，+ ( ) = f ( x t 士o ) ，跃度为f ，) j _ ，+ ( 盈) 一，一( ) 利用次r _ 型插值投影离散初值和边值饥= p h i ( x ) ，g k = p k g ( t ) 并有初边值误差估计 | | 妒一妒 i | c h m + 1 1 1 妒1 1 m + l ，i i g g k i t ( 。】c k p + 1 1 1 d + 1 9 l l ( 。) ， 设，为分片间断，对时间p 次，对空间1 1 1 次的多项式张量积空问 定义试探函数类和检验函数类分别为 s ? p = u r ，u ( o o z ) = 砂 ，u ( t o o ) = 肌) ，s ”= u 只。，p ) 它们的内部结构相同，故内部自由度也相同，记双线性型： n 一1一l 风( “， ) 5l ：( ( z l t ，v ) + ( 。u ) + ( 乩，”) ) d t + ( 哼) + 量l “( 鼢) ”( ) 珊 ( 13 ) 定义时空间断有限元u 卵，满足 b n ( u , u ) = j _ ( ，v ) d t ，口s “，c 矗= 妒h ( 1 t 4 ) 原连续问题的解也满足此式，并且= 0 ，两式相减，得到误差e 一 “一u 的正交关系式： 丑。( e ，u ) = 0 ，u s ”一，e i = 妙一妒 ( 15 ) 我们有以下主要结果： 定理1 1 设u 是初边值问题( 1 2 ) 的解，u 是时间p = o ，1 次，空 间m o 次张量积全离散间断有限元解，有以下丰满阶估计 | | ( “一u ) ( ) | | s c ( t ，“) ( 4 + 1 + p + 1 ) ，m 0 ，p = 0 ，1 ( 1 6 ) 其中常数为： c ( t ，u ) = c ( t ) ( 1 l b l l 。+ 1 十1 1 d + 1 9 l l ( 。) + j | i d + 1 地+ i l l d r + 1 u ；j ) 5 2两个基本等式 本节建立以下两个基本等式，它们在有限元误差分析中起着重要作 用 湖南师范大学硕士学位论文 1 8 - 第一个基本等式是一个能量等式首先取“= ”，在单元t i j 上，对 双线性型( 1 3 ) 分部积分有 如，( u ，u ) = 丘( ( 叱 ) + 。( ”) + 6 ( u ， ) ) 出+ ( 时) + e p ( 孔) 旷( 甄) d t = ； l ，( ( 螭t ) 2 一( 譬) 2 ) d 。十& 。( 。v 2 ( z i 。) 一a b 2 ( z ) ) d z + 1 ，( 2 b ) u 2 d x d t + 厶，h 】时出+ e p ( 墨) + ( 岛) d t 注意到等式 上式可化为 2 b q ( w ，u ) = & 。( ( 啄 1 ) 2 一( 丐) 2 + i v j 2 ) 妇 + 如( 2 ( 。i 1 ) 一伊( z f ) + 扣( 嗣) 】2 ) d t + l ( 2 b 一口z ) v 2 d x d t 对所有的单元求和，得到所需的能量等式 x 2 b ( v ，”) = ，( ( ”西) 2 一( 町) 2 ) + f 2 ) d x ， + f 。( 2 ( z 一o ) 一2 ( 矿o ) + e l “( 圳2 ) d t + 如( 2 b - a ) 护 ( 21 ) 其次，取u = r 对双线性型( 1 3 ) 分部积分： b ，( r ，村) = j ( ( r 哲) 再。一( 冗钌) j + 【r 卜于) d z 十j 毛( ( 日r ) ( 。冲l o ) 一( 口j r ) ( 甄+ o ) + a r ( x , ) l v ( x i + o ) ) d t 十f r ( - v 。一( n 。) + b v ) d x d t ；j k ( ( r ) 再1 一( r 一 + ) j ) d z + j 毛( ( 凸j r ) ( 甄+ 一o ) 一( a r 一刨+ ) ( ) ) 出 + 上r ( - v t 一( 。) + l r o ) d z d t 对所以单元求和，得到另一个能量内积等式 x 口( 只， ) = 。f ( ( r v ) m 一( r ) i 一丐出 + ，t ( ( 。f b ) ( 。一0 ) - ( 。r 。) ( z 。一o ) 一口r ( 。；) 一( z ，) j ) d ( 2 2 ) 0 + ，。r ( 一v t 一( 叱) + b v ) d x d t 塑童塑苎垄兰丝圭兰竺篁塞 。 ：! ! ： 5 3收敛性定理的证明 下面用能量方法证明收敛性定理( 11 ) 取真解的张量积= p t 严s 9 n , p 作比较函数，并对其误差做如 42 的张量积分解将有限元误差分解为e = “一u = “一 i t i 一扣一矿) = r 一日，r = “一u j ，于是q = u u ，有w 1 。；o 一= 叩 一= 0 ，并满足 b ( q ， ) = b ( n ，口) = 1 + 2 + f t ( b n ，v ) d t ，u s ” ， ( 3 1 ) 其中简记 6 = l o ( r t ，v ) d t + ( 【r ，1 w j ) 裂 2 = l ( r 。v ) d t + ( j r ( 墨) 】，v ( x i + o ) ) 由于r 有丰满阶误差估计，因此( 31 ) 右边最后一项也有丰满阶估 计，剩下的困难是估计前两项 取 = 2 1 ，注意丽= 0 ，q ( ，0 0 ) = 0 ，由能量等式( 21 ) ，等式( 3 1 ) 的左边有 2 b ( u ，。) ：| | u ：胪+ 基l i 【叱川2 + i i v 伍v ( x o ) 1 1 2 + 盏1 【i 、面 i ) l i 乙) + ，。( 2 6 一a t ) v 2 d x d t ( 3 2 ) 为了分析等式( 3 1 ) 的右边前两项，先考虑单元上的积分& ，用分 部积分得到 o = 晟( 兄，v ) d t + ( r 】，时) = 厶，( r _ 口1 一丘r v t d t ) d x 十( 喝】，v 。t ) ( 33 ) = 厶。【( r 。，) 再。一( r w ) 7 一j ( f + g f g ) u v t d t d ：r , + ( ( 心】，t 亍) 由于只f g 与m 正交而消失，( 3 3 ) 可简化为 q = ( 置- + l ，略t ) 一( 哼，哆) + 丘( g v t ) d t 再次分部积分变为 r j = ( ( r g “) 一，u 一) ，+ 1 一( r 一g l t + lv + ) 3 十丘( a u ，轨) 出 由于在节点t = t ，上，r 一= g u 一= g u + ，因此 q = 如( a u t ，v ) d t 对各单元求和，并利用y o u n g 不等式得到 i i = | l ( g u 。，t ，) d t i i i i c “t t l l i i i v l t lse l l l v l l l 2 + c ( d h 2 m + 2 d ? + 1 “t i i i 2 ( 3 4 ) 可以类似的处理如，得到： 已 = i l ( ( a f u 一) 一( ( g f g ) u ，v ) ) d t i n r + i i l a 。g l l i 十i l i e 。f a , , 1 1 1 ) - i i l l , 1 1 i ( 3 5 ) 茎e 1 1 1 , , 1 1 1 。+ g ( e ) 印+ 2 d + 1 u 。川2 + h ：2 r a + 2 i i i d 2 + 1 1 1 1 2 ) 前面巴指出，做变换可坚假定2 b a 。 1 ，由( 3 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) 得 到t 2 + n 到- 1 圳2 + m x o ) 1 1 2 + 笛1 f2 + 1 1 1 i i v ( x , ) l l 珊 | | 吒1 1 2 + 1 | b + ( x 一2 + 笛1 f 2 ”2 ，。、 ，= uu u ， e 2 十t 2 ( ， ) r ( ，) = o ( h “+ 1 十州) ，初边值误差都并入到了最后一项取e = ：2 又可消去右边第1 项至此对任何m ，p 0 ，我们已经可得到如下很 好的丰满阶误差估计 嵋i i + i i v ( x o ) i i + i i m i i c ( ”) ( ”+ 1 - i - k p + 1 ) 由此看到，在l 2 ( q ) 范数意义下，此估计是完美的而在一维直线上，它 们只是在所有单元的逆风边界( 即上底和右边) 有估计，而不是在单元 的平行于坐标轴的任何截面上有估计( 在m = p = 0 的分片常数情形 可以) ，这是令人不满意的下面的进一步分析表明，至少在m ，p = 0 ，1 情形，我们利用间断跃度的估计，可以作到这一点 湖南师范大学硕士学位论文 2 l 为了利用跃度的估计，将上述估计对n - i - 1 重复一次再相加，得到 两层积分的估计 i f ”孟。i f 2 + | | u ：i | 2 + i i 【”。川2 - i - i i l v l l l 2 r 2 ( ，k ) ( 3 7 ) 利用一个简单的不等式，也可得到单元下底的值， i i v + t i2 = i i