（应用数学专业论文）两类非线性抛物方程（组）解性质的研究.pdf

摘要 本文研究两类非线性抛物方程( 组) ：一类退化拟线性抛物方程( 组) 解的存在唯一性；一类非线性抛物方程熵解的存在性。 全文包括五大部分： 第一章是绪论，主要介绍基础知识，基本的应用背景，研究进展和 文章采用的主要原理和方法。 第二章研究了一类退化拟线性抛物方程解的存在唯一性及爆破：第 三章的研究是第二章的推广，研究了一类退化拟线性抛物方程组解的存 在唯一性。在本文第二、三章讨论一类退化拟线性抛物方程( 组) 时， 首先对原始方程( 组) 进行变量变换，化为较为简单的抛物方程。由于 方程的退化性，我们不能直接使用标准的抛物方程理论来证实它古典解 的局部存在性，因此首要任务是把方程转化为非退化方程，既而研究该 非退化方程解的局部存在性，最后处理非退化方程的逼近问题求得原问 题的解。为了证明问题古典解的局部存在性，我们需要找到解的一个( 对) 先验上界，再通过采用文n “中的方法( 正则化方法及s c h a u d e r 不动点理 论) 研究非退化方程解的局部存在唯一性。最后通过嵌入定理、口理论 及s c h a u d e r 理论等方法，处理非退化方程鳃的逼近问题求得原问题的解， 并在一定假设条件下证明了解的爆破。 第四、五章研究了一类非线性抛物方程熵解的存在性。他们分别带 有不同的低阶项，低阶项满足很低的空间要求。通过引入截断函数，利 用解的积分模估计及紧致性理论，证明了方程熵解的存在性。本文在证 明过程中多次运用了s o b o l e v 嵌入不等式，h o l d e r 不等式，y o u n g 不等 式等常见的不等式。 关键词：退化，抛物方程，爆破，熵解，截断函数 a b s t r a c t t i f f sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o nf o rac l a s so fd e g e n e r a t eq u a s i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a n da l l e x i s t e n c er e s u l to fe n t r o p ys o l u t i o n st oac l a s s o fn o n l i n e a rp a r a b o l i c p r o b l e m s t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf i v ep a r t s ： i n c h a p t e r1 ，t h e b a s i c a p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，b a s i ck n o w l e d g e ， a d v a n c e ds t u d i e sa n dt h em a i ni d e ao f t h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，3 ，w ei n v e s t i g a t et h el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o nf o rac l a s so fd e g e n e r a t eq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a n di n c h a p t e r2 ，w ea l s os h o wt h a tu n d e rc e i t 2 j nc o n d i t i o n st h es o l u t i o nb l o w su p f i r s tw en e e ds o m et r a n s f o r m a t i o no ff i m c t i o n w et r a n s f o r mt h ed e g e n e r a t e e q u a t i o n si n t ot h en o n d e g e n e r a t ee q u a t i o n s ；t h e nu s i n