（基础数学专业论文）若干非线性问题的研究.pdf

摘要 在第一章中，讨论了c a r i s t i 不动点定理与b a n a c h 压缩映射原理的等价性已 有的研究结果表明，c a r i s t i 不动点定理与著名的e k e l a n d 变分原理等价，同时， 它们都等价于空间的完备性，另外，在一定条件下，b a n a c h 压缩映射原理与空 间的完备性也是等价的，因此本文将考虑c a r i s t i 不动点定理与b a n a c h 压缩映射 原理的等价性由定理的条件不难推出，b a n a c h 压缩映射一定是满足c a r i s t i 不 动点定理的映射，但反之显然是不一定成立的，因此，值得研究的问题是，满足 c a r i s t i 不动点定理条件的映射在什么条件下构成b a n a c h 压缩映射本章证明了， 在定条件下，存在某一等价度量d + ，使得满足c a r i s t i 不动点定理条件的映射 f 关于d4 是b a n a c h 压缩映射，因此，c a r i s t i 不动点定理在一定条件下与b a n a c h 压缩映射原理等价 在第二章中，讨论了与e k e l a n d 变分原理相关的一些问题鉴于e k e l a n d 变 分原理的重要性，因此讨论它的稳定性是非常必要的e k e l a n d 变分原理的稳定 性是由a t t o u c h 和r i a h i 建立的，这些结论是建立在集合收敛的概念的基础上的： ， 即p a i n l e v e k u r a t o w s k i 收敛；m o s c o 收敛；有界h a u s d o r f f 收敛以及更进一步的 图收敛( 当考虑集合是函数的图时) 在本文中，我们将用这些方法讨论在完备的度量空间中，与e k e l a n d 变分原 理相关问题的稳定性在某种紧性条件或自反b a n a c h 空间下，作者证明了解 是下半连续的，而我们可以给出一个例子说明：在e k e l a n d 变分原理中，b a n a c h 空间下，按照一致度量，s 一解并不总是下半连续的，并证明了一解在一般的度 量空间下是几乎下半连续的 另外，史树中证明了c a r i s t i 不动点定理与e k e l a n d 变分原理是等价的，并且 由证明过程可以知道e k e l a n d 变分原理中的极值点包含在c a r i s t i 不动点定理 中对应映射的不动点集中，鉴于前面分析的e k e l a n d 变分原理中集值映射s - 解的 性质，因此在前面的基础上，也讨论了c a r i s t i 不动点定理中不动点集的稳定性 质 另外一个问题是讨论e k e l a n d 变分原理的推广我们知道e k e l a n d 变分原理 中的映射是一个广义实值泛函，但在实际中所考虑的问题往往是多方面的，即是 2 向量值的，因此另外一个值得考虑的问题是：能否将e k e l a n d 变分原理中的泛函 f 推广为向量值函数于是本文就考虑这个问题，试着将e k e l a n d 变分原理中的 泛函f 推广为向量值映射 在第三章中，讨论了集值映射向量优化问题解的连续性质向量优化理论已 被广泛的应用到了许多领域，国内外对向量优化问题的研究也有许多的成果，这 些成果主要是研究向量值函数最优解的存在性与稳定性，其中包括有效解，弱有 效解以及加权解的单值映射向量优化问题解的存在性与稳定性，因此本文就考虑 了集值映射向量优化问题解的连续性质 在第四章中，讨论了变分不等式解的存在性，我们知道变分不等式的解不一 定唯一，那么变分不等式的解集是否稳定? 即当构成变分不等式的映射发生微小 变化时，其解集是否也产生微小变化? 有例子表明这个结论是否定的，已有的文 献中讨论了拟变分不等式解集的本质连通区的存在问题和极小本质集的存在问 题 我们也知道，研究解集的本质集和本质连通区，很大程度上是处于在多解情 形时对解集进行选择和精炼为进一步有效地选择和精炼有关的解集，x i a n g 提 出了一些具有进一步精炼与选择意义的本质点和本质集的概念，即强本质点和强 本质集的概念因此本文就从精炼与选择的意义下，进步讨论了拟变分不等式 解集的极小强本质集和本质连通区的存在问题，证明了每个拟变分不等式f 满足 一定条件) 的解集至少存在一个极小强本质集，并且还证明了每一个极小强本质 集是连通的 关键词：c a r i s t i 不动点定理，b a n a c h 压缩映射原理，等价性，e k e l a n d 变分 原理，稳定性，向量集值映射，弱有效解，拟变分不等式，强本质集，极小强本 质集，本质连通区 中图分类号：0 1 7 7 9 1 a b s t r a c t i n c h a p t e r1 ，w eh a v ed i s c u s s e dt h ee q u i v a l e n c ep r o p e r t yo fc a r i s t if i x e dp o i n t t h e o r e ma n db