（计算机软件与理论专业论文）扩展近似空间上不精确路径研究.pdf

摘要 i f l l ll li l r li l f l1 1 i iii 17 3 4 6 7 3 自从1 9 8 2 年波兰科学家p a w l a k 首次提出粗糙集理论以来，粗糙集理论正在赢得越 来越多研究人员的关注，关于粗糙集的研究成果层出不穷，并已经被成功地应用于自动 控制、医疗诊断、模式识别、软计算等领域。不精确路径研究是粗糙集研究领域中一个 新的研究课题，在现实中有着广泛的应用前景。 本文在经典粗糙集理论的基础上，首先分析了不精确路径与近似空间之间的关系， 对近似空间进行扩展，提出了扩展近似空间的概念。然后将扩展近似空间应用到粗糙路 径的理论研究中，对粗糙路径理论进行扩充，从而丰富- i $ h 糙路径的研究内容，提高了 粗糙路径的适用性。最后在扩展近似空间上，对粗糙路径进行拓展，提出了模糊粗糙路 径的概念，并探讨了其相关性质，扩大了二元关系粗糙化方法的应用范围。本文的主要 创新点如下： ( 1 ) 通过模仿人的思维方式，分析了不精确路径与近似空间的关系，将近似空间理 论融合到不精确路径研究上，提出了扩展近似空间的概念，从而为粗糙路径和模糊粗糙 路径研究提供了一个相对统一的理论模型。 ( 2 ) 针对精确路径的局限性，在扩展近似空间上，介绍了二元关系粗糙化方法，利 用该方法构造了粗糙关系，给出了粗糙路径的形式化定义及其相关性质。同时，通过引 入覆盖度的概念，讨论了s 路径与连通性、粗糙路径与粗糙连通性之间的关系，丰富了 粗糙路径的研究内容。最后，定义了关系矩阵，在此基础上归纳构造了一个矩阵序列， 并将其作为判定粗糙路径是否存在、二元关系是否粗糙连通的依据，为粗糙路径的应用 提供了理论基础。 ( 3 ) 为了进一步提高粗糙路径的适用性，在扩展近似空间上用二元关系粗糙化方法 对模糊关系粗糙化，诱导出模糊粗糙关系，以模糊粗糙关系为基础构造了模糊粗糙路径， 研究了模糊粗糙路径的相关性质并予以必要的证明，并提出一种模糊粗糙路径的度量方 法。模糊粗糙路径理论的研究是料糙路径理论研究的深化，为不精确路径研究增添了新 的内容，将粗糙集、模糊集与不精确路径紧密地结合在一起，从而把不精确路径的研究 融合到一个相对统一的理论框架下。 l i 元关系粗糙化，粗糙路径，模糊粗糙路径 a b s t r a c t r o u g h s e tt h e o r y , p r e s e n t e db yp a w l a ki n19 8 2 ，h a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o no fr e s e a r c h e r sa r o u n da l l o v e rt h ew o r l da n dm a n yp a p e r sa b o u tr o u g hs e th a v eb e e np u b l i s h e d n o w , r o u g hs e th a sb e e n s u c c e s s f u l l ya p p l i e dt oa u t o m a t i cc o n t r o l ，m e d i c a ld i a g n o s i s ，p a r e r nr e c o g n i t i o n ，s o f tc o m p u t i n g ，a n ds oo n r e s e a r c ho ni m p r e c i s ep a t hi san e wr e s e a r c hs u b j e c ti nt h ef i e l do fr o u g hs e t ，a n dh a sw i d ea p p l i c a t i o n b a s e d0 1 1t h et r a d i t i o n a lr o u g hs e tt h e o r y , t h i sp a p e rf i r s t l ya n a l y z e st h er e l a t i o no fi m p r e c