（基础数学专业论文）两类非线性抛物型方程定解问题的研究及其在图像处理中的应用.pdf

海交通大学2 0 0 2 届硕十研究生毕业论文 两类非线性抛物型方程定解问题的研究 及其在图像处理中的应用 摘要 用偏微分方程方法进行图像去噪以及图像重绘是近年来图像领域 发展的新动向之一，它不仅对偏微分方程理论研究开辟了重要的研究方 向，而且对图像处理、信号滤波等问题的发展起到了重要的促进作用， 故它既有重要的理论价值，又有着广阔的应用前景。本文首先建立了可 以同时用于图像去噪以及图像重绘的两个非线性偏微分方程模型，由于 模型中含有间断系数以及退化项，在s c h w a r t z 分布框架下无任何理论 结果，故在此我们利用二十世纪八十年代末由法国数学家c o l o m b e a u 引 进的新的广义函数空间理论，证明了此两模型的c o l o m b e a u 广义解的存 在性与唯一性，并讨论了它与普通弱解之间的关系，从而建立了这两个 问题的适定性理论。最后还讨论了这两个模型在图像处理中的应用，并 给出了数值模拟的结果。 关键字 非线性抛物型方程；间断系数；c a u c h y 问题；c o l o m b e a u 广 义解；图像处理 卜海交通大学2 0 0 2 届硕十研究生毕业论文 t h et h e o r e tic a lr e s e a r c ho ft w ok in d so f n o n l i n e a rp a r a b o l i oe q u a t l o n s a n di t sa p p l i c a t l o n sl ni m a g ep r o c e s s a b s t r a c t i ti so n eo ft h en e wr e s e a r c hf i e l d st o a p p l yt h em e t h o d so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si ni m a g ep r o c e s s ，s u c ha sd e n o i s i n g ，s e g m e n t a t i o n ， i n p a i n t i n g a n ds oo n t h e s er e s e a r c h e sn o t o r a yo p e nu pa ni m p o r t a n t r e s e a r c hf i e l df o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a e q u a t i o n s ，b u ta l s op l a ya ni m p o r t a n t r o l ei nt h ed e v e l o p m e n to ft h ef i e l d so fi m a g e p r o c e s s ，s i g n a lf i r e f i n ge t c h e n c e ，t h e yo w ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u e sa l s ow i t hav a s ta p p l i c a t i o n p r o s p e c t t h i sp a p e rh a sf i r s te s t a b l i s h e dt w om o d e l st h a tc a nb eu s e di ni m a g e d e n o i s i n g a sw e l la s i n p a i n t i n g s i n c e t h e r ed o e sn o te x i s t a n yg e n e r a l t h e o r e t i c a r e s u l ti nt h ef r a m eo fs c h w a r t zd i s t r i b u t i o n sd u et ot h e d i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t sa n dd e g e n e r a t ei t e m si nt h e s et w om o d e l s ，i nt h i s p a p e rw e u s et h et h e o r yo fn e wg e n e r a l i z e df u n c t i o n s ，i n t r o d u c e db yj f c o l o m b e a ue ta 1 a tt h ee n do ft h ee i g h t i e so ft h e2 0 t hc e n t u r y f o rt h e i i ! 