（基础数学专业论文）几类奇异积分算子的性质及应用.pdf

，h， j，l1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河：l k j i l i 范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：杨谨吻 矽f 9 年6 只6e l 指导教师( 签名) ： 剜。年月6 日 锄 i l ， 析就是单复分析；当n = 2 时，c l i f f o r d 分析就是四元数分析因此c l i f f o r d 分析是一 个活跃的数学分支，它在许多数学领域内都具有重要的理论和应用价值 在经典的函数理论分析中，研究c a u c h y 型积分的性质是非常重要的，它是解决 各类边值问题的基本工具之一c a u c h y 型积分是一类奇异积分，它在偏微分方程理 论，奇异积分方程理论以及广义函数理论中有着广泛的应用尤其是在偏微分方程 和奇异积分方程的边值问题中，应用c a u c h y 型积分这个工具可以使得偏微分方程 和奇异积分方程的处理显得特别地简练c a u c h y 型积分算子的换序问题在奇异积 分算子的正则化和奇异积分算子的合成中起着至关重要的作用有t c a u c h y 型积 分算子的换序公式，我们就可以解决闭光滑流形上具有b m 核的奇异积分方程的 各种边值问题因此c a u c h y 型积分算子的换序问题是解决许多问题的核心在单复 分析及多复分析中，c a u c h y 型积分算子的性质和换序问题解决得很彻底并且广泛 地应用于弹性力学，流体力学以及高维奇异积分和积分方程中但是在c l i f f o r d 分 析中，由于c l i f f o r d 代数的不可交换性，有着同样重要件的c a u c h y 型积分算子的性 质和换序问题却没有得到彻底解决这给c a u c h y 型积分算子的合成和i e n 化带来 了很大的挑战，从而影响了c l i f f o r d 分析中积分方程和偏微分方程边值问题的发展 1 9 9 8 年，黄沙证明了c l i f f o r d 分析q b c a u c h y 型积分的p b ( p o i n c a r 6 b e r t r a n d ) 置 换公式，得到了很好的结论在黄沙工作的基础上，本文另辟蹊径，给出了c l i f f o r d 分 析中累次奇异积分算子在c a u c h y 主值意义下更具体的一种新定义然后利用c a u c h y 型奇异积分算子的性质证明了几个比较简单的情况下的两个奇异积分算子的换 中文摘要 序公式接下来又证明了一个关于被积表达式的不等式，即c l i 侬 r d 分析中的函数 和微元乘积的不等式这个不等式在本文中有着重要的意义最后再利用此不等 式和前面的结果证明了c l i f f o r d 分析中关于一元函数及二元函数的c a u c h y 型奇异 积分算子的p b ( p o i n c a r d b e r t r a n d ) 置换公式 另外，本文还研究了一类r n 空问中的高阶奇异t e o d o r e s c u 算子通过这类高 阶奇异算子，我们可以得到非齐次d i r a c 方程的解的积分表达式，从而可以解决许 多边值问题本文着重研究了这类高阶奇异t e o d o r e s c u 算子的有界性，h 6 1 d e r 连续 性以及它的广。义微商同时还研究了它关于积分区域的边界曲面摄动的稳定性并 给出了误差估计最后用这个算子给出r n 空间中的一个广义风方程组的解的积 分表达式 全文共包括八个部分： 1 绪论介绍了c l i f f o r d 分析的历史背景，意义和研究现状，同时简单地介绍了 一下我们的工作 2 第一章讨论了c l i 肋r d 分析中一个c a u c h y 型奇异积分算子和普通积分算 子的换序问题首先证明了c l i 肋r d 分析中两个普通积分算子在l i a p u n o v 出面上的 换序公式。然后在此基础上证明- j c a u c h y 型奇异积分算子和普通积分算子的换序 公式证明过程中先证明两个累次积分在c a u c h y 主值意义下是收敛的，然后将两 个累次积分分别分成两部分l ，2 和吖，嵋，先证明n 1 = 吖，再证明 1 恐n 2 一 l i r an ：= 0 a - - - 0 。 3 第二章研究了c l i 仟o r d 分析中两个c a u c h y 型奇异积分算子的换序问题先 将两个累次积分分别分解为几个c a u c h y 型奇异积分算子与一个函数的和，从而证 明了这两个累次积分是有意义的然后再分别将两个累次积分分为四个部分，第 一部分是挖掉奇点后的区域上的积分，另外几部分是带有奇点的区域上的积分首 先证明第一部分的值相等，再证明剩下的部分的差的极限为零 4 第三章研究了c l i 仃0 r d 分析中一个普通积分算子和以普通积分算子的积分 变量为奇点的c a u c h y 型奇异积分算子的换序问题首先证明了几个相关的奇异积 分算子的性质，并利用这些性质证明了两个累次积分是有意义的然后巧妙地将 秋分区域分为几部分，从而将积分算子分成带有奇性的部分和不带奇性的部分我 们证明了带有奇性的部分的极限是零，并且4 i 带奇性的部分相等这样我们就证 明了普通积分算子和以普通积分算子的积分变量为奇点的c a u c h y 型奇异积分算 子的换序公式 7 第六章研究了r n 空间中的一类高阶奇异t e o d o r e s c u 算子的性质，分为三块 内容： ( 1 ) 利用几个不等式证明了这类算子有界性又通过证明几种特殊情况下这 类算子的h 5 1 d e r 连续性证明了算子在整个r n 空间中的h n d e r l 奎续性，同时根据定 义得到了它的广义微商 ( 2 ) 利用几个重要的不等式研究了这类算子关于积分区域的边界曲面摄动的 稳定性并给出了误差估计 ( 3 ) 利用变量替换将广义王k 方程组转换为一个c l i f f o r d 分析中向量值的广义d i r i t e 方程然后利用高阶奇异t e o d o r e s c u 算子给出广义d i r a c 方程的解的积分表达式。 