（应用数学专业论文）时滞反应扩散方程的几个问题研究.pdf

摘要本文主要研究了高维格上时滞反应扩散方程组行波解的存在性、具有非局部效应的时滞反应扩散方程的行波解的存在性、时滞反应扩散方程在分数幂空间中的整体吸引子的存在性、时滞格动力系统整体吸引子的存在性以及概周期时滞反应扩散方程概周期解的存在性和全局吸引性等问题。报告共分三个部分：第一章先讨论了时滞反应扩散方程组在高维格上行波解的存在性，再对一类具有非局部效应的扩散时滞生物模型的行波解进行了研究，最后建立了一类时滞的具有非局部效应的双曲一抛物方程描述的离散生物模型，并部分讨论了其行波解的存在性第二章主要利用耗散动力系统的方法，研究了时滞反应扩散方程在分数幂空间中整体吸弓1 子的存在性，再讨沦了时滞反应扩散方程在有限区域上空间离散后的整体吸引子的存在性，最后讨论了时滞格动力系统的整体吸引子的存在性问题。第三章主要是利用斜积半流和单调动力系统的方法，研究了概周期时滞反应扩散方程的正概周期解的存在性及其全局吸引性问题。关键词时滞反应扩散方程，行波解，整体吸引子，概周期解，拟单调性，指数拟单调性，部分拟单调性，斜积半流，一致概周期性，严格下齐次性，单调动力系统，a b s tr a c tt h i sr e s e a r c hr e p o r ti sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c e so ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y si nh i g h d i m e n s i o n a ll a t t i c e s ，a n dt h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o no fd e l a y e dr e a c t i o nd i f f u s i o nw i t hn o n l o c a le l -f e c t s t h ee x i s t e n c e so fg l o b a la t t r a c t o ro fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hd e l a y si nf r a c t a lp o w e rs p a c ea n ds p a t i a l l yd i s c r e t i z e dr e a c t l o nd i f f l t s i o ns y s t e m sa t ep r o +v i d e d t h ee x i s t e n c em a dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ea h n o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o ra h n o s tp e r i o d i cr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sw i t hd e l a y sa r ea l s op r o v i d e d i nc h a p t e ri ，w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o nf o rr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sw i t hd e l a y si nh i g h - d i m e n s i o n a ll a t t i c e s ，t h e np r o v et h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o nf o rd i f f u s i v ea n dd e l a y e db i o l o g i c a lm o d e lw i t hn o n l o c a le f f e c t s f i n a l l y , as p a t i a ld i s c r e t i z e dh y p e r b o l i e - p a r a b o l i cb i o l o g i c a lm o d e lw i t hn o n l o c a le f f e c t sa n dt i m ed e l a y sa r ed e d u c e d ，a n dg i v es o m er e s u l t sa b o u tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o nf o rt h i sm o d e l c h a p t e ri id e a l sw i t ht h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rb yt h em e t h o do fd i s s i p a t i v ed y n a i l n i c