塑至望查堂! 塑! 塑堡主堑壅生兰些堡壅 c a u c h yp r o b l e m s o ft h e s et w on o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，w eh a v e e s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o ft h ec o l o m b e a u g e n e r a l i z e d s o l u t i o n s ，a n di t sa s s o c i a t i o nw i t ht h es c h w a r t zw e a ks o l u t i o n sw h e nt h e l a t e re x i s t s ，f r o mw h i c hw ec o n c l u d et h e w e l l p o s e d n e s s o ft h e s et w o q u e s t i o n s f i n a l l yw eh a v ea p p l i e dt h e s et w om o d e l si n t h ep r o b l e m so f i m a g ed e n o i s i n g a sw e l la s i m a g ei m p a i n t i n g ，a n dh a v ep r e s e n t e ds o m e n u m e r i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：n o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，c a u c h yp r o b l e m s ， d i s c o n t i n u o u s c o e f f i c i e n t s ，c o l o m b e a u g e n e r a l i z e ds o l u t i o n s ，i m a g e d e n o i s i n ga n di n p a l n f i n g i i i ：海交通大学2 0 0 2 届硕j 研究生毕业论文 1 、图像处理综述 介绍 用偏微分方程( 主要是抛物型方程) 的理论及方法进行图像去噪、图像分片 以及图像重绘是近年来该领域发展的新动向。其主要思想是将带噪声的原始图像 u 0 ( x ) 看作是不带噪声的真实图像“( z ，f ) 的初值( 即“。( z ) = u ( x ，0 ) ) ，通过寻找一 个发展型的偏微分方程的稳定解，来得到对真实图像u ( x ，f ) 的最佳近似。 关于用偏微分方程进行图像处理的起源以及发展，可以参考文献【8 】，【1 1 】 【2 0 】，【2 5 】。 ( 1 ) 图像去噪和图像分片 图像去噪( d e n o s i n g ) 和图像分片( s e g m e n t a t i o n ) 是图像处理和计算机视觉 中的基础问题。图像噪声的种类有两种，一是最常见的g a u s s i a n 随机噪声，另 一种是在传输过程中由于随机的字错误( b i t - e r r o r ) 而导致的所谓的 s a l t - a n d - p e p p e r 噪声。在图像分片的过程中，最重要的一个步骤是图像“边界” 的探测，这里图像的“边界”指的是一幅图像中灰度发生显著变化的位置。 本文中讨论的图均为灰度图，即由最深色到最浅色共有2 5 6 个亮度值，从 0 ( 表示黑色) 到2 5 5 ( 表示白色) 。 我们令u 表示真正的、无噪声的图的灰度值函数，n 表示噪声函数，u 。表示 带噪声的图的灰度值函数，则有关系式： u o2 u + n 因此，去噪的过程即是从重建u 的过程。 ( 2 ) 图像重绘 图像重绘( i n p a i n t i n g ) 指的是在一幅图像中，给定一个区域，用该区域外已 知的信息来填补该区域的信息，从而达到去除一幅图像中不需要的部分的目的。 如图1 所示，d 表示我们要进行图像重绘的区域，图像在d 以外的部分是我们 需要的。对d 进行图像重绘，也就是利用u t d f 的已知信息填补“l 。，以达到对图 海交通人学2 0 0 2 届硕：研究生毕业论文 像在d 区域的最佳近似。这项技术可以广泛地应用于老照片的恢复、图片的去污 等领域。 参考文献【1 5 1 、 2 4 1 中对此有详细的说明。 