（理论物理专业论文）广义测不准关系及其应用.pdf

中文摘要 首先介绍了位置与动量的广义测不准关系，由此得到了位置的最 小不确定度，与此相应的微观状态的态密度必须作出修正，该修正对 我们当前前沿科学所遇到的许多问题将产生广泛的影响。例如对黑体 辐射问题，我们的讨论显示，与p l a n c k 温度比较在温度比较高的情 况下斯特藩一玻耳兹曼定律并不成立，辐射场的总能量应该与温度成 正比。 其次，将广义测不准关系的应用拓展到黑洞熵的计算，利用经广 义测不准关系改进的薄层b r i c k - w a l l 方法计算了黑洞熵。结果表明， 由这种方法得到的黑洞熵上限与它的外视界和宇宙视界面积之和成 正比，和人们预期的结果相符，从中揭示了黑洞熵与视界面积之间的 内在联系，也进一步表明了黑洞熵是视界面上量子态的熵，是一种量 子效应。广义测不准关系的引入使我们看到，b r i c k - w a l l 方法与引 力场量子化可能存在着一些内在的联系。 最后，利用量子力学的能量与时间的测不准关系，计算了光频的 引力红移，结果表明，由这种方法得到的引力红移量与人们预期的结 果相符。 关键词：测不准关系，黑体辐射，时空，黑洞，熵，光频的引力红移 a b s t r a c t f i r s to fa l l ，t h eg e n e r a l i z e dp o s i t i o n - m o m e n t u mu n c e r t a i n t yr e l a t i o n , w h i c hl e a d st oaf i n i t em i n i m u mu n c e r t a i n t yo fp o s i t i o n , i si n t r o d u c e d a c c o r d i n g l y , t h ed e n s i t yo fq u a n t u ms t a t e sn e e d st ob em o d i f i e d t h i si s b e l i e v e dt oh a v eav e r yb r o a de f f e c to no u rc u r r e n tk n o w l e d g eo fv a r i o u s p r o b l e m s 。i nt h es p e c i f i ce x a m p l eo ft h eb l a c k b o d yr a d i a t i o n , w eh a v e f o u n dt h a tt h es t e p h a n b o l t z m a u nl a wn e e d st ob em o d i f i e da tv e r yh i g h t e m p e r a t u r e sc o m p a r e dw i t ht h ep l a n c kt e m p e r a t u r e ，i e ，t h ee n e r g yo f t h e r a d i a t i o nf i e l da saw h o l ew i l lb ep r o p o r t i o n a lt ot h et e m p e r a t u r e s e c o n d ，t h eg e n e r a l i z e du n c e r t a i n t yr e l a t i o ni sa p p l i e dt ot h e c a l c u l a t i o no ft h ee n t r o p ya sw e l l t h ee n t r o p yi s c a l c u l a t e db yt h e i m p r o v e db r i c k - w a l lm e t h o dd u et ot h eg e n e r a l i z e du n c e r t a i n t yr e l a t i o n t h ee n t r o p yb o u n do f t h i ss y s t e mn o to n l yi n c l u d e st h ec o n t r i b u t i o no f t h e b l a c kh o l eh o r i z o n , b u ta l s oi n c l u d e st h ec o n t r i b u t i o no ft h ec o s m o l o g i c a l h o r i z o n , w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t hw h a tp e o p l ea n t i c i p a t e i ti sf o u n dt h a t t h e r ei sa l li n t e r n a lr e l a t i o nb