a ls y s t e m w ef i r s td i s c u s st h ee x i s t e n c e so fg l o b a la t t r a c t o ro fr e a c t i o nd i f f u s i o pe q u m , i o n sw i t hd e l a y , si nt i a c t a lp o w e rs p a c e t h e ni n v e s t i g a t et h eg l o b a la t t ia c t o ro fs p a t i a l l yd i s c r e t i z e dr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sf i n a l l y ,s o m er e s u l t sa b o u tt h eg l o b a la t t r a c t o ro fd e l a y e dl a t t i c ed y n a m i c a ls y s t e m sa r ep r o v i d e db ys k e w p r o d u c ts e m i f l o wa n dm o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s ，t h ee x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o ra l m o s tp e r i o d i cr e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e m sw i t hd e l a y sa r ea l s op r o v i d e di nc h a p t e ri i ik e yw o r d sr e a c t i o pd i f f n s i o ne q u a t i o n sw i t hd e l a y s t r a v e l i n gw a v es o l u t i o ng i o b a la t t ia c t o r 、a h n o s tp e r k j d i cs o l u t i o n ( t u w s i i n o i l o t ( j n i c i t y e x p ( 1 1 l e l 】t i mq u a s im o n o t o n i c i t y p a r t i a lq u a s i n l o n o t o n i c i t y ，s k e w s e m i f l o w ，u n i f o r m l ya h n o s lp e r i ( j di c i t y ，s t r i c ts u b l i n e a r i t y ，m o n o t o n ed y n a m i c a ls y s t e m s i i第一章时滞反应扩散方程的行波解1 1 高维格上时滞反应扩散方程组的行波解格动力系统是无穷个定义在格上的微分或差分方程组成的系统，这些系统来自于图像处理，材料科学、神经病学和生理学等关于这方面的综述及近来的结论可参阅c h o w等【6 ) m a l l e t p a r e r 3 4 ，3 5 ，其中研究最多的格微分方程是一维空间离散f i s h e r 方程及n a g u m o 方程：o 朋兰等= d ( x 。一1 2 x 。+ z 。十1 ) 十厂( z 。) ，n z ，u l其中d 是一个正常数，是满足某些性质的l i p s c h i t z 连续函数邹幸福和吴建宏【6 6 】研究了时滞格微分方程一。兰竽= = d b ( ，】) ( t ) 一2 口( “，。) ( f ) + 口( t “+ 1 ) ( t ) + ，( t t 。( t ) ，州，。p r ) )( 11 1 )f其中n z ，d 0 ，t 0 是常数，f ：c ( 一r ，o 】，r ) 一冗满足拟单调条件( q m ) 或指数拟单调条件( q m + ) 他们利用单调迭代方法和上、下解技术建立了( 1 1 1 ) 波前解的存在性，并利用对称h o p f 分支理论来研究周期行波解的存在性和稳定性最近m a l l e t p a r e t 3 4 ，3 5 1 在很一般的动力系统框架下，研究了行波解集合的全局结构，并给出了其存在性、唯一性和单调性黄建华、路钢和邹幸福 2 6 ，黄建华等 2 5 利用上、下解技术和s c h a u d e r 不动点定理建立了( 1 1 1 ) 波前解的存在性，放宽了1 6 6 中对上解的限制，使得在构造上、下解时比以前容易些邹幸福 7 7 】利用迭代方法和上、下解技术建立研究了高维格上的空间离散反应扩散方程：( f ) 一a ( 。u ) 1 + ，( ( ) ，u 竹( t 一下) ) ，卵qcz “波前解的存在性，其中a 。2 h = 卜1 ：1 毗一2 t z q 当礼= l 时、1 u 。