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时滞细胞神经网络的稳定性研究 摘要 本文讨论了如下几类细胞神经网络的稳定性： 掣：妻m ( ( t ) ) + m j ( t 一功( 洲咱( t ) + 厶， “ j = l t 0 ，i = 1 ，n ，( 1 ) mm 。 戤( n + 1 ) = o i ( 耽( n ) ) + 伽巧卯( ( 礼) ) + 6 巧如( 七巧) ( 佗一p ) ) 歹= lj = 1p = 1 i = 1 ，m ， ( 2 ) 鼢( n + 1 ) = ( 1 一o t ) 觋( 几) + 6 巧如( 巧( 礼) ) + 九c 巧乃( ( n 一) ) + 厶 j = 1j = l i = 1 ，m ， ( 3 ) 孔( 竹+ 1 ) = e 一。 耽( n ) + i ( ) 6 巧乃( 巧( 佗) ) 十c 巧乃( z j ( n b ) ) + 厶 j = 1j = 1 i = 1 ，m ( 4 ) 本文获得了一系列新的结果，其中部分结果改进或推广了已有文献中 相关结论具体地说： 第一章介绍了问题研究的背景及研究进展状况 第二章给出了变时滞细胞神经网络( 1 ) 存在唯一平衡点且全局渐 近稳定的一个新充分条件该条件依赖反馈矩阵但不依赖于时滞参 数，而且此条件改进了文献中相关结论 第三章研究了具分布时滞的离散时间神经网络的全局指数稳定性 问题，通过利用l y a p u n o v 泛函法，得到了判断离散时间神经网络( 2 ) 全局指数稳定的一个新充分条件 第四章给出了具离散时滞的离散时间神经网络存在唯一平衡点且 全局指数稳定的一个新充分条件通过利用不等式p 扩。6 ( p 一1 ) 扩+ 驴( p 表示一个正整数，n ，6 表示非负实数) 和构造适当的l y 印u n o v 泛 函，我们分别得到了系统( 3 ) 和( 4 ) 存在唯一平衡点且全局指数稳 定的不依赖于时滞参数而且容易验证的新充分条件 关键词：时滞细胞神经网络，离散细胞神经网络，l y a p u n o v 泛 函，全局渐近稳定，全局指数稳定 t ， f 时滞细胞神经网络的稳定性研究 a b s tr a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h es t a b i l i t yo ft h ef b l l o w i n gc e l l u l a rn e u r a ln e t w d r k s n j = 1 o 订，( z j ( t ) ) + 6 巧，( z j ( t 一( ) ) ) 一耽( t ) + 五， 鼢( n + 1 ) = o t ( ( n ) ) + t 0 ，i = 1 ，n ， mm 叫巧缈( ( 孔) ) + 6 巧厶( j = 1j = 1 甄( n + 1 ) = ( 1 一n ) 既( 礼) + i = 1 ，m ， mm 肋巧厶( ( 他) ) + j = 1j = 1 i = 1 ，m ， z t ( 扎+ 1 ) = e 一。t z t ( 佗) + i ( ) 6 巧乃( 巧( n ) ) + j = 1 i = 1 ，m r 玎 b ( p ) ( 礼一p ) ) p = 1 ( 1 ) ，l c 巧乃( 巧( 礼一七巧) ) + 尼五 ( 3 ) m c 巧办( z j ( n 一七巧) ) + 五) j = 1 ( 4 ) as e r i e so fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d a n ds o m eo ft h e mi m p r o v eo re x t e n d t h er e l a t e dr e s u l t si nt h e1 i t e r a t u r e i nc h a p t e r1 ，他i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do f t h ep r o b l e h 卜r e s e a r c h i n ga n d t h er e c e n 七d e v e l o p m e