（基础数学专业论文）时滞神经网络的收敛性和hopf分支与周期解的存在性.pdf

时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 摘要 众所周知，h o p f i e l d 于1 9 8 4 年首次提出h o p f i e l d 神经网络模型，从此 它在理论和应用得到广泛的研究并成功应用于图像处理，模式识别和联 想记忆中迄今为止大多数文献局限时滞神经网络模型的稳定性和h o p f 分支，很少考虑时滞神经网络模型的全局分支的存在性因此，本学位 论文利用微分方程中心流定理和等度拓扑理论，对一般一元和二元时滞 神经网络模型的力学性态进行了定性分析，讨论了这些模型的全局渐近 稳定性，h o p f 分支和全局周期解的存在性全文共分四章 第一章简单地回顾了神经网络的发展历史和该领域的现状，同时对 本文将要讨论的时滞神经网络模型背景进行了说明，指出了要解决的问 题，研究工作的意义及创新之处 第二章讨论了一般的时滞神经网络模型的全局渐近稳定性，得到了 系统全局渐近稳定的相关结果 第三章讨论了一个时滞神经网络模型的稳定性，h o p f 分支的存在性， 方向h o p f 分支周期解的稳定性及全局h o p f 分支的相关结果 第四章讨论了激励一抑制两元时滞h o p f l e l d 神经网络模型的稳定性， h o p f 分支及全局周期解的存在性的相关结果 关键词：h 0 p f i e l d 神经网络；全局渐近稳定性；h o p f 分支；全 局周期解 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 a b s t r a c t n o ww e l l - l 【n o w ，d e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k ( d h n n ) w e r e 丘r s tp r o p o s e db y h o p f i e l di n1 9 8 4 【1 】t h e yh a v eb e e nw i d e l ys t u d i e db o t hi nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n t h e yh a v eb e e ns u c c s s f u l l ya p p l i e di m a g i n a lr e s e 盯c hp r o c e s s i n g ，p a t t e r nr e c o n 分 n i t i o na n da s s o c i a t i v em e m o r y t dd a t em o s tr e s e a r c ho nd h n nh a sr e s t r i c t e dt o t h es t a b i l i t yo fas y s t e m f 1 e wp a p e r sc o n s i d e rt h ee 描s t e n c eo fg l o b a lh o p fb i f u r - c a t i o n h e n c ei nt h i st h e s i s ，b yu s i n go ft h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n di n v a r i a n 七t o p o l o g i c a lt h e o r y w ed e s c r i b es o m ei m p o r t a l l tp r o p e r t i e s o ft h ed y n a m i cb e h a v i o r so fg e n e r a lc l a s s ，o n ea n dt w r od e l a 妒dh o p 丘e l dn e u r a l n e t w o r l ( sm o d e l ，w h i c hi n c l u d e sg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，h o p fb i f u r c a t i o na n d e x i s t e n c