（运筹学与控制论专业论文）一类互联单调控制系统的稳定性分析.pdf

辽宁科技人学硕士论文 摘要 摘要 b a n a c h 空间中的单调系统有着很强的稳定性和收敛性，在很多的文献中对单调 系统都进行过研究，具有代表性的工作是1 9 8 0 年m w h i r s c h 的文章 3 8 、【3 9 。在 文献 1 4 中，d a v i d a n g e l i 和e d u a r d od s o n t a g 有效地拓展了单调系统到带有输入输 出项的单调控制系统，这种扩展并不是一般意义上的，而是我们研究互联系统，尤 其是带有反馈环的互联系统必须要迈出的一步。另一方面，稳定性是系统最基本的 也是最重要的性能之一，是任何系统分析和设计首先要考虑的问题，所以研究单调 控制系统的稳定性问题具有重要的理论意义和实际价值。 本文主要讨论偏序b a n a c h 空问中单调控制系统稳定性方面的两个重要问题： 一类互联单调控制系统的全局渐近稳定性问题以及一类单调控制系统的多重稳定 性问题。全文的主要内容概括如下： 1 对单调动力系统的发展及应用进行综述，并给出有关单调控制系统的基本 定义、定理以及控制系统在稳定性方面的相关预备知识。 2 在文献 1 4 的基础上，给出了一类互联单调控制系统全局渐近稳定性的判 据，所得结论将原有互联单调控制系统问的单一反馈连接推广到更具一般形式的反 馈连接，给出的仿真实例进一步证明了结论的正确性。 3 在前面分析问题的基础上，研究了通过一般反馈形成闭环系统的具有稳态 响应单调控制系统的多重稳定性问题，给出一类单调控制系统的多重稳定性判据。 最后，给出的仿真实例证明了结论的简便性和有效性。 4 对本文的工作进行了系统的总结，提出所研究问题的不足之处，并对单调 控制理论的未来研究工作做出一些展望。 关键词：输出反馈，单调控制系统，多重稳定，全局渐近稳定 辽宁科技大学硕士论文 a b s t r a c t m o n o t o n es y s t e m si na b s t r a c tb a n a c hs p a c e sh a v es t r o n gs t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e p r o p e r t i e sa n dh a v e b e e ns t u d i e di nv a r i o u sp a p e r s ，e s p e c i a l l yt h ew o r k o f m w h i r s c hi n 19 8 0 s 3 8 1 、 3 9 i nt h ep a p e r 【1 4 ，d a v i da n g e l ia n de d u 掣d od s o n t a ge x t e n dt h e n o t i o no fm o n o t o n i c i t yt os y s t e m s 谢mi n p u t sa n do u t p u t se f f e c t i v e l ya n dg i v ean e w s y s t e m - m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m , w h i c h i sn o tac o m m o n l ym e a n i n ge x t e n s i o n ，b u ta n e c e s s a r yf i r s ts t e pi nt r y i n gt ou n d e r s t a n dt h ei n t e r c o n n e c f i o ns y s t e m s ，e s p e c i a l l y i n c l u d i n gf e e d b a c kl o o p s i na d d i t i o n s ，w ek n o wt h a tt h es t a b i l i t yo fs y s t e mi st h em o s t e s s e n t i a la n dt h em o s ti m p o r t a n tp r o p e r t y , w h i c hm u s tb ec o n s i d e r e di ns y s t e ma n a l y s i s a n dd e s i g n t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c ei nb o t he n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n sa n d t h e o r e t i c a ld e v e l o p m e n tt os t u d yt h es t a b i l i t yo f m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s i nt h i st h e s i s ，t w oi m p o r t a n tp r o b l e m