a n a c hc o t i t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l e w ek n o wc a r i s t if i x e dp o i n t t h e o r e ma n de k e l a n dv a r i a t i o np r i n c i p l ei se p u i v a l e n c e i nt h es a m et i m e ，t h et w o p r i n c i p l e sa n dt h ec o m p l e t e n e s so fs p a c ei se p u i v a l e n c e m o r e o v e r , u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s ，b a n a c hc o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l ea n dt h ec o m p l e t e n e s so fs p a c ei s e p u i v a l e n c e s o1w i l lt h i n ko v e rt h ee q u i v a l e n c ep r o p e r t yo fc a r i s t if i x e dp o i n t t h e o r e ma n db a n a c hc o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l e w ep r o v e d ，u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s ，t h e r ee x i s t sae q u i v a l e n tm e t r i cd + ，s u c ht h a tt h em a p p i n gf w h i c h s a t i s f i e st h ec o n d i t i o no fc a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m ，i sab a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n g r e s p e c tt o d 。s ou n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，c a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e ma n db a n a c h c o n t r a c t i o nm a p p r i n c i p l ei se q u i v a l e n t i n c h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s s e dt h ep r o b l e m sr e l a t e dt oe k e l a n dv a r i a t i o n p r i n c i p l e i ti sw e l lk n o w nt h a te k e l a n d v a r i a t i o np r i n c i p l ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n n o n l i n e a ra n a l y s i sa n dg e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e s ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y , a n d m u l t i v a l u e dd i f f e r e n t i a lc a l c u l u s j u s tb e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo ft h ee k e l a n d v a r i a t i o np r i n c i p l e ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h es t a b i l i t yo ft h ep r i n c i p l e i nt h i sp a p e r , w eg i v ea ne x a m p l ea n dp o i n to u tt h a t 一s o l u t i o n so fe k e l a n dv a r i a t i o np r i n c i p l e a