（计算数学专业论文）hjm模型下利率互换期权的定价及信用风险中违约参数的估计.pdf

ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt 0 t o n 萄iu n i v e r s i t yi nc o n f o r i i l 毋w i t ht h er e q u i r e m e 鹏f o r t h ed e 铲e eo fm a s t e ro fp h i l o s o p h y s w a p t i o np r i c i n gu n d e rh j m m o d e ia n d ，j e s t l m a t i o no tc r e d i td e t a u i tp a r a m e t e r s s u p p o r t e db yt h en b r _ p o fc h i n a ( 2 0 0 7 c b 8 1 4 9 0 3 ) c a n d i d a t e ：n az h a o s t u d e n tn u m b e r ：0 7 2 0 1 0 2 0 1 3 涮 s c h o o l d e p a r t i n e n t ：d e p a n m e n to fm a t h e m a t i c s d i s c i p l i n e ： m a t h e m a t i c s m 旬o r ： i n f o m a t i o na n dc o m p u t i n gs c i e n c e s u p e r v i s o r p r o f e s s o rc h e n g l o n gx u m a r ，2 0 lo 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 。一平 蕾蚜 小l 口年弓月卅日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的i 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： l 。年弓月卅日 摘要 随着金融衍生品市场的不断繁荣和发展，对于市场及金融产品的研究也 不断走向完整和成熟。定性的分析和说明已经远远不能满足发展的要求，自 从1 9 7 3 年b l a c k s h o l e s 模型的问世，金融数学就成为金融衍生品市场不可或缺的 推动力。通过数学的方法对金融衍生产品的精确的，定量的理解，人们可以有 效的利用金融衍生产品来规避风险，同时，也可以通过设计和开发不同种类的 金融产生产品来满足套期保值的风险管理要求。在固定收益市场中，对于利率 衍生产品的研究无疑成为热点。该市场中的主要风险因子为利率，由于利率本 身的复杂性，导致对利率衍生产品的定价遇到了前所未有的困难。很多人提出 了短期利率模型，例如v a s i c e k ，c i r 等，但是都不尽如人意。m m 模型的出现， 解决了这一难题。在金融市场的研究中，它不仅是一个模型，而是一个建模期 限结构的统一框架，应用领域也非常广泛。另一方面，信用衍生品市场中，违 约和回收率的研究是一个重要的方向。随着信用衍生品市场的扩大，给我们提 供了更多可以通过信用衍生品和可交易债券的报价来进行参数估计的途径。比 如，通过期权的报价估计隐含波动率参数。于是，由此启发产生很直接和自然 的想法是通过不断繁荣和丰富信用衍生品的报价，来获得违约强度和回收率的 期限结构。 本文在这样背景的基础上，重点讨论两个方面的问题。一方面，我们详细 介绍了h j m 模型的建立和应用。然后，给出它的无套利条件，以及模型中的波 动率参数的确定方法等。而后，我们利用m 模型为一种利率衍生品利率互换 期权定价。我们给出了采用了统计学中主成分分析( p c a ) 的方法给出更为简洁的 近似定价方程。并且分析了模型的数值结果。 另一方面，我们对于信用风险中的两个重要的变量违约和回收率进行了研 究。在前人研究成果的基础上，讨论违约强度和回收率都为随机变量时，结合 信用衍生品市场和股票市场来研究它们的期限结构。我们分别给出了连续模型 和离散模型，由于通过连续模型很难得到问题的解，于是我们采用了离散模型 来得到想要的数值解。在求解的过程中，先讨论回收率为常数或者时间的依赖 函数时的简单情形，由此确定违约强度。然后，再讨论当它们都为随机变量 时，利用最小二乘法进行参数的估计并分析了算法的稳定性。为了检验模型的 有效性，我们亦给出了另外一个对比模型，在这个模型中，我们改变了违约强 度和回收率的关系，其他的条件不变，同样给出了数值结果。在对比之后我们 一1 一 发现，我们的模型的确得到了更有效的结果。 