gr e g u l a r i t ym a dt h e s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m w ea p p l yc o m p a r i s o nt h e o r e ma n d 妇 s u p e r s o l u t i o n st oo b t a i nt h el o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n s f i n a l l y , b yd e a l i n gw i t ht h ea p p r o x i m a t i o no ft h en o n - d e g e n e r a t ee q u a t i o n s ， w eg e tt h es o l u t i o no f t h eo r i g i n a le q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，5 ，a ne x i s t e n c er e s u l to fe n t r o p ys o l u t i o n st oac l a s so f n o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m si se s t a b l i s h e d t h e yh a v ed i f f e r e n tl o w e ro r d e r t e r m ，e i t h e ri nc a r a t h e o d o r yf o r m ，o ri nd i v e r g e n c ef o r m b yi n t r o d u c i n g t r u n c a t e df u n c t i o n ，w ea p p l yt h ei n t e g r a ln o i t l la n dc o m p a c tt h e o r e mt o o b t a i ne n t r o p ys o l u t i o n s w ea p p l ys o b o l e ve m b e d d i n gi n e q u a l i t i e s ，h o l d e r i n e q u a l i t i e s ，y o u n gi n e q u a l i t i e sa n ds o m en o r m a li n e q u a l i t i e si nt h i sc h a p t e r k e y w o r d ：d e g e n e r a t e ，p a r a b o l i cp r o b l e m s ，b l o w u p ，e n t r o p ys o l u t i o n s ， t r u n c a t e df u n c t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实、创新。的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包吉其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明蒂表示了谢意。 作者签名：楚圭巴 e l 期：鲨i ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定。学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名；璜艳 日 期：山卫i ：s 第一章绪论 偏微分方程产生于十八世纪，是从基本自然规律、应用数学、数学物理以及工程技术 中产生的。随着科学技术的日新月异的发展，偏微分方程在十九世纪得到了迅速发展。偏 微分方程应用很普遍，很多重要的现实问题都可以用偏微分方程及相应的初边值条件来描 述。从数学自身的角度来说，偏微分方程是数学的中心。 抛物型方程是偏微分方程领域中一个重要分支，发展迅速内容丰富，这是由于它能够很 好地描述现实问题，能很好地体现问题在物理、生物、化学或者气象等方面的实际特征。 