eo fg l o b a lp e r i o d i cs 0 1 u t i o n i ti sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s a st h ei n t r o d u c t i o ni nc h 印t e r1 ，t h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fn e u r a ln e t 一 、o r k sa r er e v i e w r e db r i e f l y t h eb a c k g r o u n do ft h en e u r a ln e t w o r k sd i s c u s s e di nt h i s t h e s i si si n t e r p r e t e da n dt h ep r o b l e m st ot h er e s o l v e d ，t h ep u r p o s ea n di n n o v a t i o n o ft h ei 1 1 、r e s t i g a t i o na r ed e n o t e d i nc h a p t e r2 ，ag e n e r a lc l a s so fd e l a 弹dn e u r a ln e t w o r k sa r ei 工l v e s t i g a t e d w eo b t a i n e ds o m er e s u l t sa b o u tt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nd e l a y e dn e u r a l n e t 、o r k s i nc h a p t e r3 ，am o d e lo fn e u r a ln e t w d r kw i t had e l a yi si n v e s t i g a t e d w b o b t a i n e ds o m er e s u l t sa b o u tt h es t a b i l i t y ，t h ee x i s t e n c eo fh o p fb i f u r c a t i o na n d g l o b a lh o p fb i f u r c a t i o ni nd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s i nc h a p t e r4 ，t w dn e u r a lc o n s t i t u t i n ga na c t i v a t o r i n h i b i t o rd e l a y e dh o p f i e l d n e u r a ln e t w o r km o d e la r ei i e s t i g a t e d w 色o b t a i n e ds o m er e s u l t sa b o u tt h es t a _ b i l i t y h o p fb i f u r c a t i o na n de ) ( i s t e n c eo fg l o b a lp e r i o d i cs o l u t i o ni nd e l a 弘dh o p 6 e l d n e u r a ln e t w o r k i i i 硕士学位论文 k e yw o r d s ： h o p 丘e l dn e u r a ln e t w o r l 【s ； g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；h o p f b i f u r e a t i o n ； g l o b a lp e r i o d i cs o l u t i o n i v 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 第一章绪论 1 1问题产生的背景 神经网络的研究起源于生物学、计算科学、心理学、和统计学等学 科，至今已有6 0 余年的历史，其发展道路历经曲折早在1 9 4 3 年，心理 学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 合作提出形式神经元模型( 称之为m p 模 型) ，这个模型说明了任何逻辑函数都能由一个互联数字神经元组成的人 工神经网络构造出来，通过简单计算，这个模型具有相当复杂的行为， 从而被认为是开创了神经科学理论研究的标志。