（基础数学专业论文）三维流形上的把柄添加.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 d e h n 手术和h e e g a a r d 分解是构造三维流形的两种基本方法这两种方法又都可以 通过把柄添加的方式来实现关于把柄添加方面的一个重要问题是：在双曲流形的亏 格至少为2 的边界分之上有多少2 把柄添加使所得到的流形是非双曲流形? 设m 是一个 双曲流形，q 和p 是m 的边界分支f 上的两条本质的分离简单闭曲线，其中f 的亏格至少 为2 ，则已知的结果是：如果m ( o ) 和m ( 卢) 是非取曲流形，那么( a ，卢) 1 4 迸一步，m s c h a r l e m a n n 和吴英青( 1 9 9 3 ) 提出了一个猜想：如果m ( a ) 和m ( 卢) 是可约的或边界可约的， 那么( o ，卢) = 0 本文证明了如果m ( q ) 和m ( p ) 都是可约流形，那么( o ，卢) 2 特别地， 如果m ( n ) 和m ( 卢) 都是可约流形，并且f 的亏格为2 ，那么( n ，卢) = 0 ，这一结论与参考文 献3 5 1 中的结论，以及参考文献晦6 1 中的结论合起来，就得到：在一个双曲三维流形m 的一 个亏格为2 的边界分支f 上，最多只有1 条分离的简单闭曲线，使得沿其做2 _ 把柄添加能够产 生可约流形或边界可约流形这一结果表明当f 的亏格为2 时，上面提到的猜想是对的同 时，这一结论还给出了m s c h a r l e m a n n 关于r e f i l l i n g n 题所提猜想的一个部分证明 设尬= mui k “= 1 ，2 ) 是两个不可稳定化的h e e g a a r d 分解，且只ca - m 是乱m 的 两个紧致子曲面同胚映射，：f 1 一局给出了粘贴流形m = m 1uf 1 ：f ，m 2 本文给出 了m 的h e e g a a r d 分解的一种构造方法一曲面连通和，并举了一个例子来说明这种方法构造 的h e e g a a r d 分解和一般意义下的融合积得到的h e e g a a r d 分解是不同的同时，本文还给出 了由曲面连通和得到的h e e g a a r d 分解是可稳定化的一个充分条件 m ，s c h a r l e m a n n 和a ，t h o m p s o n ( 见5 3 1 ) 给出的t h i np o s i t i o n 的概念在h e e g a a r d 分解的 研究中起着重要的作用h e e g a a r d 分解的t h i np o s i t i o n 与流形中的双侧可压缩曲面有着密 切的关系本文利用k n e s e r - h a k e n 定理证明了三维流形中完全不交的双侧可压曲面构成的 非过剩集合含有的元素的个数是有上界的；进一步，本文证明了三维流形h e e g a a r d 分解 的t h i np o s i t i o n 长度的有限性定理 关键词：把柄添加；h e e g a a r d 分解；双侧可压缩曲面 大连理工大学博士学位论文 h a n d l ea d d i t i o n so i l & m a n i f o l d s a b s t r a c t d e h ns u r g e r ya n dh e e g a a r ds p l i t t i n ga r et w oi m p o r t a n tm e t h o d so fc o n s t r u c t i n g3 - m a n i f o l d s t h e s et w om e t h o d sc a l lb ev i e w e d 船h a n d l ea d d i t i o n s 缸a ni m p o r t a n tp r o b l e m o fh a n d l ea d d i t i o n s ，i ti si n t e r e s t i n gt oc o n s i d e rt h a th o wm a n y2 - h a n d l ea d d i t i o n so nag e n u s a tl e a s tt w ob o u n d a r yc o m p o n e n to fah y p e r b o s c3 - m a n i f o l dc a no b t a i nan o n - h y p e r b o l i c m a n i f o l d ，l e tmb eah y p e r b o f i cm a n i f o l d 。