全等三角形教案.doc

111 全等三角形教学目标1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边教学重点全等三角形的性质教学难点找全等三角形的对应边、对应角教学过程提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全重合的2学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样3获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求导入新课将abc沿直线bc平移得def；将abc沿bc翻折180得到dbc；将abc旋转180得aed议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：abcdef，abcdbc，abcaed（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等例1如图，ocaobd，c和b，a和d是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角问题：ocaobd，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将oca翻折可以使oca与obd重合因为c和b、a和d是对应顶点，所以c和b重合，a和d重合c=b；a=d；aoc=dobac=db；oa=od；oc=ob总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻转、旋转的方法例2如图，已知abeacd，ade=aed，b=c，指出其他的对应边和对应角分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将abe和acd从复杂的图形中分离出来根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角解：对应角为bae和cad对应边为ab与ac、ae与ad、be与cd例3已知如图abcade，试找出对应边、对应角（由学生讨论完成）借鉴例2的方法，可以发现a=a，在两个三角形中a的对边分别是bc和de，所以bc和de是一组对应边而ab与ae显然不重合，所以ab与ad是一组对应边，剩下的ac与ae自然是一组对应边了再根据对应边所对的角是对应角可得b与d是对应角，acb与aed是对应角所以说对应边为ab与ad、ac与ae、bc与de对应角为a与a、b与d、acb与aed做法二：沿a与bc、de交点o的连线将abc翻折180后，它正好和ade重合这时就可找到对应边为：ab与ad、ac与ae、bc与de对应角为a与a、b与d、acb与aed课堂练习课本练习1课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素这也是这节课大家要重点掌握的找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素2旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素3平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素（二）根据位置元素来推理1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角作业课本习题1课后作业:新课堂板书设计131 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例1：（运动角度看问题）例2：（根据位置来推理）例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移位置法：对应角对应边，对应边对应角1121 三角形全等的条件（一）教学目标1三角形全等的“边边边”的条件2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程教学重点三角形全等的条件教学难点寻求三角形全等的条件教学过程创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形已知abcabc，找出其中相等的边与角图中相等的边是：ab=ab、bc=bc、ac=ac相等的角是：a=a、b=b、c=c展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）这是利用了全等三角形的定义来作图那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题导入新课1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做三角形一内角为30，一条边为3cm三角形两内角分别为30和50三角形两条边分别为4cm、6cm学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流结果展示：1只给定一条边时：只给定一个角时：2给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等下面我们就来逐一探索其余的三种情况已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1作图方法：先画一线段ab，使得ab=6cm，再分别以a、b为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作c，连结线段ac、bc，就可以得到三角形abc，使得它们的边长分别为ab=6cm，ac=8cm，bc=10cm2以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合这说明这些三角形都是全等的3特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形abc，根据前面作法，同样可以作出一个三角形abc，使ab=ab、ac=ac、bc=bc将abc剪下，发现两三角形重合这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“sss”用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“sss”是证明三角形全等的一个依据请看例题例如图，abc是一个钢架，ab=ac，ad是连结点a与bc中点d的支架求证：abdacd分析要证abdacd，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等证明：因为d是bc的中点所以bd=dc在abd和acd中所以abdacd（sss）生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等随堂练习如图，已知ac=fe、bc=de，点a、d、b、f在一条直线上，ad=fb要用“边边边”证明abcfde，除了已知中的ac=fe，bc=de以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？2课本练习课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律sss并利用它可以证明简单的三角形全等问题作业1复习巩固1、2课后作业：新课堂活动与探索如图，一个六边形钢架abcdef由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形如图（1）为其中的一种（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形如图（2）板书设计1321 三角形全等的条件（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（sss）二、例三、课堂练习四、小结三角形全等的条件（二）教学目标1三角形全等的“边角边”的条件2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3掌握三角形全等的“ss”条件，了解三角形的稳定性4能运用“ss”证明简单的三角形全等问题教学重点三角形全等的条件教学难点寻求三角形全等的条件教学过程一、创设情境，复习提问1怎样的两个三角形是全等三角形？2全等三角形的性质？3指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：abdace，ab与ac是对应边；图(2)中：abcaed，ad与ac是对应边三角形全等的判定的内容是什么？