（基础数学专业论文）两类非线性发展方程的精确解.pdf

摘要 本文主要研究精确求解非线性发展发程的达布变换方法和h i r o t a 双线性方法第一 部分介绍了达布变换和达布阵的基本理论，以此为基础构造了与一个3 3 谱问题相联系 的一个耦合方程的达布变换，并且以“= ”= 0 作为种子解，利用此达布变换得到此耦合 方程的精确解并选择适当参数做出了精确解的图像；第二部分利用h i r o t a 双线性方法构 造出m e l n i k o v 方程的双线性形式，并以摄动法得到m e l n i k o v 方程的新孤子解，最后 选择适当参数做出了精确解的图像 关键词：谱问题；孤立子；达布变换；h i r o t a 双线性方法；精确解 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sm a i n l yt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，w h i c h c a no b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o no f t h ep a p e r ，t h eb a s i ct h e o r i e so fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na l ei n t r o d u c e d b a s e do nt h i sm e t h o d ， w ec o n s t r u c tad to fac o u p l e de q u a t i o nw h i c hi sr e l a t e dt oa3 x 3s p e c t r a lp r o b l e m t h e nw e o b t a i nt h ee x p l i c i ts o l u t i o n so ft h ec o u p l e de q u a t i o n m o r e o v e r ，s e v e r a li n t e r e s t i n gf i g u r e so ft h e s o l u t i o n sa r ep l o t t e d i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h en e wn - s o l i t o ns o l u t i o nt ot h em e l n i k o ve q u a t i o n i so b t a i n e db yu s i n gt h eh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d a tl a s t ，t h ef i g u r e so ft h es o l i t o ns o l u t i o na r e o b t a i n e db yc h o o s i n gt h es u i t a b l ep a r a m e t e r s k e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；s o l i t o n ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ； e x p l i c i ts o l u t i o n 第一章引言 随着科学的发展，人们发现在客观世界占统治地位的是非线性现象，因而人们对非 线性科学研究投入了极大的热情孤立子理论是非线性科学的一个重要方向。它反映了一 类非常稳定的自然现象如江河中某一类水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流体 流动波等在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科中 孤立子理论都起着重要的作用 孤子理论已成为研究非线性方程的主要手段之一孤立子理论在流体力学，等离子 体物理、非线性光学、经典场论、量子场论，化学，通讯、生命科学等诸多学科都有重要 应用，是- - f l 涉及多学科、多领域的研究领域研究手段和方法在数学上涉及有经典分 析和泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群，l i e 代数和无穷维代数、微分几何、拓 扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支在孤立子理论中，已有 一系列方法用来求孤立子方程的精确解，如反散射方法【1 ，2 ，4 ，1 5 ，2 7 】、b l i c k l u n d 变换 【3 ，5 ，7 ，1 4 ，2 8 ，2 2 ，1 6 】、达布变换方法( d t ) 3 ，9 ，1 4 ，1 9 ，2 1 ，3 0 ，3 3 】、h i r o t a 双线性方法【6 】6 、 p a i n l e v 6 分析方法【1 0 ，1 1 】，l