（基础数学专业论文）几类多项式微分系统的定性分析.pdf

独创声明 y5 9 8 4 2 t 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：周庆中导师签字： 考私 签字日期：2 0 0 4 年千月卫6 日签字日期：20 0 4 年月优日 耋譬作考、导师同意 鼻全文公有 几类多项式微分系统的定性分析 周庆华 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 卒又主要计冤弟一、弟二临界情彤f 的几类行殊的四次多项式微分系统的全 局拓扑结构，以及一类余维2 的高次退化的平面多项式系统的全局结构与分岔 在文献f 1 】中。主要考虑了第一临界情形下的系统 隹y = b 3 3 0 舢b 2 y + b 1 2 x y 。+ b o 。y 3 i 寸= +z 3 + l z 2 +2 +3 、7 及第三临界情形下的系统 2 封+ ，o x 3 + b 2 1 x 2 y + b 1 2 x y 2 + 6 0 s 可3 ( 2 ) i 口= a 0 3 y 3 7 的全局结构，并画出了它们所有可能的全局相图 ( 在( 1 ) ，( 2 ) 中a 0 3 。) , b 0 。本文第二章在此基础上，考虑四次系统，并加上了部分三次项，使系统( 1 ) ，( 2 ) 变成 f 圣：6 1 ，4 i 雪：暑，+ b l 石3 + 。2 2 2 掣+ 鼬z 暑，2 + 。4 矿+ a 6 石3 掣+ 。7 2 2 9 2 + n 8 z 矿+ 锄矿 ( 3 ) f 圣：幻4 i 雪：”+ 口2 2 2 + 。3 茹矿+ q 暑f 3 + 如z 4 + 。6 名3 暑，+ a 7 2 2 暑，2 + 口8 正暑3 + n 9 4 ( 4 ) 屡r 2 m 3 珂仙n 螂4 怕魂+ 0 7 南2 怕怕_ s ， 这样，申于等号右端多项式项数的增加，相应地，讨论系统的全局结构的难度 警大，乒署统1 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 都只有唯一的有限远奇点，都是鞍结点，利用奇点指薮运 鎏，。鼍翘塑至寄在极限环本文在讨论每个系统的所有的无穷远奇点及唯一的有限 远奇点的基础上，画出了它们所有的全局相图，分别有4 3 种，1 2 种和7 种 一圭萼利用p o i n c a r d 变换及判断函数，( 钍) ( 或，( ) ) 的根的情况来讨论系统的无 宵远奇点 一。 。 2 本文第三章讨论了一类余维2 的高次退化的平面多项式系统 i 圣= y + p ( z ，y ) 1 口= q ( g 川 的全局结构与分岔这里p ( x ，) ，q ( x ，y ) 是x ，y 的最低次数为5 的多项式主要 通过定性的分析，讨论系统随参数变化而产生的奇点分岔、局部分岔、全局分岔而 得出系统的全局结构，得到参数平面上向量场的轨线分布图 首先利用正规形理论将上述向量场简化为 圣= 掣 i 雪= # i x + 他掣+ a z “w 卢z n - l y ，d 卢0 其中n = 5 对扎= 2 或竹= 3 的情况，b o g d a n o v 、t a k e n s 、c a r r 等先后进行了局部分岔 研究，而后王明淑、罗定军、李继彬、王现等人对礼= 3 进行了大范围分岔研究 对n = 5 ，陈芳跃利用p i c a r d f u c h s 方程法，得到了同宿轨的分岔曲线本 章在对a = - 1 的情形进行分析时，对于研究系统的奇点分岔、闭轨分岔时，采 用可研究这些问题的典型方法。而在讨论同宿轨分岔时，由于用p i c a r d f u c h s 方 程法比较麻烦，本文仅和用了定性的方法进行分析，得到了完整的轨线分岔结构 关键词：四次系统，高阶奇点，l 临界情形，分岔，全局结构 分类号：0 1 7 5 1 2 3 q u a l i t a t i v ea n a l y s i sf o rs e v e r a lc l a s s e so f p o l y n o m i a l d l i f e r e n t i a ls y s t e m s q i n g h u a z h o u s c i e n t i f i ci n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h e