从而得到了广义玩方程组的解的积分表达式 8 结论总结了论文的结论和有待解决的问题 关键词：c l i f f o r d 分析，c a u c h y 型奇异积分算子，p - b ( p o i n c a r 6 b e r t r a n d ) 置换 公式，c a u c h y 主值，高阶奇异t e o d o r e s c u 算子，稳定性 s u c ha st h es t u d yo ft h ep r o p e r t i e so fr e g u l a rf u n c t i o n s ，h y p e r m o n g e n i cf u n c t i o n sa n d k - h y p e r m o n g e n i cf u n c t i o n s ；t h es t u d yo ft h ep r o p e r t i e so ft h ec a u c h y t y p es i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r sa n dt h es t u d yo fv a r i o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s c l i f f o r da n a l y s i s i st h en a t u r a le x t e n s i o no fc o m p l e xa n a l y s i s w h e n 礼= 0 c l i f f o r da n a l y s i si st h er e a l a n a l y s i s ；w h e n 他= 1 ，c l i f f o r da n a l y s i si st h ec o m p l e xa n a l y s i s ；w h e n 佗= 2 ，c l i f f o r d a n a l y s i si st h eq u a t e r n i o n i ca n a l y s i s t h e r e f o r ea sa na c t i v eb r a n c ho fm a t h e m a t i c a l s t u d y , i th a ss i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a la n da p p l i e dv a l u ei nv a r i o u sf i e l d so fm a t h e m a t i c a l s t u d y i ti sv e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h ep r o p e r t i e so fc a u c h y - t y p e i n t e g r a li nt h et y p i c a l f u n c t i o n a lt h e o r ya n a l y s i sa n di ti so n eo ft h eb a s i ct o o l st os o l v ev a r i o u sb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s c a u c h y - t y p ei n t e g r a li sat y p eo fs i n g u l a ri n t e g r a l i ti sw i d e l yu s e di n t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n a lt h e o r i e s ，t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n a lt h e o r i e sa n d t h eg e n e r a lf u n c t i o n a lt h e o r i e s ，e s p e c i a l l yi nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ft h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s i ts i m p l i f i e sa n ds t r e s s e st h e p r o c e s sb yu s i n gc a u c h y - t y p ei n t e g r a l t h et r a n s f o r m a t i o np r o b l e mo fc a u c h y t y p e o p e r a t o r si sc r u c i a li nt h er e g u l a r i z a t i o na n dc o m p o s i t i o no ft h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r - a t o r s w i t ht h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ，w ec a ns o l v ev a r i o u sb o u n d a r yp r o b l e m so ft h e s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw h i c hh a sb mc o r ea n di so nt h ec l o s e ds m o o t hm a n i f o l d a sar e s u l t ，t h et r a n s f o r m a t i o np r o b l e mi st h ec o r ep r o b l e mi nt h es a l v a t i o no fm a n y p r o b l e m s i nc o m p l e xa n a l y s i sa n dm u l t i - c o m p l e xa n a l y s i s ，t h en a t u r ea n dt r a n s f o r - m a r i o np r o b l e mo fc a u c h yt y p ei n t e g r a lo p e r a t o r sa l ed e f i n e da n ds o l v e dt h o r o u g h l y 英文摘要 i ti sw i d e l yu s e di ne l a s t i cm e c h a n i c s ，f l u i dm e c h a n i c s ，h y p e r - d i m e n s i o n a ls i n g u l a r i n t e g r a l sa n di n t e g r a le q u a t i o n s h o w e v e r , t h en a t u r ea n dt r a n s f o r m a t i o np r o b l e mo f c a u c h y t