（工程力学专业论文）哈密顿体系理论在板弯曲问题中的应用研究.pdf

l 玛北i 刊k 人学2 0 0 3 硕+ 学位论文 摘要 摘要 本文主要讨论哈密顿体系理论在弹性力学中的具体应用。在平面弹性问题 中，山变量代换及变分原理，方程可导向哈密顿体系，从而通过分离变量法及 姥轭辛本征函数向量展歼法，以解析的方法来进行求解。而传统的弹性力学， 其求解方法是尽量消元以使未知量减少，方程形式简单，宁可让方程阶次提高， 故数学物理方法中最基本的分离变量法就难以实施，只能采用半逆法。 运用哈密顿体系理沦，本文从弹性力学中的典型问题一板问题出发，进行 了更深入的研究和推导，并应用于各种边界条件的薄板静力问题分析，在理沦 ：取得了较好的结果。同时，将其推广到了中厚板的研究中去，给出了对边筒 支时解析解的求解方法，并通过实例分析得到了验证，其结果有一定的1 ：程实 用价值。 关键词： 哈密顿体系，解析解，扳弯曲，分离变量法，本征函数向量 西北丁业人学2 0 0 3 硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h ea p p l i c a t i o no fh a m i l t o n i a ns y s t e m a t i ct h e o r y i np l a t eb e n d i n g p r o b l e m i ss t u d i e d t h e g o v e m i n ge q u a t i o n s o ft h e p r o b l e m a r ed e r i v e di n h a m i l t o n i a nf o r mb yu s i n gv a r i a b l es u b s t i t u t i o na n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e t h e nt h e m e t h o d so f s e p a r a t i o no f v a r i a b l e sa n dc o n j u g a t es y m p l e c t i ce i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o n a r ed e v e l o p e dt os o l v et h ee q u a t i o n so fp l a t eb e n d i n gp r o b l e m t h er e s u l tc a nb e d e r i v e db ya n a l y t i c a lm e t h o d w h i l ei nt r a d i t i o n a le l a s t i c i t ym e c h a n i c s ，w em a k eo u r b e s tt oe l i m i n a t et h eu n k n o w nv a r i a b l e sa n dc a l lg e tt h es i m p l e s te q u a t i o ni nab r i e f f o r m a tt h es a m et i m e ，t h er a n ko fe q u a t i o ni si n c r e a s e d ，s ow ec a n n o ts o l v et h e e q u a t i o nb y d i r e c tm e t h o da n dh a v et or e s o r tt os e m i c o n v e r s em e t h o d t h ed e t a i l e dr e s e a r c ha n dd e r i v a t i o nf o rt h i n p l a t eb e n d i n ga r ec a r r i e do u tb y m e a n so fh a m i l t o n i a ns y s t e m a t i ct h e o r yi nt h i sp a p e r t h er e s u l t sa r ee f f e c t i v ea n d a c c u r a t e e x t e n d i n g t h i np l a t eb