（应用数学专业论文）延时周期lotkavolterra系统的稳定性分析.pdf

摘要 l o t k a - v o l t e r r a 系统是一类重要的数学生态学模型，自2 0 世纪2 0 年代提出以 来已被广泛应用于自然科学与社会科学等各种领域，为理解复杂系统内部竞争替代 与演化的规律提供了有力工具近年来，延时周期l o t k a v o l t e r r a 系统由于引入了 更贴近客观实际的时间延迟和周期性波动因素，逐渐成为研究的热点 本论文研究了一类具有非常一般形式的延时周期l o t k a - v o l t e r r a 系统我们直 接运用基本且直观的数学分析工具，详细讨论了具有重要生态学意义的正周期解和 非负周期解问题，证明了若干周期解的存在性和稳定性定理 全文共分为四章 第一章，绪论我们首先介绍了l o t k a - v o l t e r r a 系统在生态学、神经网络以及 其他领域的应用，阐述了延时周期l o t k a - v o l t e r r a 系统的研究意义，然后给出了具 体的模型描述，并在归纳现有文献研究思路的基础上提出了亟待解决的问题 第二章，正周期解的存在性与稳定性l o t k a - v o l t e r r a 系统的正周期解表明生 态系统中的所有种群在周期性的波动中共存下去，而没有一个种群趋于灭绝对于 这类特殊而重要的周期解，我们采用与现有文献不同的思路，直接使用泛函分析中 基本的s c h a u d e r 不动点定理，证明了更为宽松和一般的存在性条件我们还进一步 讨论了正周期解的全局渐进稳定性和全局指数稳定性 第三章，非负周期解的稳定性l o t h _ v b l t e r r a 系统收敛到一个某些分量为零 的非负周期解，意味着某些种群在竞争中处于劣势而最终灭绝对这一更有普遍意 义的周期解问题，我们首先讨论了解的有界性条件，然后通过构造与l y a p u n o v 函 数有相似形式的辅助函数，运用直接的分析方法证明了非负周期解的稳定性定理 这一方法成功地克服了直接使用l y a p u n o v 方法可能遇到的困难 第四章，数值例子与讨论我们以一个综合性的数值例子，具体说明了前面得 到的稳定性条件的验证方法，以及各类稳定性条件之间的区别与联系这些结果为 深入理解复杂生态系统的动力学行为提供了有益的启发 关键词：l o t k a - v o l t e r r a 系统，神经网络，延时，周期解，全局渐进稳定性，全 局指数稳定性，非奇异m 矩阵 中图分类号：0 1 7 5 1 ，q 1 4 1 a b s t r a c t t h el o t k a v o l t e r r as y s t e mi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm o d e l si nm a t h e m a t i c a l e c o l o g y s i n c ei tw a np r o p o s e di nt h e1 9 2 0 s ，s u c c e s s f u la p p l i c a t i o n so ft h i sm o d e la n d i t sv a r i a n t sh a v eb e e nw i d e l yf o u n di nd i v e r s ea r e a so fn a t u r a la n ds o c i a ls c i e n c e s ， w h i c hh a v ep r o v i d e dp o w e r f u lt o o l sf o ru n d e r s t a n d i n gt h em e c h a n i s m so f c o m p e t i t i o n a n dd y n a m i c a le v o l u t i o ni nac o m p l e xs y s t e m i nr e c e n ty e a r s ，t h ed e l a y e dp e r i o d i c l o t k a - v o l t e r r as y s t e m s ，w h i c hi n t r o d u c et h et i m ed e l a y sa n dp e r i o d i co s c i l l a t i o n s i n t ot h eo r i g i n a lm o d e l ，h a v ea t t r a c t e di n c r e a s i n gi n t e r e s t