y p ei n t e g r a lo p e r a t o r sh a v en o tb e e nd e f i n e da n ds o l v e da l t h o u g hi ti sa l s o v e r yi m p o r t a n ta n dt h a ti sb e c a u s ec l i f f o r da l g e b r ai si n c o m m u t a b l e c o n s e q u e n t l y , i t p u tu si ng r e a tt r o u b l ei nt h ec o m p o s i t i o na n dr e g u l a r i z a t i o no fc a u c h yt y p ei n t e g r a lo p e r a t o r ss ot h a ti th a si m p e d e dt h ed e v e l o p m e n to ft h eb o u n d a r yp r o b l e m so ft h ei n t e g r a l e q u a t i o n sa n dt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nc l i f f o r da n a l y s i s i n19 9 8 h u a n gs h ap r o v e dt h ep - b ( p o i n c a r g - b e r t r a n d ) t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao f t h ec a u c h y t y p ei n t e g r a l si nc l i f f o r da n a l y s i s o nt h eb a s eo fh u a n gs h a sw o r k s ，t h i s d i s s e r t a t i o nf i n d san e w a p p r o a c h i tf i r s tg i v e sa n e wd e f i n i t i o no ft h et h ec a u c h y - t y p e i n t e g r a l si nc l i f f o r da n a l y s i s t h e ni tp r o v e st h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao ft h ei t e r - a t e di n t e g r a li ns e v e r a lf a i r l ys i m p l ec a s e sb yu s i n gc a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s n a t u r e ；t h e ni tp r o v e sav e r yi m p o r t a n ti n e q u a t i o na b o u ti n t e g r a t e de l e m e n ti e ai n - e q u a t i o nw i t ha d i f f e r e n t i a le l e m e n t ；a n df u r t h e ri tp r o v e st h ep - b ( p o i n c a r 6 一b e r t r a n d ) t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l aa b o u tc l i f f o r dv a l u e sf u n c t i o n sw i t ho n eo rt w ov a r i a b l e sb y u s i n gt h a ti n e q u a t i o na n dt h ea f o r e m e n t i o n e dr e s u l t s b e s i d e s ，t h i sd i s s e r t a t i o na l s os t u d i e sah i g h - o r d e rs i n g u l a rt e o d o r e s c uo p e r a t o ri n t h es p a c er n b yt h i sk i n do fo p e r a t o r , w eg e tt h ei n t e g r a le x p r e s s i o no ft h es o l u t i o n t ot h en o n h o m o g e n e o u sd i r a ce q u a t i o ns ot h a tm a n yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sc a nb e s o l v e d i ts t r e s s e so nt h eb o u n d e d n e s s ，h 6 1 d e rc o n t i n u i t ya n dt h eg e n e r a ld i f f e r e n t i a l o ft h eh i g h o r d e rs i n g u l a rt e o d o r e s c uo p e r a t o r m e a n w h i l ei ts t u d i e st h ep e r t u r b a t i o n s t a b i l i t yc o n c e r n i n gb o u n d a r ys u r f a c eo ft h ei n t e g r a ld o m a i na n dg i v e si t se r r o r e s t i m a t i o n u l t i m a t e l y , i tg i v e sa ni n t e g r a le x p r e s s i o no fag e n e r a l 刀s y s t e mi nt h es p a c eo f r nb yu s i n gt h a to p e r a t o r t h ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fe i g h tp a r t s ： 1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t ，i tr e c a l l st h eh i s t o r y , a c a d e m i cs i g n i f i c a n c ea n ds t a t u s q u eo fc l i f f o r da n a l y s i s 2 c h a p t e r1 i td i s c u s s e st h et r a n s f o r m a t i o np r o b l e m so ft h ec a u c h y - t y p es i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o ra n dt h eg e n e r a li n t e g r a lo p e r a t o r f i r s t l y , i tp r o v e st h et r a n s f o r m a t i o n f o r m u l ao ft h et w og e n e r a li n t e g r a lo nt h el i a p u n o vs u r f a c ei nc l i f f o r da n a l y s i s ；t h e n b a s e do nt h a ti tp r o v e st h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao ft h ec a u c h y t y p es i n g u l a ri n t e g r a l w i t ht h ec a u c h yt y p es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sw h o s es i n g u l a rp o i n ti st h ei n t e g r a l v a r i a b l eo fag e n e r a li n t e g r a l f i r s t l y , i tp r o v e st h en a t u r eo fs e v e r a lr e l e v a n ts i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r sa n dt h e ni tp r o v e st h a tt h et w oi t e r a t e di n t e g r a l sa r ew e l ld e f i n e d b yu s i n gt h a tn a t u r e n e x t ，i td i v i d e sc l e v e r l yt h ei n t e g r a ld o m a i ni n t os e v e r a lp a r t s ； n a t u r a l l y , t h ei n t e g r a lo p e r a t o r sa r eg r o u p e di n t ot w op a r t s o n ei sw i t ht h es i n g u l a r i n t e g r a l sa n dt h eo t h e ri sw i t hn o n s i n g u l a ro p e r a t o r s a n di tp r o v e st h a tt h el i m i to ft h e p a r tw i t ht h es i n g u l a ro p e r a t o r si sz e r oa n dt h ep a r tw i t h o u ts i n g u l a r i t ya r ee q u a l t h u s ， i tp r o v e st h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao fag e n e r a li n t e g r a lw i t i lt h ec a u c h yt y p ei n t e g r a l w h o s es i n g u l a rp o i n ti st h ei n t e g r a lv a r i a b l eo fag e n e r a li n t e g r a l 5 c h a p t e r4 i ts t u d i e st h et r a n s f o r m a t i o np r o b l e mo ft w oc a u c h yt y p es i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r s ，a m o n gw h i c ht h es i n g u l a rp o i n to ft h es e c o n dc a u c h yt y p ei n t e - g r a li st h ei n t e g r a lv a r i a b l eo ft h ef i r s tc a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a l t h ec o n c l u s i o no f t h i sp r o b l e mi se x t r e m e l yd i f f e r e n tf r o mt h o s eo ft h ea f o r e m e n t i o n e dc h a p t e r s a f - t e rt h et r a n s f o r m a t i o no ft h et w oo p e r a t o r s ，i th a sa ne x t r af u n c t i o nw h i c h a g r e e sw i t h t h er e s u l t si nt h em u l t i - c o m p l e xa n a l y s i s i nt h ep r o v i n gp r o c e s s ，f i r s ti tp r o v e st h e e x i s t e n c eo fa ni n e q u a t i o nw i t hd i f f e r e n t i a le l e m e n t s t h e ni tp r o v e st h a tt h ei t e r a t e d s i n g u l a ri n t e g r a l su n d e rd i s c u s s i o na r ew e l ld