（科学技术史专业论文）论东亚传统数学中代数演算方法的发展——以“演段”为中心.pdf

摘要 中算代数思想和方法从产生到确立，经历了漫长的发展历程。解方程是东亚 传统数学中的核心问题，中算家曾经利用各种不同的方法来表示未知数与代数方 程，宋元时期通过“演段”来进行代数演算，形成一套高度发达的代数演算系统， 实现了代数演算方法的转变。和算家继承了中算的“演段”概念和代数演算方法， 并在此基础上又创立了更为一般的代数演算方法傍书法与点窜术，成为和算 发达的代数学的基础。东亚传统数学中“演段”概念的变迁，反映其代数演算方式 的演变，它是东亚代数学发展的重要成就之一。 本文在广泛调查中日传统数学原始文献的基础上，结合前人的研究，考察和 分析中国传统数学和日本传统数学中的普遍使用的“演段”和“演段术”概念的产 生与演变，探索东亚传统数学中代数演算方法发展的历史脉络，对不同历史阶段 的代数演算方法的实质、表示方法、运算特点、解题步骤等进行了深入地讨论和 梳理。以揭示东亚传统数学中代数演算方法的特点与发展的内在规律。 全文共分四个部分： 第一部分，考察汉唐时期中算如何利用“方程”术与二、三次方程来求解代数 问题，研究其演算方式、方程表示与建立的方法。认为中算汉唐时期的代数演算 是以语言代数来表现的，建立方程的依据主要是利用简单的几何方法和简单的几 何公式法。 第二部分，为本文研究的重点，通过研究原始文献，分析宋代条段法、天元 术这两种不同的代数演算方法，揭示其代数本质，并对宋元代数演算起了重要作 用的“演段”概念进行分析，澄清了数学史界过去对此概念的误解，认为“演段”的 意义，实际上就是指宋元时期的以多项式运算为中心的代数演算，“演段术”的形 成反映了宋代以来代数演算方式的转变。 第三部分，考察不同历史发展阶段的和算原始文献，分析和算“演段”概念的 代数意义，及其与傍书法、点窜术以及消元法的关系，揭示出“演段”在和算发展 过程中的作用。 第四部分，最后，从时间纵向角度阐述东亚传统数学中代数演算方法发展的 历史脉络，说明东亚传统代数演算方法发展的规律与特色，及其在世界数学文化 史上的意义。 关键词：演段条段法天元术傍书法点窜术代数演算 a bs t r a c t t h et h o u g h t sa n dm e t h o d so fc h i n e s ea r i t h m e t i ch a v ee n d u r e dal o n gp e r i o d f r o mi t sf o u n d a t i o nt oe s t a b l i s h m e n t t h ec o r eo fe a s ta s i a nt r a d i t i o n a lm a t h e m a t i c s i ss o l v i n ge q u a t i o n s c h i n e s em a t h e m a t i c i a n su s e dav a r i e t yo fm e t h o d st oe x p r e s s u n k n o w nv a r i a b l e sa n da l g e b r a i ce q u a t i o n s f r o ms o n ga n dy u a nd y n a s t y ，y a n d u a n ( 演段) w a su s e dt op e r f o r mc a l c u l a t i o n t h e ni tg e n e r a t e das e to fw e l l d e v e l o p e d a l g e b r a i cc a l c u l a t i o ns y s t e ma n dr e a l i z e dt h et r a n s i t i o no fi t sm e t h o d 鼢s a n k a i n h e r i t e dt h e i rc h i n e s ep r e d e c e s s o r s a c c o m p l i s h m e n t sa n dd e v e l o p e dam o r e g e n e r a l i z e dm e t h o dp a n g s h u f a ( 傍书法) a n d d i a n c u a n s h u ( 点窜术) w h i c hi st h e b a s i so fw a s a n t h ev a r i a t i o n so fy a n d u a nr e f l e c t e dt h ec h a n g i n go fi t sm e t h o d s i t w a so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta c h i e v e m e n t so fe a s ta s i a nm a t h e m a t i c s a tt h eb a s i so ft h eo r i g i n a ld o c u m e n t a t i o na n dt h ea n a l y s i so fp r e d e c