i s ep a t ha n d a p p r o x i m a t es p a c e w i t he x p a n d i n gt h es t r u c t u r eo fa p p r o x i m a t es p a c e ，i tp u t sf o r w a r dt h ec o n c e p t i o no f e x p a n d i n ga p p r o x i m a t es p a c e s e c o n d l gb ya p p l i n ge x p a n d i n ga p p r o x i m a t es p a c et or e s e a r c ho nr o u g h p a t h ，t h i sp a p e re n r i c h e st h er e s e a r c hc o n t e n to fr o u g hp a t ha n dr a i s e st h ea p p l i c a b i l i t yo fr o u g hp a t h f i n a l l y , t h i sp a p e re x p a n d st h et h e o r yo fr o u g hp a t hi ne x p a n d i n ga p p r o x i m a t es p a c ea n df u z z yr o u g hp a t h a n di t sr e l a t e dp r o p e r t i e sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hm a k e saw i d e ra p p l i c a t i o no fr o u g h i n gb i n a r yr e l a t i o n t h e m a j o ri n n o v a t i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w ： ( 1 ) 、b ys i m u l a t i n gt h ew a yo f h u m a nt h i n k i n g ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h er e l a t i o no f i m p r e c i s ep a t ha n d a p p r o x i m a t es p a c e i ta p p l i e se x p a n d i n ga p p r o x i m a t es p a c et or e s e a r c h e so nr o u g hp a t ha n dg i v e st h e c o n c e p t i o no fe x p a n d i n ga p p r o x i m a t es p a c e ，t h u sp r o v i d i n gar e l a t i v e l yu n i f i e dt h e o r e t i c a lm o d e lf o r s t u d i n gr o u g hp a t ha n df u z z yr o u g hp a t h ( 2 ) 、b a s e do nt h ed i s c u s s i o na b o u tt h el i m i t a t i o n so fp r e c i s ep a t h ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h em e t h o do f r o u g h i n gb i n a r yr e l a t i o n ，g i v e saf o r m a ld e f i n i t i o no fr o u g hp a t ha n di t sr e l a t e dp r o p e