（基础数学专业论文）混合自伴边条件下正则sturmliouville算子的特征值问题.pdf

j | f f i i f j i f f f j j i j j lj f i f f iy 17 3 6 2 4 9 e i g e n v a l u ep r o b l e m so fr e g u l a rs e l f a d j o i n t s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t hm i x e d b o u n d a r yc o n f d i t i o n t i a nr u i q i n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rs u nj i o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除本文已经注明弓l 用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文巾作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者 日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有 权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和 磁盘允许编入有关数据库进行检索也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编 学位论文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属予内蒙古大 学作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期问 导师的同意：若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学付论文作者签杉 、 咿教 内蒙古大学硕士学位论文 混合自伴边条件下正则s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征值问题 摘要 本文研究了混合自伴边界条件下正则s t u r m - l i o u v i l l e 算子特征值的 分布和重数问题首先，证明了当b 或c 0 且 1 时，此类问题具有 可数个实的特征值、没有有限值的聚点、充分大的特征值都是单重 的，并且给出了相应特征值和特征函数的渐近式，得出此类问题的 充分大的特征值呈现异于分离型边条件下的此类问题特征值分布的 另一种“均匀”分布其次，我们分别考虑了q ( z ) ：1 和口( z ) = 0 时混合边 条件的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，当g ( z ) = 1 时我们证明了6 = 4 - 1 时的特征值全 部都为二重特征值，从而解决了文献【4 1 中提出的问题当q ( z ) = 0 时我 们首先给出了一个特征值是二重特征值的充要条件，由此充要条件 给出一个推论，通过该推论给出了混合边条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题 的特征值有可能全部都为单重特征值这一结果最后，我们进一步研 究了一类具有混合边条件的不连续s t u r m - l i o u v i u e 算子的特征值问题 关键词：s t u r m - l i o u v i l l e 问题，混合边条件，渐近式，特征值的重数，不 连续的s t u r m - l i o u v i l l e 算子 e i g e n v a l u ep r o b l e m so fr e g u l a r s e l f - a d jo i n t s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t h m i x e d b o u n d a r yc o n d i t i o n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ed i s t r i b u t i o na n dm u t i p l i c i t yp r o b l e m so fe i g e n v a l u e s 0 ft h es t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n f i r s t