（控制理论与控制工程专业论文）基于改进遗传算法的控制系统在倒立摆中的应用.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 倒立摆的控制是一个典型的平衡控制问题，作为一个复杂、不稳定的倒立 摆控制系统一直被用作实时控制试验的验证设备。同时，由于倒立摆控制系统 与机器人和飞行器等控制系统的相似性，对其进行控制所采用的控制算法以及 得出的结论对其它工程控制问题具有一定的指导意义。 遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应 全局优化概率搜索方法。遗传算法提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框 架，它不依赖于问题的具体领域，对问题的种类有很强的鲁棒性，所以广泛应 用于很多学科。在自动控制领域中有很多与优化相关的问题需要求解，遗传算 法己在其中得到了广泛的应用，并显示出了良好的优化效果。 本文首先阐述倒立摆控制系统的研究发展过程和现状，随后详细介绍了一 级和二级倒立摆控制系统的动力学公式的推导。在分析了遗传算法( g a ) 优缺 点的基础上，根据倒立摆控制系统的特点，通过改进的遗传算法来优化控制器 的待定参数，设计了倒立摆控制器；并对固高公司的倒立摆控制系统做了分析。 通过c 语言设计出的遗传算法程序进行数值优化，采用e x c e l 模拟程序所得到 的数据，得到仿真图形，验证改进遗传算法的控制效果的快速性和优越性；并 以m a t l a b 语言及其s i m u u n k 工具箱为基础，做了一定的仿真研究工作。 实验结果证明，该改进的遗传算法可以取得更好的控制效果，并对下一步要进 行的工作提出了自己的设想，即把模糊规则、神经网络和遗传算法三种控制方 法的优缺点综合和互补，进而得到更好的混合算法来控制倒立摆。 整个论文的完成，以一定的理论为基础，既有数学公式的推导，方法理论 的探讨，又有一定的仿真模拟试验，而且研究对象相当典型。 关键词：智能控制，遗传算法，染色体，倒立摆 武汉理工大学硕士学位论文 t h ec o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi sat y p i c a le x a m p l eo fa p p l i c a t i o no f t h ec o n t r o lt h e o r y i t so f t e nu s e dt ot e s t i f yt h ee f f i c i e n c yo fn o v e lc o n t r o ls t r a t e g y m o r e o v e r , d u et ot h es i m i l a r i t yo fc o n t r o lo ft h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mt ot h e c o n t r o lo fr o c k e t ，a i r c r a f t sa v i a t i o na n dr o b o t ，t h ec o n t r o la l g o r i t h ma n dc o n c l u s i o no f t h i sp a p e rw i l lb ei n s t r u c t i v et os o l v e o t h e re n g i n e e r i n gp r o b l e m s g ai sp r o c e s si ni n h e r i t a n c ea n de v o l u t i o ni nn a t u r a le n v i r o n m e n ts i m u l a t e l i v i n gt h i n g sb u to n ek i n do fs e l ff i ti nw i t ho v e r a l ls i t u a t i o nt a k i n gf o r mo p t i m i z e s p r o b a b i l i t ys e a r c h i n gf o rm e t h o d i n h e r i t a n c ea l g o r i t h mh a sp r o v i d e do n ek i n d f i n d i n gt h es o l u t i o nc o m p l i c a t e ds y s t e mo p t i m i z e st h ep r o b l e mg e n e r i cf r a m e w o r k ，i t i sn o td e p e n d e n to nc o n c r e t ep r o b l e mf i e l d ，t h ek i n dt op r o b l e mh a sv e r ys t r o n g s h a n d o n gs t i c ks e x ，a p p l i e st om a n yd i s c i p l i n et h e r e f o r eb r o a d h a v em u c ht h