（应用数学专业论文）耗散格点动力系统吸引子的kolmogorovε熵.pdf

! q q 生上攫太堂亟圭堂焦迨塞 ! 摘要 无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。全局吸引子是无 穷维动力系统研究的中心内容。格点系统是一类很重要的无穷维动力系统。 本文我们首先考虑一阶和二阶耗散格点动力系统的全局吸引子的k o l m o g o r o v e 熵主要运用元素分织和有限维空间中多面体的球覆盖，我们得到耗散格 点系统的全局吸引子的k o l m o g o r o vs 熵的一个上界接着我们考虑反应扩散 方程相应的耗散格点系统。通过在无穷序列空间磊和邑中引入新范数，我 们证明了在耗散条件下反应扩散方程相应的格点系统在b a b i n v i s h i k 意义之 下具有一个全局( 毛，z p ) 吸引子，这里名是一个加权的无穷序列空间，其中 的权函数在无穷处衰减，玩是一个赋予局部一致范数的无穷序列空间，其 中的局部一致范数是通过对所有平移的乃范数取上确界得到的并且我们 得到反应扩散方程相应的格点系统的全局吸引子的k o l m o g o r o vs 熵的一个上 界。 关键词；格点动力系统，k o l m o g o r o vs 熵，吸收集，全局吸引子，半群 ! q q 生显太堂亟堂僮迨塞 ! a b s t r a c t i n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a r s c i e n c e g l o b a la t t r a c t o ri sac e n t r a lp a r ti ns t u d y i n gi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m s l a t t i c es y s t e m si sa ni m p o r t a n tk i n do fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m s i nt h i sp a p e r f i r s t l yw ec o n s i d e rt h ek o l m o g o r o v s 一e n t r o p yo ft h eg l o b a l a t t r a c t o rf o rf i r s to r d e ra n ds e c o n do r d e rd i s s i p a t i v el a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m s b y u s i n gt h ee l e m e n td e c o m p o s i t i o na n dt h ec o v e r i n gp r o p e r t yo fap o l y h e d r o nb r b a i l so fr a d i i i nt h ef i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e ，w eo b t a i na ne s t i m a t eo ft h eu p p e r b o u n df o rt h ek o l m o g o r o v se - e n t r o p yo ft h eg l o b a la t t r a c t o r t h e nw ec o n s i d e r t h el a t t i c es y s t e m sc o r r e s p o n d i n gt or e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n b yi n t r o d u c i n g n e ww e i g h tn o r m si ns p a c e sz pa n d 况o fi n f i n i t es e q u e n c e s ，w h e r e 绵i sas p a c e o fi n f i n i t es e q u e n c e sw i t haw e i g h tt h a td e c a y sa ti n f i n i t y , a n d 磊c a r r i e sal o c a l l y u n i f o r mn o r mo b t a i n e db yt a k i n gt h es u p r e m u mo v e ra l l 乙n o r m so ft r a n s l a t e s ，w e p r o v et h a tu n d e rs o m ed i s s i p a t i v ec o n d i t i o n st h es y s t