（基础数学专业论文）局部对称空间中完备极小子流形的第二基本形式长度估计.pdf

摘要 本文运用m o s e r 迭代对局部对称空间中一类极小子流形 的第二基本形式长度进行估计，作为运用得到其中一类完 备极小子流形是紧致的 关键词： m o s e r 迭代局部对称空间极小了流形第二基本形式长度 a b s t r a c t w ea p p l yt h em o s e ri t e r a t i o nm e t h o dt oe s t i m a t et h e l e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mf o rac o m p l e t em i n i m a ls u b m a n i f o l di nal o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e a sa na p p l i c a t i o nw es h o wt h a tac o m p l e t em i n i m a ls u b m a n i f o l di na l o c a l l ys y m m e t r i cm u s tb ec o m p a c t k e yw o r d s ： m o o ri t e r a t i o n l o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e m i n i m a ls u b - m a n i f o l dt h el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 犍! 堑硕士学位论文答辩委员会成员名单 沙j 年6 月7 日 姓名职称单位备注 f 亏 黼 老川檐老 主席 名础 别敖篮，红修婷 爱东杀湫硅，脉疗为璐 j 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名 学位论文授权使用声明 吼幽 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用木规定。 学位论文作者虢榜擗 口期： 渺5 7 导师签名： 口期： k f ，c 1 - 第一节引言及结果 最近文【cl 】运用m o s e r 迭代得到了球面中极小予流形的第二基木形式长度 的一个点点估计，如下： 定理( c h e u n gl f ，l e u n gp f ) ：设m “是s ”p 中的完备非紧的等距极小浸入 子流形， i a i “d v o 。，r i c m ( n 1 ) ， m d k 0 为常数，则，s u p m b r ( p o ) i a r 一0 ，当r 一+ o 。时，v p o m “，b n ) 是 以珈为中心以r 为半径的测地球 然后应用它得： 定理：设m ”是s ”，中的完备等距极小浸入予流形，满足如下条件： 则，m “是紧致的 本文运用类似的方法把底空间换成局部对称空间，也得到部分结果具体如 下： 定t 1 1 ： 设m “m 3 ) 是”1 中的完备非紧的等距极小浸入超曲而，“+ 1 是 连通的局部对称空间，满足如下条件： ( 1 ) ，i a i “d v o 。，n ”+ 1 是单连通的，且b k _ k l ，k l o ； 盯 或 ( 2 ) fi a i “d v m 晒r 时m 一 q 胁如 n a k 0 t r ( m ) 之赤 则，m ”是紧致的 定理2 ：设m ”( n 3 ) 是n ”p ，p 2 巾的完备非紧的等距极小浸入_ 了流形 n ”p 是连通的局部对称空间，满足如下条 ， 一： f l a n d v o 。，r c ”( n 1 ) k 0 为常数，0 65k n 1 ，r ( m ) 7 r 则， 8 u p m b r ( m ) i a i “_ 0 当r 一+ o 。时，v p o m “，b r ( p o ) 是以p 0 为中心以r 为半径的测地球 推论2 ：设m “( n 3 ) 是n ”p ，p 2 中的完钉等距极小浸入了流形。”一是 连通的局部对称空间，满足如下条件： f l a l a d y o 。, r i c m ( n - 1 ) ， k 0 ，七为常数，则吖“是紧致的 引理2 3 ： h s 】( s o b 。1 e vi n e q u a l i t y ) 设m ”一矿是等距浸入且耳sb 2 , ( z ) c 1 ( m ) ，h ( z ) 兰0 ，h ( x ) l 。= o ，则 如果 这里 ( 厶n 焉a ) 7 m - i c ( ”1 ) 厶啊川+ n 矧】a ， 6 2 ( 1 刊鲁1 删s 蝴( 州鲁 l i 枇。鲰m ) 肋= ( b - l a r c s i n b ( 1 嚣酬圳向差淼 3 。是自由参数，0 o 1 ，且 c ( m ) = c ( m ，a ) = 一1 。一1 ( 1 一。) 