n to f 七h er e s e a r c hi nt h i s6 e l d i nc h a p t e r2 ，an e ws u 伍c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt h eg l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t yo fau n i q u ee q u i l i b r i u mp o i n to fc e l l u l a rn e u r a ln e t 、o r l ( s ( 1 ) w i t ht i i n e - v a r y i n gd e l a y s t h es u 伍c i a n tc o n d i t i o no n l yr e l i e so nt h ef e e d b a c km a t r i c e s a n di si n d e p e n d e n to ft h ed e l a yp a r a m e t e r s f u r t h e r m o r e ，t h i sc o n d i t i o ni s1 e s s r e s t r i c t i v et h a nt h o s eg j v e ni nt h el i t e r a t u r e i nc h a p t e r3 ，t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t l b i l i t yo fd i s c r e t e t i m en e u r a ln e t 一 、o r k sw i t hd e l a y si sd i s c u s s e d b yt h el y a p u n o vf h n c t i o n a lm e t h o d ，as u f - f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf 6 rt h eg i o b a le x p o n e n t i a ls t a 山i l i t yo fd i s c r e t e t i m e n e u r a ln e t w o r k ( 2 ) i nc h a p t e r4 ，an e ws u 伍c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf b rt h eg l o b a lc x p o n e n t i a l s t a j b i l i t yo fau n i q u cc q u i l i b r i u mp o i n to fd i s c r e t e t i m ec e u u l a rn e u r a ln c t w o r k s i i i = 掣 硕士学位论文 b ya p p l y i n gt h ei n e q u a l i t yp ( 沪一1 6 ( p 一1 ) o p + 6 p ，w h e r epd e n o t e sap o s i t i v ei n t e g e ra n d 血，6d e n o t en o n n e g a t i v en u m b e r s ，a n dc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t e l y a p u n o vf u n c t i o n a l sw eo b t a i nas e to fd e l a yi n d e p e n d e n ta n de a s i l yv e r i f i a b l e s u m c i e n tc o n d i t i o n su n d c rw h i c h ( 3 ) a n d ( 4 ) h a v cu n i q u ee q u i l i b r i u m sw h i c h a r e9 1 0 b a u yc x p o