e p r o b l e mb e i n gr e l a t e dt ot h eo p t i m i z a t i o nt on e e dt of i n dt h es o l u t i o ni na u t o c o n t r o l f i e l d ，i n h e r i t a n c ea l g o r i t h ma l r e a d yh a sb e e ng e t t i n gt h ee f f e c th a v i n ga p p l i e dt h ef i n e o p t i m i z a t i o n ，a n dh a v i n gd e m o n s t r a t e db r o a d l ya m o n gt h e m t h ep r o b l e m st ob er e s o l v e di n t h i sd i s s e r t a t i o na l et h a tc o n c i s e l yi n t r o d u c i n g t h ed e v e l o p m e n ta n dc u r r e n ts i t u a t i o no fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mr e s e a r c h , t h e m e c h a n i s ma n dm a t h e m a t i c a lm o d e lo fi n v e r t e d p e n d u l u m a r e p r e s e n t e d m a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h eo n el e v e li n v e r t e dp e n d u l u ma n dt w ol e v e li n v e r t e d p e n d u l u mi sp a r t i c u l a r l ye d u c e di n t h i sp a p e la n a l y z i n ga n ym e t h o d so fc r e a t i n g m a t h e m a t i c a lm o d e lo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m f r o mt h em e r i ta n dd e m e r i to ft h e g aa n dt h es p e c i a l t yo fi n v e r t e dp e n d u l u m ，t h ei m p r o v e dg ac a no p t i m i z et h e p a r a m e t e r so ft h ec o n t r o ls y s t e m t h ee f f e c to ft h ep a r a m e t e r si sb e t t e rt h a nb e f o r e f o r mt h et e s to fg o o g o u s p e n d u l u m u s i n gl a n g u a g ec t op r o g r a mt h en e wg a , t h eg r a p h i c sw h i c hi sf o r mt h ed a t ai sp u ti n t oe x c e ls h o w st h ee f f e c t w ea l s o d e v e l o pt h er e a l - t i m ec o n t r o ls y s t e mb yu s i n gs i m u l i n ko fm a t l a b n e x tt i m et h e m o r ei d e a lg a w o u l db eg o tt oo p t i m i z et h ei n v e r t e dp e n d u l u m t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sb a s e do nd e f i n i t et h e o r y , i n c l u d i n gt h ee d u c a t i o no f m a t h e m a t i c a lm o d e l ，d i s c u s s i o no fm e t h o d o l o g ya n dt h ed e s i g no fr e a lc o n t r o ls y s t e m w h a t sm o r e t h er e s e a r c ho b j e c ti sr a t h e rt y p i c a l k e yw o r d s ：i n t e l l i g e n tc o n t r o l l e r , g a ，c h r o m o s o m e ，i n v e r t e dp e n d u l u m n 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 本课题首先对倒立摆的发展过程进行了简要介绍，然后阐明遗传算法及其 他控制方法在倒立摆中所发挥的重要作用的基础上说明其研究意义。