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一类重尾分布的v a r 估计摘要 摘要 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 方法是目前金融市场风险测量的主流方法，因其具有综 合、简洁，实用等特点，问世后不久就受到了各类银行非银行金融机构及一些 大公司的普遍欢迎 v a r 的概念虽然简单，但其度量却是个极具挑战性的统计问题近年来， 国外对v a r 的研究较为深入，计算v a r 的方法层出不穷，国内研究则相对落 后随着中国金融领域改革的进一步深化，透彻研究v a r 的概念及其计算方法 已成为当前风险测量技术的当务之急 目前，计算v a r 有三种主流方法一历史模拟方法蒙特卡罗模拟法，分析 方法，但都有其不足之处很多学者提出用极值理论来度量市场风险。极值分布 方法不需要对整个资产收益分布做任何假设，而是仅仅拟合分布的尾部，从而避 免了模型风险，因此可以较准确地计算极端情况下的v a r 由于实际的金融时间序列数据存在明显的厚尾特征，为此，本文旨在运用极 值理论等相关知识，使用参数一非参数联合方法建立一种新的概率密度函数，在 重尾分布的尾部为正规变化函数的假设下。估计其高分位数。从而得到v a r 的 一种新的估计方法 关键词，v a r 。重尾分布，正规变化函数，极值理论 i 一类重尾分布的v a r 估计 a b s t r a c t a b s t r a c t v a ri st h es t a n d a r dm e t h o dt om a n a g ef i n a n c i a lr i s ka tp r e s e n t b e c a u s e o fi t ss i m p l i c i t ya n dp r a c t i c a b i l i t y , m o s to ft h eb a n k s ，n o n i i n a n c i a lc o m p a n i e sh a v e a d o p t e dt h i sm e t h o dt om a n a g et h e i rm a r k e tr i s ks o o na f t e ri tw a si n v e n t e d a l t h o u g ht h ec o n c 印to f v a ri ss i m p l e ，i t sm e a s u r e m e n ti sas t a t i s t i c a lp r o b - l e mw i t hc h a l l e n g e r e c e n t l y , t h e r ew e r em a n yp a p e r sa b o u tt h ev a rm e t h o d w r i t t e nb yo v e r s p 箍s c h o l a r s n o w a d a y a ，i ti sa l s oa ni m p o r t a n ta n du r g e n tt a s k t oi n v e s t i g a t ed e f i n i t i o na n dc o m p u t i n gm e t h o do fv 抓i nc h i n a u s u a l l yi th a st h r e ek i n d so fm a j o rc o m p u t i n gt e c h n o l o g e s - - h i s t o r i c a ls i m u - l a t i o na p p r o a c h m o n t ec a r l os i m u l a t i o na p p r o a c h a n a l y s ea p p r o a c h ，a n d e v e r yk i n do fv 狃c o m p u t i n gt e c h n o l o g yh a si t sw e a kp o i n t s m o r ea n dn l o r e r e s e a r c h e r sp u tf o r w a r du s i n ge x t r e m e - v a l u e - t h e o r yt om e a s u r em a r k e tr i s k 。 