n e n t i a u ys t a b l e ，r e s p e c t i v e l y i ti ss h o w nt h a tt h ec o n d i t i o n s r c l yo nt h ef b e d b a c km a t r i c e sa n da r ei n d e p e n d e n to ft h ed e l a yp a r a m e t e r s k e y 、o r d s ：c e l l u l a rn e u r a ln e t 、o r k sw i t hd e l a y s ， d i s c r e t e t i m ec e l l u l a r n e u r a ln e t 、o r k s ， l y a p u n o vf u n c t i o n a l s ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，g l o b 出 e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i v 甲 一 t ， 时滞细胞神经网络的稳定性研究 第一章绪论 1 1神经网络理论的简史 神经网络的研究已有6 0 余年的历史，但它的发展是不平衡的， 它的兴衰与“人工智能走什么路”这一争论问题有关早在1 9 4 3 年， 心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 合作提出形式神经元的数学模型 ( 称之为m p 模型) ，从此开创了神经科学理论研究的时代m p 模型 说明了任何逻辑函数都能由一个互联数字神经元组成的人工神经网 络构造出来，能进行任何逻辑计算，但是为了得到理想的输出结果， 在选择连接强度方面一直没有很好的规则1 9 4 9 年，h e b b 提出了改 变神经元连接强度的h e b b 学习规则，它们至今仍在各种神经网络模 型中起着重要的作用1 9 5 7 年，r o s e n b l a t t 首次引进了感知器概念 ( p e r c e p t r o n ) ，它由阈值性神经元组成，试图模拟动物和人脑的感知和 学习能力1 9 6 2 年，w i d r o w 提出了自适应线性元件( a d a l i n e ) ，它是 连续取值的线性网络，主要用于自适应系统人工智能的创始人之一 m i n s k y 和p 印e r 潜心数年，对以感知器为代表的网络系统的功能及其 局限性从数学上作了深入地研究，于1 9 6 9 年出版了颇有影响的专著 ( p e r c e p t r o n ) ，他们的结果是悲观的由于以感知器为代表的网络系统 功能的局限性，中间经历了一段长时间的萧条难能可贵的是，在此 其间，仍有不少学者在极端艰难的条件下致力于这一研究c r o s s b e r g 等提出了自适应共振理论，k o h o n e n 提出了自组织映射， f u k u s h i m a 提出了神经认知网络系统，a m a r i 则致力于神经网络数学理论的研 究，a n d e r s o n 提出了b s b 模型，w 曲o s 提出了b p 理论，从而为神经 网络研究的发展奠定了基础 2 0 世纪8 0 年代，虽然获得了关于人工神经元网络切实可行的算 法，但是人工智能和计算机科学出现了许多困难，即以v o nn e u m a n n 体系为依托的传统算法在知识处理方面日益显露出力不从心后，人们 硕士学位论文 才重新对模拟人脑功能的神经网络的研究产生了兴趣，导致了神经网 络研究的复兴同时，计算机发展的需要也是神经网络研究复兴的又 一动力1 9 8 2 年和1 9 8 4 年，美国加州工学院物理学家j o h n j h o p f i e l d 博士在美国科学院院刊上发表了两篇重要论文：提出了仿人脑的神经 网络模型，即著名的h o p f i e l d 模型，通过在对称h o p 6 e l d 网络中引入 广义能量函数及l a s a l l e 不变原理，使网络稳定性的研究有了明确的 判据它的电子电路为研制新型的电子神经计算机奠定了基础，同时 