e t w e e nt h ee v e n th o r i z o na n dt h ee n t r o p y ；i t i sf u r t h e rr e v e a l e dt h a tt h eb l a c kh o l ee n t r o p yi sa l le n t r o p yw h i c hb e l o n g s t oe v e n th o r i z o na n di sak i n do fq u a n t u me f f e c t i ti sa l s oa p p a r e a tt h a t t h ec u t - o f fi nb r i c k - w a l lm o d e li ss o m e t h i n gr e l a t e dt ot h eq u a n t u mt h e o r y o f g r a v i t y l a s tb u tn o tl e a s t ，w ea l s oc a l c u l a t et h er e d s h i f to fl i g h tf r e q u e n c y f o rg r a v i t a t i o nb yu s i n gt h ee n e r g y - t i m eo ft h eu n c e r t a i n t yr e l a t i o no f q u a n t u mm e c h a n i c a l ，i ti ss h o w nt h a tt h er e s u l to ft h er e d s h i f to fl i g h t f r e q u e n c yf o rg r a v i t a t i o no b t a i n e db yt h i sm e t h o da c c o r d sw i t ht h eo n e e x p e c t e db ys o m ep e o p l e k e yw o r d s ： u n c e r t a i n t yr e l a t i o n ，b l a c k b o d yr a d i a t i o n , s p a c e t i m e ， b l a c kh o l e ，e n t r o p y , r e d - s h i f to f l i g h tf r e q u e n c yf o rg r a v i t a t i o n i l l 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：问疡次 咄口月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：j 司荡女 导师签名： 日期：川年妒月 日 日期：年月日“ 广义测不准关系及其应甩 第一章绪论 1 1 引言 1 9 世纪末期，物理学家中普遍存在一种乐观情绪，因为物理学理 论在当时看来已发展到相当完善的阶段。那时。一般的物理现象都可 以从相应的理论中得到说明：物体的机械运动在速度比光速小得多 时，准确地遵循牛顿力学的规律；电磁现象的规律被总结为麦克斯韦 方程；光的现象有光的波动理论，最后也归结到麦克斯韦方程；热现 象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼、吉布斯等人建立的统计物理 学。在这种情况下，当时有许多人认为对复杂纷纭的物理现象本质及 规律的认识已经完成。剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具 体问题上，进行一些计算而已。的确，经典物理学曾经对众多的物理 现象给出了相当满意而漂亮的描述h 1 。 这种把当时物理学的理论认作“最终理论”的看法显然是错误的， 因为“在绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对 的，因为在绝对真理的长河中，人们对于在各个一定发展阶段上的具 体过程的认识只具有相对的真理性。”生产力的巨大发展，对科学实 验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个新 的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，一些 敏锐的物理学家已逐渐认识到经典物理学理论中潜伏着危机。本世纪 伊始，w t h o m s o n ( k e l v i n 勋爵) 就指出：经典物理学的上空悬浮 着两团乌云。第一团乌云涉及电动力学中的“以太”( a e t h e r ) 。当时 人们认为电磁场依托于一种固态介质，即“以太”，电磁场量描述的 湖南师范大学硕士学位论文 是“以太”的应力。但是为什么天体能无摩擦地穿行于“以太”之中? 为什么无法通过实验测出“以太”本身的运动速度? 