考研数学公式定理背诵手册(数学二)：线性代数.pdf

107 第二部分第二部分 线性代数线性代数 一、行一、行 列列 式式 1. 行列式的重要定理及公式行列式的重要定理及公式 定理定理 对换改变n元排列的奇偶性 定理定理 任一n元排列与排列1 2 3 n?可以经过一系列对换互变， 并且所作对换的次数 与这个n元排列有相同的奇偶性 2行列式的基本性质行列式的基本性质 性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等 性质性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式变号 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零 性质性质 3 行列式的某一行 （列） 中所有的元素都乘以同一数k， 等于用数k乘此行列式 推论推论 行列式中某一（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 性质性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，如第i列的元素都是两数之和： 1 111211 2 212222 12 () () () n ii n ii nn nnnini aaaaa aaaaa D aaaaa + + = + ? ? ? ? ， 则D等于下列两个行列式之和： 1112111 11121 2122222 21222 12 12 inn i inn i nnninnnn nnni aaaaaaaa aaaaaaaa D aaaaaaaa =+ ? ? ? ? 性质性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元 素上去，行列式不变 注注 （1）设,A B均匀为n阶矩阵，一般地，| | |ABBAAB+=+ （2）设,A B均匀为n阶矩阵，一般地，ABBA，但是 | | | | | |ABBAABBA= （3）设A为n阶矩阵，则| n kAkA=，切记|kAk A 3行列式的重要公式与结论行列式的重要公式与结论 （1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 108 1112111 2222122 11 12 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa a aa aaaa = ? ? ? ? ? （2） 1111,11 (1) 2,12212,1 2 12,11 1,11 ( 1) nnn n n nnn nnn nn nnnn aaaa aaaa a aa aaaa = ? ? ? ? ? （3）设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则 | AAO A B OBB = ， ( 1)| mn AOA A B BOB = （4）设A是n阶方阵， T A为A的转置矩阵，用|A，| T A表示对应n阶方阵的行列 式，则有 | | T AA= （5）设方阵A可逆，则 1 1 | | A A = （6）| n kAkA=（A为n阶方阵） （7）设,A B为同阶方阵，则| |ABA B=，注意| |ABAB+ （8）设A为A的伴随矩阵， ij A为 ij a的代数余子式， 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA = ? ? ? ? 则 1 | |nAA = （9）设,A B为n阶方阵，则 | | |ABBAA B=， 但一般地ABBA 109 （10）范德蒙行列式 12 222 12 1 111 12 111 () n nij n n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx = ? ? ? ? ? ， 其中记号“”表示全体同类因子的乘积 二、矩二、矩 阵阵 1矩阵的运算规律矩阵的运算规律 （1）矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： （）交换律ABBA+=+ （）结合律()()ABCABC+=+，()()k lAkl A= （）分配律()k ABkAkB+=+，()kl AkAlA+=+ 以上, ,A B C均为mn矩阵；, k l为常数 （2）矩阵乘法满足下列运算规律： （）结合律()()AB CA BC= （）分配律()AB CACBC+=+，()C ABCACB+=+ （）数与乘积的结合律()()()kA BA kBk AB= （3）方阵幂满足下列运算规律： klk l A AA + =，() klkl AA=，, k m为正整数 （4）矩阵的转置满足下列运算规律： （）()AA =； （）()ABAB +=+； （）()AA =； （）()ABB A = （5）共轭矩阵满足下述运算规律： （）ABAB+=+； （）AA=； （）ABAB= 以上,A B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的 注注 （1）不同型的零矩阵是没的 （2） 一般情况下ABBA；ABO= AO=或BO=； 2 AO= AO=； 110 ABAC= BC= 但 是,A B为 方 阵 ， 则 有| | |ABBAA B=； | 0| 0ABA=或| 0B= 2逆矩阵的性质逆矩阵的性质 （1）若矩阵A是可逆的，则 1 A是唯一的 （2）若A可逆，则 1 A亦可逆，且 11 ()AA = （3）若A可逆，数0，则A可逆，且 11 1 ()AA = （4）若,A B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 111 ()ABB A = （5）若A可逆，则A亦可逆，且 11 ()()AA = 注注 A可逆的充分必要条件是| 0A，即可逆矩阵就是非奇异矩阵 3. 