e mp o s s e s s e sag l o b a l ( 磊，磊) - a t t r a c t o ri nt h es e n s eo fb a b i n - v i s h i k a n dw eo b t a i na ne s t i m a t eo ft h eu p p e r b o u n do ft h ek o l m o g o r o v l se e n t r o p yo ft h eg l o b a la t t r a c t o r k e y w o r d s ：l a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m ，k o l m o g o r o v - e n t r o p y ，a b s o r b i n gs e t g l o b a la t t r a c t o r ，s e m i g r o u p 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的 研究工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作 的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 签名：、贸驮喃日期：刎嗒、t 。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：噎毒次萌导师签名：1 q 瓢 日期：砌皇，川。 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 第一章引言 动力系统就最广泛的意义来说是研究系统演化规律的数学学科【i - 3 】这 里，演化的直接含义是就时间而言因此动力系统又被筒单地称为时间的科 学。动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动。因而动 力系统的历史一般追溯到1 9 世纪末p o i n c a r e 创立的微分方程定性论，或称微 分方程的几何理论。动力系统常可以看成是微分方程的化身粗略地说，常 微分方程及其差分方程可以分别看成是有限维连续和离散的动力系统，偏微 分方程及其差分方程可以分别看成是无穷维连续和离散的动力系统，而拓扑 和几何中微分流形上的方程可以看成是微分流形上的动力系统其精神是不 通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑性质。今天的动力系统大 致有微分动力系统、h a m i l t o n 系统、拓扑动力系统、复动力系统、遍历论、 随机动力系统等若干方向其界限并不严格，相互交叉很多。这些分支有一 些共同的数值不变量，如拓扑熵、测度熵( 即k o l m o g o r o v 熵) 、l y a p u n o v 指 数等，对动力系统的一些基本数量随时间增长的规律作了扼要的提炼，对整 个系统起着宏观标志的作用，有时甚至有画龙点睛之妙动力系统的生命力 也许特别来自它与实际应用的联系微分方程本身就有联系实际的特点由 现代计算机武装起来的离散动力系统的划时代发展，使这一联系更为现实有 力。 动力学的几何化开端于大约1 0 0 年前法国数学家昂利- 庞加莱在当时 首先提出了相空间概念。所谓相空间就是用状态变量支撑起来的抽象空间。 这样一来，在系统的状态和相空间的点之间就建立起对应关系相空间的一 个点表示系统在某一个时刻的一个状态，相空间里状态变化的相点的连线， 就构成了点在相空间的轨道，即相轨道相轨道表示了系统状态随时闻的变 化。相空间可以是有限维的，也可以是无穷维的对动力学系统而言，人们 ! q q 生上瀣鑫堂亟土堂僮迨塞 2 最关心的往往是其状态的最终归宿不消耗能量的保守哈密顿系统遵从刘维 定理，它的运动总是周期或准周期的。耗散系统则不然，它在演化过程中其 相体积不断收缩，即相空间中的任何相轨道最终将被吸引到一个维数比原始 空间低的极限集合：吸引子。吸引子表征了动力系统当_ o o 时的渐近行 为。由于动力系统总是对应着一个物理问题，因此我们可以建立相空间，把 一个物理问题转化为一个几何问题来处理庞加莱的一大创新结果就是使动 力学可借助被称为吸引子( a t t r a c t o r ) 的几何形状来加以直观化系统长期 的动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的动力学特 征例如，趋向于定态的系统，它具有的吸引子是一个点趋向于周期性地 重复同样行为的系统，它具有的吸引子是一个闭环任何物理学理论，在一 定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。一个物质系统的运动将向何处 去? 它有没有一定的归宿? 是返回到原状态，还是会达到某种新的稳定状态 呢? 