a n dfb eac o m p o n e n to fo mo fg e n u sa tl e a s t t w o s u p p o s eoa n d 口a r et w os e p a r a t i n gs l o p so nf m s c h a r l e m a n na n dy w up r o v e d t h a ti f l 彳( a ) a n d i 扩( 伪a r en o th y p e r b o l i c ，t h e nt h ei n t e r s e c t i o nn u m b e r ( o ，) 1 4 f u r t h e r m o r e ，t h e yg a v eac o n j e c t u r e ：i fm ( 口) a n dm ( 口) a r er e d u c i b l eo ro - r e d u c i b l e ，t h e n ( q ，p ) = 0 i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h a t i fb o t hm ( a ) a n dm ( 口) 8 x er e d u c i b l e ，t h e n ( q ，口) 2 s p e c i a l l y , i fb o t hj 汀( 口) a n dm 0 3 ) a r er e d u c i b l ea n dt h eg e n u so ff i s2 ，t h e n ( q ，p ) = 0 t h i sr e s u l tt o g e t h e rw i t ht h er e s u l ti n 【3 5 】a n dt h er e s u l ti n 【5 6 i n d i c a t e st h a t t h e r ei so u l yo n es e p a r a t i n gs l o pao na n yc o m p o n e n tfo fo mo fg e n u st w o s u c ht h a t m f 0 1i se i t h e rr e d u c i b l eo ro - r e d u c i b l e t h i sm e a n st h a tt h ea b o v ec o n j e c t u r ei st r u ew h e n t h eg e n u so ff i st w o 缸ac o r o l l a r yo ft h ea b o v er e s u l t s w ea l s og i v eap a r t i a lp r o o fo ft h e r e f i l l i n gc o n j e c t u r ew h i c hi sg i v e nb ym s c h a r l e m a n n s u p p o s e 尬= k u m ( i = 1 ，2 ) a r eh e e g a a r ds p l i t t i n g s ah o m e o m o r p h i s m ，：日_ 尼 p r o d u c e sa na t t a c h e dm a n i f o l dm = u 五奶m 2 ，w h e r e 只c 乱睨i nt h i sp a p e rw e d e f i n eas u r f a c es u n lo fh e e g a a r ds p f i t t i n g si n d u c e df r o mt h eh e e g a a r ds p l i t t i n g so f 尬a n d m 2 w ea l s og i v ea ne x a m p l es h o w i n gt h a tt h es u r f a c es u mo fh e e g a a r ds p 五t t i n g si sd i f f e r e n t f r o ma m a l g a m a t i o no fh e e g a a r ds p l i t t i n g s f u r t h e r m o r e ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h e n t h es u r f a c es u mo fh e e g a a r ds p l i t t i n g si ss t a b i l i z e d t h i np o s i t i o no fh e e g a a r ds p l i t t i n g sd e f i n e db yms c h a r l e m a n na n da t h o m p s o n p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fh e e g a a r ds p l i t t i n g s ，u s i n gk n e s e r h a k e n st h e o r e m ， w ep r o v et h a ta n yn o n - e x c e s s i v es e to fc o m p l e t e l yd n o i n tb i