1 9 4 9 年，h e b b 提出了 改变神经元连接强度的h e b b 学习规则，依照这个规则，调整第i 个和第 j 个神经元连结权重姚，的原则为：若这两个神经元同时处于兴奋状态， 则它们之间的连接应当加强，这一原则克服了原有人工神经网络不可学 习的弱点，因此成为人工神经网络学习算法的基础 1 9 5 7 年，r o s e n b l a t t 首次引进了感知器概念( p e r c p e t r o n ) 它由阀值性 神经元组成，试图模拟动物和人脑的感知和学习能力，1 9 6 2 年，w i d r o w 提出了自适应线性元件( a d a l i n e ) ，它是连续取值的线性网络，主要应于 自适应系统人工智能的创立人之一m i n s k y 和p a p e r 潜心数年，对以感 知器为代表的网络系统的功能及其局限性从数学上作了深入的研究，于 。 1 9 6 9 年出版了颇有影响的专著( p e r c e p t r o n ) ，他们的结果是悲观，由于以感 知器为代表的网络系统功能的局限性，中间经历了一段长时间的萧条 难能可贵的是，在此期间，仍有不少学者在极端艰难的条件下致力于这 一研究g r o s s b e r g 等提出了自适应共振理论，k o h o n e n 提出了自组织映 射，n k u s h i m a 提出了神经认知网络理论，a m a r i 则致力于神经网络的数 学理论的研究，a n d e r s o n 提出了b s b 模型，w _ e b o s 提出了b p 理论，从 而为神经网络研究的发展奠定了理论基础 硕士学位论文 2 0 世纪8 0 年代，虽然获得了关于人工神经元网络切实可行的算法，但 是人工智能和计算机科学出现了许多困难，即以v 0 nn e u m a n n 体系为依 托的传统算法在知识处理方面日益显露出力不从心后，人们重新对模拟 人脑功能的神经网络的研究产生了兴趣，导致了神经网络的复兴同时， 计算机发展的需要也是神经网络研究复兴的又一动力1 9 8 2 年和1 9 8 4 ， 美国加州工学院物理学家j o h n j h o p f i e l d 博士在美国科学院院刊上发表 了两篇重要的论文：提出了仿人脑的神经网络模型，即著名的h o p f i e l d 模 型，通过在对对称网络中引入广义能量函数及l a - s a l l e 不变原理，使网络 稳定性的研究有了明确的判据，它的电子电路为研制新型的电子神经计 算机奠定了基础，同时开拓了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途 径近2 0 余年来，人工智能虽有很大的进步，但在比拟人脑的联想、分 类、演绎、适用性、专注等能力方面，仍存在巨大的困难，而神经网络理 论的应用已经拓展到各个领域，并在智能控制、模式识别、计算机视觉、 自适应滤波和信号处理、非线性优化、自动目标识别、连续语言识别、声 纳信号处理、知识处理、传感技术与机器人、生物医学工程等方面取得令 人鼓舞的进展神经网络的问世标志着认知科学、计算机科学及人工智 能的发展又处在一个新的转折点，它的应用和发展不但推动神经网络本 身的发展，而且人们普遍认为它将使电子科学和信息科学等产生革命性 的变革，并将促使以神经计算机为基础的高技术群的诞生的发展 3 2 ，3 3 1 2本文的研究背景 自h o 西e l d 3 4 】于1 9 8 4 提出简单的h o 面e l d 神经网络模型以来，神经 网络成为近来研究的热门话题在h 0 p 矗e l d 神经网络模型里，每个神经 元表示一个由一个电阻和电容组成的线性电路。