开拓了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途径 近2 0 余年来，人工智能虽有很大的进步，但在比拟人脑的联想、 分类、演绎、白适应、专注等方面，仍存在巨大的困难，而神经网络 则已在一些方面表现了潜在能力神经网络理论的应用已经渗透到各 个领域，并在智能控制、模式识别、计算机视觉、自适应滤波和信号 处理、非线性优化、自动目标识别、连续语音识别、声纳信号处理、 知识处理、传感技术与机器人、生物医学工程等方面取得令人鼓舞的 进展神经网络的问世标志着认知科学、计算机科学及人工智能的发 展又处在一个新的转折点，它的应用和发展不断推动神经网络动力学 本身，而且人们普遍认为它将使电子科学和信息科学等产生革命性变 革，并将促使以神经计算机为基础的高技术群的诞生和发展 6 1 ，6 2 1 2 本文的研究背景 细胞神经网络( c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ，缩写为c n n ) 是由c h u a 和 h n g 1 4 于1 9 8 8 年提出的一种人工神经网络，和其它的人工神经网络 一样，它是一个大规模非线性模拟系统，具有细胞之间的连接是局部 的、输出信号函数是分段线性的和信号处理是连接实时的等特点，从 而使细胞神经网络的每一个模块的连接线少、便于实现大规模集成电 路( v l s i ) ，能高速并行处理( 计算) 、提高运行速度，具有双值输出 由于这些，使细胞神经网络的应用非常广泛，现已出现了各种各样的 时滞细胞神经网络的稳定性研究 具有不同用途的一般化细胞神经网络并且其新的应用领域在不断地 发现 细胞神经网络最显著的特征有： 1 它的连续时间特征允许在数字领域内实现实时信号处理； 2 它的局域连接特征特别适合于神经网络模型的v l s i 实现 它可以看成是具有局域连接通信的模拟非线性动态处理阵列的范 式结构所具有的模拟逻辑计算结构、局域通信和可编程性为新的神 经网络模型的建立提供了新的思路，从而使细胞神经网络成为适应多 类算法的可编程网络，这些算法已经实现了含有非线性和延时运算等 暂态功能的空间卷积同时，它与传统的神经网络不同，具有以下一 些特点： 1 其动态范围可预先设置； 2 可检验其全局稳定性； 3 可估计网络的收敛性范围 细胞神经网络已经在信号处理、图像处理等领域获得广泛应用， 如运动目标的水平检测、垂直检测、方向检测；图像细化；边缘检测； 二维图像的滤波与速度估计；手写体识别与联想记忆等 6 3 细胞神经网络模型主要分四种类型： 1 1 9 8 8 年，l o c h u a 提出的传统的细胞神经网络 1 4 ； 2 1 9 9 0 年，t r o s k a 和l o c h u a 提出的时滞型细胞神经网络 1 ； 3 1 9 9 2 年， h h a r r e r 和j a n o s s e k 提出的离散细胞神经网络 2 ； 4 1 9 9 6 年，y a n g 和l i n b a oy a n g 提出的模糊细胞神经网络 3 在细胞神经网络动力系统的研究中，连续型细胞神经网络是研究 得较多的模型在连续型细胞神经网络中，当反馈矩阵为对称矩阵 时系统完全稳定，即网络对应的动力系统的每一个解收敛到平衡点 1 4 ，1 5 当反馈矩阵为非对称矩阵时，文 4 研究了系统的稳定性， 文 5 ，6 研究了系统的分支与混沌、振动性考虑到生物神经元在进行 信号传输过程中存在诸如细胞时滞、传输时滞及冲突时滞等原因， 3 硕士学位论文 t r o s l ( a 和l o c h u a 提出了时滞型细胞神经网络模型 1 】 g 掣= 一地心) + 毛a 舭) f ) 以巩如) ) + a 7 ( i ，j ；七，f ) u 北f ( 一呜；埘) 乜( 1 2 1 ) + b ( i ，j ；七，2 ) ( u 。f ( t ) ， 。臼( t ) ) + b 7 ( i ，j ；七，f ) u 。捌( t 一吃；，1 ) + ， 其中对于所有的幻，七，f ，嘭；纠o ，噶；，o ，系统( 1 2 1 ) 中各种符 号参数的物理意义见文”其标准的时滞细胞神经网络可由下面的微 分方程组描述： 掣：一( t ) + 曼。巧力( ( t ) ) m 。 