关键词：m m 模型远期利率p c a 主成分分析利率互换期权违约强度回收率 一一 a b s t r a c t a b s t r a c t a sm ef i n 锄c i a ld e d v 撕v e sm a r k c tb e c o m e sb l o o i i l i n g 锄dm r i f t ，m ei n v e s t i g a t i o n 0 fi tt i l mt 0m o r ei n t e g r a t c 觚dm a t i l r e t h eq u a l 时孤a l y s i s 锄d 碣g u r n c n tc 觚n o ts a t i s f yt l l ed e m a i l do ft l l em 积k e td e v e l 叩m t 锄ym o r e f r o ml9 7 3 ，w h e nb l a c k s h o l e s m o d e la p p e a r e d ，丘n a n c i a lm a t l l e m a t i c sb e c 锄e 圮i 玎e p l a c c a b l em o t i v a t i o n 7 r i l r o u g h t l l i sk i n do fi n e t l l o d ，w l l i c hi sm o r ep r e c i s e ，w ec a nm a k ea q u a i l t i t ya n a l y s i s s op e o p l e c 锄u s et h i st o o lt 0a v o i dt h er i s ko ff i n a n c 词m a r k e t m e 卸w h i l e ，w ec a na l s od e s i g n 觚dd e v e l 叩d i f ! f 舐n t 虹n d so fp r o d u c t i o n t 0i n e e tt l l ed e m 趾di nk e e p i n gt h ev a l u eo f c a p i t a l i n l ef l x e di n c o m e 础t ，m ei n v e s t i g a t i o no fi n t e r e s tr a t ed 嘶v a t i v e so c c u p y t l i ei l p o r t a n tp o s i t i o n t h em a i n l yr i s kf 缸t o ri si n t e r e s tr a t ei t s e l f b e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t et e 珊s 劬j c t u r eo fi n t e r e s tr a t e ，w ec o m ea c r o s sab i gp r o b l e m d u n gt h ep e r i o d ， s o i n e o i l ep r o p o s e dn l es h o nt i m ei n t e r e s tm o d e l l i k ev e s i c ka n dc i r b u tm e ya l lh a v e d e f e c t u n t i lt h eh j mm o d e la p p e a r e d ，t h eb i gp r o b l e mh a sb e e nt os 0 1 v e d i nt h e6 a n c e m 积k e t ，i ti sn o tj u s tam o d e l ，b u ta l s oau n i t e 行锄e w o r kw h i c hi su s e di nm a n yf i e l d s e x c 印tf o rt h i s ，i nm ec 硎i tf i n 锄c i a lm 扣k e t ，i n v e s t i g a t i o no fd e f a u l ti n t e n s 埘a n dr c _ c o v e 巧b e c o m e sm o r ca n dm o r ci m p o r t a m a st l l ec r e d i tn n 锄c i a ld e r i v a t i v e sm a r k e t d e v e l o p ，i ts u p p l yu sm o r eo p p o m l l l i t i e st 00 b t a i nt l l ei n f o m a t i o no ff o r w a r dt l l m u 曲 m eq u o t a t i o no f 仃a d e db o n d 觚do t t l e rd e r i v a t i v e s f o re x 锄p l e ，u s et i i e 叩t i o