e s s o r s ，t h e a u t h o ri n s p e c t e da n da n a l y z e dt h es o u r c ea n dt r a n s i t i o no fy a n d u a n ( 演段) a n d y a n d u a n s h u ( 演段术) m e a n w h i l e ，t h ea u t h o rd e e p l yd i s c u s s e dt h ee s s e n c e ，e x p r e s s i o n m e t h o d f e a t u r e sa n dp r o c e s so fa l g e b r a i cc a l c u l a t i o ni nd i f f e r e n tt i m e si no r d e rt o u n c o v e rl a wi nn a t u r e t h et o p i cc o m b i n e sw i t h4p a r t s t 1 1 ef i r s tp a r ti sm a i n l yo nh o wt ou s ef a n g c h e n g s h u ( 方程术) a n de q u a t i o n so f t w oa n dt h r e et i m e st os o l v ea l g e b r a i cp r o b l e m ss oa st oi n s p e c ti t sm e t h o do f c a l c u l a t i o na n de q u a t i o nf o u n d i n g i nt h ea u t h o r so p i n i o n t h ec a l c u l a t i o no fh a na n d t a n gd y n a s t yi se x p r e s s e db yl a n g u a g ew o r d sa n di t sb a s i si ss i m p l eg e o m e t r y t h es e c o n dp a r ti st h em o s ti m p o r t a n to n eo ft h et o p i c i te x p l o r e st h eo r i g i n a l d o c u m e n t a t i o na n da n a l y z e st i a o d u a n f at i a o d u a n f aa n dt i a n y u a n s h ut i a n y u a n s h ui n s o n gd y n a s t y i nr e s u l t s ，t h i sc l a r i f i e dt h em i s u n d e r s t a n d i n go ft h en o t i o ny a n d u a ni n m a t h sh i s t o r y i n d e e d ，y a n d u a ni sak i n do fa l g e b r a i cc a l c u l a t i o nc e n t e r e do n p o l y n o m i a lc o m p u t a t i o na n di tr e v e a l st h a tt h ec h a n g i n go fc a l c u l a t i o nm e t h o da f t e r s o n gd y n a s t y t h et h i r dp a r ti sm a i n l ya b o u tt h ea n a l y s i so fo r i g i n a l 肠s a nd o c u m e n t a t i o n i t u n c o v e r st h er e l a t i o n sa m o n gy a n d u a n ，p a n g s h u f a , d i a n c u a n s h ua n dx i a o y u a n f ai n o r d e rt or e p r e s e n tt h ei m p o r t a n c ey a n d u a ni nw a s a nd e v e l o p m e n t t h el a s tp a r tg o e st h r o u g hw i t ht h et i m e l i n eo fe a s ta s i a nc a l c u l a t i o nm e t h o d s i t e x p l a i n st h el a wa n df e a t u r e so fi t sd e v e l o p m e n t t h i sk i n do fm e t h o db e a r sag r e a t s i g n i f i c a n c ei nt h ew o r l d m a t h e m a t i c a lh i s t o r y k e yw o r d s ： y a n d u a nt i a o d u a n f a t i a n y u a n s h up a n g s h u f a d i a n c u a n s h u c a l c u l a t i o n i l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得苤盗! 