so f s t a b i l i t ya b o u tm o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s a n a l y s i si no r d e r e db a n a c hs p a c e sa r ed i s c u s s e dm a i n l y ：o n ei st h eg l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t yo ft h ei n t e r c o n n e c t i o n o fm o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s ，a n dt h eo t h e ri st h e m u l t i s t a b i l i t yo f t h ei n t e r c o r m e c t i o no f m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 w ed i s c u s st h ed e v e l o p m e n to fm o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s ，a n ds o m eb a s i c d e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m sa b o u tm o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m sa r ep r o v i d e d , a sw e l la st h e r e l a t e dk n o w l e d g eo f s t a b i l i t ya b o u tc o n t r o ls y s t e m s 2 b a s e do nt h ep a p e r 1 4 ，c r i t e r i af o ra l m o s tg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m sw h i c ht h eu n i t a r yf e e d b a c ki sr e p l a c e db yt h eo r d i n a r y f e e d b a c kf o r mi sp r e s e n t e d t w os i m u l a t i o ne x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e dt ov e i l f yt h e c o r r e c t n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o d 3 w es t u d yt h ee m e r g e n c eo fm u l t i s t a b i l i t yi nt h o s es y s t e m st h a ta r i s e ，u n d e r o r d i n a r yf e e d b a c kf o r m , s t a r t i n gf r o mm o n o t o n es y s t e m sw i t hw e l l d e f i n e ds t e a d y - s t a t e r e s p o m s e s ，a n dg i v ec r i t e r i af o rm u l t i s t a b i l i t yo ft h em o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s a tl a s t ， s i m u l a t i o ne x a m p l ei si l l u s t r a t e dt ov e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s sa n ds i m p l e n e s so ft h e p r o p o s e dm e t h o d 4 t h ec o n c l u s i o nc o n t a i n sd i s c u s s i o n so ns o m ep r o b l e m sa n dd i r e c t i o n so fm e m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m sf o rl u s t r es t u d y i i 辽宁科技大学硕士论文 k e y w o r d s ：o u t p u tf e e d b a c k , m o n o t o n ec o n t r o ls y s t e m s ，m u l t i s t a b i l i t y , g l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得辽 宁科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 签名：兰：! 