2 、偏微分方程进行图像处理的发展概况 ( 1 ) m a r r 和h ii d r e t h 【5 】 m a r r 和h i l d r e t h 首先使用了以下的方法来进行图像分片( 寻找边界) ： ，i 卅2 将u 0 与高斯函数g ，( x ) = e 百( t 称为尺度，s c a l e ) 进行卷 ( 4 z a ) 2 积，由此得到了一个多尺度图像u ( x ，t ) 。 找出所有使得i v “l 彳艮大并且h 改变符号的点，这些点即为尺度为t 时的“边界点”。 通过一系列的尺度t = t 。，t ：，t 。，来获得各个尺度下的“边界”。 w i t k i n 观察到图像函数与在各个尺度下的高斯函数的卷积等价于解一 个以原始图像函数为初值的热方程： f “，= a u ( x ，f ) 1 “( x ，o ) = h 。( 工) 】浦交通人学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论文 这个方程的解正好为：u ( x ，f ) = g ，s h 。于是，“边界点”即为那些使得 i v h l 很大并且“改变符号的点。 这个方法的缺点是会导致不正确的边界，因为它进行的是“各向同性的 扩散”( i s o t r o p yd i f f u s i o n ) ，也就是说在进行去除噪声的同时，也会对边 界进行磨光，没办法很好地保持边界。 ( 3 ) m a ii k 和p a r o n a 【2 1 】 m a l i k 和p a r o n a 改进了w i t k i n 的方法，引入了“各向异性扩散” ( a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ) 的思想，第一次将非线性扩散方程引入了该领域： i u t = d i v ( g ( i v u l ) v u ) lu ( x ，0 ) = “o ( x ) 在这个方程中，g 是一个光滑的非增函数，满足 g ( 0 ) = 1 ，g ( x ) 0 ，且当z 寸o 。时，g ( x ) - 0 1 g 一般可取为：g ( x ) = ，其中五是一个大于0 的参数。 1 + 鲁 一 这个方法的基本思想是“有条件”地进行图像的光滑，在处理的过程中 引入了反馈，使g 根据v u ( x ) 不是根据( x ) 进行调整，从而较好地保持了 边界。然而这个方法也有缺点：首先，当图像的噪声非常厉害，导致v “无 界的时候，该方法无效；其次，该方程是不适定的。 ( 4 ) c a r t e l i o n s ，m o r e i 和c o il 6 1 c a t t e ，l i o n s ，m o r e l 和c o l l 认识到了p e r o n a - m a l i k 模型的缺点，并 提出了如下的改进模型来加以克服： i 珥一d i v ( g ( v g ，$ u 1 ) v u ) = 0 lu ( x ，o ) = u o ( z ) 该新模型克服了p e r o n a - m a l i k 的不适定性，但是却无法证明当盯_ 0 时 的稳定性，并且没有任何的几何意义。 海交通大学2 0 0 2 届硕上研究生毕业论文 ( 5 ) a l v a r e z ，l i o n s 和m o r e i 【1 1 】 a l v a r e z ，l i o n s 和m o r e l 进一步改进了( 4 ) ，提出了以下的新模型： 卜叫f v g 一例v “f a i v 同v u ) = 。 【u ( x ，0 ) = u o o ) 该方程是中曲率流模型的变形，因此具有明显的几何意义，并且可以证 明粘性解( v i s c o s i t ys o u tj o n ) 的存在唯一性。 ( 6 ) t o n yo h a n 和j ia n h o n gs h e n 【2 4 】 t o n yc h a n 引进了r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i 【z 3 1 全变分模型进行图像 重绘，如下图所示：d 表示拥有分片光滑边界r 的开区域，也是要进行重绘 的区域，e 是包含在d 。中的一个闭区域。 图2 ：图像重绘示意图2 他琵出雕重；2 幽彤瓦刀： 咖u v 叫坳+ 瓤h 。 2 姗 从而导出以下的非线性方程： 铲咖( 净枷卅) 其中 ，f a ，z n 以2 1 0 ，z d 4 卜海交通大学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论立 该模型在应用中取得了较好的效果，但由于方程含有间断系数项以及退 化项，所以到目前为止尚没有任何理论结果。 