j 2 1 ( 1 2 2 )m一， + 6 巧办( ( t 一弓) ) + 五，i = 1 ，2 ，m ， 其中m 是网络中神经元的个数，孔( ) 表示第i 个神经元在时刻 的状态变量，乃( ( t ) ) 表示第歹个神经元在t 时刻的输出； o 巧，6 巧，厶 是常数，o 订表示第j 个神经元在t 时刻的输出对第i 个神经元的影 响强度，岵表示第歹个神经元在z 一勺时刻的输出对第i 个神经元 的影响强度，五是对第i 个神经元的偏置；a = ( o i j ) 为反馈矩阵， a = d i o 夕( n 机) 为自反馈矩阵，b = ( ) 为时滞反馈矩阵；如果影响强 度为正，则表示联结是激励或兴奋的；如果影响强度为负，则表示联 结是抑制的；q o 该方程组表示神经元在任意时刻的状态，它不仅 受其它神经元输出的影响，而且也受其它神经元在该时刻以前的输出 的影响，非线性函数 表示信号传输函数，即第i 个神经元的输出 目前已有许多文献对时滞系统的稳定性、平衡点及奇怪吸引子等 进行了深入的研究 2 但在实际问题中，时滞往往并不总是一个固定 不变的常数，通常它会随着时间的变化而变化这样促使我们考虑具 有变时滞神经网络的全局渐近稳定性 掣= 塾m 如) ) + ( t 吲蜘帕地f 1 2 3 ) t 0 ，j = 1 ，一，n ， 时滞细胞神经网络的稳定性研究 其中凸讲6 玎和五是常数，功( t ) 0 = 1 ，几) 是非负连续函数，其中 o ( ) 7 - ，丁是一个常数，n 维向量( z 。( ) ，z 。( t ) ) t 表示在时刻t 的状态函数 自h h a r r e r 和j a n o s s e k 于1 9 9 2 年首次提出了离散细胞神经网络 2 从此它们在理论和应用方面取得了广泛的研究，并成功应用于图 像处理、模式识别和联想记忆中王林等对下面具分布时滞的离散细 胞神经网络系统作了较深入的研究 1mr 玎 瓤( n + 1 ) = o ( 魏( n ) ) + 叫巧缈( ( n ) ) + 6 巧办( ( p ) ( n p ) ) ，( 1 2 4 ) j = 1j = 1p = 1 其中佗= 1 ，2 ，是正整数，吼( o ) = o ，肌( o ) = o ，且，t ( o ) = o 对 i = 1 ，m 成立m 2 表示网络中的细胞数，翰表示第i 个细胞的 状态，o 。是自反馈函数，m m 矩阵彬= ( 叫。，) 和b = ( 分别表示 与现在状态和过去状态细胞的连接矩阵，状态函数9 ，厶，j = 1 ，m 表示细胞间的相互作用，在( 1 2 4 ) 中的离散，表明细胞的状态不 仅依赖过去的某些时间而且依赖过去一段时间的平均值 在利用连续时间神经网络进行模拟或计算，去寻找一个连续时间 神经网络相应的离散神经网络是非常重要的得到一种相应的离散 神经网络的常用的方法是离散连续神经网络当然，作为一个离散神 经网络，将希望保留连续神经网络系统原有的切动力性质当这个 特征成立，离散神经网络在应用时将保留原有系统的物理和生物真实 性这促使我们研究下面系统相应的离散系统 0 n ，、m 兰考半= 一o t 黾( t ) + 6 巧办( 吻( t ) ) + c 巧办( 巧( t 一勺) ) + 五， ( 1 2 5 ) “ j ：1j = l 其中i t = 1 ，2 ，m ) ，m 是一正整数，t o 在( 1 2 5 ) 中，铌( t ) 表示第i 细胞在时刻t 的状态函数；五( ) 表示非线性输出函数， ( ) 不一定可微和单调递增；k j 和c 巧表示第j 个细胞和第i 个细胞分别 在时刻t 和t 一死，的连接权；瓦j 表示从第歹个细胞传送信息到第i 个 细胞的时滞；厶表示对细胞i 的外部输入；口i 是自反馈 mm ( n + 1 ) = ( 1 一砚 ) ( n ) + 6 订力( 巧( n ) ) + c 巧疗( 巧( 仡一七巧) ) + 九厶，( 1 2 6 ) 硕士学位论文 是系统( 1 2 5 ) 的e u l e r 离散系统，其中i t ，州；彷，对，i ，j i t 0 系统( 1 2 5 ) 的另一类离散系统如下： mm 既( n + 1 ) = e 一。