神经元之间是通过非线 性s i g m i o d a l 激活函数连接的根据h o p f i e l d 神经网络模型，m 雒i c u s 和 2 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 w e s t e r v e l t 建议连接每个神经元的非线性s i g m i o d a l 激活函数应包括离散延 时，提出下列时滞h o p f i e l d 模型 g 掣一嘉+ 毫讹( 一训庐1 ) 2 ， ( 1 2 1 1 ) 变量( ) 表示第i 个神经元的输出电压每个神经元是由电容g 的输出 电压，时滞兀和转换函数 组成的，非线性转换函数 ( u ) 是s i 9 m i d d 0 2 函 数假设所有的神经元有相同的电容，电阻和转换函数，即g = c ，尼= r ，五= ，作变换，则系统( 1 2 1 ) 改写成 掣：飞+ 壹。( 啪一训，i _ 1 ) 2 ，佗 ( 1 2 2 ) j = 1 文 3 5 】研究了系统( 1 2 2 ) 所有的时滞都相等，连接矩阵( o 巧) 。是对称矩 阵的情况。文 3 6 不但讨论了系统( 1 2 2 ) 的日0 p 厂分支，还讨论了余维2 和日叩厂一日叩厂型分支文【3 - 【1 1 研究了形如 掣= 飞( 亡) + 。巧，( 哟( 亡) ) + 口易m j ( t 一砀) ) ，i = 1 ，2 ，礼， ( 1 2 3 ) j = 1 时滞细胞神经网络模型的全局渐近稳定性，并给出该系统平衡点全局渐 近稳定的充分条件例如在文 3 】中，当矩阵，一( ia | + i 小i ) g 为非奇异 m 矩阵，系统平衡点是g 4 s ，其中iai = ( io 巧l 。仡) ， a 丁i = ( in 荔i 。x n ) ，g 为正对角矩阵当输出函数的l 印常数为1 时，在 4 】 中给出了如果存在正对角矩阵尸和非负定矩阵k 使得( 1 ) p a + a 丁p + k 为负定，( 2 ) 一2 p k + ，+ p a 丁( a 丁) t p 为半负定作为g aj 5 r 的充分条件； 在 5 中给出( 1 ) 么+ a r 是负半定，( 2 ) l la 丁f | o ，o n 1 利用了双曲正切函数的性质，给出了该系统存在h 0 p f 分支和全局h o p f 分支的充分条件文 1 9 研究了系统( 1 2 4 ) ，n = 1 ，丁= 1 的条件下，利用系数6 作为分支参数，分析了该系统的日叩l 厂分支的存在 性和给出近似周期解的表达式，但没有分析全局h o p f 分支文 1 2 考 虑了比( 1 2 4 ) 更广泛的滞后泛函微分方程 掣：一z ( t ) + f ( z ( t 一丁) ) ， ( 1 删 其中f 满足f c 3 ，f ( o ) = o ，| f ，( 0 ) i l ，7 - o 分析方程( 1 2 5 ) 的局 部h o p f 分支和全局h o p f 分支，并给出了该h o p f 分支是超临界或亚临界 的条件文 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】也研究了系统( 1 2 5 ) 的周期解的情况 第四章研究了双时滞h o p f i e l d 神经网络模型 j 繁一一后z ( t ) + a n h c 1 ( t 一亿) ( 1 2 6 ) i 宅笋= 一尼可( 亡) + 凸2 t a n h 一c 2 z ( 亡一n ) r 叫 其中0 1 ，0 2 ，c 1 ，c 2 ，忌均为正数b a b c o c k 和w _ e s t e r v e l t 讨论了系统( 1 2 5 ) 中 后= 1 ，c ，= c 。的特殊情况，其研究表明，系统( 1 2 6 ) 有非常丰富的动力性 质，例如有减幅振荡和稳定与不稳定的极限环等现象g o p a l s a m yl e u n g 2 0 考虑了系统( 1 2 6 ) 当丁1 = 丁2 的特殊情况，其研究表明，在一定条件下， 时滞可以导致日d p 厂分支，研究还表明，h o p f 分支可能具有超临界特征 和分支周期解可能渐近稳定沈e 佗和b 点2 0 i r 2 2 研究了系统 掣：飞+ 塞n 洲姒一训庐1 ) 2 ( 1 2 7 ) 4 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 讨论了两种情况，两个时滞相等和无自我连接，即o 。= n 。= o ，得到系 统( 1 2 7 ) 的平衡点具有稳定性的充分条件和在一定参数值的情况下，系 统( 1 2 7 ) 具有h o p f 分支的条件 c a m p b e l l 和s h a 弦r 3 8 ，m a j o r 和r o y 3 9 ， r u a n 和w b i 【4 0 ，o e s t e ) ( 1 l e 和g a s p a u r 3 7 】等研究类似系统( 1 2 7 ) ，得到了丰 富的结果。