（信号与信息处理专业论文）带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究.pdf

带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 摘要 带乘性噪声系统的状态最优估计理论在石油地震勘探、水下目标探测、语音处 理等诸多领域都有着重要的应用价值。近几年该领域取得了一系列新的理论和应用 的研究成果，打破了乘性噪声为一维随机序列的限制，发展到多通道带乘性噪声意 义下的最优估计算法，进而又发展到多传感器信息融合技术和二维带乘性噪声系统 的最优估计等一系列研究成果。这些算法均在线性最小方差的意义下是最优的。但 这些算法在进行实际应用时有可能会出现数值不稳定现象，在长时间的递推计算中 出现数值不稳定会影响算法的计算精度，严重的会使算法发散完全失效。因此，对 这些算法进行数值稳定性方法的研究是很有必要的。 本文针对更具普遍意义的多通道带乘性噪声系统的状态最优估计理论，在保证 线性方差最小意义下最优性的同时，在数值稳定性方面主要做了如下工作： 第一，本文回顾了带乘性噪声系统撮优估计理论的发展和现状，并介绍了在此 领域数值稳定性研究的发展现状。 第二，在多通道带乘性噪声系统的观测模型中，乘性噪声不再是传统的一维随 机序列，而是随机矩阵的形式，首先是随机对角矩阵，进而推广到一般随机矩阵。 本文首先针对观测通道乘性噪声为随机对角矩阵的系统，利用奇异值分解( s v d ) 作为工具，给出了通道特性不相关时最优状态滤波的数值稳定性算法，然后将此方 法应用到乘性噪声为一般随机矩阵的系统，同样给出了复杂多通道带乘性噪声系统 的数值稳定性算法。这两种滤波算法均保持了线性方差最小意义下的最优性。 第三，针对多通道带乘性噪声系统，在最优状态滤波算法的基础上，首先推导 了乘性噪声为随机对角阵情形下的最优固定域直接平滑算法，然后利用奇异值分解 ( s v d ) 方法对平滑算法中的误差协方差矩阵进行分解，给出了其数值稳定性算法， 进而利用滤波和平滑的最优估计结果，给出了相应的固定域反褶积算法。然后又将 以上各算法推广至乘性噪声为一般随机阵的情形，给出了复杂多通道情形下的直接 固定域平滑算法、反褶积算法和数值稳定性算法。 第四，通过仿真实例，验证了上述各算法的有效性。 关键词：多通道带乘性噪声系统，奇异值分解( s v d ) ，线性最小方差，最优估计 s t u d i e so fn u m e ri c a ii ys t a b i ee s t i m a t i o nf o r m u i t i o h a n n e i s y s t e m sw i t hm u l t ip 1i c a t i v en o is e s a b s t r a c t o p t i m a le s t i m a t i o nt h e o r yf o rm u l t i c h a n n e ls y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e si s v e r yi m p o r t a n ti nm a n ya p p l i c a t i o n ss u c ha so i ls e i s m i ce x p l o r a t i o n ，u n d e rw a t e rr e m o t e t a r g e t sd e t e c t i o na n ds p e e c hs i g n a lp r o c e s s i n g i nr e c e n ty e a r st h e r eh a db e e ng r o w i n g r e s e a r c hi n t e r e s t sa n dg l v i n gm a n yn e w a l g o r i t h m si nt h i sf i e l d t h ep r e v i o u s r e s e a r c h e si n t h ee s t i m a t i o nt h e o r ya r eb a s e do nt h es y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e s ( s m n ) ，r e c e n t y e a r sp e o p l ep a i dm o r ea t t e n t i o n t ot h em u l t i c h a n n e ls y s t e m s ( m s m n ) m a n yo p t i m a l e s t i m a t i o na l g o r i t h m sa r eg i v e n ，b u tt h e s er e c u r s i v ea l g o r i t h m sa r en u m e r i c a l l yu n s t a b l e ，i t m e a n st h a tt h c yw i l lb e c o m ei n v a l i ds o m et i m e sw h e nu s ei tt os o