e f i n e d m e a n w h i l e ，b yu s i n gt h a ti n e q u a - d o na n de l i m i n a t i n gt h es i n g u l a rp o i n t s ，i tp r o v e st h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ，i e ，t h e 英文摘要 p - b ( p o i n c a r 6 - b e r t r a n d ) t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao ft h ec a u c h yt y p es i n g u l a ri n t e g r a l o p e r a t o r si nc l i f f o r da n a l y s i s 6 c h a p t e r5 i td i s c u s s e st h ep b ( p o i n c a r 6 - b e r t r a n d ) t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao f t h ec a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si nt h et w od i m e n s i o n a lc l i f f o r df u n c t i o nb yu s - i n gt h er e s u l t sa b o v e f i r s t , i td e f i n e st h ec a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si nt h et w o d i m e n s i o n a lc l i f f o r df u n c t i o na n dt h e nd i s c u s s e st h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t e ds i n g u - l a ri n t e g r a l s n e x ti ts e p a r a t e st h ei t e r a t e ds i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si n t os e v e r a lp a r t s t h e nf o re a c hp a r ti tp r o v e st h ec o r r e c t n e s so ft h ep - b ( p o i n c a r 6 一b e r t r a n d ) t r a n s f o r - m a t i o nf o r m u l ao fc a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r si nt h et w od i m e n s i o n a lc l i f f o r d f u n c t i o nb yu s i n gt h ec o n c l u s i o ni th a sa l r e a d yg o t 7 c h a p t e r6 i ts t u d i e st h en a t u r eo fah i g h o r d e rs i n g u l a rt e o d o r e s c uo p e r a t o ri n t h es p a c eo fr na n dt h i sc h a p t e rc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s ： ( 1 ) f i r s tb yu s i n gs e v e r a li n e q u a t i o n si tp r o v e st h eb o u n d e d n e s so ft h i so p e r a t o r t h e ni tp r o v e st h eh t l d e rc o n t i n u i t yo ft h eo p e r a t o ri ns e v e r a ls p e c i a lc a s e st os u p p o r tt h a tt h eh 6 1 d e rc o n t i n u i t yo ft h eo p e r a t o ri nt h ew h o l es p a c eo fr na l s oe x i s t s m e a n w h i l e ，i tg e t st h eg e n e r a ld i f f e r e n t i a le l e m e n t sa c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o n ( 2 ) b yu s i n gs e v e r a li m p o r t a n ti n e q u a t i o n s ，i ts t u d i e st h ep e r t u r b a t i o ns t a b i l i t y c o n c e r n i n gt h eb o u n d a r ys u r f a c ei nt h ei n t e g r a ld o m a i na n di tg i v e st h ee r r o re s t i m a t i o n t o o ( 3 ) f i r s tb yu s i n gv a r i a b l er e p l a c e m e n t ，i tt r a n s f o r m sag e n e r a l e q u a t i o ns y s t e mi n t oag e n e r a lv e c t o rv a l u ed i r a ce q u a t i o ni nc l i f f o r da n a l y s i s t h e ni tg i v e st h e i n t e g r a le x p r e s s i o no ft h eg e n e r a ld i r a ce q u a t i o nb yu s i n gh i g h o r d e rs i n g u l a rt e o d o r - e s c uo p e r a t o r ss ot h a ti