（应用数学专业论文）某些解析函数族的若干性质.pdf

摘要 解析函数的极值问题、包含关系、星象和凸象半径的问题的研究一直倍受各国数学 家高度关注。本文在解析函数的某些子族上研究这一问题并取得了有意义的成果，这些 成果对前人的研究成果进行了一定的推广，从而从理论上进一步完善了这一问题的研 究。 本文内容主要分四个部分。 第一章绪论简要介绍了解析函数理论的发展和研究成果以及本文中将出现的函数 族及其记号。第二章引进了关于尼折对称点的负系数解析函数的两个子族淞r 位，) 和w y 位，) ，讨论了函数属于淞丁位，) 和睨y 位，) 的充分必要条件， 明汀 ，) 和y 位，) 中函数的偏差和覆盖定理、星象和凸象半径，同时也给出 了此函数族的积分表示、极值点和闭包定理。第三章引进了关于七折对称点对称的凸函 数的两个推广类c ( 五，口，7 ) 和s c ( 旯，口，7 ) ，分别研究了c ( 五，口，厂) 和 3 c ( 五，口，7 ) 中函数的系数不等式，以及属于c ( 五，口，7 ) 和3 c ( 名，口，7 ) 函数 获得积分表示和卷积。第四章研究了函数族r 位，y ) 的系数充要条件，星象和凸象半 径，极值点以及偏差估计。 关键词：解析函数；充要条件；积分表示；极值点；星象和凸象半径；卷积；包含关系 a b s t r a c t t h ep r o b l 锄so fe x 嘞e p r o b l e i i l ，c o n t a i l l i n 岛r a d i io fs t a r l i k e n e s sa n dc o n v e xo fa n a l 舛c c t i o n sa r el l i g m ye m p h a s i z e da l lt h et i m eb ym a t l l e i l l a t i c i a i l s 舶ma l lo v e rm ew o r l d i i l m i sp 印e rm a i l l l yd or e s e 砌lo nm ep r o b l e m so fs o m e 跚b c l a s s e so f 锄a l y t i c 如n c t i o i l sa i l d 西v es o m em e a l l i n g 如lr e s u l t s t h e s eg e n e r a l i z e dm ep r e v i o u sr e s e a r c hr c s u l t sa n dc o m p l e t e d t h e s ep r o b l e m sf o rf u n h e rr e s e a r c hi nv i e w o ft h em a i nt h e o r ym e nw ec o n 跚m m a t et h e 咖d y o ft h e s ep b l e m s 7 m sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h 印t e 瑙t h ef i r s tc h a p t e ri st l l ec x o r d i 啪删c h 西v e sas i m p l e i n 们d u c t i o no ft h ep h y l o g e n yo fa n a l 蜘c 如n c t i o n sa i l ds o m ec l a s s e sa n dt 1 1 e i rn o t a t i o n sm a t w i l l a p p e a r 锄db eu s e d i nt l l e p r e s 础p a p 既i l l t l l es e c o n d c h 印t a s u b c l a s s 叩丁( 口，) 口，l d u c y ( 口，) o fa 1 1 a l 如cm n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e 伍c i e i l t sw i t l lr e s p e c tt o k - s ”姗e t r i cp o i l l t si si n t 加d u c e d t h en e c e s s a r ya i l ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n s ，d i s t o r t i o na 1 1 d c o w 衙n gt l l e o r e m s ，r a d i io fs t a d i k e n e s sa i l dc o n v e xa l l de x t r e m ep o i n t s t w oc l o s e - c o n v e x a 1 1 d q u a s i 。