一去嵩u 二击： 当b 是纯虚数时”去掉 记号说明： k 是m 的截面曲率，日为浸入的平均曲率向量场，r ( m ) 为m 的单一半径 在m 上的限制，“k 是j p 中单位球的体秘，b 是正实数或纯虚数 4 第三节 定理l 的证明 e j i 理3 1 ： 设m “是v ”+ 1 的等距浸入极小超曲面，n ”1 是局部对称仝阳1 ，且0 2s k _ vs ，这里，如为常数，h 为”1 的截而曲率则- a i a n ( 2 k 2 一k 1 ) l a i i a l 3 ，i a i = ，略 v 。o 证明：因为 i a l = 跏。v 1 压h o ：跏肇丝圣篁 蚶 0 = + 南善 + 两1 荨b 幽“ = 一南 攀产，驴v ” + 可i v h i ：+ 南善舭 一臀+ 臀+ 南峨 = 南峙 于是只须证，“h l i a h 玎n ( 2 k ：一k , ) l a l 2 一i a l 4 ，即可， h 洲一h 讲k + h 竹v r m 涮+ h 。m r 埘h a h u ； a h 玎= h 埘k 一州m 一h 鼢一k n + 1 , i 似 5 a h l j= ( k k i j k n + l m j k + ( h t 。r 。珊+ h 。t * ) “ kmm = ( 删一风+ 1 ，一虬+ 1 珊，k ) + ( 一 触扎咖+ 1 一 ”扎如扎k ) + ( m m + h 。；m + 2 h 。k 玎k ) + ( h m i h 。j h k k + h k 。h “7 z 州一h k 。h k 。h 玎一k ，h 。k h k j ) m i 因为e k h k k = o ，及k l c = 0 ，所以， h i j a h t j = 一晦愀。+ l ，女 + ( 2 h 哪h 玎k m 枞+ 2 h 。h 玎u k ) 一( ；) 2 i , j 对每个p m “我们选取好的标架 e 0 使得在这点有，饥，( p ) = a 。( p ) 也，_ 丁是 所以 ( 2 h m j h 。k m m + 2 h 。k h o k m 玎b ) = ( 2 ：垃鼬+ 2 k a ，k m ) = 一k ) 2 雎m k 2 ( 凡一k ) 2 = 2 n k z 肆 = 2 n k 2 碍 h i j a h i j 一n k t ( h 弓) + 2 旅。( h 弓) 一( 7 。；) 2 i , ji , j i , ji , j 6 n ( 2 k 2 一k l ) ( e h ；) 一( 弓) 2 i ，jt j 因，i a i = 则，( ) n ( 2 k 2 一h ) l 以1 2 一i a l 4 所以， 、fo js , j ( h l j a h i 3 ) a i a i 三铲n ( 2 k 2 一。- ) l a i i a l 3 定理1 的证明： 首先说明3 f ，使得v r ，( 0 r o 满足( r ) 口，s o b o l e v ；g 等式在b ，( p ) ，卜- 会 成立，界i v l ( x ) c 铲( b r ( ) 所以选择k ( f ) p 对r f ，显然有咋( r ) 墨k ( f ) s k ( f ) 胁( 。) 一2 u ( 2 q 一1 一( 2 9 1 ) u ( 却一2 2 l v u l 2 7 幻 2 f a 一 ( 幻 札 铲 h 心卸 铲 一 幻 u pa卜 ( q 。伽) + 2 u ( 2 q q - 2 ) ) 弘u ( 2 q - 1 ) + ( 2 口一1 ) u ( 2 q - 2 ) t c 2 i v “门( 3 1 ) v ( t 。) l l ；= = = u ( 2 q ) i v f l 2 + 2 咖幻_ l + 矿瓢( 2 口叫陬1 2 ( 3 2 ) 由；“( 3 2 ) + ( 3 1 ) 可得： ： i v ( u 4 ) 1 2 + ( 2 口，) ”2 口一l ，2 l v u l 2 ( 五2 u ( 2 q ) + 2 t t c 2 q + 2 ) + 悯2 + 。 m 删f w l 2 f v ( f u 。) 1 2 ：；q ( ( 矗f 2 “( 2 口) + 2 u ( 2 q + 2 ) + “c 2 口l v 1 2 i i v ( t ，) i i ；c 2 q ( 1 l s u 。i 瞎+ i i u ( 。+ 1 ) l l ；+ i i 札。l v f ；)( c | = m a x 1 ，c 。 i i v ( t ，) i | 2 c 3 、盾( i i f u - i i 。+ i “( 。+ 1 ) 1 1 2 + i l u q l v , l l l 2 ) c 3 ：、i i( 3 3 ) 又因为 z t ，( 儿；) ：( 几v ：山南) 学 = i i x a 1 2 洲i 笔( s 2 ) 所以( 3 3 ) 式变成： l | v ( u 9 ) l hsc 譬盾( i i f “9 i i z + i l u 4 i v , l l l z + i i x l a l 2 i i ；| | f t t 4 | l 鲁；) 由s o b l e v 不等式，可得： 怅“a 箍q 锕( i l e “。2 + l l u a l v 引。+ l l x l a l 2 | | | l l f “。