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区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 研究生：李晓冰 指导教师：陈图云 专业：应用数学 研究方向：数理逻辑及其对计算机的应用 摘要本文定义了规范区间和区间值模糊命题逻辑的一g 蕴涵舅子，研 究了区间值模糊命题逻辑广义拟重言式及其分类在此基础上给出局部赋 值的广义拟重言式定义，并在其中建立了升级算法晟后定义了万一真度 并研究了区间值模糊命题公式的真度值在【0 ，1 】中的分布获得了与王国 俊教授一维赋值格类似的结果。本文表明王国俊教授一维赋值格的理论需 要在蕴涵算子和重言式等方面做大量的工作，才能推广到二维赋值格上去 而这些工作有着显而易见的实际背景，说明这样做是十分必要和不可避免 的 关键词模糊逻辑：命题逻辑；广义拟重言式：升级算法：h - 一真度 引言 逻辑学是研究推理或证明有效性的科学人们在现实生活中常常自觉 或不自觉地使用着各种各样的逻辑亚里士多德从哲学的研究中分离出逻 辑学，莱布尼获把数学的方法 入逻辑领域，创立了数理逻辑它是形式 逻辑与数学相结合的产物，它主要是研究推理的科学，特别是数学中推理 的科学从厂义上理解，它是数学的一个分支，按照文献【1 】的划分，包括逻 辑演算、模犁论、公理集合论、递归论和证明论在很长一段时间内，逻辑 1 区间值模糊命题逻辑的广义拟重百式及# 真度 学中仅限于二值逻辑的经典命题的演算，导致了许多有趣的悖论，也就是 产生了在经典的二值逻辑中不允许的结论随着人t 智能与认知科学等研 究的不断深入，人们自然认汉到崩二值逻辑来模拟人的思维是远远不够的， 因此以经典逻辑为基础的非经典逻辑的产生是必然的，是符合事物发展的 客观规律的 对经典逻辑从语义进行扩展的非经典逻辑包括主要有三值逻辑、多值 逻辑、模糊逻辑、格值逻辑等美国控制论专家z a d e h 于1 9 6 5 年在信息 控制杂志上发表了一篇开创性论文模糊集合以后，又于1 9 7 3 年提出 了著名的c r l1 2 1 方法，模糊推理立即引起技术界的关注1 9 7 5 年，z a d e h 提 出模糊逻辑的概念 3 1 ，2 0 世纪7 0 年代以后各种模糊推理方法纷纷被提出 ( 见文献1 4 】) ，并被应用于工业控制与家电产品的制造中，取得了很大的成 功但值得提出的是，模糊推理虽然在应用上是成功的，但在理论基础上 并非无懈可击，并没有归入严密的逻辑系统之中以“模糊逻辑”或相近的 名称命名的文章甚至书籍固然不少，但均未能为逻辑推理奠定理论基础， 结果终于在1 9 9 3 年爆发了一场关于模糊逻辑的争论1 9 9 3 年7 月，加州大 学圣迭戈分校的c e l k e n 在美国第l l 届人工智能年会上作了题为“模糊逻 辑的似是而非的的成功”的报告，引起了轩然大波此后虽然有1 5 位专家 撰稿批评e l k e n 的观点，但e l k e n 并没有被完全说服他又以“关于模糊逻 辑的似是而非的争论”作答1 9 9 5 年，e a w a t k i n s 有撰文说“双方都错了” ( 参看文献【5 9 】) 由此可见模糊推理方法的理论基础问题的确是值得商 榷的 王国俊教授从另一个战场参加了这场关于模糊推理的世界大战他发 现了格上拓扑学特别是其中关于序结构的若干思想与上述各类模糊推理方 2 区间值模糊命题逻辑的广叉拟重言式及其真度 法有某些相同之处他在文献【1 0 中对这一问题进行了具体阐述，特别在 文献【l o 】的第二章中，于国俊教授系统的研究了三值逻辑系统，然后将其 般化为多值和无穷值系统于国俊教授在文献【1 0 】中将k l c c n c 算子进行 修正，提出了一种具有良好的性质的r 一蕴涵算子，从而建立了一维多值 逻辑系统彤，研究了其子代数及其广义重言式理论吴望名、张文修、杨 晓斌和吴洪博等分别研究了参数k l e e n e 系统、l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统 和g a d e l 逻辑系统中的广义重言式理论( 见文献【1 1 1 3 】) 他们为模糊推理 寻找理论基础，力求将模糊推理纳入逻辑的框架 