1 1 退化拟线性抛物方程( 组) 解的存在唯一性和爆破 1 1 1 关于退化拟线性抛物方程 如果一个偏微分方程( 组) 对所含未知函数及各阶导数来说是线性的，则称之为线性 偏微分方程( 组) ，否则称之为非线性方程( 组) 。关于非线性方程，当前研究最多的是拟 线性偏微分方程，这种方程中出现的未知函数的一切最高阶偏导数都是线性的。当然最高 阶偏导数之前的系数可能依赖于未知函数及较低阶的偏导数。 考虑二阶偏微分方程 罢= i o 归i 8 u ) + 6 罢+ d u + ，( f ) ，( o ，r ( 11 ) 其中未知函数“和系数盯，b ，d ，厂是x 和f 的函数。，表示区间。设z c 7 ( 0 ，明是点集 在这点集上g r = 0 ，并且若在区域，( 0 ，t 上仃0 ，t ) 0 ，z 不是空集，则方程( 1 1 ) 看 作是退化抛物型方程。为了使方程( 1 1 ) 的初边值问题是适定的，必须恰当地给出初始和 边界条件。边界条件的给定依赖于系数盯0 ，f x b ( x ，f ) 在8 上的性质。而对于方程( 1 1 ) 总是需要给出初始条件： u ( x ，o ) = s o ( x ) 茗1 。 ( 1 _ 2 ) 1 9 7 4 年，h h r o s e n b r o c k 在讨论复杂的电网问题时，建立了退化微分系统。这是本方 向已知的最早的研究工作。这一分支迅速引起国内外学者广泛的关注，并且出现了系统研 究的专著，这是因为控制系统、管理系统、生态系统、电力系统、工业工程系统等实际系 统中大量涌现退化的情形。 1 1 2 应用背景 近二十多年来，退化拟线性抛物方程( 组) 的研究引起了国内外很多学者的重视，因 为这类方程( 组) 所涉及的问题来源于物理学中众多的数学模型，有很强的实际背景：同 时在这类方程的研究中，由于难度较大，因此正引起越来越多的专家的注意，专家们提出 了不少新的思路和好的解决方法、技巧。 比如，流体在多孔介质中的运动规律( 例如地下水石油，天然气的运动规律) ，当把 重力影响，毛细血管现象，蒸发及透吸等因素考虑在内时，某些数学模型将导致方程： 詈= 昙( 砌) 罢) + 警+ 咄) ， 。， 其中u ( x ，f ) 表示某种意义下单位多孔介质内的含水量。 其他的，如半导体中的电子与空穴流，非线性热传导，燃烧理论中火焰运动规律，神 经轴突出的点脉冲传导，污染问题中对流扩散方程、液晶方程、渗流方程等等 1 1 3 解的存在性和爆破厦相关问墨 偏微分方程的基本问题之一就是研究各种初边值问题解的存在唯一性及渐近性。抛物 方程“整体( g l o b a l ) ”和“局部( 1 0 c a l ) ”解是指解在整个半空间r 0 或在0 点的右侧某 个有限区间存在。一般的非线性抛物方程初值问题的整体古典解通常只能在时间f 的一个 局部范围中存在，即使对于充分光滑的初值也是如此。研究解整体存在性的意义是非常明 显的，对一些重要的方程解的整体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关数值求解方 法的讨论，都要以解的整体存在性为前提。相应的，解的爆破是指“方程整体解不存在” 或者“解的最大存在区间”， 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应，绝热燃烧和爆炸理 论的研究中提出的。自七十年代起，随着气体动力学、激光核聚变和燃烧等邻域的深入研 究，非线性发展方程解的爆破理论引起了研究者的极大兴趣。解在有限时刻爆破是指解或 其某些导数的某种范数在有限时间变成无界的，经典意义下的爆破是指逐点爆破。现在仍 然没有完整的一般化理论，但是对于各类特定的模型都有了许多相应的研究和结论，现今 爆破理论仍然是一个有发展空间的课题。最典型的爆破模型是 “= “+ “9 f u j i t a 【1 】对这个模型做了开创的工作，指数p 1 时在一定的条件下得到了解爆破的性质。 而对于其它一般的非线性抛物方程包括退化的，比如介质疏松方程，p - l a p l a c e 方程，都有 相应的结论。对于很多类型的方程现在都有了很好的结果。通常在研究解的爆破现象时常 常会考虑到几方面的问题：( 1 ) 方程是否发生爆破，即考虑爆破条件；( 2 ) 什么时候发生 爆破，郎考虑爆破时间；( 3 ) 在什么地方发生爆破，即考虑爆破点集：( 4 ) 怎样爆破，即 考虑爆破速率。