i i 岛) c 4 = 岛g ( 3 4 ) r ( 2 ) 整理不等式： 对( 3 4 ) 考虑，8 n 2 , i 致q2 ；，s2 n ，( z ) = l ，当z b 警p ) 肘 v 引；，p 1 ) 则有 ( e 是u 岳) 紫sq 撕【( 矿) 5 + ；( u n ) 。 b r ( p ) + ( 八娜) ；( 南g ) 紫 i a i n r 南测有， ( “岳) 譬s z 蝴j + 巩u n ) ； 8 苷 珥( p ) i 而i 研删有， 所以只须取 ( 小i “) i 1 m t n 赤 珥( 曲 就有 n i n n n s = 当时 面历而1 )【2 a 扣( 1 + ；) 】：j 9 ( 3 5 ) r 佃 r 伽 ，、 若 若 一 宁 、 岳 “ 蛳 ( b o ，( d 0 ，当r 风时，有 1 4 r d v b r ) 所以只要耳( p ) 叭岛( p 。) , e 2 ) 一| 一 、 ” 。凹 厂，吼 2 ，t g q = ；，s = n ，( z ) = 1 ，当z b 挈( p ) 时； i v i 茎；8 ，( rs1 ) 则有 ( e 墨u 笔) 等sg 锕 ；( “) 5 + ( 几帅) ；( 向癌) 鲁 若( z ，川“) ” 南，则有， ( u 岳) 学s 黪卅：( u n ) ； 若lj i a r ) _ l 再，则有， b r ( p ) l 譬如瓶l ” ( 高) 丁- 廿辱巾j 所以只须取 ()rain南，丽1bv 卜。，( p ) lr 。o 1j 1 2 0 ，( j o ，当r 时，有 i a i “d 村口r ( p 0 ) 所以只要删m 剐砒e 0 ，由引理22 ，可知m ”是紧致的，与假设矛盾所以 ，”是紧 致的 1 4 口 0一盯 m ! l 第四节定理2 的证明 引理4 h 【g 】设n + p 是黎曼流形，如果o d k n 1 l j ， j l k a b c d isi ( 1 一j ) ，对互不相同的a ，b ，c ，d ； k a c b c ls ( 1 6 ) ，a b 引理4 2 ：设m “是”却，p 2 的等距浸入极小子流形，”是局部列称空间 且0 6sk ns1 ，这里j 为常数，h 为| v ”的截面曲率则， 靴【( 2 卜冲m 川川a i - ( 2 - w 朋f 2 厕 证明：利用文p x 的( 3 5 ) 式及引理4 1 ，类似丁引理3 1 的证明即可 定理2 的证明： 首先说明静，使得对任意的r ，( o 0 满足k ( r ) f = ； 等式在耳上会成立，对v ，x ) c 铲( 研( p ) ) 所以选择k ( f ) 0 对r i 1 显然 有嵋( r ) 嵋( f ) 茎v k ( f ) 0 当( 2 6 一l m 一3 ( 1 6 ) n ( p 一1 ) 一 u 一 砷 i p jt _ c l 2 u ( 2 q ) _ g 2 2 u ( 2 q + 2 ) ) c l 2 u 2 q ) + g f 2 u ( 2 q + 2 ) ) 曼，【d l u ( 2 u ( u q - 1 ) v u ) m 一2 “( 2 q 一1 ) 一 _ ( 2 f “( 2 q - 1 ) j m + ( 2 口一1 ) u ( 幻一2 2 i v u l 2 ) ( 2 q 1 ) “( 2 9 一2 2 1 w 1 2 ( 4 1 ) l v ( u 4 ) 旧= = = 厂“伸开+ z ”l 2 ) 所以( 4 3 ) 式变成： i i v ( “。) 1 1 zs g 锕( 1 i “。1 1 2 + 1 1 t , q l v f | | i ：+ i l x l a l 2 | | i | i 9 i l 岛) 1 6 2 uv 以 幻 u p 矿 + 由s o b l e v ：不等式，可得： 憾u - 1 l 为墨c 4 撕( 雌1 1 2 + i | u 。i v f ：+ i i x i a l 2 吲1i u a i i 岛) 瓯= g g ( 4 ，4 ) ( 2 ) 整理不等式： 对( 4 4 ) 考虑，s n 2 ，取q 2 ；，s 2 ，( z ) = 1 ，当z b 竽( p ) 时 v f is ；，( r 1 ) 则有 + ( b r ( p ) 若( 。纠”) ； 赤测有， ( u 岳) 常 。+ 汛u n ) ； 白弓f ( p ) 口r ( p ) 若( 口删“) i 1 而1 州圹t 测有， 所以只须取 就有 ()i1b 商赤，南卜， r ( p ) l 1v ”r j 簪 5、 心， 岳 m u 厂、删盎 ，一 )瓢厂j捌 + ， 0 _， 1 2 l n 、=-、 口 旷舭 k 丙a 一 鲁 、 岳 札 禹 厂，删 ( 口 l 一 学 、 岳 蛳 ( 且 0 ， o ，当r 时，有 所以只要研cm b r ( p o ) , m i n 南，齑) 舢觚 当( 2 6 一z ) n 一；( 1 6 ) n 0 1 ) 0 ，( 即8 d i i2 6 1 ) f l 寸，证法类似于刘cl g 理3 ；证毕 1 9 、 、r， q 岬 。 