t h i st h e s i sf o c u so nt h ed e l a y e dp e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r as y s t e m so fav e r yg e n - e r a f o r m u s i n gf u n d a m e n t a la n ds t r a i g h t f o r w a r da n a l y t i ct e c h n i q u e s ，w ed i s c u s s i nd e t a i lt h ei s s u e so np o s i t i v ea n dn o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st h a th a v es i g n i f - i c a n te c o l o g i c a lm e a n i n g s s e v e r a ln e wr e s u l t so fe x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo fp e r i o d i c s o l u t i o n sa r ep r o v e d t h i st h e s i si so r g a n i z e da nf o l l o w s c h a p t e r1 ：i n t r o d u c t i o n w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o n so fl o t k a v o l t e r r a s y s t e m si ne c o l o g y ，n e u r a ln e t w o r k sa n do t h e rf i e l d s ，a n dt h en e c e s s i t yo fr e s e a r c h o nd e l a y e dp e r i o d i cl o t k a - v o l t e r r as y s t e m s m o d e ld e s c r i p t i o n sa r et h e ng i v e n ，a n d c h a l l e n g i n gp r o b l e m so x ep r o p o s e db a s e do i la n a l y z i n gt h ei d e a sa n dm e t h o d sc u r - r e n t l yu s e dt oi n v e s t i g a t et h em o d e l c h a p t e r2 ：e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fl o t k a - v o l t e r r as y s t e m si m p l yt h a ta l lt h es p e c i e si na ne c o s y s t e m c o e x i s tp e r m a n e n t l yw i t hp e r i o d i co s c i l l a t i o n s t a k i n gad i f f e r e n tw a yf r o mt h o s ei n t h el i t e r a t u r ea n da p p l y i n gs c h a u d c r sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ep r o v es o m ee x i s t e n c e c o n d i t i o n sf o rp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s a n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n d g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r ea l s oa d d r e s s e d c h a p t e r3 ：s t a b i l i t yo fn o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s t h ev a n i s