b e c a u s ee x t r e m e - v a l u e - d i s t r i b u t i o nn e e dn o tt op u ta n yh y p o t h e s i so nt h ew h o l e d i s t r i b u t i o no fr e t u r nb u to n l yf i t t i n gt h et a i lo fd i s t r i b u t i o n ，w h i c hi sf i t t e dt o m e a s u r er i s k 8 0i tc a na v o i dr i s ko fm o d e la n dc o m p u t e rr i g h t l yt h ev 矾o fe x o t r e m ee v e n t t h e r et h ec h a r a c t e ro f 。h e a v y - t a i l e d 。e x i s t si nf i n a n c i a lt i m es e r i e s t h e s u b j e c to ft h i sa r t i c l ei sf i n d i n gan e ww a yt oe s t i m a t ev a r t l l et h e o r yo f e x t r e m e v a l u ea n do t h e rk n o w l e d g ew i l lb eu s e di nt h i sa r t i c l e o n en e w p r o b a b i l i t yd e n s i t y w i l lb ee s t 蛐h e db yp 舭铷n e t r i o - i l o n p a r a m e t r i ca p p r o a c h ，a n dt h eh i g h q u a n t i l e o ft h eh e a v y - t a i l e df u n c t i o nw i l lb ee v a l u a t e du n d e rt h eh y p o t h e s i so fi t sh a i li s r e g l l l & rv a r y i n gf u n c t i o n k e y w o r d s ：v a r ，h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，r e g u l a rv a r y i n gf u n c t i o n ，s x t r e l l l e v a l u et h e o r y i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实，创新。的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：越盗 f 1期：2 “：生：1 2 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：毯盆 日 期t：碰f 生f2 第一章引言 2 0 世纪7 0 年代以来，经济全球化和金融一体化的趋势越来越明显，竞争变 得激烈，管制转向放松随着技术进步和金融创新，全球金融市场在提高运作效 率的同时，金融波动也大为加剧日趋严重的金融风险不仅影响了工商企业和金 融机构的正常运作和生存，而且对一国乃至全球金融经济的稳定发展构成了严 重的威胁近年来频繁发生的金融危机已经给全世界的金融机构敲响了警钟因 此，金融风险引起了全球企业，金融机构，政府当局及学术界的密切关注，金融 风险管理成为工商企业和金融机构经营管理的核心能力之一 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 方法是近年来国外兴起的一种金融风险管理工具， 目前已被全球各主要银行非银行金融机构，公司及金融监管机构接受，成为最 重要的金融风险管理方法之一，但国内对这一方法的研究才刚刚起步 一、v a _ r 方法产生的背景 花旗集团的前董事长沃尔特瑞斯顿说过。生活的全部内容就是管理风 险，而不是消除风险金融机构的基本任务之就是管理金融风险金融风险 是现代企业经营中面l i 缶的三大风险一战略风险，业务风险，金融风险之一 金融风险是指企业未来收益的不确定性或波动性，一般指企业未来损失的 可能性。