（控制科学与工程专业论文）非理想条件下的量子隐形传态问题研究.pdf

国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 摘要 量子隐形传态是量子信息处理中一个非常重要的研究课题，在量子通信和量 子计算中具有非常重要的意义。隐形传态过程需要通过量子信道和经典信道来分 别传递量子信息和经典信息，现实中的传输信道都不可避免地受到噪声的干扰， 本文就是从鲁棒性的角度，着重研究非理想信道条件下的隐形传态问题。 本文主要研究了三个方面的问题：首先，当量子信道为纯态非理想信道时， 我们研究了隐形传态问题，分析了经典信息消耗和传输成功概率。我们考察了三 种典型的非理想量子信道：e p r 态、三粒子g h z 态和三粒子w 态。其次在量子 信道为以上三种纯态纠缠，而经典信道受到噪声干扰情况下，我们研究了隐形传 态问题，并分析了三种信道的抗噪声干扰能力。最后在量子信道为混态纠缠条件 下，用半定规划方法设计最优操作以使隐形传态的保真度达到最大。 主题词：隐形传态经典信息消耗鲁棒性保真度 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 a b s t p a c t q u a n t u mt e l e p o r t a t i o ni sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ep r o c e s so fq u a n t u m i n f o r m a t i o n i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u mc o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u m c o m p u t a t i o n t e l e p o r t a t i o nn e e d sq u a n t u mc h a n n e la n dc l a s s i c a lc h a n n e lt o t r a n s f e r q u a n t u ma n dc l a s s i c a li n f o r m a t i o nr e s p e c t i v e l y t h ep r a c t i c a lc h a n n e l sa r eu n a v o i d a b l y d i s t u r b e db yn o i s e n l e r e f o r e ，、析t 1 1t h er o b u s t n e s si no u r 蚰n d ，w es t u d yt h et e l e p o r t a t i o n p r o b l e m s u n d e rn o n i d e a lc o n d i t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i n g a t e dt h et e l e p o r t a t i o np r o b l e m sf r o mt h r e ed i f f e r e n t a s p e a t f i r s t l y ，w es t u d i e dq u a n t u mt e l e p o r t a t i o np r o b l e m sw h e ne n t a n g l e dc h a n n e la l e n o n i d e a l t h r e ek i n do fe n t a n g l e dc h a n n e l sa r et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n ：e p r s t a t e ，t h r e e - p a r t i c l eg h zs t a t e sa n dt h r e e p a r t i c l ew s t a t e s e c o n d l y ，w ee x p l o r et h e a n t i n o i s ea b i l i t yo ft h ea b o v et h r e ec h a n n e l so nc o n d i t i o nt h a tt h eq u a n t u mc h a n n e l sa r e e n t a n g l e da n dt h ec l a s s i c a lc h a n n e l sa r ed i s t u r b e db yn o i s e ，n a m e l yt h er o b u s t n e s s f i n a l l y ，w eu s es e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n gt o o l st od e s i g nt h eo p t i m a lo p e r a t i o no n c