h i n gc o m p o - n e n t so fas t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o ni m p l yt h a tt h ec o r r e s p o n d i n gs p e c i e sa r ed r i v e n t oe x t i n c t i o ne v e n t u a l l y t os t u d yt h es t a b i l i t yo fn o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s ， w ef i r s td i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n s ，a n dt h e np r o v et h es t a b i l i t yt h e o r e m s b ys i m p l em a t h e m a t i c a la n a l y s i s b yu s i n gt h i sa p p r o a c h ，w ea v o i dt h ep o s s i b l e d i f l i c u l t yi na p p l y i n gt i l el y a p m l o v sm e t h o d 英文摘要i v c h a p t e r4 ：an u m e r i c a le x a m p l ea n dd i s c u s s i o n s t h ec o m p r e h e n s i v ee x a m p l e i sc a r e f u l l yd e s i g n e da n di n t e n d e db o t ht oi l l u s t r a t eh o wt ov e r i f yt h es t a b i l i t yc r i t e r i a o b t a i n e di np r e v i o u sc h a p t e r s ，a n dt oe x p l a i nt h ed i s t i n c t i o nb e t w e e nt h ec o n d i t i o n s f o rp o s i t i v ea n dn o n n e g a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa l lt h e s er e s u l t sp r o v i d ei n s i g h t si n t o t h eu n d e r s t a n d i n go fd y n a m i c a lb e h a v i o ro fc o m p l e xe c o s y s t e m s k e y w o r d s ：l o t k a - v o l t e r r as y s t e m ln e u r nn e t w o r k ，d e l a y ，p e r i o d i cs o l u t i o n ， g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , n o n s i n g u l a rm m a t r i x 第一章绪论 1 1应用背景与研究意义 芸d p - ( p ) ， ( 1 1 ) 面= p ( c 一d ) ， 卜。 面d x i 硇( 卜厶j = 1 ) 一川 其中甄( f ) 为第i 个种群在时刻的数量。b 为第i 个种群的自然增长率a 。 0 表 示种内竞争对种群增长的限制作用，a 。，( i j ) 表示种群之间的相互作用，一般来 说没有符号限制，通过取不同符号的数值即可描述前述所有类型的种间关系 l o t k a - v o l t e r r a 模型成功地解释了生态系统中的种群数量波动现象，成为现代 数学应用于生物学研究的范例这一模型的改进和发展( 例如，进一步考虑延时、空 间分布、年龄结构等因素的影响) 极大地扩展了生态学和种群动力学的研究手段， 取得了丰富的成果眠19 1 不仅如此，近年来它还被广泛用于物理学、化学、经济 第一章绪论 2 学和金融学等其他领域，成为研究复杂系统内部竞争替代和演化动力学的有力工 具 1 4 ，1 7 ，1 8 ，2 2 特别值得指出的是，1 9 9 7 年f u k a i 和t a n a k a 根据竞争神经元的传统膜动力学 导出了以l