r en o ta l w a y sl o w e rs e m i c o n t i n u o u si nb a n a c hs p a c e sw i t ht e p e c tt ou n i f o r mm e t r i c t op r o v i d es o m er e s u l t so fs t a b i l i t y , w ep r o v et h a t 一s o l u t i o n si sa l m o s tl o w e r s e m i c o n t i n u o u si ng e n e r a lm e t r i cs p a c e s w ed i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fs e tv a l u e dm a p p i n gi nt h ec a r i s t if i x e dp o i n t t h e o r e m w ek n o wc a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e ma n de k e l a n dv a r i a t i o np r i n c i p l ei s e p u i v a l e n c ea n dt h e r ea r eg o o dp r o p e r t i e so f 一s o l u t i o n si nt h ee k e l a n dv a r i a t i o n p r i n c i p l e s ow ed i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so ft h es e to ff i x e dp o i n t si nt h ec a r i s t if i x e d p o i n tt h e o r e m o nt h eo t h e rh a n d ，w et r yt og e n e r a l i z ef i nt h ee k e l a n dv a r i a t i o n p r i n c i p l et ov e c t o rv a l u e df u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fc o n t i n u i t yo fs e tv a l u e dm a p p i n gi n t h ev e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m v e c t o ro p t i m i z a t i o nt h e o r y h a v e b e e na l r e a d y a p p l i e di nm a n yf i e l d s i nt h ew o r l d ，t h e r ea r em a n yr e s u l t s t h e s er e s u l t sm a i n l y d i s c u s s e dt h eb e s ts o l u t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yi nt h ev e c t o ro p t i m i z a t i o n t h e s es o l u t i o n si n c l u d ee f f e c t i v es o l u t i o n ，w e a ke f f e c t i v es o l u t i o na n da d d e dw e i g h t s o l u t i o n s ot h i st e x tc o n s i d e r e dt h ep r o p e r t i e so ft h i ss o l u t i o n so fs e tv a l u e dm a p p i n g 4 i nt h ev e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y w e k n o ws o l u t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sn o ta l w a y su n i q u e w h e t h e rt h es o l u t i o ns e t o fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi ss t a b l e t h a ti s ，m a po fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yc h a n g e m i