r t i e sb yu s i n gt h i s m e t h o d a tt h es a m et i m e ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e ns p a t ha n dc o n n e c t i v i t y 、r o u g hp a t ha n dr o u g h c o n n e c t i v i t ya r ed i s c u s s e dv i ac o v e r a g e ，e n r i c h i n gt h er e s e a r c hc o n t e n to fr o u g hp a t h a tl a s t ，as e r i e so f m a t r i xa r ei n d u c t i v e l yc o n s t r u c t e db a s e do nr e l a t i o nm a t r i x ，w h i c hc a nb eu s e dt od e t e r m i n ew h e t h e rt h e r e e x i s t sar o u g hp a t ha n dt h er o u g hc o n n e c t i v i t yo fb i n a r yr e l a t i o n i to f f e r saf o u n d a t i o no fr o u g hp a t h s a p p l i c a t i o n ( 3 ) 、i no r d e rt or a i s et h ea p p l i c a b i l i t yo fr o u g hp a t h ，t h i sp a p e rp r e s e n t saf u z z yr o u g hr e l a t i o nb y r o u g h i n gaf u z z yr e l a t i o na n dg i v e st h ec o n c e p t i o no ff u z z yr o u g hp a t h a f t e rt h a t ，i ts t u d i e sa n dp r o v e s i v ， 目录 摘詈暮i j 6 l b s t r a c t i i i 目录v 第一章绪论1 1 1 粗糙集研究背景及发展历程。1 1 2 粗糙集研究现状2 1 3 研究目的与意义。4 1 4 本文主要内容及结构安排。4 1 4 1 主要内容4 1 4 2 结构安排5 第二章粗糙集与不精确路径。7 2 1 关系与近似空间7 2 1 1 关系7 2 1 2 等价关系7 2 1 3 近似空间9 2 2 模糊关系9 2 2 1 隶属函数9 2 2 2 模糊关系。1 0 2 3 扩展近似空间1 0 2 3 1 扩展近似空间的构造1 0 2 3 2 扩展近似空间与p a w l a k 近似空间的比较1 0 2 4 不精确路径1 1 2 4 1 精确路径1 l 2 4 2 不精确路径1l 2 4 3 精确路径与不精确路径的比较1 2 第三章扩展近似空间上粗糙路径的研究1 3 v 3 2 粗糙关系和粗糙路径1 3 3 2 1 粗糙关系1 3 3 2 2 粗糙路径1 4 3 3 覆盖度与连通性1 7 3 3 1 覆盖度1 7 3 3 2 连通性与粗糙连通性1 9 3 4 粗糙路径的判定1 9 3 5 粗糙路径的应用2 l 3 6 本章小结2 2 第四章扩展近似空间上模糊粗糙路径的研究2 5 4 1 引言2 5 4 2 模糊粗糙关系和模糊粗糙路径2 5 4 2 1 模糊粗糙关系2 5 4 2 2 模糊粗糙路径2 6 4 3 模糊粗糙路径的性质2 8 4 3 1 模糊粗糙路径与基本模糊粗糙路径2 8 4 3 2 模糊粗糙路径合成的性质2 9 4 4 p 度量与模糊粗糙路径3 0 4 4 1p - 度量3 0 4 4 2p 度量的性质3 0 4 5 模糊粗糙路径的判定3 2 4 6 模糊粗糙路径的应用3 3 4 7 本章小结3 4 第五章总结与展望3 5 5 1 论文总结3 5 5 2 本文今后设想3 6 参考文献3 7 致谢4 1 v i 攻读学位期间发表的学术论文目录4 3 独创性声明4 5 关于论文使用授权的说明4 5 v l l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 粗糙集研究背景及发展历程 粗糙集理论( r o u g hs e t r s ) n 吨1 以集合论为基础，是一种处理各种不完备信息的数学 工具，并能从中发现隐含知识，揭示潜在规律，具有非同寻常的实用性。 