以上这些文献研究的是局部h 0 p f 分支，没有研究全局h o p f 分 支本文第四章研究了系统( 1 2 6 ) 的全局h o p f 分支 1 3本文的主要工作 第二章研究了类似于时滞h o p f i e l d 神经网络模型的平衡点的存在性、 唯一性和全局渐近稳定性( g a s ) ，对证明该模型的平衡点的存在性和唯一 性采用了同胚映射的方法，并构造了一些合适的李雅谱诺夫函数来研究 该模型的全局渐近稳定性 第三、四章研究了一维，二维时滞神经网络模型的泛函微分方程的局 部h o p f 分支，即当该系统的奇点的稳定性发生翻转时，在奇点附近出现 周期解的现象在三、四章里，首先分析两类模型的奇点处的线性部分 特征根的分布来判断其h o p f 分支的存在性，再根据常微分方程的中心流 形理论，把自治的时滞泛函微分方程写成抽象的常微分方程那么在上 叙条件下，存在二维中心流形，于是所考虑的泛函微分方程在中心流上 的限制为一个二维常微分方程，从而由二维常微分方程存在小振幅周期 解，即原泛函微分方程存在小振幅的周期解 本文三、四章都是选用时滞丁作为分支参数来确定两个系统的h o p f 分支的存在性，还确定了分支方向，分支周期解的稳定性和解以及分支 周期解在中心流形上的投影的近似表达式 本文还研究一维，二维时滞神经网络模型的全局h o p f 分支的存在性 在此基础上，对系统的周期解和周期解的周期先进行了估计，然后应用 5 硕士学位论文 等度拓扑理论建立两类时滞神经网络的全局h d p ，分支理论由于这种性 质依赖纯拓扑性质所以避免了解算子和复杂的线性f d e 的空间分解，使 得结果得以实现 6 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 第二章一类神经网络全局渐近稳定性分析 2 1引言 神经网络在过去的十几年里得到广泛而深入地研究并应用在信号 处理、静态图像处理、最优控制、非线性方程的求解等领域，有些应用 ( 比如最优控制，非线性方程的求解) ，必须保证该网络有且只有一个平衡 点且全局渐近稳定【1 悯( 记g a s ) 由于硬件中，放大器的有限转换速度使 得延时并不可少，但延时可能引发振荡，从而导致网络的不稳定，因此， 研究时滞神经网络及其稳定性有着实际的需要 在本章中我们主要研究如下形式的延时神经网络的g a s 掣= 一地+ 毫北水) ) 蝎嘶搀一训】鹄i - l ， 佗) ( 2 1 1 ) 其中： 翰是第i 个神经元的状态，江1 ，礼，n 为神经元的个数， z = ( ，z n ) t 是状态向量， 4 = ( o 玎) n x 。是反馈矩阵，a 7 = ( o 易) n 是延时反馈矩阵， ，= ( j r l ，厶) r 是输入向量， 9 ( z ) = ( 夕。( z ，( t ) ) ，鲰( z n ( ) ) t 是输出向量， d = d i a 夕( d 1 ，d 。) o ， 是常数，且o 码7 - 系统( 2 1 1 ) 的初始条件满足z i ( s ) = 也( s ) ，一丁s o ，九( s ) 在【一丁，o 】上 连续。 假设输出函数夕j ，歹= 1 ，n 是单调不减函数，满足下列条件 硕士学位论文 ( 日) i 缈( - ) 一乃( 已) l o ，( o ) ， ( 凰) 当。 已 o ，时掣s 掣 由( 风) 可知，当_ o 时，缈( ) 的李谱希茨常数最大在 3 卜 8 中研究 了时滞神经网络( 2 1 1 ) 的平衡点的g a s 并给出了一些充分条件。例如在 3 中，当矩阵，一( ial + | a 下) i ) g 为非奇异m 矩阵时，其中 ai = ( fn 巧i ) n n a 丁 = ( in 再1 ) n g = 出n 夕( g 1 ，g 2 ，g n ) ，系统( 2 1 1 ) 是g a s ；当输出函数 的l i p 常数为1 时，在 4 中给出了如果存在正对角矩阵p 和非负定矩阵 k 使得( 1 ) p 以+ 4 t p + k 为负定，( 2 ) 一2 p k + j + 尸a 丁( a 7 ) t p 为半负定 作为g a s 的充分条件；在文 5 】中给出( 1 ) a + a t 是负半定，( 2 ) i ia 下l i = 世号剑， 1 j nl 专jj 忌 硕士学位论文 那么有 也咄时l 啦陡七+ 薹( i n 训+ 蚓世孥剑 0 ) 又因为 一麦( 训“l 一h 咄i ， 所以有 心时i 吨陡m + 萎卅l 。