l y , w ep r o v et h a tt h e o p e r a t o rh a sc o u n t a b l er e a le i g e n v a l u e s w h i l ebo rc 0a n d 1 , t h ee i g e n v a l u e sh a v en o f i n i t ec l u s t e rp o i n t ，t h es u f f i c i e n t l yl a r g ee i g e n v a l u e sa r ea l ls i m p l ee i g e n v a l u e s ，a n dw eg a v e t h ea s y m p t o t i cf o r m u l ao fe i g e n v a l u ea n de i g e n v a l u ef u n c t i o n ，a n df u r t h u r e ，w ec o n c l u d e t h a tt h es u 伍c i e n t l yl a r g ee i g e n v a l u e sp r e s e n tak i n do fu n i f o r md i s t r i b u t i o nd i f f e r e n tf r o m t h es i t u a t i o ni ns - lp r o b l e m sw i t hs e p e r a t o rb o u n d a r yc o n d i t i o n s e c o n d l y , w es t u d yt h e 孓lp r o b l e i n sw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o nw h i l eq ( x ) = 1a n dq ( x ) = 0 ，w ep r o v et h a t t h ee i g e n v a l u e sa r ea l ld o u b l ee i g e n v a l u e sw h i l e 口( 茁) = 1a n d6 = 士l ，s ow es o l v et h e l e f tp r o b l e m si np a p e r 4 】，a n dw h e ng ( z ) = o , w eg i v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n t h a tt h ee i g e n v a l u e sa r ea l ld o u b l ee i g e n v a l u e sa n dar e a s o n i n gf o r mw h i c hw ec o n c l u d e t h a tt h ee i g e n v a l u e so ft h es lo p e r a t o rw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o na r el i k e l ya l lt o b e8 i m p l ee i g e n v a l u e s f i n a l l y , w es t u d yt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo fa k i n do fd i s c o n t i n o u s o p e r a t o rw i t hm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n k e y w o r d s ：s t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m ，m i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n ，a s y m p t o t i cf o r - m u l a ，m u l t i p l i c i t yo fe i g e n v a l u e ，d i s c o n t i n o u ss - l o p e r a t o r i i 内蒙古大学硕士学位论文 r z r a n k m v 符号说明 实数域 整数域 矩阵的秩 矩阵m 的共轭转置 对于任意的 i 目录 第一章引言1 1 1 前言1 1 2 本文的研究工作2 第二章预备知识4 2 1自伴s t u r m - l i o u v i u e 问题边条件的两种简化形式 4 2 2c a u c h y 问题解的存在唯一性定理5 第三章 3 1 3 2 第四章 4 1 4 2 第五章 4 1 4 2 两个特殊情形下混合型s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征值情况 1 5 q ( x ) 三1 的情形1 5 q ( x ) 三0 的情形 1 8 一个混合边界条件的不连续s l 算子的特征值问题2 1 准备知识。