l v ep r o b l e m s s o ，n e w m e t h o d sw h i c hh a v ee x c e l l e n tn u m e r i c a l s t a b i l i t y a r e n e c e s s a r y a l l t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m si nt h i sd i s s e r t a t i o na r eo p t i m a li nt h es e n s eo f l i n e a rm i n i m u m v a i l a l i c e n u m e r i c a l l ys t a b l em e t h o d s f o rm s m na r ep r o p o s e di nt h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n t s o f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ed e v e l o p m e n ta n ds t a t u s q u oo fs i g n a l e s t i m a t i o nf o rm s m ni sr e c a l l e d m o r e o v e r ，n u m e r i c a ls t a b i l i t yt h e o r yi si n t r o d u c e ds i m p l y 2 g i v ea ns v d - b a s e do p t i m a lf i l t e r i n gf o rm s m n ，i th a sa ne x c e l l e n tn u m e r i c a l s t a b i l i t y i ti so p t i m a ls t i l li nt h e s c d _ s co f l i n e a rm i n i m u m - v a r i a n c e 3 o p t i m a is m o o t h i n ga l g o r i t h m sf o rm s m n a r ep r o p o s e d ，t h e nn u m e r i c a l l ys t a b l e a l g o r i t h m sb a s e do ns i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n ( s v d ) m e t h o d sa r eg i v e nf o r s m o o t h i n g d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sa r ep r o p o s e ds u b s e q u e n t l yb a s e do nt h er e s u l t so f f i l t e r i n ga n d s m o o t h i n ga l g o r i t h m s n c ya r es t i l lo p t i m a li nt h es e n s eo f l i n e a rm i n i m u m v a r i a n c e 4 s i m u l a t i o ne x a m p l e sa r e # y e nt od e m o n s t r a t et h e p e r f o r m a n c e o fa l la l g o r i t h m s k e y w o r d s ：m u l t i - c h a n n e ls y s t e m sw i t hm u l t i p l i e a t i v en o i s e s ；s i n g u l a rv a l u e d e e o m p o s i t i o n ( s v d ) ；l i n e a rm i n i m u m - v a r i a n c e ；o p t i m a l e s t i m a t i o n 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 1 引言 1 1 选题的意义 1 1 1 带乘性噪声系统的意义及应用背景 最优估计理论是现代控制理论的一个重要分支，也是随机信号处理的一个重要 课题，即从受到噪声污染的信号中提取有用信息。对随机信号处理的一个重要方法 是建立实际系统的数学模型，并根据模型进行信号的最优估计。目前发展最为成熟 的是经典线性随机系统的最优估计理论。这类系统由于其处理简单而得以在控制、 通信、空间目标跟踪、水下目标探测、地震信号处理、模式识别、语音处理等诸多 领域广泛应用。