训酬世訾剑 。 我们可推出 卜矗帕讹时1 吨陡七+ 薹训小训l 地掣 0 ， l j 七j 。 这显然与条件( 2 2 1 ) 相矛盾，所以有h 是1 1 映射 第二步的证明与 1 0 中的定理1 的证明相似，很容易证明由条件( 2 2 1 ) 推出( 风) ，这就证明了h ( x ) 是舻上的同胚映射因此系统( 2 1 1 ) 只有一 个平衡点矿= ( z ；，z ：) ，方程( 2 。1 1 ) 可改写为 掣：吨( 州叫) + 白( 嘶如) ) 刮刑+ j = 1 o 毛( 缈( z j ( 一砀) ) 一缈( z ；) ) ，i = 1 ，礼 ( 2 2 2 ) 那么系统( 2 2 2 ) 可以写为 掣：吨刊+ 妻易( 碘) ) + 。弓罅如飞) ) 】，i 乩，钆 ( 2 2 3 ) j = 1 其中童i ( t ) = z t ( ) 一z ；， 易( 奶( t ) ) = 缈( 码( t ) ) 一缈( z ；) 1 0 显然，易( 奶( 亡) ) 满足( 皿) ，( 凰) ，( 日3 ) ，为了方便把( 2 2 3 ) 式仍写成 掣刊忍+ 势蒯啪蝎洲卜枞江”一 ( 2 2 4 ) 证明系统( 2 1 1 ) 的平衡点z + 的g a s 转变为证明系统( 2 2 4 ) 的原点的g a s ， 为此我们构造李雅谱诺夫泛函 y 圳归善( 汕愈卅善汕易il 洲川“ ( 2 2 5 ) n t 0 ，t = 1 j = 1 ” 计算v 沿( 2 2 4 ) 对时间t 的右上导数可得 d + y 一已吨lz i ( ) l + ( n 巧6l 缈( ( t ) ) i + n 易已i 缈( ( t 一) ) 1 ) i = 1i = 1j = 1 + in 易l 已( | 缈( 巧( 巧( t ) ) l l 卯( 巧( t 一功) ) 1 ) 扛：1j = 1 n n 一泓t ) i + & ( 口巧+ i 凸易i ) i 毋( ( ) ) i ) 扛1j = 1 。 n nn 墨一触h ( t ) i + 洳巧+ l 。弓i ) 9 j ( ( t ) ) l n 一岛呜h ( t ) f j = 1 n + 岛( j + ln 易i ) j = l + & ( f 凸玎i + in 弓缈( 巧( ) ) i 】 i j n 一白由l 巧( t ) j j = 1 + g j 白( j + ia 易 ) j = 1 + 已( in 巧i + i 口荔旷h ( t ) l 诤0 妻 一岛呜+ 岛 白( j + l 略i ) + ( in 玎i + | n 弓】t ) j = 1 t 向 根据条件( 2 2 1 ) 可知d + y ( z ) o ，v ( ) 是一个单调递减到常数的函 硕士学位论文 数，不妨设f i m 扣。y ( z ) = e ，只须证明e = o 。假设e o ，那么一定存 在七 1 ，礼) ，及点列( m ) ，当m _ + 时，m _ + o 。，使得l i m m 。+ 。i z 惫( ) l = f ，2 为正常数由d + y ( z ) o 可知z ( t ) 有界，从而圣( 亡) 有界，故 z 南( t ) 在 o ，+ 0 6 ) 上一致连续，所以存在6 o 及 ；又根据条件( h ，) ，( 凰) 能找到常数o 岛 时，使i 鲰( ) i 瓯臃i i 成立 d + y 一( 1 一觑) 吼iz 七( t ) i + 觑 一比+ g 南 & ( n 南南+ i 乜；凫i ) + ( i 。i 南l + l 口莸| ) ) + lz 南( ) 1 一( 1 一仇) 七d 凫】z 岛( ) l 一( 1 一仇) 忌d 七去 o ，i = 1 ，扎使得 毫( g i n 娩+ i 凸矗i ) + 一盔) + j i 瓠已q ( io 巧i + io 易i ) + 白g t ( 1 ii + in 毳i ) 】o ，i = l ，几( 2 2 6 ) 那么系统( 2 1 1 ) 有唯一的平衡点，该平衡点是g a s 。 