通过对国 内外研究现状的分析，对倒立摆控制方法的探讨和对遗传算法在倒立摆控制系 统中的应用总结，说明了本课题的研究方向和所采用的研究方法。 1 1 倒立摆的发展过程及其本课题的研究意义 1 1 1 倒立摆的起源 倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设 计出单级倒立摆实验设备；后来在此基础上，专家学者又进行拓展，产生了直 线二级倒立摆、多级倒立摆，柔性连接直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆 和环形并联多级倒立摆的实验设备。从此，倒立摆成为控制领域中不可或缺的 研究设备和验证各种控制策略和控制方法的有效性的实验平台。 1 1 2 本课题的研究意义 倒立摆作为验证控制理论和控制方法的实验装置，是一个高阶次、不稳定、 多变量、非线性和强耦合系统，具有形象、自观、结构简单、构件组成参数和 形状易于改变、成本低廉等特点。对倒立摆的研究可归结为对非线性、多变量、 绝对不稳定系统的研究，它在控制过程中能有效地反映出许多关键问题，如非 线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。近几十年 来，国内外不少专家学者对一级、二级、三级、四级等倒立摆进行了大量的研 究，试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检验或说明该算法对 严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。 在学习现代控制理论知识的过程中，许多抽象的控制概念如稳定性、能控 性、快速性和鲁棒性，都可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制 效果一目了然。同时其动态过程与机器人的行走姿态类似，其平衡与火箭的发 射姿态调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人自立行走、火箭发射过程的姿 武汉理工大学硕士学位论文 态调整和直升机飞行控制领域中起到很重要的作用，相关的科研成果已经应用 到航天科技和机器人学等诸多领域。 1 2 传统的控制方法在倒立摆中的应用 经典控制理论和现代控制理论的主要特征是基于精确模型的控制。经典控 制理论主要采用传递函数、频率特性、根轨迹为基础的频域分析方法，能够很 好地解决单输入单输出问题。现代控制理论采用状态空间法，把经典控制理论 中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组，用以描述系统的动态过程，这种 方法可以解决多输入多输出问题，系统既可以是线性的、定常的，也可以是非 线性的、时变的。 1 - 3 遗传算法及其他控制方法在倒立摆中的应用 随着工业控制技术的发展，被控对象日趋复杂，对控制性能的要求不断提 高，使传统控制理论面临新的挑战。众所周知，被控对象越复杂，数学模型越 难精确，加上系统本身的非线性以及某些不确定性，使针对线性化模型进行控 制系统设计的各种理论对解决这些复杂系统无能为力。在这样复杂对象的控制 问题面前，把人工智能的方法引入控制系统，使得新的控制方法的突破。 智能控制是控制理论发展的高级阶段，主要解决那些传统方法难以解决的 复杂系统的控制问题，其中包括智能机器人系统，复杂的工业过程控制系统， 航天航空控制系统，社会经济管理系统，交通运输系统等。基于包含模糊逻辑、 神经网络和遗传算法在内的软计算( s o f tc o m p u t i n g ) 的智能控制是当前自动化 科学中最活跃的研究领域。具体来说，智能控制的研究对象具备以下特点： ( 1 ) 不确定性模型的建立 传统的控制是基于模型的控制，这里的模型为控制对象模型。对于传统控 制通常认为模型已知或者经过辨识可以得到：而智能控制的对象通常存在严重 的不确定性：一是模型未知或知之甚少；二是模型的结构和参数可能在很大范 围内变化。无论哪种情况，传统方法都难以对它们进行控制，而这正是智能控 制所要研究解决的问题。 ( 2 ) 复杂的非线性问题 武汉理工大学硕士学位论文 在传统的控制理论中，线性系统理论比较成熟。对于具有高度非线性的控 制对象，虽然也有一些非线性控制方法，但总的来说，非线性控制理论还很不 成熟，而且方法比较复杂。采用智能控制方法可以更好地解决非线性控制问题。 ( 3 ) 多重的任务要求 在传统的控制系统中，控制的任务或者要求输出量为定值( 调节系统) ，或 者要求输出量跟随期望的运动轨迹。因此控制任务的要求比较单一。对于智能 控制系统，任务的要求往往比较复杂。 近年来随着智能控制方法研究的不断发展，在倒立摆系统的控制研究上也 起到了很大的作用。 1 9 9 5 年，i j 7 m 两个并行的模糊滑模来分别控制小车和摆杆偏角；1 9 9 6 年， 张乃尧等采用模糊双闭环控制方案成功地稳定住了一级倒立摆；1 9 9 7 年，t h h u n g 等【9 】设计了类p i 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具有系统结构简单 对硬件依赖小的特点。