1 9 8 2 年，z p a w l a k 在其撰写的论文“r o u g hs e t s 中首次提出粗糙集的概念。起初， 由于种种原因，粗糙集概念并未被研究人员重视和广泛接受砸1 。1 9 9 1 年，z p a w l a k 出 版了专著：r o u g hs e t s - - t h e o r e t i e a la s p e c to fr e a s o n i n ga b o u td a t a 口3 ，该书系统地总结了 r s 在这一时期所取得的成就，为粗糙集理论提供了新的研究方法，推动了r s 理论在理 论和应用方面的研究，现已成为学习和应用粗糙集理论的重要文献。随着越来越多的专 家学者关注和研究r s 理论，粗糙集理论及其应用的研究开始成为人工智能领域中一个 非常活跃的学术热点，从此步入了一个崭新的阶段。 在国外，自1 9 9 2 年在波兰召开第一届国际粗糙集研讨会以后，又分别在加拿大 ( b a n f f ) 、美国( s a nj o s e 、w i l m i n g t o n 、n o r t hc a r o l i n a ) 、日本( 东京) 召开了一系列 以粗糙集理论为主题的国际会议( 即r s c t c 、r s f d g r c 和r s k t 等系列国际学术会 议) 。会议主要讨论了集合近似定义的基本思想及应用、粗糙集、模糊集与知识发现， 探究了粗糙集与模糊逻辑、神经网络、进化论的融合问题，掀起了对粗糙集与软计算关 系研究的热潮，并在一定程度上推动了亚洲地区对粗糙集理论与应用的研究；1 9 9 9 年 1 1 月在日本、2 0 0 0 年1 0 月在加拿大召开了第一届和第二届“粗糙集和计算的当前趋势 学术会议，来自波兰、美国、俄罗斯、加拿大、印度和日本等国家的专家学者参加了会 议，会议分析了当前粗糙集、模糊集的研究现状和发展趋势，指出将着重在软计算、数 据库、人工智能和近似推理等理论和应用方面发展，促进人工智能、软计算和数据库等 技术的高度融合，以便解决实际中具有不确定性与模糊性的大而复杂的问题m 1 ；2 0 0 3 年、2 0 0 5 年，在重庆邮电大学、加拿大分别召丌了第九届、第十届国际粗糙集、模糊集、 数据挖掘与粒计算学术会议；2 0 0 4 年、2 0 0 6 年，在瑞典、日本又分别召开了第四届、 第五届国际粗糙集与计算的当前趋势学术会议。目前，许多关于人工智能、模糊理论等 相关国际会议上经常可以看到涉及粗糙集的论文。 扩展近似空间上不精确路径研究 在召开国际会议的同时，专家、学者们还成立了国际r o u g h 集学会( i r s s ) 、以r o u g h 集为主题的国际期刊l n c st r a n s a c t i o no nr o u g hs e t s ，波兰、美国、加拿大、日本还设 立了专门用于粗糙集理论和应用研究的机构，加速了r o u g h 集理论的发展与交流。经过 这2 0 余年的发展，粗糙集理论逐渐与其他理论如模糊集、神经网络等融合，并已在决 策分析、专家系统、数据库知识发现等诸多领域得到了成功的应用。 在国内，对r o u g h 集理论的研究始于1 9 9 4 年，刘清、王珏、曾黄麟砸1 、苗夺谦、 王国胤等人从国外将粗糙集理论引入我国，随后许多学者开始关注和研究粗糙集理论， 每年关于粗糙集方面的论文层出不穷，大大地推动了粗糙集理论研究在国内蓬勃地发展 起来。 