3 、本文主要结论 ( 1 ) 模型( i ) 首先，我们考虑下述模型： “，一d i v ( g ( v g 。8 u ) v u ) 十五( “一j 矗) = 0i n q o ，丁) 割，= 施榔， u ( o ，x ) = g ( x ) i nq 其中，2 是吼4 上的一个有界刚区吲，d q 是s 2 的边界，d 是需璺图像重 绘的区域；g 。c x ，= 丽1e x p c 一尝，为高斯函数；玩c x ，是q 上给定的函数 “。( 工) ( 即图像的一部分已知信息) 在q 上的任意一个延拓；元表示a q 单位 外法线方向：g 满足： ( 卜2 ) 占( o ) = 1 ，g ( x ) 0 ，且当善j 一时占( 并) j 0 ( 1 - 3 ) s u p l 3 9 ( s ) 1 2 - 0 ，存在n 。”使得当f _ 0 ，有 ，驾+ ，咿；“( 舢，r 1 = d ( s “) ( 。堆r ：+ 1 。 记n 。啤，】为e m g 吼，】的子集，满足对所有的口“，k 一n q 一1 4 和 t 0 ，使得当- 0 ，有 ，掣刊a 科“( 8 , x , t ) i = d ( ) ( j ，i x r ：“。 显然，e m , g 【吼，1 】是一个微分代数，n j 吼：+ 1 】是它的一个微分理想。 定义2 1 广义函数空间g 。【吼，】定义为e m , g 【吼 i n 。 g w l 】。 i i 3 u g 。睇：“】的代表元为 “。j 。 为了研究非线性函数在g 。【吼：“】上的作用，我们引进以下的定义 定义2 2 称一个光滑函数f ：吼“- 孵为缓增函数，如果满足对所有的 优n ”，存在n 。一r 以及c 。 0 ，使得对所有的“吼“成立 i ，础( “) i o 定义了从d 7 ( 吼”) 到g 。佛“】的一个嵌入。显然，丁，对求导是可交换的。更进一 步，若w c 孑( 吼) ( 在吼上光滑而且各阶导数均有界的函数全体) ，它本身就 可以作为g j 吼? 】中元素的代表元。因此，c f ( 吼”) 可视为g 。睇1 的一个子代数。 注2 3 对从d 7 ( 吼，) 到g 。【吼：“】的嵌入，我们需在上述卷积定义中对变量f 作个适当的平移。 定义2 4 称u g 。睇：“】与w d 7 ( 吼：) 相关，是指对u 的某个代表元 “。 。，满足，有 记为hz w 。 m 。一wi nd 7 ，) 注2 5 若u g 。【吼：“】与w d 7 ( 吼，1 ) 相关，贝i j u 所有代表元 “。) 。均满足 上式。 定义2 6 我们称u g 。睇：“】为“l o g 型”，如果它有一个代表元 “。) 。 使得对每一个t 0 ，当s - 0 时，均有 。：，s k u 。p ：。l “s ( 工，r ) f = d ( 羽1 。g 叫) 称u g 。旺，】为“有界型”，如果当占_ 0 时，有 s u pl e ( z ，叫= d ( 1 ) ( j f 】r ：” 由以上的定义，我们可直接验证下面的引理： 9 l 海交通大学2 0 0 2 届硕l 研究生毕业论文 引理2 7 若，c ”( 吼：“) 是具有阶为，的缓增函数，且有( ，g 。陋，】 是饥鬲一型的，则e 删g 。【吼，1 】。 注2 8 注2 9 本文中为了简化记号起见，我们直接用代表元来表示g 。瞰：+ 1 中的元素。例如，若u g j 吼：“ 的代表元为 “。 。，则我们 简单记为： “，) 。g ；【吼，】 由于本文主要是在l * 和l 2 空间中讨论，所以我们将e 。【吼，】、 e 吼：“】、n 。【吼：“】以及g ，啜：“】的脚标g 换为l * 或者r ， 表示定义中的条件是在r 或者r 意义下满足。 上海交通大学2 0 0 2 届碳l 研究生毕业论文 三、模型( i ) 的适定性 1 、 弱解的存在唯一性 本节中，我们讨论模型( i ) 的弱解的存在唯一性。由于模型中盯的选取并不 会影响定理的证明，为了简化期间，从本节开始，我们均将假设盯= l 。 定理3 1 给定l 2 ( 吼”) ，则存在t 0 ，使得问题( i ) 有唯一的解 u 6 l 2 ( o ，t ；h 1 ( 吼“) ) n l - ( o ，丁；匕( 吼“) ) n h l ( o ，t ；h - 1 ( 吼“) ) 证明我们将用s c h a u d e r 不动点定理来证明该定理。 首先引进空间 w ( o , t ) = p ( 叮；日l ( ) ，i d w l 2 ( o , t ；h - i ( ) ( 3 - 1 ) 令w 6 w ( o ，丁) n l - ( 0 ，丁；工乞( 吼“) ) ，使得 l - ( 0 丁，敷( ，2 b ) 且记( e 。) 为问题 r 咖臼呷：裔二娑卜。 由于w er ( o ，r ；z 乞( 贸”) ) 且g ，g 均为c ”，故 g ( v g $ w ) r ( 0 ，t ；c 。