证明可以用定理2 1 中方法类似地证明系统( 2 1 1 ) 在条件( 2 2 6 ) 下存 在唯一的平衡点下面证明该平衡点z + = ( z ；，z 三) 丁是g a s 等价地， 1 2 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 只须证明( 2 2 4 ) 的原点是g a s 设p = 出口g ( 乳，厶) 我们直接构造一个 李雅谱诺夫函数y ( ) = 墨。已l 孔( 芒) 1 2 ，那么有 d + y ( z ) = 2 毛( ) 已【- 反( ) 十( 口巧仍( ( t ) ) + 。5 卯( ( t 一功) ) ) i = 1 j = 1 2 黾( t ) 已 一以z i ( t ) + n 扰i 仇( 孔( t ) ) i + i 。夏i | 仇( 黾( t n i ) ) + ( | 。巧i i 缈( 巧( 艺) ) l + i 。弓| | 易( 巧( 一) ) i j i 2 圳已 一酬) + 慨+ l 。孙+ 。黑。删) i + ( ia 巧i + i 。砂恶。l 缈( 洲) | o ，用证明定理1 的方法能够 找到另一个正常数目使得尸a + a t p 一目厶，其中厶为n 阶单位矩阵， 由此推出e y ( o ) 一从而导出矛盾，证毕 从以上定理的证明可知在上述二个定理的条件下，系统( 2 1 1 ) 的任 何解都收敛到唯一平衡点z + ，不存在振动与混沌现象。文 6 在输出函 数是双曲正切函数的条件下，做了类似的研究，但没有考虑输出函数是 无界的和网络具有时滞的情况，因此文 6 是本文的一种特殊情况。 虽然本文的输出函数g 不能严格满足李谱希茨条件，但g j 能取到 非常接近李谱希茨常数的正数，所以条件( 日。) 对本文的二个定理的充分 13 硕士学位论文 条件约束非常弱，从而扩大了反馈矩阵和延时反馈矩阵的选择范围，使 得本文中的二个定理有较大的应用范围。我们可能会想到在前面二个定 理的其他条件不变，条件( 研) 是否能加上等号使之变成”呢? 其实 不能，例如单个细胞神经网络模型圣( 亡) = 一z ( t ) + 夕( z ( t ) ) ，其中输出函数 g ( z ) = 世掣，取其三印常数为1 ，显然，定理2 1 的其他条件都满足，而 条件( 日。) 的” o ，o 曼n 1 t a n h z = 篇， 作时间变换亡_ 车，( 3 1 1 ) 变为 掣刮叫卅n t a n h ( 酬舶t a n h ( - 1 ) ) ( 3 1 2 ) 系统( 3 1 2 ) 在z = o 的线性方程为 掣刮一1 刊) 枷_ 1 ) ， ( 3 1 3 ) ( 3 1 3 ) 的特征方程是 ( z ，7 i ，6 ) = z 一7 - ( 一1 + o ) 一7 - 6 e 印( 一z ) = o ( 3 1 4 ) 点 引理3 1 当i6i 7 2 ( 1 一o ) 2 ， 。 户6 2 ( 3 1 5 ) 又因为l6l u = u 惫( 6 ) ，7 _ = 亿( 6 ) ，0 且函数 u 惫( 6 ) 仉( 6 ) u 惫，亿c 1 ，6 为非负整数，其中 u 凫( 6 ) 满足 1 一n 缸0 8 丁 ( o ，7 r ) u 惫c 6 ， ；主竺：i ；：i ：i 竺：；：；：乏茎爻：三三二；： 证明把z = 士u i 代入( 3 1 4 ) 利用左右两边实虚部分别相等，得 时， 1 一n 叫2 丁， u = 一6 7 - s 打l u ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 由( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) ，当6 1 一。时，有u 岛= 2 ( 尼+ 1 ) 7 r a r c c o s 宁；当6 1 6 一锄6 七 宁挺 ， 一泞 一 咖| j 一_ +栅 ，、【 = 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 得 枷) = 尚， 由u 岛的定义有， 当尼0 ，6 1 一。时， u 七( 6 ) ( 2 尼+ ；) 7 r ，( 2 尼+ 2 ) 7 r ； 当七0 ，6 1 一。时，亿是单调递增函数；当6 1 一n 则特征方程( 3 1 4 ) 存在唯一特征根满足 z = u ( 丁) + u ( 下) i ，钍( 亿( 6 ) ) = o ，u ( 仅( 6 ) ) = u k ( 6 ) ，u k ( 6 ) ，亿( 6 ) 由引理3 。