这是人们感兴趣的课题对于保守的哈密顿系统，由于没有能量耗散， 运动状态在演化过程中可以随时间改变，但其在相空间中的体积始终不变 因此，在足够长的时间以后，系统有可能回到离初始状态任意近的地方，这 就是所谓的“庞加莱循环”对于耗散系统，由于能量的耗散，在演化过程中 相体积将不断收缩，耗散系统的运动最终将趋向维数比原来相空间维数低或 体积小的极限集合，而不会再回到原来状态。当演化时间t - o o 时，系统所 达到的极限集合成为“吸引予”。例如单摆运动，如果没有摩擦或其他消耗 ( 保守系统) ，单摆将周而复始地无限期地摆下去，运动永不停止。如果有 摩擦( 耗散系统) ，振幅将逐渐减小，最终将停止在中间位置，这个状态( 不 动点) 就是一个吸引子。耗散运动最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子 上。零维的吸引子是一个不动点，一维吸引子是一个极限环，二维吸引子是 一个环面，等等。 一个任意初态下的耗散系统，系统的路径要么漫游到无穷远，要么趋近 相空间的一个有界区域。前一种情况下系统是不稳定的。后一种情况更加有 一一一 ! q 蛆生土竖太堂亟堂僮迨塞 意义。从不同初态出发的路径渐近收敛到达的有界区域称作吸引子( g l o b a l a t t r a c t o r ) ，而所有收敛路径的初态构成吸引子的吸引域( b a s i no f a t t r a c t i o n ) 处于一个吸引子上的系统会永远停留在这个吸引子上；起初不处于吸引子 上，但经过一段时间，逐渐靠近吸引子的系统，出于实际需要，我们也把它看 作在吸引子上。因此，动力系统的长期行为可以由其吸引子来描述。系统演 化到一个吸引子上说明其行为得到简化，而且其自由度数目也减少。所以吸 引子的维数通常远远小于相空间的维数。一般来说，吸引子的刻划可在“宏 观”与“微观”两个层次上进行这里“宏观”是指使用对整个吸引子或对无 穷长的轨道平均后得到的特征量，例如李雅普诺夫指数、维数和熵。而“微 观”层次是指构成混沌吸引子的骨架的不稳定周期的数目、种类和它们的本 征值。自8 0 年代中期以来，这两方面的工作都形成了一套理论框架和方法， 也都发展了从实验数据中提取有关信息的技术，并且两者都在高维情形下才 显示出威力。 众所周知，有限维动力系统的研究至少已有一百多年的历史至今，已 取得了许多重要的成果但是，动力系统的问题远远不限于有限维的情形 流体力学中的湍流问题，就是一个无穷维动力系统的问题最近，物理上已 发现一大批具有孤立子的非线性演化方程。例如，k d v 方程、非线性薛定谔 方程等等，在一定的耗散作用下从孤立子演化为混沌现象这些都说明对于 无穷维动力系统的研究已势在必行这是有限维动力系统的深入和发展对 无穷维动力系统的研究，将为湍流的研究开辟一条新的道路这也是当今许 多物理，力学研究者热衷于此的原因之一从数学上来看，在原来有限维动 力系统斯梅尔( s s m a l e ) 、奠泽( j m o s e r ) 、梅尔尼科夫( m e l n i k o v ) 的工 作基础上，曼德尔勃罗特( b m a n d e l b r o t ) 在19 7 7 年提出了分形集的概 念，莱迪察斯科娅( o a l a d y z h e n s k o y a ) 、维西克( m i v i s h i k ) 、富瓦斯 ( c f o i a s ) 、尼科拉延科( b n i c o l a c n k o ) 、特马姆( r t e m a n ) 、赫尔( j kh a l e ) 、塞尔( g r s e l l ) 等人已对某些具有耗散效应的非线性演化方程 ! q ! 生土漫盔堂亟堂僮迨塞 ! 的全局吸引子、惯性流形的存在性，它们的豪斯多夫维数、f r a c t a | 维数的上 下界估计，吸引子的动态结构，近似惯性流形等问题进行了多方面的研究， 得到了一系列重要的结果数学上，现已建立了无穷维动力系统的重要数学 理论，提供了理论研究和数值计算方法其中，从偏微分方程的定性研究来 看，最关键的是要建立对定解问题的解对时间t 大范围的一致先验估计无 穷维动力系统实际上是研究t - o o 时解的性态的问题因此，对它的研究也 为非线性偏微分方程的研究提供了新的课题当然，无穷维动力系统是相当 复杂的目前，我们对它的了解还很粗浅例如全局吸引子、惯性流形的拓 扑结构，保守系统的混沌的研究等等都存在许多重大的理论和实际问题这 些都有待于今后进一步研究 从科学发展的历史上看，关于时空复杂行为的研究。过去一般都集中在 讨论湍流行为。对于广泛存在的时空复杂行为、时空混沌现象，即对于不仅 是湍流行为，而且对于在光学、固态物理、化学以及生物和技术的耦合动力系 统中的时空复杂行为而言，都不是由少数自由度所支配的可见，在讨论时 空复杂行为时，要充分考虑到无穷多的自由度但是，从方法论角度来看， 我们只期望构造足够简单的模型，对具有无穷多自由度的非线性时空系统的 行为只准备进行定性描述，这样就不致于一头栽进无穷多自由度的海洋中茫 然不知所措。对于一个菲线性时空系统，其空间所有每个点的状态随时问的 变化都会受到邻近点状态的影响。