握日期：出! z ：! ：堂 关于论文使用授权的说明 本人完全了解辽宁科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 至：! 超。导师签名：互途整日期：童翌z ：塞：塑 辽宁科技大学硬士论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 动力系统理论的发展及应用 我们知道，大至宇宙运动、小至微观世界以及生物种群进化、社会经济波动、 卫星发射、网络通讯，许多事物的动态变化规律都可以涉及到微分方程的求解问题， 因此微分方程的理论和方法一直都是现代科学技术发展的关键之一，也是数学研究 的重点之一。 自从1 8 4 1 年法国数学家l i o u v i l l e 证明r i c c a f i 方程 驯出= 口( r ) x 2 + 6 ( f ) x + c ( f ) 这种形式简单的微分方程不能通过初等积分法来求解，人们对微分方程的研究从寻 找解析解逐步发展为讨论解的分析性质。随着人们认识水平的不断提高，随着非线 性科学研究的蓬勃开展，人们对数学的要求也增高了。人们不仅需要对微分方程单 个解进行讨论，而且力图知道一大类解或全部解的总体趋势和结构，不仅满足于对 解的局部函数性质的讨论，而且关心轨道( 即一个解在对应空间中形成的轨迹) 形成 的拓扑结构，甚至关心这种结构是否会因为弱小的干扰而导致破坏。人们希望从更 高的角度、以更新的观点、用更先进的方法去研究微分方程并获取更多更深刻的结 果。大家都知道在工程中，无论是发动机、桥梁、还是信号传输，我们都要关心系 统的振荡形式。在天文、地理、气象等科学研究中，星体运动轨迹、大气运动现象 以及潮涨潮落，这些都是以动态的方式呈现在人们面前的。我们也关心在化学反应 过程中各种物质浓度的动态变化，关心生物种群量( 包括人口) 的衍变规律，关心商 品价格的跌涨等等。动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m ) 就是研究现实问题中状态随时间 丁变化而变化的动态规律。 我国著名的数学家廖山涛先生将动力系统说成是“- - i 1 研究系统演化规律的学 科”。动力系统研究的是事物运动最根本的规律。它不仅研究平衡状态、周期状态 等基本运动状态的存在性和稳定性，而且更强调运动轨迹的拓扑结构。它重视运动 方式的结构稳定性，探索结构被破坏时运动形式所发生的质的变异。因此，动力系 统是用几何、拓扑的观点来观察事物，用分析、代数的手段来处理问题。我们可以 站在拓扑学的角度去分析，从而揭示事物变化发展的本质规律，这也正是现代动力 系统理论所追求的。而且动力系统的许多定性问题可以化作拓扑空间上连续映射的 迭代来解决，而迭代也就变成了动力系统所讨论的主题，并且迭代也是独立于微分 辽宁科技大学硕士论文第一章绪论 方程之外在现代科学技术和人类社会生活中普遍存在的现象。所以说动力系统的研 究既具有丰富的实际背景又扎根于深厚的数学基础。 动力系统也可以看成是微分方程的化身。粗略地说，常微分方程及其差分方程 可以分别看成是有限维的连续和离散的动力系统，偏微分方程及其差分方程可以分 别看成是无穷维连续和离散的动力系统，而拓扑和几何中微分流形上的方程可以看 成是微分流形上的动力系统。微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散运动 都是动力系统研究的范畴。在理解这两种不同形式的具体现实含义的同时，我们要 看到它们之间的内在联系，即怎样将连续动力系统离散化，而又怎样将一个离散动 力系统嵌入到连续的动力系统中去。要通过研究映射迭代，探讨简单的运动机理是 怎样产生复杂运动的，探讨一个运动现象的背后是什么样的映射在起支配作用，揭 示复杂运动到底有多么的复杂，揭示那些看起来杂乱无章的现象所蕴含的规律。 尽管动力系统有着漫长的发展历史，但是它却是在近半个世纪才蓬勃发展起来 的。像s h a r k o v s k y 序、f e i g e n b a u m 现象、s m a l e 马蹄等等，这连续不断的精彩创新 使动力系统理论在短短几十年里成为了多个学科关注的焦点，也成为数学研究的热 点。国内外有关著作也以不同的风格大量涌现，如 1 5 】等等，它们分别从不同的 侧面论述了动力系统的基本理论和当时的最新成就。 动力系统的起源得追述到在1 9 世纪研究天体力学时的工作，法国数学家h e n r i p o i n c a r 6 发明了定性理论：不通过方程解而直接研究解的性态。在p o i n c a r 6 给出定 性理论的同时，苏联数学家l y a p u n o v 对微分方程定性理论也做出了巨大而富开创 性的工作。这些开创性的工作就是我们在经典常微分方程教材中都能看到的微分方 程定性理论。在过去的一百多年里，对它的研究一直经久不衰，从这片沃土上也随 之产生了许多应用数学的分支，比如混沌控制等。 