它直接与金融市场的波动性相关金融市场因素如利率，商品价格等， 其变化都会给企业带来风险金融风险主要有如下几种类型一金融市场风险信 用风险，流动风险、操作风险及法律风险其中金融市场风险是指由于利率，汇 率股价等金融市场因子的不利波动而导致的金融资产损失的可能性 在全部的金融风险中，市场风险和信用风险是最主要的两种2 0 世纪7 0 年 代以前，在金融市场价格比较稳定的背景下，人们更多地注意的是金融市场的信 用风险，而几乎不考虑市场风险的因素然而，自1 9 7 3 年”布林顿森林体系” 崩溃以来，浮动汇率制下的汇率利率等金融产品价格的变动日益趋向频繁和无 序2 0 世纪8 0 年代以来金融创新及信息技术日新月异的发展，以及世界各国 金融自由化的潮流使金融市场的波动更加剧烈 由于分散和转移金融风险的需要，金融衍生工具便应运而生1 9 7 2 年，第 l 一类重尾分布的v a r 估计 第一章引言 个金融期货在美国出现，随后金融衍生产品迅速发展，至今已有上千个品种， 而且新的更复杂的金融衍生产品还在不断开发出来然而，当金融衍生工具越来 越多地被用于投机而不是保值的目的时，出于规避风险的需要而产生的金融衍生 工具本身也就蕴育着极大的风险近年来英国奥伦治县政府破产案、巴林银行倒 闭案日本大和银行巨额交易亏损案等，无不与金融衍生工具有关于是，如何 有效地控制金融市场尤其是金融衍生工具市场的市场风险，就成为银行和公司管 理人员，投资人员以及金融监管当局所面临的亟待解决的问题在这种背景下。 v 嘏，方法便应运而生了 v a r 方法是由j p m o r g a n 公司率先提出的当时j p m o r g a n 公司的总裁 w e a t h e r s t o n e 要求雇员每天下午在当天交易结束后的4 点1 5 分给他份一页 的报告，说明在未来2 4 小时内公司全部资产的风险和潜在损失是多大该报告 就是著名的4 1 5 报告。为了满足这一要求，j p m o r g a n 的风险管理人员开发 了一种能够测量不同交易，不同业务部门市场风险，并将这些风险集成为个数 的风险测量方法v a r r 二、v a r 方法的发展历程 v a r 的概念最早由3 0 国集体于1 9 9 3 年7 月在其研究报告衍生产品的实 践和规则中提出，这是监管组织第一次明确地赞同采用v a r 度量与控制市场 风险1 9 9 3 年，国际清算银行接受了风险值( v a r ) 的分析工具，并体现在l 巴 塞尔资本协议( b a s l ec a p i t a la c c o r d ) 中1 9 9 4 年1 0 月，j p m o r g a n 公司为 计算v a r 建立了r i s k m e t r i c s 系统，它能够评价全世界3 0 个国家1 4 0 种金融工 具的v a r 值。从而进一步促进了v a r 的普及 1 9 9 5 年4 月，巴塞尔银行监管委员会同意具备条件的商业银行以内部v 抓 模型为基础，计算市场风险的资本金要求，并具体介绍了v a r 模型及其用于风 险测量的合理性；同年6 月，美联储提出相似的预案；1 2 月，美国证券交易委员 会( s e c ) 建议上市交易的美国公司在披露其信息时应将凰值作为项重要 指标，计算报告期的v a r 值，并将这个结果与市值的实际变化相比较 1 9 9 6 年1 月，巴塞尔委员会发布了一项关予市场风险资本要求的内部模型 方法的修整的建议，进一步奠定了v a r 方法在金融业中的使用地位一金融或 2 一类熏尾分布的v a r 估计第一章引言 。*“ “ “ 财务风险的报告将逐步以v a r 为基础公布同年9 月6 日，美国三大金融管理 机构t 财政部货币监管署，联邦储备系统，联邦存款保险公司联合作出决议。从 1 9 9 8 年1 月1 日起美国所有银行必须实施v a r 风险管理方法 目前，v a r 已经成为金融市场风险测量的主流方法，是国际上风险度量的 标准 三、v a r 方法的研究现状 自1 9 9 4 年1 0 月j p m o r g a n 公司公布了r i s k m e t r i c s 体系后。国内外学者 即对v a r 进行了深入广泛的研究 尽管瓜的概念很简单，应用广泛，但为了系统地描述和测量风险，它的度量 却是个相当复杂的统计问题鼢k m e t r i 在其第一版技术文件中对v h r 的原 理做了详细的阐述，提出了历史模拟方法，方差一协方差法、蒙特卡罗方法；其后又 对如何处理实际分布的非正态性等问题进行了补充和改进在此基础上，b u t l e r ， s c h a c h t e r ( 1 9 9 6 ) 提出了基于核估计的历史模拟；b o u d o u k h 。r i c h a r d s o n 。 