np r i c e t 0e s t i m a t ei i t l p l i e dv o l a _ t i l i t ) ，f r o mt h ei d e a ，w ea r ec o n s i d e r i n gw h e t h e rw ec a nu s et h e c r e d i td e r i v a t i v e sm a r k e t 锄ds t o c km a r l 【e tt 0e s t i m a t et h ed e f a u l ti i l t e n s i t ) ，锄dr e c o v e r ) r “l 钯 o nt h eb 懿i so f b a c k g r o u n dl i k en l i s ，w em a i n l yd i s c u s st w ok i n d s0 fp r o b i e m s o n o n eh 粕d ，w ei n 仃o d u c et t l ep r o c e s s 粕da p p l i c a t i o no fh j mm o d e lf o rd e t a i l s a n d m e n ，g i v et h ec o n d i t i o no fn oa r b i 仃a g ea n dt h em e t h o d so ft h ep a r a m e t e r sc e r t m c a t i o n a f t e rt l l a t ，w eu s et t l eh j mm o d e lt op r i c eal ( i n do fi n t e r e s td e r i v a t i v e sc a l l e d s w a p t i o n i n 昀d u c et h ef o r 、 ，a r dm e a s u r ew h e nn e e d e d f u r t h e rm o r e ，w eu t i l i z ep c a t o 觚a l y s i st l l ea p p r o x i m 撕o ns o l u t i o no ft h ep r i c i n gf b m u l a m e a n w h i l ew ed e m o n s 眦et h en u m e r i c a lr c s u l t ，d i s c u s st h ei n t e n s i t yo ft i l ep d c eo fs w 印t i o nf 幻mt h em o d e l f ；o rt h ef i x e dp r i c ek o nt h eo m e rh a i l d ，w ed om e i n v e s t i g a l i o no ft 、) l ，oi m p o r t a n tv a r i a b l ed e f a u l ti n t e n - s i 锣a i l dr e c 0 v e 呼o nn l eb 嬲i s0 ft l l ep 硒tw o r kb yt l l ep e o p l ew h om a k eas u c c e s si n 一一 a b s t r a c t t l l i sf i e l d w ec o m b i n et | l ec r e d i td e r i v a t i v e sf i n a n c i a lm a r k e ta n dt i l es t o c km a 】k e tt 0 e s t i m a t em e 铆ov a r ia _ b l e c o n t i l l u o u sm o d e l 觚dd i s c r e t em o d e la r es 印a r a t e db u i l t ，i n n l ec o n t i n u o u sm o d e l ，w ec 觚e a s i l yf i n dt l l a ti t sv c i i yd i 伍c u l tt oo b t a i nm es o l u t i o n b u t 觚y w a y ，i tm a k e su st 0s c l e a n yw h a tk i n d0 fp r o b l e m sw eh a v e s ow em a l 汜ap o i n t 0 nd i s c r e t em o d e l f i r s t ，w em a l 汜i ti nas i m p l ew a yt h a tt l l er e c o v e 巧i sac o n s t a n t0 rt l l e f u n c t i o n0 ft i m e a n dc o m p u t