i e 对称方法【8 ，1 2 ，1 3 l 以及代数几何方法【1 8 ，2 6 ，2 9 ，3 1 】，非 线性化方法 2 1 ，2 6 】、齐次平衡法【2 3 ，2 4 等其中达布变换是一种自然而美妙的方法，它 从平凡解出发可以得到孤子方程的精确解这些方法的发现和应用，使得大量的非线性偏 微分方程得以成功求解对非线性科学的发展和应用具有重要意义 达布阵方法起源于z a k h a r o v 和s h a b a t 的穿衣服方法【1 5 1 后来m a t v e e v 和s a l l e ， n e u g e b a u e r 和m e i n e l 分别发展并完善了达布阵方法 本文所作的达布变换是另一种形式的规范变换，即对带时间变量t 及一维空间变量x 的孤子方程也就是通常意义下的。1 十l 维”的孤子方程，它可从对空间x 与时间t 的联 立谱问题中导出； 设 垂。= u 垂， 屯= v 西 这里垂是。和t 的r l 维向量函数，配y 是n n 矩阵，其元素中包含有谱参数及以。，t 为 自变量的m 维向量函数u ( x ，t ) 及各阶导数为了使上述两个方程同时有解，西必须满足 相容条件 小u x 名z + v x + a + 叫蚶蚓u 侄基麓麓一 “t t + ；( u 。一；u 2 t 虹- 2 u x d - l u t ) 。= o a 是常参数 ( 1 1 ) k a a + b n ? a 麓b 1 3 ) n z ， 。ft：=。u一+。3岛b。l。n。a。,2。+。如h。， c 。， j + 抖3 ( u 2 ) z x - 3 i t m 矿k - o ，( 1 4 ) ( 见玩+ 珑_ 3 瑶) ，= 劬， ( 1 5 ) 第二章一个耦合方程的达布变换及其精确解 l 达布变换 我们考虑下列谱问题【1 7 j 其中u 具有下列形式； 和相应的辅谱问题 其中v 具有下列形式： v= 圣z = u 垂，圣= ( 塞) 西t = y 垂， 其中u 和”是位势，a 是常参数 相容条件垂m = 圣缸产生了零曲率方程 i；一l。u扩川j：x14 - 4 - 0 一j 2 + a “al 1a， 仉一k + 卅= 0 通过直接计算，( 2 3 ) 转化为一个耦合的方程 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 性基麓麓。刊 仁a ， 当消去口时可约化为m o d i f i e db o u s s i n e s q 方程 毗+ - ；u 2 u x - - 2 a - - l u t ) 。= o 4 、 o a o l o 0 仃 1 ，j。 = u a 卜 + a 巾时寺 每甜 2 3 ，iiiilii_l-、 下面考虑谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的达布变换首先引入谱问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的规范变换 其中t 由下式确定 进而l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 转化为 西= t 西 足+ t u = u t 丑+ t v = y t 圣z = u 圣 奶= v 垂 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) t = 悟叠：封 亿 是( 2 1 ) 的三个基本解，通过( 2 5 ) 知，存在常数0 ，0 2 满足 i 五1 妒1 + 丑2 妒2 + 噩3 + 0 1 ( 乃1 妒l + 死2 锄+ 噩3 妒3 ) + 0 2 ( 乃1 x l + 乃2 x 2 十五3 x 3 ) = o ， t 2 1 妒1 + 乃2 p 2q - t 2 3 妒3 + 1 5 1 ( 死1 妒1 + t 2 2 锄+ t 2 3 他) + 0 2 ( 乃1 x 1 + t 2 2 x 2 十2 k x 3 ) = 0 ， lt 3 1 i i o l + b 2 妒2 + t 3 3 妒3 + 嘭1 ( 墨l 咖- b 码2 如+ t 3 3 讹) + 面2 ( 码l x l + t 3 2 x 2 十t 3 3 x 3 ) = 0 ， 怯 + 0 5 1 t 1 2 + n 5 2 n 3 = 0 ， + n 5 1 恐2 + n 5 2 = 0 ， + 西”乃2 + 够乃3 = 0 ， 5 即 。如+ b l l + n 5 1 ) a + 乎6 1 3 = o ， 6 3 1 + 口j 1 - a z ) 十n _ ；2 ( 。a j + 6 黯) = 0 ， + 6 2 1 + 毋( 。+ 6 ) + 呼( n + 6 2 3 ) = o ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 炫塑鬻邃 仁埘 la 5 2 ) _ - - 鬻翥踹 p 。