c o n v e xc 。( 兄，a ，y ) a i l d3 c ( a ，口，7 ) ，w h i c ha r ed e f i n e da n dd i s c u s s e di n m et h i r d c h a p t e l i ts 砌i e si i l c l u s i o n r e l a t i o n s l l i p s ， c o e 伍c i e i l t i n e q u a l i t i e s ，i 1 1 t e g r a l r 印r e s 锄t a t i o i l sa n dc o n v 0 1 u t i o nc o n d i t i o n s t h ef o r t hc h a p t e rs t l j d i e sc l a s s e sr 似，厂) i i l t h e 仳sc h a p t w ep r o v i d en e c e s s a r ya i l ds u 硒c i e n tc o e 佑c i e n tc 0 n d i t i o n s ，r a d i u so f s t a l l i k e n e s s 觚dc o n v e x 时，e x t r e m ep o i n t s ，a n de s t i m a t e dd 嘶a t i o n t l l er e s u l t sp r e s e l l t e d h e r ew o u l dp r o v i d ee x t e i l s i o n so fm o s e 舀v e ni ne a r l i e rw o r k s k e yw o r d s ：a n a l y t i cf h n c t i o n s ； n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s ； i n t e r g a l r e p r e s e n t a t i o n s ；e x t r e m ep o n i n t s ； r a d i io fs t a r l i k e n e s sa n d c o n v e x ； c o n v o l u t i o n ；i n c l u d i n gr e l a t i o n s h i p s l l 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 日期：邳年r 月扩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：科罐 翩签名2 雅厂 日期：卅年j 一月钞日 日叶n 肜日 第一章绪论 关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的。他在1 7 7 7 年系统地建 立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本 定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。在十九世纪，复变函数的理论经过法 国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理 论，二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面， 与数学中其它分支的联系也日益密切。 复变函数研究的中心对象是所谓的解析函数。如果函数w = 厂( z ) 在区域d 内可微， 则称厂( z ) 为区域d 内的解析函数。解析函数是复变函数研究的主要对象，它具有很好的 性质。例如由函数在一点解析就可推出其各阶导数也在该点解析，并且就可以展成幂级 数，这在单元实变函数是绝对不可能的。 最简单且最重要的解析函数是单叶解析函数( 简称为单叶函数) ，单叶函数理论是 一门古老的学科，它大约兴起于1 9 世纪末2 0 世纪初。我们用u = 口：i z i 1 ) 表 n = l 示吲 1 内除去f = 外为解析的单叶函数，f ( f ) = f + f 。