因此，为要准确描述这个系统，一般写成 偏微分方程 哦“= f ，良u ) ， 式中“为状态矢量，。为空间矢量，t 为时间对于这样的偏微分方程，人 们已构造了一些简单模型对其近似简化。所用的近似简化方法一般是将连续 变量离散化和对无穷系统进行截断。格点动力系统是对某些变量离散化的时 空系统。如果把空间变量、时间变量和状态变量都加以离散化，则得到描述 时空行为的元胞自动机模型。如果将时间、空间离散化，但状态变量仍为连 ! ! ! i 生土显态堂亟土堂僮迨塞 续，则得到描述时空行为的耦合映射格子系统。如果只对空间变量离散化， 而保持时间变量和状态变量仍为连续的模型就是耦合常微分方程组模型参 看下表 空间变量 时间变量 状态变量 p d e 连续连续连续 耦合常微分方程组 离散连续连续 格点动力系统 差分方程 离散 离散 连续 元胞自动机 离散 离散 离散 格点动力系统( l d s s ) 是无穷多个常微分方程( l a t t i c eo d e s ) 或差分方程 ( c m l s ) 的系统f 4 1l d s s 出现在许多应用领域，如化学反应理论【5 ，6 】、图象 处理和模式识别【7 ，8 】、材料科学 9 ，1 0 、生物 1 1 ，1 2 、电子工程【l3 、激光 系统f 1 4 1 等。元胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) 是第一个格点动力系统，它已 吸引人们大量的研究 1 5 】。对于c m l s 中每个振子的局部相空间是连续集的 情况，日前也吸引人们大量的研究格点动力系统形成一类模型，在这类模 型中时间演化与空间移动的关系起着关健的作用 1 6 】广义来说，这些模型 描述相互作用的c c 振子”的系统，其中每个振子不仅由它的内部状态( 用某 个“局部相空间”( 通常是欧氏空间) 中的点来表示) 而且还由物理空间中的 位置( 由格点表示) 来描述。每个单独振子的状态的演化可由耦合“邻近” 振子的常微分方程组系统( 连续时间) 或者由局部扭空间到自身的映射( 离 散时间) ( 仅依赖于邻近振子) 来描述格点动力系统具有自己的格式，但 在某些情况下，他们表现为无界区域上的偏微分方程的空间离散形式。 众所周知，空间延伸动力系统的演化是由偏微分方程( p d e s ) 来描述 的。然而，偏微分方程的数学研究是很复杂的，在相当长的时期，在这个领 域的所有工作基本上是限制在寻找某些简单的解及研究它们的稳定性或估计 吸引子的维数。最近，确定性混沌( 时空混沌) 理论影响了人们对偏微分方 程描述的模型中的奇怪吸引子的大量研究，但还是由于极其困难，这个闯题 本质上还是退化为估计吸引子的维数问题而不是研究位于吸引子上的解的性 ! q q 生连太堂亟土堂焦监塞 质【1 7 】。最近，人们对p d e s 模型中的奇怪吸引子的大量研究于2 0 0 3 年取得 突破性进展，法国数学家z e l i ks v 利用拓扑熵理论在数学上严格证明了无 界区域上的一类反应扩散方程的吸引子上存在空间混沌和空间复杂性这为 我们对无穷维系统的研究提供了新的思想和启迪根据无界区域( 如r ) 上的 偏微分方程的初值问题所确定的半群的吸引子的已知结果，不难看出，这时 估计吸引子的维数是困难的，因为吸引子一般是无穷维的f 1 4 ，1 8 ，1 9 2 3 】所 以，研究对应于无界区域上的偏微分方程的初值问题的格点系统的动力学行 为是有意义的，因为格点系统本身很莺要，并且如它们作为偏微分方程的空 间离散化，它们可以看作相应的连续偏微分方程的一种“近似”。 格点系统是一类很重要的无穷维系统。近来，许多入在对非线性项的不 同假设下的格点动力系统解的各种性质做了研究迄今关于格点动力系统的 动力学的研究大多是数值的。关于行波解方面的研究，可以参看 2 4 - 2 9 】关 于格点系统解的混沌性质的研究，可以参考f 2 6 ，2 8 ，3 0 - 3 3 另外，许多作者 还研究了格点动力系统的解的其它一些性质，例如同步现象等【3 4 ，3 5 】最近 人们开始研究格点动力系统的渐近行为。例如对一阶和二阶耗散格点动力系 统全局吸引子的存在性和上半连续性的研究【3 6 ，3 7 】由于格点动力系统是 含有无穷个状态的耦合系统，它们的状态的渐近行为、吸引子及其上的时空 行为等，迄今结果尚少，这是个困难问题要理解和刻划格点系统的动力学 行为，不可避免地要研究格点系统的吸引子及其上的状态的时空演化规律 研究格点动力系统的时空行为具有重要的理论和实际指导意义 我们知道，在多数情况下由数学物理中的发展方程所生成的动力系统的 长期行为可以由相应半群的吸引子来描述 1 7 ，3 8 ，3 9 在耗散的格点动力系 统中，吸引子一般是无穷维的【3 6 ，3 7 ，因此很难描述吸引子的几何结构并估 计吸引子的维数。因此，人们开始寻找度量吸引子大小的其它途径解决该 问题的一种有效的方法就是估计吸引子的k o l m o g o r o ve 熵【4 0 ，4 1 ，4 2 】定义 吸引子a 的k o l m o g o r o v 熵k 。