= u i + l 一2 u , + 卜1 ；当n = 2 时，a 2 u i ，= t t i + 1 ，- t - u 2 1 ，j + u i ，j + l + 札l ，一1 4 u ；当n = 3 时，3 u i ，k = u t + 1 ，j ，七十u t 一1 ， k + u i ，j + 1 ，k + u t j 一1 ，+ ，j ，k + l + u t ，j ，k 一1 6 u i ，j k j c a h n ，j m a l l e t p a r e r 和e ，v a nv l e c k 4 】利用l a p l a c e 变换等方法研究了二维格上一类格微分方程行波解的计算问题，马世旺等【3 3 】利用不动点定理研究t - - - 维格上的时滞格微分方程一羞札坩( t ) = 州讹+ d 她荆) + 9 ( u ( t ) ) 十9 ( p l ( t ) ) + 夕( u 幻+ ，( t ) ) 一4 9 ( u 协( t ) ) 】1当，( ( 。) 。) 满足拟单调条件( q m ) 时行波解的存在性，使得构造上、下解比f 7 7 1 要容易一些但 4 】没有研究二维格上，( ( u 。j ) t ) 满足指数拟单调条件( q m + ) 日寸波前解的存在性，而在实际中有较多系统的非线性项不满足( q m ) ，但满足指数拟单调条件( q m + ) ，例如二维格上的时滞l o g i s t i c 模型云“( t ) = d u i ，( j + 1 ) + 札，o 1 ) + u “+ 1 ) j + u “一1 ) ，j 一4 u ” 4 - r u 0 ，自2 0 为便于讨论，我们作如下假设：( a 1 )( ，1 ，2 ) 连续，f l ( o ，0 ) = ，( k ，k 2 ) = o ，f 2 ( 0 ，0 ) = f 2 ( k l ，2 ) = 0 ，且对于任意的( 乱，。) ( 0 ，k ，) ( 0 ，南2 ) ，都有( ，五) ( 0 ，o )( a 2 )存在两个常数l 1 0 ，l 2 0 使得对于e ( 【7 _ ，o ，r 2 ) 中满足0s 包( s ) ，皿。( s ) k ，8 【_ r ，o ，i = 1 ，2 的垂= ( 妒l ，妒1 ) 和皿= ( 2 ，咖2 ) ，都满足 五( t ，妒，t ) 一五( 幽z ，穆2 e ) | s 毛f i 中一 t定义算子h 1 ，日2 ：c ( r ，r 2 ) 一c ( r ，r ) 为口1 ( 移：矽) = ，l ( 也，吨) + 口l ( t ) + d 1 眵( s + c 女) + ( s c ) 一2 d i n e ( s ) ，日2 ( 西o ，) = ，2 ( a 、妒t ) + 卢2 劬( t ) 4 - d 2 f 妒( s + c ) + 妒( s c k ) 一2 d 2 n v , ( s ) ，其中3 t ，岛分别为( q m ) ，( q m + ) 、( p q m ) 或( p q m + ) 中的廖，岛：则( 1 i4 ) 可改写为誊p l 咖( t ) + 凰( 螂) ，6 )【警= 一愚妒( t ) 十日2 ( 西，妒) ”7再定义f l ，f 2 ：c ( r 2 ，r ) 一c ( n 2 ，r ) 为r ( ，妒) 转) = e 一4 e 4 ”h 1 ( ，妒) ( s ) d s ，f 2 ( ，妒) ( t ) = e 如。 e 口。日2 ( ，砂) ( s ) d s j o oj 一易证f 1 ，局：c ( r 2 ，r ) 一c ( r 2 ，尺) 处处有定义对于任意的妒( ) ，妒( t ) c ( r 2 ，尺) ，目，f 2满足g ( 函，妒) ( 。) = 卢1f l ( 妒，咖) ( 。) + h 1 ( 曲，妒) ( ) ，( 1 _ 1 7 )ie ( 曲、妒) ( t ) = 成f 2 ( p 砂) ( t ) + 凰( o ，妒) ( t ) ，3因此，如果f 1 ( 妒，妒) = 毋，毋( 咖，妒) = 砂，即( 毋，母) 是f = ( f 1 ，b ) 的一个不动点，则( 11 6 ) 有一个解，又若这个解满足边界条件( 1 1 5 ) 且是单调的，则得到了( 1 14 ) 的波前解令“( o ，m i 7 h 卢1 卢2 ) ) ，在c ( n ，r 2 ) 上赋予范数。= s u p t e r l 圣( t ) i e 州，并记耳( 月：，r 2 ) = 圣c ( r ，r 2 ) ：s u p t e r i 雪( ) l e 一川i 。) 容易验证玩( r ，r 2 ) 是一个b a n a c h 空间为讨论方便，假设( 1 1 4 ) 存在一个上解( 西，币) 和一个下解( ，妒) ，且满足条件( p 1 )( 0 ，0 ) ( 砂，业) ( 咖，妒) s ( k ，) ( p 2 )l i m t 。一。( ，妒) = ( 0 ，o ) ，l i m t 一。