由于单叶性的要求， 月= o 研究这样的函数的性质往往涉及函数模的增长、导数模及幅角的增长、函数幂级数展开 式的系数及一些重要的几何性质等，而更重要的则是有些量在数值方面的准确估计。从 1 9 1 6 年，比伯巴赫( b i e b e r b a c h ) 提出单叶函数系数的著名猜测： 若厂( z ) = z + 薹口。z ”s ，则k 。l 以，等号成立当且仅当厶( z ) = 百弓及其旋 转。到1 9 8 4 年，狄布兰者斯( d eb r a n g e s ) 对该猜测的解决，长达6 8 年之久。其问单叶 函数的发展中就产生了多种研究思想与研究方法，为最终解决问题打下了良好而坚实的 基础。我国的数学家在单复变函数方面做过许多重要的工作，早在1 9 3 6 年，陈建功教 授即已从事单叶函数的研究，之后，在陈教授的指导和影响下，这方面得到了迅速的发 展单叶函数理论的发展同益成熟、完善，但是，仍有很多难而有趣的问题等待有志者 去进一步地探索。 本文研究的主要内容是某些特殊解析函数族的偏差和覆盖定理，星象和凸象半径， 极值点和积分表示，卷积性质等。 下面给出本文将出现的一些函数族及其记号。 u 单位圆盘，u = 茁：z c ，h 叱唧) ； 凸函数族k = ：化m 风 t + 鬻) 叱删) ； 近凸函数族c = p ：他m 删“皿 叱嘲) ； 拟凸函数彬= ，：，嘲舴眦皿 掣) 叱咖) 2 第二章关于k 折对称点的负系数解析函数的某类子族 2 1 引言、定义和引理 设彳表示在单位圆u = z c ：h l 老七峒p 胚脚涨) ， 唧邶，= ，：，洲且贸 1 + 鬻纠+ 鬻七斜胚心洋) 我们知道一致星函数和一致凸函数最早被g o o 孤【1 ，2 】介绍和研究。跟着他很多 作者都讨论和这些函数族和相关的函数族( 如 3 ，4 ，6 ，7 ，9 】) 类比u s t ( n ，p ) 和u c v ( 旺，p ) ，我们介绍下面两个解析函数类的子族u c c 0 ，6 ，q ，p ) 和 u q c ( 丫，6 ，仅，p ) 。 唧跏脚= 嘲g 唧椭并且叫鬻妒万) 瞎叱悯p 地唧小船叫) ， c ，= p 吼g 唧呐并且搿妒万) i 辔吨埘b 地唧小船甜) ) 3 跟随他，许多作者讨论了这类函数和他的子族。本文我们主要介绍两个关于k 折对称点 的解析函数类的子族，并且得到了一些有趣的结论。 定义2 1 1 ：定义t 内的函数族硼丁( 似，) 满足下面的不等式 叫鬻) 刮鬻七峒p x 眨- ) 并且0 口 | 鬻七峒睁， 并且o l 等七柏p ，亿4 ， 在( 2 4 ) 中分别令= 0 ，1 ，2 ，七一1 ，然后对所有的式子求和得到 孵侯帮州州，滗l 箸七柏睁2 匀 从( 2 5 ) 我们可以得到 婀髅等片茎等七峒陋x 上式等价于 4 孵 搿) i 器七柏p x 并且以( z ) 硼丁他，) 推论2 1 1 ：从引理2 1 1 和u c c “，6 ，0 【，p ) 的定义我们得到如果厂( z ) 硼丁 ，) ，则 ( z ) 驮z ，口，) 因此淞丁以，) 是函数族职刀以，口，) 的一个子族。 通过应用引理相似的方法，我们有 弓i 理2 1 2 ：如果厂( z ) u c y ( 口，) 则六( z ) u c 矿( 口，) 推论2 1 2 ：从引理2 1 2 和c ( 7 ，万，口，) 的定义我们得到如果( z ) y ，) ， 则厂( z ) c ，口，) 因此y 似，) 是函数族c 以，口，) 的一个子族 在本文中我们将讨论充分必要条件，星形和凸形半径，和函数属于 淞r 似，) 和矿 ，) 子族时的积分形式我们还将讨论偏差和覆盖定理，积分变换， 极值点和这些函数族的闭包定理 2 2 充分必要条件 定理2 2 1 ：如果o 口 1 且( z ) 丁，则当且仅当 【( 刀后+ 1 ) 一k 破+ + 玎口。l 一 ( 2 6 ) 疗= l以= 2 弹肪+ l 证明：假设厂( z ) 淞r ，) ，由于 孵 矽+ 口一j l 痧一( 口+ ) i 当且仅当 孵侈( 1 + e “) 一( 口+ 弦打 一口 ( 2 7 ) 对于实数t ，并且在( 2 7 ) 中令矽= 矿i ( z ) ，我们得到 孵 鬻”一七彬卜川， 上式等价于 孵! ! 竺二生! 二圣三! ! 竺! 三：! ! 笙二! ! 三二! ! ! 塾三：! 【 1 一w - ：口。吒z ” 一! ：睦竺二! 圣二! ! 竺! 三：二! 竺生! ：! ! ! 堡三：! 一 o ， ( 2 8 ) 仅当 其中 6 ；= 妻篓s ( 月一1 ) y c g t = - ， 对于u 中所有的z 不等式( 2 8 ) 都成立。