2 确定， 忌o ，且对于任意的e o ，当i7 - 一亿( 6 ) i o 证明记仉= 亿( 6 ) ，u _ i c = u k ( 6 ) 由( 3 1 4 ) 得 筹= 1 枷e x p ( 刊， 则有 筹k 吣：仉= 1 一i 亿6 s i n u 忌+ 亿( 1 一。) 由隐函数存在定理，存在e o 和光滑函数z ：( 亿一e ，亿+ e ) _ c 使得 ( z ( 7 - ) ) = o ，z ( ) = i u ( 6 ) 成立对( 3 1 4 ) 式求关于7 _ 的导数得 筹一( 一1 + n ) 一b e x p ( 一z ) + 丁b e x p ( 一z ) 筹= o ， 则有 d zz 而2 币干丁i f 可面。 17 硕士学位论文 所以 掣k 础，= r e ( 缸酬产亿) = r e ( 丽陌蒜格蕊) = 丽矸高器两 。 引理3 5 特征方程( 3 1 4 ) 的根有下列特征： ( 1 ) 当7 _ o ，6 ( o 一1 ，1 一n ) 时，或者o 7 - 丁b ( 6 ) ，6 1 一n 时，( 3 1 4 ) 有且仅有一个正实部解 ( 3 ) 当吼一1 ( 6 ) 7 - 亿( 6 ) ，6 1 一n 时，直线穿过 丁= 亿( 6 ) 的分支线，方程( 3 1 1 ) 的特征方程( 3 1 4 ) 的兄e z o 的根的个数 增加2 设z = r e z + i ，m z = u + 讪由( 3 1 4 ) 得 d z 1 ， z 一7 - ( 一1 + o ) 、 一：= 一- 一l 舶 6 1 + z 一丁( 一1 + o ) 1 8 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 则 警k = r e ( 昙熹嵩端) k 。 1 j ，7 - ( 1 一o ) 【7 - ( 1 一n ) + 1 + u 21 2 石t r 刁j i 开矿r 当6 1 一。时， 掣i 捌u o ；当6 n 一1 时，掣l 痢u 1 一n 的情况下，当穿过分支线 丁= 亿( 6 ) 时，特征方程( 3 1 4 ) 的根满足r e z o 的个数增加2 所以( 3 ) ，( 4 ) 成立见图1 ， o 一101 一n 图1 综合上叙，如果( 6 ，丁) n 一1 ，1 一o ) r + u ( 一，o 一1 ) ( o ，丁0 ( 6 ) ) ，平衡点 虿= o 是渐近稳定的；如果( 6 ，丁) ( 1 一n ，) 皿u ( 一，o 一1 ) ( 丁b ( 6 ) ，) ， 平衡点虿= o 是不稳定的 1 9 硕士学位论文 3 2h o p f 分支 定理3 1 设 1 一o 则方程( 3 1 1 ) 产生h o p f 分支即在z = o ，丁= 仉( 6 ) ，( 忌o ) ，的每个小邻域内存在唯一的分岔周期解z 七( ，丁) ，当r _ 亿( 6 ) 时，( 亡，丁) _ o ，当丁_ 亿( 6 ) 时，z 七( 印。) 的周期 蹦 ) = 错= 志：刊 证明根据引理3 2 、引理3 4h o p f 分支定理 2 8 ，p 3 3 2 】，定理3 1 成立 下面讨论分支的方向根据定理3 1 ，当i61 1 一。时，方程( 3 1 1 ) 在丁= 亿( 6 ) 产生h o p f 分支我们先看6 1 一。时的情况，6 o 证明因为日( z ，p ) 关于弘可微，求日( z ，) 关于弘的导数 毫+ ( 1 一q ) 一me x p ( 刊( 一亳) + 6e x p ( 刊+ 6 肛e x p ( 刊( 一亳) 一。， 所以 d 2 6e x p ( 一z ) 一( 1 一o ) d p 1 + 伯6 e x p ( 一z ) + 6 肛e x p ( 一z ) 时滞神经网络的收敛性和h o p f 分支与周期解的存在性 那么有 q 即u 伽，= 毫k 。= 甓裂导 一 丁0 6 2s i n 2 蛐 移2 一( 1 一n ) 2 ( 1 + 功( 1 凸) ) ( 1 十丁0 6c o s u o ) 2 + 唁6 2s i n 2u o ( 1 + 丁b 6 c o su o ) 2 + 唁6 2s i n 2u o 。 所以 q ，( 0 ) = 丌翥寒 。， u 即，= 篱蔫鬻如 根据 2 5 中的一般分支理论，分支方向和稳定性是由肛。，