o n d i t i o nt h a tt h eq u a n t u mc h a n n e l sa r em i x e de n t a n g l e ds t a t e s 刀彤p r o p o s e da l g o r i t h m a c h i e v e st h em a x i m a lf i d e l i t yo f t e l e p o r t a t i o n k e yw o r d s ：t e l e p o r t a t i o n ，c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s t ，r o b u s t n e s s ，f i d e l i t y 第i i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 表目录 表2 1b o b 根据a l i c e 的测量结果对粒子3 执行的幺正操作1 2 表3 1传输未知两粒子纠缠态时，b o b 根据a l i c e 的测量结果执行的幺正操作3 2 表4 1量子信道为e p r 态，经典噪声对隐形传态传输特性的影响5 0 表4 2 量子信道为三粒子g h z 态，经典噪声对隐形传态传输特性的影响5 3 表4 3 量子信道为三粒子w 态，经典噪声对隐形传态传输特性的影响5 5 1 1 1 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图目录 图2 1量子信道为e p r 态传输单粒子未知态一1 1 图2 2 非最大纠缠e p r 态传输单粒子未知态的经典信息消耗1 4 图2 3非最大纠缠e p r 态传输单粒子未知态隐形传态的成功概率1 5 图2 4 量子信道为三粒子g i - i z 态传输单粒子未知态1 6 图2 5 三粒子非最大纠缠g h z 态传输单粒子未知态的经典信息消耗2 0 图2 6 量子信道为三粒子w 态传输单粒子未知态2 2 图2 7 三粒子理想纠缠的w 态传输单粒子未知态的经典信息消耗2 4 图2 8三粒子非理想w 态传输单粒子未知态第一部分经典信息消耗2 5 图2 9 三粒子非理想纠缠的w 态传输单粒子未知态第二部分经典信息消耗2 7 图3 1量子信道为两个e p r 态传输未知两粒子纠缠态3 0 图3 2 量子信道为e p r 态和三粒子g h z 态传输未知两粒子纠缠态3 6 图3 3 量子信道为e p r 态和三粒子w 态传输未知两粒子纠缠态4 2 图4 1 二元对称信道4 9 图4 2 不同纠缠通道受经典噪声干扰下隐形传态成功概率5 5 图5 1 量子信道等效图“ i v 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 符号索引 i 少)“i ”为d i r a c 符号，用来特别表示一个量子系统所处的状态，l 缈) 称 为右态矢 ( 沙i “( 1 ”也为d i r a c 符号，是i y ) 的对偶向量，称为左态矢 ( i 彩i 少 和i 伊 的内积 i 吵) o i 矽 l 缈) 和i 伊 的张量积，缩写为ly i 矽 彳矩阵么的共轭矩阵 彳r矩阵么的转置矩阵 彳+ 矩阵a 的共轭转置矩阵，a + = ( a r ) ( 少i 彳i 力i ) 和al 妒 的内积，等价于彳+ ly 和i 伊 的内积 r r ( a )对方阵彳求迹 巩( 么)表示对方阵彳在子空间k 上求偏迹 第i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：韭堡想釜佳王量王隆理笾查阅塑塑究 学位论文作者签名：至塞塑翌 日期：三郴年f f 月勿1 7 1 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定，本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阋；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权) 学位论文题目：韭堡想盘鲑王量王咚星笾查闷埂婴塞 学位论文作者签名： 圣邈塑翌 日 期：锄万年f 月厶日 作孝指导老师签名：一迎jj 日 期： 劬口1 1 年- 1 1 月f a 日 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第一章引言 量子信息学n o 】是量子力学和信息科学相结合而产生的- - f - j 新兴的前沿交叉学 科，主要包括量子通信和量子计算，是当前国际上量子物理学研究的重要前沿领 域之一。它以量子态作为信息的载体，因此有关信息的所有问题必须采用量子力 学的规律来处理，这使得量子信息学具有经典信息学所不具备的许多优点。由于 量子通信保密性好，量子解码能力强，对某些问题量子算法远胜于现在的经典计 算机的算法，因而量子信息研究备受人们的广泛关注和重视。从2 0 世纪9 0 年代 至今，它在物理学、计算机科学、信息科学等领域有着非常广阔的应用前景。