至整盘鲎或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 签名：导师签名：日期： 论东弧传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 o 1 问题的提出 引言 o 1 1 背景 由于历史文化与地理条件等因素的影响，古代文化的发展形成了东方和西方 两大主流，数学作为古老文化的重要组成部分，自然也形成了东方与西方两种迥 然不同风格的体系，东亚传统数学乃古代东方数学的典型之一。 ( 1 ) 中算背景 中国传统数学经历了从古代到明末大约两、三千年的发展历史，由于其自身 的历史渊源及固有的民族特色，形成了自己独特的发展道路、模式、风格及特点。 中国古代数学成为算术，其原始意义就是筹算的技术，这个名称恰当地概括了中 国传统数学使用算器、以算为中心的特点。先进的计数法与计算工具是中国古代 在计算技术方面处于世界遥遥领先的地位。 代数无疑是中国古代数学中最发达的部门。中国古代的代数实际上是方程解 法的同义语。方程发展源流是由两个不同方面发展而来的。其一是由远古时期物 物交换导致的盈不足术而发展成为“方程”术。其二是由测量和几何问题导致的数 值方程的代数求解问题1 。中算代数学沿着这两条路径向纵深发展。 发达的代数学需要相应的代数演算系统作为支撑。中国古代代数学确立的标 志是天元术这种代数表示与演算系统的形成，而天元术的形成经历了漫长的代数 思想的演变。汉代以来所形成的代数思想和代数演算方式语言代数、几何代 数都对于中算代数学的形成产生过重要作用，随后，宋代数学家李冶、朱世杰等 人将天元术这套代数演算方式进一步发展，从而导致宋代代数演算方法的高度发 达，而产生以“演段”为中心的代数演算方式，于是也迎来了中国传统代数学发展 的高潮。元代以后，大约从1 3 3 0 年前后起，数学研究逐渐发生变化，主导思想 是数学的普及化和大众化。虽然珠算得到迅速的发展并取代筹算成为中国传统数 学的主要内容，然而由于明代学术倾向等原因，宋元数学著作大量失传，由宋元 数学家所创造的辉煌代数演算方法像一颗闪亮的彗星转瞬即逝。 ( 2 ) 和算背景 日本文化是汉字文化圈文化的一部分，在汉字文化圈内，中国文化处于中心 位置，所以和算渊源于中国古代传统。中日之间的数学交流有悠久历史，中算对 日本传统数学和算的影响最为显著和深刻。中国古代数学第一次大量传入日 本，是日本飞鸟奈良时期对于汉至唐数学的吸收。第二次大量传入是在江户时期 主要是对宋元明数学的吸收。日本数学史界把这两个阶段统称为“中国数学摄取 时代”，而且作为对中国文化的回报，和算在中算的基础上得到了发展与突破。 1 7 世纪初期至1 9 世纪中叶，是同本封建社会发展的最高阶段，史称江户时 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 代，亦称德川时代。其中以新兴的町人文化为特色的元禄时期被誉为“日本的文 艺复兴。”，在对西方开国之前，日本文化已显著地露出独立于汉文化的倾向， 日本传统科学在这一时期得到史无前例的迅速发展，其中传统数学和算最为 发达，成为东亚传统数学中成就最高者。 日本数学的初步发展是从文禄到万治期间( 1 5 9 2 - - 1 6 6 0 ) 引入中国传统数学 开始的，对日本数学发展起了重要作用的是元朝朱世杰的算学启蒙。1 6 5 8 年， 吉田光由的弟子久田玄哲出版了经训点的算学启蒙，由此开始引入中国的“天 元术”，之后随着关孝和将其改进成为“傍书法”和“演段术”，导致和算中普遍使 用以“点窜术”为中心的“演段”，代数化程度逐渐加深。和算家通过对天元术、开 方术、招差数等宋元数学的接受，并使用发达的代数演算方法，把中国宋元数学 发展到一个新的高度。 0 1 2 研究的必要性 方程术、开方术、天元术、四元术、点窜术都是东亚代数学中的重要内容和 方法，它们是东亚人民智慧的结晶，对东亚数学发展的进程起到了重要的作用， 并在世界数学史上展示了具有浓重东方色彩的数学代数成就。 代数学的发展不只体现在代数理论层面，与之匹配的代数演算方法的发展也 是代数学发展的重要内容之一。中国古代代数学确立的标志是天元术的形成，这 与中国古代代数表示法，演算方式有密切关系。和算代数学的飞速发展，与其代 数演算方法的进步也有着密切的关系。正是由于东亚传统代数的表示与演算方式 的先进性，促使和加速了东亚代数学新成就的层出不穷。 学术界对东亚代数演算方法发展的研究尚不充分，从宏观和整体视角进行探 讨的更是鲜少。然而，代数演算方法与方式的转变对代数学的发展却起着不可低 估的作用。 与中日传统的代数演算方法密切相关的“演段”，数学史界对此研究还比较薄 弱，且观点各异，对“演段”的认识多数都是站在各自的研究立场上，并未从中算 的整体角度以及东亚数学整体视角上去考察，徐泽林发曾经指出，欲解明东亚数 学中“演段”的概念，需要结合和算中使用普遍的“演段”概念，全面地对“演段”进 行考察，尤其需要深入理解“演段术”及其与代数演算方法之间的关系2 。 