n u t e l y , w h e t h e rt h es o l u t i o ns e to fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yw i l lc h a n g em i n u t e l y s o m ee x a m p l e si n d i c a t et h ec o n c l u s i o ni sn e g a t i v e s o m ea r t i c a l sd i s c u s s e dt h e e x i s t e n c eo fe s s e n t i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n to ft h es o l u t i o ns e to fq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fm i n i m a le s s e n t i a ls e t t h ea r t i c l ef u r t h e rd i s c u s s e dt h e e x i s t e n c eo fm i n i m a ls t r o n g l ye s s e n t i a ls e to ft h es o l u t i o ns e to fq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t 5a n dp r o v e dt h es o l u t i o ns e to fe v e r yq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( c e r t a i n c o n d i t i o n s ) a tl e a s te x i s t sam i n i m a ls t r o n g l ye s s e n t i a ls e ta n dt h i ss t r o n g l ye s s e n t i a l s e ti sac o m p o n e n t k e yw o r d s ：c a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m ，b a n a c hc o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l e ， e p u i v a l e n c e ，e k e l a n dv a r i a t i o np r i n c i p l e ，s t a b i l i t y , v e c t o rv a l u e do fs e tv a l u e d m a p p i n g ，e f f i c i e n ts o l u t i o n ，w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，q u a s i v a r i a t i o n a li ne q u a l i t y , s t r o n g l ye s s e n t i a ls e t ，s t r o n g l ye s s e n t i a lc o m p o n e n t 5 第一章c a r i s t i 不动点定理与b a n a c h 压缩原理的等价性 1 1 引言 1 9 7 6 年，c a r i s t i 2 3 提出了著名的c a r i s t i 不动点定理，这一结果被认为是非 线性泛函分析的重要里程碑，该定理被广泛应用于控制论，优化理论等学科，起 到了常用分析工具难以起到的作用，成为了非线性泛函分析进一步发展的强有力 的工具 以有的研究结果表明，c a r i s t i 不动点定理与著名的e k e l a n d 变分原理等价， 同时，它们都等价于空间的完备性( 参见【1 7 ) 另外，在一定条件下，b a n a c h 压 缩映射原理与空间的完备性也是等价的( 参见【2 4 ， 4 3 1 ，【2 1 ) 因此，在本文中， 我们将考虑c a r i s t i 不动点定理与b a n a c h 压缩映射原理的等价性由定理的条件， 不难推出，b a n a c h 压缩映射一定是满足c a r i s t i 不动点定理的映射，但反之显然 是不一定成立的，因此，值得研究的问题是，满足c a r i s t i 不动点定理条件的映 射在什么条件下构成b a n a c h 压缩映射 本章证明了，在一定条件下，存在某一等价度量dt ，使得满足c a r i s t i 不动 点定理条件的映射f 关于ds 是b a n a c h 压缩映射，因此，c a r i s t i 不动点定理在一 定条件下与b a n a c h 压缩映射原理等价 1 2 预备知识 定义1 2 。