2 1 主要定理2 3 g g g 质 性 的 一 一 值 征 一 一 特 题 问 l 一 s 号 下符理件关定条相要边及主合义节 混定本 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 1 1前言 微分算子是一类非常重要的无界线性算子，在许多数理学科的分支中都有 着非常广泛的应用，尤其是在量子力学方面，因为量子力学被公理化之后，其 中一条公理告诉我们，量子力学的的每一个可观测量都对应h i l b e r t 空间上的 一个自伴算子，而自伴算子又是一类重要的微分算子 为描述固体热传导的数学模型而起源的s t u r m - l i o u v i l l e 问题对应的s t u r m - l i o u v i l l e 算子就是一类重要的微分算子，赋予特殊的边条件之后，对此类问题 的研究便转化为对自伴算子的研究了自1 9 世纪中叶问世以来，由于在物理学、 数理方法以及各种理论学科及应用科学领域的广泛应用，而得到了长足的发 展本世纪初，h w e y l 将问题拓广到无界区间，开创了奇异s t u r m - l i o u v i l l e 理论 的研究h w e y l 理论创建伊始，不久就成为了刚刚兴起的量子力学描述微观 粒子状态的主要手段，从而引起了数学界与物理学界的瞩目二次世界大战之 后，许多知名的学者，诸如e c t i t c h m a r c h ，k k o d a i r a ，p h a r t m a n 等均投入到了 s t u r m - l i o u v i l l e 理论的深入研究，并在奇异s t u r m - l i o u v i l l e 问题的谱、谱的反问题， 以及算子迹等方面，完成了大量开拓性工作，这些工作成果大大丰富并拓展 了s t u r m - l i o u v i u e 的内蕴，并使之形成一个系统的理论领域本世纪六十年代之 后，以w n e v e r i t t 为首的欧美学者以及苏联学者，进一步开拓了高阶奇异对称 微分算子亏指数理论的研究，并取得了许多重大的研究成果亏指数的研究， 是一种更加基本的构造性研究，它的深入进行，已使得s t u r m - l i o u v i l l e 理论领域 面目为之一新在这一时期，s t u r m - l i o u v i l l e 理论系统，已基本上脱离了微分方程 的理论模式，而纳入到了h i l b e r t 函数空间无界线性算子的理论框架用算子的 方法和语言来装备s t u r m - l i o u v i l l e 理论，不仅大大扩展了问题的认识视野，而 且随之提出了一些更深入和更基础的新问题综言之，作为量子物理学的数学 支柱的近代s t u r m - l i o u v i l l e 理论，无论从其数学内蕴，处理方法以及语言形式， 与经典的问题相比，均已有了非常大的变异，并且基于其固有而深远的背景， 迄今仍然显得枝叶繁衍，生机傲然 根据自伴正则s t u r m - l i o u v i l l e 问题边条件所满足的充要条件可将边条件分 为分离性边条件与混合型边条件两种，大多数研究者从经典的s t u r m - l i o u v i l l e 问题出发研究的都是分离型边条件下的相关问题，而混合型边条件下正则 的s t u r m - l i o u v i l l e 问题研究较少，本文研究的就是正则s t u r m - l i o u v i l l e 问题在混 1 引言 合型边条件下的一些性质主要给出了混合型边条件下正则s t u r m - l i o u v i u e 问题 特征值分布和重数的一些相关结果，并进而研究了一类带转移条件的不连续 s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征值问题 1 2 本文的研究工作 本文我们处理的是混合型边条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，文献【4 】给出了 b = c = 0 且 1 时的结果，并且给出了两个q ( x ) = 0 时特征值全部都为二重特 