c o m p r e s s i b l es u r f a c e sc o n t a i n s o n l yf i n i t e l ye l e m e n t s f u r t h e r m o r e ，w ep r o v et h a tt h el e n g t ho fa n yu n s t a b i l i z e dh e e g a a r d s p l i t t i n g so fa3 - m a n i f o l dh a sa nu p p e rb o u n d k e yw o r d s ：h a n d l ea d d i t i o n ；h e e g a a r ds p l i t t i n g ；b i e o m p r e s s i b l es u r f a c e i i i 独创性说明 作者签名：耘日日墨日期：兰! ! ! z ：! 工 鼢做黔撕测讼，表或强 一一一一一 一一一一一 摊瓢鼽觯锄狲成含其澌刮愧陪铡耽蝌栅杯烊栅 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论又被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编学位论文。 鍪 一 一 一 ： ：1 名名 一 签签年 者师呵一 作导塑 大连理工大学博士学位论文 绪论 众所周知，拓扑学是数学的基础学科，其在数学领域中的作用是十分重要的同时，它 在物理学、经济学等其他学科也有着非常广泛的应用可以说，拓扑学已经成为数学及其 相关邻域的一门通用语言1 9 世纪以来，拓扑学不断发展，产生了“组合拓扑”、“代数拓 扑”、“微分拓扑”、“几何拓扑”等众多分支学科 k ，d o n a l d s o n 和w t h u r s t o n 的工作，使得对低维拓扑的研究迅速在基础数学领域占 据了重要地位，并引起广泛关注而三维流形是低维拓扑的一个重要分支：这是因为我们 人类生活的空间就是一个3 维的空间，所以人们对3 维空问有着更直观的印象三维流形的 中心问题是流形的分类问题近年来，关于三维流形的研究已取得了重大进展，这主要体 现在以下几方面：( 1 ) 几何化猜想的证明；( 2 ) 关于双瞌三维流形研究的重大突破；( 3 ) 关 于d e l l n 手术性质的全面了解；( 4 ) 两个重要纽结不变量j o n e s 多项式和h e e g a a r df l o e r 同调 的出现但三维流形的分类问题仍未解决如尚未被证明的v i r t u a lh a k e n 猜想是三维流形 的一个重要难题此外，三维流形中的纽结的分类问题仍是摆在拓扑学面前亟待解决的一 个课题三维流形中的组合方法将为三维流形的未来的研究提供基本思想和手段 0 1 三维流形中的组合方法 d e h n 手术和h e e g a a r d 分解是构造三维流形的两种基本方法 设m 是一个三维流形，且其含有一个环面边晃分支r 所谓的d e h nf i l l i n g 是指沿 着t 将一个实心环，粘到m 上，并且使得t 上的一条简单闭曲线r 在j 中界定一个圆盘，记 所得的流形为m ( r ) 所谓d e h n 手术，是指在一个纽结或链环的补上实施d e h nf i l l i n g w l i c k o r i s h ( 1 9 6 2 ) 证明了任意可定向闭流形都可以通过在3 维球面实施有限个d e h n 手术得到， w t h u r s t o n 于上世纪7 0 年代证明了在一个双曲流形上实施d e l t af i n i n g ，只有有限个可以 产生非双曲流形此外，w t h u r s t o n 还给出了判断一个三维流形是否是双曲流形的一个组 合条件：一个h a k e n 流形是双曲的，当且仅当这一流形是不可约的、边界不可约的、不含 有本质平环和不含有本质环面的从此，拉开了人们对d e l l i 手术研究的序幕人们通过对 可约d e l t af i l l i n g 、边界可约d e l t af i l l i n g 、平环d e l t af i l l i n g 和环面d e h nf i l l i n g 的几何相交数 的估计得出：在同一双曲流形上至多有1 0 个d e h nf i l l i n g 产生非双曲流形，在这一工作的完 成中，c g o r d o n 、j l u e c k e 和r l i t h e r l a n d 发展的标号图论( f l8 1 ，f 10 1 ) 这一组合工具发挥了 重要的作用 p h e e g a a r d ( 1 8 9 8 ，f 2 6 j ) j 正明了任意可剖分3 维闭流形都可以由两个亏格相同柄体沿着 边界相粘而得到，这一结构称为是三维流形的h e e g a a r d 分解，e m o i s e ( 1 9 5 2 文 3 9 1 ) 和r b i n g ( 1 9 5 9 ，文 2 】) 独立的证明了任意紧致三维流形都是可剖分的这说明了任意闭三维 