重要公式与结论重要公式与结论 我们给出有关矩阵秩的重要公式与结论如下： （1）( )()r Ar A=， 1 ( )()r Ar A=； （2）如果AB，那么( )( )r Ar B=； （3）()min( ( ), ( ),)r ABr A r B，()( )( )r ABr Ar Bn+（n为A的列数） ； （4）若AO，则( )1r A； （5）若A可逆，则()( )r ABr B=，若B可逆，则()( )r ABr A=； （6）若,A B为两个阶数相同的矩阵，则()( )( )r ABr Ar B+； （7） , ( ), ()1, ( )1, 0, ( )1 nr An r Ar An r An = = 如果 如果 如果 （n为n阶方阵） 三、向三、向 量量 1关于线性相关性的重要定理关于线性相关性的重要定理 定理定理1 向量组 12 , m a aa?线性相关向量组中至少有一个向量可由其余的1m个 向量线性表出。 定理定理 2 若向量组 12 , r a aa?线性无关；而向量组 12 , r a aa?，线性相关，则可 111 由向量组 12 , r a aa?线性表出，且表示法唯一。 定理定理 3 若向量组 12 , r a aa?线性相关，则向量组 12 , r a aa?， 1r + 也线性相关。 定理定理 4 若向量组 12 , r a aa?线性无关，则无论如何扩充向量组各向量的分量，所得 向量组仍线性无关。 定理定理 5 向量组的个数大于向量组的维数，则此向量组线性相关。 定理定理 6 n个n维向量组线性无关由向量组所构成的矩阵对应的行列式0。 2等价向量组的重要结论等价向量组的重要结论 注意：研究两个向量组是否等价，通常是通过研究它们的极大无关组是否等价入手。 定理定理 7 向量组的任意两个极大无关组等价。 定理定理 8 两个等价的线性无关组所含向量的个数相等。 定理定理 9 如果向量组 12 , s ?线性无关，且它可由向量组 12 , t ?线性表示， 则st。 3. 向量组与矩阵的秩的重要定理与公式重要定理与公式 定理定理 设 12 , t ?可由 12 , s ?线性表出。若 12 (,), s rr =? 12 (,r ， ,) t ?p=，则pr。 推论推论 如果向量组（I） ， （II）是两个等价的向量组，则( )()r Ir II=，即两个等价的向 量组有相同的秩。 定理定理 设A为矩阵。如果( )r Ar=，则A中有r个线性无关的列向量，而其他列向量 都是这r个线性无关列向量的线性组合，也就是( )r AA=的列秩。 一般地，( )r AA=的行秩A=的列秩。 4施密特正交化方法施密特正交化方法 曲线性无关向量组 12 , s ?， 构造正交向量组 12 , s ?的施密特正交化方法施密特正交化方法为 21 11221 11 11 11 1111 () , (,) ()() (3,4, ) (,)(,) iii iii ii is = =? 且这样构造的向量组 12 , s ?与原向量组 12 , s ?等价 112 四、线性方程组四、线性方程组 1. 线性方程组的重要定理线性方程组的重要定理 定理定理 如果 12 , 是非齐次线性方程组Axb=的解，则 12 是齐次线性方程组 0Ax =的解。 定理定理 如果是线性方程组Axb=的解，是非齐次线性方程组0Ax =的解，则 k+是线性方程组Axb=的解。 定理定理 线性方程组的初等变换把线性方程组变成它的同解方程组。 2克莱姆法则克莱姆法则 给定n个方程的方程组 11 112211 21 122222 1 122 , , , nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb += += += ? ? ? ? 如果系数行列式0D ，则方程组有唯一解： 12 12 , n n DDD xxx DDD =?， 其中 111,111,11 212,122,12 1,1,1 jjn jjn j nn jnn jnn aabaa aabaa D aabaa + + + = ? ? ? ? ， 即 j D是把D中第j列 j x的系数换成常数项所得到的行列式。 3初等行变换解线性方程组初等行变换解线性方程组 给定n个未知数m个方程组（4.1） ，对它的增广矩阵A施行初等行变换，得到阶梯形 矩阵 1112111 12222 1 000 000 000 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd A d + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 初等行变换 如果 1 0( )( ) r dr AA + 或，方程组（4.1）无解；如果 1 0( )( ) r dr Ar A + =或，方程组 113 （4.1）有解，而且当rn=时有唯一解，当rn时有无穷多解。 4齐次线性方程组齐次线性方程组0Ax=解的判别别解的判别别 齐次线性方程组一定有解（至少有零解） 。 定理定理 齐次线性方程组0Ax =有非零解( )r AnA的列向量线性相关。 推论推论 1 当mn（即方程的个数未知数的个数）时，齐次线性方程组0Ax=必有非 零解。 推论推论 2 当mn=时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 11121 21222 12 |0 n n mmmn aaa aaa A aaa = ? ? ? ? 。 定理定理 设齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵的秩( )r Arn=，增广矩阵的秩 ( )()r Ar Ab=，则 当( )( )r Ar An=时，方程组有唯一解； 当( )( )r Ar Arn=时，方程组有无穷多解； 当( ) 1( )r Ar A+ =时，方程组无解。 注注 定理中 1212 (),( ,) ,( ,)0 TT ijm nnm Aaxx xxbb bb =?。 6非齐次组非齐次组Axb=与齐次组与齐次组0Ax=的解的关系的解的关系 Axb=有解 , ( )( ) nAxb r Ar Ar nAxb = = = 有唯一解 有无穷多解; Axb=有唯一解0Ax=只有零解( )r An=； Axb=有无穷多解0Ax=只有非零解( )r An） ； （2） 1* , Tm AAAA kA (0k为实数)都是正定矩阵；