许多最优估计理论，如k a l m a n 滤波理论 1 - g 都是基于这一经典模型： x ( k + 1 ) = a r k + 1 ，女) x ( 七) + 口( 女) 矿( ) z ( j i ) = c ( _ j ) ( 女) + v ( k ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中：撮翰为系统状态向量，职七) 和顶动为噪声向量，a ( 妇- i ，茚、联妨和c 国均为具有 适当维数的确定性矩阵。在该模型中，随机干扰的影响被视为加性噪声，即系统的 动态噪声职幻和系统的观测噪声h 妁。 而事实上，在许多应用领域中，纯粹的线性模型并不能很好的描述实际系统， 因此将实际系统近似简化成上述经典线性系统模型从而得到的估计结果有时是不能 令人满意的。例如：在石油地震勘捌9 】、水下目标探测、通讯工程【1 1 、语音处理【1 2 】 等应用领域中，由褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪声的干扰，而且当 进一步考虑系统的时变性、非线性时，还应该加上各种线性与非线性畸变、能量衰 减等复杂的甚至是不确定的因素，这在数学上可近似地归结为一个乘性随机因子， 即乘性噪声【1 ”。这类观测模型中含有乘性噪声的随机系统称作带乘性噪声的随机系 统，简称带乘性噪声系统( s y s t e m w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e 卜s m n ： z ( 七) = u ( 七) c ( 七) ( 七) + 矿( t )( 1 1 3 ) 其中：研硒为乘性噪声。 显然，乘性因子的引入，使系统形式上更为复杂，处理上也更为困难。在实际 中，关于这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计、信号反褶积估计及其参数 辨识估计问题又是十分重要的，特别是反褶积估计理论在石油地震勘探、信号处理 等应用领域有着十分重要的意义。随着当前计算机高速度，大存储，并行化技术及 相应并行算法的发展，使得研究更为精确复杂的数学模型及其处理方法不会导致应 用上大的困难。相比之下，基于经典系统模型的估计理论对复杂实际过程描述和处 理的不精确则成为突出问题。 下面将带乘性噪声系统的数学模型重写如下： 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 x ( k + 1 ) = a ( k + i ，k ) x ( k ) + b ( 七) y ( 七) z ( 七) = u ( 七) c ( 七) x ( 七) + y ( 尼) ( i i 1 ) ( 1 1 3 ) 由上述数学模型可知，带乘性噪声系统有如下特点： l 、由于乘性噪声职的和系统状态坝均为随机量，在观测方程中出现了两个随 机量的乘积，观测方程已不再是线性的。因此，对于带乘性噪声系统，其动态方程 仍然为经典的线性方程，但观测方程则为非线性的。 2 、乘性噪声往往是由于信号的传输特性不理想而产生的干扰，在观测方程中， 乘性噪声与系统状态( 信号) 是乘积的关系，所以乘性噪声随着信号的消失而消失。 但加性噪声始终存在。 3 、当乘性噪声恒为1 时，带乘性噪声系统( 1 1 1 ) 和( 1 1 3 ) 退化为经典的线性系统 ( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 。因此，经典的线性系统是带乘性噪声系统的一个特例。可见，带乘 性噪声系统模型描述了更为广泛的一类实际过程。 带乘性噪声系统有着广泛的实际应用背景，下面举例说明： 例1 石油地震勘探中震源子波观测的不准确性、时变性、及传播时的扩展损失 与透射损失都可以归结为乘性噪声而不能被加性噪声所包括，因此带乘性噪声的褶 积模型更能反映实际情况 “l z ( f ) = ( f ) 厂( r ) + w ( f ) + n ( f ) 其中，m ( f ) 为乘性噪声，n ( o 为加性观测噪声，f ( t ) ，w ( t ) 为理想地震道，这里为 褶积运算符。 例2 水下且标探测。海洋信道在本质上是随机时变和空变的非理想声信道，这 种随机性用乘性噪声来描述，海洋中还存在着多种加性噪声源，因此海洋信道可看 作为一个带乘性噪声系统。水下目标反向散射系数包含有目标本身的重要信息，因 此可以通过估计目标的反向散射系数来实现水下目标探测。而这一反向散射系数在 数学模型中可以归结为海洋信道这一带乘性噪声系统的动态噪声，因此，可以通过 对带乘性噪声系统的反褶积运算，即估计带乘性噪声系统的动态噪声，来实现对目 标反向散射系数的估计【1 0 。 例3 在目标跟踪问题中，当传感器对目标进行观测时，有时会发现被跟踪目标 随机消失的现缘。当乘性噪声为0 、1 分布时，所对应的带乘性噪声系统即可描述这 种情况口4 1 。 例4 语音处理中可用下式表示一个清音语音波形【1 4 】 z ( j 】 ) = m ( 七) y ( _ 】 ) + n ( 七) 其中，y ( 幼表示声道和辐射的组合效应，z 国是清音波形总输出，m 表示声道的 随机激励。 2 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 1 1 2 针对带乘性噪声系统进行数值稳定性研究的意义 实践表明，带乘性噪声系统描述现实系统更加准确，在石油地震勘探、水下目 标探测、目标跟踪和语音处理等领域有着广泛的应用。