基于以上情形，有必要对“演段”进行深入地分析，将此问题彻底澄清。由此 而从宏观上揭示东亚代数演算方法发展的历史脉络。 0 2 国内外相关研究情况 关于中国传统数学中代数演算方法的发展，中国数学史著述几乎都有不同程 度的叙述，这些著述主要围绕“方程术”和数值方程的代数解法而分析代数演算方 法。郭书春、李继闵3 等对九章算术及周髀算经中的代数方法有过论述， 钱宝琮4 、李迪5 等论述过缉古算经中的代数方法，孔国平6 、严敦杰及梅荣照 对宋元条段法这一重要的代数演算方法进行了分析，并提出了一些独到的观点。 尤其是孔国平对于条段法的研究，使得条段法受到应有重视，出现后发表或出版 过关于条段法的不少论文和相关书籍。李迪7 ，李兆华8 等对天元术和四元术也进 行了细致的分析。此外，许莼舫、梅荣照，徐泽林等针对宋元时期的“演段”术进 行了研究。他们的观点，笔者将在论文的第二部分做详细的介绍。 但是，从整个历史的时问纵向角度去整体分析代数演算方法的发展，就笔者 论东弧传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 所掌握的资料来看，并无这方面的论述和文章。 在和算方面，徐泽林先生对和算“旁书法”、“点窜术”有过论述，对和算中的 “演段”的解释提出一些新观点9 。1 0 。梁宗巨及王青建、孙宏安对和算数学中的“傍 书法”和“演段术”提出了自己的理解1 1 。同样的情形，现今还未发现有关系统研究 和算演算方法的著述。 o 3 本文的研究目标 本文主要是以东亚传统数学“演段”为中心，在原始资料和前人研究的基础 上，考察东亚代数运演方式和方法，揭示东亚代数演算方法的发展及其转变。本 文考察资料的历史跨度较大，对于全面考察中日传统数学中的列方程方法，代数 演算方式发展的整体过程。 0 4 本文的研究方法 本文主要采用文献考证法、数理分析法。从解读和分析中日数学原始文献资 料入手，以代数演算发展的历史脉络为线索，并在对大量二次文献和三次文献进 行逻辑分析、归纳总结尽量避免只对原始文献进行简单的罗列和整理。避免以今 代古、凭空臆造。除中国古典数学文献外，也查阅大量的和算原始文献( 有汉文 著述，也有日文著述) ，由于作者阅读同文的能力有限，在导师和同学的帮助下 尽量阅读一些和算原始文献，也参阅一些有关和算的汉译文献与英文文献。 另外，本文遵循吴文俊1 2 所提倡的“古证复原”的历史主义原则，并遵循史论 分离的原则，以及历史与逻辑相统一的原则，在这些原则指导下进行分析、整理 和归纳，是对中日两国代数演算方法的发展、及其特点、规律做出尽可能客观的 评价。 3 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 第一章中国汉唐时期的代数演算 早期代数学的发展是以解方程为中心的，因此列方程、解方程是代数运算中 的基本问题。 汉唐时期，中国古代数学发展出现两次高潮，中算基础与理论体系得到深入 发展，其中代数学也得到了发展。这段时期代数发展主要沿着两条路线前进。一 是以多项式方程及其求解为中心，即现代意义下的代数方程问题。二是以线性方 程组为内容的线性代数问题，即古代的“方程术”。本章将从这两方面来分析汉唐 时期的代数演算方式。 1 1 勾股问题与二次方程及其代数演算 1 1 1 九章算术及其刘徽注 ( 1 ) 九章算术中的二次方程 九章算术勾股章第2 0 题是以二次方程求解的问题。所列方程为一元二 次带从方程。原题如下： 今有邑方不知大小，各开中门。出北门二十步有木，出南门一十四步，折而 西行一千七百七十五步见木，问邑方几何? 答日：二百五十步 术日：出北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之， 即邑方。1 3 用现代数学语言表述，即：设邑方为x ，可得方程式： 工2 + ( 2 0 + 1 4 ) x = 2 x 2 0 x 1 7 7 5 然后通过带从开方术，便可求得正根x = 2 5 0 ，即得邑方。 由此术文可知：在九章算术的成书时代，即约公元前一世纪或公元前五 世纪左右，中算家便可将此几何问题利用某种方法来建立一元二次方程 ，+ = q ( p 0 ，q 0 ) 求解，其实质就是将几何问题代数化，也体现了中算早期代数思想的萌芽与发展。 早期代数方程的表现形式与筹算开方形式相一致，从而可利用开方术来求 解，也可看出古算方程与筹算开方的代数相关连。 这种本质上属于代数性质的几何问题究竟是如何进行具体的演算，由于原始 文献只给出方程系数的文辞表述，无推导过程，且无具体演草，因此其列方程之 法与具体的代数演算方法不得而知。 ( 2 ) 九章算术刘徼注 刘徽在九章算术注中，对此题术文予以解释。其术文注释如下： 术日：出北门步数乘西行步数，倍之为实，以折而西行为股，自木至邑南十 四步为勾，以出北门二十步为勾率，北门西至隅为股率，即半广数。故以出北门 乘西行，得半广乘勾之幂。然此幂居半以西，故又倍之合东，尽之也。并出南门 步数为从法，开方除之，即邑方。此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四 步，二幂各以南北步为广，邑方为袤。