( 吼“) ) 又由于g 是非增的，所以存在某个常数矿 0 使得 ( 3 - 2 )g ( v g w ) y 0a e i n ( o ，t ) x ! r “ 由经典的抛物型方程的结论【1 9 】，问题( l ) 有唯一解 “( w ) w ( 0 ，r ) 下面我们对该解进行估计。 海交通大学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论文 万程两边乘以m ，开征吼“上积分，有 圭丢l 。衍出+ l 。g ( v g * w ) i v u l 2 出= l 五e ( u u o - - u 2 ) 出 = k 。( u u 0 - - u 2 ) d x 又由于u u o - - u 2 0 ，使得 j l u ( w ) l l r 。，。t 。c ， i l u ( w ) l l ，。k 。，- 0 ( j ，f 垮吼“埘0 r ) ” 7 1 4 1 1 ； l o ，、【 = 岛 卜海交通大学2 0 0 2 届硕l 研究生毕业论文 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 下面估计 s u p f v u 5 ( ，f ) f 。方程两边对以求导，有 ( j ，r k 吼”h 0 ，r ) 。 等- g ( v g 吖) 气。十鲁( v g * u 5 ) ( 吖) 毛“未 + 慕( v g * u 。) ( g 。籼( 粥，却v “5 】 + 鲁( v g 蝴w 。蝴乳5 】 + 鲁( 翱v g 。吖) v “x k 一( a 。雹) ( “l “；) 一霉( “5 u o ) 。 式子两端乘以2 “i ，并对k 从l 到n 求和，可得 蚪0 t _ g ( v g w ) 屯糕一鲁( v g 吖骶帅小上_ g ( w 屯5 ) 屯蒜l 篑( w 蝴顶w * 籼顶v 阻j ) = 2 詈( v g 吖) ( g 。吖) 岛“和三 + 2 丽0 2 9 ( v g * u e ) ( g “8 ) 【( v g h 5 ) v “5 】“乏 + 2 - ( v g * u 8 ) ( v g “5 ) + v “5 】h 三 一2 9 ( v g 4 u e ) 磊“毛“ 一2 ( 0 。) ( 。；) “三 一2 雹m ：( “8 一“；) 。 由以、g 以及g 的定义，我们有 b “蚓2 c 咖毛“三 8 y p i a g ( s ) 1 2 。与 v 雹 。 o 均为l o g 型， 可得对于任意的7 0 ，存在n o 一n 当占j0 时，有 s u p l v “。( x ，t ) l = o ( e “。) ( j j ) 【o ，) 州 为得到估计l v 2 “5 i ，方程两边同时作用a ：。，在得到的式子两端乘以 2 h 三“三，并分- 对女和 从1 到n 求和，对得到的不等式右端进行和 前面一样的估计，结合已经证得的( 3 6 ) ，同样可以得到 华叫v g 彬，磊掣 一鲁l l ( v g * u * ) ( v g 。+ “5 ) ( v ( v 2 “5 2 ) ) c l f v “。f 2 + g 其中，c ，c z 与前面有相同性质。 故同样可得到存在n l 一圹，当s _ 0 ，有 s u p j v 2 5 ( z ，叫s c e “- ( j ，l k 吼1 x l o r ) 。 将得到的估计代入方程，可得对f 的一阶导数的估计：存在n ：已4 ， 当s _ 0 时，有 s u p l or u e ( 列) l c e “z 对x 和t 的其它任意阶导数均可同理验证。因此 m ) 。e m , l ( 吼“ o ，r ) ) 由广义解的定义，可知类 h 8 ) 。定义了问题的一个广义解 1 6 上海交通人学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论文 ( 3 7 ) 定理3 3 ( 唯一性) “5 。 v 5 ) ，) o 分。是问题( i i ) 两个广义解，且 b ，) 。满足： h 5 ) 。， v ) 。 0 ， v u e ) 。，。， v v 8 ) ， 0 ，均为抓鬲一型 v 2 “5 ， v 2 v 5 ) 。) 0 均为l o g 一型 令w = “5 一v 5 ，则 w 5 1 ) 。l - ( 吼”【o ，r ) ) 证明由于 “5 。， v 5 。均为l o g 一型，可知 w 5 ) 棚t p _ , 是l o g 一型。 将w 5 代入( i i ) ，司得w 。满足： 等叫v g * u d 8 0 w ：，鲁叩彬) ( v g x t * u e ) v w 8 + = g ( v g * h 8 ) 一g ( v g * v 8 ) 蛾v ：。 + 詈( v g 蜘。( v g w o w v 8 + r 塑o l ( v g $ “5 ) 一v g * v 。) 】【( v g x , r 5 ) v v 8 】 + n 6 x 吼”，t 0 w k = 甩5 ， z 吼“ 其中， 5 k n r - ( 吼”x o ，丁) ) ，协8 ： 舢n l - ( 吼4 ) ，v t o 。 与前面同样的讨论，可得： ( 3 7 ) 式的右端项c 。1 1 w 50 r 。媳跏十。 其中，存在对常数叠，使得 c l 叠( ( h k ，+ i ) 阿钆蝴) ) + l i v 2 v 5 b 椰。) ， 由极值原理以及 8 i 。的定义，结合已知条件 v 8 ) 。， v v 8 m ， v 2 v 8 均为l o g 一型， 可得v t 0 ，任意n 。，n 有 上海交通人学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论文 娑 圳= o ( e h ) ，当占_ 0 ( j ，蓐吼”q o ，r ) 。 。 对x 和对t 的其它各阶导数的估计可类似前面证明。因此 w l 。n l - ( 吼nx 【o ，丁) ) 3 、弱解与广义解的关系 定理3 4 给定“。l 2 ( 9 l “) ，u 是由定理3 1 给出的问题( i ) 的弱解；给 定 “；) 舢g l _ ( 吼“) ，r u ；等“o ， “5 。) 0 g l - ( 吼”【o ，r ) ) 是 由定理3 2 给出的问题( 1 8 ) 的广义解，则uz u 。 证明令v 。= “一u ，可得其满足的方程为 ( 3 8 ) 形一d i v ( g ( v g 木“) v v 5 ) 一d i v ( ( g ( v g8 “5 ) 一g ( v g 木h ) ) v h ) + 霍v 。+ ( 霍一以姐一霍( 一) 一( z 一霍) u o = o ”k 2 u o ( x ) 一“。( x ) ( 3 - 8 ) 两边乘上2 v 。，并在吼”上积分，有 ( 3 9 ) l 。2 哼v 8 d x l 2 d i v ( g ( v g , u e ) v v 5 弘8 d x l 。d i v ( ( g ( v g $ “) 一g ( v g + h ) ) v ) d x + l 。2 鬈v 8 v 5 出+ l 2 ( 一以) w 。d x l 。2 麓( “0 8 一“。) v d x l 2 ( 一霉) h 。v d x = 0 下面分- 对上式中的每一项进行讨论。 一2 l 。d i v ( g ( v g t h ) v v 5 ) v 。d x = l g ( v g * u t 4 v v 8 ( f 1 2 d x c 1 卜5 ( f 孵， 一 ! 塑茎望查兰! 塑! 旦塑堕窒竺兰些丝苎 ( 3 1 0 ) 一j r 。d i v ( g ( v g * r e ) 一g ( v g $ “) v 咖。d x = 上。( g ( v g 5 ) 一g ( v g 。h ) ) v “v v 。d x 兰一敝v g $ “5 ) ( f ) 一g ( v g ；“) ( 创州，慨( 龇。洲甲v 5 ( 地 一c z i l v 5 ( f ) | l r 。，i i v “( f ) r 。、i i v v ( f ) l f r 。， ( 芸叱一 ) + 导峨一 l 。霉v v 出一c 。啦俐， l 。( 一i i e ) u v e d x 一c ，i 眩一九忆。n i i v 5 ( t ) k 。 _ ( 孚忙一t k ，+ 扩( ， l 。一厦( “；飞) v 8 出一c s 帖飞k 廿刊k ， 列粤知帆冉 l 一( 成一2 , ) u o v d x 一c ；6 震一五 ( 毗，) 即巾5 ( 吼删， _ ( 争雹一t k 2 ，+ 扩1 ( f ) k 一 将这些估计代入( 3 - 9 ) ，整理可得 知。，g 愀岷i l v u ( 慨 ，+ g 纛 + q ( 慷一五睡。n 十肛；一眨。n ) ( 3 1 0 ) 两边在【o ，r ) 上积分，再由定理3 1 ，“l 2 ( 0 ，t ；h 1 ( r “) ) 且由于当s 弓o 时， 成_ 五i nl * ( 吼“) ， “；- - i n r ( 倪”) ， 可得 v j oi n r ( o ，丁；( 吼”) ) ， 即 u 5 - hi n r ( 0 ，丁；l 2 ( 吼“) ) 由定义，我们证得uz u 。 一 1 9 j 一海交通大学2 0 0 2 届硕士研究生毕业论文 四、模型( i i ) 广义解的存在唯一性 为了研究模型( i i ) ，我们考虑一下的问题( 5 ) ( ) 其中： 等叫v g * u 。