让z 一1 - 有 ( 2 2 ) 一以口。+ ( 一口) 口。吃一p 叫，z 口。一似+ ) 吃j n = 2竹= 2 l 一= 2n = 2 j 1 一口。阮 一= 2卜 根据均值定理我们有 孵 ( 2 2 ) 一甩+ ( 一口) 口。吃一p 甜l 一( 口+ ) 吼包i o ， l 一= 2刀= 2 l n = 2n = 2 jj 上式等价于 从吮的定义我们得到 ( 刀一触) 口。1 一 ( 2 9 ) 盯盘2 钆= l ，：i 饶：j c 2 。) 把( 2 1 0 ) 代如不等式( 2 5 ) 中，我们得到不等式( 2 6 ) 反之，让( 2 6 ) 成立我们设条件( 2 1 ) 成立并且厂( z ) 硼r ，) 由于有吼矽兄当且 它充分的 峒1 ) j 晶 ( 3 _ 2 伊扣。邓铆，私 ， - i 鬻纠，+ i 鬻七柏1 ) i 2 瓦b i 矿) + 似一一1 ) 以( z ) 一l 互厂k ) 一位+ 历 ( z ) o o 证明毕 推论2 2 1 ：如果( z ) 硼r ( ( 口，) ，那么 呸篇， 并且不等式( 2 1 1 ) 当 他心一篇以n j i ，b 。 是精确的，其中玩( 2 5 ) 中给出 应用定理2 2 1 中相似的方法，我们有 定理2 2 2 ：设o 口 l 且厂( z ) l 如果“z ) 矿( t 似，) 当且仅当 ( 力后+ 1 ) ( 刀尼+ 1 ) 一k 被“+ 以2 口。1 一 一= l一= 2 一腩+ l 推论2 2 2 ：如果厂( z ) w y ( ，) ，那么 呸未知， 并且不等式( 2 1 2 ) 当 他心一杀岛t 是精确的，其中吃( 2 5 ) 中给出 7 2 3 偏差和覆盖定理 定理2 3 1 ：设厂( z ) 嬲丁( 位，) ，我们有 y 一等序阿筠忡 1 ) ，( 2 m ) 并且不等式( 2 1 3 ) 当 作心一等z 2 是精确的 证明：假设厂( z ) 吣丁位，) ，利用不等式( 2 1 2 ) 和 2 一刀一玩， 我们得到 筹塾薹昔小， 上式等价于 塾嵩 因此，对于h = y 1 ，我们有 旧+ 塾邝m 2 塾研等庀 和 m 旧一塾烨h 2 塾犷筠户 推论2 3 1 ：如果厂( z ) 泌r ( ，) ，那么 札l ，一筠 c 倒，c z i | 水- + 等) 通过应用定理3 中相似的方法我们有 定理2 3 2 ：如果( z ) w y ( 位，) ，那么 7 一互昙三茜7 2s l 厂( z ) f 厂+ 互器y 2 ( i z i = 7 ) ，c 2 - 4 ) 8 并且不等式( 2 1 4 ) 当 m ) - z 一赫z 2 是精确的 推论2 3 2 ：如果( z ) 叼y ( ，) ，那么 件i 小赫) c 倒斗hm 尚) 2 4 星象、凸象半径 定理2 4 1 ：设厂( z ) 硼r ，) ，则匕( 厂) ( z ) 在l z i r 中是o p 1 阶星象的 其中 删 ( 爿篙器r 吃( 2 1 0 ) 中给出 证明：我们只需要证明 对( 2 15 ) 左边我们有 上式会小于l p 如果 一i 一p 亿均 一t l _ 珈叫( 兰) j 印川 1 一二：( 兰) 占印川 i z 卜( 等) j 篇 这样定理2 4 1 证毕 推论2 4 1 ：设( z ) 吣丁以，) ，则厂( z ) 在h 尺：中是o p l 阶星象的 其中 9 h一州 型喇 璺卜(一cc 型 2 一 。竺卜一。 耻攀 锹r ， 吃( 2 1 0 ) 中给出 由于如果厂o ) 是凸象的当且仅当矿( z ) 是星象的，我们有 定理2 4 2 ：设厂( z ) 硼r 位，) ，则屹( 厂) ( z ) 在h r ，中是o p 1 阶凸象的 其中 既( 2 1 0 ) 中给出 耻略 ( 爿糕r 推论2 4 2 ：设厂( z ) 潞丁”以，) ，则厂( z ) 在h 凡中是o p 1 阶凸象的 其中 耻峥 黼r 一【，z ( 以一p ) ( 1 一) j 钆( 2 1 0 ) 中给出 通过应用定理2 4 1 2 4 2 相似的方法，我们可以证明下面的定理 定理2 4 3 ：设( z ) 汜y 位，) ，则( ) ( z ) 在h 恐中是o p l 阶星象的 其中 吃( 2 1 0 ) 中给出 驴够 ( 等) 艿错r 推论2 4 3 ：设厂( z ) 叼y 似，) ，则厂( z ) 在i z i 尺。