（应用数学专业论文）有限交换环上的n元多项式.pdf

有限交换环上的竹元多项式 应用数学专业 研究生刘念平指导教师张起帆 摘要t 有限交换环上关于多项式函数有两个基本问题， 一多项式函数的判定同题 二，有限交换环上的多项式函数的个数同题 本文主要基于对同题一的研究，并由有限交换环的构造可以知道，有限交换环 可以由些有限交换局部环的直和表示，于是就将问题简化到对有限交换局部 环上多项式的判定前人已经在单变量的情况下得出了判定条件。而本文主要 结果是将这些结论进行推广，得到了有限交换局部环上的n 元多项式函数判定 的充要条件 ， 关键词t 多项式函数，有限交换环，有限交换局部环，t e i e h m i i l l e r 提升， w i t t 多项式 p o l y n o m i a lf u n c t i o n si nni n d e t e r m i n a t e so v e rf i n i t e c o m m u t a t i v er i n g s m a j o rla p p l i e dm a t h e m a t i c s m s c a n d i d a t eil i un i a _ n p i n g s u p e r v i s o rlz h a n gq i f a n t h e r ea x et w ob a s i cq u e s t i o n sa b o u tp o l y n o m i a lf u n c t i o n so v e rf i n i t ec o m - m u t a t i v er i n g s ： ， 1 t l 坨s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o raf u n c t i o nt ob eap o l y n o m i a lf u n c - t i o n 2 t h en u m b e ro fp o l y n o m i a lf l i n c t i o no v e raf i n i t ec o m m u t a t i v er i n g t h i sp a p e ri s0 1 1t h eb a s i so ft h er e s e a r c hf o rt h ef i r s tq u e s t i o n w i t ht h es t r u c - t u r eo f 铀i t ec o m m u t a t i v er i n g w ek n o wt h a ta 矗n i t ec o m m u t a t i v er i n gc a l l b ee x p r e s s e db yd i r e c ts u mo fs o m ef i n i t ec o m m u t a t i v el o c a lr i n g s s ow en e e d o n l yt oc o n s i d e rt h ej u d 孽eo fp o l y n o m i a lf u n c t i o no v e rf i n i t ec o m m u t a t i v el o c a l r i n g s t h e r eh a v es om a n yc o n c l u s i o na b o u tt h e 矗r s tq u e s t i o n i nt h i sa r t i c l e i t e x t e n dt h o s ec o n c l u s i o n st o8 e v e r a li n d e t e n n i n 拥 k e y w o r d s ：p o l y n o m i a lf u n c t i o n ；f i n i t ec o m m u t a t i v er i n g ；f i n i t ec o m - m u t a t i v el o c a lr i n g ；t e i c h m i i l l e rr e p r e s e n t a t i v e s ；w i t tp o l y n o m i a l 致谢 本文是在我的导师张起帆教授的悉心指导下完成的，他 的许多重要工作和思想都是本文的基础同时也感谢张起帆 教授与彭国华教授三年来对我始终不渝的关心，鼓励，教诲 和帮助使我顺利完成学业他们的高尚师德，严谨学风和深 邃洞察力给予我深刻的启迪和影响，使我终身受益在此， 向张老师和彭老师表示最诚挚的敬意和感谢! 衷心感谢蒋剑军师兄对我的关心和热情帮助，以及在对 我论文提出的诚挚建议，在此，表示深深的谢意! 