叫 当常数0 1 1 ，耐2 和a # ( a k ，谨0 ”，k j ，i = l ，2 ) 适当选择时，( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的系 所以 3 d e t t ( a ) = pi i 似一) ( 2 1 6 ) j = i 这表明i j ( i j 3 ) 是d e t t ( a ) 的根( 其中p 与a 无关) 命题1 ：设a 满足一阶常微分方程 = b 1 1 一b z 3 ( 2 1 7 ) 由式子露+ t 矿= t t 确定的矩阵口与矩阵u 具有相同形式，即r 3 可以表示为 ；) l 一“ 0 l o 一” 1 一 = 一矿 拈3 引“ ( 2 _ 1 8 ) c b + t u ，t + = ( 墨；l 三i 墨i l 三i 兰 三；) ， c 2 弓蓼= w + u ( n 5 ”) + a ，a ，( 2 一( n 5 ”) 2 ， 摇= 1 一弓”乎， 噩1 = 一n ；1 1 t 1 2 一5 2 噩3 ， ( 2 2 0 ) 乃- = 一0 ；t 2 2 一n 5 2 t 2 3 ， t 3 1 = 一0 ；1 乃2 一n 5 2 乃3 ， 1 j 3 利用上述关系通过直接计算，所有0 = l ，2 ，3 ) 是厶( s ，2 - 1 ，2 ，3 ) 的根，进而( 2 1 9 ) 可 以改写成 ( b + t u ) t + = ( d e t t ) p ( a ) p 嚣p 留 、 p 粤捌( a ) + p 野l 越翅1 其中p ( or k ，j = l ，2 ，3 ，l = o ，1 ) 与a 无关，所以方程等价于 e + t 矿= p ( a ) t 7 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) n舡； p p p ，j-l_-i_-i_ii、 l l ” p 式 形f以 有” ( p 比较等式( 2 2 2 ) 中x o ， 1 和p 的系数，可以得到 p 岩；l ，p 簿= 1 ，西兽= o ，趔= o ， = p 弹n + p 留， 。：p 譬n + p g 口， 2 。z + 。t = p ( o ) a p 舞( b ， 。+ + = p 辨n + 趔n 。+ 如1 n 。+ 6 2 2 ：p 2 n + p 碧n + p 要) b 3 3 ， = p 2 a + p 罂如， 一珏埘+ 6 3 1 一o 。= m a ，+ b 1 1 + 蛳= 嘞 综合上述方程组我们可以得到， 卿：o ，础= o ，p 碧= o ，p 嚣= l ， 剃= 口一3 0 z i n a ( 2 u + 3 0 z l v a ) 5 。， 趔= u + 3 0 z i n a = 面 于是有； 一f 01 肚a 0j 证毕 若妒( 知) ，妒( 如) 和x ( ) 也同时满足( 2 2 ) ，采用与命题1 类似的方法， 在变换( 2 5 ) 和( ? ? ) 共同作用下，由( 2 7 ) 式确定的矿与y 有相同的形式 化为 玩一亿+ 【疗，矿】= 0 ， 同样可以导出此耦合方程，即 愫嚣芝麓甜， 8 我们可以证明 零曲率方程转 f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 啦：一；。+ n 。 ( 2 2 5 ) 啦。一百。十8 。2 由式子t t + t v = 矿t 确定的矩阵矿与矩阵y 具有相同的形式，即矿可以表示为 小掣扣书十州) 协 在同一达布变换( 2 5 ) 和( 2 ，1 8 ) 作用下，原来的位势函数“和口映射为新位势面和面 证明：设t 一1 = ( d e f t ) 一1 t + 且 f9 。( a ) 驵。( 砷9 。( 砷、 伍+ t v ) t + = l9 2 l q ) 啦2 q ) 9 2 3 ( ) i ， ( 2 2 1 7 ) i 卯。( ) 酆。( a ) 鲫( a ) j 易验证吼 ( 。，z ：1 ，2 ，3 ) 是4 或3 次多项式当a = 时，利用( 2 ，2 ) 和( 2 1 2 ) 一( 2 - 1 4 ) ，石】 以得到 。黔一；u z z - f v + 。+ 十( ；“。+ 5 1 + “妒一；1 ) ) 2 一妒， 。：一；u 十弓1 ) 十( ；u 。一”) 0 5 2 一u ；”n 5 2 一( 毋) 2 ， 妄。产一。蜘。一。瀚2 t - - 。乃。一弓2 ) 毗， ( 2 1 2 8 ) 疋。：一。；：b 。一。；1 死甜一毒见。一毋马秘， t 3 l t ：一。袋乃2 一n 1 ) t 3 2 t o 舞z b 一乎乃3 t ，1 sj 3 通过上述关系，直接计算可以知道如是舶f ( s ，z = l ，2 ，3 ) 的根，进而( 2 2 7 ) 可以写成 q ( i 1 有以下形式 + t v ) t = ( d e t t ) q ( x ) ， ( 2 2 9 ) q 错( a ) + q 静 q 磐 q ( 入) = i 捌( a ) + 口劣西( a ) + q 罂 i描 拶 其中q 兽( ，j = 1 ，2 ，3 ，z = o ，1 ) 与a 无关 9 、 嘏趱越 卅n 黜掣础 所以方程( 2 2 9 ) 等价于 比较( 2 3 0 ) 中a 2 的系数，易得； 五+ ? u = q ( a ) t( 2 3 0 ) g 弹= 口学= 拯) = 趔= 趔= 1 ， + u 。