o t k a - v o l t e r r a 方程描述的一类神经网络模型，为深入理解神经元的竞 争与选择机制提供了数学基础| 7 1 随后，a s a i 等学者报道了这一类型神经网络的 m o s 集成电路实现，为进一步的研究和工程应用提供了可能2 1 此外，连续时间的 反馈型( r e c u r r e n t ) 神经网络已被证明可通过坐标变换嵌入到l o t k a - v o l t e r r a 模型 中f 1 7 1 这些事实表明，l o t k a - v o l t e r r a 系统的分析方法与研究成果在神经网络这 一新兴领域也有着重要的应用前景 无论从理论兴趣还是应用价值出发，动力学性质分析尤其是稳定性分析都是 l o t k a - v o l t e r r a 系统研究的核心内容长期以来，研究者们已对这一论题进行了广 泛深入的研究，积累了大量文献，其中专著8 ，9 ，2 1 ，2 3 1 对2 0 世纪9 0 年代中期以前 的主要研究成果从不同角度作了很好的总结 但是，对l o t k a - v o l t e r r a 系统的早期研究主要集中在一些简单情形上，例如两 种群或三种群的低维系统、参数不随时间变化的自治系统、不考虑延时的影响等， 这些简化假设有效地降低了理论分析的难度，但也明显地限制了模型的适用范围， 不仅计算结果不能与观察数据吻合，得到的定性结果也无法解释许多复杂的现象 进一步的研究需要考虑更多的实际因素和更为一般的情形，理论分析的难度大大增 加，对基本理论和研究方法提出了新的挑战 周期系统，即所有参数均为周期函数的系统，是非自治系统中一类最重要的情 形这一方面是因为周期函数相对来说比较简单，但更重要的是因为从环境条件变 化到金融市场波动的一大类实际现象都可以用周期函数近似地描述因此，近年来 周期动力系统的研究逐渐成为各种应用领域研究的热点，周期h o p f i e l d 神经网络的 稳定性分析就是一例1 ，1 3 ，a 2 另一个必须考虑的实际因素是延时的影响信号的 传递需要时间，效果的产生通常不是即时的，而是有时间的滞后，在数学模型中引 入延时是对真实世界更为客观的反映综上所述，延时周期l o t k a - v o l t e r r a 系统的 研究具有重要的现实意义，本论文将详细地讨论其动力学性质 1 2模型描述与问题的提出 本论文研究的主要模型是包含n 个种群的延时周期l o t k a - v o l t e r r a 系统它由 第一章绪论 3 下述延时微分方程描述： 掣一卜，一驴n 蝴，一骞序”圳觥 ，。， i = 1 ，2 ，礼， 其中轨( t ) 和a q ( t ) 是以“ 0 为周期的连续函数，o ，：( ) 0 ，对任何固定的t 0 ， 以( ，s ) 是广义测度且满足周期性条件d 。p 巧0 + u ，s ) = d 。“蚶( t ，s ) ，存在与t 无关 的广义测度k q ( s ) 使得协胁，( t ，s ) i i d 噩j ( s ) l 以及 i d l q j ( s ) l 一，从而对所有t 0 和i = 1 ，2 ，n 有z 。( ) 0 口 第一章绪论 4 注1 此引理表明，如果初始条件为正，那么解也恒为正数，而永远不会等于 零虽然如此，但仍有可能随着时间的增长解无限趋向于零，这意味着对应的种群 趋于灭绝 由引理1 ，我们可以自然地做如下定义 定义1系统( 1 2 ) 的满足初始条件( 1 4 ) 的解称为系统( 1 2 ) 的一个正解 在后面的章节中，我们将要讨论系统( 1 2 ) 的全局渐进稳定性和全局指数稳定 性，这里先给出它们的定义 定义2 设z 4 ( ) 是系统( 12 ) 的一个解，且对该系统的任意正解x ( t ) 均有 l i r a 忙( t ) 一z + ( t ) l l = 0 ， 其中i l 是础上的某个范数，则z + ( f ) 是全局渐进稳定的 定义3 设z + ( ) 是系统( 1 2 ) 的一个解，存在常数e 0 ，对该系统的任意正解 z ( t ) 均有 l i m 忙( ) 一9 4 ( o ) | | = o ( e 。) ， 其中1 1 是妒上的某个范数，则z + ( t ) 是全局指数稳定的，且收敛速度为e 从生态学意义上说，如果一个生态系统中的所有种群两两之间均为竞争关系或 合作关系，就称为竞争系统或合作系统在本论文中，我们采用如下定义 定义4 在系统( 1 2 ) 中，如果对i = 1 ，2 ，他有后b i ( u ) d u 0 ，对所有i j 有a q ( t ) 0 ，并且对所有i ，j = 1 ，2 ，“有d d 锄( t ，5 ) 0 ，则该系统称为竞争系 统 定义5 在系统( 