自2 0 0 1 年以来，我国每年都召开一次关于粗糙集理论研究方面的研讨会，已分别 在重庆邮电大学( 重庆) 、苏州大学( 苏州) 、浙江海洋学院( 舟山) 、鞍山科技大学( 鞍 山) 、浙江师范大学( 金华) 、河南师范大学( 新乡) 、河北师范大学( 石家庄) 等高校 成功举办了九届粗糙集与软计算全国学术会议。2 0 0 3 年和2 0 0 6 年，在重庆又分别召开 了r s f d g r c 2 0 0 3 、r s k t 2 0 0 6 等国际会议，这些国际、国内学术会议展示了国内学者近 年来关于粗糙集理论的研究成果，提供了让国际学者更好地了解中国的平台和窗口，加 强了与国际研究人员的学术交流与合作，促进了我国粗糙集理论研究的进一步发展。 1 2 粗糙集研究现状 自1 9 8 2 年由波兰科学家z p a w l a k 首次提出，作为处理各种不完备信息的数学工具 粗糙集理论，它能客观地分析和处理各种不完备信息，不仅为智能信息处理信提供 了新的研究方法，而且现在它已经被成功的应用在许多领域，并取得了良好的经济效益 和社会效益。 粗糙集理论研究主要集中在粗糙集模型的拓广、粗糙集理论中度量、数学性质、粗 糙集中有效算法以及粒计算等方面。 ( 1 ) 粗糙集模型的拓广。随着粗糙集理论研究的深入，粗糙集理论已逐步拓广到一 般关系下的粗糙集模型、基于邻域算子的粗糙集模型、变精度粗糙集模型，概率粗糙集 模型，模糊粗糙集模型，不完备粗糙集模型等n 6 1 7 1 ，丰富了粗糙集理论，拓广了粗糙集 理论的应用领域。 ( 2 ) 度量方面的研究n 8 圳。目前，关于度量方面的研究，已有研究人员进行了大量 2 第一章绪论 研究，主要集中在粗糙集中粗糙性表示、知识的不确定性度量、粗糙集与粗糙关系数据 库的信息度量等。 ( 3 ) 数学性质方面的研究。主要集中在粗糙集的代数结构、拓扑结构、粗糙逻辑等 方面。随着对粗糙集理论研究的不断深入，粗糙集理论与其他数学分支如数理逻辑、模 态逻辑、模糊数学、概率论、图论等的联系也更加紧密，因此同时也促生了一些新的数 学概念，如粗糙理想、粗糙半群等。 ( 4 ) 有效算法研究方面的研究。有效算法研究是近年来粗糙集理论在人工智能方向 上积极探索的一个主要课题，目前主要集中在约简的启发算法口j 4 。1 5 1 ，规则抽取算法，增 量挖掘算法，以及动态数据约简算法等。 ( 5 ) 粒计算。粒计算凹- 2 蚴3 是研究基于多层次粒结构的思维方式、问题求解方法、信 息处理模式及其相关理论、技术和工具的学科，它融合了粗糙集、模糊集及人工智能等 多种理论的研究成果，成为目前粗糙集理论研究的一个新课题。 随着粗糙集理论研究的不断深入，誊h 糙集理论的实际应用也与此同时取得了长足的 发展，主要集中在模式识别、数据挖掘与专家系统、医疗诊断、图像处理、故障诊断等 方面。 ( 1 ) 模式识别乜：利用粗糙集方法可以对各种形式的信息进行快速处理，并对事物 特征进行描述、辨认、选择、分类和解释，因此模式识别成为粗糙集理论的一个研究热 点。 ( 2 ) 数据挖掘、专家系统乜2 删：粗糙集作为一种数据挖掘方法，可以发掘分类知识、 预测知识和偏差知识。作为一种数据挖掘技术，粗糙集方法被国内众多学者集成到了他 们的数据挖掘平台中，从而为专家系统知识库提供了一条新的构造途径，由此获取的知 识更精炼并且更便于存储和使用。 ( 3 ) 医疗诊断：在分析以往病例的基础上，利用粗糙集方法得到诊断规则，用以对 新的病例作出快速高效的处理。孙昌儿等人口刚把以核为基础的增量式约简算法和值约简 算法引用到诊断规则提取中，丰富了粗糙集理论在医疗诊断方面的应用。刘白林等人m 1 利用粗糙集理论对临床医学病例进行属性约简处理，提高了诊断速度和效率。 ( 4 ) 图像处理h 1 。4 引：目f j ，粗糙集理论在图像处理方面已经取得了非常好的应用， 尤其在图像滤波、图像增强、图像分隔等方面产生了良好的效果，其主要思想是利用粗 糙集方法将图像的像素信息映射成一个知识系统，在该知识系统中，通过引入不可分辨 扩展近似空间上不精确路径研究 概念、近似集合和知识约简等方法来实现对图像的相关操作。 ( 5 ) 故障诊断：在故障诊断方面，主要是利用粗糙集理论快速识别并排除故障，并 从故障样本中进行故障特征的提取，有利于故障特征的正确判断。