有时根据实际问题的研究往往还要考虑爆破发生后解将怎样变化，以及数 值计算等问题。 1 1 4 本文研究的一类退化拟线性抛物方程( 组) 本文第二章研究了形如 x 4 v ，= ( v ”) + v 9 1 d x - k v “， ( 1 4 ) 0 的退化拟线性抛物型积分一微分方程，这样的数学模型出现在许多物理和工程实际问题 例如：具有记忆性质材料的热传导，多孔结构粘弹性体的压缩，核反应堆中热交换过程 结构缺陷对催化表面所造成的影响等等。 2 在过去二十年内，这类带非局部反应源的拟线性抛物方程的爆破性质得到了很多学者 的重视和研究。当m = 1 ，口= 0 时，王明新及王元明回中得到这样的结论：当p 1 吼 1 或p l = q l 1j | a 七时，若选取足够大的初值，问题( e ) 的解在有限时刻爆破当m = 1 ， 口= 0 ，p 1 q 1 1 时，s o u p l e t 3 考察了上述方程爆破解的性质，得到了有关边界层大小， 爆破解在边界层上的渐近状态及解的内部一致爆破模式的最优估计；当口 0 时，刘其林 等 4 】讨论了解的整体存在性与爆破，并在一定的初值条件下得到了解的爆破速率。栗付才【5 】 讨论了研= 1 且反应源仅为( u ) a x 的情况，得到了解的存在唯一性和解在限时刻爆破的 i 结论。 栗付才61 讨论了带局部源的反应扩散方程组： “ 一a u 2j n “4 ( x ，f ) 矿( x ，t ) a x ， v f 一v = n “9 ( x ，r ) v 9 ( 而f ) 斑，口，屈p ，g o 具有d i r i c b l e t 边界情况时整体解的存 在性和解在有限时刻爆破。 王明新7 1 考虑了带有其次d i r i c h l e t 边界条件且反应项为非线性局部化反应源项的半线 性抛物方程组解的爆破性质。z h a o y i nx i n g ”考虑了带有n e m n a n n 边界条件，反应项为非 线性非局部化源的反应扩散方程组解的爆破性质。 本文的第二章是受文 4 5 9 3 的启发，是文5 1 中讨论情况的推广和一般化，目的是得 到类同于2 3 中的结果，证明方程存在局部唯一的古典解且解在有限对刻爆破。第三章的研 究又是第二章的推广，研究了类似方程组解的存在唯一性。 1 2 一类非线性抛物方程熵解的存在性及有关问题 1 2 1 应用背景 本文第四、五章研究的问题来源于很多物理、力学问题，如多孔介质中石油的运动规 律【l o l ，电阻率测井问题 1 1 1 【“。 1 2 2 本文研究的一类非线性抛物方程 本文研究了形如：珥一d i v ( a ( x ，t ，v ”) ) + g ( x ，r ，“，v ) = 厂( x ，r ) 的非线性抛物方程。对于上述问题口满足的条件很弱，所以仅在f 工l ( q ) 条件下不可能 得到“r ( q ) ，因此在通常分布意义下没有意义，因此引入熵解。 自2 0 世纪六十年代以来，这类方程得到了广泛研究和认识。熵解的定义在守恒律双 曲组中经常用到，但在椭圆型和抛物型方程中非常少见，为了讨论具p 类解的存在、唯一 性，b e n i t a n ，b o c c a r d 等i l “对椭圆问题引入了熵解的概念，并进行了系统的研究。p r i g n e t 等”4 1 推广了文“的结果到抛物型方程并引入了抛物问题熵解概念，讨论了带有资料的 简单抛物型方程初植问题熵解的唯一性，主要采用了紧致性的知识。 在一般问题中本文第四章加入考虑低阶项为c a r a t h e o d o r y 函数的情况。由于假设条件 放的宽，我们很难找到问题在一般意义下的解，因此引入熵解。这里我们讨论这种情况下 熵解的存在性。文章受到了李风泉【l 卅中方法的启示。同时第五章中研究了带有低阶散度项 的非线性抛物方程，虽与李风泉1 1 1 相似，但是证明方法不同。 i 3 基本原理和方法 在本文第二、三章讨论一类退化拟线性抛物方程( 组) 时，首先对原始方程( 组) 进 行变量变换，化为较为简单的抛物方程。由于方程的退化性，我们不能直接使用标准的抛 物方程的理论来证明它的古典解的局部存在性，阻此首要任务是把方程转化为非退化方程， 既而研究该非退化方程解的局部存在性，最后处理非退化方程的逼近问题求得原问题的解。 为了证明问题古典解的局部存在性，我们需要找到解的一个( 对) 先验上界，再通过采用 文中的方法( 正则化方法及s c h a u d e r 不动点理论) 研究非退化方程解的局部存在唯一 性。