第二团乌云则涉 及物体的比热容，即观测到的物体比热容总是低于经典统计物理学中 能量均分定理给出的值。例如，固体比热容( 固体被看成由许多原子 组成，诸原子在各自的平衡位置附近作小振动) ，按能量均分定理， 应为3 r 。而实验观测值总是低于此值( 3 尺只是高温极限值，即 d u l o n g - p e t i t 值) 。又例如双原子分子( 具有三个平动自由度，两个转 动自由度，还有一个振动自由度，包含动能项和势能项) ，按能量均 分定理，比热容应为7 r 。但在g - 温下，其观测值为寻尺。而当温度t 二 - - o k 时，则趋于零。看来这些问题都涉及到在温度不是很高的情况下 体系的部分自由度被冻结的问题。我们还注意到，k e l v i n 的文章中未 涉及原子结构的问题，在当时。人们对此问题还很陌生。 2 0 世纪物理学取得的两个划时代的进展是相对论和量子理论。相 对论的建立从根本上改变了人们原有的空间和时间的概念，并指明了 n e w t o n 力学的适用范围( 适用于物体运动速度d 】= 兰( 1 州脚) 2 嘶) 2 】 ( 1 - 1 5 ) 由( 1 - 1 5 ) 式 口( 印) 2 三会! a p + 0 + 口q ： 0 ， ( 1 1 6 ) ，l 则当 印= 瓦a l e 雁丽( 1 - 1 7 ) 时，位置测不准的最小值为 一r 一 血。i ( ) = 氟3 a o j + a ( 协2 ( 卜1 8 ) ( 卜1 8 ) 表明，位置的不准确度不可能无限小，而是有一非零的最小 长度 出。r o j = 矗石( 卜1 9 ) 1 3 3 时间一能量测不准关系 关于时间一能量测不准关系a e a t 危，至今国内外量子力学教科书 中，从不同的角度得到这个关系式，对它的解释和理解至今也不完全 一致。例如玻尔对有限正弦波列，使用推导坐标一动量测不准关系的 同样方法得到了时间一能量测不准关系陆1 ： a e a t 壳 而量子力学创始人之一玻恩利用已知运动粒子的速度，测量粒子 广义铡不准关系及其应用 通过有限距离的持续时间，仿照推导坐标一动量的测不准关系类似方 法，得到了如下关系式口： 又如海森伯对斯特恩一盖拉赫实验的分析也得到了下式呻1 ： 式中a t 是粒子通过磁场的时间，a e 是两个分立定态的能量差。 以上三位著名的物理学家从不瓦的角度得到了时间一能量测不准 关系，它们都有自己的特色，为我们严格推导时间一能量测不准关系 开拓了思路。但是，也必须指出，这些方法都缺乏普遍性。下面我们 给出时间一能量测不准关系的严格证明脚： 设体系的h a m i l t o n 量为h ，a 为另一个力学量( 不显含t ) 按上 面( 1 - 1 0 ) 式给出的测不准关系 丝鲋2 圭i 网 ( 1 2 0 ) 其中 蚯：耐，埘：防踏 分别表示在给定状态下能量和力学量彳的不确定度，利用 竺d t j = 网，胁( 1 - 2 1 ) ( 1 - 2 0 ) 式可表为 蚯卷司 或 肛阿a a 耋 ( 1 _ 2 2 ) 湖南师范大学硕士学位论文 令 乃= 鲋倒 ( 1 - 2 3 ) 则得 a e _ 2 要 ( 卜2 4 ) 这里 是j 改变a a 所需的时间间隔，表征j 变化的快慢的周期。在给 定状态下，每个力学量a 都有的_ ，在j 挫- - r a 中，最小的一个记为f ， 它当然也满足( 1 - 2 4 ) 式。 a e f 皇( 卜2 5 ) 2 或写成 a e a t 墨( 卜2 6 ) 2 此即所谓的时间一能量测不准关系。式中丝表示状态能量的不确定 度，而& 为该状态的特征时闻，可以理解为状态有明显改变所需要的 时间间隔，或变化的周期，( 1 - 2 6 ) 式表明，与监不能都小下去， 而要受到一定的制约。此即能量一时间测不准关系的物理含义。 1 4 本项研究的进展及意义 。 目前，国内外有关测不准关系的研究，主要涉及两个方面：一是 关于测不准关系的解释及深刻内涵的研究“：二是关于测不准关系 的应用研究“”1 。 近年来，源于量子力学的测不准关系而发展起来的广义测不准关 系对黑洞熵的研究“”“2 4 1 ，激发了人们极大的兴趣。 2 0 世纪7 0 年代初期，b e k e n s t e i nh a w k i n g 和b a r d e e n 等人提出了 黑洞熵与视界面积成正比的一整套理论。”1 ，从此黑洞热力学的研究 广义测不准关系及其应用 获得了长足的进步。1 9 8 5 年th o o i t 提出了计算黑洞熵的b r i c k - w a l l 方法【2 射，研究了s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景下标量场的统计性质，并得 出了黑洞的统计熵与其面积成正比的结论。由此，人们用b r i c k - w a l l 方法研究了各种黑洞的熵【2 9 。3 3 1 ，获得了预期的成功结果。1 9 9 9 年人们 又把黑洞时空背景下的标量场的计算推广到d k a c 场【捭蚓。