量 子信息技术从理论上证实了人类可以突破经典信息手段固有的局限性，完成一次 新的技术革命，以量子隐形传态( t e l e p o r t a t i o n ) 为代表的量子通信实验【4 1 1 j ，已经 预示量子信息时代的来临。 量子隐形传态是一种与经典通信手段类似的信息传输方式，它们的共同特点 在于都能够实现将信息从发送端传输到接收端；不同点在于，经典通信手段是通 过传统的通信载体，也就是我们经常说的信道，如光纤、电缆、电磁波等等，将 需要传递的信号附载在传输信道上，传输给接收方；而隐形传态则需要两种信道， 经典信道和量子信道，分别用来传输经典信息和量子信息。整个传输过程中，经 典信道中传输经典信息过程与经典通信方式相同，但量子信道在整个传输过程中 并没有进行信息的传递，而是利用纠缠这量子信息独有的优势来在接收端重构 发送端的信息，并且随着传输过程的结束，发送者与接收者之间共享的量子通道 消失，更为重要的是，这个发送过程中，发送者并不知道它所发送量子态具体承 载什么样的信息，接收者根据发送者通过经典通信方法传输来的测量结果，重构 之后也只能够得到发送端的待传输量子态，获取所需要的承载信息，这样的传输 过程，就为保密通信提供了一个很好途径，具有非常重要的研究价值。 隐形传态的成功概率( s u c c e s sp r o b a b i l i t y ) 、保真度( f i d e l i t y ) 、经典信息消耗 ( c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o nc o s t ) 是隐形传态过程中衡量传输特性的几个重要的指 标。本文主要工作就是结合量子隐形传态的进展，在量子信道与经典信道为非理 想信道的情况下，分别研究了隐形传态过程的传输性能：首先，当量子信道为纯 态非理想信道时，我们研究了隐形传态问题，分析了经典信息消耗和传输成功概 率。我们考察了三种典型的非理想量子信道：e p r 态、三粒子g h z 态和三粒子w 态。并且，在上述研究的基础上，我们将被传输对象由单粒子推广到任意两粒子 纠缠态。其次在量子信道为以上三种纯态纠缠，而经典信道受到噪声干扰情况下， 我们研究了隐形传态问题，并分析了三种信道的抗噪声干扰能力。最后在量子信 道为混态纠缠条件下，用半定规划方法设计最优操作以使隐形传态的保真度达到 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 最大。 本章，我们首先描述量子隐形传态的理论与实验的研究进展，其次对与本文 相关的量子信息的知识进行简要介绍，最后介绍本文的主要研究内容。 1 1 量子隐形传态的研究进展 自从1 9 9 3 年，b e n n e t t 等人利用e p r 态【1 2 】做为量子通道，成功地提出任意单 1 粒子量子态的隐形传态方案。所谓的e p r 态就是一对自旋喜的粒子或一对偏振光 2 子的叠加态，e p r 态这一名词取自于e i n s t e i n ，p o d o l s k y ，r o s e n 等人名的头一个 字母【l3 。量子隐形传态引起很多人的关注和深入的研究，并且迅速成为量子信息 研究领域的一个热点。量子隐形传态的研究具有重要的实际意义，它能够实现量 子远程计算、量子远程控制、量子态远程制备、保密通信等等，近年来无论在理 论上还是在实验上都取得了重要的进展。 1 1 1 量子隐形传态的理论进展 b e n n e t t 开创性理论提出之后，引发了人们对量子隐形传态的极大兴趣，在理 论上，从被传输对象方面的研究包括单粒子态的隐形传态到n 粒子态的隐形传态， 从离散变量的隐形传态到连续变量量子隐形传态，双量子位纠缠态的量子隐形传 态等等；从量子信道研究方面，从最早的纯态两粒子最大纠缠态为量子通道到以 g h z 态【1 4 】和w 态【1 5 】为代表的多量子态非理想纠缠态做为量子通道，再发展到更 符合实际情况的混合非理想纠缠态做量子纠缠通道。n 个两能级的g h z 态是高度 纠缠态，并且是一种最基本的纠缠形式，利用这种态，只要n 足够大，原则上在 检验量子力学的非定域性时，可以一次测量，而不需要多次统计测量；w 态同g h z 态都是一种最基本的纠缠形式，d u r 等人【1 6 j 在研究三粒子纠缠时发现，如果态转化 只通过随机性局域操作和经典通道来进行，但不要求每次得到确定的结果，则可 将任意的三粒子纠缠态转换为两种基本形式之一三粒子g h z 态或三粒子w 裂1 7 j 。 文献 1 8 - 2 3 提出了量子信道为最大纠缠态，实现单粒子未知态的隐形传态，但 实际上，最大纠缠态是不容易制备的，因此，文献1 2 4 - 2 7 提出了量子信道分别为两 粒子非最大纠缠态、三粒子非最大纠缠的g h z 态和三粒子非理想的w 态，实现 单粒子未知态的隐形传态。另外从传输对象的角度，人们逐渐将研究对象从单粒 子态转向研究多粒子态，文献1 2 0 ，2 8 。3 1 1 中提出了量子信道为非最大纠缠态，实现任 意多粒子态的隐形传态。从发送者和接收者的角度，量子隐形传态的研究从两方 参与的量子隐形传态到多方参与的方案，为量子网络通信的可能提供了条件。