动力系统作为一门系统的学科是在美国数学家b i r k h o f f 在2 0 世纪初期出版了 名著( ( d y n a m i c a ls y s t e m s ) 之后迅速发展起来的，在这本著作中b i r k h o f f 对动力系 统作了公理化处理。然而，随着动力系统研究的不断发展，我们今天动力系统所研 究的范围已经远远超出了它原始的领域，具有了更多层次的发展。动力系统不仅可 以通过映射厂在“时间”维上的定义域来进行分类，如连续动力系统或离散动力系 统，而且可以通过底空间z 的结构来进行分类。例如，若z 分别是拓扑空间f 或度 量空间) ，c 7 微分流形和无穷维b a n a c h 空间，则在石上可分别定义拓扑动力系统、 微分动力系统和无穷维动力系统。 当今的动力系统大致可分为微分动力系统、h a m i l t o n 动力系统、拓扑动力系统、 无穷维动力系统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等方向。h a l m i t o n 动力系统 源于天体力学，研究一般的h a l m i t o n 系统的动力学行为。遍历论着重于动力系统的 辽宁科技大学硕士论文 第一章绪论 统计特性。复动力系统研究r i m a n l l 曲面上函数迭代的j u l i a 集、f a t o u 集的性质等。 无穷维动力系统是偏微分方程( p d e ) 理论的近代发展，主要研究系统吸引子的问题 ( 存在性，维数估计等) 。而微分动力系统主要研究流形上常微分系统或迭代的动力 学行为。今天的动力系统已经是覆盖多个学科的综合性数学分支，其前沿研究要求 具备几乎所有基础数学的知识：代数，分析，几何( 拓扑) 等。 一般而言，动力系统所研究的问题主要包括以下几个方面： ( 1 )轨道长时间的渐近性质，如极限点集、非游荡点集、周期点集等。 ( 2 )轨道在相空间中的稠密性，比如极小性、拓扑传递性、拓扑混合性等。 ( 3 )动力系统的整体性质，如全局吸引子等。 ( 4 )动力系统的拓扑分类与结构的稳定性，比如双曲不动点和双曲不变集的稳 定性。 ( 5 )动力系统的复杂性。包括几何复杂性，如混沌、分形，以及动力学复杂性。 动力系统这一数学分支不仅在生物种群、天体力学、化学反应等许多实际模型 中有着广泛的应用，而且对于数学理论本身的发展也起到了很大的促进和推动的作 用。特别是在上个世纪6 0 到7 0 年代，微分动力系统领域出现了一大批深刻的结果。 由于偏微分方程理论和算子半群理论的应用，这些结果被进一步推广到无穷维的情 况，并反过来促进了偏微分方程理论的发展。微分动力系统的现代研究，始于本世 纪六十年代初巴西拓扑学家m p e i x o t o 等人的工作。先是m p e i x o t 0 1 9 5 9 年和1 9 6 2 年发表文章，讨论二维的结构稳定的常微系统，重新处理a n d r o n o v 和p a n t r y a g i n 的成果，将其扩充至闭曲面上，并且加进新的所谓稠密性的内容，得到人们的广泛 关注。m p e i x o t o 在文章中写到：5 9 _ 方向的一个成熟的研究领域可以期待”。一般 认为微分动力系统作为一门学科的开始是二十世纪美国杰出的数学家s m a l e 在 1 9 6 7 年发表在美国数学会通报上的综述性文章 d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m s ) ) ， 而微分动力系统就是在他的这一篇国际数学家大会报告中诞生的。自s m a l e 及其以 后的许多数学家的努力，微分动力系统这一领域已经取得大量激动人心的成果。新 的研究方向相继诞生，形成了各具实力的美国学派、前苏联学派、欧洲学派、巴西 学派、以及廖山涛理论为代表的中国学派。微分动力系统这门理论在二十世纪六十 年代形成了基本框架之后的几十年里，由于微分几何和微分拓扑的发展，在s m a l e 等人的倡导和推动之下，这一学科的基本理论的研究取得了重大的进展。微分动力 系统研究一般的可微系统，起初的研究是着眼于解的局部拓扑结构，特别是对周期 解及奇点附近轨线的性态描述。比如闭轨的稳定性、( 线性) 奇点的拓扑分类等，并 有一大批卓越的数学家投身其中( 比如v ，i a r n o l d 、l y a p u n o v 等) 。可以说，自上世 纪3 0 年代学者a n d r o n o v 和p a n t r y a g i n 对微分方程结构稳定性研究以来，人们就已 辽宁科技大学硕士论文 第一章绪论 经开始了对动力系统的整体研究。 随着微分动力系统的发展，除了在生物、化学领域以外，在经济学、气象预报、 数值计算、统计力学、系统控制、流体力学、振动理论、化学反应、生理过程、生 态和人口问题等众多领域的研究中微分动力系统都展示了广泛的应用前景。 1 2 单调动力系统的产生和发展 在十八世纪末，很多生物学家已开始认识到调节和控制对生物机体的重要作 用。1 9 4 8 年，美国著名数学家维纳将通信和控制系统与生物机体中的某些控制机制 进行类比，概括出两类系统的共同规律，创立了控制论这一新兴学科。在控制论发 展初期是以研究系统间的共同规律为主，生物系统仅是作为其中一个主要背景。