但随着计算机技术的发展， 计算机的性能有了大幅提高，算法的研究也有了长足的进步，因此，对最优估计理 论算法的计算复杂性和数值稳定性方面提出了更高的要求。 实际上，常规的k a l m a n 滤波算法( 只含加性噪声的系统) 包括协方差卡尔曼滤 波、信息滤波和推广卡尔曼滤波【l5 1 ，大都是数值不稳定的。相应的，带乘性噪声系 统的最优滤波、平滑和反褶积理论【l6 】以及其相应的各种推广算法，包括近几年在带 乘性噪声理论领域提出的各种算法( 多通道带乘性噪声系统最优估计理论【2 2 筇】、多 传感器算法融合理论【2 3 2 ”、2 - df m ml i 模型的最优估计理论等 2 3 】) ，也都是数值不稳 定的。 其原因是由于计算机有限字长的限制，在长时间的递推计算中，舍入误差和截 断会不断地积累、传递，这种积累、传递会使这些算法中都存在的一个关键量，即 误差的协方差矩阵只失去对称性，对称性是误差协方差矩阵尸本身的一个重要性质， _ p 失去了对称性，轻则影响各算法的计算精度，重则会使算法发散，完全失效。 实际上，卡尔曼滤波的数值稳定性问题在上世纪7 0 年代就被提出，因为人们在 应用卡尔曼滤波解决实际问题时发现，有时会得到完全无效的估计结果，因此，对 此问题进行了研究，先后提出了一些数值稳定性的方法 3 1 - 3 s l 。近几年，带乘性噪声 系统的研究取得了一定进展，提出了基于带乘性噪声系统的一系列新的理论和最优 估计方法，随着研究的深入，带乘性噪声系统的数值稳定性问题显得重要起来。随 着带乘性噪声系统理论、方法的广泛应用，其数值稳定性方法的研究就很有必要了。 1 2 带乘性噪声系统最优状态估计理论的发展现状 经典随机线性系统其观测模型中仅含有加性噪声，对于这一类随机系统的最优 滤波、平滑及反褶积问题都已经有了大量的研究成果【l - 8 】。自从k a l m a n 3 1 、b u c y 4 】等 人提出了状态最优滤波的递推算法以来，在各种加性噪声条件下的状态最优滤波算 法、带有k a l m a n 滤波器的最优控制算法、自适应滤波算法、滤波算法的稳定性研究 1 - 2 ，以及基于k a l m a n 滤波的各种平滑算法以及反褶积 7 - 8 的理论成果层出不穷，并 在空间技术、通讯、导航和石油地震勘探、水声信号处理等许多领域得到广泛应用。 与之相比，带乘性噪声系统的估计理论与应用研究成果还不够完善。由于石油 地震勘探、水声信号处理、目标跟踪等许多实际应用问题的需要，带乘性噪声随机 系统的信号估计问题日益受到研究者的重视。 1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n ”l 等人首先对乘性噪声为独立菲平稳白噪声的情况进行了研 究，推导出在线性最小方差意义下为最优的状态递推滤波算法和非递推的平滑估计 算法，同时还给出了连续系统的最优状态估计器。1 9 8 1 年，t u g n a i t 1 。7 】定义了带乘性 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 噪声离散系统的能观性和能控性，并引入在线性最小方差意义下滤波等价的经典系 统，讨论了r a j a s e k a r a n 状态滤波算法的稳定性。1 9 8 9 年，c h o w 1 8 1 在乘性噪声为有色 噪声情形下，将滤波算法推广到噪声均值非零的情况。1 9 9 3 年，褚东升【1 4 1 针对离散 系统，将r a j a s e k a r a n 的工作推广至动态噪声与加性观测噪声同时刻相关的线性最小 方差递推滤波器，还给出了白噪声情形下固定域平滑估计的直接算法和间接算法。 另外，在m e n d e l 8 1 所提出的针对一般线性状态空间模型的反褶积理论的基础上， 褚东升【h 】提出了带乘性噪声系统的反褶积理论，给出了独立白噪声条件下的最优固 定点、固定臂长、固定域反褶积算法。并对定常系统给出更简单实用的次优反褶积 算法，还推导出有色噪声时的反褶积算法，且把固定域，固定臂长的反褶积最优算法 推广到动态噪声和观测噪声同时刻相关的更一般的情形。1 9 9 9 年，张文林【l9 】针对带 乘性噪声系统，并基于极大似然准则提出了一种自适应滤波算法。2 0 0 0 年，王昕【2 0 】 建立了可用于并行处理的带乘性噪声系统的分部滤波算法及分部平滑算法，并给出 了基于分布平滑的反褶积算法。2 0 0 1 年，王远【2 l 】建立了加性噪声在有限时间段上相 关时的最优滤波、平滑及反褶积算法。 以上的研究均是针对乘性噪声为标量的情形下做出的，这一假设暗示了各观测 通道的加性噪声虽然可以互不相同，但乘性噪声却完全相同，因此，这种模型并不 是真正意义上的多通道系统。由此，2 0 0 1 年，韩慧 2 2 】在褚东升所做工作的基础上， 将标量乘性噪声推广至对角矩阵的情形，建立了多通道s m n 的最优滤波、平滑及反 褶积算法。2 0 0 3 年张玲【2 5 】进一步将乘性噪声为对角矩阵的情形推广至乘性噪声为一 般随机矩阵的情形，建立了复杂多通道s m n 的最优滤波、平滑及反褶积算法。2 0 0 2 年，李玉全f 2 3 】又将单传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法推广至 多传感器观测下的情形，基于极大似然准则提出了多传感器观测下的逆向滤波融合 算法及单向反褶积算法。