厂，巩 一 ，l h = j e 0 ，由引理2 2 ，可知m ”是紧致的，与假设矛盾所以m “是紧 致的，证毕 参考文献 【b c e b a r b aj l ，d oc a r m om ，e s c h e n b u r gj ，s t a b i l i t yo fh y p e r s u r f a c e so fc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ei nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，m a t h u zv 0 1 1 9 7 ，1 2 3 1 3 8 ( 1 9 8 8 ) 【b h 】b d r a r dp ，h a n s w i r t hl ，g e n e r a lc u r v a t u r ee s t i m a t e sf o rs t a b l eh - s u r f a c e si m m e r s e di n t oa s p a c ef o r m ，v 0 1 7 8 ，6 6 7 - 7 0 0 ( 1 9 9 9 ) 【c c k 】s s c h e r nm d oc a r m oa n ds k o b a y a s h i ，m i n i m a ls u b m a i f o l d so fas p h e r e w i t hs e c o n df u n d m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h f u n c t i o n a la n a l y s i sa n dr e l a t e d f i e l d s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，5 9 - 7 5 ( 1 9 7 0 ) 【c l c h e u n gl f ，l e t m gp f ，a na p p l i c a t i o no fm o s e ri t e r a t i o nt oc o m p l e t em i n i m a ls u b m a n i f o l di nds p h e r e ，j a u s t m a t h s o c v 0 1 7 6 ，n o 2 ，1 5 1 1 6 5 ( 2 0 0 4 ) 【c p 】d oc a r m om ，p e n gc k ，s t a b l ec o m p l e t em i n i m a ls u r f a c ei nr 3a r ep l a n e s ， b u l la m e r m a t h s o c ，v 0 1 1 ，9 0 3 - 9 0 6 ，( 1 9 7 9 ) 【f s 】f i s c h e rc o l b r i ed ，s c h o e nr ，t h es t r u c t u r eo fc o m p l e t em i n i m a ls u r f a c e si n3 一 m a n i f o l d so fn o n - n e g a t i v es c a l a rc u r v a t u r e ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，v 0 1 3 3 ，1 9 9 2 1 1 ，( 1 9 8 0 ) 【g lg o l d b e r gs i ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y , a c a d e m i cp r e s s ，l o n d o n ，( 1 9 6 2 ) 【g t 】g i l b a r gd t r u d i n g e rn s ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n d o r d e rc l a s s i c si nm a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ( 2 0 0 1 ) f h s 】h o f f m a nd ，s p r u c kj ，s o b o l e va n di s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rr i e m a n n i a n m a n i f o l d s ic o m m p u r ea p p l m a t h v 0 1 2 7 ，7 1 5 7 2 5 ( 1 9 7 4 ) f j x j iy o n g - q i a n g ，x us e n - f i n ，m i n i m a ls u b m a n i f o l di nl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e s ， n o r t h e a s t m a t h j ，v 0 1 2 1 ，6 1 6 9 ，( 2 0 0 s ) 【l l e