5 0 年代末到6 0 年代初，人们开始应用控制论的方法和观点解决生理和病理机制等具 体问题，取得了定的成效，并且在神经系统信息处理的研究中也取得了重要进展。 到6 0 年代中期，维纳与谢德合编生物控制论进展一书，汇集了控制论在生物 医学的许多不同领域中的广泛应用，从而确立了生物控制作为控制论的一个分支学 科的地位。 生物控制的研究对象生物系统是一类较为复杂的动力系统，而动力系统的一个 核心问题就是研究点的轨线的渐近性态或拓扑结构，它包含两层含义：即轨线的正 极限集的构成以及轨线趋近它的方式。近几十年中的非线性动力学研究成果表明， 任何期望笼统的来研究动力系统的渐近性态的想法几乎是不可取的，也是行不通 的。因此，为了研究动力系统的渐近性态，使其更好的应用到各个领域当中去，一 个必要的手段就是把系统分成若干具有共性并可能加以分析的子系统。正如我们所 知，最简单的情况就是轨线被吸引到平衡态集合。自然要问，哪些动力系统的所有 或绝大多数的轨线能够具有这种简单性质? 近年发展起来的单调动力系统对此作 了一个相当完美和成功的回答。 有很多类型的微分方程的解都保持某种由初值条件、边值条件或非齐次项生成 的序关系。很多情况下，当我们求解、构造收敛于平衡点的单调序列或给出解的上 下界时，我们都要利用这种保序的性质。基于单调性和比较原理的方法在很长一段 时期里一直得到广泛应用，它的本质思想在二十世纪初就已经被提及，例如，c o u r a n t 和h i l b e r t 在1 9 3 7 年提到的b i e b e r b a c h 于1 9 1 2 年描述的一种利用单调叠代来解非 线性椭圆方程的方法。在上世纪2 0 到3 0 年代，h o p f 和k a m k e 分别发展了偏微分 方程的强极大值原理和常微分方程组的比较原理。在此以后几十年中，单调方法成 为解决微分方程问题的重要方法，并被抽象为正算子理论，作为泛函分析的一个重 4 辽宁科技大学硕士论文 第一章绪论 要分支并得到充分的发展。但是，直到上世纪8 0 年代，在大多数文献中利用单调 方法所得到的结果往往都是局部的。 随着单调方法的产生和发展，动力系统的观点和方法渐渐地被引入进来，单调 性、正性和比较原理不但可以用来解决局部的、线性的或静态的数学问题，而且可 以处理全局的、非线性的和动态的数学问题。在很多数学分支中零散的结论也可以 被统一、抽象并提高。单调动力系统理论这一数学分支正是在动力系统和单调性思 想的交叉和结合中产生的。 正如我们上面所介绍的，动力系统和单调性理论的发展已经为单调动力系统的 产生准备好了必要的理论工具，而促使单调动力系统理论产生的另外一个因素则是 实际应用的需要。从2 0 世纪初起，在化学和生物领域的研究当中，建立了大量的 数学模型，特别是微分方程模型。这些模型和传统的来自于力学和物理领域的模型 不同，守恒律、对称性分析和变分原理在研究这些模型时一般不再适用。尤其是对 于一些具有多稳态的复杂生物系统，其结构是难以知道的，所以我们也没有合适的 方法来分析系统的性质。但是，在化学和生物领域的研究中，我们通常处理种群密 度、化学物质浓度等物理量，它们当然都具有正值，因此，方程的解都保持着正性。 另方面，这些模型还保持附加的单调性或保序性。这些为单调动力系统的应用奠 定了良好的基础，所以说实际应用的需要为单调动力系统理论的发展起到了一定的 促进作用。 单调动力系统的研究是在上个世纪八十年代初，由m w h i r s c h 和h m a t a n o 共 同开创的。继他们之后又有很多优秀的数学家，如d a n c e r 、h e s s 、p o l a c i k 和s m i t h 等对单调系统理论发展均做出了非常重要的贡献。在过去的几十年里，他们的努力 使单调理论和动力系统很好的结合在一起，使单调动力系统这个领域在过去的几十 年里得到非常迅速的发展，取得了大量深刻而具有重要意义的优秀成果。这一领域 的最大特点是不同分支问题的研究在方法论上的一致性和结果的整体性。如果研究 者能够洞察问题的本质，那么就能够组织一个或若干个抽象结果，使得各类具有比 较原理的演化方程都能够应用起来。在m w h i r s c h 和h m a t a n o 的开创性工作之后， p o l a c i k 、s m i t h 等进一步改进了他们的奠基性工作。同时，s m i t h 和t h i e m e 在 6 】、 7 以及w u 在【8 】、 9 1 6 0 还把这一思想引入到研究泛函微分方程和带时滞的反应扩 散方程中，使单调动力系统理论有了更广泛的发展。 在生物系统的研究过程中，单调动力系统是类非常重要的并且应用广泛的动 力系统。就单调动力系统本身而言应用较为广泛的要属生物系统的研究领域。在生 物、化学领域所研究的模型当中，人口密度、化学成分的浓度等所要研究的变量在 一般情况下都是正值的，并且都具有保持序关系的单调特性，所以在生物数学、化 辽宁科技大学硕士论文 第一章绪论 学等领域的研究过程中单调动力系统理论起到了重要的作用，人们也开始越来越多 地关注单调动力系统，同时也引起了国内外从事微分方程研究的很多学者的注意。 在单调动力系统领域中有很多比较经典的著作和文献，如：s m i t h 的经典著作 1 0 1 ，h i r s h 的文献 1 1 、 1 2 以及s m a l e 的文献 1 3 1 等等。