( 曲，妒) = ( k l ，k 2 ) ( p 3 )s u p 。! t 尘( s ) ( t ) ，s u p 。! t 业( s ) 砂 ) 1 1 2具有( q m ) 或( q m + ) 的系统( l 1 4 ) 波前解的存在性在这一节，我们讨论当非线性项( ，l ，先) 满足拟单调条件( q m ) 或指数拟单调条件( q m ) 时行波解的存在性本文所指的( q m ) 条件或( q m + ) 条件如下：( q m ) 存在两个非负数历0 ，恳0 ，使得对于x = g ( 卜- o ；r 2 ) 中满足( 0 ，0 ) ( - ( z ) ，矽- ( z ) ) ( s ) 茎( ( z ) ，砂( z ) ) ( s ) ( 1 ，2 ) ，s 【- - 7 - ，0 的( 咖( z ) ，妒( z ) ) 和( 妒1 ( x ) ，妒l ( z ) ) ，都有 ( 咖t ( z ) ，魄( z ) ) 一 ( 砂t ( z ) ，妒，。( 。) ) + 风f ( z ) ( o ) 一- ( z ) ( o ) 之2 n d l ( x ) ( o ) 一，( z ) ( o ) 】，2 ( t ( z ) ，矽t ( z ) ) 一 ( t t ( z ) ，妒t ( z ) ) + 屈 妒( z ) ( o ) 一妒，( 。) ( o ) 22 n d 2 矽( x ) ( o ) 一妒- ( z ) ( o ) j( q m + ) 存在两个非负数岛0 ，愚0 ，使得对于x = c ( i r ，o ；r 2 ) 中的满足：( i ) ( 0 ，0 ) ( 妒，( z ) ，犁，】( z ) ) s ( 曲( 。) 砂( z ) ) ( s ) 茎( 七，七2 ) ，s 【_ 7 _ ，o ：( i i ) e i 3 1 s 【p ( z ) ( s ) 一凸x ( j 1 ) ( s ) 】和c + 。8 ，( z ) ( s ) 一“，( z ) ( s ) 关于s 一r ，0 】不减的( 庐( r ) “，( r ) ) 十口( o ，( ，。) 、。，( ，) ) ，都有f l ( 也( z ) ，也( z ) ) 一 ( 咖t t ( 。) ，砂c ) ) + 卢，渺( 。) ( o ) 一曲- ( z ) ( o ) 2 n d l 【咖( z ) ( o ) 咖，( z ) ( o ) ，2 ( 也( z ) ，1 】 ，t ( z ) ) 一，2 ( 曲n ( 工) ，妒。( 。) ) + 历【妒( 。) ( o ) 一妒，( z ) ( o ) 2 n d 2 妒( x ) ( 0 ) 一妒t 扛) ( o )由于上下解的定义与非线性项的单调性密切相关，我们先给出上下解的定义：定义31如果连续函数( 石( z ) ，巧( t ) ) 及( 庐( t ) ，妒( t ) ) ：r r 2 几乎处处可微，且满足壬7 ( ) d 1 ， 西( t + c ) + 壬q c k ) 】一2 d ，几西o ) + ( 巩，也) ，【妒7 ( t ) 三d 2 二l 【妒( + c k ) + 妒( t c ) 】一2 d 2 n 妒( t ) + 止( 咖，识) ；4j 型( t ) 5d 1 等1 瞳( t + c k ) + 生( t o k ) 一2 d 1 哑o ) + f x ( 鱼t ，当) ，i 掣( t ) d 2 e j 业0 + c k ) + 生0 一c k ) 】一2 d 2 n c _ ( t ) + ，2 ( 虫，幺) 则称( 西( t ) ，币( t ) ) 是( 1 1 4 ) 的一个上解，( c a t ) ，生( t ) ) 是( 1 1 4 ) 的一个下解类似于 7 中的命题2 1 和命题2 2 ( j i ) 】容易验证下面的引理1 3 1 和1 3 2 成立：引理1 3 1 假设( a 1 ) 和( q m ) 成立，则有：( i ) 0s 凰( 妒，砂) ( t ) s f i ( h 1 2 ) + 3 i k i ，i = 1 ，2 ，v ( 函，妒) c l o ，n 1 ( 月，月2 ) ( i i ) 若( 妒，妒) c o , k i ( r ，评) 关于t 不减，则甄( 咖，妒) ( t ) 也关于t 不减，i = 1 ，2 ，t r ；( i i i ) 若( l ，妒1 ) ，( 砂2 ，砂2 ) c o ，g l ( r ，r 2 ) 满足曲2 ( 亡) 曲1 0 ) ，妒2 0 ) 世1 ( t ) v t _ ：r 贝i巩( 庐2 ，妒2 ) ( ) h i ( 毋1 ，妒1 ) 0 ) ，i = l ，2 ，v t r引理1 3 2假设( a 1 ) 和( q m ) 成立，则有( i ) 0 只( 毋，妒) ( t ) ( 七l ，惫2 ) + 岛，i = 1 ，2 ，v ( ，妒) c l o ，】( 冗，r 2 ) ( i i ) 若( 曲，砂) c o , k i ( r ，砰) 关于t 不减，则只( 妒，妒) ( t ) 关于t 不减，i = 1 ，2 ，t r ；( i i i ) 若( 西1 ，妒1 ) ，( 庐2 ，砂2 ) c o ，k i ( - r ，r 2 ) 满足2 ( t ) 茎1 ( t ) ，妒2 ( t ) 妒1 ( ) ，v t r 则只( 2 ，妒2 ) ( z ) e ( 毋l ，妒1 ) ( t ) ，i = 1 ：2 ，v t 兄定义集合兀匦蛳锄：= c 肿2 喁船揣芝嬲矗砸n ，易知r 1 ( 纠，眵，钢) 非空实际上，令p o ( ) = 8 u p 。s c 尘( s ) v o ( t ) = s u p s ! 