在学习中，笔者发现王国俊教授只给出了一维赋值格上模糊逻辑的重 言式理论，并且其所定义的序关系是完全线性的本文就在王国俊教授理 论基础上，研究了二维的区间值模糊命题逻辑系统的广义拟重言式理论类 类互异以及真度理论其中第一章研究了区间值模糊命题逻辑的广义拟重 言式理论及其分类；第二章研究了区间值模糊命题逻辑系统中的一广义 拟重言式；第三章研究了c 中重育式类类互异与升级算法；第四章研究了 区间值模糊命题的万一真度 本文研究表明，王国俊教授提出的r 一蕴涵算子和一维赋值格上的 重言式理论尚不能一帆风顺地推广并应用到二维赋值格上，需要在蕴涵算 子和重言式定义等方面作大量的工作才能为二维模糊推理建立必要的理 论基础 1 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其分类 3 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 王国俊教授通过定义尺。一蕴涵算子，建立了一维多值逻辑系统万及 其广义重言式理论3 ( 1 4 1 在最大子代数1 q 上将返一理论推广- 虱j g i a 模糊命题逻辑系统能否不加子代数这一限制? 文【1 5 】在涉及二维蕴涵算 子时，将原蕴涵算子作了适当的修正，受此启迪，本文通过定义规范区间和二 维r o 蕴涵算子，讨论了区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式的分类，最终获 得了与王国俊教授一维多值逻辑系统中的广义重言式理论类似的结果 1 1 区间值模糊命题逻辑的蕴涵算子 记j = 【o ，1 】，；= t 万) = 【4 1 ，4 2 口1 ，口2 ，口l s4 2 ，j 孟= 口1 ，口2 】 k ，口：j ，露。，8 ：) ，贝q 有j 2 = j ；u j 击 定义11 1 垤，f ，；，万= a i ，a 2 】，f = 陋，b ：】，y g _ z 百= b # a l 一岛且4 2 - b 2 ： 万s 6 尊a l 岛且口zs b 2 ( a b 营a l 矗反且口2 如) _ 称万严格小于( 大 于) f ，记为万 f ) 4 l b 2 ) ： 称彳不严格小于b ，记为万b 云b 或万与6 互素( 不可比) ，或 a 1 一岛且口2 b 2 或口1 岛且口2 = b 2 定义11 2 v 万= a l ，口2 】j 2 ，定义规范化映射g ：，2 一露， g c 万，= g c t n - ，n z d = ：j ：三i z 4 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 称g ( p 。，口：】) 为区间p ，n ：】的规范区间 人们有时也用区间值陋1 ，2 】q 。2 n 2 ) 为模糊命题赋值，映射g 可使 区间值规范化，以便于作进一步的研究 定义1 1 3v 万，f ，；，万= k 1 ，口2 】，百= 【6 1 ，b 2 】，定义j ；上心蕴涵 算子为只。( 万，i ) = 虿一。i = g ( 【c 】，c ：】) ，其中 c= ( 1 1 ， 4 is 如 i ：l 2 i ) v 岛，4 ； b i 注1 1 1 ：9 3 ( 1 1 3 与文【1 4 】中的r o 一蕴涵算子不同，当a 】b 1 且 口：) 6 ：时，【c 。，c ：】磕，通过规范化映射g 能使蕴涵在j ；内封闭当 区闻左右端点重合时，区间值退化为点值，定义1 - 1 3 与一维只。一算子一致 显然j ；对区间值运算，v ，一g 封闭，仍称( ；，一，v ，) 为区间值模糊 命题逻辑系统，简记为，； 引理1 1 1 一蕴涵算子具有如下性质：婀，i ，矿，f + ，； ( i ) 万孑时，( 万，石) 苫心( 石。，f ) ( i i ) i s i 时，r 。( a - ，f ) j ( 万，i + ) o i l ) - ( i o ，0 1 ，两t 1 , 1 1 o r ) r 。