在1 9 9 9 年i f a c 大会上会议论文中，李德义，沈程智等 人提出了一种新的模糊控制方法即将隶属度曲线改为使用隶属云。“云模型”的提 出实现了倒立摆的很好控制，显示了大范围定性控制的优点。 d e r i s 1 2 利用遗传算法来整定p i d 参数控制倒立摆；1 9 8 3 年，b o u s l a m a 利 用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器； 1 9 8 6 年b a r t o 等设计了两个单层神经网络，采用a h c 学习算法实现了状态未离 散化的倒立摆的平衡；1 9 8 9 年，a n d e r s o n 进一步用两个双层神经网络和a h v 方法实现了状态未离散化的倒立摆的平衡控制。 胡叔旖、孙增忻在其对二级倒立摆系统的研究中提出了基于知识的规则控 制方法，把控制规律的实际运行和各种启发式逻辑( 或称人的经验知识) 结合 起来，成功的实现了对二级倒立摆系统的稳定控制。 1 9 9 4 年，北京航空航天大学张明廉教授将人工智能与自动控制理论相结合， 提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。李祖枢等人利 用拟人智能控制理论研究了二级倒立摆的起摆和稳摆控制问题。 1 9 9 9 年，由s h o u l i n gh e ，q i o n g w u ，n a r i m a ns e p e h r i 首次提出神经逆模型 方法。这项研究是对有两个旋转自由度，基点可以实现在三维空间中任意移动 的倒立摆的稳定控制；主要方法是排除基点移动的干扰，利用控制力矩使倒立 摆稳定在规定的位置上。 北京师范大学李洪兴教授采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立摆 武汉理工大学硕士学位论文 控制问题，成功实现了四级倒立摆实物控制。 总而言之，倒立摆是检验各种控制算法和控制理论的有效实验设备。目前 应用在倒立摆上的算法有以下几类：经典控制( p i d ) ；现代控制( 极点配置法) ； 变结构控制；模糊控制；神经网络控制；拟人智能控制等。 1 4 本课题的主要工作 本课题主要研究倒立摆控制系统中的动力学公式的推导及遗传算法在倒立 摆控制系统中的研究及其验证。主要工作包括以下几个方面： ( 1 ) 全面了解倒立摆控制系统的结构和工作原理。详细介绍了一级和二级 倒立摆控制系统中的动力学公式的推导，起摆控制主要应用能量控制算法；稳 摆控制主要应用p i d 控制，调节p i d 比例系数，优化了倒立摆控制器，实现了 倒立摆的稳摆。 ( 2 ) 进一步学习和研究遗传算法的排列、交叉、变异和选择等操作，通过 c 语言编写出改进的遗传算法程序，即分层遗传算法，进行模拟仿真，在e x c e l 里生成仿真图形。 ( 3 ) 深入学习m a t l a b 语言及其s i m u l i n k 工具箱，以一阶倒立摆数学模 型为研究对象，用改进的遗传算法来优化数学模型的参数，把优良的参数应用 到控制器中，模拟出小车运动形态的仿真图形。 4 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章倒立摆系统的数学模型 倒立摆本身就是一个不稳定的控制系统，建立实验性的模型存在一定的困 难。在忽略掉一些次要的因素后，发现倒立摆控制系统就可看作一个典型的刚 体运动系统，可以在惯性坐标内应用经典力学珲论建立系统的动力学方程。下 面采用力学分析方法分析直线型一级、二级倒立摆的数学模型。 2 1 一级倒立摆数学公式的推导 一级倒立摆控制系统的结构简图。见图2 - 1 编码器 图2 1 一级倒立摆的结构图 如图2 - 1 所示，摆杆通过转动轴连接在小车上，小车固定于皮带上，皮带连 接于直流电机的转轴。通过直流电机转轴转动带动皮带来回运动，实现小车沿 导轨上滑动。电机的运动状态通过转动轴。控制摆杆竖直倒立不倒。小车上的 光电编码器用于检测小车位移和摆杆的角度。 下面对一级倒立摆建立牛顿欧拉方程，并对系统的稳定性和能控性进行分 析。 2 1 1 用牛顿一欧拉方法分析数学模型 在忽略空气阻力和各种摩擦之后，将直线一级倒立摆系统抽象为小车和匀 质杆组成的理想系统。 系统各变量的定义及参数如下： 武汉理工大学硕士学位论文 小车质量 m 1 = 0 4 5 k g 摆杆质量m = o 黝窜 摆杆转动轴心到杆质心的长度j = o - 3 5 | ， 摆杆对质心的转动惯量 ，= 去m f 2 = o 0 0 2 5 k g m 2 加在小车上的力 ， 小车位移 x 摆杆与垂直向上方向的夹角0 已知测得电机转子的质量为m 。一0 5 k g ，转子半径为兄一o 0 2 m ，电机转 轴半径为r d - 0 o l m ，可粗略地认为电机的转动惯量删为： ，d - 去m d 嘭一0 s x 0 5 x 0 0 2 2 - 1 0 4 k g m 2 ( 2 1 ) 折算到小车上的电机质量为： 蟛一号- 器一蟓 旺z ， 小车及驱动部分的等效质量为： m m l + f ：- 1 + o 4 5 - 1 4 5 k g ( 2 3 ) 摆杆角度以顺时针方向为正，小车运动以向右方向为正。