em ed e f a u l ti n t e n s i 够t h e n ，w ea s s u m et h e 铆ov a n a b l e 舔m es t o c h a s t i i cv a r i a b l e a sg 蚰e r a lw eu s em el e a s t - s q u a r em e t h o dt oc a l i b r a t et w o p a r 彻t e r s f u m l e rm o r e ，w ec a no b t a i nm et 锄s t r i l c t i l r co f d e f a u hi i l t e n s i t ) ，a n dr e - c o v e 够a l s o ，w ed i s c u s st l l cs t a b i l 姆o fo l l rm o d e l t 0p r o v et l l ev a l i d i t ) ，o fm i sd i s c r e t e m o d e l ，w eb u n d 姐o t l l e ro n et oc o m p a r ew i t l li t w ej u s tc h a n g et h er e l a t i o no ft h et w o v a r i a b l e ，w i t l lo m e rc o n d i t i o n sa st h es 锄e f i n a l y ，m er e s u l tt e s t i f yt h a to u rm o d e lh a s m o r ea d v a n t a g e s k e yw o r d s ： h j mf r a m e w o r k ，f o 刑砌i n t e r e s tr a t e ，p c a ，s w a p t i o n ，d e f a u l ti 1 1 t e n - s i 劬r e c o v e d rr a t e 一一 同录 目录 摘要 i a b s t r a c t ： 第一章引言1 1 1 综述1 1 2 短期利率模型和h j m 模型的介绍 1 1 3 信用风险中的违约强度和回收率 2 1 4 本文研究的主要问题一 3 第二章h e a m j 躺w m o r t o n 模型介绍 4 2 1h j m 框架的无套利条件5 2 2h j m 框架中波动率结构的确定方法 7 2 3 总结1 1 第三章利率互换期权的定价：1 2 3 1 债券期权的定价：1 5 3 2 主成分分析方法1 7 3 3 利率互换期权定价公式的数值结果2 1 3 4 总结2 2 第四章信用风险中的违约参数的估计2 3 4 1 违约强度的和隐含波动率的估计2 3 4 2 基本模型连续模型2 5 4 3 基本模型离散模型2 9 4 3 1 回收率为常数或者时间的函数时的简单情形3 0 4 3 2 违约强度和回收率都为随机函数的复杂情形3 2 4 4 数值计算结果3 3 4 5 模型的改进3 6 4 6 总结3 8 一v 一 目录 第五章结论和展望3 9 致谢：4 l 参考文献4 2 个人简历、在读期间发表的学术论文与研究成果4 5 1 1 综述 第一章引言 随着金融市场的不断发展，定性的分析和说明已经远远不能满足发展的要 求。自从1 9 7 3 年b l a c k s h o l e s 模型的问世，金融数学就成为金融衍生品市场不可 或缺的推动力。通过数学的方法对金融衍生产品的精确的，定量的理解，人们 可以有效的利用金融衍生产品来规避风险，同时，也可以通过设计和开发不同 种类的金融产生产品来满足套期保值的风险管理要求。 我们根据风险因子的不同，又将金融衍生产品市场分为股票衍生品市场、 汇率衍生品市场和固定收益衍生品市场等。股票衍生品市场又主要分为远期， 互换，期货和期权等。其中期权是一种非常重要的并且占有重要地位的金融衍 生产品，对于期权市场的研究可以说已经非常成熟。固定收益市场是金融市场 中非常活跃的市场，对我们建立数学模型的要求也很高，难度很大。其主要困 难是来自该市场中的主要风险因子：利率。在以往我们讨论的大多数期权定价 中，无风险利率常常被假定为常数。这样的假设在短期期权中是可以接受的， 因为此时瞬时利率只出现在贴现因子中。近期，我们见证了固定收益的衍生产 品和外来利率衍生产品迅速增长的一幕，它们的收益是严格依赖于利率的。在 这些金融衍生产品中，利率不仅用于贴现，也用于定义金融衍生产品的收益。 利率衍生产品的价格对于利率的水平十分敏感。正确的建立利率期限结构的随 机波动模型对于给出利率衍生产品可信赖的定价模型十分重要。利率本身的复 杂性决定了我们建模的难度，因为它不只是一个单一的量，而是一整条曲线， 我们需要对于整个利率期限结构进行建模。 利率衍生产品的交易提供了不断增值资本的利率和开销是如何设置的。