1 2 ) 中，如果对i = 1 ，2 ，n 有fb | i ( u ) d u 0 ，对所有i j 有a q ( t ) 0 ，并且对所有i ，j = 1 ，2 ，n 有也“幻( t 8 ) 0 ，则该系统称为各作系 统 周期l o t k a - v o l t e r r a 系统的正周期解，即每个分量都大于零的周期解，在 生态学中的意义特别重要它意味着一个生态系统中的所有种群在周期性的 波动中永远共存下去，没有一个种群趋于灭绝因此，这一问题引起了广泛的 兴趣，针对l o t k a v o l t e r r a 系统的多种具体形式，文献中已报道了不少结果，例 如 6 ，1 0 ，11 ，2 4 2 6 ，2 8 ，3 0 需要注意的是，尽管任何周期l o t k a ，v o l t e r r a 系统都存在 平凡的非负周期解( 最简单的情形就是所有分量均恒为零的解) ，但正周期解的存在 性却远非平凡一般来说，系统( 1 2 ) 的正周期解不一定存在 第一章绪论 5 目前文献中对周期l o t k a - v o l t e r r a 系统正周期解的研究，主要有两种思路：一 是先证明系统的持久性( p e r m a n e n c e ) ，这保证了系统的解不会趋向于零，然后在此 基础上证明系统收敛到一个稳定的正周期解；二是先使用叠合度理论的延拓定理等 方法证明正周期解的存在性，然后再用微分方程的定性理论研究其稳定性显然， 依照前一种思路，得到稳定性的同时也得到了存在性，这有其方便之处但一般来 说，存在性只是稳定性的前提，正周期解存在并不意味着该正周期解一定是稳定的 因此，后一种思路有助于得到更为宽松的存在性条件 在第二章中，我们将依照后一种思路研究系统( 1 2 ) 的正周期解注意到大多 数文献采用叠合度理论等相当复杂的方法证明正周期解的存在性，不仅证明过程不 够简洁，这些理论本身的复杂性也在一定程度上掩盖了问题的本质在本论文中， 我们不采用这些复杂的方法，而直接使用泛函分析中十分基本的s c h a u d e r 不动点 定理，不仅证明过程简洁明了。而且得到的存在性条件更加宽松和一般 正周期解反映的是所有种群的“和平共处”，然而自然界中往往不是这种情况 在长期的生物进化过程中，过去已经有而且未来还将继续有大量的物种在竞争中处 于劣势而最终归于灭绝这种最终状态，反映在l o t k a - v o l t e r r a 模型中，就是可能 有某些分量为零的非负周期解研究在怎样的条件下，周期l o t k a - v o l t e r r a 系统收 敛到一个稳定的非负周期解，是一个饶有趣味且有普遍意义的问题遗憾的是，现 有文献对这一问题的研究还相当缺乏仅有少量文献讨论了某些特定类型的非负周 期解的稳定性，例如只有一个种群存活、其余种群全部灭绝的情形，讨论的范围也 仅局限于竞争系统等特殊形式 1 5 ，1 6 ，2 7 针对一般形式的l o t k a - v o l t e r r a 系统研 究非负周期解的稳定性，尚未见文献报道 研究一般的非负周期解的稳定性，困难在于为l o t k a - v o l t e r r a 系统构造的 l y a p u n o v 函数( 或泛函) 含有周期解各分量的对数函数，要求周期解的所有分量均 不能为零为了克服这一困难，我们在第三章中不直接利用l y a p u n o v 类型定理的 结论，而是通过构造与l y a p u a o v 函数有相似形式、但不涉及系统周期解的辅助函 数，运用基本的数学分析方法直接证明非负周期解的稳定性 1 3 预备知识 m 矩阵是一类与动力系统的稳定性关系十分密切的矩阵它有很多重要的性 质，专著 4 】4 的第六章中罗列了多达5 0 条相互等价的性质为了后面章节研究的需 要，我们在这里简单地列出m 矩阵的一些性质这些性质的证明可参见 4 引理2 设c = ( ) r n “，且所有非对角元均不大于零，则“c 是非奇异m 矩阵”与下列任何一条命题都等价： 第一章绪论 6 ( a ) c 的所有前主子式都大于零 ( b ) c 7 是非奇异m 矩阵 ( c ) g 是正稳定的，即g 的所有特征值的实部都大于零 ( d ) 存在各分量均大于零的t o l = ( c 1f 2 ，f 。) t 使得c 的各分量都大于 客 ( e ) 存在对角元均大于零的对角阵d 使得c d + d c t 是正定阵 ( f ) g 。存在，且所有元素均非负 从性质( b ) 和( d ) 容易推出下面的引理它表明对非对角元非正的一类矩阵， 广义行对角占优( 即加权行对角占优) 与广义列对角占优是等价的 引理3 设e = ( 勺) 酽“，且所有非对角元均不大于零，则下列命题等价： ( a ) 存在正常数f 1 ，已，靠使得警l 岛勺 0 对i = 1 ，2 ，7 1 , 成立 ( b ) 存在正常数叩l ，q 2 ，”。