q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fs e v e r a lc l a s s e s o f s p e c i a lf o u r t hp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht h ef i r s ta n d t h et h i r dc r i t i c a l s i n g u l a rp o i n t ，a n dac l a s so f c o d i m e n t i o n - t w oh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rv e c t o rf i e l d i np a r tt w o ，w ed i s c u s st h es y s t e m f 圣= 6 t ，4 口：y ia l z 3 + a 2 2 2 y + a 3 x y 2 + a 4 y 3 + a 6 2 3 口+ 町岱2 矿+ 口8 霉”3 + 口9 ，4 ( 3 )i 雪= +z 3 +z 2 +2 +3 + z 3 掣+ 町岱2 矿+ 口8 霉”3 + 口9 掣4 r f 圣= 加，4 分：”i 吐2 2 2 + 幻z s ，2 + 啦3 + 。5 2 4 + 6 2 3 + 。7 2 2 2 + g 8 z 可3 + 。9 矿 ( 4 ) a n dt h es y s t e m ：2 ：j 。2 2 2 + z 2 + t 可3 + d s z 4 + 口e z 3 ，+ 。r 。2 暑，2 + n s z 3 + 口。，4 ( 。) i1 7 = 7 f o rt h ei n c l u s i o no ft h eq u a d r a t i ct e r m si nr i g h ts i d eo fe q u a t i o n s ，i ti s v e r y d i f f c u l tt os t u d yt h eg l o b l es t r u c t u r e i ne a c ho ft h es y s t e m ( 3 ) ，( 4 ) ，a n d ( 5 ) ，t h e r ei s o n l yo n ef i n i t es i n g u l a rp o i n t ，a n di ti ss a d d l o n o d e a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ft h e s i n g u l a ri n d e x ，t h e r ei sn o l i m i tc y c l ei nt h e m a f t e rt h ed i s c u s s i o no fa l lt h e p o s s i b l e i n f i n i t es i n g u l a rp o i n t sa n dt h eu n i q u ef i n i t es i n g u l a r p o i n t ，w ed r a wo u tt h ep o s s i b l e p h a s ep o r t r a i t so ft h e m ，t h e r ea r e4 3k i n d s ，1 2k i n d s ，a n d7k i n d s i nt h i sp a r t ，w em a i n l yu s et h ep o i n c a r dt r a n s f o r m a t i o na n dt h er o o t so f e q u a t i o n sf ( u ) ( f y r f ( v ) ) i n p a r tt h r e e ，w ed i s c u s sac l a s so fc o d i m e n t i o n t w oh i 【g h e ro r d e rn o n l i n e a r v e c t o rf i e l d j 圣= y + p ( 盘，y ) i 口= q ( o ，) w h e r ep ( x ，掣) ，q ( 。