目前，粗糙集理论在 这方面的应用尤为瞩目，谭天乐等h 铂利用粗糙集理论从信息熵的角度分析了工业过程进 行智能故障诊断的可行性，在前向推理和后向推理的基础上，从形式上模拟人的学习能 力和决策行为，为故障诊断提供了新的方法。张永敢等h 8 1 提出了一种基于变精度粗糙集 理论的故障诊断模型，该模型能够借助属性近似约简和近似决策规则提取有效地消除大 量的冗余信息，能有效地防止误判和漏判，提高诊断精度、速度，从而获得正确的诊断 规则。 1 3 研究目的与意义 从1 9 8 2 年粗糙集理论被z p a w l a k 首次提出到现在，短短二十余年间，粗糙集理论 已经在多个领域取得了许多令人瞩目的成果。究其原因，在于粗糙集理论有着非同寻常 的简单实用性，能够客观地对所研究问题的不确定性或不精确性进行分析与处理，并能 利用不确定、不完整的经验知识进行推理。另外，粗糙集理论还能与其它智能理论如模 糊数学、概率论、神经网络等有很强的互补性，能够相互融合来更好地处理不确定或不 精确问题，以达到不同的应用目的，等等。也正是因为上述这些特性，才使得粗糙集理 论在处理不确定性知识方面具有不可替代的优越性，从而成为本文不精确路径研究中不 可或缺的工具。 近年来，在处理不确定信息及度量方面，国内外学者已经进行了大量深入研究并发 表了一些相关文章。但是，目前为止，关于不精确路径的研究较少，可以说是粗糙集 理论一个新的研究课题。由于不精确路径在实际中客观存在，而粗糙集理论对不确定性 的描述又形成了一种数学表示方法，所以粗糙集理论的特性决定了该理论在不精确路径 研究中势必产生重要的作用，本文就是以粗糙集理论为基础展开对不精确路径的研究。 1 4 本文主要内容及结构安排 1 4 1 主要内容 本文以粗糙集理论为基础并结合模糊集相关概念，通过分析p a w l a k 近似空间与不 精确路径的关系，提出了扩展近似空间m s ( u , r ，两的概念，并在扩展近似空间上分别 4 第一章绪论 对粗糙路径和模糊粗糙路径进行了研究，给出了粗糙路径和模糊粗糙路径的相关性质和 度量方法，并探讨了粗糙路径和模糊粗糙路径的判定方法，为不精确路径的研究增添了 新的内容，建立了一种新的研究途径。 1 4 2 结构安排 本论文共分五章，各章的具体内容安排如下： 第一章绪论。介绍粗糙集理论研究背景，概述其发展历程，分析目前粗糙集理论 的研究现状、应用研究及发展趋势，并以不精确路径为切入点来阐述本文的研究目的与 意义，最后给出了论文主要研究内容与结构安排。 第二章粗糙集与不精确路径。首先分别介绍了粗糙集理论中关系、等价关系、近 似空间及近似空间与粗糙集。接下来，引入了模糊集中隶属函数、模糊关系等主要概念， 然后对扩展近似空间m 名( ur ，研作了介绍和阐述，并将其与p a w l a k 近似空间作了比较， 说明了扩展近似空间构造的可行性。最后，通过对精确路径的实例介绍，提出本文的研 究重点不精确路径，以此为基础引入下面的内容。 第三章扩展近似空间上粗糙路径的研究。在扩展近似空间上，利用二元关系粗糙 化的方法，构造用以描述等价类之间关系的粗糙关系，给出s 粗糙路径的概念，并通过 分析粗糙路径与基本粗糙路径的不同点来归纳粗糙路径的相关性质。同时，通过对覆盖 度的定义与讨论，建立起粗糙路径与粗糙连通性之间的联系，并构建能够判断粗糙路径 是否存在的判定矩阵，积极探索粗糙路径在实际中的应用。 第四章扩展近似空间上模糊粗糙路径的研究。针对粗糙路径的可扩展性，本章在 粗糙路径的基础上，考虑把模糊的概念引入到料糙路径之中，利用模糊关系隶属度来反 映论域中元素之间关系的程度，并通过二元关系粗糙化方法构造出模糊羊且糙关系，给出 了模糊粗糙路径以及模糊粗糙路径合成的性质。另外，本章定义了p 度量用来衡量任意 两个结点之间的“亲密度。最后通过构造模糊粗糙路径的判定矩阵，从理论上说明了 模糊粗糙路径理论在实际中应用的可行性。 第五章总结与展望。本章主要是对不精确路径的研究进行总结分析，阐明本文工 作的理论和现实意义，论述本文需要改进的地方，并指出今后有待解决的问题以及值得 注意的研究方向和工作重点。 2 1 2 等价关系 ( 1 ) 等价关系与等价类 定义2 3 设u 是任意一非空集合，尺为定义在u 上的一个二元关系，若r 是自反 的、对称的和传递的，则称尺是u 上的等价关系。 