图2 2 和图2 3 是 系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，n 和p 为小车和摆杆互相作用力的水 平和垂直方向的分量。 图2 2 对小车进行受力分析图2 3 对摆杆进行受力分析 分析小车水平方向所受的合力，可得方程如下： m z l f n( 2 4 ) 由摆杆水平方向受力分析，得方程如下： ；，n ! ；( 工+ fs i n 口) 6 武汉理工大学硕士学位论文 p 一懈一所万d 2 ( f c o s 一) f m + m ) x + m l o c o s o m 1 0 2 s i n 0 f ( 2 8 ) j 似+ m ) 斛m l o c o s 口一m 1 0 2 s i n o 。f ( 2 1 0 ) i 口u + m 1 2 ) - m g l s i n 0 一m x l c o s o j ( 肌m ) 舯耐， ( 2 1 1 ) i 口u + m 1 2 ) - m g l o m x l | ：篓j 扎+ m 詈l f 2f 眩m i 三型口+ 其中七。( j + m l e ) ( m _ _ + m ) - m 一2 1 z 0 f j l f + m ) g g 0 m g l k 10 o o 0 0 o o1 0 0 o ，= b 。0 鞫味 代入数据得 口 口 工 x + 叫口 斟 占工二】7 汜 7 武汉理工大学硕士学位论文 o 2 3 7 3 9 4 0 - 1 2 2 1 9 1 0 0 0 o0 0 01 o o0 + 0 - 1 4 2 4 9 0 0 6 6 1 6 f y 一【：0 。0 。1 。o 】l q x 一【口刍善二】7 p i q rf 善z i 2 1 2 一级倒立摆系统的分析结果 ( 1 ) 稳定性分析 通过求线性化后系统模型的特征根来研究系统的稳定性： 特征根为：九2t0 ，九一4 8 7 2 3 ，九- 4 8 7 2 3 故系统不稳定。 ( 2 ) 能控性分析： r a n k 似) - r a n k b ，a x b ，a 2 x b ，a 3 x b l - r a n k 0 - 1 4 2 4 9 0 0 6 6 1 6 - 1 4 2 4 9 0 0 6 6 1 6 0 0 - 3 3 8 2 7 2 0 1 7 4 1 1 由此可知，系统可控。 2 2 二级倒立摆数学公式的推导 ( 2 1 4 ) 1 4( 2 1 5 ) 与一级倒立摆相比，二级倒立摆的控制问题中存在更强的耦合作用，不仅 要考虑小车和摆杆之间的耦合关系，还要考虑两级摆杆之间的耦合作用，控制 难度较一级倒立摆大了很多。二级倒立摆的结构示意见下图2 4 、图2 5 。 2拐 n 粥o o o 1 武汉理工大学硕士学位论文 f 图2 _ 4 二级倒立摆正视图图2 5 二级倒立摆侧面结构示意图 由图2 4 图2 - 5 可见，小车向左运动为正方向，摆杆的角度以顾时针方向 为正。此外，约定以下标号：f 为外界作用力，x 为小车位移，o l ，0 2 为摆杆2 与竖直方向的夹角和摆杆1 与竖直方向的夹角，m 为小车及驱动部分的等效质 量，l 】为摆杆1 的质量，鸭为摆杆2 的质量，鸭为质量块质量，为摆杆1 绕质心的转动惯量，为摆杆2 绕质心的转动惯量，为摆杆1 质心到转轴的距 离，厶为摆杆2 质心到转轴的距离，厶为摆杆1 的长度。 下面分别用牛顿力学分析方法和拉格朗日方法分析，并对系统的稳定性和 能控性迸行分析。 2 2 1 用牛顿力学分析数学模型 对于二级倒立摆建立空间坐标系，见下图2 - 6 。 9 武汉理工大学硕士学位论文 y 0 图2 6 二级倒立摆简化结构图 对于倒立摆的力学分析，分别从惯性系和非惯性系中考虑。忽略空气阻力 及各部分摩擦力。 对小车进行水平方向的受力分析，小车受到摆杆1 的反作用力一，h f 一，h - m 工 ( 2 1 6 ) 对于摆杆2 ，受力分析见下图2 - 7 ，图2 8 ，g 2 为摆杆2 的质心，d 2 为摆杆 2 和下级摆杆的连接点，j n 、j ：，是摆杆1 对摆杆2 作用力的水平和竖直方向的 分力，：- 和，n 为作用在摆杆2 上的惯性力的水平和竖直方向的分量。 g 2g 2 ，2 ， x 图2 7 摆杆2 受力图图2 - 8 摆杆2 惯性力分析 根据图2 7 、图2 - 8 ，对摆杆2 进行水平方向的受力分析： ，2 ，一m 2 0 l l s i n q - 1 2 s i n 0 2 ) ” 厂2 ，一m 2 9 = 肌2 ( 厶c o s e l + z 2 c o s 0 0 1 0 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 武汉理工大学硕士学位论文 摆杆2 绕0 2 点的力矩方程为： u 2 + 肌2 譬) 口i m 2 9 1 2s i n 0 2 - m 2 0 一厶s i n q ) 。 2 c o s 0 2 + 栅2 ( 厶c o s q ) t s i i l 吼( 2 1 9 ) 式中包含惯性力的两个分力，2 。- m ：( x - - as i n 0 1 ) 。允im ：化c o s o , ) 对于摆杆1 及两摆杆之间的质量块进行受力分析，见下图2 9 、图2 1 0g l 为 摆杆1 的质心，d 1 为摆杆1 和小车的连接点。 