( a ) 为相空间中覆盖吸引子所需为半径的球 ! q q 生上攫盘堂亟堂焦途塞 ! 的最小个数e ( a ) 的对数，即 垃( a ) = i n 也( a ) ( 1 1 ) 既然a 是紧的，则( 1 1 ) 是有意义的，并且对于每一个e 0 都是有限的。 k o l m o g o r o ve 熵虽然只是一个数值，但它往往反映出动力系统的重要动力学 特征。k o l m o g o r o ve 熵是关于延伸系统轨道复杂性的一个重要的特征量。 本文主要研究耗散格点动力系统吸引子的k o l m o g o r o v 熵熵是动力系 统的一个统计性质的量，它可以作为系统混沌性质的一种度量。k o l m o g o r o v 熵，又称为测度熵，5 0 年代末以解决遍历理论( e r g o d i ct h e o r y ) 经典问题 而崭露头角。k o l m o g o r o vs 熵是现代动力系统理论中一个很重要的概念。理 论上，k o l m o g o r o v 熵等于系统所有的l y a p u n o v 指数的和，并用来估计系统 的7 昆沌性质。一般地，对规则运动，其k o l m o g o r o v 熵为零；对随机运动， 其k o h n o g o r o ve 熵趋于无穷；对混沌系统，其k o l m o g o r o v 熵等于一个正常 数，并且k o l m o g o r o ve 熵越大，其混沌的程度越严重 我们来看下面的一阶耗散格点动力系统： 吐 = v ( u i 一1 2 u i + u i + 1 ) 一a u , 一f ( u i ) + 仇，i z ( 1 2 ) 它可以看作是丑上反应扩散方程 u 一a u + + f ( u ) = g ( z ) ， z r ( 1 3 ) 的空间离散化形式。方程( 1 3 ) 在h i l b e r t 空间中有界区域上的解的渐近性 质已被许多人研究过，参看 1 7 ，3 9 ，4 3 】。当方程定义在一个无界区域上时， 全局吸引子的存在性也被许多人研究过，参看【2 0 ，4 4 - 4 6 p e t e rw b a t e s 等 人在 3 6 中证明了一阶格点动力系统( 1 2 ) 的全局吸引子的存在性，并得 出吸引子的上半连续性。我们在此基础上考虑一阶耗散格点系统的全局吸引 子的k o l m o g o r o v 熵。 我们来看下面的二阶耗散格点动力系统： 也+ h ( i , i ) 一( i * i 一1 2 u i + u i + i ) + k u i + f ( u i ) = g i ，i z ( 1 4 ) 一一一 ! q ! 生土瀣盘堂亟堂僮迨塞 它可以看作是耦合非线性振子模型，并且可以看作是r 上连续的有阻尼半线 性波动方程 的空间离散化形式。方程( 1 5 ) 广泛应用于数学物理中不同领域的波动现象 中。方程( 1 5 ) 在h i l b e r t 空间中有界区域和无界区域上的全局吸引子及其 维数已经被许多人广泛研究，参看【1 7 ，1 9 ，2 1 ，3 9 ，4 7 4 9 s z h o u 在【3 7 】中证 明了二阶格点动力系统( 1 , 4 ) 的全局吸引子的存在性，并得出吸引子的上半 连续陇。我们在此基础上考虑二阶耗散格点系统的全局吸引子的k o l m o g o r o v e 熵。我们研究系统( 1 2 ) 、( 1 4 ) 的全局吸引子的k o l m o g o r o ve 熵的目的 是为了描述离散系统( 1 2 ) 、( 1 4 ) 的解的渐近性质 本文，我们将给出如何估计格点系统的全局吸引子的k o l m o g o r o v 熵 在第三章中，我们主要是通过元素分解和有限维空间中多面体的s 一球覆盖， 得到一阶耗散格点系统( 1 1 ) 和二阶耗散格点系统( 1 3 ) 的全局吸引子 的k o l m o g o r o vs 熵的一个上界。相关的结果我们已经发表，参看 4o 】。事实 上，这种估计格点系统的方法对一般的耗散格点系统都是成立的值得说明 的是，关于格点系统全局吸引子的k o h n o g o r o ve 熵的估计是首创性的所得 结果对于耗散格点系统的全局吸引子性质的研究来说是一个突破性的进展， 具有很重要的理论价值。 我们知道，偏微分方程的全局吸引子理论是现代无穷维动力系统理论中 比较完善的一部分 1 7 ，3 8 ，3 9 ，5 0 ，5 1 。对于数值逼近，人们尤其关注由偏微分 方程的离散形式所生成的动力系统的全局吸引子的存在性，以及吸引子的形 状是如何依赖于不同形式的时空离散的 5 2 】对于广泛的一类抛物方程及其 离散形式，l a d y z h e n s k a y a 研究了它们的吸引子【5 3 及其渐近性质【5 4 ，5 5 有一些文章( 例如 5 6 ) 考虑半线性抛物方程 的离散形式的全局吸引子。关于无界区域上偏微分方程的全局吸引子的研究 2 q 堕生上瀣太堂亟堂僮监塞 2 开始于最近十年。