定义2 4 铂设【，是任意一非空集合，r 是u 上的等价关系，对任意的a u ，令 口】庐缸k u 且a r x ) 称陋】尺为由口形成的尺等价类。 由等价类的定义n - - 知 a r 是非空的且 口】只u 。特别地，当等价关系尺清晰明确时， 7 关 兀 的 集 价 奶与之对应。另外，对于任意的u ，阢若u r v ，则由定理2 1 的知，存在m 洲r ，使得u ，v 【x 】。这说明当u r v 时，“和v 属于同一等价类，“和v 不能被r 描述 的关系所区分开，因此等价关系尺也常常被称为不可区分关系。 定理2 3 设u 是任意一个非空集合，鼯 蜀，岛，s r 是u 的划分，则s 可确定 一个u 上的等价关系r 与之对应。 定理2 4 b 2 埘3 设u 是任一非空集合，r l 和飓是【，上的两个等价关系，则r l = r 2 当 且仅当叫r i = 洲尺2 。 由定理2 2 、定理2 3 、定理2 4 可以得到如下描述等价关系与划分之问关系的定理： 第二章粗糙集与不精确路径 定理2 5 设u 是任意一个非空集合，则【，上等价关系与【，上的划分是一一对应的。 2 1 3 近似空间 由于波兰数学家z p a w l a k 首先给出“近似空间”概念，因此有时也称近似空间胙( 以 脚为p a w l a k 近似空间，下面便给出近似空间的形式化定义。 定义2 6 设u 是一个非空有限论域，r 是u 上的等价关系，称胙( u 励为近似空 间。 设胙( ur ) 是近似空间，由定理2 5 的结论可知论域u 上等价关系与u 的划分是 一一对应的，因此r 针对u 所构成的划分数便决定了与之对应的近似空间个数。 2 2 模糊关系 一 模糊集理论n 。5 1 是由美国计算机与控制论专家、加利福尼亚大学z a d e hla 于1 9 6 5 年提出的一种以数学模型来描述语义式的模糊信息的方法。目前，在各国学者的共同努 力和不断探索下，模糊数学学科日趋完善，逐渐成为一个较为成熟的数学分支，模糊集 理论及其应用的研究成果已经非常丰富，并在许多领域取得了明显的经济效益和社会效 益。 2 2 1 隶属函数 模糊集用隶属函数来刻画对象对集合的隶属程度，将经典集合的二值逻辑 o ，1 ) 推广 n o ，1 1 区间内的连续值逻辑，下面给出隶属函数的形式化定义。 定义2 7 5 ，卿设u 是非空有限论域，( ，上一个模糊集合a 是由【，上的一个隶属函 数 z a ：泸 o ，1 】 ：砌【0 ，1 】 来表示，其中彳表示元素x 隶属于模糊集合彳的程度。 由定义2 7 可知，给定一个模糊集彳，对于任意的元素x 彳，隶属函数r e ( x ) 反映的 是x 隶属于模糊集a 的程度。肌o ) 的值越大，说明x 隶属于么的程度越高；反之，砌 的值越小，说明x 隶属于么的程度就越低，因此，可以说隶属函数刻画了该模糊集a 。 特别地，当心o ) 的值域l h 0 ，1 变为 o ，1 ) 时，此时砌就成了普通集合的特征函数，模 糊集爿也就演化为经典集合a 。因此，我们可以认为，模糊集是传统集合理论的一种推 9 扩展近似空间上不精确路径研究 广形式。 2 2 2 模糊关系 定义2 8 设阢y 是两个论域，u 与y 之间的笛卡尔积 u x 净 q ，y l x su y 乃 若模糊子集r 正u n 则称只是从u 到y 的一个模糊关系。特别地，当u = v 时， 称r 是u 上的一个模糊关系。 在模糊关系尺中，每对元素q 炉都对应一个介于0 到1 之间的数r 阮力，表示x 对y 有关系r 的程度，或称x 对y 关于关系r 的相关程度。 定义2 9 设u 是论域，尺是u 上的模糊关系，其隶属函数为r ( x ，y ) ，则 称尺在u 上是自反的，若对任意的x eu 均有r ( x ，) ，) = 1 ； 称r 在u 上是对称的，若对任意的x ，y u ，均有r ( x ，j ，) 镏，功； 称尺在u 上是传递的，若r r c _ r ； 称尺在【厂上是等价的，若尺是自反，对称和传递的模糊关系。 2 3 扩展近似空间 在p a w l a k 近似空间中，论域上的等价关系起着至关重要的作用。