感谢所有关心、支持和帮助我顺利完成学业的老师，讨 论班的同学和朋友也感谢我的家人多年来对我的理解和支 持 第一章引言 人们早就知道，有限域上的单变量函数一定是多项式函数( 【8 】) 那么个 自然的问题就是t 任意有限交换环r 上的函数也一定是多项式函数吗? 考虑r = z f z ( f 1 ) 以及其上的函数t 地，= r z = 0 z 0 可以知道，( 不是多项式函数，因为对任意多项式t f ( ) = a o + 口l z + 啦矿+ ( 唧z ? z ) 有f 0 + p ) i f p ) ( r o o d 力，但对尘z f z ，忙+ p ) 雾，( z ) ( m o dp ) 于是就有了相应的问题 1 有限交换环r 上的函数。在什么条件下是多项式函数? 2 环r 上多项式函数的个数? 关于这两个问题，目前已经得到丰富的结论 例如对r = z f z ，k e m p n e r ( 【6 j ) 于1 9 2 1 年得到了其上多项式函数判定的充 要条件。以及多项式函数个数的计算公式此后c a r l i t z ( 1 1 ) 和r o s e n b e r g ( 9 1 ) 分别重证了这个结论而后张( 1 3 1 1 将类似结论推广。得到了多项式函数判定条 件，蒋( 4 j ) 则在此基础上将结果更是推广到了有限交换局部环上 我们在本文中主要讨论同题1 。首先在张( 【1 3 1 ) 的基础上。利用t e i c h m i i l l e r 元 素的性质，解决了特殊有限交换环上n 元多项式函数的判定同题而后在蒋( 1 4 】) 的基础上，得到有限交换局部环上n 元多项式函数的判定条件 同时我们知道，任意有限交换环r 都同构于有限个有限交换局部环的直和。 r = or 因此r 上个函数是多项式的当且仅当该函数在每一局部环忍上 是多项式的，因此对r 上，l 元多项式函数的判定就相应的化简为足上的判定 问题 相应的在确定了多项式函数的情况下，又有了置换多项式的判定及其个数问题 虽然一般的多项式函数理论比置换多项式理论出现稍晚一些，但置换多项式理 第2 页 论依然是多项式函数理论中的的一部分而这些问题一直以来是数论中重要分 支，在组合、图论、编码学密码学等领域有着广泛的应用 第二章预备知识 2 1 基础知识 在引言中提到过利用有限交换环的结构定理。可以将问题1 简化到有限交 换局部环上t o 论。下面先介绍局部环的定义需提到的是此后所指的环都指带1 的环 定义2 1 1 伊彻仅有一个极大理想的非零环叫做局部环仅有有限多个极大 理想的非零环叫做半局部环 由定义可知。每个非零有限环均是半局部环 定理2 i 1 班7 1 ) 设m 是环r 的理想，且m 忌则下列条件等价 j r 是局部环。且m 是r 的唯一桩大理想 2r m = 矿( r ) ，v ( r ) 记为r 的单位群 只m 是冗的桩大理想。且l + m u ( r ) 倒2 1 1 设m 是环矗的极大理想，则商环r m ”为局部环，其唯一极大理 想为朋朋“ 接下来介绍有限交换环的结构定理 定理2 1 2 们耖有限变换环可表示成有限个有限交换局部环的直和 在证明这一定理前，先引入a r t i a 环的结构定理 定理2 1 3 ( 1 例每个a r t i n 环r 可表示成有限个a r t i n 局部环忍的直和t r = r 1 0 o 冠。又若r = 碍0 0 碥。其中冠均是a r t i n 局部环，则 n = m 。且有l ，2 ，n 的一个i 换矿。使得风皇弼( ) ( 环同构) i ；1 ，n 由( 1 6 1 ) 有限环和域即是n o e t h e r 环，也是a r t i n 环，即可证明定理2 1 2 2 1 基础知识第4 页 例2 1 2 设p 是素敷。则z f z 是有限交换局部环。其唯一的极大理想是 p z f z 下面引入第三章中所需要的知识， 定义2 1 2 ( i i 鲫令是锡上有限扩张。令a = 伽k i | z l ，1 ) ， m ；忙k l l z f ， 1 ) 为例，早在1 9 2 1 年k e m p n e r ( 6 ) 就证明了如下的结论t 2 2 已有结论第6 页 定理2 2 2 ，7 劬设，是剩余类茑i ：z g z 上的函数则，是多项式函数，当且 仅当存在1 个z z 上的函数f o ， ，五一l 使得对任意a g , 。z d z 下式成 立 ，扛+ p s ) 暑矗( z ) + 0 ) ( 妒) + + 五一l ( z ) ( 胛) 卜1 ( m o d 矿)( 2 2 1 ) 而后c 盯n t z ( f 1 】) 和r o m n b e r g ( 9 ) 分别用差分代数和代数数论方法重新证 明它，并得到相应的些结果 定理2 2 3 仍刀z r j z r - 函l t ，( z ) 是多项式函数的充要条件是t 对o sr l 且口，b r ，满足口三b ( r o o d ，) ，则 ( 1 ) n p 兰f ( m o d “1 ) ( 3 1 1 ) ( 2 ) 萨兰护( m o d 1 ) ( 3 1 2 ) 现定义如下映射 m ，。