( 1 1 , 1 1 ，i ) 一i ( v ) p ，6 ) 苫b ( v i ) ( 孑，刃一n 1 】 ( v j i ) ( 万，i ) - 1 当且仅当万s 百 ( v m ) 心( 瓦【1 ，1 1 ) = 1 , 1 1( i x ) r g ( 万，i ) = 心( 一i ，百) 5 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 定义11 4 设f ( s ) 为全体命题公式之集，映射v ：f ( s ) 一j ：，v a b f ( s ) ，满足v ( 一爿) ；一v ( 爿) ，v ( av b ) = v ( a ) vv ( b ) ，v ( a b ) = v ( a ) 一。v ( 口) ，称v 为，p ) 的一个，：赋值，记y 为v 的全体 1 2 ( 一，v ，一g ) 型同态 定义1 2 1 记，? = 【o ，o 】，【o ，扪，【o ，1 】，b ，羽，【吉，1 ，n 1 】) ，定义映射 驴：，：一砰，w e t 0 2 垆( ：) = 万砰= 【口1 ，a 2 】l a l ，口2 壬，； i - e 1 2 = 【口1 ，a 2 】i a l ，a 2 l 易证，? 为( 一，v ，一。) 型代数为了书写方便，依记定义1 2 1 中的分 块区域j ? = 陋。，口：1 口。c ，a ：t 翦 ，；= k ，口：】1n 。c ，口：= * ，；= 【口，n ：】| 口。 号，口： ) 引理1 2 1 舻关于“ 号 故 当a 1 b l 时，口l p ( 砷s q f ( i ) ；当口2 b z 时，2 p ( i ) s b 2 9 _ ) ；即当万 b t ，2s b ：时，则i = 【( 1 一。) v 岛，1 】且砚0 1 ) 2 ( q ) ， ( 口：) 觋( b 2 ) ，故甲( 孑一。b ) = 妒( 【( 1 一a 。) v 岛，1 】) = 【竹( ( 1 一a ，) v 岛) ， 1 】，妒( 习，。妒( 6 ) = g ( 妒( 万) 妒( 6 ) ) = 【( 1 一t p l ( a 。) ) v 慨( 抚) ，1 】 慨( ( 1 一n ，) v6 1 ) ，1 】， 若n 。s 岛，a 2 b z 时，则石= 1 ，( 1 一n 2 ) v b 2 】j lq o l ( a 1 ) 竹倾) ， 吼如：) 2 翰 ：) ，靓p ( a - 一。石) = 驴( 【 b 2 时，则石【( 1 一n 】) v 岛，0 一a 2 ) v 也】且( d ，) 苫 吼( 岛) ，讫( 4 ：) 砚( 岛) ，故妒( 万- 。百) 妒( g ( 万，f ) ) 兰妒( g 【( 1 一口。) v 厶l ，( 1 - a ：) v6 2 】) ，_ 6 v ( a - ) 一。妒( b ) = 【蛾( 口。) ，吼( 4 ：) 】一。【鸭瓴) ，吼如) 】 t g 【( 1 一吼( n ，) ) v 吼( 岛) ，( 1 一竹0 ：) ) v 竹( 6 2 ) 】- g ( 【吼( ( 1 一a ，) v6 1 ) ，竹 ( ( 1 - a ：) v 如) ) = g ( 妒【( 1 一a ，) v6 1 ) ，( 1 一a 2 ) v b 0 ) ( i ) 若( 1 一a 。) v 岛 ( 1 一a 2 ) v6 2 ，则( ( 1 一a ，) v 魄) 芑吼( ( 1 一a ：) v b 2 ) 敲妒( 万一。b ) 一中( g 【( 1 一a ，) vb a ，( 1 一a 2 ) v 6 2 】) = 9 ( 【( 1 一a 2 ) v 酞， 8 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式覆其真度 ( 1 口，) v 厶1 】) ，伊( 力6 驴( 西) = f 绍( ( 1 一巳) v b o ，吼( ( 1 一口。) v 自) 】= 妒( 【( 1 一：) vb ：，( 1 一a 。) v 岛】) ( i i ) 若( 1 一口1 ) vb is ( 1 - a 2 ) v b 2 ，则竹( ( 1 一口1 ) vb 1 ) s 吼( ( 1 一2 ) v b z ) 故妒( 万呻gb ) 正妒( g 【( 1 一a 。) vb i ，( 1 一a 2 ) v b 2 】) ；9 ( 【( 1 一a ，) v b i ， ( 1 一a 2 ) v b d ) ，妒( 砷驴( b ) = g ( d - 妒, o ，) ) v b i ，( 1 一翰 ：) ) v 也】) = 【珏( ( 1 一口，) v 岛) ，竹( ( 1 一口2 ) v ) 】= 妒( 【( 1 一a 。) v b l ，( 1 一a 2 ) v b 2 】) 由，知9 一。