2 0 0 0 年李 翔和赵峥提出了薄层b r i c k - w a l l 方法p 7 1 ，2 0 0 2 年李翔最早把广义测不 准关系引入渐进平直时空黑洞熵的计算【1 6 1 ，获得了成功。接着国内同 行又把广义测不准关系引入其它黑洞熵的计算“”删。均获得了成 功。并且发现，如果利用经广义测不准关系改进的薄层b r i c k - w a l l 方 法计算黑洞熵，无须任何裁断，b f i c k - w m l 模型的发散问题将不再出 现，可以很方便地得到正比于视界面积的熵公式。它揭示了黑洞熵与 视界面积之问的内在联系，也进一步表明了黑洞熵是视界面上量子态 的嫡，是一种量子效应。广义测不准关系的引入使我们看到，b r i c k - w a l l 方法与引力场量子化可能存在着一些内在的联系。这对于人们认识宇 宙的熵起源以及经广义测不准关系改进的薄层b r i c k - w a u 方法无疑都 具有十分重要的意义。 这些新的进展给人们的印象是：量子力学中的测不准关系的深刻 内涵及其广阔的应用前景，还远末被人们发掘出来，在我们面前还有 一个很大的必然王国。这也标志着量子力学的迸一步发展，也许会对 2 l 世纪人类的物质文明有更深远的影响。 广义测不准关系及其应用 第二章广义测不准关系与黑体辐射 2 1 引言 量子力学中的位置一动量不确定关系( 海森伯测不准关系) 血印- h( 2 - 1 ) 是在未计入引力的理想情况下得到的，( 2 1 ) 表明，位置工和动量p 二 者是不可能同时精确测定的，虽然如此，但至少二者之一是可以的， 比如，可使出一d ，而印o 。然而，有关弦论及其它计算表明，若计 入引力效应，必将导致一个正比于普朗克尺度t 的最小长度血砌： 血叫石1 局叫乙 ( 2 _ 2 ) 因而，对( 2 - 1 ) 所示的不确定关系作出修正一广义测不准关系，将对 许多量子系统带来新的认识。 比如说黑洞的h a k i n g 量子热辐射，按照现行的说法，当一个小黑 洞的h a k i n g 温度高于环境温度时，黑洞将辐射光子以及其它普通粒 子。随着黑洞质量的减小，辐射温度急剧上升，随之而来的是速度更 快的辐射，直至黑洞的消亡。但是，按照a d l e r 等人的观点嘲，当黑洞 缩小至普朗克尺度时，即使有效温度达到最大，辐射也将停止，黑洞 熵应该趋于零也就是说，广义测不准关系将阻止黑洞的完全蒸发而 最终形成一个惰性的残余物。 本章首先简单介绍位置动量的广义测不准关系并导出位置的 最小不确定度的表达式；然后，通过黑体辐射这个例子，讨论当考虑 最小长度出。的存在而对引力场中微观状态的态密度所作出的修正 湖南师范大学硕士学位论文 时将给出的新的信息。 2 2 位置一动量广义测不准关系以及位置的最小不确定度 众所周知，任何一对共轭的可观测量( 量子力学算符) 五和台， 如下形式的测不准关系 a a a b 三i j ，云d j 。 ( 2 3 ) 成立，其中【j ，甸代表算符j 与雪的对易关系，钮j ，雪d 为【互甸的平均值， a , 4 ：而孓面强：晒孓两 位置量和动量声作为一对共轭的可观测量，在普通量子力学中，应满 足测不准关系 a x e , 要， ( 2 4 ) 它表示随着动量不确定度的增加，位置的不确定度可以任意地小，反 之亦然。然而，在p l a n e k 尺度下的量子系统，如量子引力所描述的系 统，如( 2 - 4 ) 所述的测不准关系将不再成立。也就是说。例如。位 置的不确定度r 不可能任意地小，必然存在一最小长度血，因而我 们考虑如下形式的对易关系 【毫p 】= t h ( 1 + 牵2 + 厣2 + 一) ( 2 5 ) 使得有如下形式的广义测不准关系嘲 r 印2 昙【l + 口 + 】 ( 2 6 ) 其中口，为对应项在测不准关系所占的比率 为了简单，可考虑动量为主导的情况( 取口o ：0 ，忽略更高 阶小量) ，则有 【毫朗= i h ( 1 + 印2 ) ， ( 2 7 ) 广义测不准关系及其应用 脚2 争l + 口够2 1 = 兰 l + 口脚) 2 + 】 ( 2 - 8 ) 由( 2 - 8 ) 式 - 口( 饼一半印+ o 训妯 则当 ( 2 - 9 ) 肇= 筹雁丽( 2 - 1 0 ， 时，位置测不准的最小值为 ( 2 - 1 1 ) 表明，位置的不准确度不可能无限小，而是有一非零的最小 长度 盘。( o ) = h 矗 2 3 对黑体辐射的新认识 ( 2 - 1 2 ) 在坐标和动量所构成的相空间中，为了刻划相空间的量子态，可 将相空间分成一个个能层g 一8 + d 6 , 每个能层划分为一个个相格，则每 个相格作为相空间的一个代表点表示系统的一个量子态( 微观态) ， 由广义测不准关系式( 2 - 7 ) 可知，在相空间中的每个代表点( 相格， 量子态) 的线度为 2 砌o + a p 2 ) ( 2 - 1 3 ) 而相空间中一个宏观上无限小的体元d 3 耐3 p 内所包含的量子态数目 则为 d 3 x d p 函丽再面甲。 ( 2 - 1 4 ) 下面考虑一个处于热平衡( 温度为t ) 的谐振腔( 视为黑体) ，腔 湖南师范大学硕士学位论文 内充满光子气体，光子为玻色子，满足玻色子分布 兄：气l ， ( 2 一1 5 ) 以一2 万 o z 一1 b 其中p = l i c 。t 由于光子能量一动量关系为g = 矗- ，= 矗口= 声，则系 统的总能量 e = 占， ( 2 1 6 ) 表示对各种可能的能态( 量子态) 求和，作半经典处理，求和应改 为积分： z - d , f 贴) 矗，( 2 - 1 7 ) 其中g ) 表示相空间中能量小于占时光子系统的量子态密度， g 弦= 两两4 面, e 厕2 d e r ( 2 一1 8 ) g 妲潍2 面萜丽 屺1 酬 表示能量f 一8 + d 6 之间的量子态数，其中矿为相体积，对光子， 孑= p c = h z v = h v ，g ，= 2 ，改用频率国，为变量分别有 g b w 国= g i 4 m ，m 2 d ( 2 用) ，【1 + 口( 马2 国z r i 一 c 或 g c n 把& 石4 而g v v 2 d v - c f l + 口( 二) 。l ，2 1 j ( 2 - 1 8 ) 、( 2 - 1 9 ) 、( 2 - 2 0 ) 三式是等价的 e = 粤s = j 广。寿 弦， p p l 单位体积中的能量( 温度为t ) 可到= 等f 历高和矿舢， ( 2 1 9 ) ) l i “ 粥 哪 蚴 q 协 广义铡不准关系及其应用 其中 刀= 万丽1“y ，以屹2 赤 口为出现在广义对易关系和广义测不准关系( 2 - 7 ) 中的参数， “”到= 等赫岛， ( 2 2 3 ) i o 似乃即为p l a n c k 黑体辐射谱 因为我们考虑的是具有p l a n e k 尺度的量子系统，才有广义测不准 关系，定义与最, b k 度钆= 矗石有关的量： 瓦= ； ( 2 2 4 ) k 口q o t 并称为p l a n e k 温度，则可将积分表为： 2 c r , r ) = 番r b f 万而等丽， ( 2 2 5 ) 其中x = h v p ：s t 虽然我们不能明确给出( 2 2 5 ) 式的积分结果，但如 下的极端情况也是非常有意义的。 1 。当r “l = 时， r 0 吖口 面删沙斋雠厂j r o 丝e * - - 1 = 斋雠丢 ( 2 - 2 6 ) 虻r 。 与斯特藩一玻耳兹曼定律相符。 2 。当r 瓦= 年时 k 8 q a 因为x = h v t c s t ，此时温度很高，表明x 很小，作展开 湖南师范大学硕士学位论文 e 。= + x + x 7 + ，+ x 。 则 酏) o ) 为宇宙因子。 由文献 4 2 ，r _ n d s 黑洞视界面方程 l 一2 m r + q 2 r 2 一a r 2 3 = 0 ( 3 2 ) 由文献 4 3 ，r n 卅s 黑洞3 个视界面上的表面重力为 r i = 2 z p , = 2 at l = ( 6 ) - 2 ( 一【) ( 一i ) 一) = 2 x 见= 2 n t = ( 6 ) ，户( 一， ) ( t o - r , ) ( 一) ( 3 3 ) t = 2 z 尾= 2 “忙( 6 ) ，( 一，- ) ( 一) ( 一) 式中、r i 和分别对应黑洞内、外视界和宇宙视界，- 是方程( 3 2 ) 的一个负根，无物理意义。 由于观察者处于外视界和宇宙视界之间，他们感受到的视界只有 2 个视界面，而不会受到内视界的影响。因此，在后面的计算r - n d s 黑洞熵时只需考虑黑洞外视界和宇宙视界这两个视界面的贡献。即 s = 咒+ 疋 ( 3 4 ) r - n - d e s i r e r 时空中质量为零的标量粒子k - g 方程为 广义浏不准关系及其应用 窘+ c 手+ 争挚+ 7 1t 了m 2 + 专c 鲁口刍+ 五万1 矿0 2 ，p = 。c 3 书 采用w k b 近似( m e x p i s ( r ，口，矿) 】) ，不难得到 = 多等一砉刃一7 未可p ；】 ( 3 6 ) 这里 办= 雾，办= 等西= 筹 ( 3 - 7 ) 我们还可以得到动量的模平方 p 2 = 以p = g ”p ；+ 9 4 露+ 9 3 3 巧2 = 竺f 二 ( 3 8 ) 3 3 广义的测不准关系与黑洞熵 如前所述，在普通量子力学中，位置量和动量p 作为一对共轭的 可观测量，应满足测不准关系 缸幻鱼(3-9) 它表示随着动量不确定度的增加，位置的不确定度可以任意地小，反 之亦然。 然而，在p l a n c k 尺度下的量子系统，如量子引力所描述的系统， 如( 3 9 ) 所述的测不准关系可能将不再成立，应改用广义的测不准 关系 r 。妒2 要【l + 口 + + 】( 3 - 1 0 ) 若考虑动量为主导的情况( 取= 0 ，口o ) ，则式( 3 1 0 ) 简化为 蚴呈【l + 口】= 兰【l + 砥饼m 2 ) ) 】( 3 - 1 1 ) 在坐标和动量所构成的相空间中。