流形都具有h e e g a a r d 结构h a k e n ( 1 9 6 8 ) 证明了任意紧致带边三维流形都可以由两个压缩 体沿着正边界相粘而得到，这被称为是带边三维流形的h e e g a a r d 分解w h a k e n ( 1 9 6 8 1 三维流形上的把柄添加 2 4 1 ) 证明了可约流形的h e e g a a r d 分解一定是可约的( h a k e n ；i 理1 a c a s s o n 和c g o r - d o n ( 1 9 8 7 ，9 1 ) 证明了一个弱可约的h e e g a a r d 分解或者是可约的，或者这个流形含有一 个闭的不可压缩曲面m s c h a r l e m a n n 和a t h o m p s o n ( 1 9 9 2 ，5 3 1 ) 给出的h e e g a a r d 分解 的t h i np o s i t i o n 的概念，在h e e g a a r d 分解的研究中起到了重要的作用j s i n g e r ( 1 9 3 3 ， 【5 2 】) 证明了同一三维流形的两个不同的h e e g a a r d 分解经过有限次稳定化后可以得到同一 个h e e g a a r d 分解最近，李涛( 3 6 】) 证明了广义w a l d h a u s e n 猜想；进一步，他还证明了比广 义w a l d h a u s e n 猜想更强的结论：一个非h a k e n 流形只含有有限个不可约的h e e g a a r d 分解 h e e g a m d 分解和d e h n 手术是构造三维流形的最基本的两种方法而这两种方法，都 可以看成是把柄添加把柄添加分为两种：所谓的1 一把柄添加是指在一个三维流形m 的 边界上沿着两个圆盘粘上一个3 维实心球；所谓的2 一把柄添加是指在一个三维流形m 的边 界上沿着一条简单闭曲线的正则邻域粘上一个3 维实心球柄体和压缩体既可以看成是 在3 维球或负边界上添加1 一把柄得到的，也可以看成是在正边界上添加2 - 把柄得到的因此， 对h e e g a a r d 分解的研究就可以转化为对把柄添加的研究而作为d e h nt i l h n g ，则可以视为 在流形的一个环面分支上做的2 一把柄添加邱瑞锋与王诗威教授( 4 4 】，【4 5 1 ) 给出的例子表 明：存在一个简单的三维流形m ，在其上可做无限多的把柄添加，使得到的流形含有任意 大亏格g ( 9 2 ) 的闭的不可压缩曲面( 见【4 4 3 和1 4 卸) 对于把柄添加，人们也同样关心类似于d e h nm l i n g 中的问题：即在一个双曲三维流 形m 上，有多少2 一把柄添加可以得到非双曲流形关于此问题方面的结论现在还比较少 m l a c k e n b y ( 3 4 ) 给出了在一个双曲流形上粘上一个柄体后仍是双曲流形的充分条件，m s c h a r l e m a n n 和吴英青( 5 6 1 ) 证明了：如果m 是双曲的三维流形，则其边界上只有有限条分 离的曲线，使沿其做把柄添加后得到的流形变为非双曲的进一步，如果沿着两条分离的闭 曲线。和p 做把柄添加后得到非双曲流形，那么( n ，p ) s1 4 m s c h a f l e m a n n 和吴英青的 结论是一个一般的估计，但对于具体的情况可能并不是最佳的估计本文将对可约的把柄 添加做细致的讨论 同一流形的不同的h e e g a a r d 结构的存在性问题一直是h e e g a a r d 分解研究中的一个 重要研究方向目前，人们已经知道的具有唯- - h e e g a a r d 结构的闭三维流形有：3 维球 面( 见f 5 7 1 ) 、透镜空间( 见3 1 ) 等a c m s s o n 和c g o r d o n ( 1 9 8 6 ，f 8 1 ) 给出了具有任意大亏格的 不可约的h e e g a a r d 分解的例子t k o b a y a s h i ( 1 9 8 7 ，3 3 1 ) 给出了具有任意大亏格的强不可 约的h e e g a a r d 分解的例子这些例子表明有些三维流形具有唯一的h e e g a a r d 结构，而有些 甚至可以具有无穷多的h e e g a a r d 结构在第5 章中，本文给出了由两个流形沿着一般紧致曲 面粘起来后得到的流形的h e e g a a r d 分解的一种构造方法一曲面连通和并且本文还举了一 个例子来说明这种构造方法和一般意义下的融合积得到的h e e g a a r d 分解是不同的，从而为 研究不同的h e e g a a r d 分解给出了一种新的途径同时，本文还讨论了h e e g a a r d 分解的曲面 连通和的稳定化问题 由m s c h a r l e m a n n ；和l a t h o m p s o n ( 贝, 5 3 ) 给出的t h i np o s i t i o n 的概念在h e e g a a r d 分解 2 大连理工大学博士学位论文 的研究中起着重要的作用在1 9 8 6 年a c a s s o n 和c g o r d o n 给出了一个具有任意大亏格 的不可约的h e e g a a r d 分解的流形的例子那么人们自然要问：t h i np o s i t i o n 的长度会不会 随着h e e g a a r d j 格的增长而增长呢? 