b ) - 妒( - ) 一。妒( 6 ) 由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的证明可知妒为j ；到，? 的( ，v ，一。) 型同态 1 3 区间值模糊命题逻辑系统中广义拟重言式及其分类 定义1 3 ，1 设爿e f ( s ) ，v 万= 1 ，口2 】j ：，若对每一个v e v ，恒 有v ( 4 ) 瓦( v ( a ) 垂云) ，则称彳为万一广义拟重言式( 万+ 一广义拟重 言式) 其全体记为万一q r ( q ) ( a - + 一q t ( 12 0 ) 1 以下把广义拟重言式简称为 拟重言式 注1 3 1v a e f ( s ) ，vv e v ，均有v ) 【o ，0 1 ( 1 0 , 1 ， o , 1 1 ) ，从 而v a ，a 是【o ，o 】( 【o ，期，【o ，1 】) 一拟重言式，与一维不定义0 一重言式一样， 本文不讨论这三种拟重言式 定理i 3 1 设彳e f ( s ) ，万= 【口1 ，口2 】，；u e u ，? 【o o 】 ，贝l j a 是j ；e e g l a - 一拟重言式当且仅当a 是j ；中的【 ， j 一拟重言式，即 万一g 丁( 露) = 【 ，吉】一q t ( 1 3 ) 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 证若a e 【号，剀一q t ( iz o ) ，显然a f i - _ q r q g ) 反之没爿= f ( p 。， ，p ，) 万一q r q g ) 则对每个v i ，v 口) 【o ，0 1 由驴是同态妒( v ( 爿) ) = 9 ( f ( v ( p ，) ，v ( p 。) ) ；，( 妒o ( n ) ) ，妒 ( 只) ) ) ，? 【0 ，o l ，则 v ) b ，胡所以4 【 ，剀一q t ( 1 2 0 ) ，故结论成立 定理13 2 设a f ) ，孑= 【口。，a 2 】，；u q r i o ，1 1 ，若a - 。2 中的万一拟重言式，则a 是皓，刳1 一拟重言式或【号，1 】一拟重言式 证若爿i q r q g ) ，则vy 矿，v ( a ) i ，而云 【o ，蜘【o ，0 】， i f ? 以c p ( v ( a ) ) 隹 【o ，o 】，【o ，刳) ，0 ) 若孔。y ，v o ) = 【o ，1 】，则妒( v ( 彳) ) 圣 1 0 , o l ，【o 古】 ，故v ( 4 ) 上，割，所以彳睦，l 】一瑶r ( j ；) ；( 2 ) vv v ，v ( a ) 一【o ，1 】，而驴( v ( 4 ) ) 仍是爿的一个赋值，所以妒p ) ) 硭 【0 ，0 】， o ， 】，【o ，1 】) ，从而v ( 爿) 【 ，i i ，所以a 【 ，1 】_ q r q 0 2 ) 综合( 1 ) ( 2 ) 结论成立 定理1 3 3 设爿f ) ，万，a 1 ，a 2 】，；，则a 是：中的万一拟重 言式当且仅当a 是j ：中的【1 ，1 】一拟重言式，即 万一q t ( 1 ；) = 【1 ，1 一目t ( 埒) ，万，； 证充分性显然成立现证必要性：令p 。- “c ，c 】l o cs n 作映射 妒：，= 【0 ，1 】v 。即cp 号【c ，c 】显然妒为同构，则r 。中广义重言式分类与 ，中的分类相同，由王国俊教授的结论知，当c 时，c 一重言式即为重 1 0 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 言式故当【c c j ，b ，朝时，c 一拟重言式为【1 ，1 一拟重言式；由f f , 女u a 是 ，；中万一拟重言式则口。