最后通过嵌入定理、f 理论及s c h a u d e r 理论等方法，处理非退化方程的逼近问题求 得原问题的解，并在一定假设条件下证明了解的爆破。 本文的第四、五章讨论一类非线性抛物方程熵解的存在性问题时引入了截断函数，采 用了解的积分模估计及紧致性理论。s o b o l e v 空间的引入为求解偏微分方程基本问题提供 了有效途径。本文在证明过程中多次运用了s o b o l e v 嵌入不等式，h o l d e r 不等式，y o u n g 不等式等常见的不等式。 4 第二章一类退化拟线性抛物方程解的存在唯一性及爆破 考虑一类带非局部反应源的退化拟线性抛物方程( 墨2 ) ： z 。咋= ( v ”) + p 1 d x k v 2 o v ( o ，f ) = v ( 吼f ) = 0 v ( x ，0 ) = v o ( x ) z q f 0 f 0 x n 这里口 0 ，p l q i m 1 ，k 0 ， q = ( 0 ，口) ，常数口( 0 ，1 ) ，3 ：o c 2 + 口( q ) ( 0 m 1 ，则o 0 r o x q 记研= ( o ，口) x ( o ，7 1 ) ，q r = ( o ，口) ( o ，f ) ，o f t ，并用磊和趸分别表示它们 的闭包。 定义2 1 存：c e t s ，使得对任意r ( o ，r ) ，函数“0 ，r ) c2 , 1 ( 蜴) n c ( 磊) ， 而且满足问题( 碍) ，n 函数u ( x ，r ) 称为该问题的古典解。如果丁+ = ，则函数“0 ，f ) 称 为该问题的一个整体解；如果o r 0 ，x q ；u o ( 工) = 0 ，x = o 或口。 ( h 2 ) c 2 + p ( q ) n c ( 五) ，0 - ( - o z a + p a 协耐心拈岛， 鲁学却成+ 协批n ) 嚼 两式相减得 鲁盟型警，_ ( ( 0 - - u 8 小a 且n 啪出- k ( c o 。- u 鼽 利用中值定理得： x 8 ( 研+ 占) ( c a - u s ) ，( - u 8 ) 材+ p 如! _ 1 ( 一“。) 威一 z 。【( 聃+ 占) 一， ，+ 幻叩；一1 ) ( 国- u s ) 其中r h ，叩2 ，r 3 均介于出和之间。 根据引理2 2 得到国0 ，f ) “5 0 ，r ) ，0 ，f ) 磊。证毕。 引理2 4 假设 ) 满足条件( h 1 ) ，( 日2 ) ，( h 3 ) ，则问题( 学) 的解( x ，f ) 关 于f 是增函数。 证明：# c o = ( 1 , 1 8 ) ， ，f ) 蜴，对问题( 只) 关于f 微分得： z 铴t = r ( u s + 6 ) “ 一) 一+ 0 p ；出一妇；坳+ + 占) 7 ( k + p o p 尸国出一幻“；一1 ) 即 由( 日，) 幻( + 艿) 7 “；“m x 。( x ，o ) = ( u 0 ) + 万) ( “。+ 似出一砌；) 0 ，x 五 0 o ( 0 ，f ) = o ( a ，f ) = 0 ，r 【0 ，t ， 根据引理2 2 得到国( x ，f ) 0 ，0 ，f ) 西。证毕。 为证明问题( 呼) 的古典解的局部存在性，还需要寻找解的上界。 引理2 5 存在瓦 0 ，有界函数而0 ，r ) ，使得- h ( x ，f ) 是问题( 学) 在既的一个上解。 证明：令痧 ) = x ( 2 2 a 口- ：x ) ，选取适当的常数氕使得 妒0 ) 氛“o ，石 0 ，a 】 o a 3 ， 取s _ ( 幽2 ) 也2 ) “卅【删 n 吉驰) 一r p ) 争， 谁2 口2 ) 。( s 2 a 2 ) “咖7 1 哼1 驰) 删顸f ) _ 【三) 删歹a = 辩删删 0 ， 综上所述j 殆0 ，( x ，f ) q 。 h ( o ，f ) ：o ， ( 巩f ) ：委f ( f ) o ，o s t _ t o ， 1 0 h ( x ，o ) = ( x ) 矗( z ) ，x 五， 由比较定理，h ( x ，f ) 是问题( 等) 在线的一个上解。证毕。 利用引理2 4 ，引理2 5 ，采用与文【1 6 】类似的论证，可以得到问题( 只2 ) 的古典解的 存在唯一性定理。 