：( r p r ) “一( 矗r ) 4 。定义为 m ，。( t 1 1 ) ，培) ；( t f ，甥) ，其中南ell l ，n 力：( r p r ) - r d r ，由w i t t 多项式定义。 ( t ( 1 ，1 一( + 0 + + 耐一1 ) 伪。1 其中t 正i ；1 ，n 对任意o r 。口1 ) 存在唯一的t e i c h m f d l e r 提升记为t 则有。 n 暑t ( m o d 力 由命题3 1 1 可知t 一三一。( m o d ) 现由t e i c h m i i l l e r 提升的定义可知， 一。1 - - t ( r o o d 一) 于是w 。可扩充为 m 一( ( 1 ，甥) = 耐一，。) c o 其中扛l ，) j p ，显然w m 为单射，且为最。的逆映射 而任意口置可唯表示成 o o 口= ，a e t 鲫 于是7 l 可扩充为t n ( z ( 1 ，1 = ( 彳+ 考一_ + + 司，一1 ) 其中0 l ，) 册，以为双射 对映射：( 月p r ) ”一( r p r ) ，可找到相应的函数 ：( 一o ) n 一兄r 3 1 环r p l r 上的忭元多项式判定第1 0 页 得到相应的转换关系 ( t c o p 上r f r w ，”t佃 ( 3 1 3 ) ( r p r ) ”上( r p n ) 可以看到t ；下1o h o m m h ；o 曲o p t m 定理3 1 1 函敷，是从( r f 固4 列r p l r 的p 一函数则，是多项式函数 证明t 定义函数h ：口( ) r r # r ，满足h 一，l 讲目p 由任意a 足可唯表示成 口一啦矿，啦t 鲫 可知对任意a ( o ( r f 劭”，存在t ( oe ( ? ( 1 ) ) n ，。( r d r ) n 使得 a c t ) ；t ( 0 + p s 则p 一函数，可以表示为 ，( 口( d ) = i ( t ( o + p s ) = _ i l ( t o ) 再由3 1 3 可得到如下交换图， ( r f r ) “上r f r m ，。th( 3 1 4 ) ( r p r ) ”二( r p r ) 其中函数妒为有限域上的函数则，= 力。妒。毋。为多项式函数 定理3 1 2 令，( o 是从( r f r ) “到8 咒的函数，则下列条件等价r 例，o ) 是多项式函数 例存在函数让垆， ：( r # 一丑r 一目矽一兄， 3 1 环r d r 上的元多项式判定第1 l 页 其中砉向= 毛l = o ，l t ，j 一1 ，e z + 冲任意的z ，8 j p 下式成立 ，扛+ p 口) 兰 五( 妫+ 墨维i 、k ( 卫) ( ”1 ) h ( p ) k h + + 岛蕾l + h + 毫劫维f o ) ( p 8 1 ) h ( p ) k + ( 3 1 5 ) + 量耐一l 露1 ” 1 ) h ( 鳓) k ( r o o d ) 例存在函数h l k l , k 。+ ：( t o 一0 ) - - + r i ) 一冗， 使得对任意的t 2 1 ，s j p 。下式成立， ，( t + p s ) 耋 籼( t ) + 。暑啦i “h o ) ( 妒1 ) h 0 8 。) k h + + 兰l + 毫= 2 嗡佩( t ) 1 ) h ) k + ( 3 1 6 ) + h + 量= - ih f , k ( 力( 卵1 ) h ( p ) k ( r o o d 一) 证明；( 1 ) 辛( 2 ) 由泰勒展开式。可令 如嘛( z ) 汹1 。慨) k 毫；毋眙研g k 帆) k ( m o dp i ) i 则有 也 。) s j 谚诒夏i 差再。) ( m o d 一一) 得到维产“俩是从( r 一r ) “到j 0 9 一r 的函数，满足3 1 5 ( 2 ) 兮( 3 ) 对i = 0 ，1 ，l l 可令 乜“ = 也 i ( f 一p ( 3 ) 净( 1 ) 由3 1 3 知州k = l “ 是多项式函数，则存在多项式略“k 月h ，副，l 其中i = 0 ，1 ，t 一1 使得对任意的t e p ，8 舻。有下式成立。 如” ( t ) 兰h 。k l h “ ( t ) 兰如，k o + 胛) ( m o a ) 于是有 l i l 乜”t k ( t ) ( 瑚1 ) h ( p ) k 兰上杜”t k p + 尹口) ( 卵1 ) h ( p 8 n ) k ( r o o d ，) 对任意的$ 舻，存在t p ，s 舻，使得z = t + 舢 t 三一。