在国内，就单调理论的研 究工作做得比较好的有陈伯山教授和蒋继发教授等，他们研究五型单调动力系统的 全局收敛性、持久性、共存态的存在性等问题，并取得了一定的成果。单调动力系 统的发展加速了人们对动力系统的研究，也使动力系统理论成功地扩展到更为广泛 地应用领域。 1 3 单调控制系统产生的背景 众所周知，单调动力系统理论是研究许多数学生态学模型动力学行为的强有力 工具。在生物系统的理论研究中最为重要的一类动力系统就是单调动力系统，在很 多领域单调动力系统也有着较为广泛的应用。前面我们已经介绍单调系统就是系统 的状态轨线具有保持偏序性质的一类动力系统，不同状态变量之间互相促进的合作 系统就是一类特殊的单调动力系统。但是对于单调动力系统，一直以来都只是采用 没有外界输入的函数来定义，这在某种意义上限制了单调动力系统理论的发展，同 时也限制了我们研究具有复杂互联结构系统性质的可能性。 自从十九世纪末，动力系统的稳定性和全局吸引性这一课题一直被广泛的研 究。动力系统的研究已经发展了很多不同的理论分支并被应用于不同的领域。在最 近的几年时间里，越来越多的大型动力系统在我们的研究中出现，它们一般都是以 复杂系统的形式存在并且模型的方程均具有很多个变量。在这些系统中有很多应用 传统的方法，如相平面分析法和李雅普诺夫函数法是不能对系统特性进行研究的。 当系统被引入时滞或扩散项的时候研究的难度再次被加大。一般情况我们总是通过 在平衡点处对系统进行线性化来研究系统的局部稳定性，然后应用计算机给出仿真 结果。但是我们应用前者的分析方法往往都不能给出在全局意义上的结论，后者在 模型内部的工作原理上不能给出具有足够深度的分析。 随着单调动力系统理论的发展，人们也逐渐发现该理论的局限性。单调动力系 统的应用很显然是在系统具有单调特性的前提下才能进行的。但是对于一些不具有 单调特性的复杂系统而言，在研究系统特性的时候单调动力系统理论就难以适用。 那么对于不具有单调特性的复杂系统的研究应该采用什么方法呢? 在分析动力系统的特性时，比如稳定性、滞后性和振荡现象等，控制理论这一 工具一直起到非常重要的作用。控制理论工具之所以能够如此成功地被应用到动力 6 辽宁科技大学硕士论文 第一章绪论 系统的性质分析当中来，其关键原因是控制理论中的一种主要思想，即：把比较复 杂的动力系统看成是由许多简单子系统的前馈或反馈的互联所组成的，从而可以通 过研究子系统的性质来得到关于整个系统性质的结论。这种系统理论的成功很大程 度上取决于它本身分析复杂结构系统的能力，尤其是在通过分析基本的子系统所具 有的性质和行为的基础上来推断和分析复杂结构系统的性质，通常这种基本的子系 统在形式上和结构上是一种非常“好”的系统。这样，在研究予系统性质的基础上， 我们能够分析具有复杂结构系统的整体性质。单调控制系统即是基于控制理论这种 思想所形成的，当系统的组成部分( 子系统) 是具有良好稳态响应的单调系统时，各 个子系统之间的相互促进、抑制即可用控制理论中输入输出来代替。予系统在形式 和结构上的这种“好”即表现为每个子系统的单调特性。 基于以上思想，在单调动力系统的基础之上，a n g e l i 和d s o n t a g 在文 1 4 q b 拓 展单调动力系统到带有输入输出的单调动力系统，将输入输出引入到了单调动力系 统当中来，通过把控制理论与单调动力系统理论结合起来得到了一类新的系统，即： 单调控制系统。这种在单调动力系统的基础上所进行的拓展绝对不是一种理论上的 练习，而是试图理解和研究复杂互联系统，尤其是包含反馈环的互联系统所必须迈 出的第一步。在当前分子生物学研究当中所遇到的一个主要挑战就是根据基本单元 模型的级联和反馈互联来理解细胞单元的行为。d s o n t a g 所做的工作就是研究这种 类型模型的一些性质并且从中对单调动力系统理论有了一些新的认识。单调控制理 论的产生和发展为更好地研究带有反馈环的互联系统提供了有力的分析工具，使人 们分析不具有单调特性的互联系统也变得简单。在本文当中，主要针对单调控制系 统理论在以下两个方面的问题展开工作： ( 1 ) 基于负反馈来研究互联单调控制系统全局渐近稳定性问题。 ( 2 ) 基于正反馈来研究单调控制系统多重稳定性的判定问题。 近来，在分析一些重要的动力系统性质时，在文献【1 4 】中提出的这种带有输入 输出项的单调控制系统也越来越多地被应用，单调控制理论在文献 1 5 】 1 9 中也体 现出了很强的实用性。 辽宁科技大学硕士论文第二章单调控制系统的描述 第二章单调控制系统的描述 本章为全文的基础，它对后面我们分析互联单调控制系统的全局渐近稳定性以 及多重稳定性是至关重要的。在这一章里，除了要引入一些记号和假设以外，还要 给出单调控制系统的相关概念，如偏序b a n a c h 空间、系统的输入一状态( i n p u t s t a t e ) 特性、输入一输( i n p u t o u t p u t ) 特性等。在本章的第一节里主要介绍单调控制系统的 相关概念和知识。在第二节里给出单调控制系统的稳定性分析的意义。 2 1 单调控制系统理论的相关概念和知识介绍 2 1 1 偏序b a n a c h 空问与单调性 单调控制系统一般都是定义在有序的巴拿赫空间的子集上的，一个完备的赋范 线性空间通常称为巴拿赫空间，所以我们首先引入赋范线性空间的定义。