为了刻划相空间的量子态，可 将相空间分成一个个能层g s + d s ，每个能层划分为一个个相格，则每 湖南师范大学硕士学位论文 个相格作为相空间的一个代表点表示系统的一个量子态( 微观态) ， 由广义的测不准关系式( 3 一i i ) 可知，在相空间中的每个代表点( 相 格) 的线度为 2 n h ( 1 + a p 2 、 ( 3 1 2 ) 而相空间中一个宏观上无限小的体元d 3 x d 3 p 内所包含的量子态数目 则为 曼 ( 3 一1 3 ) ( 2 廊) 3 ( 1 + a p 2 ) 。 与之相应的量子态密度应为( 以下采用自然单位制，即j l = c = 1 ) 荆= 击f 丝( 1 堕+ a p z 盟) 3 ( 3 - 1 4 ) 将式( 3 - 6 ) 和式( 3 - 8 ) 代入上式得 g ) = 面i ) 3 j fd r d ( 1 0 + d e 砌x l p 2 , d ，p ，a ) d ，p p - = 高i ，f 蒜瓮挈y 爿) 每等一吉露一万s b i n 朗抛蛾峨 = 一 _一l1口一：一口 - 田l 口 ( 2 万) 3j ( 1 + 彻2 3 j 1 7 2 厂 ，2 ，p，22 口，尹1 。t 矿? p ：黑f 育f s m o d o d 9 2 j 两j 万再而j 8 2 c o r 广d r 2 瓦j 7 瓦品孑万了 自由能为 ( 3 1 5 ) 聊) = 古妒e 咖) = 喾( 3 - 1 6 ， 2 一r 2 a r t 国3daj- 一- ! 丁 - d 丽o 五而f 2 婶鼬 + o 【1 | ，了 广义测不准关系及其应用 s 咿荔 2 声2f r 2 毋； p 廊国4 d ( o = = 一- 一- 一 3 石：，2 ( p 细一1 ) 2 ( 1 + 伽2 ，) = 攀篇南 。7 其中譬= 励，考虑下面不等式 1 - e 一 二_ 矿一l 葺( 3 - 1 8 ) 我们得到 s 警! 簧瑞 ；等! 争丢c 旁2 + 吾旁“2 ， c 3 ， = 6 p + 鼋笋 采用薄层b r i c k - w a l l 模型，r - n - d s 黑洞系统的总熵应该主要来自 黑洞外视界和宇宙视界附近两个薄层的贡献。即 s = 只+ 瓯 ( 3 2 0 ) 将式( 3 1 9 ) 代入式( 3 2 0 ) 并注意到r - n - d s 黑洞的外视界和宇宙 视界分别为和乞可得 s 啬p + 爱笋+ 告p + 鲁r 2 d r ( 3 - 2 1 ) 如前面所述，我们感兴趣的是视界面附近 ，+ 乞】和k 一毛，l 对 黑洞熵的贡献。由广义的测不准关系式( 3 - 1 0 ) 不难得到在p l a n k 尺 度下位置的最小不确定度为2 石，以此作为纯空间线元的最小长度， 湖南师范大学硕士学位论文 则有 2 4 - d 。r 届2 r 护* r 丽d 而r 2 詹 。( 3 珑) e - r 2 d rz ，0 2 s ( 3 2 3 考虑式( 3 - 2 ) ，将式( 3 - 2 2 ) 、( 3 - 2 3 ) 代入式( 3 2 1 ) 得 s i 告n 鲁玑2 石+ 告如+ 鲁2 1 , 2 石( 3 - 2 4 ) 2 志+ 以) 其中4 和4 分别为黑洞外视界和宇宙视界的面积。这个结果表明，经 广义测不准关系改进的薄层b r i c k - w a l l 方法计算所得到的r n - d s 黑洞 熵与黑洞外视界和宇宙视界面积之和成正比，这正是我们所期望的结 果。 3 4 结果和讨论 本章从r e i s s n e r - n o r d s t r o m - d es i t t e r 时空背景下的k l e i n - g o r d o n 方程出发，利用经广义测不准关系改进的薄层b r i c k - w a l l 方法计算了 黑洞熵。结果发现，这种时空背景下的黑洞熵与黑洞外视界和宇宙视 界面积之和成正比，与人们预期的结果相符。由于r - n - d s 时空并不 是r e i s s n e r - n o r d s t r o m 黑洞和d es i t t e r 时空2 个系统的简单叠加，因 此这一结论并不应是想当然的熵可加性的推论。虽然我们利用经广义 测不准关系改进的薄层b r i c k - w a l l 方法给出的只是黑洞熵的上限，但 从中仍可以看到黑洞熵与视界面积之间的内在联系，也进一步表明了 黑洞熵是视界面上量子态的熵，是一种量子效应。 广义测不准关系及其应用 第四章测不准关系与光频的引力红移 4 1 引言 当光子在稳定的引力场中传播，不同地点的静止观测者将测得不 同的频率，这叫光频的引力红移。它是爱因斯坦发表广义相对论时预 言的个效应，这个效应已被天文观测和实验室观测所证明“洲。 关于引力红移人们普遍给出的是半经典的解释“町，本文将运用引力势 对时钟的影响及量子力学的测不准关系来解释引力红移效应。指出弓i 力红移与量子效应之间存在着密切的联系。 4 2 引力势对时钟的影响 设在稳态时空的p 。和巴两个空间点，分别有静止的光源和静止的 观测者。p 。处的光源在坐标时t 。