本文将要证明一个三雏流形的任意一个不可稳定化 的h e e 9 8 8 r d 分解的t h i np o s i t i o n 的长度都是有界的， 0 2 课题发展及本文结论 0 2 12 一把柄添加 d e h n 手术及d e h nf i l l i n g 作为一种特殊的2 把柄添加，曾经引起了广大三维组合拓扑学 家的广泛兴趣w ，t h u r s t o n 于上世纪7 0 年代证明了在一个双曲流形上实施d e h nf i n i n g 只 有有限个可以产生非双曲流形更进一步的结果是通过环面上闭曲线的相交数来确定的 由t h u r s t o n 定理，一个h a k e n 流形是双曲流形，当且仅当它是不可约的、边界不可约的、 不含有本质平环和不含有本质环面的在双曲流形m 上沿着两条不同的曲线。和口做d e h n i i l i i n g ，所得到的流形可能为可约的、边界可约的、含有本质平环或含有本质环面的四种 情况之一分别用s 、d 、a 和t 来分别表示一个流形含有一个本质的球面、本质的圆盘、 本质的平环或本质的环而那么，对m ( o ) 和m ( 口) ，共有1 0 种情况，参见表1 ，在表1 中，针对 表中的十种情况，人们己经对( a ，p ) 做了很精确的估计 sd at s1023 d12 2 a55 t 8 表1 d e l l i l 手术可以看作是在一个亏格为l 的边界分支上做的把柄添加因此，人们自然要 问在亏格大于1 的边界分支上，有多少个把柄添加可以产生非双曲流形呢? 事实上有例子表明在双曲流形上可以有无穷多把柄添加得到非双曲流形( 见 5 6 1 ) 但 是m s c h a r l e m a m n 和吴英青还证明虽然有无穷多非双曲化的把柄添加，但它们都共面于有 限条基本的把柄添加他们的一个推论就是，只有有限条分离的把柄添加，使之产生非双曲 流形进一步，在 5 6 1 一文中，m s c h a r l e m a n n 和吴英青对于沿分离曲线傲把柄添加做了一 个统的估计，即：在一个双曲流形m 的一个亏格大于1 的边界分支f 上沿着两条分离的简 单闭曲线。和卢做把柄添加，若得到的流形m ( n ) 和m ( p ) 都是非双曲流形，则( q ，芦) 1 4 此外，如果m ) 是可约的，m ( 卢) 是边界可约的，则( o ，口) = 0 m s c h a r l e m a n n 和吴英青 的结果概括起来如表2 3 三维流形上的把柄添加 匝卫圈 s1 4o1 41 4 d1 41 41 4 a1 4 1 4 t1 4 表2 本文专注于可约把柄添加的研究：即在m 上沿着两条分离的曲线。和口做完把柄添加 后，所得到的流形m ( o ) 和m ( 卢) 都是可约流形时，o 和卢的几何相交数是多少的问题，也就是 在表2 中关于f s ，s 1 的估计 本文首先证明了： 定理2 5 设m 是一个双曲流形，f 是m 的一个亏格至少为2 的边界分支，n 、口为f 上两 条本质的分离简单闭曲线沿着q 和口分别做把柄添加，若得到的流形m ( a ) 与m ( 们都是可 约的，那么( n ，卢) 4 在上一个定理的基础上，经过仔细的研究和分析，本文给出了更精确的估计，得到如下 定理： 定理2 1 设m 是一个双曲流形，f 是m 的一个亏格至少为2 的边界分支，o 、序为f 上两 条本质的分离简单闭曲线沿着n 和p 分别做把柄添加，若得到的流形m ( o ) 与m ( j 3 ) 都是可 约的，那么( 8 ，p ) 2 在文f 5 6 1 中，m s c h a x l e m a j m 和吴英青还提出了一个猜想： 猜想1 设m 是一个双曲流形，f 是m 的一个亏格至少为2 的边界分支，o 、卢为f 上两 条本质的分离简单闭曲线沿着a 和卢分别做把柄添加，若得到的流形m ( d ) 与m ( j 3 ) 是可约 的，或是边界可约的，那么( o ，p ) = 0 在参考文献3 5 1 一文中，李雁南、邱瑞锋等人证明了在一个双曲流形的亏格为2 的边界 上，最多只有一条分离的简单闭曲线，使沿其做2 一把柄添加后得到的流形是边界可约的 本文的结论与参考文献 3 5 】中的结论，以及参考文献 5 6 】中的结论结合起来，就可以得 到如下定理： 定理2 4 设m 是一个双曲流形，f 是m 的一个亏格为2 的边界分支，则在f 上最多存 在1 条分离的简单闭曲线，使沿其做把柄添加产生可约流形或边界可约流形 定理2 4 说明当考虑在亏格为2 的曲面上做把柄添加时，m s c h a r l e m a n n 和吴英青所提 的猜想1 是对的 本文所使用的主要的方法和技巧是由c g o r d o n 、j l u e c k e 和r l i t h e r l a n d 