债 券，互换以及互换期权是无风险交易并且它们的价格是可以直接由市场的报价 得到。债券的价格严格依赖于利率在其生命期限中的随机波动。与债券不同。 利率本身不是可交易的无风险资产。我们只能用依赖于利率的债券和其他固定 收益的融产品进行交易。 1 2 短期利率模型和h j m 模型的介绍 在对利率模型的研究中，单因子短期利率模型是利率模型的比较具有代表 第一章引言 性的。其中比较著名的是v 瓠i c e k 均值回归模型和c o x i n g e r s o l l r o s s 平方根微分 模型。但是单因子模型也有它的缺陷，比如经常会出现的是由利率模型得到的 利率期限结构和市场上观测到的初始期限结构不一致，于是出现了多因了模 型，它克服了单因子模型的主要缺陷。包括两个因子的长短期利率模型和随机 波动模型以及多因子仿射结构模型。然而，大多数多因子利率模型的解析可解 性非常局限。 最终，h j m 框架结构给出了完美的解决办法。并且，多数受欢迎的瞬时利 率模型都可以看作是h j m 框架的特例。在学术界以及各大经融机构的定价小 组都能看到m m 的身影，而且也有很多尚未解决的问题，如具有波动率结构 的删模型下利率衍生品定价的快速算法和校正等，已经是公开的难题。近些 年来，信用风险因子又成为固定收益市场的另外一个重要的风险因子，企业的 违约风险影响着它发行的债券的收益率，如何刻画违约风险成了固定收益市场 待研究的重要问题。伴随着各种信用衍生产品如c d s ( 信用违约互换) ，c d o ( 抵押 债券) 等的蓬勃发展，对违约风险的研究也成为固定收益领域的一个新的热点问 题。 1 3 信用风险中的违约强度和回收率 随着信用衍生产品市场的不断扩大，由交易债券及衍生品的数据来确定远 期的信用信息的几率不断增加。比如，有股票期权市场得到的隐含波动率。从 而给予我们一些启发：是否可以通过股票期权市场和c d s 市场的结合来确定违 约概率和回收率呢? 前人已经在这个研究方向做了很多工作。 目前主要的信用风险模型可以分为结构化模型和约化模型。其中结构化模 型是从对公司的资产进行建模出发，通过分析公司违约的原因来确定它的违约 概率和回收率。而约化模型则是不考虑违约的原因，把违约当成外生变量，直 接对违约参数来建模描述公司违约。在结构化模型中，经常把股票看成写在公 司资产上的期权，进而可以利用b l a c k s h o l e s 模型以及相关的理论对公司的违约 进行研究。但是，在实际的使用中，结构化模型也存在很大的问题，因为公司 的资产并不是可以观察的量，对它的建模需要充分的公司资产负债的信息，存 一般情况下这是很难做到的。于是约化模型对于整个宏观经济的假设显示出优 势，从而逐渐成为信用风险研究的主流方法。 在约化模型中，违约强度和回收率这两个变量需要从市场数据中得到。通 一2 一 第一章引言 过债券市场的报价只能估计出违约强度和回收率的乘积，无法进一步将二者分 开。j a 盯o w ( 2 0 0 1 ) 注意到，在结构化模型中，人们只利用到了股票市场的数据， 而在约化模型中则只利用了债券市场的数据。于是他提出了将股票市场数据和 债券市场数据结合起来估计违约强度和回收率的方法。在这种思想的启发下， 我们进一步利用不同市场的信息对于违约强度和回收率的分离和确定进行研 究。 1 。4 本文研究的主要问题 本文研究的问题主要包括：m m 模型下的风险管理和信用风险中违约概率 和回收率的分离和确定。具体而言，我们在h j m 的框架结构下讨论它的无套利 条件以及正态性等性质，然后给出在此框架下的利用随机分析和统计分析的知 识，给出利率衍生产品b o n do p t i o n ( 债券期权) 和s w a p i t o n ( 利率互换期权) 更为简 洁的定价方程。关于信用风险，我们主要讨论通过信用衍生产品c d s 的报价和 股票市场的信息来确定违约强度和回收率。 全文分为三章，第一章为引言。第二章详细讨论h j m 框架的构建过程，并 进一步介绍它在风险管理中的应用。首先我们给出远期利率的严格定义，利用 衍生产品定价基本原理、吉桑诺夫定理等阐述h j m 的构建过程，说明了风险中 性的建立方法，推导了风险中性测度下远期利率和零息票价格的随机过程。接 下来，讨论在m m 模型下，给出一类典型的利率衍生产品的近似定价公式。我 们在已有前人工作的基础上，利用随机分析和统计分析的知识给出了更为简洁 的推导和证明。并且进行了数值演算和分析。 第三章集中阐述在信用风险中违约强度和回收率的分离和确定的方法。利 用信用衍生产品的报价和股票市场中的信息，以c d s 的定价方程作为媒介，给 出隐含回收率的连续和离散模型。首先从简单的情形出发，假设回收率为常 数，推导求出违约强度，然后假设它为时间依赖的函数，再次得到相应的违约 强度的形式。最后，在违约强度和回收率都随机的假设下，利用模型的离散形 式，给出数值计算格式。由此，把问题转化为确定方程中的两个参数。利用最 小二乘原理得到数值结果。