，y ) a r ep o l y n o m i a l so fd e g r e en o tl e s s t h a n5 w es t u d v t h e i rg l o b a ls t r u c t u r e ，l o c a la n d g l o b l eb i f u r c a t i o n s f i r s tw er e d u c et h ev e c t o rf i e l db yn o r m a lf o r m t h e o r y , t h e nt h es t u d yi se q u i v - a l e n tt ot h eb e l o w 拈 【分= 弘l z + # 2 y + 口石“+ 卢z “一1 y ，o 卢0 ，礼= 5 4 f o r 礼= 2 o r 秆= 3 ，b o g d a n o v ，t a k e n s ，c a r te t ch a v eb e e ns t u d i e di t sl o c a lh i - f u r c a t i o n ，a f t e rt h a t ，w a n g m i n s h u ，l u o d i n g j n n ，l i j i b i n ，w a n g x i a ne t cs t u d i e dg l o b a l b i f u r c a t i o n sf o r 竹= 3 f o r 札= 5 ，c h e n f a n g y u eo b t a i n e dt h eh o m o c l i n i c ，h y p e r c l i n i c b i f u r c a t i o nc u r v e sb yu s i n gp i c a r d - h c h s e q u a t i o nm e t h o d s e c o n d l y , w es t u d yt h ec h a n g i n go ff i x e dp o i n t sa n do r b i ts t r u c t u r ew i t ht h e c h a n g i n go ft h ep a r a m e t e r so ft h er e d u c e dv e c t o rf i e l d w eu t i l i z et h et y p i c a lw a y s t os t u d y i n gl o c a lb i f u r c a t i o n s w eo n l yd i s c u s st h ep o s s i b l yb i f u r c a t i o n sa n db i f u r c a t i o nc u r v e so ft h ec a s e 理= - 1 ，a n dd r a wt h eo r b i ts t r u c t u r ed i a g r a m w h e nw e s t u d yi t sg l o b l eb i f u r c a t i o n w eu s ean e wm e t h o d k e yw o r d s ：s i n g u l a rp o i n t ，p o i n c a r dt r a n s f o r m a t i o n ，b i f u r c a t i o n g l o b l es t r u c t u r e c l a s s i 丑c a t i o n ： 0 1 7 5 1 2 5 第一章综述及预备知识 1 1 综述 自从十九世纪后半叶，法国数学家庞卡莱( p o i n c a r d ，1 8 5 4 1 9 1 2 ) 创立微分方程 定性理论的一百多年来，人们对多项式微分系统的研究已经作了大量细致的工作， 并取得了非常杰出的成果 微分方程定性理论，并不借助于对微分方程的求解，而是从微分方程本身的一 些特点来推断其解的性质( 例如周期性、稳定性等) ，因而它是研究非线性微分方程 的一个有效手段，自本世纪以来已成为常微分方程发展的主流 在平面系统= 2 ) 方面，定性理论的发展比较完整，特别是文献【2 】及 3 】对 多项式系统特别是二次系统的发展成果及所应用的方法作了比较全面的概括与总 结但是人们对三次以上系统的研究，很完善的结果并不多见，主要是对一些特殊 情况下的三次系统的研究主要成果如下：对奇点的一般性理论的研究( 如【4 