定理2 1 存在岛 t o ，使得问题( 只2 ) 存在解( x ，f ) 满足c 2 a ( q f o ) n c ( 或) 。 定理2 2 问题( 只2 ) 的解是唯一的。 2 j 1 1 2 6 设0 如 k ，则存在0 占 1 及函数0 ) c 芋( q ) 使得 弘o ) d x ：l ，0 k ，口 0 ，若 初值足够大，则问题( 砰) 的解在有限时刻爆破。 证明：函数庐，j 的定义见引理2 7 ，由 ) c g ( q ) 知：存在常数九 0 使得 一妒” ) 。 取足够大的初值，满足 令( r ) = 击“r 妒( x ) 出，考察问题( 碍) 可得 日( f ) = p x 4 触 0 害卜9 出+ 詈弘9 出一凡口字c 卜9 凼，； = 鲁- ，出+ ( a p ，出声号( 卜，出) 了p - i 一厶口字 _00 二0 ( 2 6 ) 醴， 口 如 型， ) 出 ，o 。p。 ( 占一2 壮) p 砌一 出 p 。p。 + 搿 “ 。“卜o i i 姆 p 。p。 斑 p 。p。 +出 丸 。p。 = 出 。卜。 扩， 一0 一 # 如 p 幽 k：。咻。 + + 出 出 k ! h 九 如 鲁卜9 出+ ( p 9 i 号( p f 出) 了p1 一厶口了1 ( 因为o ) 口口 i 口 一 p 一 - 00。0 争出 长卜r 兰口由叫删9 ， 其中c 为x 8 矽在 o ，a 上的最大值。 因此 州蛇兰口( 去( 1 叫即矿，p 1 ，o 0 ，并q ，并且 扣 ) 出= l 。 定理2 6 假设满足条件( h i ) ，( h 2 ) ，( 风) ，若p q i ，口 0 ，那么只要初 值足够大，问题( 只2 ) 的解在有限时刻爆破。 证明：五，p 0 ) 如( 2 7 ) 中定义，显然存在常数c m 0 。傅 x 。p 0 ) c ，旯妒o ) 一 第三章一类退化拟线性抛物方程组解的存在唯一性 考虑一类带非局部反应源的退化拟线性抛物方程组( 耳) ： x 。v f = a ( v “) + j 石9 d x k z 9 0 z 4 乃= a 0 r ”) + f v 五出一肛 y l a n = 石l 。= o v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，x ( x ，0 ) = z o ( x ) x q f 0 z q f 0 r 0 x q 其中口 0 ， 0 ，p 一 q 一 m 1 ，p l q l m 1 ，k 0 ，q = ( 0 ，口) ，4 ( 0 ，1 ) 为 一正常数，v o ( x ) ，z o ( x ) c 2 + 9 ( q ) ，( 0 - q 一 聊 l 聊 聊m聊 p l q i 聊 1 ，则0 1 。把问题( 月3 ) 化为问题( 口) 如下： x 。k = “7 。+ v 9 d x 一知4 ) 工q f o 0 x z a d t = v r 心+ p “d x - k u 2 1 ) x q ，f o ur o n = v j 。= o u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) f 0 x q 记岛= ( o ，a ) x ( o ，丁) ，q f = ( o ，x ( o ，f ) ，0 f t ，并用q t 和趸分别表示其的 闭包。 定义3 1 存在t ，使得对任意的t ( 0 ，r ) ，函数对u ( x ，f ) ， v ( z ，r ) c 2 。( 岛) n c ( 磊) ，而且满足问题( 霹) ，则函数“( x ，f ) ，v ( x ，f ) 称为该问题的 1 6 一对古典解；如果t = ，则函数u ( x ，f ) ，v ( 五r ) 称为该问题的一组全局解；如果 o r o ，z q ：( z ) ，v o ( x ) = o ，x = o 或口。 ( 日；) ，v o c 2 ”( n c ( 两，o 茁 0 f 0 x q 首先来证明如下的最大值原理： 引理3 1 设函数“( 工，f ) ，v ( x ，f ) c 2 t 1 ( 岛) n c ( 磊) ，并且满足 1 7 x a ! u r c 。o ，f ) “c 2 0 ，r ) p 3 ，t ) v d x - c ，( x ，f 一c 。