征值的例子，最后提出当q ( x ) 0 时的特征值是否会出现二重这样一个遗留问 题未作研究本文在文献【4 】的基础上进一步展开研究 首先我们用t i t c h m a r c h 处理分离型自伴s t u r m - l i o u v i l l e 问题特征值和特征函 数的方法给出了混合边条件下该类问题特征值和特征函数的渐近式，并从此 出发证明了在混合型边条件下，当b 或c 0 且 1 时此类问题有可列个实 特征值，没有有限聚点，负特征值最多有有限个，并且充分大的特征值都是 单重特征值，而且特征值呈现的是一种异于分离型s t u r m - l i o u v i u e 问题特征值 分布的“均匀 分布其次，我们分别考虑了q ( x ) = 1 和g ( z ) = 0 时的混合型 s t t t r m - l i o u v i l l e 问题，当q ( z ) = 1 时证明了占= 士1 时的特征值全部都为二重特征 值，从而解决了袁小平在文献1 4 】中提出的问题当口( z ) = 0 时我们首先给出了 一个特征值是二重特征值的充要条件，由此充要条件给出一个推论，通过该 推论给出了混合型边条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征值有可能全部都为单 重特征值这一结果最后，在混合边条件下，我们研究了一类带转移边条件的 不连续s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征值问题 本文在证明充分大的特征值都是单重特征值时，并不是像t i t c h m a r c h 处理 分离型边条件下的s t u r m - l i o u v i u e 问题那样从特征值的渐近估计出发证明n 趋 于无穷大时7 ( a ) 不趋向于零，本文是通过应用复变函数论中的r o u c h e 定理， 转化成了求解三角函数方程解的个数问题，绕过了t i t c h m a r c h 方法中的超难估 计，巧妙地解决了这一问题；此外，在构造二重特征值的时候，由于二重特 征值必须满足7 ( a ) = 0 ，若直接从( a ) = 0 出发来求解的话，由于我们只能 得到( a ) 的渐近估计，所以从渐近估计式出发想要求出具体的数值时是非常 困难的，本文在构造二重特征值时，认识到了上述方法的不太可行性之后， 采用的是从特例出发来说明问题的思路，通过求解q ( x ) = 1 的情形下的混合 s t u r m - l i o u v i l l e 问题，最终解决了文献【4 】提出的问题 而且通过对q ( x ) = 1 情形的研究，我们还发现，混合型边条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题，特征值是否存在而且存在的话重数情况如何只与边条件中的o 、 内蒙古大学硕士学位论文 d 和0 有关，与b 和c 无关，而且当0 = 0 且0 + d 2 时，特征值不存在，当 6 = 士l 时，特征值的重数都为二 3 预备知识 第二章预备知识 2 1自伴s t u r m - l i o u v i l l e 问题边条件的两种标准形式 本文考虑的是混合自伴边条件下的正则s t u r m - l i o u v i l l e 问题，首先从自伴边 条件所满足的充要条件出发给出混合边条件的一种标准形式，即其余的混合 边条件都与此类边条件等价( 此处所谓的等价指的是通过初等行变换其中的 一个可以变为另外一个) 首先考虑如下的自伴s t u r m - l i o u v i l l e 问题： i 一矿+ q y = 蛔， ( 玩) 口1 1 y ( o ) + a 1 2 y ( o ) + b l l 可( 7 r ) + b 1 2 y ( 7 r ) = 0 ， i 口2 1 耖( o ) + 口2 2 ( o ) + 6 2 1 毫，( 万) + b 2 2 影7 ( 丌) = 0 其中q 为【0 ，7 r 】上的连续函数，a 及a i d ，b k t ( k ，l = 1 ，2 ) 均为复数 记 m = ( ：三兰) ，= b l l ：) ，q = 0 。1 ) 因( 岛) 的边条件是自伴边条件，故r a n k ( m ，n ) = 2 ，且m q m + = n q n * i ? 】 定理2 1 1 7 1 对( m ，n ) 施行初等行变换可化为如下两种标准型之一： n e i ob e 谢1 c e i od e w0 o ts i n o t0 0c o s 口 其中a ，b ，c ，d ，q ，卢均为实数，且o d b c = 1 我们称第( 1 ) 种形式对应的边条件为混合型边条件，第( 2 ) 种形式对应的边 条件为分离型边条件 记 fn e i o 尬= i c 一口 ( 2 1 1 ) 、l， ， 卢 、， 0 洫 o 1 s-o ) o 1 ( 、i， 2 = m 、， 4 谢 谢 驸 如 内蒙古大学硕士学位论文 幻= ( 。