发展的标 号图论方法，近2 0 年来的研究表明，这种方法是研究d e h nf i n m gu ；3 题的一种行之有效的方 法本文推广延伸了这一方法和技巧，给出了把柄添加问题中的标号图论方法进一步， 4 大连理工大学博士学位论文 本文发现了在把柄添加的标号图论中的对应规则( p a r i t yn 1 1 e ) ，引迸了v i r t u a ls c h a f l e m a r m c y c l e 的概念这就使得我们能够将人们在研究d e h nf i l l i n g 时使用的图论的一些技巧和结论 应用到本文的研究中，从而使得本文的估计大大低于已有的结果， 作为关于把柄添加问题结论的一个应用，本文还给出了m s c h a r l e m a n n 提到的关 于r e f i l l i n g 猜想的一个部分证明在文f 4 8 1 中，m s c h a r l e m a r m 考虑了这样的问题：在一个 三维流形中，挖掉一个亏格为2 的柄体，然后再将挖掉的柄体中的一个本质圆盘的正则邻域 粘回来f 这样的揉作简记为r e f i l l i n g ) ，所得到的流形或是一个纽结补空间，或是个链环补 空间那么，什么时候得到的纽结或是链环是平凡的，或是分离的呢? 这个问题等价于讨论 做r e f i l l i n g 所得到的流形是不是可约的，或是边界可约的这一问题，也可以看成是d e l l n 手 术问题的一个推广，或看成是种特殊的把柄添加问题，m ，s c h a f l e m a n n 在1 4 8 1 中提出了以 下猜想： 猜想2 设彬是嵌入在三维流形m 中的一个亏格为2 的柄体，并且( m ，w ) 是可容许 的( a d m i s s i b l e ) ，m w 是边界不可压缩的，n 和卢是w 中的两个嵌入的圆盘，则至少有下列 两种情况之一发生： ( 1 ) m ( o ) 和m ( 口) 都是不可约的和边界不可约的； ( 2 ) a 和8 是整齐的( a n g n e d ) 对于这一猜想，m s c h a r l e m a n n 4 8 给出了在一些特殊情况下是对的的证明例如；如 果a ( 0 a ，a 卢) 4 ，猜想2 是对的；如果o c 和p 是分离的，猜想2 也是对的 而应用定理2 4 的结论，如果m w 是简单的，并且d 和p 都是分离的，那么o = 卢从而 给出了猜想2 在特殊情况下的一个证明，并且这一结论要强于“整齐的”这一结论， 0 2 ，2 h e e g a a r d 分解的构造及稳定化问题探讨 h e e g a a r d 分解的连通和和边界连通和以及h e e g a a r d 分解中的融合积是h e e g a a r d 分解 中最基本的运算连通和与边界连通和的概念给出了两个流形沿着球面或圆盘相粘得到 的流形的h e e g a a x d 分解的构造方法那么，当两个流形沿着更复杂的曲面相粘，新得到的 流形的h e e g a a r d 分解是否可以由原来流形的h e e g a a r d 分解得到呢? 本文将探讨相粘流形 的h e e g a a r d 分解的构造问题，并给出了沿着一般紧致曲面( 包含带边曲面和闭曲面) 做连通 和来构：i 告_ h e e g a a r d 分解的方法一曲面连通和 定义5 2 设= ku 睨“= l ，2 ) 是两个不可稳定化的h e e g a a x d 分解，且只c 以眦是以m 0 = l ，2 ) 的两个紧致子曲面同胚映射，：局一局给出了粘贴流形m = mu f 】：尼 如设n 是碱中的垂直曲线段，且a + nc 辟m ，o _ r 1 = a - r 2ci n t f 令r = r l u a 川= o 一亿r 2 ，v = h u g ( r ) u k ，w mv - n u i 一( r ) 参见图5 1 则 有m = vuw 是m 的h e e g a a r d 分解，称为是由尬= kui 班( i = 1 ，2 ) 沿着曲面f 做的曲面 连通和 5 三维流形上的把柄添加 沿着曲面做融合积是h e e g a a r d 分解中的一个基本的概念在第5 章，本文给出了两 个h e e g a a r d 分解沿着闭曲面做连通和得到不可稳定化的h e e g a a r d 分解的例子( 参见例5 2 ) 这个例子表明了曲面连通和与一般意义下的h e e g a a r d 分解的融合积是不同的，从而，这为 构造不同结构的h e e g a a r d 分解提供了一种新的研究途径 由h a k e n 引理2 4 1 ，可知两个最小亏格的h e e g a a r d 分解做连通和后，所得到的h e e g a a r d 分 解仍然是最小亏格的那么反过来，两个不可稳定化的h e e g a a r d 分解做连通和后所德到 的h e e g a a r d 分解是否仍然是不可稳定化的呢? 