( x , t ) v 0 x “_ 一h a ( x , t ) a v _ b 2 ( x , t ) s b 3 ( x ，t ) u 出- b 3 ( x ，d v b 。( x ，f ) “ 0 “f 。= v i 。= 0 0 ，) 绋 ，f ) 薪 t “o ，t 】 u ( x ，o ) ，v ( x ，0 ) 0x 五 其中q ( x ，r ) 、包( x ，0 ( f = l ，2 ，3 ，4 ) 是岛上的有界函数：0 s q ( x ，f ) c f ，0 s6 ( x ，r ) e ( 置，c l 为正常数) ( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ) ，贝u u ( x ，f ) o ，v ( x ，r ) 0 ， ，r ) 百r 。 证明；令国= e - l r t l l ，s = g v ，其中k 为大于0 的待定常数。根据题意我们只需要证 明，对v f t ( r o ) ，有国0 ，s 0 ， ，f ) o ，a x o ，r 成立。 用反证法来证明。假设存在r o 警俑 ( z ) 2 c o , ( x ，t ) 一c a ( x ，t ) a c o ( x ，t ) 0 ； 若s ( x ，) 0 ，不等式( 3 1 ) 可以写为： ( _ ) 。q 6 ，；) 一c 1 ( _ ，；) 国e ；) ( c ：q a 一( ；) 。) ( ；，；) 一c 4 s ( _ ，乃 ( 3 2 ) 啪斗古c g 弘筹，卜确 ( x ) “c o , ( x ，t ) - q ( x ，t ) a c o ( x ，r ) 0 。( 3 3 ) 另一方面功( x ，r ) 在点( ；，乃处取得负的最小值，所以有： 0 ) 。q 0 ，f ) 一c 1 ，t ) a c o ( x ，r ) s 0 ， 这与( 3 2 ) ( 3 3 ) 式相矛盾。因此假设不成立，因而有： u ( x ，r ) 0 ，v ( x ，t ) 0 ，( z ，f ) g r 。证毕。 根据引理3 1 我们可以得到如下比较定理。证明方法类同于本文第二章中引理2 3 。 引理3 2 设“d ，r ) ，( x ，r ) 是问题( 日) 的解，假设非负函数c o ( x ，f ) 玎( x ，t ) c 1 ( 岛) n c ( 绋) 满足 工8 ( 国) ，= ( 国+ 占) ( ( ) 且+ f 刃苫西c 一七列) j x 4 ( c f ) ，= ( 留。+ 占) 7 ( ( 功。+ k 瑶t c 一女醒。) 6 国，万f 0 国( x ，0 ) l d o ( 工) ，c 矿( x ，0 ) v o ( x ) 1 9 z q f 0 x q f 0 f 0 x q u c o ( x ，) 6 ，f ) ，盯 ，r ) v a ( x ，f ) 0 ，r ) 磊。 证明方法类同于本文引理2 3 ( 略) 。 为寻找问题( 只3 ) 的古典解的局部存在性，还需要寻找解的上界。 引理3 3 存在瓦 o 删h ( x ，f ) 、矗( x ，f ) ，使得 ( 工，f ) 、啊( 工，f ) 是问题( 学) 在g 的一组上解。 证明：令 ) = x ( 1 2 a r - x ) 。由于p g 1 ，p l g l 1 ，因此印l 1 。选取适当 的常数品玑使其满足条件： ( x ) 岛“o 工( 0 ，口) ， 萨( x ) v 0 工( o ，口) 品口3 9 ( 9 2 a 2 ) 稀 r o 口3 舻( s 2 a 2 ) 嚣- 彘a 3 ， r o a 3 ， 其中s m f o ) + 占】哮彘一日尹( 占2 口2 ) 叩9 峨) 以猁( 咖m 艿 7 哆7 7 ”4 矿1 ( s 2 a 2 ) 尹】 矿( x ) 刁+ 翻哼一口以s 2 口2 ) ) 南不等式( 3 】3 ) ( 3 1 4 ) 可以得到： 2 1 j h 0 ，屁0a 当( x ，r ) ( 占2 a 2 , 口) ( o ，t o 时 扬孙2 幽坝如2 ) 抛) 州( 掰m 玎哆荆一歹a 批) 】 孙2 球2 ) 也2 ) + 扫地) 荆删坝沪歹a 哼1 乳) 删v = a l - r e ( x ) f o ) + j 7 f o ) 由( 3 1 2 ) 知j h 0 。 同理历0 。 综上所述屁0 ，以0 ， ，r ) q r , 。 