故连两广为从法，并以为隅外之幂也。1 4 此段刘徽注解释了方程系数的由来，由此知刘徽解此题的思路和方法。至于 他是利用怎样的代数表达形式来进行具体的代数演算，刘徽并未呈现其演草，而 4 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 只有文字语言的表述形式。依注可构造其解题之图如下： 邑方 西行1 7 7 5 步 现依术推导方程的演算过程如下： 依图由勾股相似比例性质得： 勾( 自木至邑南)勾率( 木至北f 2 0 步) 股( 折而西行1 7 7 5 步)股率( 北门西至隅即半广) 已知：自木至邑南十四步= 邑方+ 出北门2 0 步+ 出南门1 4 步 故依：勾率股= 勾x 股率 得：出北门西行= 半广勾= 半广木至邑南 倍之得：2 出北r - j x 西行= 广木至邑南 = 广( 邑方+ 出= lr - j2 0 步+ 出南门1 4 步) = 邑方( 邑方+ 出北门2 0 步+ 出南门1 4 步) = 邑方2 + 邑方( 出北门步数+ 出北门步数) = 邑方幂+ 隅外之幂 故依此式：邑方2 + 邑方( 出北门步数+ 出北门步数) = 2 x 出北门西行( 1 ) 式， 可得方程。然后根据带从开方术便可列出开方式，如术求得邑方。 刘徽首先根据几何示意图，利用几何性质( 相似三角形对应边成比例的性 质) ，然后再利用算术的比例性质( 比例性质的证明所用的仍是等积理论) ，再经 过一些运算性质，从而获得此一元二次方程，利用开方术解题。 刘徽注释这个二次方程的由来，用的是文辞语言的表述形式，可以说，此题 虽流露着浓厚的代数思想，却无法利用相应的代数表示法和演算形式表出。此题 最终转化为开方式求解未知数，以此奠定了中国古代方程的表现形式。 九章算术的这道勾股题以刘徽的这段注，体现了中国传统数学早期代数 方程发展及代数思想发展的程度，以及代数演算的方法和特点几何代数化的 发展趋势。 1 1 2 周髀算经赵爽注中的二次方程 在周髀中尚未发现二次方程的内容，但赵爽注中却有一例，赵爽在勾股 圆方图注中，有这样一段文字： “以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之复得勾矣，加差为勾，即 股。1 5 ” 此题是已知勾股差与弦，来求勾，股的问题。利用现代符号形式我们很容易 5 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 得出与之相应的式子。设勾为口，股为b ，弦为c ，已知c 、( c 一口) ，求a 、b 。依 术可得下列方程式： a 2 + ( b a ) a 寻c 2 - ( b _ a ) 2 2 解方程便可求得口。 此题赵爽主要是以弦图来说明方程的几何意义： 此题虽未注明演算过程，但根据所给几何图形间各量的相互关系： 弦幂= 差幂+ 2 勾股积= 差幂+ 2 ( 勾差幂+ 勾幂) 很容易看出术文中的等量关系： 鏊塞；茎垂：勾力- - 2 + 差勾幂 2 把勾看做未知数便可根据文字方程的系数列出列出筹算开方方程式，求得未知数 勾，再求股。其方程也为x 2 + 彤= q ( p o ，q 0 ) 形式。 而此题是以图注的形式来说明，由此可知，此题列方程之法是利用面积割补 法即出入相补原理而进行的，出入相补原理即等积变换，属于几何性质的，故其 代数演算方式是几何性质的。 此题本质上为二次方程求解问题，其方程的表达形式却为古代筹算开方式， 由于此阶段代数符号的欠缺使得其具体的代数演算过程无法表现，只能以图形关 系来体现。 1 1 3 张邱建算经中的代数方程问题 张邱建算经卷中第2 2 题与卷下第9 题，亦属于带从二次方程求解问题。 以下来分析此二题的演算方法。 卷中第2 2 题： 今有弧田，弦六十八步、五分步之三为田二亩三十四步、四十五分步之三十 二，问矢几何。” 答日：矢一十二步，三分步之二。 术日：置田积步，倍之为实，以弦步为从。1 6 清朝屈曾发九数通考续集卷四于术的“从”字后补有“以开方除之，得矢” 七字r 7 。虽然此处有脱漏，但显然可知此题应是以开平方术来解题求未知量。 本题根据术文的文辞表述，可得等式：矢2 + 矢弦= 2 x 弧田积，利用开方术 6 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 求解得矢，知本题最终仍是化为一个筹算开方式。 实2 5 1 4 4 3 5 1 从6 8 - - - 法：1 即现代方程：工2 + 6 8 3 5 x = 2x 5 1 4 4 3 5 1 ，解得：x = 1 2 詈。该题所列方程形式仍为： x 2 + = q ( p o ，q 0 ) 形式。 此题并未有列方程之过程。但根据九章算术方田章的弧田面积公式便很 容易得到。其弧田术为：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，现已知弧田面 积与弦，求矢，带入其逆公式：弧田积：堡掣，得：矢z + 矢弦：2 弧田积， z 便可得到二次方程的系数及其开方式，再利用开方法，求解未知数。所以此题的 列方程之法应该是利用公式及等式变形的方法。 卷下第9 题如下： 今有圆困，上周一丈五尺，高一丈二尺，受粟一百六十八斛五斗、二十七分 斗之五，问下周几何。” 