= 毋0 趔= 扣 下面我们比较( 2 3 0 ) 中a 的系数 搿= 1 ， a t + b 3 1 一 t 慨+ 6 3 3 = 西p 6 3 3 + q 磐o + 蠢拿， 6 3 一一；一= 嘏o + 馥爹。+ 西6 3 l ， ；m + o = 口i j o + q n q i n 。， b l l + 纰+ b 1 3 = q i 6 1 3 + q 翟n 。+ q ；p 6 3 3 + q 搀n ， 啦+ ( 一2 3 ，x + v ) a + b 1 1 + n = q 弹。+ q i j 6 1 1 + q o ) a x + g ；p 6 3 1 ， 毗+ ；+ ( 一+ + u 2 ) a + 6 2 2 + d = 迸：n + 9 5 6 2 2 + 馥 n 一西 ， 啦+ 6 2 1 + ；u 6 2 2 + 6 2 3 = 建：b 1 3 + q 劣6 2 3 + q ! b 3 + 馥 8 + 醴多n ， 8 。t + ( 一让。十移) 口。+ 6 2 l + ( 一；“。+ + u v ) a + b 2 2 一；l t a = q 县b 1 1 + 4 0 ) 血+ q 罢砣1 + 醴雪n 。+ 如6 3 1 另一方面，利用命题1 ，比较方程( 2 2 2 ) 中a o 的系数，有 b z z 2 + a 1 ) + b 1 3 = 6 2 l ， 如+ 6 1 l + n u = b 2 2 ， 6 1 缸= 6 2 3 ， 6 2 l z + b 2 2 1 + b 2 3 = v b l l + 面6 2 1 6 2 知十6 2 1 + = 雷n + 面6 2 2 ， 6 2 船= o b z a + 面6 2 3 ， 6 3 1 一a x u + 6 3 3 2b l l ， 一n z + b 3 1 一a x u = 仉 b 3 3 z = b 1 3 利用上述关系通过计算，可以得到 1 0 ( 2 3 1 ) 对比( 2 7 ) 和( 2 2 9 ) ，即得 r， y = l 一 【 g 婴= q 磐= 趔= o ，趔= i q 嚣= 一；面。+ 。，q 凹= , f i ， 嘏= 一；砚。+ + ；丽， 口2 = 一j 1 - + 。+ 面2 ， 嘏= 一弘 ；砚。+ + a + 面。 一；豇 一；+ o + ；日2 + a 1 - j f 渺l ( 2 3 2 ) x 1 证毕 根据命题1 和命题2 ，达布变换( 2 5 ) 和( 2 1 8 ) 将l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 映为相同形式的 l a x 对( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，并且两个l a x 对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方程( 2 4 ) 我们也称( 西，i f , ) 一( 画，面) 是孤子方程( 2 4 ) 的达布变换 综上所述，有下面定理成立 定理1 ：孤子方程( 2 4 ) 的一个解“= ( ， ) 在达布变换( 2 5 ) 和( 2 1 5 ) 作用下，映射为 另一个解面= ( 面，o ) ，其中n 有线性系统( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 和( 2 1 7 ) 确定 2 精确解 利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 2 4 ) 一系列的精确解以平凡解 “= = 0 作为种子解，代入l a x 对( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中，可以得到( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的基本解令 a = k 3 ，选取三个基本解为 根据等式( 2 1 5 ) 有 i 妒( 七) = l i v ( k ) ： k e 砘一 ( 妇+ 2 ) c 0 8 ( 乎( 一 2 e 3 一 ( 阱舻。) c o s ( 乎( k x e 驴一 ( h + 砘) c o s ( 乎( k 。 卜砘 x ( 七) = i 七2 e 七3 t i e k 3 由线性系统( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 可得 a a l + b l l + a a + a 2 1 b 1 3 20 ， a a 2 + b n + ；+ a 2 b 1 3 = 0 ， 6 3 l + , d ( - a 。) + ( a a l + b 3 z ) a = 0 6 3 1 + a l ( - a = ) + ( a a 2 + b 3 3 ) a ；= 0 其中a j = 碍 ( 2 3 3 ) ( 2 3 5 ) 州删悯 嚣剐 、l- 聊抑 + + 嘞 嘲嘲罐 翔抑 + + 啪 啪嘲并 喜毒蚺 踟 小胁抛咄 照落丽 一一一 黎 利用克莱姆法则求解 又有( 2 1 7 ) 式 经过计算我们可以得到 h - = 丛丝褰掣 b s = 型h 茬2 等2 血 = b l l b 3 3 o z l n a = 丛逊喾a 3 窘4 - 娑产趟 一o ；o s o ： 从而利用达布变换( 2 1 5 ) 得到方程( 2 4 ) 的非平凡解 叩fi1，：=一30。