1 称度量空间( 石，d ) 是有界的， 如果存在m ，0 ， 使得 d i a m ( x ) = s u p 埘 ，y ) ：z ，y x ) s m 定义1 2 2 称度量d + 与度量d 是一致等价的，如果对v e ) 0 ，j 6 ，0 ，使 得对v x ，y e x ，当d ( z ，y ) c6 时，有d8 ( 石，y ) 0 ，3 a 0 ， 使得对v x ，y x ，当d4 0 ，y ) c 口时，有d ( x ，y ) 叩 定义1 2 3 设，d ) 是一度量空间，f ：置一并称为b a n a c h 压缩映射，如果 存在某一常数 ( 0 ，1 ) ，使得d 旷0 ) ，f ( _ ) ，) ) s h d ( x ，y ) ，v x ，y z 其中 称为压 缩常数 文中将用到s l e a d e r 3 2 ) 5 f i 给出的两个关于b a n a c h 压缩映射原理的逆问题 的结果 引理1 2 1 ( s l e a d e r ) 设暖，d ) 是完备的度量空间，f ：x x 是连续映射， 则在z 上存在等价度量d + ，使得f 关于它是压缩映射的充要条件是： ( 1 ) 对每个x e x ，f ”( x ) 一x 。，x 。是f 的唯一不动点 ( 2 ) 在x 。的某邻域u 中， f 4 0 ) 一z 。的收敛是一致的 引理1 2 2 ( s l e a d e r ) 设僻，d ) 是完备的度量空间，f ：x 一工是一致连续映 射，则在z 上存在一致等价的度量d + ，使f 关于它是压缩映射的充要条件是： ( 1 ) 对每个z z ，f ”x ) 一，x 。是f 的唯一不动点 ( 2 ) 在z 中，4 ) 一z 。的收敛是一致的 引理1 2 3 ( c a r i s t i 不动点定理) 【2 3 】设( x ，d ) 是完备的度量空间，妒：x 只是 下半连续，下有界的泛函，映射f ：x x 满足d 0 ，f o ) ) 蔓妒 ) 一妒( f 0 ) ) ，则 f 在x 上存在不动点 引理1 2 。4 ( b a n a c h 压缩映射原理) 设( x ，d ) 是完备的度量空间，映射f 是 b a n a c h 压缩映射，则f 在x 上存在唯一的不动点 1 3c a r i s t i 不动点定理与b a n a c h 压缩映射原理的等价性 定理1 3 1 设f 满足c a r i s t i 不动点定理的条件，若f 连续，z 。是f 的唯一不 动点，且满足下述条件： ( c 1 ) 若 妒( f “0 ) ) 在x 上的每一点收敛，则静( ，” ) ) ) 在的某邻域u 上 一致收敛 则在x 上存在等价度量d + ，使f 关于等价度量d + 是压缩映射 证明：任意取定x e x ，则 d ( x ，f ) ) s 妒0 ) 一妒( f o ) ) d 旷 ) ，f 2 ) ) 蔓9 ( f 0 ) ) 一v ( f2 ) ) d ( f ”1 0 ) ，f ”0 ) ) 蔓c p ( f ”1 ) ) 一妒( f ”0 ) ) 于是妒 ) 苫妒旷 ) ) zc p ( f 2 0 ) ) z z 妒( f “ ) ) 芑，扣( f “o ) ) ) 为单调递减 数列，由妒在z 上有下界，知 妒何4 ) ) ) 收敛由定理的条件，则如何” ) ) 在 z 。的某邻域u 上一致收敛于是对任意的z u ，月，p ，有 d 印”9 ) ，f ”o ) ) s 薹【妒( f n + ( k - 1 ) o ) ) 一妒”( x ) ) 】。妒( f ”( x ) ) 一妒( f ”9 ) ) 由 t p ( f “0 ) ) 在【，上一致收敛，对，0 ，存在m 0 ，当n ，m 时，有 d ( f ”9 ) ，f “ ) ) c 即 p ) 在u 上一致收敛，任取一点x x ，设f “ ) 一z4 ，由f 的连续性， 得： x 4 一l i r a f “0 4 ) = fl i m f “( x 4 ) = f ( x 4 ) ， 即x + 为f 的不动点，由不动点的唯一性，知，”0 ) 在u 上一致收敛于。 因此，由引理1 2 1 ，知在x 上存在等价度量垂+ ，使f 关于d + 是b a n a c h 压 缩映射口 定理1 3 2 设f 满足c a r i s t i 不动点定理的条件，若f 连续，是f 的唯一 不动点，且满足下述条件： ( c 2 ) 若如( f “ ) ) 在x 上的每一点收敛，则却( f “ ) ) 在z 上一致收敛。 则在x 上存在一致等价度量ds ，使f 关于一致等价度量dt 是压缩映射。 证明：与定理1 3 1 类似，只需注意到定理的条件：( c 2 ) 若却( f ”( x ) ) 在x 上的每一点收敛，则 妒( f “ ) ) ) 在x 上一致收敛； 并由引理1 2 2 即得 定理1 3 3 设x 为有界的，f ：x x ，则f 在x 上存在一致等价度量d t ， 使f 关于一致等价度量d 。是压缩映射的充分必要条件为：满足c a r i s t i 不动点定 理的条件，f 连续，x 。