】【5 】) 得出鞍点量计算公式及一类三次系统的可积条件；研究由中心焦点问题跳出极限环 的文章( 如f 1 2 1 1 3 ) 等成功地讨论了一次加三次系统的中心焦点问题；李继彬等利 用p o i n c a r 分支理论研究了一个至少有十一个极限环的三次系统( 1 4 ) ；此外， 还有关于奇三次系统的拓扑分类的文章和关于有界三次系统的文章，有星型结点的 三次系统，一次近似为鞍点或中心的三次系统等方面的文章 对于第一、第三临界情形下的二次系统p d e j a g e r 和j w r e g n 发表了题为 p h a s ep o r t r a i t sf o rq u a d r a t i cs y s t e m sw i t hah i g h e ro r d e rs i n g u l a r i t y 的文 章，得出了比较完善的结果，而对三次系统主要是韩玉良作了一些工作，研究一次 加三次系统极限环存在性情况及个数问题本文第二章就是在前人工作的基础上， 参考了p d e j a g e r 和j w r e g n 的工作，对第一、第三i f 缶界情形下的几类特殊四次 多项式系统进行定性分析 动力系统的理论，起源于对常微分方程的研究，近半个世纪以来得到了蓬勃发 展随着在结构稳定系统的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系统的研究 ( 即分岔理论) 受到越来越多的关注 所谓分岔现象，是指依赖于参数的某一研究对象当参数在一个特定值附近做 微小变化时，它的某些性质所发生的本质变化分岔理论主要研究三类问题：由微 分方程( 或向量场) 所定义的连续动力系统的分岔，由映射所定义的离散系统的分 岔，函数的方程零解随参数变化而产生的分岔前两类称为动态分岔，第三类称为 静态分岔动态分岔理论主要研究动力系统的轨道族的拓扑结构随参数变化所发生 的变化及其规律例如，奇点( 或不动点) 的汇聚与分离及该点附近轨道的变化； 周期轨道的产生与消失，同宿轨、异宿轨( 或环) 的形成与破裂，以及一些更复杂 的动力学行为( 例如混沌态) 的出现与消失等 虽然分岔理论的某些方面可以追溯到p o i n c a r g 时代，但在这方面研究取得长 足进展，只是近3 0 - 4 0 年的事迄今为止，大部分工作集中于平面上退化程度不高 ! 即余维4 ) 的分岔，包括同宿分岔和异宿分岔问题等因而，当相空间维数增大 或系统的退化程度增大时，问题的复杂性大大增加，完整的结果尚属少见 本文第三章主要讨论一类高次退化的非线性向量场的分岔，利用正规形理论 和中心流形理论对向量场进行简化，研究向量场可能出现的奇点分岔、闭轨分岔、 h o p f 分岔、同宿轨分岔，得到完整的轨线分布图 6 1 2 预备知识和基本引理 关于第二章 所谓平面四次系统是指形如 面d x ：口臼z t 矿， u 。 0 1 l + j s 4 面d y 2 。：甭 4 6 泸 的微分方程组，这里的系数a d ，不全为零，并使右端至少有一个为四次多项式 对于完全方程 j 盘d t = x m ( x ，y ) + 垂( z ，y ) = x ( x ，y )19 1 、 i 虫d t = k ( z ，y ) + 田( 茁，y ) = y ( x ，y ) 其中墨。( z ，g ) ，k ( 。，y ) 分别是z ，y 的m ，n 次齐次多项式，m ，n 1 ，圣= o ( r ”) ， 皿= o ( r “) ，( 当r _ o 时) o ( o ，0 ) 是( 1 2 1 ) 的孤立齐点，即x ( o ，0 ) = y ( o ，o ) = 0 ， 且当0 。2 + y 2 1 时，有x 2 ( 卫，y ) + y 2 ( z ，) 0 对应于( 1 2 1 ) ，我们称系统 筹= ( ，可) ，鬲d y = k ( z ，) ( 1 2 2 ) 为系统( 1 2 1 ) 的简略方程( 其中方程右端五。