和t i 时刻分别发出两个光信号，p 2 处 的观测者在坐标时t z 和f ：时刻分别收到这两个光信号。 由于时空是稳态的，一定有呻1 ，2 暑一f 2 = f ：一f l 暑厶f l ( 4 一1 ) 其中缸为p 。点发出两个光信号的坐标时间间隔。其固有时间间隔为 厶f ：固a t(4-2) a f l2 一g m k ( 4 - 2 ) 她为p 2 处的观测者收到这两个光信号的坐标时间间隔。其固有时间 间隔为 a 2 = 司必 ( 4 3 ) 由( 4 - 1 ) 、( 4 2 ) 、( 4 3 ) 式可知 湖南师范大学硕士学位论文 肾嚣蝇 4 ， ( 4 - 1 ) 式表明，稳态时空中任意两点的坐标钟所标记的同一组( 两 个) 信号的时间差是相等的，所以可称a t 为世界时，( 4 - 4 ) 式表明， 任意两点的静止标准钟所测量的同一组( 两个) 信号的固有时刻之差， 一般是不相等的。 以西瓦史时空为例，把史瓦西度规代入( 4 4 ) 式，得到 a 屯= ( 4 - 5 ) 当 i ，所以，静止于引力势大( 即，小) 的地 方的标准钟走得慢。令，2 趋于无穷远，并注意到无穷远处的标准钟即 坐标钟，则( 4 - 5 ) 式化成 峥( i 一警) 一； 6 ) 或，：0 一下2 g m ) 一；r c r ( 4 - 7 ) 其中，即，a r 即a 。a t = a f 2 为静止于无穷远的观测者的标准钟。 在史瓦西情况，它就是那里的坐标钟。对于静止在太阳表面上的标准 钟，地球上的观测者可近似看作无穷远观测者。( 4 - 7 ) 式告诉我们， 太阳表面的标准钟会比地球上的标准钟走得慢。 4 3 光频的引力红移的半经典解释 位于两地的钟，不能直接比较快慢。但可用光谱线频率的移动来 验证钟速变化的理论。原子发射的光谱线的固有频率，反映光子( 或 3 0 作为光源的原子) 的固有振动频率 v ：坐 ( 4 8 ) = 一- 、1u ， 其中n 为振动的次数。由于p 。点和p 2 点测得相同的振动次数 战= 鹕 ( 4 9 ) 我f l 】有 嵋厶f l = 屹a 乇 ( 4 1 0 ) 于是由( 4 - 9 ) 、( 4 - 4 ) 及( 4 - 5 ) 式可得 屹= 置嵋 治m 吃= 扣一署坤一弹u ( 4 - 1 2 ) 上两式表明，由于稳态引力场中各点标准钟的速度不同，从一点传播 到另一点的光子的频率将发生变化也就是说，光谱线将发生紫移或 红移。 利用( 4 7 ) 式和( 4 1 2 ) 式，可得静止于无穷远的观溅者所看 到的，来自恒星表面的光子的频率为： y 州l 一警 ( 4 _ 1 3 ) 其中为恒星表面处原子的固有频率，或者说成在那里发射的光子的 固有频率。y 则为无穷远处静止观测者测得的该光子的固有频率， ( 4 一1 3 ) 式表明，无穷远观测者会觉得频率变小，即光谱线发生红移， 移动的频率为： 址h = 小一警) ；1 1 ( 4 - 1 4 ) 这就是光频的引力红移的半经典解释a 湖南师范大学硕士学位论文 4 4 时间一能量测不准关系与光频的引力红移 众所周知，测不准关系不但存在于动量与坐标之间，而且也存在 于能量与时间之间，即 出f 皇 2 ( 4 - 1 5 ) 其中凹为能量不确定度，f 为与之对应的时问不确定度。若考虑 a e 、r 的最小不确定度，应有 出f ：生 2 ( 4 1 6 ) 光源的固有频率，是指相对光源静止的观测者测到的光源所发的 光子的频率。为具体起见，考虑原子的能级跃迁为光源，该光源所放 的光子的频率取决于原子的能级结构，并不是如前面半经典理论所说 取决于原子的振动频率，即 y = e - e o ：a e 归| i l 。 ( 4 - 1 7 ) 设瓯为基态，e 为某一激发态，激发态是一个非定态，其能量不确定 度为f 。与之相对应的特征时问( 时间不确定度) 为a f 。因此，对 于p 。和p 2 两个空间点。实际观测到的光子的频率为 一e 圭目一e o 一鸲 嵋2 1 i l 一一2 彳 “：e ：k a e ；- e o ：竺 2 广2 彳 ( 4 - 1 8 ) ( 4 - 1 9 ) 其中皤为空间只点e 的不确定度，与之对应的特征时间为a f l ，为 空间只点e 的不确定度，与之对应的特征时间为a f 2 ，显然，由( 4 1 6 ) 式，应有 广义测不准关系及其应用 a f 。 a r l = 兰( 4 - 2 0 ) 蚯觚= 兰( 4 - 2 1 ) 又因为对于一个非定态，其能量不确定度和该能级与基态能级的差值 大小成正比，即 皤= k a e i 蟛= 地易 ( 4 - 2 2 ) ( 4 2 3 ) j | 是无量纲的比例系数，将( 4 2 2 ) 和( 4 2 3 ) 式分别代入( 4 2 0 ) 、 ( 4 - 2 1 ) 式得 k a e 。