w h i t e l a w ( 1 9 9 8 ) 提出了基于指数加权的历史模拟法；h u l l ，w h i t e ( 1 9 9 8 ) 提出 了另一种调整历史数据的历史模拟法；j e r e m y ，b e r k o w i t z ( 1 9 9 9 ) 给出了评价 v a r 的新方法；d a v i dl i ( 1 9 9 9 ) 在原有二阶中心矩的基础上提出用分布的三阶 中心矩，四阶中心矩确定置信区间的方法，并提出了使用四阶矩统计量计算v 嘏 的新方法；p i e r r eg i o t 讨论了应用a r c h 簇及在多种分布假设下的v a r 建模 方法；d o w dk e v i n ( 2 0 0 1 ) 提出了在持有期较长时的v a r 计算方法此外，部分 学者也提出了一些非参数估计的方法，如h u t c l l i 玎n 的学习网络一人工神经网 络模型、r u b i n s t e i n s 的隐含双叉树、m a r kb r o a d i e ，j e r o m ed e t e m p l e ，e r i c g h y s e l sa n do l i v i e rt o r t e s 的核回归估计法、d a v i db a t e s 的非线性广义最小= 乘法等 随着美国股票市场的崩盘，欧洲货币体系的瓦解和亚洲金融危机这些极端事 件的发生。学术界开始将关于v a r 的研究转向了极端事件的风险建模d o w d k e v i n ( 1 9 9 9 ) 提出了v a r 计算的极值方法，g e n c a y 等( 1 9 9 6 ) 用极值理论给市 场回报的极端运动建模，开辟了将极值理论用于风险管理的先河随后，一些学 者将这方法用于其它的股票市场研究，取得了很好的结果 3 一类重尾分布的v a r 估计第一章 l 言 随着国际上对金融风险管理的重视和国外学者在v a r 方面研究的逐步深 入，国内也开始了对v a r 的研究国内的文章主要集中在介绍国外学者的研究 成果，即v a r 的概述与测算上，对v a r 在我国具体领域的应用的研究正逐年深 入 ， 国内对v a r 的研究最早始于1 9 9 7 年，以郑文通发表的金融风险管理的 v a r 方法及其应用为标志在引入研究v a r 基本原理方面。较有代表性 的有，姚刚( 1 9 9 8 ) ，郑文通( 1 9 9 9 ) 刘宇飞( 1 9 9 9 ) 、张尧庭( 1 9 9 8 ) 詹原瑞 ( 1 9 9 9 ) 、陈之楚等( 2 0 0 1 ) 在对v a r 方法的改进及其应用方面，比较有代表性 的有，范英( 2 0 0 0 ) ，杜海涛( 2 0 0 0 ) ，田宏伟，詹原瑞，邱军( 2 0 0 0 ) ，马超群 ( 2 0 0 1 ) ，王春峰等( 2 0 0 0 ) 作为国内最早涉足金融工程和金融风险管理领域的 少数学者之一，王春峰对v a r 进行了系统深入的研究，在理论和实证方面做了 大量卓有成效的工作，于2 0 0 1 年出版了专著一金融市场风险管理，第一次 全面系统地介绍了以v a r 为核心的风险测量方法，并且反映了国际上金融市场 风险管理领域的最新理论发展和应用动态，将国内v a r 的研究推向了个新的 高度 四、本文的主要研究内容 _ 般而育，研究v a r 可以有两个角度一是提出v a r 新的定义，对现有的 v a r 定义的局限性有所突破；二是提出新的v a r 计算方法，或对现有的方法进 行改进，取长补短本文主要是从第二个角度进行研究的从统计观点来看，做 为资产组合收益分布的分位数， c a r 关注的是尾部损失，研究v a r 最主要的挑 战，就是对基础的损失或收益分布尾部拟合个好的模型以及对模型构造一种好 的估计，使得在该估计下，v a r 容易计算但是，当资产组合收益分布具有重 尾特征时。v a r 的估计变的非常困难本文讨论参数一非参数联合方法建立的 一种新的概率密度函数，在重尾分布的尾部为正规变化函数的假设下。估计其高 分位数，从而得到v a r 的一种新的估计方法 4 第二章金融风险管理的、厂a r 方法 一v a r 的概念 2 1v a r 的定义 v a r 是在险价值( v a l u ea tr i s k ) 的简称p j o r i o n ( 1 9 9 7 ) 给出了被学者 们所普遍认可的定义t 风险值v a r 是指在正常的市场波动下。某一金融资产或 证券组合的最大可能损失更确切地是指，在一定概率水平下( 置信度) ，某一 金融资产或证券组合在未来特定的一段时闻内的最大可能损失作为一种测量方 法，v a 武方法就是使用合理的金融理论和数理统计理论。定量地对给定的资产 ( 组合) 所面l 临的市场风险作出全面的度量用数学语言表示为t p ( a p w r ) = 1 - - p( 2 1 ) 其中，a p ：某证券组合在定持有期t 的价值损益； p ：给定的概率一置信水平i c a r ：置信水平p 下的处于风险中的价值一可能的损失上限 ( 2 1 ) 说明。