t h 翰( 钆) + 九( ) 6 巧办( 巧( n ) ) + c 巧办( z ( 礼一尼巧) ) + 厶) ， j = 1歹= 1 ( 1 2 7 ) 其中i t ，n 甜，也( ) = 上岩，锄豺，i ，歹t ， o 1 3 研究内容及意义 尽管细胞神经网络的应用范围在不断地扩大，网络的电路设计文 献不断涌现，但由于细胞神经网络的输出函数是分段线性函数而不 具有光滑性，现有的动力系统方法与理论很多都不能直接应用；加上 细胞神经网络( 特别是带时滞的情形) 是非常复杂的大规模非线性微 分动力系统，所以给研究工作带来了很多困难在设计神经网络时， 稳定性和趋近特性是提前条件由于时滞神经网络在理论和实践应 用中的重要性，【7 】一【1 2 等讨论了带常时滞神经网络全局渐近稳定 性，例如 8 通过利用m 一矩阵理论和l i a p u n o v 泛函方法，得到当矩 阵a = ，一( + 吲) ( 其中川= ( i o 臼1 ) 。吲= ( 1 6 巧队m ，是单位矩 阵) 是非奇m 一矩阵时，系统指数稳定；对于变时滞神经网络，也有 一些文献对它作了研究，例如f 2 5 1 中给出了变时滞神经网络全局渐 近稳定的充分条件，此条件要求a = ，一( 川+ 吲) 是非奇m 一矩阵， d 瓦( t ) 出 o ( i = 1 ，他) ；【2 9 】中提出当o = j r 一( i a i + i b l ) 是非奇m 一矩 阵时，系统全局渐近稳定在本文的第二章，我们提出了系统( 1 2 3 ) 全局渐近稳定的一个充分条件，此充分条件比已存在的条件适应范围 更广，能检验更多的系统是否全局渐近稳定 在细胞神经网络的另外一些应用中，如最优控制、方程的求解等， 要求对每一个外部输入u ，网络都有唯一全局渐近稳定平衡点，特 别为了加快网络运行速度，获得全局指数稳定条件更好，因此讨论全 局指数稳定是很有意义的 时滞细胞神经网络的稳定性研究 在利用连续时间神经网络进行模拟和计算时，计算出连续时间神 经网络相应的离散时间神经网络是很重要的当然，作为连续时间神 经网络的离散系统希望保留连续时间系统原有的一切动力性质，这 样相应的离散神经网络在应用时将保留原有系统的物理和生物真实 性s t e w a r t ，s t u a r t 和h u m p h r i e s ，b r o o m h e a d 和i s e r l e s 等对相应的 离散神经网络保留原有连续时间神经网络动力性质的重要性作了讨 论在这里，我们将讨论离散系统的全局指数稳定性质在本论文的 第三章，我们通过利用l i a p u n o v 函数法提出了具分布时滞的离散神经 网络( 1 2 4 ) 的的全局指数稳定的一个充分条件，通过例题说明了此条 件的优越性存在许多计算方法( 例如e u l e r 方法，r u n g e - k u t t a 方法) 求连续系统相应的离散系统但是， 5 6 一 4 0 说明了这些计算方法使 相应的离散神经网络出现了原有连续时间神经网络没有的一些奇怪 平衡点和动力性质在离散神经网络时，如果要保证离散步长( 由h 表示) 为正，原有参数( 连续时间神经网络的参数) 在连续时间神经 网络的渐近参数范围内变化，在离散神经网络中就会出现一些奇怪平 衡点和动力性质并且同一连续时间神经网络采用不同的离散方法得 到的离散神经网络会有不同的动力性质在本论文的第四章，我们讨 论了具离散时滞的离散细胞神经网络( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 说明了在加少 量的限制于h ，相应的两类离散时间神经网络保留了原有系统全局 指数稳定的动力性质 时滞细胞神经网络的稳定性研究 第二章变时滞细胞神经网络全局渐近稳定 的一个新充分条件 2 1引言 。 在设计神经网络时，稳定性和趋近特性是提前条件例如，当 设计神经网络解决线性规划和模式识别时，我们需首先保证神经网络 是全局渐近稳定的在实践中，无论是常时滞还是变时滞在许多工程 学、生物学和经济学系统中常出现在电子神经网络中，时滞是变时 滞，因为处理器有限的改变速度和电子线路中的误差，有时时滞迅速 改变着因此研究不依赖时滞的稳定性是十分重要的 在目前，由于时滞神经网络在理论和实践应用中的重要性，时 滞神经网络的稳定性已成为研究的热点与此同时，许多检验带时滞 和不带时滞神经网络全局渐近稳定的准则已出现 7 _ 2 4 ，同时变时 滞神经网络 2 5 _ 2 9 也作了很多研究 在本章，我们讨论下面的变时滞c n n s 掣2 势m 搀) ) + 圳啪刊嘲姒讣l ( 2 - 1 1 ) o ，i = 1 ，佗， 其中m ，玩，和五是常数，功( t ) ( i ，j = 1 ，n ) 是非负连续函数，其 中o ( t ) 丁，丁是一个常数，n 维向量( z - ( t ) ，z 。