然后，根据计算结果对模型进行了改进，在其他条 件不变的前提下，改变了违约强度和回收率的关系，再次利用相同的计算方法 得到更好的数值结果。 一3 一 第二章h e a t i l - j a n o w m o n o n 模型介绍 第二章h e a t h j a r r o w m o r t o n 模型介绍 h e a t l l j 戤0 w m o f t o n ( h j m ) 模型是将未来时刻的整条零息票收益曲线作为 建模的基本变量，或者说将远期利率作为建模的基本变量。远期利率，在这里 我们记为f ( t ，t ) ，指的是可以在时刻亡时刻确定的，在未来t ( t t ) 时刻的借款 利率。对于固定的t ，我们称时间的函数f ( ，t ) 为时刻t 的远期利率曲线。h j m 模 型提供了一个框架，使得我们可以对远期利率曲线f ( 芒，t ) 随着时间亡的变化而 进行动态模拟，其中以t 为参数。远期利率曲线可以从零息票报价中直接得 到。反之，给出了远期利率曲线，所有的零息票报价也可以直接得到。注意到 在h j m 模型下，零息票的价格不需要通过风险中性定价公式得到，所以其本身 的动态过程不一定满足市场无套利条件。m m 模型的市场无套利条件也是所有 利率模型满足市场无套利所必须满足的条件。h j m 已经不仅仅是一个模型，它 已经成为描述金融领域期限结构动态过程的一个统一的框架。 在这一章我们将主要讨论m m 框架的建立和一些性质。同时，给出在此 框架下的两种典型的利率衍生产品的定价方程。主要思想是通过对远期利率 的建模，从而进一步刻画衍生产品的过程。首先，利率期限结构的动态过程 可以由债券价格b ( 亡，t ) ，收益率曲线r ( t ，t ) ，或者瞬时远期利率f ( t ，t ) 分别 给出。h j m 框架结构，尝试着构造一族期限结构的连续时间随机变量。它是以 间接的确定f ( ，t ) 的随机过程为基础的。模型的重要状态变量为远期利率曲 线f ( t ，t ) 。在大多数一般的多变量形式的模型中，f ( t ，t ) 的随机过程假设为以 下形式 ，t三，t f ( ，t ) = f ( o ，t ) + q f ( 牡，t ) d 缸+ ：口( u ，t ) d ( 乱) ， ( 2 o 1 ) ，o 石，o 或者写成微分形式 n d f ( ，t ) = q f ( t ，t ) 出+ 盯( t ，t ) d 比( ) ， o t ( 2 o 2 ) t = 1 最后一个方程给出f ( 亡，t ) 关于时间变量t 的，以丁为参数随机微分方程。显然， 这里我们涉及了无穷多的过程，对于每个到期日t 都有一个随机过程。然而， 如果m m 模型依赖于n 多个随机变量，我们只需要知道在无限小的区间中的远 一4 一 第二章h e a m j a 九o w m o r t o n 模型介绍 期利率曲线在第仡个到期日上的变化。由此来确定在同样的小区间中它在所有 到期日的变化。在方程( 2 1 ) 中，f ( 0 ，t ) 是初始远期瞬时利率曲线，q f ( ，丁) 是 远期瞬时利率的漂移项，盯鲁( t ，t ) 是第i 个远期利率的波动率函数，并且m 是 第i 个b r o w n 运动。这里有竹个独立的b r o w n 运动决定了远期利率曲线的随机波 动。漂移率函数q f ( t ，z ) 和波动率函数盯刍( t ，t ) 是适应过程。远期利率过程开始 于初始值f ( 0 ，t ) ，然后在确定漂移项和一些b r o w n 运动的影响下发展进化。这 样确定的初始条件使得远期利率的理论值和实际市场观测值在亡= 0 时刻自动互 相适应。 对于任意的漂移项和波动项的结构，远期利率的运动如方程( 2 o 1 ) 所 示，不是绝对无套利的。在2 1 中，我们将给出漂移项a f ( t ，t ) 必须与波动率函 数盯；( t ，t ) ， t = 1 ，竹相关，才能保证得到的债券价格不会允许套利的机会。于 是，m 模型是一个分析利率运动的框架结构，它本身并不是个确切的 模型。 2 1h j m 框架的无套利条件 我们将讨论h j m 框架如何描述远期利率和债券价格之间的套利关系。由债 券价格的随机微分方程开始，推导瞬时远期利率的随机微分方程的相关性。 在风险中性测度q 下，零息票债券b ( ，t ) 的漂移率必然为短期利率r ( t ) ， 已知贴现债券没有息票收益。假设如佗个不相关的q b r o w n 过程( t ) ，t = 1 ，2 ，n 描述的有礼个风险因子，若市场无套利，那么债券价格b ( 屯t ) 在q 下 的运动就如以下随机微分方程 黼刊班静t 删， ( 2 ) 这里鲁( t t ) ，t = 1 ，2 ，礼，是具有终值条件的适应过程：仃刍( 丁，丁) = o 。因 为一m 的分布同胍，这就导致在方程中，在随机项中出现负号无可非议。