( 石，y ) 和碥( 王，y ) 不可约) 定义l在系统( l 2 ，1 ) 中，当m = n = 1 ，且圣( z ，9 ) 三皿( 正，y ) 兰0 ，奇点 o ( o ，0 ) 叫做线性奇点，否则称为非线性奇点当m ，礼中至少有一个大于1 时，奇 点o ( o ，0 ) 叫做高阶奇点 定义2在系统( 1 2 1 ) 中，o ( o ，0 ) 为( 1 2 1 ) 的孤立齐点，若m = 九= 1 且 对应于( 1 2 1 ) 的简略方程的特征根，如果有一个零根，一对纯虚根，或两个零根 ( 但其线性矩阵不是零矩阵) ，则称o ( o ，0 ) 为系统( 1 2 1 ) 的第一、第二、第三临界 型奇点他们统称为临界情形下的高阶奇点对于临界情形下的高阶奇点o ( o ，0 ) 的阶数是指l “t h em a x i m u mn u m b e ro fc o m m o nz e r o si nt h eo r i g i n ”( 1 j 1 也 就是说，对系统 士= y + p ( x ，) ，口= q ( x ，y ) ( 其中p ( x ，y ) ，q ( x ，y ) 都是次数不低于2 次的多项式) 这样由 毋( o ) + p ( x ，( z ) ) 三。 解出咖( z ) 后( 注意：这里要求( 。) 满足西( o ) = ( 0 ) = o ) ，设 q ( x ，妒( z ) ) = a n x “+ i x 。+ l ， ( a 。o ，【茁】。+ l 表示次数不低于n + 1 次的z 的解析函数，下同) ，则n 就是奇点 o ( o ，0 ) 的阶数 给出系统 及 筹= b 。劫，面d y = + q 2 ( 墨掣) 面d x = 可+ 恳。，9 ) ，害= q ( z ，y ) 7 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 其中o ( o ，0 ) 是( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 的孤立奇点，且b ( z ，掣) ，q 2 ( o ，y ) 都是岛( o ) 内 的次数不低于2 的解析函数，于是当d 充分小时，有下面的结论： 引理1 f 2 4 j对于系统( 2 3 ) ，若在岛( o ) 内存在解析函数y = 毋( o ) 满足 毋( z ) + q 2 ( z ，毋( 石) ) 三0 ，f z f 0 时，o ( 0 ，0 ) 是不稳定结点 ( 2 ) 当m 为奇数时，且n 。 o ( o ，则奇点o ( o ，o ) 为鞍点 如果口2 。+ l 0 ，b 。= 0 ，则奇点o ( 0 ，o ) 为中心或焦点 如果g 2 m + 1 m 或n = m ，且a n 为偶数n m 或佗= n 为奇数n m 或扎= 组成如图( 2 ) 1 ) ，则奇点o ( o ，o ) 的性态 如下确定： 如果k = 0 或b 。0 ，n m ，则o ( o ，0 ) 为退化奇点( 图( 3 ) ) 如果b 。0 ，礼 m 则o ( o ，0 ) 为鞍结点( 图( 4 ) ) j 易。一 孓7 如果一个平面多项式系统 j“ 心 歹j 厶、 ( 1 2 5 ) 关于奇点o ( o ，o ) 的一次近似f 。：) 有一个零特征值和一个非零特征值，但不是 c f oo 1 的形式，他们只有以下七种形式： 0i ( 州州州州州缈( ：) ( 但：= ，其中d ，b ，c ，d 不为零) 这时我们可以经过一个适当的线性变换化为 ( 1 2 3 ) 的形式 3 5 1 其所用的变换如下： j 童= p 2 ( z ，y ) l1 7 = 匆+ q 2 ( 毛y ) 作变换t - - 4d t ，则( 1 2 6 ) 可化为 ( 2 ) 对 忙蒹 9 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 _ 2 8 ) 们们p 扛恳如 + + 彬甜 斗 鲫 1 i = z g ，、ll 掣计舡 扫 b + 1 一d y = = 童 ，、【 作变换z 斗y ，y - + z ，t - + a t ，则( 1 2 8 ) 可化为 j 圣= ：q 2 ( s ，z ) l2 7 = y + ：b ( ，。) 这样就可利用( 1 2 3 ) 的形式和相应结果来解决 ( 3 ) 对 忙三蛩们 ( 其中c ，d 0 ) 这时o ( o 0 ) 是( 1 2 1 0 ) 的l i a p u n o v 型奇点，可作变换 x = z ，y = c x + d y ，或z ：x ，y = 一：x + j 把( 1 2 1 0 ) 化为 雕算嚣州， ( 1 2 9 ) ( 1 2 ，1 0 ) 其中璺( x ，y ) = p 2 咩，一5 x + j y ) ， q 2 ( x ，) = c p 2 ( x ，一：x + y ) + d q 2 ( x ，一：x + 5 y ) 然后利用( 1 ) 的程序处理即可 ( 4 ) 对 ：= 。