( t ) ) t 表示( 2 1 1 ) 在时刻t 的状态函数 细胞神经网络的输出函数厂( 曰) = ；( 1 曰+ 1 i _ i p 一1 i ) 其中臼r 显 然，厂( ) 是非减函数，i 厂( ) i 1 ( ，( z ( t ) ) ，厂( z 。( ) ) ) t 表示( 2 1 1 ) 在 时刻t 的输出函数 本章提出了( 2 1 1 ) 全局渐近稳定的充分条件，此充分条件比已存 在的条件适应范围更广，能检验更多的系统是否全局渐近稳定 硕士学位论文 2 2 准备工作 记r 1 = ( 一，) ，礁= o ，) 且钟表示礼维实向量空间如 果z 彤，那么恻i 表示范数c 表示l 一丁，o 到聊的连续函数的 b a n a c h 空间，其中丁o 是一个给定的非负数，对c ，范数m 卜= s u p 一， 口 o ，存在6 1 = d ( 。) 如果i i r j - 有( 矽) ( t ) j j o ，存在如= 6 ( e z ) 如果m i ， o 当恻l ， 6 时，有y ( o ，) u ( e ) 因为 扩( t ，既( ) ) o 对所有的t o 成立，我们可得 ”( 1 1 9 ( z ( t ) ) i i ) y ( ，魂( 咖) ) y ( o ，) u ( ) ， t o 因此对t o 有怕( z ( t ) ) | | e 利用性质3 可得z = o 是稳定的 性质5 假设u ，叫：避一辟是连续非负递增函数，其中u ( o ) = 叫( o ) = o 如果存在连续泛函y ：础c r 1 使y ( o ，o ) = o ， u ( 夕( ( o ) ) ii ) y ( t ，) 并且，当y ( + 目，( 口) ) y ( ，( o ) ) 对p 一7 ，o 】成立时，有少( t ，咖) 一叫( 怕( 妒( o ) ) i i 成立，那么( 2 2 1 ) 的解z = o 是稳定的 证明我们定义 y ( ，) = s u py ( t + 臼，( 臼) ) 8 卜r 0 j 其中t r 芏，c ，男b 么存在臼o 一丁，o 使矿( ，) = y ( + 口o ，( ) ) 其中p o = o 或曰o o 11 硕士学位论文 情形1 ：p o o ( 江1 ，n ) 满足 其中 n 也( 一1 + n 越) + 嘭 i o 巧l ( 1 一c ) + 1 6 巧| o i = 1 ，他， j = 1 f 1 ， i fi ：j ， 吼，= 。 【o ， i f i j 那么系统( 2 1 1 ) 有唯一平衡点且全局渐近稳定 证明我们首先定义向量范数如下 面一酬t 。幻罢幻髋纠一z ；亡0 一_ r o1 三z 7 0 其中中= ( 1 ( t ) ，( t ) ) t ，x + = ( z ；，z 二) 丁，t t o 一下，o z ( ) l l2 盟忡) i ) ，愀z ( 驯2 盟 町1 ( t ) ) m ( 2 3 1 ) 时滞细胞神经网络的稳定性研究 因为9 2 ( 旎( t ) ) 五( ) 9 ( 名( t ) ) 对i = 1 ，几成立，我们可得 d + l d _ 1 五( t ) i一i d _ 1 乞( t ) i + o “町1 1 9 ( 锄( t ) ) i + 町1 苎j i ( 1 一) 1 9 ( 勺( t ) ) l n j = l + 町1 j 岵js u pj 夕( 乃( s ) ) j ，= lt 一丁s s s c ( 一1 + o n ) i 町1 9 ( 乞( t ) ) i + d f l 由( | o 巧i ( 1 一) + 1 6 研i ) s u pl 町1 9 ( 乃( s ) ) 1 7 = l一r o ，存在t = t ( e ，日) o 使对 任意o ，惮一x + 幻 t 1 幻) 使i 町1 9 ( 兹( t 1 ) ) l = 忪一x + 幻，i 町1 9 ( 毛( t ) ) l 在区间 t 。