最基本的问题是半流不满足紧性如果底空间具有平移不 变性，则吸引子应该也是平移不变的于是吸引子就不可能在一个平移不变 的范数之下满足紧性。对于上面的问题，b a b i n v i s h i k 在【5 7 中作了两方面 非常重要的贡献。一方面，相应的半群是在加权函数空间中考虑的，其中的 权函数在无穷处衰减。另一方面，把相应的问题放在一对空间h ，h z 中考 虑，并定义所谓的( h ，且z ) 吸引子。这里日通常是h i l b e r t 空间，并且半群 s ( t ) 定义在h 上，h z 是一个赋予弱收敛拓扑的空间。 本文第四章中，我们运用f 5 7 1 中的方法考虑下面的格点动力系统； 也m = d ( “m + 1 2 u m + m - i ) + ，( “m ) ，u m r ，m z ( 1 6 ) 它可以看作r 上反应扩散方程 t = d u # # + ，( “) 的离散近似形式。我们通过在无穷序列空间彩和z u 中引入新范数，证明了 在耗散条件下反应扩散方程相应的格点系统在b a b i n - v i s h i k 意义之下具有一 个全局( 互。z p ) 吸引子。这里磊是一个加权的无穷序列的空间，其中的权函 数在无穷处衰减，玩具有局部一致的范数，该范数是通过对所有平移的z p 范数取上确界得到的。并且我们得到了关于全局吸引子的k o l m o g o r o ve 熵的 一个上界估计。 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 l o 第二章预备知识 2 1无穷维动力系统 众所周知，有限维动力系统的研究至少已有一百多年的历史至今，已 取得了许多重要的成果但是，动力系统的问题远远不限于有限维的情形 流体力学中的湍流问题，就是一个无穷维动力系统的问题最近，物理上已 发现一大批具有孤立子的非线性演化方程在一定的耗散作用下从孤立子演化 为混沌现象，这些都说明对于无穷维动力系统的研究巳势在必行这是有限 维动力系统的深入和发展 数学上，现已建立了无穷维动力系统的重要数学理论，提供了理论研究 和数值计算方法其中，从偏微分方程的定性研究来看，最关键的是要建立 对定解问题的解对时间t 大范围的一致先验估计无穷维动力系统，混沌问 题，实际上是研究t _ 。时解的性态的问题因此，对它的研究也为非线 性偏微分方程的研究提供了新的课题由于大型计算机的迅速发展，可以期 望在理论和数值计算的结合下，对于混沌、湍流的研究必将进入一个新的阶 段 当然，无穷维动力系统是相当复杂的目前，我们对它的了解还很粗浅 例如全局吸引子、惯性流形的拓扑结构，保守系统的 昆沌的研究等等都存在 许多重大的理论和实际问题这些都有待于今后进一步研究 我们考虑微分方程 _ d u f ( t ) ：f ( u ( 龇 ( 2 1 ) 出 、 具初始条件 u ( o ) = u o ， ( 2 2 ) 的解，并关心当t 叶o 。时“( ) 的渐近行为。其中，未知函数u = u ( ) 属于线 ! q q 玺上瀣太堂亟堂僮迨塞 ! ! 性空间e 。f ( “) 把e 映射到自身有两种情形需要考虑： ( i ) 有限维情形，当u = u ( ) e = r ” ( i i ) 无限维情形，当“= “( ) e = 度量空间。 虽然这两种情形有许多共同点，但它们依然存在某些重大的差别。当然，我 们可以把有限维动力系统看成无穷维动力系统若干有限模态的近似。 无穷维动力系统在非线性科学中占有极为重要的地位。全局吸引子是无 穷维动力系统研究的中心内容。关于无穷维动力系统的详细内容，可以参看 【1 7 ，3 8 】等。下面我们将引入无穷维动力系统中全局吸引子( 或称为整体吸引 子) 的概念，并叙述全局吸引子的存在定理。设对任何“。e 系统( 2 1 ) - ( 2 , 2 ) 存在整体解( t ) e ，t r + 则由解定义的半群为t s ( t ) t o ，其中 s ( t ) ：z o s ( t ) o = “( t ) ，e _ e 。 定义2 1 1 设f 为完备度量空间， s ( t ) ) t o 是e 上的连续算子半群，即 有s ( t ) ：e - e ，s ( t + r ) = s ( t ) s ( r ) ，vt ，f 0 ，s ( o ) = i ( 恒等算子) 。如果 集合a e 满足： ( 2 ) 紧性，a 是紧的；若“。a ，则存在“。的一个子列“。和 a 使得 u n _ 。 ( i i ) 不变性，即在半群 s ( t ) ) 晓。作用下为不变集 s ( t ) a = a ，v t 0 ( i i i ) 吸引性，a 吸引e 中一切有界集，即对任何有界集b e 有 d i s t ( s ( t ) b ，a ) = s u pi n ，f | i s ( ) g 一圳目叶0 1 t - 手o 。 占掣t “ 特别地，当t - 。