e n d i n gp r o b l e m st ot h i c kp l a t eb e n d i n g p r o b l e m s ，w e g e tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rt h i c kp l a t ew i t ht w oo p p o s i t ee d g e ss i m p l ys u p p o r t e d s e v e r a lc o m p u t a t i o n a le x a m p l e si nt h ep a p e ra r eo fp r a c t i c a lv a l u e st oe n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ： h a m i l t o n i a ns y s t e m ，a n a l y s i sm e t h o d ，p l a t eb e n d i n g ，m e t h o do fs e p a r a t i o no f v a r i a b l e s ，e i g e n f u n c t i o n v e c t o r 曲北【_ = 业人学2 0 0 3 硕七学位论文 绪论 绪论 1 哈密顿体系的历史、现状与发展前景 哈密顿体系的理论，最早是出现在经典的分析动力学中，如人们所熟知的 哈密顿原理、哈密顿正则方程等，由于只涉及到系统的状态函数，因此它不但 能用于离散系统，也能用于连续系统和混合系统。随着近代科学理论的发展， 尤其是现代控制理论的发展，哈密顿体系不仅成为最优控制理论的根本，而且 由于它能本质地反映许多物理规律，因此正逐渐地得到人们的进一步重视。 哈密顿系统首先是由哈密顿在1 9 世纪2 0 年代描述几何光学时发现的，不 久就被推，1 到了力学领域，成为数学上与牛顿力学和拉格朗同力学等价的又一 种力学的描述形式。如何从哈密顿系统出发来构造计算方法呢? 以前的数学家 们从未想到将哈密顿系统作为一个特殊的系统来构造计算方法。哈密顿力学虽 然可以在理论物理和理论力学的教科书中找到，但大多写得深奥难懂。7 0 年代 术，前苏联著名数学家阿诺尔德( v i a r n o l d ) 的经典力学的数学方法英 徉本以现代数学的观点，从辛几何角度来叙述哈密j 顷系统。在辛几何的框架下， 哈密顿系统的理论脉络清晰而流畅，哈密顿系统的最主要特点表现为相流是相 空问上的辛变换群。冯康院士以他特有的数学直觉，抓住了设计哈密顿系统的 数学基础，构成了哈密顿系统的数值方法的基础，只有辛型数值方法一辛儿何 算法， 是哈密顿系统的合适的数值方法。传统的二l e 辛算法都不可避免地带自 人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而辛算法却有保持体系结构的优点，在空 问结构、对称性和守恒性方面优于传统算法，特别在稳定性和长期跟踪能力上 具有独特的优越性。 近年来，国内外已出现了大量的有关哈密顿理沦研究的文献。在我图，冯 康院士领导的研究小组，列哈密顿系统的辛几何算法进行了系统研究，提出 了基于辛几何的哈密顿算法及其完整的理论框架；唐立民教授 。1 提出的弹性 力学的混合方程也是哈密顿征则方程，并指出，即使是别弹性力学静力问题， 也应有它的哈密顿i 卜则方程，这使得哈密顿系统在弹性力学领域得到了迅速发 展：i i t i q ，) 勰院川。9 j 【l | j 从结构力学与最优控制理论相互模拟入手，将喻密坝体 塑! ! ! ：些点堂：垫堕：堡主堂垡堡塞堂堡 系引入到弹性力学中，导出一套横向哈密顿算子矩阵的本征函数向量展开解 法。 2 哈密顿体系与结构力学的联系及其应用 将结构力学与哈密顿体系相联系，源于钟先生最近几年的研究成果一结构 力学与最优控制之间的模拟理论i 。控制理论与力学在早期本是密切相关的， 但后来却依照各自的理论体系而发展。结构力学沿有限元方法发展，而控制理 论则沿状态空州法、动态规则、最大值原理等而发展出一套以最优控制为代表 的现代控制理论，双方的距离看上去似乎变远了。但是当我们从移动群之下不 变的体系来进行探讨，从子结构链理论着手，就可导出势能表示下的黎卡提方 程，正则变换阵以及s y m p l e c t i c ( 即辛，由希腊字转化而来，意为相互关联) 体系，而l q ( 线性二次型) 控制中的黎卡提方程同样也可以用变分原理来迭 代求解。