瞒( v “w ，+ o 州g ( v g , u 5 胛g x t * u e ) v “5 】 一毽扫5 ( v u 8 ) ( “5 一“；) x 9 t ”，t 0 “6 l = “；， 工坩 0 l - q “刮，( r _ ，以及上式中女2 的情形，有 s u p i v 4 g * u e i - 0 w s l ：n 5 x 吼“ 其中， 。1 ) 0 n l - ( 吼”x o ，r ) ) ，仁1 ) 0 l - ( 吼“) 。 利用中值定理以及口；、b 5 、g 、g 以及占的定义，有 l g ( v g t “5 ) ；( v “5s ) 一g ( v g $ v 5 ) n ；( v v 54 ) 】v = l ( g ( v gs “5 ) 一g ( v g s v 5 ) ) d ；( v v f * ) v 刊 + i g ( v g 。“5 ) ( 4 ；( v “5s 妒s ) 一口；( v v 书妒a ) ) v ：。l 咖功忡2 v k 功 海交通人学2 0 0 2 届硕i 研究生毕业论文 b 。( v u e * ) 彬( v v 8 慨) 兰副w 弘忡n 由极值原理，结合占的定义，可得任意n 。n 当e _ 0 时，有 s u p f we ( 列) l = o ( ”) ( j t ) e nx 1 0 ，r ) 对x 和t 的其它阶导数的估计可类似前面证明。 因此 w 。x 。，( 辨”【o ，r ) ) 一 上海交通大学2 f ) 0 2 届硕士研究生毕业论文 1 、 模型( i ) 五、数值计算 对于模型( i ) ，我们引入坐标网格，j h ，n a t ) ，其中h = i i ( n + 1 ) 0 i n + 1 ，0 j n + 1 。记“ f ，】是u ( i h ，m ；n a t ) 的近似，a n ( f ，】是 g ( v g4 u ) ( i h ，j h ，n a t ) 的近似。于是， g ( v g $ u ) o u i o x 可被离散化为 a ”【f ，j o u i o x ( i h ，j h ，( n + 1 ) a t ) ；更进一步，a ，m g ( v g u ) o u s x 被离散化为 去 ( 州h ，卅州f 】) “【f - 1 ，卅( 2 州纠【f _ 1 ，卅州，巾“ f 门 + ( d “【f ，j 】+ a n 【f + l ，j 】) “”“【f + 1 ，j 】 同理可以离散化a ，a y 【g ( v g + u g u ，a ) ，】，只要简单地交换f 与j 的角色即可。 2 、模型( i i ) 模型( i i ) 的数值计算基于o s h e r 以及s e t h i a n 2 3 1 提出的“迎风有限差分 格式”。 詈和g ( v g ，帅v 枷尚) 项直接用普通差分格式，詈用向前差分 业霉盟丑来近f以，g隅障v尚)中的vuat v u 肿心差分近似 i v u l 州静= 亟挚 需要特别处理的是以l v “l 舌兰旨项以及v g v u 项。由。s h e r 以及s e t h i a n 的 理论，令 f ：海交通大学2 0 0 2 届硬i 研究生毕业论文 d ? 缈“【f ，j 】= 妒“【i + l ，j 卜妒”【f ，力 d i 妒“ f ，j 】= 妒”【i ，j 卜妒“【f l ，j 】 d j 妒“【i ，j 】= 妒“【f ，j + 1 1 一p “【i ，j 】 d j 妒“【f ，力= 妒” f ，j 】一妒”【f ，一1 则 ( v g v u ) i j = m a x ( d ，9 1 f ，j , o ) d , - u ”【f ，j 】 + r a i n ( d i g “【f ， ，o ) d ；u ”【f ，力 + m a x ( d ，g “【f ，门，o ) d i “【f ，j 】 + m i n ( d ，g ”【f ，力，o ) d ；u “【f ，j 】 且 f v u = ( m a x ( d i u “【f ，力o ) ) 2 + ( r a i n ( 讲“” f ，力，o ) ) 2 1 + ( m a x ( d j u l f ，力0 ) ) 2 + ( m i n ( d ；u “ f 儿o ) ) 2 ) 2 因此- 的计算格式为： 川“棚地( v g a * u 棚o v 枷( 瀚m 捌十( v g v u 卅 一f l u l i ，j 】+ ( u n 【i ，j 卜u 0 【f ，j ) a t u 0 f ，力= u o ( i h ，j h ) 3 、五的选取 当对几乎不带噪声的图像进行图像重绘时，我们可以取五为一个任意大的常 数；当图像带噪声时，五与噪声的程度有关，它的选取可以参考文献【1 3 1 、1 2