tg e t st h ei n t e g r a le x p r e s s i o no ft h eg e n e r a l 巩e q u a t i o ns y s t e m 8 c o n c l u s i o n s 1 1 1 ec o n c l u s i o n sw i l lb ed r a w na n dt h ep r o b l e m sg e tt ob es o l v e d w i l lb es u m m a r i z e di nt h i sp a r t k e yw o r d s ： c l i f f o r da n a l y s i s ，c a u c h y - t y p es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s ，p b ( p o i n c a r 6 一b e r t r a n d ) t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a , c a u c h yp r i n c i p a lv a l u e ，h i 【g h - o r d e r s i n g u l a rt e o d o r e s c uo p e r a t o r , s t a b i l i t y 0 , 3 论文的主要结果 5 第一章c a u c h y 型奇异积分算子和普通积分算子的换序公式1 1 1 1 引言 1 2 预备知识及相关定义 1 3 两个普通积分算子的换序公式1 7 1 a c a u c h y 型奇异积分算子与普通积分算子的换序公式 1 8 第二章两个c a u c h y 型奇异积分算子的换序公式2 5 引言 2 5 2 2 预备知识及相关定义 2 5 2 3 两个 c a u c h y 型奇异积分算子的换序公式2 7 第三章普通积分算子和带参变量的c a u c h y 型奇异积分算子的换序 公式3 3 x 目录 3 i 引言 3 3 3 2 预备知识及相关定义3 3 3 3 普通积分算子和带参变量t 拘c a u c h y 型奇异积分算子的换序公式 3 5 第四章关于一元函数i 拘c a u c h y 型奇异积分算子的p b 置换公式 4 l 4 1 引言 4 1 4 2 预备知识及相关定义4 2 4 3 几个弱奇性奇异积分算子的换序公式5 0 4 4 关于一元函数的c a u c h y 型奇异积分算子的p - b 置换公式 5 7 第五章关于二元函数i 拘c a u c h y 型奇异积分算子的p b w 换公式 6 l 5 1 引言二：6 1 5 2 预备知识及相关定义6 l 5 3 关于二元函数的c a u c h y 型奇异积分算子的p b 置换公式“ 第六章r n 空间中一类高阶奇异t e o d o r e s c u 算子的性质及应用 6 9 6 1 引言6 9 6 2 预备知识及相关定义7 0 6 3 一类高阶奇异t e o d o r e s c u 算子的基本性质7 6 6 4 高阶奇异t e o d o f e s c u 算子关于积分区域边界摄动的稳定性8 4 6 5 一类高阶奇异t c o d o r c s c u 算子的应用8 9 结论9 3 参考文献9 5 目录 x i 攻读博士学位期间取得的科研成果1 0 7 致谢1 1l w ：k c l i 筋r d 引入了几 结构，是实数域，复数域 1 1 1 c l i f f o r d 代数将高维 于几何学之中的代数系 统，是研究高维流形上旋量群的一个基本工具，具有很强的理论意义和应用价值 1 9 2 8 年，pd i r a c 利用一类特殊c l i f f o r d 代数的旋量表示作为框架解决了描述量子理 论的k l e i n g o r d o n 方程【2 】这使得数学和物理学的众多专家学者对c l i f f o r d 代数产 生了浓厚的兴趣和重视多年来，e c a f t a n ，r b r a u e r ，c c h e v a l l e y 等都曾研究和应 用过c l i f f o r d 代数，这使得c l i f f o r d 代数得到了长足的发展近年来，c l i 仃0 r d 代数在 微分几何，理论物理等方面取得了辉煌的成就，成为了现代理论数学和物理学的 核心工具之一f 3 】一【6 】与此同时它在现代科技的诸多领域，例如机器人学，信号处理 及计算机视觉等方面也有了广泛的应用 我们知道c l i f f o r d 代数是我们熟知的一些数域的自然推广当n = 0 时。c l i f - f b r d 代数就是实数域；当佗= 1 时，c l i f f o r d 代数就是复数域；当扎= 2 时，c l i f f o r d 代数 就是四元数域那么能否在c l i f f o r d 代数空间中引入函数，并将单复分析中经典的函 数理论推广到c l i f f o r d 代数空间中呢? 早在二十世纪三四十年代，许多数学家就已 经关注到这个问题并将单复分析的许多函数理论推广到礼= 2 时的c l i f f o r d 代数中， 即四元数中他们研究了四元数中的正则函数，推广了平面上的c a u c h y r i e m a n n 方 程，形成了一个新的数学分支：四元数分析m 一1 1 0 后来经过r d e l a n g e l l l vi f i i m i e 1 2 和d h e s t e n s e l l 3 】的不懈努力，将许多复分析及四元数分析中成立的基本理论 推广到了钆 2 的c l i f f o r d 代数空间中，取得了一些成果后来许多数学工作者就以 这些论文和成果为基础发展起来一个新的数学分支，这就是c l i f f o r d 分析1 9 8 2 年。 比利时学者r d e l a n g e ，es o m m e n 等将c l i f f o r d 分析的基本理论整理成专著【1 4 j ，奠 定了c l i f f o r d 分析的理论基础 2 绪论 c l i f f o r d 分析丰要研究定义于欧氏空间而取值于c l i f f o r d , 数a n ( r ) 空间的函 数的分析结构，有明显的物理背景和应用价值因此从c l i f f o r d 分析的基本理论形 成至今，它一直是一个非常活跃的数学分支早在上世纪三四十年代，r f u e t e r , g m o i s i l 和n t e o d o r e s c o 在研究n 维欧氏空间中l a p l a c e 算子线性化问题时，就曾 研究过取值在c l i f f o r d 代数空间中的函数理论1 7 】，【8 】19 3 6 年，n t e o d o r e s c