，口： 圭，陋，n ：】a l , 日】 b l ，j 1 ，k ，口：】一拟 重言式即为【u 】一拟重吉式故必要性成立 定理1 3 4 对于，；系统而言，只有五种不同的拟重言式，即【 ， 】一拟 重言式【，目+ 一拟重言式，睦，1 - 拟重言式，【 ，1 1 + 一拟重言式和【1 ，1 】一拟 重言式， 例1 3 1 设p ，q 为原子公式，有 ( 1 ) pv ，p 为【号，剀一拟重言式； ( 2 ) ( ( 口一( 一pv p ”vq 为【 ，l 】+ 一重言式； ( 3 ) 叩v ( 一1 p ) 一( 1 p p ) ) 为b 1 】一拟重言式； ( 4 ) ( g - ( 1 pv “p _ + - p ) 呻( - p p ) ) ) ) v q 为 1 2 ，1 】+ 一拟重言 式： ( 5 ) p p 为【1 州一拟重言式 2 区间值模糊命题逻辑系统中的一广义拟重言式 第1 章中已经建立了二维的区间值模糊命题逻辑，并对其广义拟重言式 进行了分类，本章在此基础上，通过对公式进行f ：中的部分赋值，在广义拟 重言式之间建立了一种升级算法，获得越来越真的可达拟重言式，甚至得出 拟重言式 2 1 系统e 与部分赋值 u 区间值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 通过，；的有限子集e 来取代，；，这时命题变元集上的一切映射v 。 s c 确定的赋值之集是全体可能的，j 赋值之集y 的子集，当限制v 取自三时。可引入相对于的一广义拟重言式 定义2 1 ，1设cv ，5 - 【a l l n ：】，；，a g f ( s ) ，如果对一切 v e ，恒有v ( 4 ) 万，则称爿为一( 云一拟重言式) ；如果对一切v 恒有 v ( a 1 万，则a 称为三一( h - + 一拟重言式) 。 注2 1 1 当为由一切v o ：s e 生成的赋值所确定的集合时t 此处的部分赋值拟重言式也就成为系统e 中的i 拟重言式( 矿一拟重 言式) ，这里c 是碍的含有 彰个元的子代数。 2 2 e 的对称表示法 赋值集间的同构变换不改变广义拟重言式，下面通过对称形式的赋值 集来简化叙述和证明。 定义2 2 1 设n 为自然数，令 ，三= f 一【一n ，一，l 】，- n ，一，l + l l ， - n ，一1 】，。，i - n ，h 】；卜n + 1 ，一n + 1 】， 【一，l + 1 ，一，l + 2 】，一，卜n + 1 ，一1 】， - n + 1 ，1 】，卜h + 1 ，n 】；。【一2 ，一2 1 ， 【一2 , - 1 ，【一2 ，1 】，【一2 ，”】；【一1 ，- 1 ， - l l l ，一，【一l n ；o ，1 】，【1 ，以】； - ；【，l - 1 , n - 1 ，【n - 1 , n l ； n ，n 】= t ) 1 2 2 , + 。= 妒一卜n ，一n 】，卜”，一h + 1 】j ，【- n ，一1 1 ，【一n ，o l ，【一，l ，1 】，【一再，以1 ； 【一n + 1 ，一n + 1 1 ，卜n + 1 ，一n + 2 1 ，- ，卜n + 1 ，一1 1 ，卜n + 1 ，o 】，卜n + 1 ， 区间值模糊命题逻辑的广义拙重言式及其真度 1 】，一 【一h + 1 ，n 】；。；卜1 ，一1 】，【一1 ，o 】， - 1 ，1 】，- 一 - 1 ，n 1 ；【0 ，0 】， 0 ，1 】， 【o ，n 】；【1 ，1 】，一，【1 ，”】；- ；【n - 1 ，月一1 】，i n 一1 , n l ； n ，n 】= r ) 注2 - 2 1 ，：+ 。= ，三u 卜n ，o 】， - 1 ，o ，【o ，o 】， o ，1 ) ，【o ，n 】 定义2 2 2 - i 。2 ( ，磊+ 1 ) 中，v 万= 【口。，：】，f = 嗡，如】7 小2 2 2 。) ， 其中 g h 如，= 愍j ：葛c 岛2 ； q 4 。一茹，v 岛，；：复： ， c ：= 。一。j v 也，：i i 艺： 则，三( 吃。) 是( 一，v ，一。) 代数，称为系统三( ，三+ ，) 它们都是露的子代 数系统在无须区分，三和1 2 ，时，统记为1 。