赋范线性 空间除了具备一些特别好的简单的性质以外，同时它还是处理一些复杂而困难问题 的主要工具，在许多领域有着重要的应用。 定义2 1设z 是实( 或复) 的线性空间，如果对每个元( 向量) x x 有一个确定的实 数( 记作) 与之对应，并且满足： ( 1 ) i i x l i 0 ，且l l x l l = 0 等价于x = 0 ； ( 2 ) 0 甜0 = l a l l l x l i ，其中口为任意实数； ( 3 ) i l z + y o s l i z 0 + i y | j ，x ，y x 则称为元素z 的范数，称线性空间j 为赋范线性空间，或简称赋范空间，其中 ( 1 ) 一( 3 ) 称为范数公里，( 3 ) 称为三角不等式。 在这里我们给出空间中范数和度量两种结构的关系，如果令：d ( x ，y ) = l i x 一硎， ( x ，y x ) ，可以验证d ( x ，y ) 满足度量公理的，因此称d ( x ，y ) 为由范数导出( 或称 诱导) 的度量。由此我们可以推得，任何赋范线性空间都是一个特殊的度量空间。 定义2 2 在赋范线性空间中，可以由范数诱导度量即d ( x ，y ) = 忙一y l i ，在这种度 量意义下，一个完备的赋范线性空间叫做b a n a c h 空间，通常我们用口来表示。 b a n a c h 空间中的偏序和b a n a c h 空间中的锥是密切相关的，对其性质的详细讨 论可以参阅文献 2 0 】、 2 1 ，在这里我们只作简单的介绍。 我们知道在一个集合上常常要考虑元素的次序关系，其中很重要的一类关系为 辽宁科技大学硕士论文 第二章单调控制系统的描述 偏序关系。设x 为一非空集合，z 中的一个偏序就是x 中满足自反性，反对称性 和传递性的一种关系，通常记为”( 或”) 。一个有偏序关系的非空集合称为偏 序集。对于偏序集中的任意两个元素x 和y ，若x s y ( 或等价的y x ) ，且x y ， 则简记为x x ) 。若x y ，令： x ，y 】：= z x ：工= y ) 称其为x 中的一个区间。设集合a 为x 的一个子集，定义 a 】：= u 工，y ：x ，y a ，x y ) 称其为4 的偏序凸包。 定义2 3设矿为一个实的线性空间，矿中的偏序”墨”称为线性的，若”满足； ( l 1 ) 若z y ，贝4 v z v ，有工+ z y + z ； ( l 2 ) 若x y ，贝0 v a r + ：= f o ，- i m o ) ，有a x a y 。 一个有线性偏序的实线性空间我们称之为偏序线性空间。 由我们上面的定义，如果假设矿为偏序线性空间，令k = x v ：x 0 1 ，易见世 满足： a ) v a r ，a k c k b 、世+ kck c ) k n k = o ) 若实线性空间v 中的非空集k 满足条件a - c ，我们称足为锥。由条件a 、b 也可以得 到，任意的锥必为凸集。 设k 为实线性空间集矿中的一个锥，v x ，y v ，若y x k ，则定义z y 。 由条件a 、b 易见”为y 的线性偏序，且k = f x v ：z 0 。即实线性空间中的一 个锥可以诱导一个线性偏序。帆k ，k x 0 ，则称x 为正的。由线性偏序诱导 得到的锥通常称为正锥。从上面的讨论可得，在实线性空间中，线性偏序和锥是一 一对应的。在正锥k 上我们可以定义如下的偏序关系： x l x 2 曹x 一x 2 k ； t 心曹一x 2 k 且一x 2 ： 五x 2 营x a z 2 i n t ( k ) ； 设占为一实b a n a c h 空间，k c b 为一个锥，则由锥足可在巴拿赫空间b 中诱 导出一个线性偏序。如果此正锥世为闭的，则称b 为偏序b a n a c h 空间，记为( b ，蜘。 在不会引起歧义的情况下，也可以简记( b ，k ) 为丑。 我们用符号( b ，足) 表示在巴拿赫空间占中的正锥k ，用符号( k ，) 来表示正锥 足和正锥k 上的偏序关系“s ”结合在一起所形成的集合，我们称之为偏序集。我们 说集合爿c b 是有界的，如果对所有的口a 都存在z b 使得d x 。对于墨，鼠两 辽宁科技太学硕士论文 第二章单调控制系统的描述 个有序的巴拿赫空间而言，我们说y ：b i e 是蔓一递增的，如果对任意的zs y 有 厂( 功y ( y ) 。同样，如果任意的x y 均有y ( x ) r ( y ) 成立，我们则称，：昼专毽是 一递减的。 单调算子 在经典分析中，单调函数所具有的良好性质及其应用价值是人们所共知的。值 得庆幸的是，单调函数这一概念有一个优美的无限维推广，即单调算子。这类算子 有很特殊的性质，并且在微分方程理论、变分不等式、最优化等领域都有着重要的 应用。 假设d c x 是一非空集合，约定以记号f ：d c x 斗y 表示一个算子或映射 f ：d 斗r ，我们来看一下有关单调算子的相关定义。 定义2 4设f ：d 亡甘x ，若f 满足单调条件： ( f x 一，y ，x y ) 0 ( v x ，y d ) 则称f 为单调算子；若当x y 时，上式中的不等式是严格的，则称f 为严格单调 算子；若存在 卜0 ，使得 ( 风一，) ，x y ) 五i 卜一y l 2 ( v x ，y d ) 则称f 为强单调算子。 