y 0 1 图2 - 9 摆杆1 和质量块受力图图2 1 0 摆杆1 和质量块惯性力分析 图2 - 9 中一，2 ，和一，2 ，为摆杆2 对摆杆1 的反作用分力，鸭g 为摆杆1 的重力， m 3 9 为质量块的重力，h 和五，为小车对摆杆1 支撑力的分力，图2 - 1 0 中包含 惯性力的分力：作用在摆杆1 上的五。和 ：作用在质量块上的 。、厶。 五1 。m l 石，五2 。，3 2 。o ，3 1 。m 3 x ( 2 2 0 ) 根据受力分析和惯性力分析，可知摆杆1 和质量块的动力方程为： ，h 一允一帆- m 3 一厶s i n 8 1 ) ” ( 2 2 1 ) 摆杆1 和质量块在竖直方向位移变化： ，一m l g m 拓一( + 州3 地c o s 0 1 ) ” ( 2 2 2 ) 摆杆1 和质量块绕0 1 点的力矩方程为： ，l + 码彳+ 彳) 口 - m 1g f is i n o , 4 m 3 吕l ls i n 0 1 + ，2 ，厶s i n b 一，2 s b + 研i 工s i a o , + m 3 x 1 1 s i n o , ( 2 2 3 ) ( m + ，h + 所2 + 小3 )一( 胁1 + m 2 厶+ 肌3 厶) c o s o l i ( + 州2 厶+ 小3 厶) c o s o lu 1 + 胁1 车+ m 3 葺一m 2 葺c o s 2 0 1 ) j m 2 如c o s 0 2 f 2 厶c o s ( o , - 0 2 ) 始 蒜喇叱骗l 武汉理工大学硕士学位论文 0 ( 鸭+ 历2 厶+ m 3 l x ) q s i n 0 1 m 2 日0 1 c o s 0 1 s i n 0 1 - m 2 只s i n ( o , 一吼) f 1 f t + m 2 l t + m 3 ) g s i n e , m 2 f 2 9 b s i n 吃 m 是吼s i n 吼 一所，2 厶0 2 c o s q s i n 0 2 0 为了判定二级倒立摆的能控性，有必要将上述公式线性化。在倒立摆的平 衡位置附近bt 5 。，岛t 5 。时，可近似认为 c o s b - 1 , c o s e + = 1 , s i n s , 一b ，s i n 0 2 - 巴，砰s i n b - 0 ( 2 2 5 ) 状态方程即可得 一m + n b + m 2 + m j 警群 -卜0+m-a。0】ol00 000 2 2 6 ) - i o 哦 + 咄) g li li il 已知二级倒立摆模型变量： 小车及驱动部分的等效质量为j l f - 1 9 k g 摆杆1 的质量为 一0 0 5 k g 摆杆2 的质量为 m 2 0 0 7 k g 质量块的质量为 m 3 - 0 1 3 5 k g 摆杆1 质心到转轴0 1 的距离一0 1 0 5 m 摆杆2 质心到转轴0 2 的距离1 2 0 3 1 m 摆杆1 的全长厶一0 2 0 m 摆杆1 绕质心g i 的转动惯量 _ ，。一i j t ，1 1 譬 二 1 摆杆2 绕质心g 2 的转动惯量 ，：一去m ：譬 1 z 整理得二级倒立摆得状态方程z = a z + 曰，为： 武汉理工大学硕士学位论文 q 吼 - 工 _ b - 岛 0o o0 0o 01 0 2 0 3 o6 7 9 5 0 8 0 9 5 5 1 0 0 0 0 5 3 2 4 1 6 4 5 5 8 1 8 3 8 9 1 10 0 010 o o1 0 o 0 o o 0 o o 0 工 b 吼 善 q 吼 +f ( 2 - 2 7 ) 计算后得到系统开环特征根为： 0 ，0 ，6 6 2 4 6 + 0 8 4 6 2 i ，6 6 2 4 6 0 8 4 6 2 i ，- 6 6 2 4 6 + 0 8 4 6 2 i ，6 6 2 4 6 0 8 4 6 2 i 特征根有正实部，故系统不稳定。通过对状态方程分析可知，系统可控。 2 2 2 用拉格朗日方法分析数学模型 拉格朗日方程为： l ( q ，q ) 一t ( q ，口) 一v ( q ，q ) ( 2 2 8 ) 其中，l 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，t 为系统的动能，v 为系 统的势能。 拉格朗日方程由广义坐标q i 和工表示为： 旦堕一丝。， d ta 主o q i “ ( 2 2 9 ) 其中，i = l ，2 ，3 n ，五为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，该 系统的三个广义坐标分别是x 、鼠、岛。 首先计算系统的动能： r 一乙+ 乙t + 已2 + 乙3 ( 2 3 0 ) 其中瓦为小车势能，已。为摆杆1 动能，乙：为摆杆2 动能，为质量块动 能。可得系统的总动能为： t t + l + 乙2 + 瓦3 l 2 m + 三，l l 一m l l l 0 。c o s q 弓耐哥+ 互1 m ：p - 2 x ( 1 1 ；1 c o s 反删) 1 + 三m ： 4 l ? 