x。蟊lna 。, 。，。 当参数适当选择时，我们可以得到如下图像： 0 o 一0 一 一0 t = l ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 1 ) 7 5 0 5 2 5 | 一，。，一6 0 。s o 一4 0 、巧。一2 7 5l f i 9 1 面【1 】 k l = 0 1 ，k 2 = 0 2 ，r = o 吡，r = 2 ，畦= 1 0 ，砖= 4 1 3 - 0 o - 0 一0 1 - 0 t = 0 f i 9 2 0 1 1 l ，i = 0 i ，乜= 0 2 ，r i = 0 0 1 ，r = 2 ，r 5 = 1 0 ，砖= 4 1 4 考察m e l n i k o v 方程【2 0 】 第三章m e l n i k o v 方程的n 孤子解 j 札耐+ 2 蹦+ 3 ( u 2 ) 。z 一3 u 鲫+ 知( 矿) 。= o ， 1i v y = + u 口 其中k 为常数 通过变换n = 2 0 n 1 ) 一 = 可将( 3 1 ) 化成双线性形式： j2 ( i n ，) z z 耐+ 2 ( i i l ，) z 一一3 ( ( 2 ( 1 1 l ，) 托) 2 ) 材一6 ( i n ) 。鲫十七( 簪) 黝。= o ， 【 ( ) 。= ( k + 2 ( 1 n ，) 一 对第一式进行化简得： ( 见d t + 硝一3 d g ) ：，= k g g + 将变换代入第二式得： 争2 ( ；) 一+ z 争脏， t t d y g f = 学一；略f + ；咿f 故方程( 3 1 ) 化为双线性方程： f ( d x d t + 珑一3 d ；) i ，：鲫， 1 ( 岛一谚) 9 ，：o ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 将f , g 以e 小参数展开； ，= 1 + ，。k 2 + ，一k 4 + ，k 6 + ，鹕一+ ( 3 4 ) lg = g ( 1 ) e + 9 ( 3 ) e 3 + g ( s ) e 5 + g ( 7 ) e 7 + 一 、7 将( 3 4 ) 代入( 3 3 ) 中的第一式合并s 的同次幂，我们得到一系列的偏微分方程。 2 ：2 ( 摆+ ，一3 矗；) = 一9 ( 1 ) 9 ( 1 ) ， ( 3 5 ) 4 ：2 ( 世+ 砖2 。一3 巧；) = 一( d ；r d t + 噬一3 d ；) ，( 2 ) 一，( 2 ) 一k g ( 1 ) 9 ( 3 ) 一k g ( 3 9 ( 1 r ， ( 3 6 ) 1 5 一：2 ( 搿+ 露2 。一3 瑞) = 一2 ( d z d t + d a x 一3 d ；) ，( 2 ) ，( 4 ) 一k g ( 1 ) 9 ( 5 ) 一k g ( 5 ) 9 ( 1 ) + 一k g ( 3 ) 9 ( 3 ) 将( 3 4 ) 代入( 3 3 ) 中的第二式得 ( 3 7 ) ( i d u d ；) 0 ( 1 ) e 1 + g ( 3 ) 扩+ g ( 5 ) e s + ) ( 1 + ，( 2 ) e + ，( 4 ) e 4 + ，( 6 ) s 6 + ，( 8 ) s 8 + ) = 0 ( 3 8 ) 合并s 的同次幂，我们得到一系列的偏微分方程 ( i ) 单孤子解： 1 ：t 露一也= 0 e 3 ： 鳐露。= 一( t 巩一d ：) g ( 1 ) ，( 2 ) e 5 ： 鳕一g 嘉= 一a d ”一d ：) ( g ( 1 ) ，( 4 + 9 ( 3 ) ，( 2 ) 由方程( 3 9 ) 可令9 ( 1 ) = e 如1 = 2 研t + k l x z 知+ 钾，女1 c ，( 2 ) = e e l + 酊+ 9 1 3 将，( 2 ) 代入方程( 3 1 0 ) ，则： 可得g ( 3 ) = 0 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) e 0 1 3 面而蒜( 3 1 2 ) 狒一磊= 一( i d p 一珑) 9 ( 1 ) ，( 2 ) 将9 ( 3 ) = o ，( 2 ) = e f l + + 9 - 。代入( 3 6 ) 式； 2 ( 鹰+ 以2 。一3 蟛) = 一( d z d t + d a z 一3 瑶) ，( 2 ) ，( 2 ) 一k g ( 1 9 ( 3 卜一k g ( 3 9 ( 1 ) 推得，( 4 ) = 0 ，如此继续可知( 3 4 ) 中的级数可以截断为有限形式并取s 一1 可得 = 1 + e f l + 酊+ 以3 ，9 1 = 1 毋k 面雨辆 1 6 ( 3 1 3 ) 故耦合方程组的单孤子解为“= 2 ( 1 n k ， ”= 磬 ( i i ) 双孤子解； 取9 ( 1 ) = 乒- + 毋， 白= 2 k ；t + b z i 碍+ 毋，码c 0 = 1 ，2 ) 由( 3 5 ) 式可令 ，( 2 ) = 乒l + 钌+ 口1 3 + l + g + 口1 4 + e 缸+ + 虹+ e f 2 + 铭+ 代入到( 3 5 ) 中解出 知埘= 万丽- k 1 2 ( k j 两，。