a x ，+ b y 、捣扛彬) ( 1 2 1 2 ) l 寸= q 2 ( z ，y ) 7 ( 其中a ，b 0 ) 这时可作变换x = a x + b y ，y = y 或。= x 一：y y = y 使( 2 1 2 ) 化为 f 贾= 。x + 扇( x ，y ) 1 p = 国2 ( x ，y ) 其中拿j 乏y ) 、= 口恳( ：x 一；y ? + 6 q 2 ( i l x 一：y ) q ：( ：x ，y ) = q 2 ( i x 一：y ) “ 。 然后在通过( 2 ) 的程序来处理 ( 5 ) 对 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 其中b ，d 0 ) 这时作线性变换x = d x 一切，y = y 或z = x + ：y , y = y 则( 1 2 1 4 ) 可化为 j r 膏= 恳( x ，y ) i p = d y + q 2 ( x ，l ，) ( 1 2 1 5 ) 计们恳q + + 蚵匆 j | = zp ，-，、【 其中岛( x ，y ) = d b ( x + ：y ) 一b q d l x + k y ) ， 国2 ( x ，y ) = q = ( i x + y y ) 然后在通过( 1 ) 的程序处理即可 ( 6 ) 对 ， j 圣= n z + b ( z ，y ) 1 分= 凹+ q 2 ( x ，y ) ( 1 2 1 6 ) ( 其中a ，c 0 ) 这时作变换x = ：而y = 一c x + a y 或茹= a x ，y = 以+ ：y ，使系统( 1 ，2 1 6 ) 化为 贾= 。x + 岛( x ，y ) 【j ，= g ( x ，y ) ( 1 2 1 7 ) 其中垒( x ，y ) = i b ( 。x ，c x + ：y ) ， q 2 ( x ，y ) = 一c p d a x ，c x + ：y ) 4 - a q 2 ( a x ，c x + 。1 y ) 然后在通过( 2 ) 的程序来处理 ( 7 ) 对 寸：= 。a 。x + + d b ，y + + q p d 。z 置, c l z s ， ( 其中：= ) 这时可通过线性变换x = 。，y = 0 。+ y 或z = x ，y = 一 x + y ， 又= 6 y + 恳( x ，y ) i p = ( 口+ d ) y 十国2 ( x ，y ) 其中扇( x ，y ) = 马( x ，一：x + y ) ， g ( x ，y ) = 2 p 2 ( x ，一0 x + y ) + q 2 ( x ，一e x + 】，) 这时系统与( 1 2 1 4 ) 有相同的形式，用( 5 ) 的方法解决即可 关于第兰章 ( 1 2 1 9 ) ( ) 简化向量场的正规形定理和中心流形定理 1 微分方程在奇点附近的正规形 考虑非线性方程 窘= a $ + ，( )( 1 2 2 0 ) 綦宝，俾“，r “) ，( o ) = o ，d f ( o ) = 0 作非退化线性变换z ：t y ，则( 1 2 2 0 ) 化为 。 ”。 雪= ( ? 一1 a t ) y + f ( y 1 1 1 ( 1 2 2 1 ) 记t i a t = j ，则j 为j o r d a n 标准形将v ( y ) 在掣= 0 点泰勒展开，得到 f ( y ) = f 2 ( 3 ，) 十仍以茁表示y ，则( 1 2 2 1 ) 可表示为 主= j ：c + 易( 。) + f 3 ( 。) + - + b 一1 ( 。) + o ( 1 。1 7 )( 1 2 2 2 ) 兄( z ) 王k ，王k 为礼元礼维七次奇次多项式所组成的空间，k = 2 ，3 ，r 1 则有 定理1 ( 正规形定理)设x 矿( 冗”) ( 或( ) ) ，x ( o ) = 0 ，d x ( o ) = z 并 且x 有表达式( 1 2 2 2 ) ，则在原点附近存在一系列变换 z = y + 女( 3 ，) ，k = 2 ，3 ，r 1 ，h k ( f ) 日t ( 3 ，) ， 经过一系列变换( 每次变换后把y 换成z ) ，可将( 1 2 2 2 ) 变成如下形式 士= j z + 巧( 岱) + 碍( z ) + r - + j 翟l ( 上) + o ( 1 = 1 )( 1 2 2 3 ) 其中罐p ) g ，2 ksr 一1 ，g k 是易( 日；) 的补空间算子岛由下式定义 岛：k - k ，l j ( k ( z ) ) = j h k ( z ) 一d h 女( z ) j x ，k = 2 ，3 ，r 一1 。 