0 1 + j 4 譬老屯反覆c o s ( 吱一q ) 】+ l m 3 ；2 2 研3 f 1 矗c o s q + 锄彳卉 ：o|l姗 n o l 武汉理工大学硕士学位论文 系统的势能为： v - v 1 + 圪2 + 圪3 一j ，l l 冶c o s 岛+ 优2 9 ( 2 j 1 c o s 0 1 + 乞c o s 巴) + 加3 f l g s 岛 ( 2 3 2 ) 从而拉格朗日算子得： l 。t y - m x + i 1 鸭一m , l , g c o s 岛+ 3 m 1 1 强2 + i 1 肌：一2 二( 反s 岛+ 如砖。s 岛) 】 + 三1 m ： 钾玉+ j 4z ：2 2 + 卅：宣杰c o s ( 岛一b ) 】+ j 1 朋，一加五蠢s b + 2 坍算费 一 m i g c o s 岛+ 肼2 9 ( 2 1 1 c o s g + 1 2 c o s 0 2 ) + 2 1 n 3 1 1 9 c o s 0 1 j ( 2 - 3 3 ) 由于在广义坐标下q 、岛上均无外力作用，有以下等式成立： 互凸一o l 0 出、a 宣8 岛 ( 2 3 4 ) 竺f 马一旦0 出、a 反8 如 ( 2 3 5 ) 展开( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 式，分别得到( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 式： 6 m 2 1 2 吼s i n ( 0 1 一岛) + 4 ( m 1 + 3 ( 坍2 + 胁3 ) m 如一3 ( 。2 m 2 1 2 吼c o s ( 岛一q ) + ( 啊+ 2 ( + m 3 ) x g s i n 0 1 + x c o s e o ) - 0 ( 2 - 3 6 ) - 3 9s i 0 2 6 砰s i n ( 0 1 一易) + 4 1 5 吃+ 6 q c o s ( 如一q ) - 3 x c o s 0 2 - 0 ( 2 3 7 ) 取各变量的初值为零，即o ，q ，只，算，岛，吼，工) l ( o ，0 ，0 ，o ，0 ，o 0 ) 再追加等式 f m 工( 2 3 8 ) 整理式( 2 3 6 ) ( 2 3 8 ) ，线性化之后，等式如下： r + y 4 ( m 1 + 3 ( 加2 + m a ) ) l q o 3 ( m 1 + 2 ( m 2 + m 3 ) ) 占 o o 一滩 + 1 4 ( 2 3 9 ) 武汉理工大学硕士学位论文 取状态变量如下： “，恐，而，毛，屯，x 6 ) r o ，b ，b ，工，岛，0 2 ) r 由式( 2 3 9 ) 式得状态空间方程如下： ， 乇 工2 而 丸 屯 o 0 0 o - 1 4 4 8 1 8 3 2 1 0 3 4 10 0 o10 o 01 o o o 0 0 0 o o 0 毛 屯 毛 而 + 0 0 o o 5 2 6 3 2 6 2 9 7 - 0 0 6 4 8 f ( 2 4 0 ) 经计算得系统的特征根为【0 086 4 6 3 ，4 5 6 0 , - 8 6 4 6 3 ，- 4 5 6 0 ，由于存在正实部 的特征根，故系统不稳定，但是通过对状态方程分析，系统可控。 2 。3 本章小结 本章首先对一级倒立摆控制系统进行受力分析，根据牛顿二欧拉方程的推 导，并在摆杆角度0 c 5 。的范围内，对模型进行了线性化处理，并分析了系统的 稳定性和能控性。 二级倒立摆的分析相对复杂，本文分别用基本力学分析法和拉格朗日法进 行分析、推导。对控制系统的力学分析，需要从力学中的惯性坐标系和非惯性 坐标系对摆杆受力进行分析，分析的复杂程度较大；而从拉格朗日方法，主要 从能量变化的角度计算拉格朗日算子，考虑的因素较少，但计算量相对比较大。 o o o o 螂一 鲺彤 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章倒立摆控制策略的选择和p i d 控制器的设计 倒立摆的起摆和稳摆策略的研究是本章主要探讨的两个方面。直线型倒立 摆的起摆算法；基于能量反馈的控制算法，并介绍了稳摆控制算法：变比例p i d 摔制算法。以上算法简便、实用，便于检测控制装置的控制效果。 根据实际情况，本文还介绍了电机输出力与电压之间的对应关系。为改善 控制效果，还对电机进行了转速闭环控制。 3 1 起摆控制方法的研究一能量反馈控制 对于阶倒立摆，本文介绍了一种起摆策略，基于能量反馈的起摆方法。倒 立摆的起摆问题是控制理论中的经典实验之一。 可将起摆分为以一下四个阶段( 定义摆杆自然下垂位置f ：0 ，以顺时针方向 为正) ，见图3 - 1 。 i 矿 o ，妒 0妒 o ，妒0妒0 ，妒0 i v 妒 0 图3 1 起摆时角度的四种变化情况 在初始时刻，小车位于导轨中心，摆杆自然下垂。当用手人工地进行起摆 运动实验时，先给小车一个较大的力只使摆杆运动，随后紧接着令小车停止， 摆杆会在惯性力的作用下，继续沿着与小车连接处的转轴向上运动( 图3 - 1 中情 况i ) ，达到最高点后，摆杆速度为零，在重力的作用下沿摆杆的轴心自然下落 ( 图3 - 1 中情况i i ) 。这时给小车施加一个相反方向的力一只，小车向反方向运动 的同时，通过转轴位置的相互作用力给摆杆相反方向运动的力。当摆杆再次到 达初始点f = 0 时，令小车制动，摆杆此时的速度不为零，在惯性力的作用下继 续运动，方向相反f 0 如图3 - 2 中所示，曲线a 、c 、e 、g 、i 段符合此条件。