，= 1 ，2 ) + 磁) ( 幻3 + 磁3 ) 7 将g ( ，( 2 ) 代入到( 3 1 0 ) 式，解出9 ( 3 ) = e e l + 巳+ 酊+ p 1 2 + p 1 3 + 0 2 3 - 1 - 西l + 如+ + 口1 2 + 口1 4 + 0 2 4 e 口，。：1 2 ( k l - k 2 。) ( k g - 一k 1 3 ) 将9 ( 3 1 ，9 ( ，( 2 ) 代入( 3 6 ) 得，( 4 ) = e f l + 2 + 嚣+ g + 口1 2 + 0 1 3 + 巩4 + + 畅+ 。：! 坐i 二掣望二盟 求得，( 孙，( 钔，9 ( ，g ( 3 ) 代入( 3 4 ) ( 3 9 ) 中推得9 ( 5 ) = ，( 6 ) = 0 继续这种推理可知( 3 4 ) 中的级数可以截断为有限形式并取= 1 可得 ，2 = 1 + e f l + g + 。1 3 + e f l + + 8 1 4 - t - e f ：+ 缸+ 如3 + e + g + 如4 + e f l + 甜+ 2 + + 0 1 2 + 日1 3 + 口1 4 + 坛+ 如3 + 9 2 =e f l + e 如+ e f l + f 2 + 酊+ 口1 2 + 口1 3 + 锄+ e f l + 缸+ + 口1 2 + 口h + 畅 故m e l n i k o v 方程的双孤子解为= 2 ( 1 n ，2 ) 一口= 舅 ( i i i ) n - 孤子解： 经过复杂的计算和严格的推理m e l n i k o v 方程的n - 孤子解为； 1 7 ( 3 1 4 ) 如 如 脚 m 蜥 脚 抓蚍 + + 白 白 蜥 附 h一；h 净 净 p 肛 1 2 a a q 叽 i | = p p | | | | 厶 鲰 其中 厶钾= 学， 0 = 1 ，n ) e o i ( n + t ) 2 琊再甄- k 同，( t ，j = l ，哟 幽：掣，( i 心，。) 3 1 5 e 吼n + t ，( n + 计= ! ! g ! 二! ；掣( f j ：2 ，n ) 而a 1 ( p ) ，a 2 ( p ) 表示当坳0 = 1 ，2 ，y i , ) 取所有可能的0 或1 时还需要分别满足条件 脚= p 州， j = xj ；1 当参数适当选择时，我们可以得到如下图像 n n 坳= + 1 ( 3 1 6 ) j = lj = 1 f i 9 1 蛳= 一1 0 ，k l = 1 + o 1 i ? 器= o ；t = 0 1 8 f i 9 2 a b s ( v ) ，a r g ( v ) ；k = 一1 0 ，女1 = 1 + 0 1 i ，器= o ；t = 0 f i 9 3 r e a l ( v ) ，i m a g ( v ) ；k = 一1 0 ，k l = 1 + o 1 i ，f ? = o ；t = 0 参考文献 【1 】s p n o v i k o v ，s v m a n a k o v ，l p p i t a e v s k i i ，a n dv e z a k h a r o v ，t h e o r yo fs o l i t o n s , t h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d s ，c o n s u l t a n t sb u r e a u ，n e wy o r k ，1 9 8 4 【2 】m j a b l o w i t za n dh s e g u r ，s o l i t o n sa n dt h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，s i a m ， p h i l a d e l p h i a ，1 9 8 1 f 3 】c h g u ，e t c ，s o , t o nt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n ，z h e j i a n gp u b l i s h i n gh o u s eo fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y , h a n g z h o uc h i n a ，1 9 9 0 【4 】m j a b l o w i t z ，p a c l a r k s o n ，s o l i t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s e s c a t t e r i n g , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 