定义4 微分方程( 1 2 2 3 ) 的歹次截取式( 2 k r 一1 ) 圣= j x + 巧( z ) + 坷扛) + + 巧( z )( 1 2 。2 4 ) 其中曰( z ) g i ，i = 2 ，3 ，j ，称为方程( 1 2 ，2 3 ) 的j 次正规形 2 依赖于参数的中心流形定理 设依赖于参数的向量场已化为能用中心流形定理的标准形式 圣= a z + ，( 。，y ，肛)( 1 2 2 5 ) i 口= b y + g ( z ，y ，肛)( z ，y ，p ) r 。r 8 r p ， 、 7 其中f ( 0 ，0 ，0 ) = 0 ，d r ( 0 ，0 ，0 ) = o ，g ( 0 ，0 ，o ) = 0 ，d g ( 0 ，0 ，0 ) = 0 ，而，9 是 ( z ，口，芦) = ( 0 ，0 ，0 ) 附近的口函数，将参数看作新的变量 i 圣= a x + ，( 茁，y ，p ) 卢= 0( z ，y ，p ) r c r 5 r p i 口= b x + g ( x ，y ，p ) 定理2 ( 中心流形定理)存在一个( 1 2 2 5 ) 的伊中心流形 i 母z 。= ( 雾，y ，u ) l u = h ( x ，p ) ，j zj j ，i 弘i 0 和z = 0 的邻 域矾使得当川 0 和在0 z 1 d 上定义的函数肛= 芦( $ 1 ) ，满足 u ( o ) = 0 ，而且 ( 1 ) 芦= 卢( 。1 ) ，0 0 时，( z 1 ) 0 和光柑依赖于参数 芦的多项式变换，当 0 和点( 。，s ，) = ( 0 ，0 ) 的邻域，使得当 叫 6 时，以在u 内至多有k 个极限环； ( 2 ) 对任意整数 1 j 七，任意常数扩，0 扩 6 ，以及( x ，y ) = ( 0 ，0 ) 的任意邻域u + c u ，存在一个开折系统以，使得x ：在u + 内恰有j 个极限环， 其中川 扩 ( 四)平面上的同宿分岔 设平面上的单参数向量场族 ( 4 ) ：面d x = ( 茁，p ) ( 1 2 3 0 ) 其中口e ”( r 2xr ，r 2 ) ，设的轨道结构如图( 2 ) 所示： 1 4 它有一条初等鞍点的同宿轨r ，r 内部是稳定焦点的吸引域当p 0 时， r 可能分裂为两条分界线( 鞍点的稳定流形与不稳定流形) ，如图( 3 ) 所示； ( 3 ) 在图( 3 ) ( 6 ) 中，分界线破裂的方向与破裂前r 的稳定性相配合，就构成了一 个p o i n c a r d - b e n d i x o n 环域，从而系统鼍。存在闭轨当训充分小时，这个环域 充分靠近原来的同宿轨线我们可以认为闭轨是从r 经扰动破裂而产生的( 或反过 来说，当p _ 0 ，闭轨趋向于r 而成为同宿轨) 这种分岔现象称为同宿轨的分岔， 或简称同宿分岔 1 5 考虑一类四 几类四次系统的定性结构 预备知识 0 掣+ 尸4 ( 删) ，( 2 - 1 1 ) q 3 ( z ，) + q 4 ( x ，掣) 其中曩( 口，y ) 和q ( z ，y ) 是齐i 次多项式，i = 1 ，3 ，4 ，满足砰( 。，y ) + q 2 ( 嚣，y ) 0 ， 如果原点o ( o ，0 ) 是系统( 2 1 1 ) 的高阶奇点，易证系统( 2 1 1 ) 可化为下列两种情 况之一； 如果为第一临界即系统( 2 1 1 ) 的线性部分只有一个零特征值，则为 f 士= 0 , 3 0 。3 + a 2 1 2 2 y + d 1 2 x y 2 + a 0 3 可3 + a 4 0 2 4 + a 3 1 2 3 y 2 w a 2 2 x 2 口2 - - 。a 1 3 2 ：! ，3 + 。4 可4 ( 2 1 2 ) l 雪= y + b 3 0 2 3 + b 2 , 卫2 y + b 1 2 x y 2 + b 0 3 y 3 + b 4 0 露4 + 5 3 1 2 3 y 、 i+ 6 2 2 2 2 2 + b l a x y 3 + b o a y 4 如果为第三临界即系统( 2 1 i ) 的线性部分特征值均为零，则为 i 圣= y + a a o z 3 + o , 2 1 2 2 y + f l 1 2 x y 2 + a o a y 3 十a 4 0 茹4 + a 3 1 2 3 y 雪：b + 3 篡荔y ：三岁舢b 4 一地x 。