文 献1 3 2 j 提出了量子信道为三粒子最大纠缠的g h z 态，实现单粒子未知态的隐形传态： 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 文献【3 3 】提出了量子信道为一个理想的w 态，实现单粒子未知态的隐形传态；文献 3 4 】提出了量子信道为一个非理想的w 态，实现单粒子未知态的隐形传态；文献【3 5 】 提出了量子信道为一个非理想w 态，实现单粒子未知态隐形传态的两种方法；文 献【2 9 】提出了量子信道为一个非最大纠缠的g h z 态，实现两粒子未知态隐形传态； 文献【3 6 l 提出了量子信道为一个非最大纠缠的g h z 态和一个非理想的w 态，实现 任意两粒子的隐形传态，并将量子信道推广为两个非理想的w 态的情况；文献p 7 j 提出了量子信道为一个非最大纠缠的g h z 态和一个非理想的w 态，实现三粒子 g h z 态的隐形传态：文献【3 s 】提出了量子信道为两个非最大纠缠的g h z 态，实现 三粒子g h z 态的隐形传态；文献【3 9 】提出了量子信道为5 粒子非最大纠缠态，实现 任意两粒子态的隐形传态；文献【4 0 】提出了量子信道为7 粒子非最大纠缠态，实现 任意三粒子态的隐形传态：文献 4 1 , 4 2 提出了量子信道为三粒子g h z 态，通过引入 纠缠通道的密度矩阵来分析未知单粒子态的隐形传态，为混态纠缠做量子信道的 研究提供了新方案；b o w e n 和b o s e l 4 3 】提出将l o c c 操作( 局域操作和经典信道) 和混态纠缠做量子信道等效为一个广义退极化信道的方案，为隐形传态研究提供 了方便。 ，1 1 2 量子隐形传态的实验进展 ：实验上，19 9 7 年，奥地利z e i l i n g e r 小组 4 1 成功地做出了第一个量子隐形传态 实验，被认为是量子信息领域的一个里程碑。随后，意大利m a r t i n i 研究组p 1 在1 9 9 8 年初也报道了利用光学参量过程和起偏器形成的e p r 纠缠光学路径，实验实现了 未知单光子偏振态的隐形传态。1 9 9 8 年底，美国两个研究组又分别成功实现了单 模光场相干态的量子隐形传态m 】和运用核磁共振【7 】方法实现量子隐形传态。2 0 0 1 年，美国的s h i h 小组【8 】在脉冲参量下转换中，通过非线性方法实施b e l l 基测量， 成功地实现了量子隐形传态。2 0 0 2 年，意大利m a r t i n i 研究组【9 】又报道了实现两个 不同场模中真空和单光子纠缠量子比特的隐形传态。2 0 0 3 年，潘建伟等人m 】又实 验实现了自由量子态的隐形传态，从根本上解决在远距离量子通信中遇到的技术 难题，并极大地推动量子计算的实验研究。2 0 0 4 年，瑞士d er i e d m a t t e n 等人l 4 0 j 通过光纤延时对b e l l 基态测量的远距离的量子隐形传态实验，实现了6 2 公里的远 距离量子通信。2 0 0 4 年7 月潘建伟【4 7 】研究小组首次实现了五体纠缠态，并在此基 础上实现了一种新型的隐形传态终端开放的量子隐形传态，为分布式的量子 信息处理提供了一个新的可能，该成果发表在( n a t u r e ) ) 杂志上。2 0 0 6 年，潘建 伟研究小组首次实现两粒子复合系统量子隐形传态，并且在实验上首次成功实现 对六光子纠缠态的操作。目前，关于量子隐形传态的实验研究仍然是一个热门课 题，人们不断地改进技术和方案，努力实现更长距离、更多量子位和更精确的量 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 子信息传输。2 0 0 6 年，郭光灿研究小组，实现北京到天津之间，成功实现一个发 送者向三个接收者发送未知粒子态。2 0 0 7 年，欧洲航天局和维也纳大学合作进行 实验，在加那利群岛上相隔1 4 4 公里的拉帕尔岛和特纳里夫岛之间成功地将一粒 光子进行了“隐形传送，这一进展被中国两院院士评选为2 0 0 7 年“世界十大科 技进展 。 量子隐形传态的研究意义：( 1 ) 被发送信息是被编码在一个叠加态上，由于 叠加态的系数未知，发送方和接收方都不可能知道信息的具体内容，对发送方和 接收方而言，它们获取的信息为0 ；( 2 ) 本方案要求发送方和接收方必须在通信 之前共享一个量子纠缠通道，而对于窃听者而言，由于它不可能跟发送方与接收 方的任意一方事先共享纠缠通道，即使能够截获发送端测量以后发送的经典信息， 也不可能获取任何有用的信息，不能对原始信号重构；( 3 ) 整个发送过程，所需 传递的信号不需要任何的载体，也就是说，在量子通信过程中没有任何实体信号 在信道中传递，待传送量子态在发送端“消失 之后，在接收端能够被重构出来， 因而并不违背量子不可克隆定理；( 4 ) 接收方重构原来的量子态，必须建立在获 取发送方的测量结果的基础之上，并不能够实现超光速的传输，并不违背自然界 的因果性定律。 无论从理论还是实验角度都可以看出，量子隐形传态具有广阔的应用前景， 上述这些研究成果为我们后续的研究提供了有力的支撑。基于量子隐形传态的量 子保密通信，在理论和实验方面的研究都已经取得了很大的进展，传输信道作为 量子隐形传态的一个重要组成部分，无论是量子信道还是经典信道，在实际过程 中都可能受到外界因素的干扰，使传输信道成为非理想信道，因此，在非理想信 道条件下研究隐形传态问题具有重要的科学意义和工程价值。