此时倒立摆的角度偏 离中心的趋势在增大。根据误差的大小，可进一步划分： a e 2 | e ( k ) i e 1 此时误差较大，需要输入较强的控制作用，扭转误差绝对值减小方向变化， 并迅速减小误差的绝对值，此时提供给直流伺服电机的输出电压为 “( ) 一u ( k 一1 ) + j ；，1 k 。【p ( t ) 一p ( t 一1 ) 】 ( 3 1 0 ) 由于此时误差较大，加入积分和微分控制不利于稳定，所以只用比例控制 就足够了。u ( k 1 ) 为前一采样周期的输出电压。 b i p ( t ) | s e l 说明误差在朝着增大的方向变化，但误差绝对值本身不是很大。如图3 2 中 曲线g 、i 段，需要扭转误差的变化趋势，朝误差绝对值减少的方向变化。输出 1 9 c 配 m 。 吖 m 啐j 武汉理工大学硕士学位论文 为： h ( 七) = u ( k 一1 ) + k ，x e ( k ) - e ( 七一1 ) 】 ( 3 1 1 ) ( 3 ) e ( k ) ) 0 说明误差的绝对值朝减小的方向变化( 如图3 2 中所示b 、d 、f 、h 、i 段曲 线) 。此时电机的输出应该增大，使倒立摆以较快的速率回到平衡位置。此时提 供给电机的电压变化规律基本与( 2 ) 中控制分段和控制方程式相同，只是比例 系数都应该相应的增加。 ( 4 ) p ) p ) 0 、a e ) a e ( 七- 1 ) | e ) p e l 如图3 2 中m 点所示，此时控制器输出为 u ( k ) 一u ( k 一1 ) + x ：x k l x e u ( 七) ( 3 1 2 ) ) 为m 点的误差值。 b q e ( k ) i s e l 如图3 2 中n 点所示，此时控制器输出为 u ( k ) = “ 一1 ) + k ，x k 2 x e v ) ( 3 1 3 ) 0 ) 为n 点的误差值。 ( 5 ) i p ) 扭 说明误差的绝对值很小，此时加入积分和微分控制，减少稳态误差，抑止 偏差变化。 h ) 一u ( k 一1 ) + k ，x e ) 一p ( 七一1 ) 】+ k x e 仲) + k d x e ( 七) 一2 x e ( 七一1 ) + e ( 七一2 ) 】 ( 3 1 4 ) 式( 3 1 0 ) 一式( 3 1 4 ) 中，k p 为比例增益系数，飚为积分系数，k d 为微 分系数，0 k i k 2 ，则实际控制倒立摆并不能在竖直向上的位置稳 定，而是会在士e 2 之间来回进行有规律地摆动。所以，当误差较大时，增益应 适当减小，而在误差较小的时候，令增益适当变大。这时倒立摆在平衡点上更 容易稳定，而不会出现在较大范围内来回摆动的现象。 文献中对情况( 3 ) 的设计采用控制器输出不变的策略。这对于温度和流量 武汉理工大学硕士学位论文 的控制是可行的。但对于本系统来说，保持输出不变等于电压输出不变，小车 匀速运动。当倒立摆有误差减小的趋势时，如果误差小的时候，需要花较长的 时间来达到平衡；如果对于偏差较大的时候，就很难保证倒立摆的平衡了。 对以上两点进行改进后，对倒立摆的控制效果有明显的改善。 针对小车倒立摆而言，对控制角度和角度变化率进行了分段控制，直观地 认识了倒立摆摆杆角度在不同区间所需控制力大小。在不同区间分别对比例积 分微分( p i d ) 参数进行了调节，熟悉比例积分微分( p i d ) 控制对摆杆都产 生了什么样的变化效果。对倒立摆的控制有了直观地认识，为以后的控制算法 研究和参数确定奠定了基础。但是在分段控制中，控制区间突变容易造成系统 的不稳定及控制过程的不连贯。 3 3 变比例p i d 控制器的设计 对倒立摆动力学公式的分析以及上一节介绍的p i d 算法中，状态方程的输 出量为f ( t ) ，即加在小车上的力的大小，而实际控制中的执行机构是直流电机， 建立电机输出力与输入电压之间的关系，成为理论分析与实际控制结合的纽带。 3 3 1 步进电机输出力与输入电压的关系 对于直流伺服电机，电枢电流l 与电磁转矩t 成正比关系，近似认为输出 转矩与电磁转矩相等。电动机的电路原理图如图3 3 所示。 图3 3 电机控制倒立摆结构图 根据电动机的基本方程式，即 电磁转矩 t = k t i4 感应电动势 e = k 加 电枢电路电动势平衡方程式 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 武汉理工大学硕士学位论文 e - u l 冠 ( 3 1 7 ) 式中n 一电机转速 r 一电枢电路电阻 j 已一转矩常数 西一磁通 k ，一电动势常数 由方程式( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 得 ，u - e v - l c e 妒n 4 兄尼 ( 3 1 8 ) 由( 3 1 8 ) 代入电磁转矩方程式( 3 1 5 ) ，即得转矩与电压和转速之间的关系 t 。坼妒u - k e e n 。盟u 一垡生雄 ” 咒r咒 ( 3 1 9 ) 电动机部分参数见表3 1 。 表3 1 直流电机的性能参数 i 额定功率额定转矩额定转速 额定电压额定电流 峰值转矩 电枢电阻 电枢电感l lk wn mr p mvan mom h l0 0 40 23 0 0 0 2 4 3 21 62 10 4 在额