y 仁， j 雪=o 茹3 + 6 2 1 2 2 + 6 1 2 z y 2 + 扩+ o z 4 + 6 3 1 3 、 l+ 6 2 2 2 2 y 2 - 4 - b , 3 x y 3 + b 0 4 y 4 如果奇点o 是系统( 2 1 1 ) 的唯一有限奇点，而且考虑第一临界十二阶奇点的 情形，则系统( 2 1 2 ) 可化为下述形式 f 士= 加f 4 1 雪：丁，+ n ，。a + 口。z zs ，+ 。z 暑，。+ n 。掣s + 。z 。y + 。，z 。s ，。+ 。，s + 。y t ( 2 1 2 ) j 其中a l ，b r 一 o ) 考虑第一临界十六阶奇点的情形，则系统( 2 1 2 ) 可化为形式 口2：=by十4ya 2 x 。y + a 3 x y 。+ a 4 y 。+ a 5 z ；+ a 6 。，+ a 7 z 。可：+ n 。，。+ 。( z _ 2 ) ”j 雪= 十2+2 +3 +z 4 + 。3 ”+z 2 可2 + n 8 。y 3 + 0 9 暑，4 、 7 其中，b r o ) 考虑第三临界十六阶奇点的情形，则系统( 2 1 3 ) 可化为形式 。2 9 2 + 凸3 。y 2 - ba 4 y 3 f a s x 4 + a e x 3 1 - a t x 2 y 2 + a s x s ，3 - t - a 9 p 4 ( 2 1 3 ) r o ) 1 6 孵姒 训圳 界 m 醐 r q 章 苑，i一懒 十4 扩w 扣 = = p 舯 2 2第一临界十二阶奇点的情形 对系统( 2 1 2 ) ，作标度变换孟= b - 1 ( a x b 3 ) 音， 雪= ( a l b 3 ) 吉， 则系统( 2 1 2 ) 。可化为 立= ”4( 2 2 1 ) i 雪= y + x 3 + a 2 2 2 y + a 3 x y 2 + a 4 y 3 + a 6 x 3 y + a t x 2 y 2 + a s x y 3 + a 9 y 4 、 此系统( 2 2 1 ) 只有唯一的有限远奇点0 ( 0 ，o ) 由引理1 ，由系统( 2 2 1 ) 的第二式右端为零，解得y = 一x 3 + o ( 3 ) ，代入第一 式，得皿( z ) = z 1 2 + o ( 1 2 ) ，则o ( 0 ，0 ) 为左鞍右不稳定结点由奇点指数的性质 知，系统f 2 2 1 ) 没有极限环 下面看系统( 2 2 1 ) 的无穷远奇点 令茁= 1 ：，y = ：，d t = z 3 d t ，则系统( 2 2 1 ) 化为 也= z + a 2 u z + i z 3 u 2 z + a 4 u 3 z + 札矿十，( u )( 2 2 2 ) 【2 = 一i z 4 z 。 其中，( u ) = 一矿+ 0 9 仳4 + 0 8 牡3 + a 7 u 2 + a 6 u ，它至少有一个根为零 再令o = ：，y = 1 ：，d t = z 3 d r ，则系统( 2 2 1 ) 化为 显然0 ( 0 ，0 ) 不是系统( 2 2 3 ) 的奇点，故系统( 2 2 1 ) 的无穷远奇点只需由方 程，( 珏) = 一让5 + 0 9 + a s u 3 + 0 7 u 2 + a 6 u 的根来决定 定理2 2 1 若，( u ) = 0 只有一个实根“= 0 ，则o ( o ，o ) 是系统( 2 2 2 ) 的稳 定结点 证明， 由于，( 珏) = 0 只有一个实根牡= 0 ，且，( + o o ) = 一o o ，( 一o 。) = + 。 则，( 0 ) = a 6 0 作变换= o + 口6 钍，7 7 = o ，d s = a 6 d v ，则系统( 2 2 2 ) 为 1 7 汜 训咖 c = 卜哪 叫 + 0 2 掣 川 + 口 3 刚 拶+ o z + 啦 犯 + 毗 ” + 啦 眨+ 钉 孑毗沪 + 啦 屹+ 0+ 沪 泸+ 扣泸 一“ 1 一 = = 钉 孑 ，、，l p o s i t i o nc o n d i t i o n最恳忍 l 0 = u l u 2 “3 +sn 2 乱1 札2 u 3 。0 ns+ 3 乱1 缸2 = 0 u 3 ns +n 4 u l = 啦 u 3 2 0n s+ a 杜l = 0 u 2 2 u 3 s