本文试图在这方面 做一些有益的探讨与尝试。 1 2 量子信息的基本知识 本节我们将结合本文主要工作，简要介绍一下相关的量子信息理论基础知识， 主要包括：( 1 ) 量子态【3 】。量子态用于表示信息，这是量子信息的出发点； ( 2 ) 密度算子。这是描述量子系统的强有力工具，它为描述状态不完全己知的量子系 统提供了一条方便的途径；( 3 ) 量子测量。它是操控量子系统的基本物理手段， 尤其是对本文中经常使用的b e l l 测量进行简单介绍；( 4 ) 幺正操作。幺正操作不 会给量子信息带来任何损失，不改变矢量的模，也不改变两矢量的内积和两矢量 的正交关系；( 5 ) 保真度。保真度是衡量量子隐形传态传输性能的一个很重要的 指标。 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 1 2 1 量子态 在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) ，一个比特( b i t ) 是给出经典 两值系统一个取值的信息量【”。在量子信息理论中，量子信息的基本单位是量子比 特( q u b i t ) ，就像经典比特有一个状态0 或1 ，量子比特( q u b i t ) 也有一个状态，不过 它是一个两态量子系统，它的两个独立态通常记为1 0 ) 和f 1 ) 。量子比特为两态量子 系统的叠加态 i 甲) = 口i o ) + p i l ) ( 1 1 ) 其中，口和为复数，满足i 口1 2 + l 1 2 = l ，记号“i ) 称为d i r a c 符号。这 只能说i 、王，) 为j 0 的概率为i 口1 2 ，l 甲) 为1 1 ) 的概率为i 1 2 ，也可以说，它同时处于l o ) 和1 1 ) 的状态叠加中，而不是以某一种概率处于某一个状态。经典比特可以看成量 子比特的特例( 口= 0 或= 0 ) 。 用量子态来表示信息是量子信息的出发点，量子信息学的本质就是用量子态 编码信息，并根据量子力学规律进行信息传输与信息处理。信息传输就是量子态 在量子通道中的传送，信息处理( 计算) 是量子态的幺正变换，信息提取便是对系统 实行量子测量。由于量子态具有根本不同于经典物理态的性质，因此，量子信息 具有经典信息所无法具有的特征，例如量子信息能产生出绝对安全的密钥、稠密 编码、隐形传态等经典信息理论不可思议的奇迹，这些特有现象具有巨大的潜在 应用价值。 1 2 2 密度算子 1 纯态和投影算子【2 】 如果一个系统能够通过一个态矢量来描述，就称它处于纯态。纯态是任意一 组基矢的相干叠加态。当i y ) 表示任意一个纯态，则 l y ) = e i 门) ( 1 2 ) 其中， i 玎) 是正交归一的。 对于每个纯态i y ) 都可定义一个作用在态矢空间上的线性算子： 声= i 沙) ( 吵l ( 1 3 ) 它对任意态眵) 的作用为： 声i 矽) = f 少) ( 沙l ) = c i 少) ( 1 4 ) 其中c = 缈眵) 是态矢眵) 在i 杪) 上的投影，它是一个数，所以p 称为投影算子。 第5 页 投影算子具有性质： ( 1 ) 厄米性 p + = 声( 1 5 )p 。2pl l ) j 矿是矩阵p 的共轭转置矩阵，= ( p r ) ( 2 ) i e 定性 ( 叫剧) 0 ( 1 6 ) 表示测量状态为时，得到的测量结果的概率。 ( 3 ) 幺迹性 护声= ( 护f ) = l ( 1 7 ) 其中， h ) ) 是正交归一的。 ( 4 ) 幂等性 p 2 = p( 1 8 )p = p【1 ) 任意力学量算子户在态i 少) 的平均值可用投影算子表示为： 豇尘等( 甲幽( 州2 驯甲) ( 甲( 1 9 ， = ( 蚝p 户1 ) = 印( p 户) u “7 在第二、三、四章，我们主要考察的是以纯态纠缠为量子信道的情形。 2 混合态和密度算子 一个量子系统如果不能用一个态矢量，而需要用一组态矢量及其对应的概率 来描述，就称它处于混合态。例如研究n 个原子组成的量子系统，如果每个原子 都处于相同的状态i 口) ，则系统处于纯态；反之，若n 个原子的态各不相同，系统 不处于纯态，不能用一个态矢量来描述系统的态，在这种情况下，系统所处的态 可能为i 口) ，i ) ，所对应的概率为以，即，此时的系统处于混合态。 混合态可通过各成份态的投影算子表示为： p = 慨浪似l i = l 密度算子的性质： ( 1 ) 它是厄米算子；如果 旃 满足正交归一化条件， 系， 只) 就是本征值谱。 ( 2 ) 正定性 ( y i p i 杪) o ( 3 ) 幺迹性 ( 1 1 0 ) 谚 就是它的完备本征函数 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 护p = ( p i ) = l ( 4 ) 与投影算子不同，不具有幂等性 p p 力学量算子f 在混态中的平均值： f = b ( 弘l 户i ) = 只( i ) ( i 户i ) ( i i l f ，) = 似1 k 似i “，) = ( 1 , np l “。) = ( 岛。) = 伊( p 户) 第五章我们主要考察的是以混合纠缠态为量子信道的情形。 