( r o o dp 1 ) 3 2 有限交换环a 上的n 元多项式判定第1 2 页 口j 得i 妒三z - - 一4 ( r o o d 一) ，j ；l ，n 因此由3 1 6 ，( t + 卵) 兰竭( t 4 - p s ) 4 - e 磊啦f 。h ( 舌+ 卵) ( v s l ) h ( 弛。) k h + 4 - 岛。暑l + h + 蠢；2 王啦；” o + p 8 ) ( p s l ) h ( ”n ) k + - i - 研“k ( t + p 8 ) ( p s i ) h ( p ) k ( r o o d 一) h + “+ k f f i - 1 。 可化为- ，三硒- i - ，e h k t , “ 一爿4 ) h ( 一4 ) k 七l + + 七t ；1 + h + 毫司雌沙( z ) ( z n h 一) k + + 研”，k 0 ) ( z l 一坷4 ) h ( $ 。一矧。) k( m o d 一) k z 4 - 上k n f f i - 1 3 2 有限交换环a 上的n 元多项式判定 从现在开始，令a 表示有限交换局部环。它唯一的极大理想为朋，并且 是使朋= t o ) 成立的最小正整数 a i a 4 鲁玛是g 元域。且q = 矿沪是日的特征 引理3 2 1 仃御令口，b a ，并且n 兰b ( r o o d 朋) 则有 言b e 一1 ( r o o d 朋) ，v k 0 例若矿一暑b e - 1 ( m o d 朋) ，对某个七 0 成立，则有口兰b ( m o d 朋) 例口p = 矿4 成立的充要条件为口暑b ( r o o d 朋) 证明，( 1 ) n 三b ( m d 朋) 3 2 有限交换环a 上的n 元多嘎式判定第1 3 页 则存在s m ，使得t 口；6 + o 于是有， ap= ( b + s ) ， = 四6 p - 一 卸 再有p 朋，p l c ：，得到 8 p 暑b p ( r o o d 朋2 ) 可递推得知t 矿兰矿一( m o d 朋) ，讹 0 ( 2 ) 设口= b + 岛其中5 a 由( a 一6 ) 矿= 矿一一6 矿一。得到。 ( a 一矿蔓0 ( m o om ) 即。矿朋 则s 朋否则8 为a 中的单位。则有矿。也为单位。于是得到矿。不属 于朋 ( 3 ) 直接由( 1 ) 和( 2 ) 可得到 现在定义映射- m ：( a a ) “一个 ( 五，矗) = ( 一，4 ) ( 3 2 1 ) 其中f 记为t a ，在州朋中的像显然的由上述引理可知，是良定义的， 又因为 是局部环，所以它是单射 由于朋扣1 朋可以看成是a i m 一线性空间，其中朋o = a 假设d i m f f 1 4 - 1 朋= d ，其中d l = 1 取民l ，盈 为朋仁1 朋的组 基，其中函j 定义了啦j m 在朋朋中的像。则可定义映射如下- 命题3 2 1 映射 d r ：( a 朋) 。= 0 朋望o ( m - 1 朋) + a 3 2 有限交换环a 上的n 元多项式判定第1 4 页 ( 矗，l ；毛1 t 一，毛如；k l ，而慵) 一( “)( 3 2 2 ) 爿 m 鲁l j f f i l 其中d 。羞d 如j a ，毛j 记为如j 在a 中的像，则r 是双射 证明先证明映射是单射，假设存在 ( t 1 1 ；t 2 ，1 ，坛也；t m a ，t n , d n ) a 4 ( 6 l ，1 ；如，l ，6 2 ，出；6 1 ，6 ，如) a d 使得 妻( 壹啦。彰一) ；登( 壹啦。呓一)( 3 2 3 ) = ljffitllj ；i 由于 m i - 1 , t l ， 则有， 。吼。兰吼。( r o o d 朋) 因此可以由引理3 2 1 可得到t l t l 兰6 l ，i ( r o o dm ) 和一= 。 因此( 3 2 3 ) 可简化为 登( 圭啦。一) ；妻( 壹啦j 蟛一) = zj 皇l f f i 2j = l 同样的由于 j 朋，t = 2 ，；j 一1 ，d i ； 则有- 壹4 兰壹q 幻6 r ( m o d 朋。 j = lj = 1 由于a 2 ，l ，a 2 ，如为朋m 2 关于a 朋的一组基，则可得。 疗2 三6 艺4 ( r o o d 朋) j = 1 ，2 ，如 由引理3 2 1 可得 t 2 j 兰6 2 j ( m o d 朋) j = 1 ，2 ，也 3 2 有限交换环a 上的竹元多项式判定第1 5 页 尊三蟛4 ( r o o d 朋一1 ) j ；l 2 ，d 2 再由劬j 朋，j = 1 ，2 ，如，可得 f f i = 4j = l ，2 ，而 于是( 3 2 3 ) 可简化为 妻( 壹啦。一) ：壹( 圭啦。一) = aj = x 鲥j = l 用递推的方法。则可得到 幻兰氏j ( m o d 朋) = 1 ，；j 一1 ，d 这就证明了r 是单射 显然的 、n i a i s j 朋“m i 一一* g d = l ( 可朋) 1 于是r 是满映射n 注由( 3 2 2 ) 可得，l 可由下面的多项式定义t 出 啦j 弼，。 ( 3 2 4 ) - = 1 j = l 如果朋；p a ，由每个d 一1 且可取啦j = 矿一1a = l ，) ，则由( 3 2 4 ) 可推出w i t t 多项式j 矿一+ 球矿+ + - l x n ，与上节中r 的定义一样 命题3 2 2 任意函数妒：小一a ，当r n 一1 时妒( 彳，) 是a 上的多 项式函数 证明t 令毋= f _ 1o 妒o m 。，则可得到如下的交换图。 a n a t w 。什 ( a 朋) “0 ( a 朋) 4 而a 朋是有限域，则可由d 个a 朋【硷，五j 中的多项式给出。即 妒( 牙l ，) = ( 只，l p l ，) ；黾1 ( 孟l ，) ，咒协忙l ，气) ) 3 2 有限交换环a 上的n 元多项式判定第1 6 页 再由映射w f 。和r 的定义，对任意的( 善1 ，0 小有， 妒o m = t o 毋 妒( ，一1 ) 。墨圭啦。( o ”，) ) ，一 i = l j = l 取r 一1 ，则r = s 4 - ( n 一1 ) 则有t 妒( 彳，) 一妒( ( 彳广，( 广4 ) ) 一曼塞啦j ( e j ( z ，) ) 一_ 则当r n 一1 时妒( 彳，) 是多项式函数# 定理8 2 1 令a 是有限交换局部环。其唯一极大理想为朋，且是令 = o ) 成立的置小正整数函敷，：铲_ a 为多项式函数的充要条件为， 存在函数 。b ，k ：小_ a ，其中萎磅= t 岛z 牛使得对任意的z 舻， j z j t 朋”下式成立 一1 f ( x + 0 = ，o ( z ) + (鬼， p ) ( t 1 ) h ) k )( 3 2 5 ) 扛lh 4 - + k l 证明辛当，是多项式时利用泰勒展式很容易证明 # ：令r 是使口r p 一1 成立的正整数由命题8 2 2 可知 。 0 f ，巧) 可由多项式函数( k ，k a 【氍，x 。l 定义得到 则对任意而a ，有厶；而一巧m ，i = l ，n ，因为g 兰妒( m o d m ) 则。 ，( = ，( 4 - 善一) ：l o c z ，) + 謦(，允， ( ) ( l 一玎) h 一巧) k ) = ) + (允，j 。( ) ( l 一) “( z 。一巧) ) 扭lk t 4 - “+ k 置 。g o p ) + 譬( 。倪， o ) 和i 一巧) h 一巧) k )一g o p ) + e ( 倪， 0 ) 和i 一坷) ”一巧) “) z lh + 一| 证毕 参考文献 【1 ll c a r l i t 2 ，f u n c t i o n sa n dp o l y n o m i a k ( ”搬矿) ，a c t aa 一巩9 ( 1 9 6 4 ) 6 7 - 7 8 【2 】z c h e n ，o nf i m c t i o nf r o m x t o 别m z ，d i s c r e t em a t h e m a t i c s , 1 6 2 ( 1 9 9 6 ) 6 7 - 7 6 1 3 1s 弛c h ，p o l y n o m i a lf u n c t i o n s f i n i t ec o m m u t a t i v er i n g s ，c o m m u t a t i v er i 甥 t h e o r y 1 4 lj i a n j u nj i a n g ，g u o h u sp e n g ，q is u n ，o np o l y n o m i a lf u n c t i o m s 州f i n i t ec 0 1 - m t 龇i v er i n 窜 、 5 la i k c b t l i k i n ，l r s l m f s r e v i c h ，a l g e b r ale m s1 1 。s p r i n g e r - v e l a g 。1 9 9 0 【6 la j k e m p n e a ，p o l y n o m i a l sa n dt h o rr e s i d u es y s t e m s ，a m e r , m a t h s o c ， 2 2 ( 1 9 2 1 ) 2 4 0 - 2 8 8 啊a j k e m p n e r ，p o l y n o m i a i so fs e v e r a lv a r i a b l e sa n dt h e i rr e s i d u es y s t e m s ，2 u n s a m e r m a t h s o c ，2 7 ( 1 9 2 5 ) 2 8 7 2 9 8 【8 】r l i d ，h n i e d e r r e i t e