堙( s ) ，则由( p 3 ) 可知，( 咖o ( t ) ，c o ( t ) ) r ( 睦，翊，【毋，妒 ) 引理1 3 3 假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则f ：b t , ( r ，r 2 ) 一b p ( r ，r 2 ) 关于i i p 是连续的证明先证日1 ：玩( r ，r 2 ) 一日。( r ，r 2 ) 是连续的任取b p ( r ，序) 中的圣= ( 1 ，妒1 ) ，=飞锄，妒2 ) 满足条件i 西一皿h = s u p t 只l 中( ) 一皿( t ) i e 一川“ o ，6 使得6 e n 当圣c t o ，州( r ，r 2 ) 且满足条件l 圣一霍i p = s u p t e r l 西( ) 一皿( ) k t , ic l 6 时，我们有j 风( 妒l ( ) ，妒1 ( t ) ) 一玩( 。( ) ，如( t ) ) k( l i e ”7 + 卢1 + 2 n d i + 2 d 1 e 坪) l 西( c ) 一m ( t ) i “k = l1 垂( t ) ( t ) i 。! n 5 ，这表明巩：昂( 兄，r 2 ) 一玩( r ：r 2 ) 是连续的接下来估计1 只( 曲l 、妒- ) ( t ) 一f l ( 西。，4 ，。) ( t ) | 由f 1 ( ，咖) ( t ) 的定义可知：f 1 ( l ：妒) 0 ) 一f j ( 。，妒2 ) ( t ) jse 一血。e 历5 ( 仉，砂。) ( s ) 一凰( 曲2 ，妒2 ) ( s ) i d sj 一11 h 1 ( 1 ，砂1 ) ( s ) 一日1 ( 2 ，妒2 ) ( s ) f 。e 一口t 厂矿t s + 川s i d s ( a ) 当t 0 时，可证f 1 ( ，妒) 0 ) 一r ( 咖。，妒z ) 0 ) 1 e 一一i茎 ( 击秭1 矿帅而1 l - 酬阮蚓l 。茎存慨( 咖：洲) 一凰( 乒。j 如) k6由于h f f 垂) ( t ) 一h 1 ( 中) ( ) 在b p ( r ，r 2 ) 中是连续的，从而f 1 ( 圣) ( t ) 一f 1 ( 雪) ( ) 关于。是连续的类似地可证局( 垂) ( t ) 一毋( 皿) ( t ) 关于 l 。是连续的引理1 3 4 假设( a 1 ) ，( a 2 ) 和( q m ) 成立，则f ( r ( 【鱼，翊，眵词) ) cr ( 【壁，剜阿，词) ，证明由于( 西( ) ，硒( t ) ) 是一个上解，则有声7 0 ) + p t 6 ( t ) 一h 。( $ 0 ) ，硒( ) ) 0 ( 1 1 8 )再由( 1 1 6 ) 可得f ：( 西，西) + _ 臼lf l ( 声，西) 一日1 ( 西，每) ( t ) = 0 ，( 1 1 9 )由( 11 8 ) 和( 1 1 9 ) 可得( f l ( 西，市) 一西) + 卢，( 蜀( 西，巧) 一西) 0 ( 1 1 1 0 )令w ( t ) = f 1 ( 西，巧) 一声，并记r ( t ) = w 心) + 岛叫( t ) 则由( 1 1 i 0 ) 可得r ( t ) s0 又因为“t ( ，) 在( 一。、o 。) 上是有界的，故有“，( t ) = 仁。e 一“( 一s ) r d s 茎0 ，即f ( $ ) s 击同理可证p 1 ( 尘) 2 堡最后利用引理1 32 一( i i ) 易知一1 ( 1 1 ( 睦望l 石，画 ) ) ( 生，旦 、 占，胡)引理1 3 5 若( a 1 ) ，( a 2 ) 和( q m ) 成立，则f ：r ( 睦，到，瓯调) 一r ( b 翊，瓯面】) 是紧的证明定义算子t i _ 几，n ；t ( 一o 。，一n ) ；i = 1 ，2t ( 扎，+ 。o ) ；o ( ，妒) ( t ) = 一国e 一4 2 。e 4 2 8 毛( ，妒) ( s ) d s + 凰( 西，砂) ( t )j 一= 一= 7 2 马( p ，“，) 0 ) + h 2 ( 曲、妙) ( t )s 一胰而( 0 ，0 ) + h 2 ( k l ，2 ) s 日2 ( 1 ，k 2 ) 一日2 ( o ，0 ) = 2 2逮表明最( 妒，币) ( t ) 是一致有界的同理可证目( 妒，妒) ( ) 也是一致有界的所以f ”( 咖，妒) ( )是等度连续豹。由f ( 妒，砂) ( ) 的连续性及集合r ( 尘，蜘，纠) 的有界性可知f ( 咖，妒) ( ) 在r ( 睦，到，【五词) 上是一致有界的由a s c o l i a r z e l a 引理可知，f “( ，妒) ( t ) 在r ( b 翊， ，纠)是紧的由于 f “( 移，妒烨) 铲是紧序列，并且有如下估计s u p 。尺i f ”( ，矽) ) 一f ( ，妒) ( t ) 1 e 一“= s u p t e ( - o 。