【5 】x b h u ，n o n f i e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a t ef o rt h ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ea n a l o g u eo f t h ek d ve q u a t i o na n dt w o - d i m e n s i o n a lt o d ae q u a t i o n j p h y s a ：m a t h g e n 2 7 ( 1 9 9 4 ) ：2 0 1 【6 】y m a t s u n o ，b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，a c a d e m i c ，n e wy o r k ，1 9 8 4 7 】y s l i ，j e z h a n g ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n so fc l a s s i c a lb o u s s o n e s qs y s t e ma n dj 括 n e w s o l u t i o n s ，p h y s l e t t a 2 8 4 ( 2 0 0 1 ) ：2 5 3 - 2 5 8 8 】p j o l v e r ，a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , v 0 1 1 0 7 ，s p r i n g e r ， n e wy o r k ，1 9 9 3 【9 】v b m a t v e e va n dm a s a l l e ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sa n ds o l i t o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ， 1 9 9 1 【1o 】z m l i u ，an e wm a t h e m a t i c a lf u n c t i o nc o n n e c t e dw j 曲b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sj n k i n e t i ct r a n s p o r tt h e o r y , j m a t h p h y s 2 4 ( 1 9 8 3 ) ：1 4 【1 1 】w h e r e m a n ，m t a k a o k o a ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o na n dw a v e e q u a t i o n su s i n gam e t h o da n dm a c s y m a ，j p h y s a 2 3 ( 1 9 9 0 ) ：4 8 0 5 【1 2 g z t u ，an e wh i e r a r c h yo fi n t e g r a b l es y s t e m sa n di t sh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s , s c i e n t i as i n i c a 3 1 ：1 2 ( 1 9 8 8 ) ：2 8 3 9 【1 3 】g w b l u m a n ，s k u m e i ，s y m m e t r i e sa n dd i f f e r e n t i a la n de q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ， 1 9 8 9 【1 4 】c r o g e r s ，w k s c h i e f , b i i c l d a n da n dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sg e o m e t r ya n dm o d - e r ua p p l i c a t i o n si ns o l i t o nt h e o r y , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 2 【1 5 】v e z a r k h a r o v ，a b b h a b a t ，as c h e m ef o ri n t e g r a t i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o n so f m a t h e m a t i c a lp h y s i c sb yt h em e t h o do ft h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，f