2 定义2 2 3 定义映射砚：。2 一j ；与讫：，三+ 。一露如下： ft ；【冗，h 】，口1 0 ，口2 0 ； 吼( 【口1 ，n 2 】) 鼻【一九，l 】，n l o ； l f = 【一玎，一h ，口1 o ，口2 o ； ( h ，n ：】) = - - n ，- h i ， 一n ，0 】 【一，t ，l 】， 【0 ，o 】， 【0 ，l 】， h h 】， a 1 o 口2 0 ； 4 l o ； 8 1 0 ，a 2 0 称鸭，吼为标准映射，在无需区分2 n 和2 n + 1 统记为妒 命题22 1 跌射妒是( ，v ，一。) 型同态 注22 3证法同前文中的引理1 2 2 的证法 区问值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 2 3 1 。2 。- q ，：。中的万一拟重言式 定理23 1 设a e f ( s ) ，则a 足关t - i z 2 , ，的【1 ，1 1 - 拟重言式当且仅 当a 是关于，：的【n 】一拟重言式即【1 ，1 】一g 丁( ，三) = i n ，h i - g 丁( ，；) ， n = 1 ，2 ，一 证设爿阻1 】一q 丁( ，2 2 。) ，则对任一，j 。的赋值 ，恒有，( 一) 【1 , 1 】， 特别对任一的赋值“，i - 喃- u ) 【1 ，1 】，而，；= - n ，- h i ， - n ，h 】，i n ，州) ， u ( a ) e i ；，又【一n ，一n 】【1 ，1 】，o ? d a u ) 一n ，- h i ，从而h ) i 【一h ，n 】 或【嚣，抖】，故“( 4 ) 协， 1 ，所以爿【”，罪】一q t g ；) 反之，a - ，( n ，只) ，设研，( 肛) 卜n ，- n ， - n ，矩】，m ，h 】 ( 1 s i s f ) 若4 【n ，n l 目丁( 哟，) = 妒( 厂d ( p 。) ，v ) ) ) ( ( p 。) ，( p ”i n ，n 】，从而妒v ( a ) i - n ，n l ，i n ，h i 设v 似) = i a 。， 钆】，则由定义2 ，2 3 。必有屯，0 故坑1 因此v 似) 【1 , 1 】，从而 爿b 1 】一日r ( ，三) 定理2 3 2 设爿f ) ，则a 是关于，三+ ，的阻1 】一拟重言式当且仅 当a 是关于g 的m ，h 】一拟重言式即阻1 】一日丁( ，三+ 。) 叫n ，n l q t ( q ) ， 忍= l ，2 ，一 证同定理2 3 1 的证明，从略 定理2 3 3 设彳f 岱) ， 一挥，一r l 】 i = 【a l , a 2 】 1 , 1 】，则a 是关 1 4 区问值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 于圪的【n ，a ：】- - 拟重言式当且仅当a 是关下i 。z 。的 1 , 1 l 一拟重言式即 【n 。，a ：】一g r ( j 三) = 【1 1 】一q r ( ，：。) ，n ；1 ，2 ， 证若彳i i , 1 一g r ( ，三) ，则对任一1 。2 的赋值，恒有y 口) i l l 】 所以y 似) 【a l , a 2 】，故4 【a i , 口：】一q t ( 1 2 , 。) 反之，设4 a t , a 2 】一目r ( j 三) ，令4 = f ( p l ，p ，) ，由【_ n ，一n 】 万= 【a i , a 2 】 0 拟而1 v ( a ) 阻1 】故彳 n 1 】一目z u 三) 注2 3 1 结合定理2 3 1 有【口。，a ：卜- q t ( 1 2 ) - 阻1 】一目r ( ，三) = m n 】一q r ( i g ) ，【一n ，l 】 h - = 【口，n 2 一q t ( 1 2 2 + 。) ) 命题3 1 公式a 是可选万一拟重言式当且仅当a 是，口2 卜拟重言 式，但不是【口1 + 1 ，口2 + 1 卜拟重言式，即一九 4 l ，口2 ，l ， ；l 2 ，时 一鸟r u ：2 。) = k 。，口：卜q r ( j 乞) 一【口，+ 1 ，n ：+ 1 卜q r ( 1 9 , 。) 