可以以概率p 保证，在将来的某段时间里，损失值不会超过v a r 值例如，某一投资公司在1 9 9 4 年置信度为9 9 的日v a r 值为3 5 0 0 万美元， 根据v a r 的定义，其含义是指，该公司可以以9 9 ，的可能性保证，1 9 9 4 年每 一特定点上的证券组合在未来2 4 小时之内。由于市场价格波动而造成的损失不 会超过3 5 0 0 万美元 从确凰定义可以看出，持有期和置信水平是v a r 的测量中的两个重要参 数 1 持有期的选择持有期是计算v a r 的时间范围，可以是1 天，1 0 天或 1 月合理的持有期往往要考虑四种因素，流动性，正态性，头寸调整和数据约 束般国外的商业银行由于其投资组合变动频繁，以每日为周期，而诸如养老 金之类的投资组合由于调整缓慢，般选取个月的时间同隔巴赛尔银行监管 委员会在这方面采取了比较保守和稳健的做法，要求银行以两周。即l o 个交易 5 一类重尾分布的 c a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 日为持有期限在实际应用中，如果收益率独立，粗服从正态分布，那么t 日 的 c a r 值等于行乘以每日 c a r 值，这就是著名的行规则 2 置信水平的选择置信水平的选择带有一定的随机性，大体在9 5 到 9 9 ，t 之间。置信水平越高，计算出的v a r 越大在实践中。金融机构根据其v a r 的具体用途来选择置信水平，当考虑到v a r 的有效性时，需要选择较低的置信 水平；而内部风险资本需求和外部监管要求则需要考虑选择较高的置信水平l 此 外，对于统计和比较的目的需要选择中等或较高的置信水平巴赛尔银行监管委 员会选择的置信水平是9 9 二，v a r 方法的应用 v a r 方法的众多优点，决定了它在金融风险管理中有着广泛的应用，范围涉 及证券公司，银行、养老基金及非商业企业等1 9 9 5 年。w h a r t o n c i b cw o o d g u n d y 的调查显示。2 9 的美国非金融集团采用v a r 评估衍生产品的风险 i n s i t i t u t ei n v e s t o r 杂志的调查显示3 2 的被调查集团采用了v a r ，而纽约大学 同期的调查指出6 0 的养老基金管理公司采用v a r 方法控翩风险 具体而言，v 嘏，方法在以下几个方面得列了广泛应用， ( i ) 风险控制 利用v a r 方法进行风险控制可以使每个交易员或交易单位都能准确地知道 他们在进行能够多大风险的金融交易，并且可以为其设置风险限额。以防止过度 投机行为如果严格执行v m 管理，些交易的重大损失也许可以避免例如， 在著名的美国o r a n g e 县政府破产案中，如果在发生巨额亏损前，投资人计算该 投资组合年期的9 5 _ ；的v a r 值则会发现，如假设投资收益服从任意形式的分 布，则凰值为1 1 亿美元，如假设服从正态分布，则v a r 值为1 2 亿美元 ( 2 ) 绩效评估 在金融投资中，高收益总是伴随着高风险若没有有效的绩效评估体系，交 易员就很有可能不惜冒巨大风险而追求巨额收益同时，金融机构也要有有效客 观的绩效评估体系对其业绩进行真实的评价目前一种广泛应用的业绩评价指标 是。风险调整的资产收益指标r a r o c 。r a r o c 一资本收益r o e c a r ， 它可以较真实造反映交易人员及金融机构的经营业绩，有助于限制其过度投机的 6 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 行为，使其在合理的风险范围内为公司谋取最大的利益此外，v a r 也可以用 于对投资项目的绩效评估 ( 3 ) 金融监管 v a r 已广泛应用于金融监管的实践1 9 9 5 年4 月，巴塞尔委员会公布的 有关在资本充足率协议中纳入市场风险因素的补充文件中规定，从1 9 9 7 年 年底开始，其成员银行在设置应付风险的资本金额时除考虑信用风险外。还要考 虑市场风险在计算市场风险时，成员银行可以采用巴塞尔委员会制定的标准计 算方法，也可以采用自己的内部v a r 模型、 2 2v a r 模型的计算方法 一一般分布下v a r 的计算方法 要计算风险值v a r ，必须知道资产组合收益的概率密度函数或分布函数如 果能够拥有或根据月f 史数据直接估算出投资组合中所有金融工具的收益分布。那 么作为整个组合收益分布的分位点的v 搋值也就很容易得到了 设个投资组合的初始价值为w o ，在持有期内收益率为r ，则其期末价值 为w = w o c l + a ) 若r 的期望为弘，标准差为盯，且在给定置信水平p 下的该 投资组合的最低价值为w = w o ( 1 + 形) 那么可以根据 c a r 的定义，阿橱 对于收益率期望的最大可能损失，即相对v a r 为， y o 冠兄= e ( w ) 一w 一一i ( r + 一 着不以收益率的期望为基准，可定义绝对v a r 为 l ，n 冠 未w o w = 一j 矿 从上面的定义可以看出。