2 0 0 3 年梁猛p 4 将李玉全的多传感器观测下滤波融合算法推 广至多通道s m n 系统，给出了多传感器观测下的多通道带乘性噪声系统的最优估计 算法，并给出了带乘性噪声的2 df m m i i 模型的最优估计算法。 1 3 最优估计理论数值稳定性研究的发展现状 自上世纪7 0 年代以来，人们基于传统的k a t m a n 滤波( 只含加性噪声的系统) ， 先后提出了平方根滤波、u d 分解、奇异值( s v d ) 分解滤波等数值稳定性的滤波算 法，可统称为基于矩阵因式分解的滤波算法 3 n - 3 8 l 。 1 平方根滤波吲 平方根协方差滤波( s r c f ) 的思想，是把0 分解为下三角阵，即令b = j s _ a 1 ， 在滤波递推计算中用墨的传递代替p 。的计算，从而保证了只的对称正定性。此 方法在实际应用中证明是成功的。 2 u d 分解滤波 3 2 , 3 3 4 带乘性噪声系统是优估计的数值稳定性方法研究 平方根滤波由于存在矩阵的求逆运算和平方根计算，所需的计算量较常规卡 尔曼滤波要大，因而限制了其应用。进而出现一套计算效率高、数值稳定的u d 分解滤波算法。该算法把协方差阵p 分解为单位上三角阵u 和对角阵d ，即 只= 己，p 。巩1 ，其中u , p 。“相当于协方差阵的平方根& 。u d 分解滤波既具有平方 根滤波的优点，计算中能保证协方差的正定性，同时又避免了平方根算法中平方 根的计算，具有与常规卡尔曼滤波相当的计算量，是算法效率较高的种算法。 3 基于奇异值分解( s v d ) 的滤波【3 ”8 l 奇异值分解由于具有很强的数值稳定性和可靠性，在控制、通讯与信号处理 等领域越来越受到人们的熏视，在滤波的数值稳定性问题中也得到了重要应用。 因此状态估计算法可以以s v d 作为工具，将协方差阵分解为p = u d 2 u t 形式，其 中u 是矩阵p 的特征向量矩阵，d 为矩阵p 奇异值的对角矩阵。由于采用了s v d 分解的方法，状态估计算法的数值稳定性比平方根滤波、u d 分解滤波更好，但 该算法进行一次滤波要进行一次正交变换，两次奇异值分解，所以计算量较大。 以上三种数值稳定性方法所针对的系统均为传统的k a l m a n 滤波系统( 只含加性 噪声) ，带乘性噪声系统的数值稳定性方法并不多见。特别是近几年针对带乘性嗓声 系统提出的新理论、新算法，如多通道带乘性噪声系统的最优估计、多传感器算法 融合理论、2 一df m m i i 模型的最优估计理论等，更是缺乏数值稳定性方面的研究。 因此，本文选取更具普遍意义的多通道带乘性噪声系统，分别对其滤波、平滑、 反褶积理论的数值稳定性算法进行研究，做了以下工作。 1 4 本文所做的主要工作 本文针对多通道带乘性噪声系统，主要在以下三个方面进行了进一步研究：一 是给出了多通道带乘性噪声系统最优滤波的数值稳定性算法：二是推导出了多通道 带乘性噪声系统的直接平滑算法，并给出其数值稳定性算法；三是基于滤波和平滑 算法的估计结果，给出了最优固定域反褶积算法。本文所说的最优均指线性最小方 差意义上的最优。本文主要工作如下： 、本文针对多通道带乘性噪声系统，利用奇异值分解( s v d ) 作为工具，给 出了最优滤波理论的数值稳定性算法。 提出基于奇异值分解( s v d ) 的，乘性噪声为随机对角距阵情形下最优状态 滤波的数值稳定性算法。 将乘性噪声为随机对角阵情形进行推广，随机对角矩阵推广为一般随机矩 阵，并且乘性噪声在同时刻可以相关，提出了复杂多通道带乘性噪声系统下 最优状态滤波的数值稳定性算法。 这一部分中，本文成功将奇异值分解( s v d ) 这一工具应用到多通道带乘性噪 声系统的最优滤波理论中，在保证线性方差最小意义下最优性的同时，算法具有很 5 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 好的数值稳定性。 主要指导思路是：考虑到产生算法数值不稳定的原因为误差的协方差矩阵p ，由 于各种计算误差的积累失去对称性，从而使得算法的估计精度降低或者算法完全失 效。因此，利用s v d 分解，将协方差阵分解为p = u d 2 u t 的形式，用奇异值分解的 结果u 和d 的递推计算来代替p 的递推，因此很好的避免了p 失去对乘性，解决了 数值稳定性的问题。 复杂多通道带乘性噪声系统为一般多通道带乘性噪声系统的推广。在一般多通 道带乘性噪声系统中，观测通道中的噪声向是随机对角矩阵的形式，这就意味着， 各观测通道中的乘性噪声虽然可以是各不相同的，但却是互不相关的，这是个不合 理的假设，实际应用中通道中的噪声往往是相关的，因此，在复杂多通道带乘性噪 声系统中，矾妨推广为一般随机矩阵的形式，乘性噪声在同一时刻是可以相关的。 二、仍然基于多通道带乘性噪声系统，首先推导出最优直接平滑算法，然后利 用奇异值分解( s v d ) 这一有力工具，给出该系统最优平滑理论的数值稳定性算法。 乘性噪声为随机对角距阵情形下，首先推导出在线性最小方差意义下最优的 直接平滑算法，而其数值稳定性算法的提出，仍然利用了奇异值分解( s v d ) 这一工具，来有效解决算法数值稳定性问题。 