一鼋r u j 2 。) = 【4 ，口：卜口r ( ，三。) 一 n ，+ 1 ，口：+ 1 卜q t ( 圪+ 。) 推论3 1 ( 1 ) 当一，l a 1a 2 1 时， 一g r ( 珐) = 中 ( 2 ) 当叫 一q t ( 圪+ ，) 存在时，对女= + 6 进行归纳证明 ( 1 ) 取降，b l = t o , b , ，c 1 0 ，魏】 一譬f ( j 三。) 存在 ( 2 ) 设 一q t ( 1 ；o + 。) 中，0 s k 一口+ 6 口，b q a ab q 乩时 v ( b ) = g 【( 一。) v a a ( 一) v 钆) v k ，】 或 ( 也) v 屯v 】 ( 一a 目) va v 】 从而v ) 一扣，b + 1 】或v 徊) 【a + 1 ，6 】或v ( 口) 【a + 1 ，6 + 1 】由 可知k 。，】叫口。，】( 等号不同时成立) 贝0 ( i ) 【口口，b b 】【d ，虬+ 1 】：( i i ) 【4 口，】【a + 1 ，以】；( i i i ) k b ，b s 】【a j + 1 ，虬+ 1 由于陋，】【a , b 1 知钆a 或b a b ，从而 a 月+ 1 a + 1 或以+ 1 b + 1 ，( i ) a 口芑a 4 a 或苫屯+ 1 苫b + 1 ( i i ) a 日苫a j + 1 苫a + 1 或b b 苫钆苫6 ；( i i i ) a b a j + 1 苫a + l 或 b s b a + 1 b + 1 ，由( 1 ) ( 2 ) 可得v ( b ) 【a , b + 1 】或，( 口) 【a + 1 ，b 】 或v ( b ) 【a + l b 】，故b e 【a , b + 1 】一窜r ( j 三+ 1 ) 或b e 【口+ 1 ，扫】一q t ( 1 埘2 + 1 ) 或丑 口+ 1 ，6 + 1 】一口r ( ，三+ 1 ) 但a + ( 6 + 1 ) = ( 口+ 1 ) + 6 1 8 v v v v 如如 n ，、【 篁 口6 k ，l 或 口6 h h 口6 i ，l 知可由 1 l + +口b l i 如蜘 ，【 或 【 + b 口 苫 沪 口 j_，_【 或 口 + l 6日 l 口 日 6 j-_，_【 故 区间值模糊命题逻辑的广叉拟重言式及其真度 罱( 十白) + 1 与口1 + b i 筘a 2 + 6 2 1 矛盾，故b e 【口+ 1 ，b + 1 】一q t ( 1 2 。+ 1 ) 即0 + 1 ) + p + 1 ) = 女+ 2 成立 下证可达 作映射“。：s 一圪+ 。使“。( 见) = 。，b 。1 ，i = q ，f ) ，u o ( q ) = 陋 + l b + 1 】，以“记由u 。生成的赋值，则u ( a ) z i ，卅，u ( q ) = 【a + 1 ，b + 1 1 这时“( 口) 一u ( q 一4 ) v “( g ) = ( 【，】一。k 。，b a ) va 。，】= s ( 【 ( - a ，) v a a ( 一) v 九】) v k 。，】；p 。，以】v k ，】= k 。，】；k + 1 ，扫+ 1 】，故口 一q t ( 吃+ 1 ) ，其中0 + 1 ) + p + 1 ) 一k + 2 ， 这就证明了可达，b l - 拟重言式当0 s n ，b h ，满足条件( 3 1 ) 时类类不 空 注32 显然在区域0 和1 内类类互异，因为取爿一，pvp ，p e s 易 证a e i o , o - q t ( i ：+ 。) 和爿【o ，1 】- q t ( 圪+ 。) ，分别取y ( p ) ；【o ，o 】和 【o ，1 】，则v ( 一) _ 【o ，0 】和【o ，1 1 ，从而爿k 【o ，o 】 一可r ( j 三+ 1 ) 和4 【0 ， 1 】 一q 丁( 吃+ 。) 