h ( o ，r ) = o ， ( 口，) = 昙f ( f ) o ，o f 磊， ( 3 1 5 ) h ( x ，o ) = ( z ) 彘u o ( x ) ，x 五， ( 3 1 6 ) h x ( 0 ，r ) = o ，啊( 口，f ) = 当玎( f ) o ，0 - t z v o ， ( 3 1 7 ) 魄( x ，o ) = # ( x ) r o v o ( x ) ，x 五，( 3 1 8 ) 由比较定理，h ( x ，f ) 、啊 ，f ) 是问题( 坪) 在鲲上的一组上解。 利用引理3 2 和引理3 3 ，采用与文类似的论证，可以得到问题( 碍) 的古典解的 存在唯一性定理。 定理3 1 存在t o t o ，使得问题( 学) 存在解“d 0 ，f ) 、v a ( x ，f ) ，满足 ，b c z x ( q f o ) n c ( 或) 。 定理3 2 问题( 霉) 的解是唯一的。 引理3 4 设o 如 0 。 2 4 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 定义截断函数疋( s ) t a s ) = i i l i n 忙，m a x - k ，s ) v 后 o ，j r 且设函数9 t ：r 专丑+ l o ) 2 j 。瓦( j ) 西a 定义4 1v 是q 上几乎处处有限的可测函数，且对v 七 0 有 疋( v ) l 2 ( o ，丁；日j ( q ) ) ，那么存在唯一的可测函数”10 9 ：q 寸r ”，使得对任意七 0 ， 有 v v a v ) 2 z ! v | ( l 口，e - t - q 则我们把v v 定义成珊，记为v v = 。 定义4 2 可测函数 p ( o ，丁；p ( n ) ) 是问题( 0 4 ) 的熵解，若 t a u ) l 2 ( o ，r ；叫( n ) ) 对vk o 成立，且对vt ( o ，r ) ， vk o ， v l 2 ( 0 ，乃咧1 ( q ) ) n 上。( q ) ： j i n t 一) ( f ) 凼+ + 肌。口 ，5 ，v “) v 疋( “一庐) a x a s f ：j 。g ( x ，蚋“) 瓦( “一黼+ f ：n 见( ”一声) , x a s + jn o t ( 一妒( o ) ) 威 定义4 , 3l 2 ( o ，t ；h - 1 ( q ) ) + ( q ) 为l 2 ( o ，丁；日：( q ) ) n r ( g ) 的对偶空间。 4 1 近似方程的解 为了证明原方程解的存在性和正则性，我们先考虑下面的近似问题( 牟) ： f ( “。) ，- d i v ( a ( x ，f ，v ) ) + ( x ，t ，“，v ) = f a x ，f ) q ( o ，r ) k = 0 讹( o ，即 i u ( x ，o ) = 7 ：l ( ) q 近似问题( 只4 ) 满足下列条件： 条件c ：函数列 厂。 ，f 。上2 ( q ) ，且| | 厂。k 扩k ，f 。- f 在l ( q ) i - 条件d ：“o r ( q ) ： 条件e ：g 。是c a r a t h e o d o r y 函数序列，且满足假设条件( 4 _ 6 ) 和( 4 7 ) ，并对任意 ( ，) r x r ”，若有在q 上( j 。，己) 斗( s ，f ) a e ，则 在q 上邑0 ，r ，j 。，六) _ g ( x ，f ，j ，f ) a e 。 那么由文 1 9 】知该近似问题至少存在一个解“。 “。2 ( o ，r ；日j ( q ) ) n c o ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 。 定理4 1 g 。，f 。满足上面的假设条件，u 0 掣( q ) ，若是近似问题( 耳) 的解，则 存在常数c 0 ，满足v n n e i v 瓦( ) 1 2 d x d t l ( 4 8 ) 且 f 卜。i i r ( 。，一( 。) ) + i l 。g ( 1 + l u i ) l l 。：( 。，珂3 ( 。) ) c 。 ( 4 9 ) 证明近似方程( 写) 的两边同乘以南，再分部积分可得 p 毒产+ 弘删击矗出 + 。s g , t , u n , v u n ) 南出出f 取。南拗 令，= # a n ( 石，f ) 对等式左边第一项