将直接平滑算法进行推广，乘性噪声由随机对角矩阵推广为一般随机矩阵， 并且乘性噪声在同时刻可以相关，提出了复杂多通道带乘性噪声系统下的固 定域直接平滑理论，进而给出最优平滑的数值稳定性算法。 在这部分中，首先提出最优固定域直接平滑算法，依然利用奇异值分解( s v d ) 作为工具，应用到多通道带乘性噪声系统的最优直接平滑理论中，解决了算法的数 值稳定性问题，并且保证了线性方差最小意义下的最优性。在最优平滑直接算法的 推导过程中，多次用到卡尔曼滤波的基本理论和投影定理及其性质【2 l ，借鉴乘性噪声 为一维随机变量最优平滑的推导过程【1 “，得到线性方差最小意义下最优的固定域直 接平滑算法，平滑算法所用到的中间量，有一些是最优滤波算法的结果。 三、基于多通道带乘性噪声系统，利用上述最优滤波和平滑的估计结果，给出 了最优反褶积的数值稳定性算法。多通道系统的反褶积算法文献 2 5 1 已给出，受滤波 和平滑算法数值不稳定的影响，它也是数值不稳定的。在本文提出了滤波和平滑的 数值稳定性算法后，反褶积算法利用本文进行了数值稳定性处理后的滤波、平滑算 法的计算结果进行估计，能够自然保证反褶积算法的数值稳定性。 四、针对上述各算法进行了仿真研究，对s v d 分解前算法的估计结果和分解后 算法的估计结果进行了比较，结果表明，奇异值分解前的算法在一般情形下的估计 结果是有效的，但分解后的算法估计精度更高；对另外一些系统进行估计时，分解 前的算法就会出现发散的计算结果，分解后的算法则仍保持了较好的估计结果，表 明奇异值分解后的算法具有更高的数值稳定性。 6 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 2 多通道带乘性噪声系统最优状态滤波的数值稳定性算法 2 1 通道特性不相关时的最优滤波算法和数值稳定性算法 本节针对观测通道乘性噪声为随机对角矩阵的形式，首先给出了该情形下的数 学模型描述和前提条件。由于观测通道中的乘性噪声为随机对角矩阵，各通道中的 乘性噪声分别作用于自己的通道，因此，各观测通道中的乘性噪声是互不相关的。 针对给出的数学模型及条件，给出了该系统的最优状态滤波算法，该算法在线性最 小方差的意义下是最优的。但此算法是数值不稳定的，因此紧接着提出了该算法的 数值稳定性算法，数值稳定性算法采用了数值稳定性较好的奇异值分解方法，在保 证最优性的同时，具有较好的计算精度和数值稳定性，缺点是部分加大了运算量。 2 1 1 通道特性不相关时多通道带乘性噪声系统的数学模型 通道特性不相关时多通道带乘性噪声系统的数学模型描述如下： x ( k + d = a ( h l k ) x ( k ) + 艿( 嘲 ( 2 1 1 ) 粥= 皈妨c ( 嘲砷+ ( 2 1 2 ) 式( 2 1 1 ) 为状态方程，其中捌斛1 ) 描述系统第n l 时刻的状态，坝柚为k 时刻的 系统噪声。式( 2 1 2 ) 是观测方程，z ( 七) 为k 时刻的观测向量， ) 就是系统中的乘 性噪声，而k 砷为观测噪声。a ( k + l ，妨、b 、c ( 的分别为系统的系数矩阵。 另外，u ( k ) = d i a g ( u l ( k ) ，“；“，( 向) ；d i a g 表示对角阵。这意味着，个通道的乘性 噪声可以是不相同的。琢) 为n 维状态向量，z 为，维观测向量，坝为s 维系统 噪声，h 幼为，维观测噪声，一( 抖，妁，c ( 盼分别为n x l 1 、n x s 、r x n 维系数矩阵。 对于式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 描述的系统，假定满足如下条件： d 1 ：e 【矗) = 0 ，c 0 v ( 职砷，暇 ) ) = q ( 幻6 村；e h 幼) 。0 ，c o v ( 妖幻，k 栌r ( 妁6q ； d 2 ：c o v ( w ( k ) ，) = 口： d 3 ：e 坝d ) = 蜥，v a t ( x ( d ) ) = e ( 硬d ) 一u o ) ( 硬u o ) 。) = - p ( ； d 4 ：c o y ( x ( o ) ，职的卜口：c o v ( x ( d ) ，坎产d ； d 5 ：随机对角阵职妨的统计特征如下： e u ( k ) = m ( k ) = d i a g ( m l ( k ) ，聊，( p ) ；( 垆( 嘞) m ：j c 和( 翰= ) ，。； 其中：m i = e “脚) ；n o q o = e ( u , ( k ) - m 。( 动) ( 吼妨m a k ) ) ) ；羁( 的硼胸崎( 的 且当| 1 时，u i ( 的与u a k ) 不相关；产1 ，2 ，3 d 6 ： 照硒) ， h 动) 及川d ) 与 的) 相互独立。 其中，q ( d ，r ( 的，趔 ) ，p ( 0 ) 和脚均为已知的噪声统计特性。 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 2 1 2 多通道带乘性噪声系统的最优状态滤波算法 定理2 1 ：针对( 2 i 1 ) 、( 2 i 2 ) 式描述的多通道带乘性噪声系统，假定满足条件 d i d 6 ，有如下最优状态滤波算法： 状态一步预测： x ( k 女一1 ) - - 4 。