是f 的唯一不动点，且满足下述条件：若却( f “0 ) ) ) 在 x 上的每一点收敛，则却( f “ ) ) ) 在x 上一致收敛 证明：充分性由定理1 3 2 即得 必要性：设，为压缩映射， 则满足： d ( f ) ，f ( y ) s h ( d o ，y ) ，v x ，y e x 0s h 一s ，则 称，在z o 点是下半连续的如果厂在任意a x o e x 处是下半连续的，则称，在x 上是下半连续的函数 下面的引理参见 1 4 引理2 2 1 ( e k e l a n d 变分原理) 设( x ，d ) 是一个完备的度量空 间厂：x 一尺u + m ) 是下方有界的下半连续的广义实值函数，并且不恒等于 + o 。设对任给的e ，0 ，存在x o e x 满足 ，( x o ) s i n f f ( x ) ：z c x + s ， 则对任意的a ，0 ，存在z 。e x ，使得： f ( x 。) sf ( x o ) 一e m ( x 。，x 。) ： d ( x o , x , ) ； ； ( 多i ( x ) ，( z 。) 一e z d ( x ，x 。) ，v r z 缸。) 定义2 2 3 设石，y 为拓扑空间，f ：x 一只( y ) ，矗u x 称f 在点是上半连 续的，若对包含f ( x o ) 的任一开集u ，存在x o 的邻域v ，使得f o ，) c u 若f 在任 一点x e x 处上半连续，则称f 是上半连续的 定义2 2 4 设x ，y 为拓扑空间，f ：z 一异) ，x o z 称f 在点是下半连 续的，若对于任意的y e f ( x o ) 和对x 中收敛于x 0 的一个网仇，n e d ，存在网 秒。，n 讲满足对任意的n e d ，y 。，瓴) ，且o 。) 收敛于y 若f 在任一点z z 处 下半连续，则称f 是下半连续的 下面的概念是由d e u t s c h 和k e n d e r o v 在 1 3 】中建立的 定义2 2 5 设z 为拓扑空间，y 为度量空间，f ：z p o ( y ) ，x o e x 称f 在 点是几乎下半连续的，若对于任意s ，0 ，存在矗的邻域u ，使得 n b 。( f o ) ) l z u ，妒 若f 在x 上的每一点处几乎下半连续，则称f 在x 上为几乎下半连续的映射。 定义2 2 5 设x 为拓扑空间，y 为度量空间，f ：z p o ( y ) ，x o e x 称f 在 点几乎下半连续，如果存在y 。f 。) ，对y 。的任意邻域u ，存在的邻域 ) ，使得当石0 。) ，有，n u ，驴 2 3e k e l a n d 变分原理中集值映射的稳定性分析 2 3 1 相关例子 设x 是一个完备的度量空间，f ：x r u + 。) 是一个下方有界的下半连续 的广义实值函数，对任给的，0 ，根据e k e l a n d 变分原理，则存在一点粕，使 得 f ( u ) f ( x o ) 一耐 ，z o ) ，v ue x ，u 工。 如果上式成立，则称工。为，的一极值点，我们把，的所有s 一极值点组成的集合 1 2 记为e x t 。( ，) ，即 e x t 。( ，) = z ：f ( u ) 厂) 一耐 ，) ，v u x o 下面我们将研究上面这个问题的稳定性在文献【9 中，作者证明了在某种 紧性或者是在自反b a n a c h 空间的条件下，以一个等价几何方式构成的e k e l a n d 变分原理中的解集e x t 。( ，) 是下半连续的( 参见 9 1 e ? f f 9 定理3 3 和3 5 ) 下面的例子，证明了在非自反b a n a c h 空间中，e k e l a n d 变分原理中的解集 e x t 。( ，) 并不总是下半连续的，即使函数序列在某种意义下是h a u s d o r f f 图收敛或 者一致度量收敛的 例2 3 1 设e 是某个非自反的b a n a c h 空间，x ；缸。) c e 是一个序列并且 0 z 。一z ，；1 ，v i ，则x 是完备的定义，卅：z r 为： s ( x 。) ：三，n ：1 ，2 ， 厶 。) ：三+ 三。卫兰 则，l 满足e k e l a n d 变分原理的所有条件，并且按照一致度量，h a u s d o r f f 图 收敛，卅一，因此在某种意义下lp a i n l e v e k u r a t o w s k i 收敛到厂 给定= 1 ，卿j e x t 。( ，) = 缸。：，l = l 2 ， ，但是z 。圣蹦f 。( l ) ，m = l 2 ，事实 上，对每个m ，设k m + 1 ，则 l ( x ，) 一f m ( x k ) - 1 + 三一( 吾+ 三。学) ：型。宰，1 ：。忆- - x k m丘m庀m丘 所以x 。圣蹦f 。( 厶) ，所以曰， 。) n e x t 。( ，m ) = 妒，肌= 1 , 2 ，故 e x t ，( ，) 旺l i m i n f ( e x t 。