计算v a r 实际上相当于计算投资组合的最低价值 或者最低收益率彤如果已知资产收益的概率密度函数为i c w ) ，则在置信 水平，下，投资组合的最小价值矸，满足t p = f 2 i ( t t ，) d w 7 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 或 1 一p = lf ( w ) d w j 一 这一方法对任何分布都有效，无论是离散的还是连续的，厚尾的还是轻尾 的但是，一般是未知的 二，正态分布下v a _ r 的计算方法 假设投资组合收益的分布是正态分布 记标准正态分布的密度函数妒( e ) ，w = w ；( 1 + r ) 通常p 为负值，一 般记为一i r i 记n ( 称为标准正态偏离) 为 一n ：坐掣( a o ) ( 2 1 ) 口 则在给定的置信水平p 下，有， t 一仁伽) d w = r 。而打一仁荆如 因此，求解v a r 就转换成寻求偏离n 使得上式成立 如果上述参数胁仃都是基于天p a _ i ：的时问间隔计算出来的，那么根据、，亍 准则及( 2 1 ) 式，间隔时间为t 的相对v a r 和绝对v a r 分别为 v a r r = 一w o ( 。一p ) = w o a a v - 瓦 v a r a = 一w o w 。= w 乞( a 盯 t p a t ) 这种方法可以推广到正态分布和其它的累积概率函数，其中所有的不确定性 都体现在n 上 三未知分布下v a r 的计算方法 v a r 实际上是个统计估计量，对风险因子的分靠的不同假定及其推算资产 组合价格变化的分布的不同的方式，相应地产生了不同的计算方法具体来说， 分为三种t 非参数法参数法和半参数法非参数法包括历史模拟法( h i 8 o r i c a l 8 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 s i m u l a t i o na p p r o a c h ) 、蒙特卡罗模拟法( m o n t ec a r l os i m u l a t i o na p p r o a c h ) ；参 数法包括分析法( a n a l y s i sa p p r o a c h ) ；半参数法包括极值理论( e x t r e m ev a l u e t h e o r y ) 等 1 ，历史模拟方法 历史模拟方法是最简单直观的一种，其核心在于，在假设投资组合未来的损 益分布与过去是一致的前提下，根据市场因子的历史样本模拟资产组合的未来损 益分布，再利用分位数给出一定置信度下的v a r 估计例如，为计算某资产组 合在9 5 置信水平下的日v a r 值，只要将该资产在过去某段时间内的日实际损 益值按从小到大排序，然后从最小收益期起，取该序列的5 分位数，再取其绝对 值，则这个绝对值就是所求的v a r 值 历史模拟方法主要有两个优点 ( 1 ) 该方法不需要对资产组合的损益作任何假设，计算时简单直观，易于实 施而且有效避免了正态和独立性假设的局限性 ( 2 ) 该法是一种非参数全值估计方法，可较好地处理非线性，市场大波动的 情形 同时。历史模拟方法也有以下缺点- ( 1 ) 历史模拟法假定市场因子的未来变化与历史变化完全一致，服从独立同 分布。概率密度函数不随时间而有明显变化故面，历史模型方法只有在市场较 为平稳的时期才能取得较精确的v a r 值 ( 2 ) 历史模拟法需要足够多的历史数据，面实际中，一方面金融市场很难有 足够多的数据。另方面太长的历史数据无法反映未来情形 一 ( 3 ) 由于v a r 估计主要使用的是尾部概率，而代表真实尾部的历史样本观 测值的数目可能更少，从而会造成计算出的v a r 值波动性较大 ( 4 ) 难以进行灵敏度分析 2 ，蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法和历史模拟法很相似，都是通过由大量的样本模拟的损益分 布来估计v a r 的所不同的是。历史模拟法是直接根据历史数据来模拟市场因 子的未来变化情景，而蒙特卡罗模拟法是选用适当的数学模型，利用统计方法估 9 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 计厉史上市场因子的参数后来模拟市场因子未来的变化的 蒙特卡罗的主要思路是，重复模拟价格走势，使模拟值包括投资组合的大部 分可能值这样进行大量的模拟。