，t z 上是严格单调递增的，并且对所 有o 一7 - s 1 i d _ 1 9 ( 勺( s ) ) j | | 西一x + i l 幻，j = 1 ， 由( 2 3 2 ) ，可得 d + i 町1 乞( t 1 ) i 一1 十。乱+ d f l | | 西一x + l f t 。 t l ( t + t 2 ) 使i 町1 乞( ) i 惯1 盈( t 1 ) l 对所有t t 1 ，t 爿成立 因此，利用系统( 2 2 1 ) 解的连续性，我们可以找到无限接近于t 。的 t + 使对任意t t + ，讫( t ) 和兹( ，) 同时落在某个区间 一1 ，1 ，( 一。，一1 和 1 ，+ ) 内利用性质2 ，可得 f ( f f l 9 ( 磊( t ) ) i i 町1 9 ( 盔( 1 ) ) i ，t 陋1 ，t + 14 时滞细胞神经网络的稳定性研究 这和i d 1 9 ( 忍( t ) ) i 在区间t z 上是严格单调递增的相矛盾，所以( 2 3 6 ) 成立 由( 2 3 6 ) 得惮一x 4 日可推出l 町1 夕( 磊( t ) ) i o 使 d 1 忍( t ) l o ， e - a 叩2 丽一， 2 恶愁町1 至 1 t n 。_ 1 。 当2 跫誉町1 叠2o ，那么口巧2 岵= o ，其中i ，j = 1 ，佗显然，系 统( 2 2 1 ) 的解z ( t ) = o 是全局渐近稳定的 我们选择一常数c 丁，n 是第一个非负整数使e + 叩h ，同时 令坛= 幻+ k t + 其中k 是非负整数， 丁+ = 丁+ ( e ，h ) = c + 掣 现在，我们证明( 2 3 5 ) ，我们首先利用数学归纳法证明忪一x + 幻 e + ( 一k 一1 ) 叩和 i 町1 9 ( 旎( 动) i i 酊1 9 ( 乞( t ) ) i ， 16 4 5tl 3 3 2 2 时滞细胞神经网络的稳定性研究 其中壬t f 男i j 么由( 2 3 8 ) i d _ 1 9 ( 勺( 曰) ) i e + ( 一k ) 叩 i d 1 9 ( 磊( 幻) i + 7 7 ， 歹= 1 ，佗，对所有臼吾 类似于( 2 3 1 3 ) 的计算，我们能证明d + 博1 旎( 幻l o 利用( 2 2 1 ) 的 解的连续性，一定存在一个t + + f ，司使甄( t + + ) 和婉( 幻同时落在区间 ( 一，一1 ， 一l ，1 或 1 ，+ ) 内，且f d 1 旎( 刁i d 1 磊( t + + ) | 利用性质2 ， 可得 i 町1 9 ( 磊( 幻) l i d _ 1 9 ( 乞( t + + ) ) i 这和( 2 3 1 5 ) 矛盾所以( 2 3 1 4 ) 成立因为t k + 1 壬，( 2 3 1 4 ) 可推 出( 2 3 9 ) 成立，因此可得( 2 3 7 ) 成立令( 2 3 7 ) 中k = ，我们 可由忙一x + 萎i o 巧l ( 1 一如) + i 成立，那么平衡点全局 渐近稳定 当时滞是变时滞， 2 5 和 2 9 给出了全局渐近稳定的充分条件，但 2 5 中要求乜= ，一“a i + 吲) 是非奇m 一矩阵，帆( t ) 出 o ( i = 1 ，几) 2 9 中条件a = ，一( 川+ 吲) 是非奇m 一矩阵比定理2 1 中条件苛刻 此 1 7 硕士学位论文 下面我们举例比较本章的结论和已存在的结论，说明了定理2 1 的优越性 考虑下面的三个c n n ： 士- ( t ) = 一z ，( t ) 一；厂( z ( t ) ) + 2 厂( z 3 ( t n 3 ( ) ) ) 一 士2 ( t ) = 一z 2 ( ) 一2 - 厂( z 2 ( t ) ) + 2 ，( z 2 ( 一死2 ( t ) ) ) + 1 圣3 ( t ) = 一z 3 ( ) + ；厂( z 3 ( t 一乃3 ( ) ) ) + j t o 其中勺( t ) o ( i ，歹= 1 ，2 ，3 ) 是有界连续函数 a= 一j oo 02o 00o 因为，一( i a f + l b i ) = j o 一2 030 o o ； b= 0 0 0 2 0 0 不是m 一矩阵， 2 5 和 2 9 中 誓理不能利用当(