注3 3 定理3 1 与文【1 0 】中类类豆异定理一样，它满足条件( 3 1 ) 时， 只在它的每个小区域内分别类类互异 注3 4 由定理3 1 给出的从a 到b 的算法称为升级算法这种算法 作用于可达陋，b 】一拟重言式a 就可通过口+ 1 与6 + 1 的升级途径得到可 达【a + 1 ，b + 1 】一拟重言式，重复使用升级算法至多经过0 - b ) 步可得到 越来越高的可达拟重言式，进而得到重言式 区间值模糊命题逻辑的广叉拟重言式及其真度 4 区间值模糊命题的真度 文献【9 ，1 6 】中就连续值赋值域的情形，考虑所有的赋值v 共同作h j 于 公式a 时的整体效果。对各个的赋值进行积分建立了公式的积分真度理论 如果积分真度越大，相应公式的可靠程度也越大文献 1 7 】利用势为2 的 均匀概率空间的无穷乘积研究了二值命题逻辑的真度理论本章将用这中 宏观处理的思想方法在区间值命题逻辑中引入公式的a 一真度的概念，并 e a b t 全体公式的真度值在【0 ，1 】中的分布 4 1f ( s ) 中公式的万一真度 区间值命题逻辑的赋值域露- 【口1 ，- a ：l l a ，s 口：，口，口：n ，k ，口。】与 如图4 1 1 所示平面区域中点( a ls a 2 ) 是一对应的 图4 ，1 1图4 1 2 i 殴p e f ( s ) ，假设所有对p 的赋值以均匀概率取遍，；中的每一万= 【n 。，口：】，记 p k p v y ，v 0 ) 万一【o ，o l ，则【p k 中v 对p 的赋值 取遍如图4 1 2 所示梯形( p ) 为梯形面积与露面积的比，则毛( ，) 表示 随机事件p ( p ) 刃发生的概率e v ( p ) 耐进一步有如下定义 陡乏眨 区间值模糊命题逻辑的广叉拟重言式及其真虞 定义4 1 1 设爿f ) ，a = f ( p 。，p ：，只) ，v v e v ，v ( 爿) ；厂( v ( n ) ，v ( p ：) ，v ( 只) ) ，记七似) = 厂幢( p 1 ) ，( p ：) ，白( 以) ) ，称为 a 的万一真度- 其中于的运算定义为与，相应的如下基本事件概率运算的 复合运算： f i ( 一a ) = 毛( p 。) ( a p 2 ) 一k ( p 。) 岛( p ：) 吒( p ，v p 2 ) t 岛( p 1 ) + 砖0 2 ) 一b ( 见) 吃( p 2 ) n ( p 。一p 2 ) = ( 啊。p z ) 注4 1 1 ( 爿) 为随机事件概率p v ( p ) 苫研，表示所有使v ( 彳) 万 的赋值v 在v 中所占的份额v a ，b f ( s ) ，若岛( 砷岛p ) ，则 v 似) z 研的概率大干p ( b ) 刃的概率考虑所有赋值对4 ，b 的整体效 果，a 的真度大于露的真度因此称岛似) 为a 的万一真度是恰当的 显然，对f ) 的任意公式爿都有0 巧( 爿) s 1 又逻辑等价的公式 有相等的真度 注4 12 当万； 1 , 1 1 时，毛( 爿) 与文献【1 0 】中一维的真度f ( 4 ) 是一致 的，所以此时称勺舢( 4 ) 为公式爿的真度，简记为f ( 爿) 注4 1 3 对定义4 1 1 作如下说明 ( 1 ) 设v ( p ) - 【c 1 ，c 2 】，则有v ( 1 p ) 兰【1 一c 2 ，1 一c l 】苫f 口1 ，口2 营1 一c 2 口1 且1 一c 1 苫口2 曹c 2 l - a l 且c l5 1 一口2 静v ( p ) = 【c l ，c 2 】s 【1 一n 2 ， 1 一n ，】闺此( n ) = 尸 v ( 叩) _ = 尸p ) s 1 - 吒，1 一口， ) p v 2 1 区问值模糊命题逻辑的广义拟重言式及其真度 ( p ) 2 扣，a ：】) = b ( p ) 上式中的两个概率相等是因为两个梯形面积相等 因此定义4 1 1 中( 一n ) = k o ，) 是合适的 ( 2 ) 考虑到p l ，p 2 的赋值是相互独立的，岛( p lap 2 ) = p v ( 见“p ：) 苫万) ；e v ( p 0 a v ( p 2 ) 之百 z p v ( p 。) 之瓦v ( p 2 ) i ) = p v ( p 。) 耐e v ( p ：) 苫耐；k ( n ) r a p ：) ( 3 ) ( n p 2 ) 一尸 v 慨v p 2 ) 曰= p ( v ( p o v v ( p ：) 研= p v ( a ) 苫万v ( p