使得投资组合价值的模拟分布将收敛于投资组 合的真实分布，在此基础上，计算出v a r 值例如，用蒙特卡罗模拟法估算单 一资产风险价值的过程主要有- 1 ) 、模拟市场因子的价格变化路径 选择描述资产价格变动的动态模型。如最为常用的几何布朗运动模型 d s t 一s t d t + o t s t d z 其中，最为时刻t 的价格变量，出一n ( o ，出) ，m 和砚代表时刻t 的瞬间漂 移和波动 在实践中，将上式进行离散化，在有限间隔t 内可近似表示为。 & ；s t l ( u a t + v e v 佤) 其中随机数一( o ，1 ) ，对于给定的岛，重复上式n 次，直到岛押= 岛，( 即 t + n t ) 为止， 2 ) 、计算v a r 模拟出价格变化路径后，可以确定资产组合价值变化的分布，从而求出v a r 具体计算步骤为 选择个随机过程和其中随机变量的分布。并估计其参数； 产生随机数列岛( i = 1 ，n ) ，求出价格序列s 0 l ，0 = 1 ，n ) ； o 利用价格序列估计组合价值r 佃= 斥及其变化足佃= a p t i 重复国两步。达到模拟的要求( 如需要1 0 1 个数据量) 得到资产组 合价值变化的分布辟。，碍p ，再根据特定的置信水平，由分位数就可以 估计出r 蒙特卡罗模拟法的优点在于to 可以产生大量的情景，比历史模拟法更精 确和可靠；是一种全值估计法，可以处理非线性大幅波动和厚尾问题；o 可 以模拟资产损益的不同行为( 如，白噪声自回归和双线性等) 和不同分布，应 用灵活 1 0 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 其主要缺点在于，计算量太大、计算时间长，比历史模拟方法更复杂； 产生的数据序列是伪随机数，可能导致错误结果； 赖于特定的随机过程和 所选择的历史数据；囝具有模型风险，一些模型不需要限制市场因子的变化过程 是无套利的 由于其全值估计无分布假设等特点及处理非线性和非正态问题的强大能力 和实际应用的灵活性，蒙特卡罗方法仍是目前度量市场风险最主要的方法 3 分析方法 分析方法利用资产组合的价值函数与市场因子间的近似关系市场因子的统 计分布简化v a r 的计算 根据投资组合价值函数的不同形式，分析方法可以分为两大类t 一种是d e l t a 类模型，另一种是g a m m a 类模型在d e l t a 类模型中，投资组合的价值函数均 取一阶近似。g a m m a 类模型中，资产组合的价值函数均取二阶近似 在此类模型中。d e l t a 一加权正态模型，即r i s k m e t r i c s 方法，是最具 代表性的类，它的主要假设是 假设1 资产组合的价值函数p ( t ，z ) 取一阶近似( 即6 ) ，它对每个自变量 取一阶导数。巩= 墅笋，。，= l 等皆，等掣，写警l 。高阶导数设为 零 假设2 市场因子回报的协方差阵耳的每个元素 a i d ( t ) = 雌( r “一舫一h ) 幻。一肺一如) ， 2 2 。“噍i r “一舫一似1 八巧。一肺一，b j ， 瑚 其中“一a t ( 1 一a ) ( 0 o ) 时为f r d c h e t 分布，当f = 一l a ( o 0 ) 时为w e i b u l l 分布， 当= 0 时g u m b d 分布其中f ( 或口) 称为极值指标 由f i s h e r - t i p p e t t 定理嗣可知，无论原始数据的分布是什么形式，其极值 的渐进分布一定会是g e v 分布 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 般来讲，极值理论中有两个基本模型t 传统的块最大值模型和超闲值分布 模型( p o t ) 传统的块最大值模型要求将样本分成许多块，再挑选出每一块中 的最大值来建模超闽值分布模型( p o t ) ，是针对样本中超过一个高门限的 观测值来建模的。可以有效的运用较小的样本，是目前在实践中最有用的模型之 极限理论表明当f m d a ( h ) 时。对于某一充分大的阈值牡。x 的超额 数的分布函数 r ( 口) = p 僻- - u y l x u ) = f ( y f + u 矿) - f ( u ) ( 2 1 2 1 ) ( 其中0 y x o u 。f 的右端点知= s u p x r ，f ( z ) 0 ，当棚寸，z o ；而当 0 ；口 0 为待估参数 d e n i e l s s o n 对此提出了改进办法，给出分布函数的二阶扩展形式t f ( x ) 1 一a x - a ( 1 + b x - # ) ( 口，p 0 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中a 和b 为尺度参数；a ，p 为尾部指数，它们都是需要估计的统计量如果 1 一f ( z ) 是正规变化函数( 见3 3 ) ，根据。