中是o p l 阶星象的 其中 蛐f 擀r 阮( 2 1 0 ) 中给出 定理2 4 4 ：设厂( z ) 叼y ，) ，则匕( 厂) ( z ) 在i z 尺，中是o p l 阶凸象的 其中 l o 吃( 2 1 0 ) 中给出 即攀 ( 等) 占锷篇r 推论2 4 4 ：设( z ) 阳矿似，) ，则( z ) 在h r 8 中是o p l 阶凸象的 其中 舻蜡 黼r 5 一【0 一夕) ( 1 一) j 。 吃( 2 1 0 ) 中给出 2 5 积分表示 足埋2 5 1 ：设厂( z ) 嬲r 位，) ，那么我们硐 肫心唧艟f 业岽铲班 ， 仁峋 其中以( z ) 在等式( 2 2 ) 给出，并且l 万( z ) i 眵一( 口+ ) i 因此 l 黜l 引并且雠一， 其中l 万( z ) i 1 特别地， 鬻= 型掣 ( 2 1 7 ) 一= 一 1 二， 以( z ) 1 一万( z ) 在f 2 17 、中用s p z 替换z 分别令f ：o ，l ，2 ，七一l ：s = 1 ) ，我们有 掣：竺冬墼掣( ：o 1 2 ，尼一1 ) ( 2 1 8 ) 一= 一 i “= ij i 二 一i 厶1 0 ， ( z ) 1 一万p z ) “ 特别以( s z ) = s ( z ) ，对( 2 1 8 ) 叠加有 盟：! 掣竺壁二! 星二竺! ! ! 兰：尘 以( z ) 后篇 1 一万( g z ) ( 2 1 9 ) 从，寺瓦( 2 1 9 ) 我们得刽 型一! ：寻爹坠坐上业竺幽( 2 2 0 ) ( z ) z 后孟磊z ( 1 一万( 占”z ) ) 、 7 对等式( 2 2 0 ) 积分我们有 嵫 华r 薹r 型岩等等吼f = 妻扩型专综产 从上面的等式我们很容易得到等式( 2 1 6 ) 定理2 5 2 ：设( z ) u 汀( 。似，) ，那么我们有 m ，= r 唧艨r 型岩铲以 型掣酢2 ， 其中l 珂( z ) i 1 证明：假设厂( z ) 吣丁七缸，) ，从等式( 2 1 6 ) 和等式( 2 1 7 ) 我们有 厂，( z ) ：趔坠冬氅譬盟 z l 一万l z l p 艟f 型岽铲出 型掣 对上面的等式进行积分我们得到等式( 2 21 ) 通过使用定理2 5 1 2 5 2 中相似的方法，我们可以证明下面的定理 定理2 5 3 ：设“z ) 阳矿( t 位，) ，那么我们有 五c z ，= f 妻茎r 公竺二竺二去 呈铲出) d f ， 其中 ( z ) 在等式( 2 2 ) 给出，并且i 刃( z ) 1 定理2 5 4 ：设( z ) 叱矿( ( 口，) ，那么我们有 他，= 睹艨r 业岽铲出 型铲蛹 其中l 万( z ) l 1 2 6 极值点 1 2 定理2 6 1 ：如果z ( z ) = z ，以( z ) = z 一：号缶，如= 2 3 ) ，那么厂( z ) 硼丁婶 ，) 当且仅当它能被表示成厂( z ) = 二。以六( z ) ，其中以o 并且二。以= 1 特别地， 珊r 似，) 函数族的极值点都是z 0 ) = z 和 肚心一篇z 4 ( 一- 2 ，3 ) 其中阮( 2 1 0 ) 中给出 证明：首先设0 ) 如上面的定理中所述这样我们就可以写成 他，= 塾肫心一薹嚣烨”一争4 因此厂( z ) 嬲r 位，) ，由于 薹铃铲塾小耶- 相反的，假设( z ) 吣丁 ，) ，那么我们有 “ 小差”2 ，3 ，) 因此，我们可以设 并且。= 1 一二：以那么 胪酱引脚，3 ) ， ( z ) = z 一口。z ” n ；2一薹嚣烨”名甩一肋。 = z 一。( z 一无( z ) ) = ( 1 一。) z + 。六( z ) 玎= 2以= 2玎= 2 = 以六( z ) 厶一r n jn 、。j 这样就完成了定理2 6 1 的证明 定理2 6 2 ：女口果肫心以z ) = z 一杀南以以- 2 ，3 ，硼b 么 1 3 厂( z ) 叼y ，) 当且仅当它能被表示成厂( z ) = ：。以：l ( z ) ，其中 以o 并且二。以= 1 特别地，沈y ，) 函数族的极值点都是z ( z ) = z 和 其中吮( 2 1 0 ) 中给出 2 7 闭包定理 六( z ) = z i i 去三 知z ” ( 甩= 2 ，3 ) 最后，我们介绍函数族嬲丁”似，) 和y ，) 的闭包定理定义函数族吒( z ) 如 下形式 疋( z ) = z 一口础z ” ( 后= 1 ，2 ，忉( 2 2 2 ) 玎= 2 定理2 7 1 ：设以o ，七= 1 ，2 ，并且：。