这就引导我们去更深地探求，寻找两者之间的模拟关系，进而建立能 量原理的互通特性研究结果表明，结构力学与最优控制的基础都是变分原理 和偏微分方程的理论。在理论体系上它们本来就是密切联系的。从代数的角 度看，混合能、势能、辛矩阵表示等，都是同一事物的不同反映而最终都归 心于i 含密顿力学体系之中。这两个领域的工作，从过去的应用一k 的结合到现在 的理论卜的结合，显然可以使双方取长补短互为利用，为双方各自发展带来 新的推动。 利用结构力学与最优控制相模拟理论的理论，可以将弹性力学势能变分原 理导向部分一般变分原理，将哈密顿体系的理论引入到弹性力学与椭圆型偏微 分疗程中可以导出一套横向哈密顿算子矩阵的本征函数向量展开解法。将问 题导入哈密顿体系的主要方法是本征函数的向量展开法。通过最小势能原理， 选用状态变量及对偶变量，导向一般变分原理，利用结构力学与最优控制相模 拟理论的理论导向哈密顿体系建立全状态本征函数向量的共轭辛j f 交关系， ；j 按本征函数展丌的方法求解偏微分方程。这一思想是弹性力学应用哈密顿体 系理论及数值方法的体现，由此而导出的分离变量法是对s t u r m l i o u v i l e 问题 及分离变量法的拓广，从而建立基于哈密顿体系的纯解析法或半解析法。 把动态体系的哈密顿系统引入到静力学中，建立静力学中的哈密顿体系是 1 种方法论上的突破，它跳出了传统的欧几早得空间的束缚。其新意柬自于最 阳北l ：业大学2 0 0 3 硕士学位论文绪论 优控制理论的成果。通过计算结构力学与最优控制相互模拟理论的建立，不仅 计算结构力学中的理论和方法可以给最优控制理论提供新的手段；反过来，最 优控制理论中的状态空间法和哈密顿体系同样对计算结构力学也带来极大的启 发。把哈密顿体系引入到弹性力学中，建立与原控制方程相对应的哈密顿方程， 对全状态向量进行分离变量，建立辛f 交归关系，由此提出一种求解力学问 题的新的解析法和半解析法。它能克服以往的解析法和半解析法的许多不足之 处，并获得较好的结果。 从拉格朗日体系向哈密顿体系的过渡其意义在于从传统的欧几里得型的 几何形态进入到辛几何的形态之中，突破了传统观念，从而使对偶混合变量方 法进入到力学的广大领域。 3 弹性力学中哈密顿体系研究的起源与现状 力学问题中常见到基本方程建立后，其求解却非常困难。以弹性力学 1 1 - 2 6 1 柬晓，其基本方程体系早在1 9 世纪就已臻完善，然而其求解却费了一个多世 纪，还远远不能晚是已臻完善了。求解弹性力学的经典方法一半逆法是圣维南 往解决弹陛柱体的扭转与弯曲时提出的。采用半逆法的原因是弹性力学方程组 太复杂。传统的微分方程对一个未知函数予以求解。历来的解析法都是在一类 变量的范围之内进行的，或者是应力函数法( 力法) ，或者是位移法( 只有扁 壳理论用了混合法) ，其求解总是用各种方法对未知函数予以消元，得到一个 高阶偏微分方程再对一个求知函数来求解。然而，半逆法即某种凑合法它依 赖于具体问题而缺乏一般性。半逆法往往只能找到某些解而不能找到其全部。 使人感到难于措手之处是，这些半逆法的假定不知如何凑合出来，用到别处又 怎样假定? 事实上消元法不是必须的采用对偶理论及状态辛空间就是其回 答。从数学体系的角度看，一类变量的求解属拉格朗闩体系的方法，因此必然 导致高阶偏微分方程，以至于偏微分方程的有效解法即分离变量法及本征函 数展丌等无法实施。 文献”。1 中弹性力学求解新体系根据结构力学与最优控制模拟理论，采用 状态空间法一律将控制方程化归为一维，宁可使方程与未知变量增多。在哈 鬻顿体系下的分离变量法中，一般仅考虑齐次边界条件情况所得结果一般与 经典漕性力学书籍相同。但若放弃齐次边界条件的约束，则可能得到新解m 】。 1 些! ! ! = 些盔堂：! ! 型：堡主兰焦堡墨堕鎏 这是对哈密顿体系下分离变量法的一个发展，显示了哈密顿体系在寻求弹性力 学解析解方面的优越性。哈密顿体系适用于多种材料复合的矩形或扇形域问题 2 8 1 ，用混合变量易于处理位移连续的边界条件，同时求解出位移与应力。 钊，万勰、姚伟岸等人【2 9 3 4 1 利用平面弹性问题与矩形薄板问题的相似性，得 到薄板问题的哈密顿体系及解析解法。 4 本论文的主要工作 绝大多数板问题的基本方程已经在提出适当的假设后得到，但是由于方程 的复杂性，即求知量数目较多或阶次较高，其求解长期以来仍然是一个“瓶颈”。 