根据 远期利率的定义，连续远期利率，( 亡，乃，正) 的微分如下 m 丑耻燮等掣 ( 2 1 2 ) 一5 一 第一二章h e a t l - j a n o w m o n o n 模型介绍 由i t 0 引理，到期日为乃的债券价格对数的微分为 批即矧= 卜一三喜啾前卜一喜砒驯啉 协怕， 回忆一下，瞬时远期利率定义为 f ( t ，刁) 2 矗墨o ，( 亡，z t + t ) ， t o 将方程( 2 1 3 ) 代入方程( 2 1 2 ) ，令瓦= t 和乃= t + t 并且取极限t _ 0 ， 我们得到以下瞬时远期利率的随机微分方程： 毗t ，= 娄瓢嗍+ 喜氟t 愀卜 如果我们写成仃；( t ，t ) = 筹( t ，t ) 的形式，我们有 f 1 ，r、 n 护o 卜l 砖 。啾驰胁) 喜巩卵州 ) ( 2 1 4 ) 因此，在风险中性测度下q ，漂移率f ( 亡，t ) 和波动率函数口刍( t ，t ) ，t = l ，2 ，扎相关，由以下远期利率漂移项条件： n ，t 毗t ) 2 砒t “砖( 舢 ( 2 1 5 ) h j m 利率模型确定了所有远期利率在所有未来时刻的波动率函数盯；( 厶t ) 。一 旦仃刍( z ，t ) 是确定的，漂移率a f ( t ，? ) 就可以由方程( 2 1 5 ) 确定。作为结论，它限 制瞬时远期利率f ( 岛t ) 的漂移项口f ( 亡，t ) 。由于没有套利机会，漂移项仅依赖于 波动率函数f ( t ，t ) 。由此我们得到了h j m 的无套利条件。 为方便下一节的应用，我们将模型简记为 f ( t ，t ) = f ( 。，丁) + z q ( ，t ) 砒+ z 。盯( 钍，t ) d w ( u ) ( 2 1 6 ) f ( t ，t ) = f ( o ，丁) + q ( 让，t ) 砒+ 盯( 钍，t ) d w ( t 正) ( 2 1 6 ) j oj o 一6 一 第二章h e a m - j a 玎0 w m o r t o n 模型介绍 或者 d f ( t ，t ) = q ( t ，t ) 班+ 盯( t ，t ) d w ( t )( 2 1 7 ) 很容易证明，这两种形式是等价的，若不做特殊说明，接下来我们引用h j m 框 架时，均指的是简便形式。关于m m 更详细的讨论，见【3 】。下面，我们将讨论 确定h j m 框架中波动率的方法。 2 2h j m 框架中波动率结构的确定方法 根据上面的结论，远期波动率盯化t ) 是砌m 中的惟一变量，并且只由这个 变量决定。并且，对盯( ，t ) 本身并没有要求，它也可以是复杂的随机过程，这 样，模型就多了很大的灵活性。在实际的应用中，人们往往先确定h j m 的波动 率盯( t ，t ) 的结构，然后再通过历史数据进行统计分析，或者利用期权等衍生产 品的市场价格通过市场数据的校正得到隐含的波动率仃( t ，t ) ，进而对复杂的衍 生品进行定价。而利用衍生品的市场价格进行校正时，由于对衍生产品定价的 算法的效率要求比较高，只能选取较为简单的波动率结构。这里，我们先介绍 几种常用的波动率结构，并对比它们的优势和劣势。 1 盯( t ，t ) = 孑( t ，t ) 其中，子( t ，t ) 表示仅和时间相关的函数。我们称这种模型为正态h j m 模型。正 态h j m 模型具有非常好的解析性质，我们接下来将会讨论市场上大量交易的衍 生产品如债券期权在正态m m 模型下的解析定价公式，这位从市场报价快速校 正模型提供了很大的方便，也正是这个原因，它在理论研究和实际应用中被大 量使用。但是它也有明显的缺点，正态h j m 模型下，远期利率f ( t ，t ) 有可能为 负数，这在绝大部分市场条件下都是不可能的。 为了解决这个问题，直接的想法就是将正态m 模型变成对数正态m 模 型，即：令远期利率的波动率满足： 2 盯( t ，t ) = 子( t ，t ) f ( ，t ) 这样，只要初始期限结构f ( t ，t ) 为正，对数正态模型就自然保证了远期利率为 正。但是，前人已经证明这样的的漂移项会引起远期利率曲线出现奇点。于是 一7 一 第一二章h e a t i l _ j 姗w m o r c o n 模型介绍 我们对对数正态的模型做一点修改如下： 3 盯( 亡，t ) = 孑( t t ) f ( 亡，t ) m i n m ，f ( t ，t ) ) 其中，孑( 7 ) ( 丁 o ) 是仅和时间有关的函数，m 是正常数。有最大值的波动率结 构可以限制远期利率出现奇点的情况。但是在这种波动率结构下，没有利率衍 生产品的解析定价公式，不能通过模型校正的途径由市场报价完全确定远期利 率波动率，于是我们需要借助历史数据来拟合得到波动率的结构。具体方法如 下： 我们选择合适的函数孑( t t ) 来拟合远期利率的历史数据。