( k , k - o x ( k l k 一2 ) + 1 ( 七k - 1 ) g ( k q ) z ( k - 1 ) ( 2 1 3 ) a ；( k , k - 1 ) = a ( k , k - 1 ) ( 圈吩1 ) m ( k - 1 ) c ( 舡1 ) ) ( 2 1 4 ) 增益矩阵： k ( i ；) = p ( , k - 1 ) c 。( 翰呱眦1 ( 的 ( 2 1 5 ) 吼( = m + ( 七) 【c ( k ) p ( k k - 1 ) ( 的】十( 翰- k 【c ( 旬叫妨】懈 ( 2 1 6 ) s ( k ) = a ( k , k - 1 ) 双k - 1 m 。( k , k - 1 ) + 8 ( k - 1 ) q ( k - 1 泌。似1 ) ( 2 1 7 运算符“”代表矩阵对应元素相乘，即“哈代积”。 误差协方差阵： p ( k k - i ) i 也( k , k - 1 ) p ( k - 1 k - 2 ) a 。( 七k - 1 邶( 缸1 ) q ( k - 1 ) b 。( k - 1 ) p ( 七) = 碳妨 娴c ( 均) 口( 七k - 1 ) p ( k - 1 m 。( 盘缸l 卜矗( 缸1 ) q 限1 妒( k - 1 ) ) 滤波： x ( k k ) = a j ( k ) x ( k 一1 ，k 1 ) + 硪动z ( 妨 a k ) = f f - k ( k ) m ( k ) c ( 的m ( 毛缸1 ) 初值：p ( i 0 ) = a ( 1 o ) s ( o 矿o ，国 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 此算法已由文献 2 2 ，2 8 给出，详细情形可以参考两文献，因此，这里不再给出详 细的证明过程，在下一节中，将给出此算法的数值稳定性算法。 2 1 3 基于奇异值分解的多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法 定理2 1 算法中的以七) 、p ( k k - 1 ) 、双句、尉七) 几个矩阵均是对称阵，而且在算法 的递推过程中它们应该始终保持这种特性，然而我们在实际应用过程中发现，以上 几个矩阵由于计算误差和舍入误差的影响，当多步迭代之后很难一直保持对称，从 而引起了算法出现数值不稳定，算法计算精度降低，严重的算法完全失效，因此提 出了以下基于奇异值分解的数值稳定性算法来解决此问题，提出了定理2 2 。 定理2 2 ：针对( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式描述的多通道带乘性噪声系统，仍然假定满足 条件d 1 d 6 ，有如下最优滤波的奇异值分解算法； 滤波的状态估计： x ( k k 1 ) = a ( k ，女一1 ) x ( 女一1 k 1 ) ( 2 1 1 2 ) x ( k 姊= x ( , k 一】) + k ( 的( z ( ) 一m ( 女) c ( 女) ) x m k 1 ) ( 2 1 1 3 ) 板= 妨( 扩c 7 0 岭m 厶( 砒。7 ( 2 1 1 4 ) 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 u ( 曲和d ( 功的递推计算： r 。= r ( 的+ ( 约【c ( k ) s ( oc j ( 蝴 运算符“”代表矩阵对应元素相乘，即“哈代积”。 b 砂屯。( 七) 乙。( 句 一d 譬等他_ 一七，p 0 卜t ， 1。1 ( 女女一1 )llj 一 妁= u ( k k 一1 ) v 。( 七) ，d ( = c d ( 砷) 。 i 酬嚣b 7 譬均h 凇”t ，iq 7 ( k ) 1 ( k )l l o j u ( k + 1 伪= v ( 七) ；d ( k + 1 k ) = d ( 后) 义柚的奇异值分解： 卜舞b k ) 1 蛐b 孵0 妁恤， lq 7 ( k ) 7 j lj 一 酞f = f k ) ，口“曲= d ：( 1 【) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) 该算法仍然在线性方差最小的意义下是最优的，以下给出详细的证明过程。 证明： 首先将( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 两式的p ( k k - 1 ) 爿囝的递推表达变形为适于奇异值分解的 形式： p ( k + 1 k ) = a ( k + l ，k ) p ( k ) a7 忙+ 1 妁十b ( 砷q ( k ) b t ( k ) ( 2 1 2 3 ) p ( 约= p ( 肌- d - r ( k ) m ( k ) c ( k ) p ( k k - 1 ) ( 2 1 2 4 ) 由奇异值分解的基本理论口9 ) ： 一个m n 的矩阵a ，可以分解为三个矩阵，如下所示： 一= u a 矿： l = f s0 1 0o j 其中a 曰f “并且s = - d i a g ( ol i 一，ar ) ； a ai a ， o 。数值oi j i 一， 与n 。= 0 ，a 。= o 一起被叫做a 的奇异值。