以1 同时定义疋( z ) 是嬲丁( t ，) 的 形如( 2 2 2 ) 的函数定义厂( z ) 如下形式 j ( z ) = z 一( 以口蚶) z ” ( 2 2 3 ) 甩= 2七= l 属于函数族嬲丁以，) 证明：假设e ( z ) 淞丁 ，) ，根据( 2 9 ) 有 o 一触) 口础 1 一 坩= 2 对每一个j i = l ，2 ，因此有 这样就得到 nno ( 以一触) ( 以，。) = 以( ( 刀一触) 口础) 订= 2七= l 七= l村= 2 ( 1 - ) 以 1 一 _ 厂( z ) = z 一( 以口。，。) z “淞丁( 口，) 1 4 通过应用定理2 7 1 中相似的方法，我们得到 定理2 7 2 ：设以o ，后= 1 ，2 ，并且：。以1 同时定义( z ) 是矿他，) 内的形如( 8 2 ) 的函数贝i j 它属于函数族w 矿 ，) 1 5 第三章关于k 折对称点的近凸和拟凸函数的 某类子族若干性质 3 1 引言 设彳表示在单位圆u = 0 c ：h 1 ) 内形为 ( z ) = z + z 疗 的解析函数族。设s ，s ，k ，c 和3 c 分别表示在单位圆盘内的单叶，星象，凸象， 近凸和柯西凸函数( 见文献 1 3 ，1 7 ，1 8 ，2 1 】) 设厂( z ) 和，( z ) 是单位圆盘内的解析函数如果在单位圆盘内存在一个解析函数国0 ) 并且i 缈( z ) i i z i 使得厂( z ) = ，( 缈( z ) ) ，那么就说厂( z ) 在单位圆盘内从属于f ( z ) ，记为 厂 戚者厂( z ) 口【( 1 一旯) 厂( z ) + 坷( z ) j 一、7 对于一些口( o 口 帅甜，【 允2 厂”( z ) + 矿7 ( z ) j r 一7 1 6 对于一些口( o 口 1 ) 和名( o 兄 1 ) c ( n ，旯，口) 曾经被k a m a l ia n d 灿( b u l u t 1 6 】讨论和研 究过c ( 1 ，名，口) 简写为c ( 旯，口) 受丁( 兄，口) 和c ( 五，口) 的启发，我们介绍下面两类关于k 折对称点的解析函数，并且得到 了一些有趣的结果 定义3 1 1 ：假设o 兄1 ，o 口 o ，o 1 ，o y l 并且后2 是一个固定的正整数设 c ( 五，口，7 ) 是a 中函数族并且在u o 满足( 1 一a ) ( z ) + 彬7 ( z ) o 和下面的不等式 矿7 ( z ) + 允2 ( z ) 1 ( 1 一五) 丘( z ) + 阿( z ) 。_ r 篆1 一y ， ( 1 一允) ( z ) + 久弓名( z ) 、7 1 一口，( 3 2 ) 其中后2 是一个固定的正整数并且以( z ) 满足下面的等式 1 膏一l 以( z ) = 圭占叫厂( 占”z ) p = e x p ( 2 硝后) ；z u ) ( 3 3 ) d = 0 定义3 1 2 ：假设o 允1 ，o 口 1 ，os 1 ，o 7 l 并且后2 是一个固定的正整数设 s c ( t ( 名，口，7 ) 是a 中函数族并且在u 0 满足识”( z ) + ( z ) o 和下面的不等式 七2 厂孵( z ) + ( 2 五+ 1 ) 矿”( z ) + 厂( z ) 1 础缎z ) + ( z ) 。地片( z ) + 爿( z ) 厂。+ “卅 其中六( z ) 满足等式( 3 3 ) l 一口， 在我们接下来讨论函数族c ( 旯，口，y ) 和3 c ( 允，口，) 过程中，我们利用下面的引 理 引理3 1 1 【1 4 j ：如果h ( z ) = 1 + 二。吃z ”是单位圆盘u 中的解析函数，o 口 1 ，o l 并且o y 1 那么条件 l 毒煞l 1 一口( z 【，) i 矽! h ( z ) + ( 1 一) i 、7 等价干 酢， 半拦警吼 1 7 引理3 1 2 ：如果y o 并且厂c 那么 心) = 等肌) f ，_ 出e 这个引理是定理3 4 1 2 2 】中的一个特例 引理3 1 3 1 1 7 】：设o 名1 并且s c ，那么 ，。) = 三z 卜三f 厂( r ) f 2 出s c cc 弓i 理3 1 4 ：如果一l b 2sb l 彳1 彳2 1 那么 堡生 堡垒 1 + b i z1 + 岛z 在本文中，我们将提供函数类c ( 名，口，厂) 和s c ( 五，口，y ) 的系数不等式和积分表示 我们也将讨论这两个函数类的包含关系和卷积条件 3 2 包含关系 定理3 2 1 ：设o a 1 ，o 口 1 ，o l ，o y o ( z u ) ( 3 5 ) 【e ( z ) j 、 、。 