无论是薄板还是中厚板，其求解往往建立在简支边界条件时的级数解基础上， 如张福范于1 9 8 0 年提出用叠加法得到扳在其他边界时的解法，又如不少学者 3 6 , 3 7 】用功的互等定理来求解。但这些解法缺乏一般性，使读者无所适从。 本论文将这套方法论应用于板理论中，对矩形薄板、中厚板建立哈密顿体 系，求出各种边界条件下内力的解析解，不局限于常规的对边简支条件。常规 步骤是由基本方程导向哈密顿体系，并通过分离变量法导出横向的本征问题， 得到本征方程组。对特殊本征值的本征函数向量及其约当型本征函数向量的分 析求解，可得出许多有意义的解。对具体问题，寻求适合边界条件的特解，然 后叠加通解与特解，就可到出内力与位移。 5 研究内容 1 首先介绍哈密顿体系中与拉格朗日体系对应的概念，如辛空间、共轭辛 正交关系、展开定理、本征值多重根与约当型等。 2 在广泛阅读文献和调研的基础上，本文从弹性力学的典型问题一板的求 解出发，引入弯矩函数建立哈密顿体系。对哈密顿体系在薄板问题中的具体应 用进行了深入的研究和推导。 3 由文献，建立薄板哈密顿体系的另一种方法。针对不同边界条件，得 到解析法的具体解。 4 最后把哈密顿体系推广到中厚板中去。给出了对边简支时的解析解。 5 用m a t h m a t i c a 4 0 软件验证以上问题中的实例，证明本论文结果有一定 的实用价值。 曲北i ：业人学2 0 0 3 硕十学位论文 第1 章强备知识 1 1 辛空间 第1 章预备知识 一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的哈密顿体系，它们的数学基础 是辛空间。- g - er a j 与研究长度等度量性质的欧几里得空间不同，它是研究面积 的，或者说是研究做功的。本节以有限维空间为例，就辛空间的基本概念与性 质作一简介t 3 | l 4 0 l 。 对实数域尺上的2 n 维相空间，其中任意两个向量f ( 一，, x 2 n ) - ，= ( y l ，y ! ，y 2 ) 7 ，定义辛内积为 q ，j ， = ， ) = ( 一+ ，一x 。+ i y ) = 工7 五 ( 1 1 1 ) 其中 l = ( 三七 t 称为单，位辛矩阵，简记为j 。 易知q ，户满足下列4 个条件： ( 1 ) q ，户= 一勺，工 ( 1 1 3 a ) ( 2 ) = k = 0 ，则x = 0 ( 1 l 3 d ) 下面介绍辛空间中的辛矩阵和哈密顿矩阵。与欧几里得空间中的正交矩阵 对应，辛空问中存在辛矩阵。2 n x 2 n 阶辛矩阵s 应满足 s r j s = j ( 1 1 4 ) 易知辛矩眸有如f 性质： ( 1 ) 辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵； ( 2 1 ：等矩阵的转置矩阵还是辛矩阵； 阿一匕i ：业大学2 0 0 3 硕七学位论文第1 章预备知识 ( 3 ) 辛矩阵的行列式值等于l 或一l ： ( 4 ) 辛矩阵的乘积还是辛矩阵： 2 n 2 n 阶哈密顿矩阵h 对任意2 ”维向量x y 应满足 = ( 1 15 ) 不难证明此定义式等价于 t = j h ，或j h j = h 7( 11 6 1 。j 欧几里得空间中的本征问题类似，哈密顿矩阵本征问题可出现复本征值， 而 ! ：l 还可能是重本征值。但哈密顿矩阵的本征问题有以下特点。 ( 1 ) 如哈密顿矩阵日有m 重本征值j ，则一爿也一定是其m 重本征值； 如哈密顿矩阵h 存在零本征值，则其重数一定为偶数。 证明：设哈密顿矩阵日的本征多项式为 f ( j ) = 1 ，一h i( 1 1 7 ) 根据单位辛矩阵及哈密顿矩阵的定义式( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) ，有 八肋# 葛三= l p j 诉j - s h 卅j i h - , u i h 卢， m ， = 【一，一7 i = f f = ，( 一卢) 、。7 山r 二式对任意都成立，所以定理成立。 “这两个本征值称为哈密顿矩阵互为辛共轭的本征值。通常，将哈密顿 矩阵的非零本征值分成两组： 翟。l i , r e a - 枷或脚- 划“m , u i 锄 ( 1 1 9 ) ( 卢) “，= hj 在( 口) 组中可按h 的绝对值的大小来编排，越小越在6 d 。这种分类没有包 含零本征值，因为零本征值较特殊其互为辛共轭的本征值是其本身。 ( 2 ) 设日是哈密顿哈密顿矩阵，y f ，”，妒f 和，：1 1 ， 分别是本征值“，对应的基本本征向量及约当型本征向量，则当h + ，0 时 术征向量之问有如下辛f 交关系： = y j “。，：j ) = 0 ( l 5 = o ，l ，m t = 0 ，1 ，一，一)( 1 1 1 0 ) 这醴明非辛共轭的本征值对应的基本本征向量及其约当型本征值向量岫j 存 n ! 辛l i ：交性质( 辛i f 交指辛内积为零，否则称为辛共轭j 。 盟! ! l ：些叁。兰：! ! ! ! ：堡主堂堡笙塞笙! 垩塑鱼型型! 本节给出了有限维辛空削的基本概念和性质，当然许多概念和性质可叫赢 接推广到无穷维辛空间。最后，表1 1 给出欧几里得空间与辛空间的对比关系。 表1 1 欧几里得空间与辛空间的对比关系表 欧几里得空间辛空间 内积位，) 一 长度辛内积 一( 面积 犯位矩阵，单位辛矩阵j 正：交( x ，) = x 7j ，( = x 7 i v ) = o = o 辛正交 = 工7 毋= o ( 标准) 正交基( 标准) 共轭辛正交基 f 交矩阵q ，满足q q ( = q 7 t q = ) ， 辛矩阵s ，满足s 7 j s = s 对称变换( 口，彳局= ( 属膏口)哈密顿交换 = ( 且d 对称矩阵4 ，满足a 7 = a = ( r 4 1 )哈密顿矩阵，满足h 7 = j h j 实对称矩阵的本征值皆为实数如是哈密顿矩阵的本征值， 则一也是其本征值 实对称矩阵不同本征值的本征向量必哈密顿矩阵非正轭本征值的本征向量 i f j 交必辛正交 i j 实对称矩阵本征向量可组成一组标由哈密顿矩阵本征值向量可组成一组 准诈交基标准共轭辛正交基 1 2 勒让德变换 勒让德( l e g e n d r e ) 变换是实现拉格朗日体系向哈密顿体系转变的关键。 设函数- 厂含两个变量f = f ( x ，y ) ，则 d f = u d x + v d y( 1 2 1 ) 其中 “：兽，v _ o f( 1 2 12 2 一) “= ，v2( ) o x鲫 这毗x ，y 足独立变量。实际问题中，“，v 也可作为独立变量。如果“，y 作独屯变曼，! l 【jx ，y ，f 都可用“，y 表示。由式( 12 2 ) ，可得 x = x ( u ，y ) ，v = v ( u ，y ) ，尹( ”，y ) = f x ( u ，y ) ，y 】( 1 23 3 西北、 业大学2 0 0 3 硕士学位论文第1 章预备知识 于是 科 f 瓠酣0 x 西缸却西却 a fa fa x0 xa 抛缸3 uo uo u ( 1 2 4 ) 式( 1 2 4 ) 可改写成 v = 一号一乃= 一考，x = 亳( 一乃= 堡o u ( 1 z - 5 ) 仅当g ( m y ) ：l d x - - 7 ：娑，一，时，暑v 才可用g 对“及y 的偏微商表出，这就 是勒让德变换的基本法则。 上面的讨论仅是对自变量j 实施了勒让德变换。当然，也可对两个自变量x ， y 同时实施勒让德变换，即选择“，v 作为独立变量。类似她，曲式( 1 2 ，2 ) ，可 解得 x = x ( u ，v ) ，y = y ( u ，v ) ，季( “，v ) = f e x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) 】( 1 2 6 5 引入变换函数 喜( “，v ) = l + v y f ( u ，v )( 1 2 7 ) 则有关系譬= x ，譬= y ，即x ，y 可用季对“及v 的偏微商表出。 勒让德变换可以从两个变量直接推广到多个变量。 1 3 哈密顿原理与哈密顿正则方程 在经典力学中最小作用量原理归结为哈密顿原理通常用有限自由度胛维的 广义位移q ，( = - 1 ，2 ，行) 或表达为向量q 来描述。用0 表示其对时间的微 商，则动力系统的拉格朗日函数( 动能一势能) 为 l ( 毋口) 或l ( q ，q 2 ，吼：直，日：，乱)( 1 3 1 ) 哈密顿原理为：一个保守系统初始点( q o ，t o ) 运动到终结点( q 。，k ) ，其真实的 运动轨道应使作用量a 成为驻值 8 x一 些! ! ! 、业盔兰：! ! ! ! ：堡主堂垡丝壅 爿= f l ( g ，q ) d t ，鲋= o a 的变分应为零，作其分部积分有 一e c 茜一昙c 删r 由于却可任意变分，可导出拉格朗日方程： 第1 章预备知识 ( i 32 ) ( i 3 3 ) 鲁c 静= 酱 ，川 因此，哈密顿原理式( 1 3 2 ) 对应于拉格朗日方程( 1 3 4 ) ，它是二阶常微 分方程组。