答曰：一丈八尺。 术曰：置粟积尺，以三十六乘之，以高而一。所得以上周自相乘减之，余， 以上周尺数从，而开方除之。所得即下周。 草日：置粟一百六十八斛五斗，以分母二十七乘之，内子五，得四千五百 五十。又以斛法乘之，得七干二百七十一。又以三十六乘，得二十六万五干三百 五十六。又以二十七除之，得九干八百二十八又以高一丈二尺除之，得八百一 十九。又以上周自乘得二百二十五，以减上数，余五百九十四。又以上周一丈五 尺为从法。开方，合前问。惜 本题根据等式：下周z + 上周下周：3 6 粟积尺一上周z 也只给出二次方程的 局 系数，给出的仍是一个筹算开方方程式： 实5 9 4 ( = 3 6 粟积尺一上周2 ) 向 从1 5 ( 上周) 法：1 再利用开方解得：矢= 1 8 即现代方程：x 2 + 1 5 x = 5 9 4 ，解得：工= 1 8 此题作者仍未给出具体的列方程之法的具体演算过程，草日的内容主要是用 来解释如何处理系数为分数的情形，而非解方程的具体方法过程。但根据术文中 。本文以阿拉伯数码来代替筹码。 7 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 二次方程的系数可知，此方程的建立应该是利用了九章算术中的圆亭术：“上、 下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之三十六而一。”即圆亭的体积公式而得。 此处是已知体积求下周，即用圆亭术的逆公式： 下周z + 上周下周：3 6 粟积尺一上周z 来建立方程的，利用带从开方术，便可求 尚 得下周。 可见以上两题方程形式仍为：x 2 + 芦= q ( p o ，q 0 ) ，并未超越此形式，且 在次数方面也未出现三次带从方程。 根据张邱建算经的两个二次方程问题的列方程方法可知，在张邱建时代， 利用解方程求解的问题仍然是属于几何方面的问题，但是列方程的方法，已经不 是只限制于纯粹的几何方法，已经开始直接利用相应的面积、体积公式或其逆公 式来建立代数方程，几何问题算术化、代数化的倾向此时已经十分明显。 1 2 “方程术”中的代数演算 汉唐时期，代数学发展的另外一条主线便是“方程”及其解法。“方程”问题即 今之线性方程组问题。九章算术方程章列有1 8 问，二元的有八题，三元的有 六题，四元的有二题，五元的一题，六元的一题。六元仅列出五个方程，为不定 方程问题。 首先在布列“方程”上，它就包含着十分浓重的代数意味。中算是以算筹来运 算的，未知数不用符号表示，只将系数用算筹( 自上至下，自右至左) 罗列出来， 实际上是一种分离系数法。与今之增广矩阵的形式内容都相一致。现根据术文所 属列出“方程”的表达式。 以第一题1 9 为例，略原文。可得“方程”： 设上禾、中禾、下禾秉数分别为x 、y 、z 则有： 1 3 x + 2 y + z = 3 9 2 x + 3 y + z = 3 4 l x + 2 y + 3 z = 2 6 即现代意义下的线性方程组。 8 右行3 2 l 中行2 3 l 弘 左行1 2 3 弱 禾禾禾譬稣杯砾实 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。行之左右无所同存，且为 有所据而言耳2 0 。 由图和术文可知： ( 1 ) 刘徽对“方程”的这种理解是建立在率的基础之上的。物与实表示“方程” 之行中数据的名称，上面各列称之为“物数”，最后一行称之为“实数，z - ，与今之 增广矩阵的转置矩阵表示完全相同。将每一竖行看作是一组比率。各物其实本身 就是代数的形式，相当于今之线性方程组各未知数。它们都具有明显的位置性， 以不同的位置代表不同的物，即今之未知数。 ( 2 ) 程数由物数决定，且两数多少相一致。程数与物数相等保证了方程解 的唯一性2 2 。这样做其实暗含着“方程”解之唯一性的思想。要求行之左右不会有 相同的行出现，也正说明了这一点。 ( 3 ) 有解( 合理解) 性的思想。“言之有据”，即不应出现彼此矛盾不合理 情形。中算家从解方程的实践中认识到随意臆造的“方程”可能会无解或得到不合 理的负数解2 3 。这些内容都包含着深刻的代数思想。 从解“方程”方面来看，“方程”问题的解法是方程术和正负术，方程术主要利 用的是“直除法”来运算。也就是对方程组做一系列的同解变换。与现今矩阵理论 相一致，目的都是为了消元，化为三角形矩阵，最终化为对角形矩阵，从而求出 一组解。刘徽在“方程”章第七问的注文中，用“互乘相消法”来解方程。它与直除 法不同，直除法只将减行各项遍乘一倍数后与被减行相减，而互乘相消法是减行 与被减行各项互乘首项系数后相消。刘徽在最后有提出“方程新术”，与旧术不同 之处在于它先消下“实”术即常数项，再转而消“物”数即未知数系数，以便得到各 未知量的一组比率，从而用今有术或衰分术求方程组的解。三者其本质都是对矩 阵施行初等变换。 现以一题为例说明如下：现存原文并未出现以下图式，但依术文便可复原其 演算过程。 方程术术文现代表示 置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗，于右方，中、左行列如 上禾123 中禾232 右方。 下禾311 实2 63 4 3 9 以右行上禾遍乘中行 。