这就是著名的g o r d o n 猜想( 参见r k i r b y 问 题集f 3 1 1 的p r o b l e m3 9 1 ) 近来，邱瑞锋教授在文4 2 1 证明了此猜想：即两个h e e g a a r d 分解 的连通和的h e e g a a r d 分解是可稳定化的，当且仅当这两个h e e g a a r d 分解之一是可稳定化的 在4 3 1 一文中，邱瑞锋教授和马继明证明了两个h e e g a a r d 分解在做边界连通和时， 其稳定性依然保持：即两个h e e g a a r d 分解的边界连通和是可稳定化的，当且仅当这两 个h e e g a a r d 分解之一是可稳定化的 在第5 章中，本文给出了两个不可稳定化的h e e g a a r d 分解沿着一般紧致曲面做连通和 得到可稳定化的h e e g a a r d 分解的一个充分条件： 定理5 1 设尬= u 仉和m 2 = ku 是两个不可稳定化的h e e g a a r d 分解， 且只ca _ m 是乱m “= 1 ，2 ) 的两个紧致子曲面如果h e e g a a r d 分解= ku 弼是相对 于只( t = 1 或i = 2 ) 简单的，那么尬= ku w l 和m 2 = ku 1 沿着f = f 1 ；f 2 做曲面连 通和得到的h e e g a a r d 分解m = v t jw 是可稳定化的 o 2 3 三维流形中的双侧可压缩曲面与t h i np o s i t i o n 的长度 在三维流形中的曲面，人们研究较多的除了有不可压缩曲面、h e e g a a r d 曲面外，还有 一种就是双侧可压缩曲面这种曲面不同于h e e g a a r d 衄面，但是又有很多相似的性质 设f 是三维流形m 中的一个嵌入的曲面，如果存在从fx 【一1 ，+ 1 】到m 的嵌入h ： f 【一1 ，1 1 一m ，使得：h ( x ，0 ) = z 对所有的z f 成立，并且h ( f 一1 ，1 】) no m = h ( o f 【一1 ，1 】) ，则称f 在m 中是双侧的( 2 - s i d e d ) ，记日= h ( fx + 1 ) ) ，f _ = h ( fx 一1 ) ， 进一步，如果f + 和j - 在m h ( f ( - 1 ，+ 1 ) ) 中都是可压缩的，则称f 是m 中的双侧可压缩 曲面 设z k = d ： ( 其中a + ，一 ) 是只的一组最大可压缩圆盘集，令q ( f ) = f 【0 ，1 】u ，( d i ) ，c ! ( f ) = fx 【- i ，0 】u l n ( d l ) 容易看出是一个挖去若干个( 可以是 零个) 3 维球的压缩体，记其正边界为f ，其负边界为只( f ) = a c ：( f ) 一f 令m 7 ( f ) = q ( f ) uc 巳( f ) ，则f 可以视为流形m ( f ) 的h e e g a ”d 曲面如果咒( f ) 的一个球面分支 界定m 中的一个3 维球，就把这个3 维球粘到瓯( f ) 上记c ：( f ) 为c ：( f ) 并上所有可能 的这些3 维球后得到的流形，则g 还是一个挖去若干个( 可以是零个) 3 维球的压缩体 令m ( f ) = c l ( f ) uc l ( f ) ，则f 可以视为是流形m ( f ) 的h e e g a a r d 面 6 大连理工大学博士学位论文 就像对h e e g a a r d 曲面做稳定化可以得到更高亏格的h e e g a d 曲面一样，也可以对双侧 可压缩曲面做类似的运算，从而得到更高亏格的双侧可压缩曲面 在第6 章，本文定义了本质双侧可压缩曲面的概念，还定义了两个双侧可压缩曲面完全 不相交的概念进一步，还定义了非过剩的双侧可压缩曲面集的概念从而证明了： 定理6 1 设f = f 1 i a a ) 是m 中完全不交的本质的双侧可压缩曲面构成的非过剩 集合，那么f 含有有限个元素进一步，吲6 b ( m ) + 6 i ( m ) + 1 在上面的定理e ，吲表示f 中含有元素的个数，b ( m ) 为m 的边界分支数，i ( m ) 为m e 可能含有的最多的彼此互不相交的互不合痕的不可压缩曲面的个数由k n e s e r - h a k e n 定 理( 见p 2 ， 2 4 】) 可知，( m ) 是有限的 由定理6 1 知，m e 所有的非过剩集合含有的元素的个数存在上界，记为n o ( m ) 容易看出，可压缩曲面和h e e g a a r d 分解的t h i np o s i t i o n 有着密切的关系 设m 是一个紧致可定向流形，那么m 具有一个融合积的h e e g a a r d 分解= yuw ； ( y 1u nw 1 ) u s 。