使得：l 哺锄 0 对i = 1 ，2 ，n 成立 在讨论系统( 1 2 ) 的正周期解的稳定性时，将会用到下面一类函数 定义6 函数，：r + 一r 属于日类函数，当且仅当：对所有t 0 有y ( t ) 0 ， 且对任何区间序列 b ，f t m 其中s i 0 ， s ，t i i - i s j ，t j = d ，t i q = t j s j 0 ( i j ) ，都有 你c ) d 一+ o o t 盅1 。s 注2 显然，如果存在常数a 0 ，使得对所有t 0 有f ( t ) a ，那么一定有 ，h 反之不一定成立 在讨论系统( 1 2 ) 的非负周期解的稳定性时，注意到下面的简单事实对启发证 明的思路有很大帮助 引理4 设t 厶) 是定义在 o ，u 上的一致有界、等度连续函数序列，其中u 0 ， 且满足 ，u 1 i 哩i 厶( ，) 胁= 0 ， ( 1 6 ) 7 卜o 。j o 则厶一0 在 o ，u 】上一致成立 证明如果结论不成立，则存在常数= o 0 ，对任何正整数k ，存在相应的 靠 0 ，u 和r t , k k 使得i ，n 。( “) i g o 再由( ，n ) 的等度连续性，存在常数d 0 使得只要满足如一d t 茎t 女+ d 就有 ( t ) l i e o 于是有 | 丸( t ) l d t d 等 0 0 这与假设( 1 6 ) 式矛盾故结论成立 口 第一章绪论 7 第二章正周期解的存在性与稳定性 2 1正周期鼹的存在性 在这一节中，我们先用s c h a u d e r 不动点定理证明关于系统( 1 2 ) 正周期解的存 在性定理，然后对仅包含有限延时的情形，证明有类似形式但更为宽松的存在性条 件，最后对竞争系统与合作系统两种重要的特殊情形，分别导出两个推论 为方便起见，我们做如下记号约定：，+ = m a x o ，) ，= m i n o ，) ， 门。= s u p 。，( t ) ，f ， f = i n f c ，( ) 首先证明下述主要定理 定理l 如果存在正常数l ，f 2 ，6 。，使得下面两个条件 6 ( t ) 一矗。“( t ) 一6 n 弓( t ) 一6f p 巧( t ，s ) 一 o ，( 2 1 ) 外一，塞；鲫，一妻j = l 白肛州”) + ) d ，皿。， 对i = 1 ，2 ，n 成立，则系统( 1 2 ) 至少存在一个正的u 周期解 证明令c = e ( ( 一。，o ，r “) 为装备以下范数的b a n a c h 空间 恻l = m m xs u p ( 口) | 记 饥= m a x s u p 抚( ) ， 讹= m a x s u pl a i i ( t ) l ， 7 32m a x 8 u p 上j ( t , s ) i ， = e x p 1 l + ( 他+ 加) 刳u ， l = h 1 + ( 仇+ 加) 刳， 并选取正常数卵使得 州n 坐坚喾喾迹，0 ( 2 3 ) 第= 章正周期解的存在性与稳定性 9 记 力= f 。( 臼) e ：即( p ) 茎矗( i = 1 ，2 ，n ) ，1 l 士( p ) | i 曼l ) 容易验证力是g 中的凸紧集 定义从仃到e 的映射丁为 t ：咖( p ) - + z ( 目+ u ，曲) 、 其中x ( t ) = z ( ，) 是系统( 1 2 ) 的满足初始条件戤( p ) = 也( 们( 一o 。 口s0 ) 的解 为了应用s c h a u d e r 不动点定理，我们只需证明了仃c 仃，即，如果d ，那么 z 门假设存在t o 0 和某个下标i o 使得 x i o ( t o ) = 6 。，z ( t ) j 0 ，对所有 t o 且对任何j i o 有 ( ) s 岛，对所有t t o 直接计算并利用( 2 1 ) 式可得 坐矍等盟 一6。t0)一妻如出舢o)_妻f嘶叫咖舶，s)j=lj=lt=to 0 “ s6 舶) 一觚。( f o ) 一瓴州一岛f o j ( s ) j = 1 ，2 0j = 1 。” 这意味着对所有0 t u 和i = 1 ，2 ， 都有矾( t ) 6 我们还需证明孔( ) 婶对所有0 t u 和 = 1 ，2 ，n 成立如果结论不 真，则存在0 t l 叫和某个下标i l 使得q ，( f 1 ) q ，那么对任何0 s u 有 ( t l - - s ) 刮e x p 一f 。瓮掣砒) ” 这与假设q 。