时，从任意点u o e 出发的轨线s ( t ) u o 收敛于a ，即有 d i s t ( s ( t ) u o ，a ) - 0 ，t - 那么，集合a 称为半群( s ( t ) h o 的全局吸引子 非线性演化方程的全局吸引子的结构是很复杂的，除了包括确定的系统 的简单平衡点u ，f ( u + ) = 0 ( 可能是多重解) 外，还包括时间周期的轨道、 ! q q 生占瀣盔堂亟堂僮迨塞1 2 拟周期的轨道，以及分形吸引子、奇异吸引子等。它可能不是光滑流形，且 具有非整数维数。 为了给出全局吸引予的存在性定理，我们需要引进吸收集的概念。 定义2 1 2 假设e 是一个完备度量空间， s ( t ) ) t o 是作用在e 上的一 个半群。一个子集dce 称为对于半群 s ( t ) ) o 来说的一个正向不变集， 若对于所有的t 0 ，s ( t ) dcd d 称为半群 s ( t ) ) o 的一个吸收集，若 对任意有界集b e ，存在t = t ( b ) 0 使得& ( b ) cd 。 定理2 1设e 为完备度量空间， 瓯t m o 是曰上连续的算子半群设 算子半群 s ( t ) o 满足以下条件： 算子s ( t ) 对充分大的t 是一致紧的。即：对任意的有界集b ，存在t o = t o ( b ) ，使得u t t 。s ( t ) b 在e 中是相对紧的 r 副存在e 中有界的吸收集b o 则半群 s t ) ) ! o 具有紧的全局吸引子a 。 注2 1 1 可以证明上述的全局吸引子a 为吸收集b o 的u 极限集，即 a = u ( b o ) = n o u t s s ( t ) b o ， 其中闭包取在f 中 另一个常用的吸引子的存在定理为： 定理2 2 设曰为巴拿赫空间，算子半群 s ( ) ) 眨。是连续的设存在一个 开集nce 和q 中的一个有界集卢，使得卢在n 中是吸收的又设满足下面 的条件： s ( t ) = s 1 ( t ) + 岛( t ) ，其中算子s l ( ) 对充分大的t 是一致紧的，算子岛( t ) 为 连续映射，& ( t ) ：e - e ，且对每个有界集bce ， r s ( t ) = s u pi i 昆( t ) 妒_ 0 ， 蜒b 则口的u 极限集a = “j ( b ) 是紧的吸引子，它吸引n 中的有界集它是在n 中的最大的有界吸引子，且当n 既凸又连通时，a 是连通的 一 一 ! q q 生土瀣太堂亟堂僮逾塞 ! 注2 1 ，2 下文中，在考虑每一个方程时，下面的问题都会提及： “，解的存在唯一性以及对初值的连续依赖性。对于2 - 程, 6 言，这些结果是最 基本的。它们也是动力系统定义的一部分 一计吸收集的存在性。它们是对应不同初值的所有轨道最后都进入的集合。 吸收集的存在性是证明吸引子存在中的一步。它也是方程耗散本质的一个体 现。 ( i i q 紧吸引子的存在性。它表明方程拥有一个所有轨道都收敛到其中的吸引 子即全局吸引子。全局吸引子描述了一个给定系统所能产生的全部可能的动 力学行为。全局吸引子也是所有有界吸引子中最大的( 对于包含关系而言) 全局吸引子吸引所有的有界集并且是流的不变集，即：全局吸引子中的任何 点都在它里面的一个完全轨道上。 2 2k o l m o g o r o v 熵 在我们日常生活中，似乎经常存在着不确定性的问题。一般地，不确定 性问题所包含不确定的程度可以用数学来定量地描述本世纪4 0 年代末， 由于信息理论的需要而首次出现的s h a n n o n 熵，5 0 年代末以鳃决遍历理论 而崭露头角的k o l m o g o r o v 熵，以及6 0 年代中期，为研究拓扑动力系统而产 生的拓扑熵等概念，都是关于不确定性的数学度量它们在现代动力系统和 遍历理论中，扮演着十分重要的角色，在自然科学和社会科学中的应用也日 趋广泛。 混沌轨道的局部不稳定性，使相邻轨道以指数速率分离。如果两个初始 点如此靠近，以致在一段时间里不能靠测量来区分两条轨道，则它们充分分离 后就能够加以区分。在这个意义下，混沌运动产生信息，信息量与可以区分的 不同的轨道数目有关。对于混沌运动，信息量随时间指数增长：n “e 船 常数k 刻划信息产生的速率，实际上就是下面要讲的熵或测度熵。 k o l m o g o r o v 熵，又称为测度熵( m e t r i ce n t r o p y ) 。苏联数学家a n k o l 2 1 1 生上瀣太堂亟堂僮迨塞! ! m o g o r o v 首次发现了k o l m o g o r o v 熵在信息理论中的重要作用。特别地，他引 入了巴拿赫空间中紧集的k o l m o g o r o v 熵的概念熵的数学定义要求对集合 进行分割，并且考虑这种分割在动力学作用下的无穷细分，对细分过程中根 据测度算出的信息量进行上确界估计。熵是动力系统的一个统计性质的量， 它可作为系统混沌性质的一种度量。一般地，对规则运动，其k o l m o g o r o v 熵 为零；对随机运动，其k o h n o g o r o v 熵趋向于无穷大；对混沌系统，则有其 k o h n o g o r o v 熵为一个正常数，并且k o l m o g o r o v 熵越大，? 