：q 萄：q ) ，飓= ( c ：卢s ；三p ) c 2 1 2 ， 定理2 1 2 【? 1q ，姚，肚，i = 1 ，2 ，如上所述，则有： ( 1 ) 尬q 埘= n 1 q n f ，m 2 q m ；= n 2 q n ； ( 2 1 3 ) r a n k ( m 1 ，1 ) = r a n k ( m 2 ，n 2 ) = 2 ( 2 ) 由( 尬，( i ) ) ，i = 1 ，2 所表示的自伴条件下的s t u 仃n - l i o u v i l l e 问题与由( m ，n ) 所表示的自伴边条件下的s t u r m - l i o u v i l l e 问题具有相同的特征值和特征函数 2 2c a u c h y 问题解的存在唯一性定理 定理2 2 1 【? lva ，6 r ，c h y 问题： 豪_ 纛 篇曼 三：嚣啪班 预备知识 于是 州= 6 + f o ( 一口+ f o 。( 一删下) 打) 出 = 6 一+ z 2 打( q ( 下) 一a ) 秒( 丁) 出 即 ! ，扛) = b 一们+ ( q ( r ) 一a ) 0 一 - ) u ( r ) d r 用逐次逼近法解此积分方程，取 o o ( x ，a ) = b n z 令 ，z l ，o n ( x ，a ) = q o o ( z ，入) + ( q ( t ) 一a ) ( z t ) u 0 - ) v 一1 0 ，) q d t ，n = 1 ，2 ，3 ， ，0 讨论收敛性，设 s u p1 9 ( z ) i l ，l a i n ，s u pl5 i o o ( x ，入) i k ， 一 0 z s 霄0 z 霄 那么 i 妒1 ( z ，入) 一伽( z ，a ) i = i ( g ( t ) 一入) ( z t ) 伽c t ，) q d t i ，0 k ( l + ) ( z t ) d t ，0 = k ( 三+ ) ( 一去 一t ) 2 ) 悟 = 1 k c l + n ) z 2 i i ，0 2 ( x ，a ) 一0 1 ( x ，a ) l = i ( g ( t ) 一a ) ( z 一) ( 妒1 ( t ，入) 一妒o ( t ，a ) ) d t i ，o ( l + ) 7 r i 妒1 ( z ，a ) 一妒o ( z ，a ) i d t ，霉 ，0 三m + ) 2 丌o z 黝t 2 j 1 1 k ( 工+ ) 2 7 r z 3 一般地。南 可得 a l ( x ，a ) 一( p o ( x ，a ) i i ( 9 ( ) 一a ) ( z t ) ( 妒n 一1 ( ，a ) 一妒n 一2 ( t ，a ) ) d t j 0 ，- z s ( l + ) 7 r i 一1 ( t ，a ) 一妒n 一2 ( ，：g l d t 州) 一“删盂靠k ( 工+ ”1 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 ，z ：l ( t ，a ) 一妒：一l ( t ，a ) = ( g c t ) 一a ) ( 妒n l ( t ，a ) 一妒n 一2 ( t ，a ) ) d t ，n = 2 ，3 ， ，o 一 ，茁 一n + o ( g c 幻一砷啪( t 。) d + 至上( 9 。) 一曲( q 。) 一吨o 。) ) 砒 ( z ) = ( 9 ( z ) 一a ) ( 加( z ，a ) + 乏二( 一1 ( z ，a ) 一妒n 一2 ( z ，a ) ) ) = ( 9 ( z ) 一a ) ( 咖( z ，a ) + ( ( z ，入) 一一l ( z ，a ) ) ) z ，霉 = ( - n + o ( 9 ) _ 柚啪o 。) d + 三上( g c t ) 一砷( 1 ( t 。) _ 2 0 。”出) i 弘。 签玑 预备知识 慨叫y 雠羔 8 口 内蒙古大学硕士学位论文 第三章混合边条件下s l 问题特征值的分布 本章从t i t c h m a r c h 处理分离型边条件下孓l 问题的方法出发，对混合边条 件下的情形作了详细的证明，得出问题( e ) 当b 或c 0 且 1 时具有可列 个实特征值，没有有限聚点，负特征值最多有有限个，充分大的特征值都是单 重特征值，且特征值呈现一种”均匀”分布 陔毫：船 慨， ( ”：p 则，入) + 6 e i 口m 卅出，入) n e 硼帅，a ) 拙卯坝叭) + 咖，入l( 3 1 2 ) 、 l c e i 95 i o ( o ，a ) + d e i 9 q 0 7 ( o ，a ) + ( 7 r ，a )c e 坩妒( o ，a ) + d e 硼妒7 ( o ，入) + 妒( 丌，a ) l 矧a l 。 