在不等式( 3 5 ) 中用s z 替换z 分别令( = o ，1 ，2 ，七一l ；占= 1 ) ，我们有 叫篇静h 篙祟祟糕 帅甜固【e ( 占z ) j【( 1 一名) 以( s z ) + 五占互名( 占z ) j 、7、 显然以p z ) = f ( z ) ，( 占z ) = ( z ) 并且g 根s z ) = 炽z ) ，分别在( 3 6 ) 中令 = 0 ，1 ，2 ，后一l ；把它们叠加起来我们得到 孵 鬻) 。u ， 因此疋( z ) s 因此我们有f ( z ) = ( 1 一五) 厂( z ) + 坷( z ) c 我们现在把它运用到两 个具体的例子中来说明 例1 当名= o 时，很显然( z ) = f ( z ) c 例2 当o 旯l 时，从f ( z ) = ( 1 一旯) 厂( z ) + 树( z ) 和o 旯1 我们有 ( z ) ：丢z l _ 三f ，o 弦 2 班 九 椰 显然7 = 三一1 o ，有引理3 1 2 我们得到厂( z ) c 因此c 似( 五，口，厂) c c cs 证明 完毕 利用引理3 1 3 ，运用定理3 2 。1 中相似的方法，我们有 孑匪论3 2 1 ：设o a 1 ，o 口 1 ，o l ，o 7 1 ，那么 s c ( 五，口，7 ) cs cc c 定理3 2 2 ：设o 五1 ，o 口l a 2 1 ，o 属展1 ，o l y 2 1 那么 c ( 力，口2 ，厦，7 2 ) cc ( 兄，口l ，层，i ) 证明：假设厂( z ) c ( 五，口2 ，尾，7 2 ) ，根据( 3 4 ) 我们有 矿( z ) + 允2 厂”( z ) ( 1 一兄) ( z ) + 见识( z ) ，1 + ( 1 一口2 ) ( 1 一y 2 ) zi ( l 一( 1 _ 口2 ) 殷z 显然o 口2 1 ，o 及屈51 ，o 7 i 7 2 l ，因此我们有 一l 一( 1 一口i ) 屈一( 1 一口2 ) 履 ( 1 一口2 ) ( 1 7 2 ) ( 1 一口1 ) ( 1 一厂1 ) s 1 因此根据引理3 1 4 ，我们有 1 9 矿( z ) + 允2 一( z ) ，1 + ( 1 一口2 ) ( 1 一厂2 ) z ，l + ( 1 一口1 ) ( 1 一 ) z ( 1 一a ) 丘( z ) + 五研( z )l 一( 1 一口2 ) 及z1 一( 1 一口1 ) 屈z 所以厂( z ) c ( a ，届，7 1 ) 这就是说c ( a ，口2 ，厦，y 2 ) cc ( 名，口l ，屈，以) 同样的道理，对于函数族3 c ( 五，口，厂) ，我们有 推论3 2 2 ：设o 允1 ，o 货l 口2 l ，o 房届l ，o 儿 1 ，那么 s c 七( 名，口2 ，反，厂2 ) c3 c ( 兄，口l ，届，厂1 ) 3 3 系数不等式 定理3 3 1 ：设厂( z ) = z + 二：口。z ”在单位圆内解析如果o 名1 ，o 口 l ， 0 1 ，o 厂 1 ，我f 门有 珥1 + ( 卜口) 冈 1 + 兄( ，l 一1 ) 】k n 蓝2 一【1 一( 1 一口) ( 1 一y ) 】( 1 + 兄限) l c l 肛卅l ( 1 一口) ( 1 + 一y ) ， ( 3 7 ) f = l 那么( z ) c ( a ，口，卢，y ) 证明：假设厂( z ) = z + 二：口。z ”，并且五o ) 为等式( 3 3 ) 所定义设m 定义为如下形式 m = i 矿( z ) + 允2 。( z ) 卜【( 1 一五) 以( z ) + 何( z ) 】i 一( 1 一口) i 矿( z ) + 允2 厂。( z ) 】+ ( 1 7 ) ( 1 一允) 六( z ) + 允咧( z ) 】i = i 刀 1 + 名( ，z 一1 ) 】口。z ”一【1 + 力( 力一1 ) 】口。c 。z “l i h = 2n = 2i 一( 1 一口) l ( z + ，l 【l + 兄( 以一1 ) 】口。z “) + ( 1 一y ) ( z + 1 + 名( ，z 一1 ) 】口。c 。z ”) i ， 其中 铲丢耖砂= 麓三磊钏 所以，对于h = 厂 1 ，我们有 m 1 + 允( 刀一1 ) 】( ，z c 。) 川厂” = 2 一( 1 一口) ( 1 + 一y ) ，一【1 + 允( 力一1 ) 【，z + ( 1 一y ) c 。】i 口。l ，”】 ( ( ，l c 。) + ( 1 一口) 【，z + ( 1 一y ) c 。 ) 1 + 五( 刀一1 ) l 口。 一( 1 一口) ( 1 + 一y ) ) ， ，z 1 + ( 1 一口) 】 1 + 五。一1 ) 】| 口。 