( t 1 ) w 矛盾因此对所有0 0 是有限常数，下面的定理给出了比定理1 更为宽松的条件 定理2 如果存在正常数1 ，已，矗，使得 v i j i i 两个条件 “( t ) 一6 0 “( t ) 一岛。弓( t ) 一毛蚶( t ，s ) 】一 o ， j = l ，挣 j = l 。u 肿一，烹；碱一，毫；白n s 矿) ， 对i = 1 ，2 ，r 。成立，则系统( 2 4 ) 至少存在一个正的u 周期解 证明我们使用与定理1 相似的证明思路只需注意，为证明对所有0 t u 和i = 1 ，2 ，n 有( t ) 7 1 ，可令 盯2 学 k 1 = e x p 7 1 + ( 7 2 + 舶) 副( u + 盯) ) 则对任何0 0 ， z 。 饥c “，一j = 妻l , j # i 6 。c “，一喜6 i o o d s # i jc u ，s ，) 砒 。 令矗= 6 “】。( i = 1 ，2 ，n ) ，则上述两个条件均成立由定理1 即证得结 论 口 对于合作系统，则有 推论2 设系统( 1 2 ) 为合作系统如果存在正常数( 1 ，( 2 ，矗使得 g n 。( t ) + c a 蚶( ) + 白d 舶j ( t ，s ) o ( 2 6 ) j = l ，j = 1 。0 对所有t 0 和i = 1 ，2 ，7 。成立，那么系统( 1 2 ) 至少存在一个正的“周期解 第= 章正周期解的存在性与稳定性 1 2 证明由合作系统的定义( 定义5 ) ，定理1 中的条件( 2 2 ) 成为 b , ( u ) d u 0 ， 这已包含在定义中条件( 2 1 ) 则成为 吼o ) _ 如u p ) 一，点即”o ) _ 善6z 也脚( t l 8 ) o ( 2 | 7 ) j = 1 ，j 4，= i 。 选取正常数。使得 d m f 8 u 。p 瓦酉砭葛i 丽商t 凌葛切翔石丽 峨( ) 并且令6 = ( i ( i = 1 ，2 ，n ) ，则( 2 7 ) 式成立由定理1 即证得结论 口 2 2存在性条件的比较 在这一节中我们把上一节得到的定理和推论与文献中的若干结果进行比较 通过比较，可以看出我们得到的存在性条件更加宽松，适用范围更广 在文献 25 】中，作者研究了下述包含离散延时和分布延时的周期l o t k a - v o l t e r r a 系统： 其中0 i j 0 是有限常数显然，这是系统( 2 4 ) 的一种具体形式作者应用有限延 时泛函微分方程的l y a p u n o v - r a z u m i k h i m 定理证明系统的持久性，进而得到如下 结果 命题1 如果存在正常数l ，已，矗和，使得下面两个条件 蜮t ) 一6 ( t ) 一n ( 1 + 。) 白峙( f ) 一妻( 1 + 血) 白：“】。孑( t ，s ) d s o ， 对所有t o ， 肿如卜，喜；饿一，烹；白序孔，圳s ) ， 对i = 1 ，2 ，n 成立，则系统( 2 8 ) 至少存在一个正的u 周期解 吩 = 。皿叫 一 k 一 q 0 卜厂厶 o 三 ； 圳芝搏 引 一 掣 第二章正周期解的存在性与稳定陛 1 3 显然，对系统( 2 8 ) 应用定理2 就得到上述命题文献f 2 5 中使用的方法受限 于有限延时的假设，能否将命题1 推广到无穷延时系统是作者提出的开放性问题之 一定理1 完满地解决了这个问题 在文献 1 0 中，作者研究了具有下述形式的周期竞争系统： 掣一小) b i ( t ) - a “( 蝴卜，喜。吲t ，广翰吲冲 ，。， 其中 0 是有限常数或无穷大，铲k i ，( s ) g s = 10 j ) 应用叠合度理论的延 拓定理，作者证明了如下结果 命题2 定义记号7 = 击，( u ) 砒设方程组 a l j e 蜥= _ i ，i = 1 2 一。 ( 2 1 0 ) j = l 有唯一解( 可 ，胡，醒) t 黔，并且 ，羔，妁以 。，5 1 j 1 。 对i = 1 ，2 ，n 成立，则系统( 2 9 ) 至少存在一个正的u 周期解 显然，将推论1 中的条件( 2 5 ) 应用于系统( 2 9 ) 就得到条件( 2 i i ) 推论i ，命题2 中的条件( 2 i 0 ) 可以去掉而结论仍然成立 在文献 1 1 】中，作者研究了具有下述形式的周期合作系统： 掣硇k ) 咄舢) 刊+ 妻撕) 啪) 噻吲t ) * x j ( t - 龇 一叫，。，n ， ( 2 1 1 ) 并且，根据 ( 2 1 2 ) 其中勺 0 是有限常数或无穷大，蜥( 勺+ ) 一心( o 一) = l ( j = 1 ，2 ，礼) 还是应用 叠合度理论的延拓定理，作者证明了如下结果 命题3 定义记号7 = 疗f ( u ) d u 设方程组 瓦一2 瓦。