二次子样试算法。可以得到p 分位 数的估计 一+ 1 ) ( 南) 啦 ( 其中，鼍。+ t i 为样本的肘+ 1 个降序统计量) ，从而得到v a r 的估计 2 ) 厚尾分布的尾部拟合与分位数估计一完全参数方法 根据( 2 4 1 ) 和( 2 4 2 ) 可知，若茁 ，则有 f ) ( 1 一f ( t ) ) g ；扛一) + f ( u )( 2 2 6 ) 选择合适的阈值“后，采用( n 一虬) n 做为f ( u ) 的经验估计，代入( 4 2 6 ) ， 即得f ( 功的尾部估计 鼢= l 一等( 1 + ；丁x - - u ) 靠 ( 2 2 7 ) 其中，肌表示超过牡的样本的个数，声为毛p 的极大似然估计 给定置信水平p ，由( 4 2 7 ) 即可反解出p 分位数的估计 毫譬( ( 掣) 毒一) 继而得出v a r 的估计 极值理论不需要考虑风险因子变化的整个分布函数，直接运用极值理论对其 尾部分布进行拟合，它可以准确地描述分布尾部的分位数。并具有解析的函数形 一类重尾分布的v a r 估计第二章金融风险管理的v a r 方法 式，计算简便丽且，与其它v a r 方法不同，极值理论不需要对观测值服从的 分布做出任何假定，同时强调了大多数金融时间序列分布的非对称性，解决了样 本以外的分位数估计问题，有利于估计极小的概率条件情况下的v a r 不过，由于v a r 是收益分布的极值分位数。在实际操作中，如果历史数据 比较少，使用极值方法对v a r 进行估计也不是很准确，所以，一般来讲，极值理 论适用于显著水平小于o 0 1 的尾部估计当显著水平超过0 0 5 时。其误差已经 大于正态分布估计的误差 极值估计方法中关于极值指标的估计也是个理论研究的热点问题，有许多 问题有待进一步研究 第三章重尾分布理论 3 1 金融资产的重尾现象及其产生的原因 对于金融市场，尤其是对股票市场的价格变化或收益率变化进行统计学的研 究从二十世纪初就开始了。但直到1 9 6 4 年奥斯本绘制股票市场收益率的密度函 数时。才第一次明确地认定股票市场的收益率分布是近似正态的。从此理论届基 本上接受了近似正态的结论 一 在假定资产价格变动和收益率服从正态分布的条件下，可以建立简洁的模 型，同时保证了模型可以容易地利用传统的分析工具加以处理但是对正态假设 所预设的市场交易方式和市场信息传递方式过分苛刻，在保证了模型简洁性的同 时，也破坏了模型的有效性，使模型对现实世界的描述出现偏差；尽管模型总能 得到漂亮的结果，但这些结果却常常与实际情况南辕北辙 随着对金融市场研究的深入，以及些新型金融分支科学如行为金融学的兴 起，人们对经典金融理论的许多假设提出了批评，面这些批评所关注的正是厚尾 产生的原因这些批评主要集中在以下几个方面t 市场交易的参与者拥有遇然不 同的市场信念和预期；金融市场交易者对信息的反应通常具有滞后性；金融市场 交易者的风险态度不一样；金融市场信息产生与传递是非均匀的金融市场不是 孤立的系统，是处于整个社会经济结构中的，它本身是社会市场体系的个组成 部分，它要受金融市场本身的内在信息，还有大量的社会经济攻治等方面信息 的影响，更重要的是，随着经济和金融的日益全球化，金融市场不仅受到本国经 济攻治形势的影响，而且越来明显地受到国际经济，政治形势的影响 实际上，早在1 9 6 4 年，奥斯本绘制的股票市场收益率的密度函数中，就明 显出来个。峰态现象t 与正态分布相比，在分布的尾部有过多的观测值现 在，越来越多的观测数据和统计学分析日益明确了厚尾的存在和正态假设的不可 撬实际金融时间序列数据( 如收益率) 的分布存在明显的。尖峰。厚尾。 。非对称性。，这就意味着极端事件发生的概率要比正态分布下预测的概率大得 多，传统的正态分布假定无法完全反映这状态，尤其是在对分布的尾部特点进 1 6 一类重尾分布的v a r 估计 第三章重尾分布理论 行研究时而v a r 计算严重依赖对尾部分布特性的估计资料表明( j pm o r g a n 1 9 9 6 ) 。正态分布估计会严重低估极端条件下的v a r 值，这极大地影响了v a r 方法的预测性和准确性鉴于此，近年来学术界投入了相当多的精力研究厚尾现 象，陆续提出多种具有厚尾特征的分布函数模型 3 2 重尾分布的定义及分类 在本节中，若无特别申明，均设x 为个非负实值随机变量，其分布函数 ( d j ) 为f ( 功= p ( x s 。) ，尾分布记为矽( = 1 一f ( 功= p ( x ，且 假定p ( o )