但是在接下来的 不精确路径研究中，往往在考虑等价关系的同时，更多地关注于论域u 上的普通二元关 系、模糊关系等等，这时p a w l a k 近似空间就不能很好地满足不精确路径研究的需求， 为此本文将对p a w l a k 近似空间进行一个重要的结构扩展。 2 3 1 扩展近似空间的构造 定义2 1 0 设u 是一个非空有限论域，r c ：u u 是u 上的等价关系 s 为u 上的二元关系，其中s 可以是普通的二元关系，模糊关系，相容关系， 优势关系，偏序关系，等等； 称( 以r ，劝称为扩展近似空间。 下面将扩展近似空问( u 尺，曲记为m ，即m _ ( ur ，回。 2 3 2 扩展近似空间与p a w l a k 近似空间的比较 定义2 1 0 中的m 便是扩展近似空间，从它的定义可知，扩展近似空间与p a w l a k 近 l o 第_ 二章粗糙集与不精确路径 似空间在结构上极其相似，不同之处在于扩展近似空间m _ ( ur ，回整体中多了一个关 系s ，其中这个s 可以是普通的二元关系，模糊关系，或者偏序关系，优势关系，等等。 虽然扩展近似空间仅仅比p a w l a k 近似空间多了一个关系s ，但是在扩展近似空间上却能 更好地对不精确路径展开讨论： ( 1 ) 扩展近似空间可以通过关系s 来清晰地说明不精确路径与关系s 之间存在着特 殊的联系，并能对二元关系s 的粗糙化方法有个更直观的理解； ( 2 ) 二元关系粗糙化方法是本文对不精确路径研究所得到的一个重要方法，由于该 方法是建立在二元关系s 上的，所以在扩展近似空间整体中添加关系s 有着特殊的意义； ( 3 ) 无论构造粗糙路径，还是模糊粗糙路径，最终都会归结到关系s ，另一方面， 关于粗糙路径或模糊粗糙路径性质的讨论无不与关系s 密切相关，因此，有必要将 p a w l a k 近似空间扩展成扩展近似空间。 2 4 不精确路径 2 4 1 精确路径 设m _ ( 以r ，回为扩展近似空间，r 是论域u 上的一个等价关系，若s 是u 上任一 不同于尺的关系，则根据s 所描述关系的意义，便可形成该意义下【，中某一元素a 到 另一元素b 之间的间接联系。例如：若s 描述的是父子关系，那么当 口，扮， 6 ，痧， e s ， e s ，则称序偶的序n ， ， 为从x o 到而关于s 的路径。 其中，x i 为s 路径的结点，这里x o 和砀分别称为始点和终点，序偶 称为此 s 路径的边( 卢o ，1 ，珂) ，路径中边的个数称为该路径的长度。 由定义3 1 知，对于s 路径中的边 ， 中的相邻粗糙边 和 ，就可以有x l i 研2 ； 路径中的任一序偶 一定都能被关系s 精确描述，p s ，而对 于粗糙路径中的每个序偶铂- 2 ，柳l ( 卢1 ，2 ，刀) ，并不一定有 s ； 路径一定是粗糙路径，但是粗糙路径并不一定是路径。 下面用p 或，或加下标的p f ( f _ 1 ，2 ，) 表示粗糙路径。 命题3 2 设m - ( ur ，研为扩展近似空间，s 为u 上的二元关系，为m 上的s 粗糙关系。若 ， ， ， 为从 x o n k 】的 s + 路径，则存在s 粗糙路径p ：勺，x l l ，q 1 2 ，x 2 l ， ， ，使得 知，x l i s ，q 1 2 ，x 2 l s ， e s ， e s ，其中a e x o 】，6 k 】， 翰l ，x i 2 k 】( 卢1 ，2 ，00 ，l - 1 ) 。 由命题3 2 知，对于任一条关于，的路径，则一定存在一条s 粗糙路径p ，使得p 中的每一条粗糙边都能被s 精确描述，此时称p 为该s 路径所对应的基本粗糙路径。 设m - ( ur ，研为扩展近似空间，s 为u 上的二元关系。对于两条不同的粗糙路径 p l ： ， ， 和p 2 ： ， ，锄1 2 ，肌l ， 若 ：嘶】， x i l = 陟f l 】( f _ l ，2 ，以) ，即它们途中所经历的等价类是对应相同的，称p l 与见粗糙相等。 对于任意一条s + 路径，由定义3 3 知， 知，该s 路径又有基本粗糙路径与之对应， 路径相互联系。 该s + 路径可以确定粗糙路径，而由命题3 2 这两类卡r 糙路径由s