a r - - 鲁 k z k e 2 a f 2 = 耋 进一步有 k & e i a t , = k a e 2 a f 2 i i 嵋= h v 2 a f 2 将( 4 - 4 ) 及( 4 - 5 ) 式代入上式得 屹= 舞嵋 c 栊4 ， ( 4 - 2 5 ) 令，2 专o o , r t - - + r ，嵋一，吃一i ，则有 p ：( i 一半) ； ( 4 2 6 ) c ， 即无穷远观测者也会觉得频率变小，即光谱线发生红移，移动的频率 湖南师范大学硕士学位论文 为： a y ：y 一： ( 1 一2 g r m j l 】 ( 4 2 7 ) c 。， 这就是光频的引力红移的量子解释。 4 5 讨论 引力红移的半经典解释认为原子发射的光谱线的固有频率，反映 了光子或作为光源的原子的固有振动频率，这显然是不对的，因此引 力红移的半经典解释存在一定的缺陷。按照量子力学的观点，原子所 发光子的频率取决于原子的能级结构。而运用测不准关系来解释引力 红移则克服了该缺陷，并且给出的是引力红移的下限，对引力红移的 上限没有限制，也就是说，在极限情况下( 例如：当r _ ，| 等时) ， 将发生无限红移。这与人们所预期的结果相符。 参考文献 【l 】周世勋量子力学教程北京高等教育出版社，1 9 7 9 【2 】曾谨言量子力学导论第二版北京北京大学出版社，1 9 9 8 1 3 】喀兴林高等量子力学北京高等教育出版社，1 9 9 9 【4 】l j g a r a y , q u a n t u mg r a v i t ya n dm i n i m u ml e n g t h , i n t j m o d p l a y s 1 9 9 5 ，a1 0 ：1 4 5 【5 】l n c h a n ge ta 1 ，t h ee f f e c to ft h em i n i m a ll e n g t hu n c e r t a i n t y r e l a t i o no nt h ed e n s i t yo fs t a t e sa n dt h ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n tp r o b l e m , p h y s r e v 2 0 0 2 ，d6 5 ：1 2 50 2 8 1 2 50 3 2 【6 】n b o h r 原子论和自然的描述，商务印书馆，1 9 6 4 , 4 3 - 4 6 【7 】d a v i db o h m q u a n t u mt h e o r y 1 9 6 1 【8 】w h e i s e r b e r g z e i t p h y s i k 1 9 2 7 ，4 3 ：1 7 2 【9 1w h e i s e r b e r g t h ep h y s i c a lo f q u a n t u mt h e o r y 1 9 3 0 【1 0 1k e n n a r de h z e i t so f p h y s i c 1 9 2 7 , 4 4 ：3 2 6 【1 1 】r o b c r t s o nhe p h y sr c v 1 9 2 9 3 4 ：1 6 3 【1 2 】l a r s e nu s u p e r s p a c eg e o m e t r y t h ee x a c tu n c e r t a i n t yr e l a t i o n s h i p b e t w e e nc o m p l e m e n t a r y a s p e c t s j p h y s 1 9 9 0 a 2 3 ：1 0 4 1 【1 3 】绰英超广义h e i s e r b e r g 不确定关系大学物理，1 9 9 7 ，1 6 ( 2 ) ：3 1 3 3 【1 4 】李家宝、邝安祥广义坐标与广义动量的研究湖北大学学报( 自 然科学版) ，1 9 8 8 ，l ：6 3 - 6 7 【1 5 】高守恩，关于时间一能量的测不准关系，杭州师范学院学报。1 9 9 0 ， 6 ：3 2 3 6 【1 6 1 l i x i a n g b l a c kh o l ee n t r o p yw i t h o u t 蜥c kw a l l s p h y s i c s l e u e r 2 0 0 2 ，5 4 0 b ( 1 - 2 ) ：9 1 3 【1 7 】张子珍等，柱黑洞的熵，数学物理学报，2 0 0 5 ，2 5 ( 2 1 ) ：1 0 6 1 1 0 6 6 【1 8 】刘成周、周宙安、李翔、赵峥广义不确定原理对一般静态黑洞熵 的影响北京师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ，4 0 ( 4 ) ：4 8 7 - 4 9 2 1 9 1 叶鑫、桂元星等：维r i n d e r 谐振子广义测不准关系大连理工大 学学报，2 0 0 1 ，4 1 ( 5 ) ：5 2 3 5 2 6 2 0 】刘全慧等w e y l 本征微分和连续定态体系的精确不确定关系黑 龙江大学自然科学版，1 9 9 3 ，1 0 ( 2 ) ：6 9 7 4 【2