( 厶) ) 由于按照一致度量和日i “砒形图度量，卅一，则得到础。( ，) 在f 按照 一致度量或h a u s d o r f f 图度量不是下半连续的 为了得到一些稳定性的结论，我们下面证明了在度量空间中解是几乎下 半连续的 1 3 2 3 2e k e l a n d 变分原理的等价形式 设( z ，d ) 是一个度量空间，工z ，acz 首先给出一些记号和概念，对 任意的” 0 ，记： b 。( z ，叩) = _ ) ，z ：d ( y ，z ) 一o 。 力= d c x x r ：d 是非空闭的，岛 一) 对任意的，0 ，在z r 上定义一个偏序为： 0 1 ，a 1 ) 之 2 ，a 2 ) 营( a 1 一a 2 ) + 耐0 2 ，z 1 ) s 0 ( 1 ) 下面我们将介绍e k e l a n d 变分原理的一个等价的几何形式先给出p h l e p s 极值原理( 参见 3 1 ) 定理2 3 1 设x 是一个完备的度量空间，给定，0 ，在z 尺定义如( 1 ) 的偏 序，设d 口，则存在z d ，使得z 在d 上按照偏序是最大值 下面记d 上所有的最大值点组成的集合为e x t 。( d ) ，泛函，的所有的s 一极 一值点组成的集合为e x t 。( f ) ，并记 e x t 。“( f ) = 缸e x ：f ( x ) f ( x o ) 并且x e e x t 。( ，) ) ； e x t ( d ) = z d ：z 苫z 并儿e e x t 。( d ) ) 则腑。：口一2 “8 是一个集值映射 设c ( x ) 是x 上的所有有下界的下半连续的泛函组成的集合，则 e x t 。：c ( x ) 一2 。也定义了一个集值映射 1 4 性质2 3 1e k e l a n d 变分原理与p h l e p s 极值原理是等价的，即下面的结论成立： ( 1 ) 设d = e p f 是x 尺的子集，在x 尺上定义如( 1 ) 的偏序，则由p h l e p s 极值原理可以推出e k e l a n d 变分原理，并且 x e e x t 。( f ) 一0 ，f ( x ) ) e x t 。( e p i ( f ) ) ( 2 ) 记d 。； x ，a ) x 尺：弘，口) d 使得a 苫a ) ，x = 缸肖： ，a ) e d ) ，令 ，；i n f a ：0 ，a ) e d ) ，v x e x ， 则e k e l a n d 变分原理可以推出p h l e p s 极值原理，并且 0 ，f ( x ) ) e e x t 。( d ) = e x t ；( d ) x e e x t 。( f ) 证明：我们仅证明x e e x t 。( ，) 0 ，( x ) ) e x t 。( e p i ( f ) ) 首先证明如果 x e x t 。( f ) ，则 ，f ( x ) ) e x t ；( e p i ( f ) ) 若否，则存在 ，a ) e p i f ，使得 0 。，n ) 0 ，0 ) ) ，则( 口一， ) ) + a t ( x 。，工) s0 ，因此，a s f ( x ) 因为 + ，a 。) c e p i f ，贝0f ( x ) sa ，贝0 ( ( x ) 一， ) ) + 耐o ，x ) s0 ( 2 ) 由x e x t ，( 厂) ，得 f ( x ) - - o d7 则存在和。) 某个子序列，不失一般性，设n 。一a sa ，则可以从d 的闭性和0 ，a 。) 一 ，n 。) 得到 ，口。) d ，所以g ，口) d ，故e p i fc d 任意取0 ，口) d ，从f 的定义可以得到f ( x ) e a ，因此o ，a ) g e p i f ，因此 d c e p 另一方面，我们知道当d 满足p h l e p s 极值原理的条件时，满足e k e l a n d 变 分原理的所有条件事实上，由e p f = d 以及d = d 的闭性可以得到，的下半 连续性；由岛，0 q 可以得到f 在x 上是下有界的 类似( 1 ) 可以证明 ，f ( x ) ) e e x t 。( d ) = e x t 。( d 。) 一x e x t 。( 厂) 2 3 3 稳定性的一些结论 下面先给出一些定义 对任意的s ，acx ，设h 。( s ，a ) = i n f r 芑0 ：qc b ( s ，叼) ) ，i n f ( 妒) ；。，则日。 是定义在z 上的所有非空子集组成的集族上的h a u s d o r f f 上半度量；同样 h a u s d o r f f 下半度量h ( s ，a ) = i n f r 0 ：s c b ( q ，叩) ；定义h a u s d o r f f 度量 h ( s ，q ) = m a x h 。( s ，q ) ，h ，( s ，q ) ) 度量空间x 的子集序y i j d 。：n 按照上m “s 如r f f 度量h 。收敛到d ，如果 ! i m h d ，d ) = 0 - 己为l i m d 。