( ，2u 乃w 2 ) u s ：- - u 岛一，( y “u rw ”) ( ) ，其e y 2u 最w 4 是可能含有多个 分支的h e e g a a r d 分解，但其中有且只有一个分支不是一个乘积空间的平凡的h e e e a a r d 分解 如文 5 3 】那样定义( + ) 式的厚度( 参见第6 章) ，就可以定义厚度最小的分解为t h i np o s i - t i o n 分解设( ) 式为m 的一个t h i np o s i t i o n 分解，记l o ( m ) = 仃为( ) 式的长度，那么由定 理6 1 ，可得如下推论： 推论6 1l o ( m ) n o ( m ) + b ( 肘) 上面关于t h i np o s i t i o n 的定义是对于个三维流形所有可能的h e e g a a r d 分解定义的 而对于特定的h e e g a m - d 分解，也可以定义该h e e g a a r d 分解的t h i np o s i t i o n 任意一个不可稳定化的h e e g a a r d 分解m = vuw 具有一个t h i np o s i t i o n 分解：m = v u w 2 ( ( 盼啮删) u a i ( 盼哟孵) u 口；u g h ( 皖啮。训1 ，) ) u 研( ( 圩唧孵) 啮 ( 曙u 碍w 学) u 儡u 一，( 嘿u w 乏) ) u 岛u 一。( ( v ? u 矸w r ) u 卵( v ? u 昭w 霉) u 凹 u g 一。( v zu w 乞) ) ( ) ， 满足下列条件： ( 1 ) 韪0 = 1 ，2 ，m 1 ) 是m 中本质的球面： ( 2 ) g ( i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，m 一1 ) 是m e 的不可压缩曲面； ( 3 ) 每个子分解m j = wu 删( i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，他) 都有且只有 一个分支不是乘积空间的平凡分解，并且这一分支或者是s 2 s 1 的个标准的亏格 为1 的h e e g a a r d 分解，或者是一个强不可约的h e e g a a r d 分解： ( 4 ) ( ) 式为所有可能满足以上条件中厚度最薄的一个分解 定义( ) 式的长度为：lm ， i 己为l o ( vu ) 在1 9 8 6 年，a c a s s o n 和c ，g o r d o n 给出了具有任意大亏格的不可约的h e e g a a r d 分解流 形的例子那么，t h i np o s i t i o n 的长度会不会随着h e e g a a r d 亏格的增长而增长呢? 本文给出 7 三维流形上的把柄添加 了否定的回答这就是定理6 1 的第二个推论： 推论6 2 对三维流形m 的任意一个不可稳定化的h e e g a 村d 分解的形如( # ) 式能j t h i n p o s i t i o n ，有l o ( vuw ) 0 ) + b ( m ) 0 3 本文的内容安排 在本文的第1 章，对本文中所用到的三维流形中常用的概念和结论做了简要的介绍： 主要包括三维流形，h e e g a a r d 分解和不可压缩曲面的基本概念由于文中要用到图论的一 些知识，故本章也对图论知识做了简要介绍 在本文的第2 章和第3 章，通过对标号图论的讨论，主要研究了可约的把柄添加的几何 相交数问题在第2 章，本文主要证明了弱一点的定理2 5 ；在第3 章，本文进一步证明了定 理2 1 在第4 章，给出了把柄添加定理的一个应用：即r e f i l l i n g l h 题的研究 在第5 章，讨论了相粘流形的h e e g a m d 分解的构造问题，并给出了这种方式和融合积得 到不同的h e e g a a r d 结构的一个例子进一步，本文给出t h e e g a a r d 分解沿般紧致曲面做 连通和时是可稳定化的一个充分条件，即证明了定理5 1 在第6 章，证明了三维流形中的完全不相交的最大本质双侧可压缩曲面集合中元 素个数的有限性，并且得出了三维流形t h i n , p o s i t i o n 分解长度的有限性及其不可稳定化 的h e e g a a a r d 分解的t h i np o s i t i o n 长度的有限性 8 大连理工大学博士学位论文 1 三维流形的基础知识 在这一章中，我们将对在后面的章节中的用到的概念进行了简单的介绍这些概念都 是标准的，见参考文献【6 3 、【g 4 、 2 一 和【3 0 】 1 1 流形 定义1 1 设x 是个h a u s d o r 脏间，如果x 中的每一点p 都有一个开邻域矿0 ) ，使 得矽( 力同胚于形，则称x 是一个无边n 维流形 定义1 2 设x 是一个拓扑空间，如果x 中的每一点p 都有一个开邻域u 如) ，使得u ) 同 胚于彤或舻+ ，则称x 是一个带边n 维流形记m 的所有邻域同胚于舻+ 的子集为a m ，称为 是m 的边界 定义1 3 紧致无边流形称为是闭流形 定义1 ，4 称1 维流形为曲线( c u r v e ) 曲线的分类非常简单：闭的带边曲线就是我们熬知的曲线段；而闭的不带边曲线就 是通常所说的圆周 定义1 5 称2 维流形为曲面( 蛐f a c e ) 闭曲面的分类定理也早已完成，见参考文献f 6 3 j 和 6 4 】 定义1 6设c 是带边曲面p 上的一条嵌入的曲线段，如果存在卯上的条子曲线