1 2 3 量子测量 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 量子测量 3 1 由测量算子集合 坂) 来表示。这些算子作用在待测系统的态空间 上。指标聊表征实验中出现的测量结果。如果测量之前量子系统的态为f y ) ，那么 出现测量结果m 的概率为： = 缈l 坂帆l ) ( 1 1 5 ) 测量以后系统的态为： ( 1 1 6 ) 测量算子满足完备性条件： 峨帆= i ( 1 1 7 ) 如果测量基为m = l 西) ，p i ，( f = l ，2 ，3 ，4 ) ，其中i ) ，代表四个b e l l 基，它们构 成一组正交完备基，这种量子测量称为是b e l l 基测量。 1 2 4 幺正操作及性质 幺正操作【4 8 】在量子信息处理过程中起着非常重要的作用，它能够方便并且简 洁地约化量子操作过程，幺正变换矩阵是由相互正交的基矢所组成的变换矩阵， 所以幺正矩阵满足：u + w - iu + u = i ，它有如下性质： l 、幺正操作不改变两个态的内积： 如果有：i ) 。= uj ) 。，i y ) ：= u i ) z ，则有： 。( 少i 。) ，= 。( 缈i u + u l y ) ：= 。( 吵i 沙) ： ( 1 1 8 ) 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 成： 的。 2 、幺正操作不改变算符的本征值 现有本征方程： f i r ) ：e i 沙) ( 1 1 9 ) e 是本征值，以u 左乘上式两边，应用幺正变换条件u + u = i ，上式可以写 u f u _ 1 u i y ) = e u l y ) ( 1 2 0 ) 可以得到： f l y ) = e i y ) ( 1 2 1 ) 可以看出幺正操作并不改变算符的本征值。 3 、算符表示矩阵的迹在幺正操作下不变 由性质2 我们可以得到：卯u = e ，在求迹运算下，存在： t r ( f 。) = t r ( u f u 。1 ) = t r ( u u 。1 f ) = t r ( f ) ( 1 2 2 ) 可以看出在幺正操作下，算符表示矩阵的迹不变。 由于幺正操作总是有逆操作存在，所以量子信息处理中的逻辑操作都是可逆 1 2 5 保真度 为了描述量子体系的信息关联与纠缠程度，人们相继引入了熵、纯度和密度 算符1 4 弘5 1 】等概念。研究表明，对于一个量子系统，在相互作用演化过程中的一些 量子信息，并不完全由熵、纯度等反应出来。在量子理论中，量子态密度算符间 距的概念比熵和纯度更加优越，它能反映出系统与子系统以及子系统之间的信息 差异【5 2 1 。通过与经典信息的比较，为了反映量子态之间的差异，人们引入了迹距 离( t r a c ed i s t a n c e ) 和保真度( f i d e l i t y ) 两个概念，它们都是有用的数学手段。迹距 离和保真度是密切相关的，尽管它们的形式具有很大差别，但对于许多应用，它 们可以认为是距离的等价度量方法，保真度在衡量量子隐形传态的性能方面，能 够更方便地表征出输入态与输出态的接近程度，它是通信质量的一个重要参数。 保真度1 5 2 j 的概念最早由r j o z s a 提出，并定义了混合态的保真度，其定义式为： f ( 肛，岛) = r r ( d p , p 2 d p , ) 】2 ( 1 2 3 ) 式中的日，岛为源信息和目的信息的密度矩阵。f ( 角，岛) 的取值范围在0 到l 之间，当f ( 届，岛) = l 时，表明输出态与输入态完全相同，整个传输过程是理想传 输过程当f ( 角，仍) = 0 时，表明输出态与输入态完全正交，传输过程完全失真；一 般情况下，0 ) ，( 2 8 ) + p ) 。：( b , z l o - a p l a ) ，+ i 甲一) 。：( 一搬i o ) 一a , a 1 1 ) ) ，】 a l i c e 对粒子1 ，2 的测量可以得到4 种结果，这4 种结果出现的概率记为 p l ，见，岛，鼽，我们通过式( 2 8 ) 可以得到： a = 仍= 妻( | 锻1 2 + i b p l 2 ) ： ( 2 9 ) 岛= 风= 去( 1 6 口1 2 + i 口1 2 ) 根据式( 2 4 ) 和式( 2 9 ) 可以得到这一过程中消耗的经典信息为： = 一p ，l 0 9 2 ( 刚 t = l 【2 1 0 ) = 卅刮2 + 例2 ) l o g ：亡0 嬲j 2 + m 2 ) 卜4 6 口2 + i 卅2 ) l o g ：畴q 搬1 2 + i 州2 ) 】 根据纠缠信道和待传输未知态系数满足的约束条件：i 口1 2 + l b l 2 = 1 ， 2 + l p l 2 = l 。可以看班这一过程中的经典信息消耗是一个与纠缠通道系数的 模方以及未知态系数的模方有关的函数，如图2 2 所示： 第1 3 页 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 图2 2 非最大纠缠e p r 态传输单粒子未知态的经典信息消耗 图2 2 中代表经典信息消耗，h 2 代表待传输未知态系数的模方，l b l 2 代表 量子信道为e p r 态时的较小系数的模方。 