混合边条件下l 问题特征值的分布 即 h l ( a e 坩妒( o ，a ) + b e 棚( o ，a ) + 妒( r ，a ) ) + h 2 ( a e 坩砂( o ，a ) + b e i p 妒7 ( o ，a ) + 妒( 7 r ，a ) ) = 0 h l ( c e 徊妒( o ，a ) + d e 硼( o ，a ) + ( 丌，a ) ) + h 2 ( c e 口妒( o ，a ) + d e 硼妒( o ，入) + 妒7 ( 7 r ，入) ) = 0 是一个关于i 1 1 ，h 2 的一个齐次线性方程组，a 为问题( e ) 的特征值的充要条件是 这个方程组有非平凡解令 ( a ) - p p 妒( o ，入) + b e i 口矿( o ，入) + 妒( 7 r ，a ) 口e 徊北a ) + 6 e 坩邢，入) + 地a ) i。 i c e 坩妒( o ，a ) + d e 坩( o ，入) + ( 7 r ，a ) c e 坩妒( o ，a ) + d e i 9 妒7 ( o ，a ) + ( 7 r ，a ) l 则上述齐次方程组存在非平凡解的充要条件是( a ) = 0 口 。 为方便下面的讨论，记 6 = 筹a ， n + 霸1 ) = 2 竹一要一( 卅， 砰) = 2 礼+ 妻一( 卅 3 2 本节主要定理 定理3 2 1 若b 或c 0 且例 1 ，则问题( e ) 具有可列个实特征值，没有有 限聚点，负特征值最多有有限个，且充分大的特征值都是单重的，特征值可分 为两组 a 9 ) 甚1 ， a 窘】箍1 ，且有渐近式 历= 霸) + d ( ( 3 2 3 ) 俩= 掣+ 0 ( 知 ( 3 2 4 ) 相应的特征函数分别为： 雪( 9 ) ) = c o s 礤1 ) z 一万a e i 霸o - 6 0s i n 霸1 ) z + 。( 击) ( 3 2 5 ) v1 一 t 地枘= c o s 霸2 ) z 一万a e i 霸o - 6sin霸2)z+。(元10 )( 3 2 6 ) v1 一。 t 内蒙古大学硕士学位论文 证明：设妒( z ，a ) ，妒( z ，a ) ，分别为下列c a u c h y 问题的解： 燕三矽 一y + q y = a y 妒( o ，a ) = d( 3 2 7 ) ( o ，a ) = 一c 则妒，妒的w r o n s k i a n 行列式w ( 妒，妒) ( z ) = w ( 妒，妒) ( o ) ：n d b e ：1 ，因而妒，妒是线性无 关的 记a = s 2 ，5 = 盯+ i t ，利用常数变易法可求得： 妒( z ，a ) - - - - b c o s 5 z a ss i n s x + ( 。s i n x s - r s 口( 丁) 可( 7 - ) d 7 ，s ，o s 。 妒。( z ，入) = 一a c o s s x s b s i n s x + c o s s ( 七一f ) g ( 丁) 秽( 7 - ) d r ， 妣：z + z 事叭r ) y ( r ) d r , ( 3 2 8 ) ( z ，a ) = 一c c o s3 z s d s i ns x + c o ss ( x r ) q ( r ) y ( r ) d r 利用t i t c h m a r c hf ? 】的方法，可得渐近式分别为 如a ) = 6 c o s s z + 。( 可e l t l x ) ， 傩础一十0 ( 静 以上两式对【o ，7 r 1 上的z 一致成立记 ( 3 2 9 ) w ( 入) ：in e i o i ，o ( o ) + 6 e 坩妒7 ( o ) + 妒( 7 r ，a ) a e 坩妒( o ) + 6 e i o 们) + 妒( 7 r ，a ) l 。 