表达式只有位移这一类变量，是单类变量的变分原理a 按勒让德变换步骤，由p ：鲁把独立变量4 ( 广义速度) 变换为p ( 广义动 叫 量。即对偶变量) ，再从中解出口，使口是p ，口的函数，即 口= 口( ，口) ( 1 3 5 ) 还需要引入变抉函数，即哈密顿函数( 动能+ 势能) h ( q ，p ) = p r i i l ( 口，4 ( p ，g ) ) ( 1 3 6 ) 至此己达到勒让德变换的预期目的，即存在关系 口：娶，兽：一娶 ( 1 3 7 ) 驴虿面一百 1 叫 考虑到( 1 3 5 ) 和勒让德变换p ：等上式写为 叫 4 ：丝，p ：一丝 ( 1 3 8 ) 9 2 石p 一百 刨 式( 1 3 8 ) 就是哈密顿正则方程，其中采用了二类变量：广义位移q 与广义 动量p 。与哈密顿方程相对应的变分原理是 占c p 7 口一h ( q ，p ) d t = 0 ( 1 - 3 9 ) 其中q 与p 应当看成互不相关独立变分的变量a 单类变量的变分原理式 ( 1 3 | 2 ) 变换到二类变量的变分原理式( 1 3 9 ) 的过程具有典型性，它是通过勒 让德变换而实现的。 9 曲北1 业大学2 0 0 3 硕士学位论文第1 章预备知识 1 4 分离变量法 由文献 3 3 i ，哈密顿对偶方程组具有如下形式： i = 协+ h ( 1 41 ) 式中 v 心h = ( ：砂= ( 劫 n 。固 分离变量法要寻求( 1 4 1 ) 中齐次方程p = 胁的以下形式的解： v ( x ) = 毒( x ) p( 1 4 3 ) 其中：善0 ) 是x 的函数，与向量y 中任一分量无关：妒是2 n 维向量，它与 x 无关。 y = v ：y ：。) 7( 1 4 4 ) 是“横向”的“函数”。把式( 1 4 2 ) 代入式口= 协得 幽盟：鲤( j - 1 ，2 ，2 玎)( 1 _ 4 5 ) 忧4 ( x ) 、 一 7、7 上式左端与x 无关，而右端与下标i 无关，因此它们只能等于常量，记之为 且。于是有 h 矿= ( 1 4 6 ) 及 善( x ) = e g x( 1 4 7 ) 由于哈密顿矩阵日不是对称阵可能出现重本征值，因此有约当型的本征 向量。若v 0 是重本征值1 t 的基本本征向量，其各阶约当型本征向量 v ”，”，忙1 应分别由下列方程求得 h v 1 ) = v t l + i f ，t o ) h ￥( 2 = t 2 1 + y ( 1 ) h 妒= y ( 1 + 妒。一 o ( 1 4 8 ) 【撕j 匕l ：业人学2 0 0 3 硕十学位论文笫1 章预备知识 一) 眇h 妒旧) 。啦，：。”矿口，+ 工妒“，+ i 1 。：p 汨， l j ”, f t + x t l z - t l + + i x 矿 ( 1 4 1 0 ) 1 1 中己介绍了本征值“= o 是一个特殊情况。在弹性静力学中= 0 是常 见的，而且通常存在约当型，其对偶的本征向量与其约当型的解混在一起，这 在理论上带来了某种不便。其处理方法应当是将零本征值的本征解子空间先行 求出，并将哈密顿阵降维到不含有零本征值，使之适应式( 1 1 9 ) 的划分。 1 5 非齐次方程的求解 以上讲了齐次方程解，以下讨论非齐次方程( 1 4 1 ) 的求解。 前先，根据本征向量展丌向量，可令全状态向量为 ”( x ) = m x ) ”+ 4 ( x 】 ( 15 1 ) 其中( f - 1 ，2 ，2 n ) 为相应齐次方程的本征向量，其本征值为“。这早 麓r j i 扩驯n 川z ，2 一，n s ：， 咿j ，+ ，= ：)已：暑f “ 2 1 2 。，2 ”1 5 2 ( x ) = 瞰x ) + d ，( x ) = 【；中函数c 与d 是已知函数，其算式为 ( 1 5 3 ) c ，( x ) = 一p 二，j h ( x ) ，一( 工) = j j h ( x ) ( 1 54 ) 这是擞据共轭辛正交归一关系式( 1 5 2 ) 所确定的。 其次，将式( 1 5 1 ) 和式( 1 5 3 ) 代入式( 1 4 1 ) 并利用共轭辛f 交归 天系式( 1 5 2 ) ，有 【h 北 ：业人学2 0 0 3 硕士学位论文第1 章预备知识 d = , u a + t ，包= 一 l j h i + d ，( 1 j n ) ( 1 55 ) 于是原问题就被解耦成2 竹个一元一次非齐次