它们是爿0 的特征值正的平方根，而 且u $ u 矿的列向量是正交的。如果a 自己是正定的，那么有奇异值分解：a = u j w r 。 在此算法中，由于以、h 斛l 屑) 为正定阵，因此令： 只七) = 职础( 助 ( 2 1 2 5 ) p ( 抖i 0 = 坝七+ 1 伪+ i l k ) ( k + l k ) ( 2 1 2 6 ) 将( 2 1 2 5 ) 式代入( 2 1 2 3 ) 式得到： p ( k + l k ) = a ( k + l ，功u ( k ) d 2 哦舡q 孙+ 1 ，妨十雪q ( 啪飞国 ( 2 】2 7 ) 我们的目的就是用硼和d ( 七) 推得式( 2 1 2 7 ) 中的u ( k + l 厕和d ( k + l k ) ；其中 9 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 的元素是正交的，d 的元素是对角的。由( 2 1 2 8 ) 式构造下式中等式左边的矩阵， 并进行奇异值分解有： f 酬焉均h 竹”砷 眩地s ， 对( 2 1 2 8 ) 式两边分别左乘相应的转置矩阵有： 删k ) g 刖厕l 篇等“ 旧7 棚呦纠矿c 展开上式得到： a ( k + t ，k ) u ( k ) d r ( k ) d ( k ) 广f 鼬飞+ j ，惫) 十8 ( 硒q ( ) q 女) b 飞动 = 叭女) p ，r ( n d b ( 女) 州女) ld 。r ( ”卜( 女) 注意到其中d ( b 为对角阵觑妁为对称阵，所以d 飞炉d ；q 飞炒= q ( 向；而且 u ”( k ) u7 ( i ) 习，所以上式化为： 以 + 1 幼职女l ( 七) ( 踟。( + l ，磅+ 口( 动q ( k ) b 1 ( ) = 矿( t ) d ”( k ) z “( k ) 对比上式与( 2 1 2 7 ) 式得： p ( k + l k ) = v ( 七) d 2 ( ) y ”( ) = u ( k + 1 k ) d 2 ( k + 1 屉) u t ( k + 1 k ) 因此得到： u ( k + 1 k ) = v ( 1 ) ；d ( k + l k ) = d ( t ) ( 2 ，1 2 9 ) ( 2 1 2 9 ) 式就是u ( p 和d ( 七) 求职抖1 伪和d ( k + l 哟的迭代式。另外计算过程中的中 间量d ”( k ) 并不需要保存。 下一步的目标是为了由u ( k + 1 伪和d ( k + 1 伪求得，+ 1 ) 和d ( j j + 1 ) 的迭代式。首 先要对( 2 1 2 5 ) 式进行变形，其中由矩阵的反演公式d a b l - l = i 一以陋一，r b ， 并注意到彻为对角阵有： p 1 ( 砷中1 ( 肫1 ) 一瞰撇七) c ( k ) p ( k k - 1 ) 。 = p 1 ( m k - 1 ) i - k ( k ) m ( k ) c ( k ) k ( k ) - 1 。1 d ( d c ( p ) = 尸1 ( 脓一1 ) - p 1 ( c k - 1 ) k ( k ) 双妁a ( n 板妨棚“ 妖七) c ( 向 = p 1 ( k k - d p - 1 ( 七成一1 ) h 腓1 ) 一( 磅坝岭r l 。 m ( k ) c ( k ) p ( k k - 1 ) c x ( k ) m ( k ) r l 。- 1 。m ( k ) c ( o = p - 1 ( j b 似1 ) 一c t ( k ) m ( k ) r f l ( 向 盹( p 如( 助) r l 。棚。1 旭的c = p 1 ( 觚一1 卜c 1 ( ，( 妨r m - 1 ( 的 娴c ( 七) ( 2 1 3 0 ) 并且其中： r 。( 动= 次( + 埙约 c ( d 烈砷c 飞翰】 ( 2 1 31 ) 注意到胄。的对称性，因此可以令如。( 妁吒。( 玲k 飞时代入( 2 1 ，3 0 ) 式有： p - 1 ( 固= p 1 ( k k - 1 ) + 畎蜘矿渤三。( 汪。7 渤心妁c 继续利用上式有： 【矾吼d 2 ( 七) l ，渤】- j = 【u ( 幻缸1 ) d 2 ( k k - 1 ) u r ( r k - 1 ) 。+ c r ( k ) m r ( k ) l ( k ) l r ( k ) 埘c ( 妨 1 0 带乘性噪声系统最优估计的数值稳定性方法研究 = ( 哦k k - o ) 。【d 之( k k - i ) + u t ( k k - 1 ) c r ( k ) m r ( k ) l 。( 哟r ( k ) m ( k ) c ( k ) u ( k k - 1 ) l o - 1 ( k k - d 由上式构造下式矩阵，并进行奇异值分解有： 一 ：。k ! 1 ；2 u 。72 1 l = u ”c t ， 。0 ”1 矿”7 c 七， c z ，3 z ， id 。( t 一)l、li 、 左乘相应的转置矩阵有： u 飞舭- 1 ) c r ( k ) m r k ) l 。( 弛。r ( k ) m ( k ) c ( k ) u ( k k - 1 卜d _ 2 ( 七僵一1 ) = y ”( t ) d ”2 ( 女)