i c e 坩妒( o ) + d e 徊妒7 ( o ) - - i - 妒( 7 r ，a )c e 坩妒( o ) + d e i # 妒7 ( o ) + 妒7 ( 7 r ，a ) i i 妒( 7 r ，a ) e + 妒( 7 r ，a ) f 2 l 妒7 ( 7 r ，a ) 一e 坩妒7 ( 丌，a ) i ( 3 2 1 0 ) = 妒( 7 r ，a ) 妒( 7 r ，a ) ( e 坩+ 妒( 丌，a ) ) ( 妒( 7 r ，a ) 一e 埘) = ( 妒( 7 r ，入) 妒7 ( 7 r ，a ) 一妒( 7 r ，a ) 妒( 7 r ，a ) ) 一e 讲妒( 7 r ，a ) + e 2 坩+ e 谚妒( 7 r ，口) 注意到 i 矿( 妒，矽) = 1 ，即妒( 7 r ，a ) 妒( 7 r ，a ) 妒( 7 r ，a ) 妒7 ( 7 r ，a ) = 1 ， l l 混合边条件下孓l 问题特征值的分布 ( a ) = ( 妒( 7 r ，入) 妒( 丌，a ) 一妒( 丌，a ) 妒( 7 r ，a ) ) 一e i 口0 7 ( 丌，a ) + e 2 徊+ e i o 妒( 7 r ，口) = 1 + e 越9 + e i o ( 妒( 7 r ，a ) 一妒( 丌，a ) ) 三ei0气(2ecos+0：9d+co妒ss亿万：o,一ca妒粥!二二：。号荨， ( 3 2 1 1 ) = + 5 7 r + d ( ! ；) ) = e 棚( 口+ 掷+ c o s s 7 r + 。( 可e l t l 耳) ) 州s ) _ 6 + c o s s 呻( s ) = 。( 昔) ，如) = “5 ) + q ( s ) ， 则w ( a ) = e i o ( 口+ d ) 9 ( s ) 于是由定理( 2 1 3 ) 可知，入为旧) 的特征值当且仅当a 为9 ( s ) 的零点的平方 在a 平面上作封闭曲线= u ，= 0 ，1 ，2 ，) ， = 入= s 2 = ( 口+ 祝) 2 ii 口l = 2 n + 1 ，0 ts2 n + 1 ) ， = a = s 2 = ( 口+ i t ) 2 ii 仃i 2 n + 1 ，t = 2 n + 1 ) 因例 1 ，记6 = c o s 0 0 7 r ，0 m 饥 ，学) e i t l 丌，因此，对充分大的n ，当8 2 时有 扩( s ) i l q ( s ) i ，据r o u c h e 定理，g ( s ) 与9 ( 5 ) 在内的零点数相同，因9 4 ( s ) 在内 有2 n 个零点，故9 ( s ) 亦然，于是( a ) 在内有2 n 个零点，且无有限聚点若令 s = i t ，即a = - t 2 时，同样易证当i t l 充分大时，有扩( s ) l i q ( s ) l ，从而知w ( 一t 2 ) 0 ，这说明w ( a ) 的负零点个数有限 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 因9 。( s ) 在【2 n 一1 ，2 n 】上仅有一个零点矗1 ) = 2 n - - 1 a r c v _ a 3 s ( 一6 ) ，在 2 n ，2 n + 1 上仅 有一个零点t n ( 2 ) = 2 n + 昙a r e e o s ( 一6 ) ，故f l , 充分大时，9 ( s ) 在【2 n 一1 ，2 n + 1 1 上仅有 两个零点，用万， ；l ，2 ) 记之令 万：2 n + 稚) ，则l 错) l 1 将、万，代入 9 ( s ) 中有： 0 ：6 + c ( 2 n + 钟) 丌+ o c x 腼2 ) 1 即 0 = 6 + c o s f l ( k ) t r + d ( 去) c o s 钟7 r = 一6 + d ( 砉) 钟) = 千；1 盯c c 0 8 ( 一6 + d ( 云1 ) ) = 千要a r c c o s ( 一占) + d ( 元1 ) 其中k = 1 时取“一一，k = 2 时取“+ ， 因此 俩) - - - - 2 n - - 昙撇c o s ( 卅+ d ( 丢) = 靠1 ) + d ( 元1 ) ( 3 2 1 2 ) 、熠= 2 n + l 万a r c c ( 一6 ) + d ( 元1 ) = 砰) + d ( 丢) ( 3 2 1 3 ) 据( 3 2 1 0 3 2 1 1 ) 和( 3 2 6 ) 知。 出，a 妒) = 一翥s i n 删z + d ( 去) ( 3 2 1 4 ) 妒( z ，a 乎) = d c o s t ( k ) x + o ( 去) ( 3 2 1 5 ) 因为当n 充分大时，9 ( s ) 在 2 n 一1 ，2 n + 1 1 内仅有两个零点 入9 ) ，、a 乎) ，而、船、埒) ， 故、a g ) ，、a 窘) 均为夕( s ) 的简单零点，即( e ) 的充分大的特征值是简- 自0 - 的 记 西o ( z ，a 9 ) = c 袖o ( x ，a 9 ) + d n 妒( x ，a 9 )( 3 2 1 6 ) 则垂o ( z ，a 9 ) 为方程一y 7 + q ! ，= a 9 秒的解将( z ，a 9 ) 代入( e ) 的边条件则有： c n 妒( z ，a 9 ) + d n 妒( 。