e 玑+ ( 蕴 + 瓦，) e 轧= 0 ，t = 1 ，2 ，礼 ( 2 1 3 ) ，2 1 第= 章正周期解的存在性与稳定性 1 4 有唯一解( ! ，? ，2 ，y o ) t 黔，并且 h 小一 j 势i 肭】m + k ) 。 lj = ，j 1j 对i = 1 ，2 ，n 成立，则系统( 2 1 2 ) 至少存在一个正的u 周期解 如果条件( 2 1 4 ) 成立，由引理3 知道，存在正常数矗，( 2 ，( n 使得 淞小一 j 塞。一蚓引。) 。 靠一 泓，+ 。十勰 o lj = 1 ，j 2j 对i 一1 ，2 ，n 成立显然，推论2 中的条件( 2 6 ) 比上述条件更为宽松并且，根 据推论2 ，命题3 中的条件( 2 1 3 ) 可以去掉而结论仍然成立 2 3正周期解的稳定性 在这一节中，我们讨论系统( 1 5 ) 的正周期解的稳定性除了在第一章中所作 假设，我们另外约定 s c i j ( t ，s ) | d s 0 ，对所有i j 有a l j ( t ) 0 ，并且对所有i ，j = 1 ，2 ， 有b i j ( t ) 0 和c l j ( t ，s ) 0 ，则该系统称 为合作系统 首先考虑如果已知系统( 15 ) 存在一个正的u 周期解，在怎样的条件下可以保 证系统收敛到该周期解我们有下面的定理 定理3 设系统( 1 5 ) 存在一个正的“周期解z + ( ) ，并且存在正常数( 1 ，已，( ， 使得 郇= e i a l l 一，壹；洲圳一骞。黑一壹j = 1 1 白z _ m ，圳虮 j = l ，j tj = lj ” ( 2 1 6 ) 第= 章正周期解的存在- i 生与稳定- | 生 1 5 l o g 飘( t ) 一l o g 。；( t ) l p i 盈( ) 一。：( t ) i( 2 1 7 ) “旷咖，竞c y a j | i ( t ) f - 。骞16 端蚶叫弦蝴 j 5 1 ，oj 2 j 、j t 、， n 、 一萎白上哪怕i s ) l e “d s 0 对所有t 0 和i = l ，2 ，n 成立，则z + ( t ) 是全局指数稳定的，且收敛速度为e 证明令叫。( # ) = 奶( t ) 一z ：( t ) ，( f ) = l o g 孔( t ) 一l o g x ：( t ) ( i = 1 ，2 ，n ) ，并 础) = 娄愈) l + z 妻3l i ( z 吲；，黑i 码( s s t = l 一7 u j 一u 、7 u 、。， + ；毛a z 廿础+ s ，圳喇) l d o d s 由( 2 1 5 ) 式和初始条件的有界性，容易证明l ( o ) 是有限的对l ( t ) 沿着系统( 1 5 ) 的解求导，得到 掣= 壹舛g n ( 引啪f 一毗一壹a “咖州 一壹吲咖吲t 一功) i 一= 一1l j 2 = 1 4 d 1 t j 2 1 一骞卜蝴叫d + 。蹇g 篾耥h j 邮文圳哪咱小副z - 蚪) 删d s jt ，= il ” 一序以叫l d s 一卦一和a，i(t)l-i=1 j = l喜白掣黜l，j ，= 1 j 7 ，1 、， j = l t = 1 。z 。l 勺，c t + s ，s ，i d s f 训t c t ，l 弟二辛正周期解的存在性与稳定性1 6 对上式两边从0 到+ 。积分并整理得 z 删哪) l d f l i o ) 0 和z = l ，2 ，n 成立从而存在正常数q 使得 。，0 ) 一，上；( ) ls 口il o g x i ( t ) 一l o g z ：( t ) i( 2 2 1 ) 对所有t 0 和i = l ，2 ，z t 成立结合( 2 2 0 ) 式和( 2 2 1 ) 式得到 q t ) 一z lsq l l ( o ) e 。_ ( 2 2 2 ) 定义范数 川= ；1 则( 2 2 2 ) 式表明 i i x ( t ) 一z ( t ) l l t ( ，1 = p ( e 1 ) 故z + ( ) 是全局指数稳定的，且收敛速度为e 口 注4 如果正周期解( ) 是全局渐进稳定的，那幺存在正常数m 1 和7 n 2 使得 m ls 而( t ) m 2 对所有t 0 和2 = 1 ，2 ，n 成立由此可直接得到满足条件 ( 2 1 7 ) 的正常数p 的存在性 我们指出，文献 3 ，2 5 ，2 6 】也提出了与( 2 1 6 ) 式类似的条件，并得到了一些全局 稳定性结果但是，上述文献均未讨论指数稳定性问题，而定理3 不仅证明了正周 期解的指数稳定性，而且给出了收敛速度 现在，将定理1 和定理3 结合起来，就得到如下定理 定理4 如果存在正常数1 ，岛，矗，a ，岛，矗使得下列条件 6 t ( ) 一矗( t )