163 292 331 2 610 23 9 而以直除 l03 252 31l 2 62 43 9 9 论东哑传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 又乘其次 3o3 652 911 7 82 43 9 亦以直除 003 452 8l1 3 92 4 3 9 以中行中禾不尽者遍乘左行 o03 2 052 4 0l 1 19 52 4 3 9 而以直除，左方下禾不尽者，上方为 法，下为实，实即下禾之实 0o3 o52 3 611 9 92 43 9 求中禾，以法乘中禾下实，而除下禾 之实。003 0 18 02 3 6o1 9 98 6 4 9 9 = 7 6 53 9 余如中行秉数而一，即中禾之实 oo3 o法3 62 法3 6 01 实9 97 6 5 1 5 = 15 3 3 9 求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、 o03 ( x3 6 ) 中禾之实 o法3 60 法3 6 00 卖9 9 卖1 5 37 6 5 1 5 2 x 2 = 9 9 9 如上禾秉数而一，即上禾之实 oo法3 6 0 法3 60 法3 6 oo 实9 9 15 39 9 9 3 ：3 3 3 1 0 论东传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 实皆如法，各得一斗 0o1 ol0 1o0 2 二一一24 一一= 9 1 3 643 6 43 6。4 通过以上演算步骤，可以看出中国古代的线性代数演算。从第二步开始消元， 对“方程”反复施行“遍乘”和“直除”两种主要的演算方法，用少行或其倍数去减多 行，反复相减，可使头位被减尽，可知，目的正是为了消元，这种方法相当于现 今对矩阵施行一系列的初等变化，使得线性方程组的系数矩阵化为一个下三角形 矩阵。从而求得解。在数字运算中还使用了正负术。 “方程”这种代数演算的最大特点是：( 1 ) 使用筹式。( 2 ) 演算过程具有明显 的位置性，不论是在其列法或解法我们都可以看出来。( 3 ) 思想来源于算术中的 “率”与齐同术。不论是在列方程和解方程中、还是刘徽的注释中，都有明显的“率” 的烙印。解方程正是使用了齐同术这种方法和思想。 1 - 3 缉古算经中的三次方程及其代数演算 缉古算经为唐初王孝通撰，不分卷。全书共收2 0 道题，第1 题为天文 历法问题，用算术求解，其余1 9 题基本上都是几何问题，但都是用代数方法求 解，即将几何问题的代数化。据统计，其1 9 问中包括2 个二次方程、2 5 个三次 方程和2 个四次方程2 4 。该书对其解法记述非常简单，不过通过有些问题的自注 可以帮助理解正文。该书中有些问题特别复杂，其答案多达2 5 个。最后两题有 脱漏，研究者提出了多种复原方案，尚未取一致的看法2 5 。 缉古算经各题的演算步骤有的以文辞形式表达，有的则没有。现依术文 分析其演算过程。现以第3 题与第1 5 、1 7 题2 6 为例来考察王孝通的列方程方法 与其演算方式。 第3 题“开河筑堤”( 略原题术文) 。本题的解法共分四步：第一、四步算术 问题，第二、三步为代数问题。 以术文的文辞叙述解释如下： 本步首先给出建立方程的等量关系： 总体积( 堤积) v = 一人一日程功总人 总体积( 堤积) v = 鳖幂+ 大卧堑头幂+ 小卧堑头幂 再给出关于小高的三次方程： 实：堤积f 并三幂( 大小堑鳖幂) 正袤多小高之数j 方法：( 半高差+ 半小头广差+ 上广多小头高) 袤多小头高 廉：又并正袤多小高、上广多小高及半高差，半小头广差，加之为廉法 ( 隅) ：默认为1 最后开带从立方：得小高，再得其它各量，斜袤由勾股求弦而得。 以本文解题思想，现以( 2 ) 问为例利用现代符号推导表示如下： 1 平堤：口忍+ 二( 反一以) 忍 2 一 11 羡除： 寺6 l ( 吃一j l z l ) ，+ ( 6 | 一6 1 ) ( 吃一扛) ， 论东皿传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 堵堑： 去6 l ( 吃一啊) ， 鳖膈： ( 如一岛) ( 一盔) ， o 堤积： 口曩+ 圭( 岛叫7 i l + 三懒圳+ 丢( 6 2 - 6 1 ) ( 红圳 ， ( 1 ) 把多变量化为单变量：a = 啊+ 似一啊) ；岛= ( a - l 毛) + ( b 1 一口) ；，= a + ( ，一| 1 1 ) 其中： ( a - h o ，( 包- a ) ，( 1 - , 1 ) 均为已知量，代入( 1 ) 式得： y = 州4 圳+ 圭( 6 l _ 口) 卜如嘶圳+ ( 6 l _ ) 他圳+ 吉( 6 2 - 6 1 ) ( 也圳) ( 圳 ( 2 ) 令：彳= 丢( 6 2 一姒吃一a ) + 三( 包叫( 吃一磊) + 吉( 口一姒吃一啊) k ：( 口一曩) + 丢( 岛一口) + 丢( 乃：一7 1 1 ) 则( 2 ) 式化简为： v = ( 砰+ 巩+ 么) 庇+ ( ，一j i l i ) 1 = 臂+ 【k + ( ，一| j l i ) 】砰+ 【k ( ，一7 1 1 ) + 彳】啊+ 彳( ，一7 1 1 ) 移项可得：砰+ 【k + u 一啊) 】砰+ 【k ( ，一向) + 彳】啊+ 彳“一j l l i ) = 矿一a ( 1 - h o ( 3 ) 1 代入已知数得： 砰+ 3 0 0 气2 + 1 1 6 9 9 5 3 1 = 4 1 1 0 7 1 8 8 - - 1 ( 4 ) j 带从开立方得：j l l = 3 1 寸 由此得： = 3 1 4 寸，a = 8 0 寸，包= 1 4 2 寸6 2 = 7 6 2 寸 z = 4 8 0 尺 斜袤l = , 1 2 + ( 吃一啊) 2 = 4 8 1 尺 第1 5 题： 假令勾股相乘幂七百六五十分之一，弦多余勾三十六分之九，问三事各多少 答日：勾十四二十分之七，股四十九五分之一，五十一四分之一。 