u n gp f ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d si nas p h e r e ，m a t h u ，zv 0 1 1 8 3 ，7 5 8 6 ( 1 9 8 3 ) 2 1 【m 】m o s e rj ，o nh a r n a c k st h e o r e mf o re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o m m p u r e a n da p p l m a t h ，v 0 1 1 4 ，5 7 7 - 5 9 1 ，( 1 9 6 1 ) 【m s jj h m i c h a e ll s i m o n ，s o b o l e va n d m e a n v a l u ei n e q u a l i t i e so ng e n e r a l i z e ds u b m a n i f o l d so fr “，c o m m p u r ea p p l m a t h ，v 0 1 2 6 ，3 6 1 3 7 9 ，( 1 9 7 3 ) i n 】l n i ，g a pt h e o r e m sf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n 舻”，c o m m i na n a l a n d g e o m ，v 0 1 9 ，n o 3 ，6 4 1 6 5 6 ，( 2 0 0 1 ) i o 】o l i v e i r ag ，c o m p a c t i f i c a t i o no fm i n i m a ls u b m a n i f o l do fh y p e r b o l i cs p a c e ， c o m m a n a l g e o m ，v 0 1 1 ，n o 1 ，1 2 3 ，( 1 9 9 3 ) p e t e r lp e t e rl i ，l e c t u r en o t e so ng e o m e t r i ca n a l y s i s ( 1 9 9 6 ) 【s 】s h e nc h u n - l i ，ag l o b a l p i n c h i n g t h e o r e m sf o r h y p e r s u r f a c e s i nt h e s p h e r e ，p r o c a m s ，v 0 1 1 0 4 ，n o 3 ，( 1 9 8 8 ) 【s c h lr s c h o e n ，e s t i m a t e sf o rs t a b l em i n i m a ls u r f a c e si nt h r e ed i m e n s i o n a lm a n i f o l d s ， c 0 1 1 0 3a n n m a t h s t u d p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，( 1 9 8 3 ) s h ls h a r i e fd e s h m u k h ，r i g i d i t y o f c o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l d s i na s p h e r e ，p a c i f i cj o fm a t h ，v 0 1 1 9 3 ，n o 1 ，3 1 - 4 4 ，( 2 0 0 0 ) 【s i 】j s i m o n s ， m i n i m a lv a r i e t i e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n n o f m a t h ，v 0 1 8 8 ，n o 2 ，6 2 - 1 0 5 ，( 1 9 6 8 ) 【s s 吲r s c h o e nl s i m o n sa n ds - t y a u ，c u r v a t u r ee s t i m a t ef o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e ，a e t a m a t h ，v 0 1 1 3 4 ，2 7 5 - 2 8 8 ( 1 9 7 4 ) 【s s c h o e nr s t ，y a u ，l e c t u r e s o nd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , i n t e r n a t i o n a l p r e s s ，1 9 9 4 s z 】y s h e na n dx z h u ，o nt h es t a b l ec o m p l e t em i n i m a lh y p e r s u r f a c e si n r n + ia m e r j m a t h ，v 0 1 1 2 0 ，1