, - n ) u ( 。) i f ”( 妒，妒) ( t ) 一f ( 币，妒) ) i e 一川“2 k e - w 1 07，n 一二0 一n吵砂砂丸丸识玑蹦尉联确，、l2| |0m理犁及叽o1 1f曩理弓由则从而f ( 曲，妒) ( ) 是紧算子定理1 3 1假设( a 1 ) ，( a 2 ) 和( q m ) 成立，如果系统( 1 1 4 ) 存在一对上解( 声，痧) 和下解( 尘，必满足条件( p 1 ) ，( e 2 ) 和( p 3 ) ，则( 1 1 4 ) 存在连接( 0 ，0 ) 和( ，) 的波前解证明集合r ( 睦，刿，匦词) 的有界性是显然的不难证明r ( 匦列，暇调) 是非空的、闭的、凸子集由引理1 33 可知，f ：c o ，吲( r ：r 2 ) 一q o ，k 1 ( r ，r 2 ) 关于范数| l 。是连续的由引理1 3 4 和引理1 3 5 可知，f 在r ( 生，蚴，协叫) 是紧的，且f ( r ( 匦叫瞄谰) ) cj 1 【匦蜘，氓纠) 由s c h a u d e r 不动点定理可知，f 存在一个不动点( p ( t ) 矽( t ) ) i 、( 叫 ，训) ，且是( 1 1 4 ) 的一个解接下来证明其满足边界条件由于0s 妒1 ( f ) = l i r a t 。一。( ) i n f t 兄( t ) ，0 妒l ( t ) = l i m 。一一。砂( t ) 冬i n f t e r 痧 ) ，s u p 冠尘( 亡) 妒2 = l i m 一+ ( ) 七l ，s u p 挺是生 ) 妒2 = l i m t 一十。妒( ) 墨七2 利用( p 2 ) 可得曲l = l i m 。一。毋( t ) = 0 ，砂1 = l i l t 一。妒0 ) = 0 ，西2 = 1 i m 一。西q ) = 七1 ，妒2 = l i m t o o ( t ) = 七2 由于不动点( ，妒) ( t ) i ( 睦，刿，叫) ，所以( ，砂) ( t ) 是单调的即( 1 1 4 ) 存在连接( 0 ，0 ) 和( 女1 ，七2 ) 的波前解附注1 1从定理13 1 的证明可知，我们只需要上、下解满足下面的渐近边界条件l i m 。声( f ) = 1 1 i r a 一。西( t ) = 2 ，l i m t 。一* 尘( ) = 0 ，l i m t 一一o 。业( t ) = 0 因此，( 西，硒) 不需要是单调的，且满足l i m “一0 。( 乒，审) ( ) = ( 0 ，o ) 这将给我们在寻找上、下解时带来一些方便，例如可以将上、下解的某个分量取成常数，则系统就退化成单个方程，我们可以充分利用数量方程的已有的结论。附注l ，2 ：当礼= 2 时，定理1 3 1 和【3 3 中的主要定理是一致的当条件( q m ) 不成立时，我们讨论( 4 ) 中的非线性项满足指数拟单调条件( q m + )的情况为此，假设( 1 1 4 ) 存在一对上解( 西，谚) ( t ) 和下解( 鱼，业) ( t ) ，满足( p 1 ) 一( p 2 ) 及下面条件( p 3 ) 集合r ( 胁叫，眵，叫) + 非空，其中r ( 尘，蚴， 妒，妒 ) 4( 7 ) ( 西，访) ( t ) 关于t r 不减( i i ) ( 口d ) ( ) s ( 痧、q ，) ( t ) ( opj ( f )( i i i ) e 伪陋( t ) 庐( t ) 】，e 3 2 l 谚( t ) 一妒( t ) ( ，妒) c ( r ，r 2 ) ；e f l l t 【( t ) 一鱼( ) 】及e 9 2 【妒o ) 一生( t ) 都关于t r 不减( i v ) e 口“ 曲0 + s ) 一( t ) 及e b a t 砂0 + s ) 一砂( t ) 对任意的8 0 都关于t r 不减8类似于引理l ，3 1 一引理1 3 5 ，可证下面的引理1 3 6 - 引理1 3 1 0 ：引理1 3 6假设( a 1 ) 及( q m 4 ) 成立，则：( i ) 引理3 1 一( i ) ，( i i ) 和引理3 2 一( i ) ，( i i ) 结论成立；( 2 ) 对于e b l t 。( t ) 一c i j ：( t ) 】及e 础【妒t ( f ) 一妒2 ( ) 】在t r 上是不减的( ，妒1 ) 和( 毋2 ，妒：) ，引理1 3 1 一( i i i ) 和引理1 3 2 一( i i i ) 结论成立引理1 3 7 若( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则f ：耳( r ，r 2 ) 一砟，r 2 ) 关于范数i l “是连续的引理1 3 8 若( a 1 ) ，( a 2 ) 及( q m 4 ) 成立，则r ( 咝，蜘，瓯调) + 是b ，( r ，r 2 ) 中的有界闭凸子集引理13 9 若( a 1 ) ，( a 2 ) 及( q m + ) 成立，则f ( r ( 硷刻，盼叫) + ) cr ( 匕蜘，慨纠) + 证明v ( o ，妒) ( t ) r ( 训喊词) + 由引理1 3 6 一( i ) 可知，f 2 ( 妒、掣) ( ) 关于t r 不减类似于引理1 3 4 可证鱼曼f 1 ( 妒，妒) 西，业f 2 ( 咖，妒) 妒类似【6 6 的命题4 1 ，我们得到e f l ，眵( t ) 一f l ( 咖，妒) ( ) ，e 肌 f 1 ( 毋，砂) 一尘( t ) 】，e f l 2 t ( t ) 一r ( 曲，妒) ( t ) 1 及e 9 2 t l 尼( ，砂) 一妒( t ) 】关于t 冗不减下面验证1 1 ( 叫，瓯调) 4 的条件( 嘲，任取( ，砂) r ( 嗡竺】，慨砂】) + ，t r ，s 0 ，刚有 f 1 ( 庐，妒) ( t + s ) 一f 1 ( 妒，妒) 0 ) 】e 历：e 呐sf 抖3e 即日l ( ，砂) ( 日) 枷一厂e 肿h 1 ( 妒，妒) ( 8 ) 踟：e 一口zs 2e 口，( + s ) 日，( 妒，妒) 嬉+ s ) d 一te 口。