由上一节的讨论 我们知道，远期利率在实际测度p 下满足： d f ( t ，t ) = 口( 亡，t ) 毗+ 孑( t 一) f ( ，t ) m i n ( m ，f ( ，丁) ) d w ( t ) ( 2 2 1 ) 假设我们在过去的时间点亡1 t 2 t ，观测了该利率，对应的观察期 期限为7 1 吃 讼，即有以下的观测值f ( 巧，如+ ) o = 1 ，2 ，j ；七= 1 ，2 ，k ) 进一步假设对较小的正数6 同样有观测值f ( + j ，如+ ) ，对于任意 的歹= 1 ，2 ，j 一1 有勺+ 6 岛+ 1 ，于是由方程( 2 2 1 ) 有： f ( 如+ 6 ，如+ ) 一f ( 岛，巧+ ：死) 6 口( 岛，岛+ 亿) + 子( ) m i n m ；f ( 如，岛+ 死) ) ( w ( 巧+ 6 ) 一w ( 屯) ) 接下来，我们定义 ( 2 2 2 ) = 盖蒜辫 亿2 3 ， 将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 3 ) 得到： 端黔躺州n ) 坠学 一8 一 第二章h e a t i i - j 撇w m o r t o n 模型介绍 在这里，因为6 被取为非常小的正数，上式右端的第一项相对于第二项非常的 小，可以忽略。： 再定义： 码：堂盥掣 ( 2 2 4 ) vo 其中，由布朗运动的性质知道， 玛h = 1 ，2 ，j 是相互独立的标准正态变量。 从而有： b ，知矛( ) 玛( 2 2 5 ) 可见，式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 5 ) 保证了d l ，七，d 2 ，一，d z k 是相互独立的市场观测 值，它可以由在时刻1 ，t 2 ，t ，观测到得对应期限为亿的远期利率完全决定。 由式( 2 2 5 ) 可知，岛，知均值为o ，那么我们可以计算不同到期期限亿， ( 七= 1 ，2 ，k ) 对应的b ，七的协方差矩阵为 瓯。渤= 专功m 岛渤 。j = 1 同时由式( 2 2 5 ) 计算的理论协方差矩阵为： e p ( 。) 于( ：) 碍】= 于( 死。) 孑( 亿：) 理想的，我们需要找到孑h ) ，子( 死) ，孑( 亿) 使得 g 。，南。= 子( 仉。) 矛( 亿：) ，后1 ，= 1 ，2 ，k( 2 2 6 ) 易见式( 2 - 2 - 6 ) 共有k 2 个方程，根据协方差矩阵的性质可知，对于同样的七1 ，角2 方 程瓯。，七：= 子( 亿。) 孑( 亿：) 和方程伉。，七。= 子( 亿。) 矛( 。) 是一样的，这样方程就减少 到；k ( k + 1 ) 个，但是我们只有k 个未知数，理论上来说，不能找到一组 子( 7 1 ) ，矛( 见) ，矛( 亿) 满足所有的方程。 一9 一 第一二章h e a l j a n o w m o n o n 模型介绍 为了确定最优的矛n ) ，厅( 丁2 ) ，孑( 亿) ，我们对协方差矩阵g 。，七：进行主成 分分析( 此方法在下一节还会用到并给出更详细的解释) ，令 。慑! d 的每一行表示，个观察值，每列表示对应得远期利率期限，我们有 ，g ，。a ，2 g ：i i ； ； j 仍2 ：三d r d 3 c 是对称正定的协方差矩阵，每一个对称正定的矩阵均可以进行如下形式的主 成分分解： c = a l e l e + a 2 e 2 e 多+ + a k e e 乏( 2 2 7 ) 其中入1 a 2 a k 0 是矩阵c 的特征值，列向量e l ，e 2 ，e k 是对应的特 征向量。每一个a k e k e 乏( 南= 1 ，2 ，k ) 是c 的组成部分，对应的特征值k 表 示对给成分的解释能力，特别的a l e l e 是对c 解释力最强的成分。 另一方面，由式( 2 2 6 ) 得到： c = ( 三曼) c 子c 二：孑c 您，矛c 亿，) c 2 2 8 ， 一1 0 一 、li一、 k k k 1 2 ； j d d d 、liillll， k ka 伤；o 第二章h e a 出- j a j l w m o r t o n 模型介绍 结合式( 2 2 7 ) 和式( 2 2 8 ) 可知，最好的近似为： 子( 丁1 ) 、 _ ，、l 仃【仡，1斤 1 2 v 1 e 1 ，1 1 子k ) ，夕 特别的，为了更好的和历史数据拟合，可以引进多因子的m m 模型，尤其是 当入1 不是明显大于入2 时，必须要用多因子模型。每一个新引进的因子，即新引 进的 b r o w n 运动，都有自己的子，我们可以选择这些子等于、，压i e 2 ，瓜e 3 ，进一步和 历史数据相拟合。 由历史数据估计的波动率结构存在一个问题，那就是模型无法重现市场上 已有的衍生产品的报价，我们可以通过引入其他的变量解决这个问题。比如， 我们在使用h j m 模型，尤其是波动率复杂的高维的h j m 模型对衍生产品定价 是，通常只能使用蒙特卡洛模拟，在模拟中，可以引入和模拟路径无关的，在 时间方向上是分段常数的乘数或者加数来保证模型价格和市场报价的吻合。至 此，我们就完成了对h j m 模型中波动率结构的确定方法的讨论。 2 3 总结