；d ( h d ) 下面给出几个关于集合收敛的定义 定义2 3 1 设x 是个度量空间，x 的一个子集序列 域：n ) p a i n l 8 v e k u r a t o w s k i 收敛到x 的子集d ，如果， l 洒竺d 。c d c l i m ! n f d m 这里 l i m s u p d = 缸= 。l i _ r a 。x ：x n d 一，v n ) l i m i n f 珥= 缸一。l i r a 。x k ：砟d n k ，n ，是的子序歹吁 则记l i m 见= d 定义2 3 2 设x 是一个度量空间，x 的一个子集序列 d 。：n ) 上 p a i n l e v e k u r a t o w s k i 收敛到x 的子集d ，如果 dcl i m ! n f d 。 ，r 定义2 3 。3 设x 是一个赋范空间，z 的一个子集序列 e ：n e n m o s c o 收 敛到x 的子集d ，如果， w - - l i m s u p d 。c d c l i m i n f d n n _ 这里w l i m s u p d = 协= w i m z ：以e d v k ，如t ) 是的子序列) n 一 呻 其中工= w - l i m x t 表示序列饥) 弱收敛到x 注2 3 1 ：如果一个序列t d 。 按照m o s c o 收敛，p a i n l e v e k u r a t o w s k i 收敛， h a u s d o r f f 度量收敛，则序列 d 。) 按照上p a i n e l v e k u r a t o w s k i 收敛 定理2 3 2e x t 。在( 口，h 。) 上是几乎下半连续的，这里日。是定义在口上的 h a u s d o r f f 上半度量而且对任意的叩，0 ，存在6 ，0 和z 。；0 ，口) d ，使得 e x t 。“( d ) c n b ( e x t 。( d ) ，叩) 庐 d 码k 徊，d ) 证明：给定叩，0 ，设d 口，如= i n f a r 1 0 ，口) d 卜一。根据岛的 定义，则存在z 0 o ，n ) d ，使得o c 口一岛c 詈叼 设 占风( d ，6 ) = d 口：日。( d ，d ) 一c 。，很显然s ， s 。是闭的 由定理2 3 1 知，e x t 。( s ) 妒以及e x t 。 ，) 妒选取( x + ，n + ) e e x t 。 ) 和 ( y4 ，6 + ) e x t 。( s o ，显然 ，a ) 也是d 上的最大值，若否，则存在( z 。，a ) d 使 得 ，a 。) + ，a + ) 并且( x 。，a ) + ，a ) ，由( x ，a ) 芑0 + ，a + ) 芑o ，口) 以及( x 。，a + ) e s ， 可以知道 ，a + ) 不是s 上的最大值，产生矛盾。同样可知( ) ，+ ，b + ) 也是d 上的最 大值 由 + ，口+ ) s ， ，6 ) e s 。以及口+ ，凡芑p 。，b + ，卢。卢o ，有 0 一口) + 础o ，z ) s 0 ( 2 ) ( 6 + - b ) + 耐( y + ，y ) s 0 ( 3 ) 贝0 a + sa ，b + s b 并且 i b + 一a + i , i b + 一b i + i b a i + l a a4 l s i b a l + ( 口一a ) + ( 6 6 + ) s 6 + ( a 一卢d ) + ( 6 一卢d ) 0 ，存在6 0 和z o = o ，。) d ，使得 e x t 。“( d ) c n b ( e x t 。( d ) ，叩) 妒。 证明：这个结论立即可以由定理2 3 2 证得 定理2 3 3 设d 口， d 。) c 口， d 。) 上p a i n l e7 v e k u r a t o w s k i 收敛到d ， 则对任意的叩) 0 ，存在z 。；0 。，a 。) d 和m ，0 ，使得 e x t 。o ( d ) cnb ( e x t 。( 或) ，r ) 妒 m 证明：给定叩 0 ，设d 口，卢d = i n f a r 1 0 ，a ) e d ) 一o 。 根据岛的定义，则存在z 。= o 。，口。) d ，使得o c 口。一卢。c 导叩因为 d 。 1 9 上p a i r d e 7 v e k u r a t o w s k i 收敛到d ，则存在k ，巳) d 。使得工。一，口。_ 口o 则 存在m ，o ，当n ，m 时，使得d ( x 。, x o ) t i l 印并且i a n - a o i c 65 i 1 ，7 令 。 s o 。 0 ，a ) e d ：0 ，口) ，a o ) ； 风= i n f a e r l ，a ) e so ； s ”= ，口) d j j ： ，a ) 芑( x n ，a 。) ，n = 1 2 。； 成= i n f ae rl ，口) s ” ，n = 1 , 2 ， 则 o ，口o ) so 庐，( x