凰( ，妒) ( 目) d 目j 一0 。0 0= e , 3 ，。 日1 ( p ，妒) ( 口+ s ) 一h 1 ( p ，4 ，) ( p ) 】d d 由引理1 31 司得票l ( 最( ，妒) ( + s ) 一日( ，妒) ( t ) ) e 4 1 。】= e h t 【风( ，妒) ( + s ) 一研( ，妒) ( t ) o 这表明对每一个s 0 ，【只( 西，妒) ( f + 8 ) 一f 1 ( 曲，妒) ( t ) 】e 9 1 关于t r 是不减的类似地，( ，1 f ，) ( t + s ) 一f 2 ( 妒，中) ( t ) 】e p z 2 也是不减的故f ( 咖，妒) ( t ) ( f ( 匦必，m 叫) + 弓l 理1 3 1 0 若( a 1 ) ，( a 2 ) 及( q m ) 成立，则f ：r ( 瞳，到， 西，拥) + 一f ( b 剑，瓯调) + 是紧的由上面的引理1 3 8 一引理1 3 1 1 及定理1 3 1 ，我们即可得到：定理1 3 2假设( a 1 ) ，( a 2 ) 及( q m + ) 成立，如果存在上解( 西、妒) ( t ) 和下解( 望，竺) ( t )使得( p 1 ) ，( p 2 ) 和( p 3 7 ) 成立，那么( 114 ) 存在连接( 0 ，0 ) 和( b ， 2 ) 的波前解91 1 - 3具有( p q m ) 或( p q m + ) 的系统( 1 1 4 ) 行波解的存在性在这一节，我们讨论当( 1 1 4 ) 的非线性项满足“部分拟单调( p q m ) 条件或部分指数拟单调( p q m + ) 条件时行波解的存在性这里所指的( p q m ) 条件或( p q m + ) 条件是指( p q m ) 存在两个正数卢l 0 及岛 0 使得对于c ( 【_ r ，o 】，r 2 ) 中满足条件0 毋2 ( s ) s 曲1 ( s ) k l ，0 0 ，恳 0 使得对于a ( _ 7 - ，o lr 2 ) 中满足条件( 1 )( o - 0 ) ( z ( s ) ，妒2 ( s ) ) ( 咖l ( s ) 、妒】( s ) ) 墨( 膏l ：七2 ) s 【一丁，0 ；( 2 ) e 岛8 哆1 ( s ) 一西2 ( s ) 1 及r “( s ) 一( 一) 关于s ! r ，0 不减的函数( 痧1 ，巩) 和( 优，。，2 ) 满足l ( 妒t ，妒t ) 一，2 ( 币2 c ，妒t ) 十卢- 西- ( o ) 一2 ( o ) 22 n d t 眵t ( o ) 一咖2 ( o ) 】 ( 1 t ，妒t ) 一 ( 妒l t ，妒z t ) s0 ，【，2 ( 曲1 t ，妒- z ) 一，2 ( 2 t ，币2 t ) 十阮 砂1 ( o ) 一妒2 ( o ) 】2 n d 2 妒- ( o ) 一妒。( o ) 】为便于讨论，假设。( a 3 )厂2 ( 妒，妒) = 妒 ( ，妒) ，对于任意满足( 0 ，0 ) 茎( 咖，妒) 0 ，要么 ( 咖，妒) 0 这表明h l ( 西，妒) 2h 1 ( p ，纠类似可得h ，( 妒。西) h 】( ，妒) ，f 2 ( 曲，曲) s 毋( 驴曲) 凡( 西西) 由于( ( t ) ，妒( t ) ) 是一个上解，故曲7 ) + p 1 砂( t ) 一日1 ( 咖，生) 0 ) 0 ( 1 1 1 1 )x c - t - ( ( t ) ，业( t ) ) ，( 6 ) 蕴涵着耳( 西，生) 0 ) + p ，日( 咖，业) 0 ) 一日( 西，生) ( j ) = 0 ( 1 1 1 2 )故由( 1 j l ，1 1 ) 及( 1 1 1 2 ) 可得 f 1 ( 西：竺) ( t ) 一西( t ) 79 - 卢- 【f l ( 西，业) ) 一声( ) 】曼0 ( 1 1 1 3 )记w ( t ) = 只( 妒，砂) ( t ) 一r ( t ) = ( t ) 十岛( f ) ，则由( 1 1 1 1 ) 可知r ( t ) s0 类似引理134 可证 i 5 ( ) 茎f 1 ( 驴妒) ( t ) 茎西( t ) 对于任意的( 妒，妒) r ( 纠眦纠) ，重复上面的证明过程可知妒( t ) 茎f 2 ( 曲，矽) ( t ) 茎f 2 ( 西，妒) ( t ) s 最( ，妒) ( t ) 妒( t ) 再由引理1 42 一( 峨我们得到毋( 毋、妒) 关于t 兄是不减的引理1 。