a l i c e 将得到的测量结果通过经典信道告知b o b 之后，b o b 根据测量结果选择 相对应的幺正操作，就能够实现量子隐形传态。下面的分析我们只以其中的一种 情况为例，其它三种情况都可以通过类似的推导得到。 假设a l i c e 将测量得到的结果j 甲一) 。的信息通过经典通信的方式告知b o b ，b o b 就可以知道粒子3 的态塌缩为( b a 0 ) + a p l l ) ) 。，然后b o b 引入初始处于l o ) 态的辅 助粒子a ，这时，粒子3 和辅助粒子a 的态为： 仄 妙) ，4 = j ( 比l o ) + 口1 1 ) ) ，i o ) 4 ( 2 1 1 ) b o b 对粒子3 和辅助粒子a 执行幺正操作，为在粒子3 上重构粒子1 的态， 在( 1 0 0 ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 1 1 ) ) 的基矢下，根据式( 2 1 1 ) ，粒子3 和辅助粒子a 组成 的量子态的结果，我们可以采取相应的幺正操作，幺正操作u 采取如下4 x 4 的形 式： u = 1o o1 o o o o ( 2 1 2 ) 第1 4 页 o o 鱼口! 矿 一，l 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 我们可以得到： 牟( 搬i o ) - ! - 卵1 1 ) ) 3 i o ) - - 叫 t 2 b ( 口i o ) - i - p 1 1 ) ) ，i o ) + 届i 1 1 ) 3 1 1 ) 一】( 2 1 3 ) 以上只是对a l i c e 的4 种测量结果中的一种进行了分析，其它几种情况的幺正 操作也可以通过类似的方法构造出来。b o b 通过对辅助粒子a 进行v o nn e u m a n n 测量，如果测量得到辅助粒子a 的态为i o ) ，隐形传态成功：如果测量得到辅助 粒子a 的态为1 1 ) 。，隐形传态失败。因此b o b 执行测量之后，一共可以得到8 种 可能结果，其中对辅助粒子a 测量结果为f o ) 一的4 种成功，测量结果为1 1 ) _ 的4 种 失败。对应a l i c e 的每一种测量结果，b o b 对辅助粒子a 测量之后可以得到隐形传 态成功的概率为1 6 1 2 2 ，所以总的成功概率为e - z l b l 2 。当h = 1 6 l = 2 2 时，成功 概率取得最大值1 ，跟上一节分析量子信道为最大纠缠态时隐形传态的成功概率相 同。整个过程中消耗经典信息的过程就是a l i c e 将测量结果通过经典通信手段告知 b o b 的过程，b o b 所进行的幺正操作不会消耗经典信息。 我们同样可以根据p = 2 1 b 1 2 得到隐形传态的成功概率与纠缠通道较小系数模 方的关系： 图2 3 非最大纠缠e p r 态传输单粒子未知态隐形传态的成功概率 图2 3 中， 代表纠缠通道较小系数的模方，p 代表隐形传态的成功概率。 通过对图2 2 和图2 3 分析可知，隐形传态的成功概率与量子信道系数的模方 有关，同样整个过程中消耗的经典信息也与量子信道系数的模方相关。当量子信 道为最大纠缠时，隐形传态的成功概率达到1 ，消耗的经典信息为2 b t s ，与上一 节得到的结论相同。通过对图2 2 的分析还可以看出，在同样的隐形传态成功概率 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 的条件下，未知态两个系数的模方越接近，消耗的经典信息也越大。其中有一种 特殊的情况，当未知粒子态系数满足h 2 - - i p l 2 时，不论隐形传态成功概率为多少， 所消耗的经典信息始终为2 b i t s 。 2 2 三粒子g h z 态为量子信道的传输特性分析 三粒子g h z 态是三粒子纠缠态中的一类典型的纠缠，是研究量子信道为多粒 子纠缠态的基础。它与e p r 纠缠态做量子信道的最大区别在于：用它做量子传输 通道可以实现向两个接收者中的任意一个传输单粒子未知量子态，为以后量子网 络通信的研究提供了基础。本节我们分别对三粒子最大纠缠的g h z 态和三粒子非 最大纠缠的g h z 态做量子通道进行分析，分析了传输单粒子未知态所消耗的经典 信息与量子信道系数模方的关系，并同时对量子信道系数的模方与隐形传态成功 概率的关系进行分析。当量子信道为g h z 态时，传输单粒子未知态的原理如图 2 4 【5 9 j 所示。 c h a r l i c 图2 4 量子信道为三粒子g h z 态传输单粒子未知态 2 2 1 利用三粒子最大纠缠的g h z 态为量子信道的传输特性分析 a l i c e 可以将未知量子态l y ) = 口i o ) 。+ 1 1 ) l 通过三粒子g i - i z 态传输给b o b 或 c h a r l i e ，我们可以假设a l i c e 要将未知粒子传输给b o b ，a l i c e 与两个接收者之间 共享的纠缠通道为三粒子最大纠缠的g h z 态，他们之间的量子信道为： 忱弘= 击( i o o o ) + i l l i 1 ) ) 2 3 。 ( 2 1 4 ) a l i c e 拥有粒子1 、2 ，b o b 拥有粒子3 ，c h a r l i e 拥有粒子4 ，整个系统的量子 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 态表示为： l 少) = 苦( i o o o ) + 1 1 1 1 ) ) ：弘圆( 口i o ) + 1 1 ) ) 。 ( 2 1 5 ) a l i c e 对粒子l 、2 进行联合b e l l 基测量，测量之后，粒子3 、4 的态将塌缩为： t z ( 西l ) 2 圭( 口1 0 0 ) 1 11 ) ) 弘 ( 2 1 6 ) ，：( 、壬，l y ) = 毒( 口f 11 ) j o o ) ) 弘 a l i c e 测量之后得到4 种态的概率分别为a ，岛，岛，胁，可以容易得到 岛= p 2 = p 3 = p 4 = 1 4 。a l i c e 将测量结果的信息通过经典通信的方式告知b o b ， 这一过程中需要消耗经典信息，我们称之为第一部分经典信息消耗，记为。根 据式( 2 4 ) 可以得到： = 一只1 0 9 2 ( p ，) = 2 b i t s ( 2 1 7 ) a l i c e 测量完成之后，a l i c e 告知c h a r l i e 对粒子4 进行h a d a m a r d 操作，h a d a m a r d 操作为： z l o - - 下1 ( 1 0 ) + 1 1 ) ) 二 ( 2 1 8 ) h 1 1 ) = 百1 ( 1 0 ) 一1 1 ) ) 我们以a l i c e 的4 种测量结果中的一种为例，a l i c e 的测量结果为l + ) 时，粒 子3 、4 塌缩为去 1 0 0 ) + 1 1 1 ) ) 弘，经过h a d a m a r d 操作之后得到： 互1 ( 口f o o + 1 1 1 ) ) ，。3 麦【( 口1 0 ) + | 1 ) ) 3 | o ) 4 + ( 口i o ) - 1 1 ) ) 3 | 1 ) 4 】( 2 1 9 ) 针对a l i c e 的每一种测量结果，c h a r l i e 对粒子4 进行h a d a m a r d 操作并对粒子 4 进行v o nn e u m a n n 测量之后，粒子3 都会对应2 种结果。c h a r l i e 将测量结果的 信息通过经典通信的方式告知b o b ，无论b o b 获得那一种测量结果，b o b 都可以 通过相对应的幺正操作，将粒子3 的态转化为粒子1 的态，使得隐形传态成功。 a l i c e 测量之后，粒子3 、4 对应有4 种结果，经过c h a r l i e 操作和测量之后，粒子 3 共可以得到8 种对应的态，这8 种对应的态出现的概率为：q l = = q s = 1 8 ，这 一过程中消耗的经典信息比特，我们称之为第二部分经典信息消耗，记为咒凹。 根据式( 2 4 ) 可以得到： 墨= 一吼l 0 9 2 ( 吼) = 3 b i t s ( 2 2 0 ) 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 整个过程中消耗的经典信息为两部分之和，记为s ： s = + 配= 5 b i t s ( 2 2 1 ) 因为无论c h a r l i e 的测量结果如何，b o b 都可以通过相应的幺正操作使得隐形 传态成功，可以得到隐形传态的成功概率为： 81 尸：y ( 二；) 2 ：l( 2 2 2 ) 智2 2 。 量子信道为三粒子最大纠缠的g h z 态时，量子信道的两个系数相等，因此， 如果a l i c e 将未知量子态隐性传输给接收者中的另一方c h a r l i e 时，整个过程的推 导与接收者是b o b 的推导类似，只需将c h a r l i e 对粒子4 的操作替换为b o b 对粒子 3 进行操作，可以同样得到以上的结论。 通过以上讨论，我们可以得到下述结论：量子信道为三粒子最大纠缠的g h z 态，发送者向两个接收者中的任意一个传输单粒子未知态，成功概率为1 ，消耗的 经典信息为5 b i t s 。 2 2 2 利用三粒子非最大纠缠的g h z 态为量子信道的传输特性分析 a l i c e 要将未知粒子l y ) ，- - i o ) 。+ 1 1 ) 传输给两个接收者b o b 与c h a r l i e 中的 任意一个，a l i c e 与两个接收者之间共享的纠缠通道为三粒子非最大纠缠的g h z 态，他们之间共享的量子信道为： i y ) ：，。= ( a 1 0 0 0 ) + b 111 ) ) ：弘 ( 2 2 3 ) 不失一般性，纠缠通道的系数取为：l 口l - i b l ，l a l 2 + l b l 2 = 1 。a l i c e 拥有粒子1 、 2 ，b o b 拥有粒子3 ，c h a r l i e 拥有粒子4 ，整个系统的量子态表示为： l y ) = ( a 1 0 0 0 ) + b l l l l ) ) ：m 圆( 岱l o ) + 1 1 ) ) ， ( 2 2 4 )