u n c t a n a l a p p l 8 ( 1 9 7 4 ) ：2 2 6 - 2 3 5 【1 6 】g n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，g e n e r a ln - s o l i t o ns o l u t i o no ft h ea k n sc l a s s0 na r b i t r a r y b a c k g r o u n d ，p h y s l e t t a 1 0 0 ( 1 9 8 4 ) ：4 6 7 - 4 7 0 【1 7 】l l h d a i ，x g g e n g ，f i n i t e - d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m st h r o u g ht h ed e c o m p o s i - t i o no fam o d i f i e db o u s s i n e s qe q u a t i o n ，p h y s l e t t a 3 1 7 ( 2 0 0 3 ) ：3 8 9 4 0 0 1 8 】j b c h e n ，a l g e b r o - g e o m e t r i cs o l u t i o n st oah i e r a r c h yo f 以+ 砂d i m e n s i o n a la n dt w o n e wf 2 + j ) 一d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ，c h a o s o l i f r a c 1 9f 2 0 0 4 ) ： 9 0 5 - 9 1 8 【1 9 e g f a n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rs o l i t o n l i k es o l u t i o n sf o rt h eg e r d j i k o v - i v a n o v e q u a t i o n ，j p a y s a ：m a t h g e n 3 3 ( 2 0 0 0 ) ：6 9 2 5 - 6 9 3 3 【2 0 】y o k oh a s e ，r y o g oh i r o t a ，y a s u h i r oo h t aa n dj u n k i c h is a t s u m a ，s o f i t o ns o l u t i o n so f t h em e l n i k o ve q u a t i o n ，j p a y s s o c j p n 5 8 ( 1 9 8 9 ) ：2 7 1 3 - 2 7 2 0 【2 1 】j n c a o ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sf o rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ep r i n c i p a le h i r a le q u a t i o n a n di t sc o n t i n u o u sl i m i t s , j m a t h p h y s 4 1 ( 2 0 0 0 ) ：4 6 8 7 - 4 6 9 4 【2 2 】c h g u ，h s h u ，au n i f i e de x p l i c i tf o r mo ft 毙c k l u n dt r n s f o r m a t i o n sf o rg e n e r a l i z e d h i e a r c h i e so f k d ve q u a t i o n s ，l e t t m a t h p a y s 1 1 ( 1 9 8 6 ) ：3 2 5 【2 3 】m l w a n g ，e x a c ts o l u t i o n so f ac o m p o u n dk d v - b u r g e r se q u a t i o n ，j p h y s l e t t a ， 1 9 9 ( 1 9 9 5 ) ：1 6 9 - 1 7 2 【2 4 】s k l i u ，z t f u ，s d l i ua n dq z h a o ，j a c o h ia l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e 拙o d a n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n so f n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，j p a y s l e t t a 2 8 9 ( 2 0 0 1 ) ： 6 9 7 4 【2 5 】e g f a n ，i n t e g r a b l ee v