4 5 若( a i ) ，( a 2 ) 及( p q m ) 成立，则f ：r f f ! ，翊，睁，叫) 一r - ( 匦竺】， ，叫) 是紧的证明证明过程类似于引理1 3 ，5 ，在此略定理1 4 1 假设( a i ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) 及( p q m ) 成立，如果系统( 11 4 ) 存在一对上解( 咖，砂)和下解( 曲，妒) 满足条件( p 1 ) ，( p 2 7 ) 和( p 3 ) ，则( 1 1 4 ) 有连接( 0 ，0 ) 和( 尼l ，k 2 ) 的行波解，且该行波解的第二个分量关于t r 是不减的证明易证r ，( ，纠， ，训) 是有界的、闭的、非空的凸子集由引理1 4 3 一引理1 4 5可知，f ：e h 】( r ，r 2 ) 一g 【o 州( r ，r 2 ) 在邑( r ，r 2 ) 中关于范数l i p 是连续的紧算子，并且f ( r ，( 盼纠、纠) ) cf 1 ( 匝叫盼叫) 由s c h a u d c r 不动点定理可知，f 存往一个不动点( 西( t ) 矿( t ) ) f ，( 慨训陋训) ：即( 114 ) 有一个解由于( 曲+ ( t ) ，妒+ ( t ) ) r f f ! ，纠，纠) ，故妒+ ( t ) 关于t r 是不减的且0 曼( 鱼，业) ( ) ( + ( t ) ，砂q ) ) ( j 5 ，妒) 0 ) 冬( k 1 ，2 ) ，故条件( a 2 ) 表明l i m t 一一o 。( 咖+ ，妒+ ) ( ) =1 2( 0 ，o ) 由于砂4 ( ) 在t r 上是不减且有界的那么极限l i m 一+ o 。移+ ( t ) 存在利用洛必达法则，我们有。1 i + m 。) + ( t ) 2 。卫f 2 ( + ( ) ，妒+ ( t ) )：l i m ：壁堕! 竺：星墨篓二盟! 塑! ：l i m 些! 生：；竺：21 堕：1 j m 鱼! 尘：! 丝：2 生2 鱼竺：( ! ! ；三! 旦! 竺：! ! 塑2 竺：f ! 二垒! 二! 竺：( 1 21= 。 掣w = h l i m 。群掣+ l i r a 。妒) ，且i j。当，2 ( + ，t j + ) o ) = 0 由，2 ( 矿一) = 秽+ ( f ) 山( o + ，驴+ ) 可得h ( o + l ”) ( t ) = 觜故有。里郴+ 删牡。里蟛斧_ 0条件( a 3 ) 保证西当t 一+ o o 时极限存在利用【6 6 】中的命题21 及( p 4 ) 可知 ( 咖+ ，杪)满足。l i + r a 。毋+ ( f ) = k l ，。卫妒+ ( ) = k a 即该不动点就是( 1 1 4 ) 的一个行波解，且其第二个分景是不减的，附注1 4 我们不能得到行波解的第一个分量妒的单调性，这是因为 ( 咖，妒) 不满足条件( q m ) 但第二个分量妒却满足之而这是由于第二个方程的非线性项满足( q m ) 当条件( p q m ) 不成立时的情况，我f f 丁假设非线性项满足( p q m 。) 下面假设( 1 1 4 )存在一对上解( 咖，妒) ( t ) 和下解( 史，业) ( t ) 满足条件( p 1 ) 一( p 2 ) 及( 尸4 ) 集合r ，( 眵，叫，眵词) 非空，其中 ( 匦虹瓯词) 4( i ) 中关于t r 不减；( i i ) ( 尘，生) o ) ( 毋，妒) ( ) s ( 西，妒) 0 )( i 越) e m 晒( ) 一( ) ，e f 3 2 t 【审( t ) 一咖( ) ( ，妒) c ( n ，r 2 ) ；e f l l t 【( ) 一尘( t ) 】及e p 2 。陋0 ) 一尘0 ) 】都关于t r 不减；( i v ) e 伪2 眇( 亡+ s ) 一妒( t ) 对每个s 0 ，都关于t r 不减类似于引理1 4 1 一引理1 4 3 的证明，我们有下面的引理1 4 6 一引理1 4 8 成立1 3引理1 - 4 6 假设( a 1 ) 及( p q m + ) 成立，则：( 1 ) 引理1 4 1 一( i ) ，( i i ) 和引理1 4 2 一( i ) 结论成立；( 2 ) 对于e 庸。眵1 ( f ) 一庐2 ( t ) 】及毋眇，( t ) 一咖( t ) j 在t r 上是不减的( 妒，妒。)和( 2 ，妒2 ) ，引理1 4 1 一( i i i ) 和引理12 1 一( i i ) 结论成立引理1 4 7 假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则f ：吼( r ，r 2 ) 一b ，( r ，r 2 ) 关于范数川，连续引理1 4 8 若( a 1 ) ，( a 2 ) 及( p q m + ) 成立，则r ，( 【竺，到，瓯词) + 是b 。( 月，r 2 ) 中的有界凸闭子集引理1 4 9假设( a 1 ) ，( a 2 ) 及( p q m + ) 成立，则f ( r 1 ( 瞳，蜘， 孑，调) + ) cr ，( 睦，蜊，瓯面】) 证明对于( 庐，妒) f ，( 睦，翊，纠) + ，由引理1 4 2 一( i ) 可知，f 2 ( 妒，妒) ( t ) 关于t r 是不减的类似于引理1 4 4 及【6 6 中的命题4 1 的证明过程，我们可得到垒f 1 ( 妒，妒) s 事，业f 2 ( 庐，砂) 西及e 4 1 。洒( t ) 一f l ( 曲，妒) 0 ) 】，e 4 3