月= 2 一c 。 1 一( 1 一口) ( 1 7 ) 1 + a ( ，l 一1 ) 】p 。l 一( 1 一口) ( 1 + 一7 ) 一= 2 = 珥“( 1 一口) 】 1 + 五伽一1 ) l 口一 n = 2 一 1 一( 1 一口) ( 1 7 ) 1 + 允腩】 口雎+ 。i 一( 1 一口) ( 1 + 一y ) ，= l 从不等式( 3 3 ) ，我们知道m o ，因此我们能得到不等式( 3 2 ) 所以 厂( z ) c ( 名，口，y ) 这样就完成了定理3 3 1 的证明 同样的道理，对于函数族3 c ( 五，口，厂) ，我们有 推论3 3 1 ： 设厂( z ) = z + ：口。z 。在单位圆内解析 如果 o 见1 ，o 口 1 ，0 1 ，o 7 1 ，我f 门有 ，z 2 1 + ( 1 一口) 】 1 + 名q 1 ) 】l 口。 一= 2 一乏二【l 一( 1 一口) ( 1 一厂) 】( 1 + 兄腩) ( 腩+ 1 ) i 口驮+ l l ( 1 一口) ( 1 + 一厂) ， ，= l 那么- 厂( z ) 3 c ( 旯，口，厂) 3 4 积分表示 定理3 4 1 ：设厂( z ) c ( 五，口，厂) 并且o 旯 1 那么 丘c z ，= 去z 卜三f e 坤 丢茎f 号云鲁导赭协卜扣如，c 3 8 ， 其中五( z ) 满足等式( 3 3 ) ，缈( z ) 在单位圆盘u 内解析并且缈( o ) = o ，l 缈( z ) l 1 2 1 证明：由于厂( z ) c ( 允，口，y ) ，从( 3 4 ) ，我们有 蔷揣= 半篙， n 9 ， = ：一 t j 7 - ( 1 一五) 以( z ) + 五彩z ( z ) 1 一( 1 一口) 功( z ) 。、 其中国( z ) 在单位圆盘u 内解析并且缈( o ) = o ，l 缈( z ) i 1 在( 3 9 ) 中用占z 替换z 分别令 = o ，1 ，2 ，七一1 ；占= 1 ) ，我们有 兰：堑：鲨三! 坐竺：鲨尘：! 塑二型! 二兰丝! 望 ( 3 1 0 ) ( 1 一a ) 以( g z ) + a s 互名( g z ) 1 一( 1 一口) 切( s z ) 、7 显然以( s z ) = 占一 ( z ) ，( s z ) = ( z ) ，分别在( 3 1 0 ) 中令= o ，1 ，2 ，七一l ；把它们 叠加起来我们得到 卅( z ) + 允2 锨z ) ( 1 一力) ( z ) + _ 刁z ( z )竿篱瓣， b 1 一( 1 一口) 缈( 占z ) 。、。 从等式( 3 1 1 ) ，我们得到 ! ! 二垄监堕垒! 篓蚴一! ：1 9 坠丛! 壁二兰巡丝! ( 3 1 2 ) ( 1 一兄) 厶( z ) + 兄彩：( z ) z 后考品 z 1 一( 1 一口) 彩( s z ) 】 、 对( 3 1 2 ) 积分，我们有 g 二竺! ! ! 壁二2 二! 竺! 兰：笠! d f f 1 一( 1 一口) 国( s f ) 】 。 ：1 9rq 二堕坠坐巡尘以 七篇旬f 1 一( 1 一口) 触( f ) 】 因此，我们有 ”+ 坝一e 冲髅f 匕等黼以 川m ， 从等式( 3 1 3 ) 我们很容易得到等式( 3 8 ) 因此证明完毕 定理3 4 2 ：设厂( z ) c ( 名，口，y ) 并且o 名 1 那么 化，= 弧e x p 艟r 等黼0 。半篙蛳 2 如， ( 3 1 4 ) 1 一( 1 一口) 触( f ) 。、。 其中国( z ) 在单位圆盘u 内解析并且缈( o ) = o ，i 缈( z ) l 1 证明：假设厂( z ) c 。( 名，口，厂) ，从等式( 4 9 ) 和( 4 1 3 ) ，我们得到 h 脚 1 一七 | | ( 1 一五) 厂7 ( z ) + 五( 矿7 ( z ) ) ( 1 一旯) 以( z ) + 兄刀：( z )1 + ( 1 一口) ( 1 一厂) 国( z ) l 一( 1 一口) 膨( z ) 一艟r 匕等搿出 竿篙 对上面的等式积分，我们有 ( 1 一五) 厂( z ) + 何( z ) = fe x p 丢薹f 公里主# 三芋赭班 ! 等竺云兰器j 六 从上面的等式，我们很容易能得到( 3 1 4 ) 贝u 证明完毕 同样的道理，对于函数族3 c ( 兄，口，y ) ，我们有 推论3 4 1 ：设厂( z ) 3 c ( 。( 兄，口，y ) 并且o 名 1 那么 胎，= fj l 唧髌r 箐搿0 坳 砒 其中以( z ) 满足等式( 3