昆沌的程度越严重 所以，k o l m o g o r o v 熵的数值是判断运动性质的重要指标。 为了方便起见，我们回顾一下k o l m o g o r o v 熵的定义。 定义2 2 1设m 是一个度量空问，d 是m 中一个预紧的子集对于给 定的e 0 ，肌( d ) = 札( d ，m ) 表示覆盖集合d 所需m 中的半径为的球 的最少个数( 由豪斯多夫准则，很明显这个数是有限值) 定义空间m 中集 合d 的k o l m o g o r o ve 熵为琏( d ) = 琏( d ，m ) ei n 肛( d ) 2 3 覆盖引理 我们来考虑边长为2 r o 的n 维正多面体rcr ”。令( r ) ，e 0 ，表 示覆盖r n 中正多面体p 所需半径为的小球的个数考虑平面中的一个方 形。当我们把它的的尺寸在各个方面都增加f 倍，就会得到一个大的正方形， 它相当于j 。个原来的方形。如果考虑三维空间中的立方体，同样的变换，就 会给出1 3 个原来的立方体。一般来说，如果在d 维空间中考虑一个d 维的几 何对象，把每个方向的尺寸放大l 倍，就会得到j 4 个原来的几何对象这个 关系适用于任何规整的几何对象，符合日常生活经验。下面的引理给出关于 有限维空间中正多面体的覆盖引理 引理2 3 1声鄙边长为2 r 0 的正多面体rc 彤。可以被n e ( r ) = ( ! ! 警 + 1 ) n 个半径为中心分别在“ ，u ；，u ：。( r ) 的一球完全覆盖，这里 f 价1 表示不大干m 的最大整数。 ! ! ! 至上显盘堂亟堂僮盈塞 ! ! m o g o r o v 首次发现了k o l m o g o r o v 熵在信息理论中的重要作用特别地，他引 入了巴拿赫空间中紧集的k o l m o g o r o v 熵的概念。熵的数学定义要求对集合 进行分割，并且考虑这种分割在动力学作用下的无穷细分，对细分过程中根 据测度算出的信息量进行上确界估计熵是动力系统的一个统计性质的量， 它可作为系统混沌性质的一种度量。一般地，对规则运动，其k o l m o g o r o v 熵 为零；对随机运动，其k o l m o g o r o v 熵趋向于无穷大；对混沌系统，则有其 k o l m o g o r o v 熵为一个正常数，并且k o l m o g o r o v 熵越大，混沌的程度越严重。 所以，k o h n o g o r o v 熵的数值是判断运动性质的重要指标 为了方便起见，我们回顾一下k o l m o g o r o vs 熵的定义 定义2 2 1设m 是一个度量空间，d 是m 中一个预紧的予桌对于给 定的e 0 ，。( _ ) ) = n o ( d ，m ) 表示覆盖集合d 所需m 中的半径为e 的球 的最少个数( 由豪斯多夫准则，很明显这个数是有限值) 。定义空问m 中集 合d 的k o l m o g o r o v 熵为垃( d ) = 蜒( d ，m ) = i n e ( d ) 2 3 覆盖引理 我们来考虑边长为2 r o 的n 维正多面体rc 舻令n 。( 工、) 。 0 ，表 示覆盖r n 中正多面体r 所需半径为的小球的个数考虑平面中的一个方 形。当我们把它的的尺寸在各个方面都增加f 倍，就会得到一个大的正方形， 它相当于2 。个原来的方形。如果考虑三维空间中的立方体，同样的变换，就 会给出i 3 个原来的立方体。一般来说，如果在d 维空间中考虑一个d 维的几 何对象，把每个方向的尺寸放大f 倍，就会得到 4 个原来的几何对象。这个 关系适用于任何规整的几何对象，符合日常生活经验。下面的引理给出关于 有限维空间中正多面体的覆盖引理。 引理2 3 1声纠边长为2 r 0 的正多面体rcr “可以被n s ( r ) = ( 【! ! 竽】+ 1 ) n 个半径为i 中心分别在“f ，u ；，一，u ：。( r ) 的一球完全覆盖。这里 m 1 缸示不太于m 的最大整数。 m 1 表示不大干m 的最大整数。 ! ! ! ! 量占堡奎兰堡主兰篁垒壅。；：；：竖 第三章耗散格点动力系统吸引子的k o l m o g o r o v 熵 3 1 一阶耗散格点动力系统吸引子的k o l m o g o r o v 熵 我们首先来考虑下面的一阶耗散格点动力系统 t 如= ( “t l 一2 地+ u 什1 ) 一a u i 一，( u f ) + 吼，i 互 ( 3 1 1 ) 以及初值条件 u t ( 0 ) = “o mi z 这里v ， 0 ，9 = ( 饥) 。e z 2 是给定的，是一个g 1 函数并满足 f ( s ) s 0 ，v se r 方程( 3 1 1 ) 可以看作下面r 中连续的反应扩散方程 u 一a u + 入u 十，( ) 29 ( $ ) ，茁冗， ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 的离散形式。上面的方程已经被人们大量地研究。方程( 3 1 1 )