对于巴拿赫空间b 上的一个线性算予以来说，它具有如下有关单调性的不同定 义。 定义2 5令k b 为一锥，关于锥足我们说线性算子a ：b 呻b 是 ( 1 ) 单调的，如果a k k ； ( 2 ) 拟单调的，如果系统主= a x 有单调进化算子； ( 3 ) 强单调的，如果a ( k 一 o ) i n t k ； ( 4 ) 强拟单调的，如果系统量= a x 有强单调进化算子。 对于上述有关单调性的不同定义，对于单调性的强弱关系很显然我们直接可以 推出以下结论：强单调j 严格单调j 单调。 对于一个具体的系统而言，我们同样可以给出它是单调系统的定义的。比如线 性系统j = 血，给出如下单调系统的具体定义。 定义2 6 一个线性系统i = a x 是单调的，如果当t 0 时，对所有的x 0 y 。有 x ( r ，x 0 ) x ( t ，y 。) 。同样，一个线性系统量= a x 被称为是强单调的，如果当t 0 时， 对所有的x o 夤& i “2jx ( t ，轰，“】) x ( t ，参，“2 ) v t 0 ( 2 6 ) 辽宁科技大学硕士论文第二章单调控制春统的描述 式中毒，“分别为系统的初始状态和系统输入。 对于单调和强单调的具体差别，这里举一个简单的例子来说明下。如果我们 令巴拿赫空间b = 科，k = r ，那么对任意给定的x ，y e 吣，z y 表示 t m ( f = 1 ，n ) ，即x 的每个坐标值都小于或等于与之对应的y 的坐标值。x y 表示x ，只( f ：1 ， ) ，即x 的每个坐标值都严格小于与之对应的_ y 的坐标值。与 x y 相比，x 0 0 ，系统的解 x ( t ，x o ，“) 都收敛到唯一的全局渐近稳定的平衡状态。( ”) x 。 系统所具有的这种特性被称为非退化性输入状态( i s ) 特性，如果对所有的“， 雅可比行列式b f ( k 。( “) ，“) 都是非奇异的。如果系统具有输入状态( i s ) 特性并且输 出函数为y = h ( x ) ，那么我们同理可以定义系统的输入输出( i o ) 特性为k 7 - ho t 。 对于一个系统是否具有输入状态( i s ) 特性我们可以根据下面的结论来进行判 断。 定理2 1 假设系统( 2 - 3 ) 的状态z 和输入“分别关于正锥k ，墨，是单调的，如果对 系统的每一个固定输入“( f ) s “u ，系统的解z ( f ，x o ，“) 都满足： ( 1 ) 准紧的轨线。 ( 2 ) 连续的时间渐进算子。 ( 3 ) 个平衡位置k 。( “) 。 那么函数k 。：u 专一是系统的一个输入状态特性。 般性的假设 前面我们已经提到在应用单调控制理论分析问题时系统的单调性、输入状态 ( i s ) 特性以及输入- 输出( i 0 ) 特性是系统不可缺少的。当然，系统除了要具备这些特 性以外，在讨论问题的过程中，还要对我们所要进行研究的系统做一些一般性的假 设。 定义2 1 1 有序空间( r ，) 的一个子集一是满足一b o x 性质的，如果对任意 0 和 x a ，都存在y ，z a 使得d i a m y ，z 弋 我7 v ：一 钞： ， 蕊次 戈乡1 ( a ) 稳定性( b ) 渐近稳定性( c ) 不稳定性 图8 稳定性的平面几何表示 ( 1 ) 李雅普诺夫稳定性 如果对于任意小的s 0 ，均存在一个5 ( e ，t o ) 0 ，使得当初始状态满足 辽宁科技大学硕士论又 第二章单调控制系统的描述 恢一t 1 1 - 5 时，系统运动轨迹满足烛i i x ( t , x o ，t o ) 一z 。l i s f ，则称该平衡状态t 是李 雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。 该定义的平面几何表示如图8 ( a ) 所示， k t8 表示状态空间中x o 点至t 点之 间的距离，其数学表达式为： i i x o x e l i = ( 一。一工。) 2 + + ( 矗。一k ) 2 假设系统初始状态位于平衡状态t 为球心，半径为占的闭球域s ( 8 ) 内，如果 系统是稳定的，则状态方程的解x ( t ；x 。，t 。) 在r 斗的过程中，都位于以x e 为球心， 半径为占的闭球域s ( s ) 内。 ( 2 1 一致稳定性 通常j 与，t o 都是有关的。如果占与屯无关，那么我们称平衡状态是一致稳定 的。由于定常系统的占与“无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 ( 3 ) 渐近稳定性 系统的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，而且有 姆i l x ( t ；工o ，t o ) 一t f f 斗0 称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从s ( 万) 出发的轨迹不仅不会超出s ( e ) ，并且 当f 斗c o 时收敛于t 或其附近，其平面几何表示如图8 f b ) 所示。 f 4 ) 大