术日：幂自乘，倍多数而一为实，半多廉法从，开立方除之，即勾， 以弦多即弦，以勾除幂即股。2 7 本题仍是直接给出开方式，仍无具体的演算过程。利用与第3 题相似的解法 推导如下： 令：勾、股、弦分别为口、b 、c ，已知口6 ，c a 求a 、b 、c 。 本题由等式：蕊a2b2=亟型=刍()+2口ha一22(c 222 ( 洲) + 口2一口1 ” 1 、 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 由( 1 ) 式移项变形可得：口3 + 鱼口2 = 而a 2 b 2 ( 2 ) 由带从开立方得：a 、再得：b 、c 。 第1 7 题如下： 假令有勾弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多余股一十分之一，问股多 少。 术日：幂自乘，倍多而一为立幂，又多再乘半之，减立幂，余为实，又多 数自乘为方法，又置多数五之二而一为廉开立方除之，即股。2 8 令：勾、股、弦分别为a 、b 、c ，已知a c ，c - b 求b 。 本题由等式：夏a i 2 c 丽2 = _ ( c 琢2 - - = a 矿2 ) c 2 移项整理得： ( c + b ) c 2 2 ( c b + 2 b ) ( e 一6 + 6 ) 2 2 一【( c 一6 ) + 2 6 】【( c 一6 ) + 6 】2 = ：- - - - - - - - - - - - - - = 二= - - - - - - - - - - - - - - - = l 2 【( c - b ) + 2 b i ( c - b ) 2 + 2 ( c - b ) b + b 2 = - - - - - - - - - - - - - - - - j = ；- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 2 = 三 ( c 一6 ) 3 + 2 b ( c 一6 ) 2 + 6 2 ( c 一6 ) + 2 b ( c 一6 ) 2 4 6 2 ( c 一6 ) + 2 6 2 6 2 + ( c - b ) 6 2 + 2 ( c 一帅= 而a 2 c 2 一下( c - b ) 2 ( 2 ) 由带从开立方得：b 。 统观缉古算经中的这三道题可知，在遇到求多个未知量时，常常通过未 知量之间的转化化为用一个未知量表示，然后将诸量代入等量关系式，实际得到 一个一元高次方程。然后以开方术即可求解。此种方法与今之舌未知数建立方程 的方法相一致。 王孝通在其列方程演算中，对几何的依赖性明显减低。首先，王孝通建立了 三次以上的方程式，它本身已经无法利用平面几何法方法来解释，王孝通利用分 割立体几何图形来说明方程式的由来( 书中没有画出图形，是以语言叙述的) 。 其次，其问题不局限于几何问题。最后，方程的演算中引入更多的代数与算术的 思想，如一些几何问题，直接利用相应的几何公式就可以了，不需要列图说明。 由王孝通著述知，在唐初时期，传统中算中列方程求解问题的思想已经十分 浓厚了，代数方法也有所进步，已经掌握了以单边良表示多变量的演算方法，并 建立高次方程，但由于代数表现形式的缺陷，演算形式复杂而繁琐。 1 4 小结 论东亚传统数学中代数演算方法的发展以演段为中心 综上可知，在北宋之前，中算已经出现将几何问题转化为多项式方程来求 解的数学形式，其方程式是以开方式形式表示的。这种浓厚的代数思想逐渐成为 中国数学的一大特色，在唐初开始出现了几乎是代数方程的专著，可见这种多项 式方程的代数思想历经汉唐时期得到进一步的发展。 汉唐时期的数学著作中没有记录具体的相关代数演算的过程，都是文辞代数 的表达形式。在九章算术注与周髀算经注中，刘徽和赵爽分别利用图形 与文辞表述相结合的形式来推演开方式，可谓几何代数的思想。张邱建算经 中方程式的获得主要依赖于几何公式及其逆公式，而不是直接利用图形来表达， 缉古算经所处理的代数方程问题，不仅限于几何问题，使用范围有所拓展， 且难度有所增加。推演过程以文字表述为主。 在筹算代数( 或半符号) 形成之前，虽然代数思想在汉唐出现并也得到了发 展，但却无法以代数形式得以表现。但在建立方程和解方程方面已经形成一定的 方法。在王孝通之前，问题都比较简单，采用逆公式法或赵爽与刘徽的几何图示 法，并与算术相结合，以这些形式来列方程。但是到了王孝通，所处理的问题明 显变得复杂，问题中的未知量也相对增多，以前的公式法或图示法等方法都无法 满足需要，它在处理问题时采用转化未知量，分离未知量的方法，从而将多元问 题转化为一元