，入9 ) + 厶e 坩= 0 ( 3 2 1 7 ) c n 妒( z ，a 9 ) 一c n e 钼+ d n 砂( z ，a 9 ) = 0 ( 3 2 1 8 ) 因 k 鼎嚣剥删忙。 i 妒( 7 r ，a 9 ) 一e 硼 妒( 7 r ，a 9 ) 。v 7 。 混合边条件下孓l 问题特征值的分布 故( 3 2 1 5 3 2 1 6 ) 至少有一组非平凡解( c ，i ，如) 由( 3 2 1 2 3 2 1 3 ) 知： 妒( 9 ) = 一护+ d ( 去) 妒( 7 r ，入9 ) = 一面+ d ( 去) 当n 充分大时，妒( 7 r ，a 9 ) 0 ，故方程组( 3 2 1 5 3 2 1 6 ) 等价于方程( 3 2 1 5 ) 令蟊= 南，则 c n = 一智厶= 篙删 于是 州9 ) ) = 【1 口黜悃8 r n ( 1 ) x 一舄s i n 礤1 “。( 丢) l 令西( z ，娼) = o 靠1 圣o ( z ，蜡) ，则得( 3 2 3 ) 同理可得( 3 2 4 ) 1 4 口 内蒙古大学硕士学位论文 第四章 两个特殊情形下混合型s t u r m 一厶伽u 刎e 问题的特 征值情况 4 1q ( z ) 兰1 的情形 本节我们主要研究了当口( z ) 三1 时混合自伴边条件下s t u r m - l i o u v i l l e 问题特 征值的可能情形，从而间接地回答了袁小平文献【4 】中关于混合型边条件下 s t u r m - l i o u v i l l e 问题当口( z ) 0 时是否会出现二重特征值的猜想 当口( z ) 兰1 时，考虑问题( e ) ，我们可得如下定理： 定理4 1 1 若口( z ) 兰1 ，则( e ) 的特征值有以下性质 ( 1 ) 当a + d = 2 时，特征值全部都为二重特征值，特殊地，当p ：0 且口+ d ：2 即6 = 1 时，特征值都是二重特征值： ( 2 ) 特征值是否存在而且存在的话重数情况如何只与边条件中的o 、d 和口 有关，与b 和c 无关； ( 3 ) 当口= 0 时，该问题存在大于等于1 的特征值当且仅当n + d 2 或者 口- t - d - 2 ； ( 4 ) 当日= 0 时，该问题存在小于1 的特征值当且仅当一2 n + d o ： ( 5 ) 当疗= 0 且0s 口+ d 2 时，该问题不存在特征值? 融二秒融三耖 1 5 两个特殊情形下混合型s t u r r n l i o u v i l l e 问题的特征值情况 记a 一1 = s 2 ，由二阶常系数微分方程的通解公式可得： 妒( z ，a ) = n 啷船+ 宝s i n s z ， 妒( z ，a ) = 一a s s i n s z + b c o s s x ， 妒( z ，入) = c c 佣船+ 罢s i n s z ， ( z ，a ) = 一c s s i n s x + d c o s s z 记 i ( a ) ：p 9 妒( o ) + 6 e 坩( o ) + 妒( 7 r ，a ) n e 坩州+ 6 e 坩巾) + 地入) l。 i c e 胡妒( o ) + d e i 口o ( o ) + ( 丌，入) c e i 一妒( o ) + d e w 妒( o ) + 妒( 7 r ，入) 则 ( a ) ：1 0 2 e i o + b 2 e i o + 口c o s s 霄僦e t q 6 d qc c 0 8 s 7 r l 。 l a c e i o + b d e i o + b c o s s 7 r c 2 e i o + d 2 e i o + d c o s s 7 r i = i ( 铲+ 6 2 ) e 。+ a c o s s a r 【( c 2 - 4 - d 2 ) e 谢+ d c o s 8 7 r 一【( 口c + 6 d ) e 徊+ b c o s s ，r 【( a c + b a ) e 徊+ c c o s 8 7 f 】 = ( ( 矿+ b 2 ) ( c 2 + d 2 ) e 2 埘+ 口d c 0 8 28 7 1 + 【口( c 2 + d 2 ) + d ( n 2 + 6 2 ) 】 一【( a cq - b d ) 2 e 蕊一十6 c c 0 8 28 7 1 + ( b + c ) ( a c + b d ) e 硼c 0 88 7 f 】 = ( n 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) 一( a c + 6 d ) ( 2 ) 】e 2 讲+ ( a d b e ) c o s 2s i r + + b ( c 2