二、导入新课1三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，ac、bd相交于o，ao、bo、co、do的长度如图所标，abo和cdo是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：aoco，aob cod，bodo如果把oab绕着o点顺时针方向旋转，因为oaoc，所以可以使oa与oc重合；又因为aob cod， obod，所以点b与点d重合这样abo与cdo就完全重合(此外，还可以图1(1)中的ace绕着点a逆时针方向旋转cab的度数，也将与abd重合图1( 2)中的abc绕着点a旋转，使ab与ae重合，再把ade沿着ae(ab)翻折180两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：画dae45，在ad、ae上分别取 b、c，使 ab3.1cm， ac2.8cm连结bc，得abc按上述画法再画一个abc(2)把abc剪下来放到abc上，观察abc与abc是否能够完全重合？3边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“sas”)三、例题与练习1填空：(1)如图3，已知adbc，adcb，要用边角边公理证明abccda，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是adcb(已知)，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)(2)如图4，已知abac，adae，12，要用边角边公理证明abdace，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)2、例1 已知： adbc，ad cb(图3)求证：adccba问题：如果把图3中的adc沿着ca方向平移到adf的位置(如图5)，那么要证明adf ceb，除了adbc、adcb的条件外，还需要一个什么条件(af ce或ae cf)？怎样证明呢？例2 已知：abac、adae、12(图4)求证：abdace四、小 结：1根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件2找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理五、作 业：1已知：如图，abac，f、e分别是ab、ac的中点求证：abeacf2已知：点a、f、e、c在同一条直线上， afce，bedf，bedf求证：abecdf课后作业：新课堂三角形全等的条件（三）教学目标1三角形全等的条件：角边角、角角边2三角形全等条件小结3掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件4能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题教学重点已知两角一边的三角形全等探究教学难点灵活运用三角形全等条件证明教学过程提出问题，创设情境1复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：定义；sss；sas2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？1两角和它们的夹边2两角和其中一角的对边问题2：三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“asa”）问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形abc，能不能作一个abc，使a=a、b=b、ab=ab呢？先用量角器量出a与b的度数，再用直尺量出ab的边长画线段ab，使ab=ab分别以a、b为顶点，ab为一边作dab、eba，使dab=cab，eba=cba射线ad与be交于一点，记为c即可得到abc将abc与abc重叠，发现两三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“asa”）思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“asa”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题4：如图，在abc和def中，a=d，b=e，bc=ef，abc与def全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：a+b+c=d+e+f=180a=d，b=ea+b=d+ec=f在abc和def中abcdef（asa）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“aas”）例如下图，d在ab上，e在ac上，ab=ac，b=c求证：ad=ae分析ad和ae分别在adc和aeb中，所以要证ad=ae，只需证明adcaeb即可证明：在adc和aeb中所以adcaeb（asa）所以ad=ae随堂练习（一）课本练习1、2（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由答案：图（1）中由“asa”可证得acdacb图（2）由“aas”可证得acebdc课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义2判定定理：边边边（sss） 边角边（sas） 角边角（asa） 角角边（aas）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径作业1课本习题5、6、题课后作业：新课堂板书设计1323 三角形全等的条件（三）一、两角一边二、三角形全等的条件1两角及其夹边对应相等的两三角形全等（asa）2两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（aas）11.2 三角形全等的判定（第4课时）教学目标 索并掌握两个三角形全等的条件：“aas”，并能应用它们判别两个三角形 是否全等 经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维 敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“aas”教学难点探究出“aas”以及它们的应用教学过程（师生活动）设计理念复习旧识问题1：我们已经知道，三角形全等的判定方法有哪些？学生回答：“sss”“sas”“asa”.问题2：在“asa”中，假如这条边不是两角的夹边，那么这两个三角形还会全等吗？复习旧知，为探究“aas”做好衔接复习判别两个三角形全等的两个条件，提出判别全等的新问题，激发学生探究的欲望，提高学习的积极性探究新知 1.探究6 师：我们再看看下面的条件： 在abc和def中，ad，be，bcef，abc与def全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗？师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明学生独立思考，探究再小组合作完成师：你是怎么证明的？(让小组派代表上台板演)(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等这又反映了一个什么规律？指名学生回答，教师加以总结：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“aas”） 2.例3 师：下面我们看用“asa”、“aas“能否解决一些问题 展示教科书第12页例3让学生自己看题、审题 师：根据已知条件，能得出什么?又联系所求证的，该如何证明? (先独立探究，再与同桌或四人小组交换意见，再全班交流) 师：说说你的证明方法(让学生上台讲解) 生1： 生2： 根据学生的回答，教师板书(注意，条件的书写顺序) 师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了 3.探究7： (1)三角对应相等的两个三角形全等吗？ 师：想想，怎样来探究这个问题？ 学生思考，教师引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明 师：这一规律我们可以怎样表达？ 学生自由回答，教师加以总结：判定两个三角形全等我们已有了哪些方法？ 学生回答：sss sas asa aas留给学生充分思考的时间 让学生上台，创设学生展示自己探究成果的机会获得成功的体验激发再次探究的热情多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力.留给学生较充分的独立思考、探究的时间，在探究过程中，提高逻辑推理能力 与学生一起回顾证明方法，逐步培养反思的习惯，形成理性思维小结与作业小结提高师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获？让学生各抒己见，积极地在知识、学习方法、习惯等方面加以小结，以培养反思的习惯，培养理性思维巩固练习教科书第13页，练习第2题布置作业教科书第17页第12题.本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 1在几个探究中，设计了“自主探究合作交流”的主体形式，目的是先给学生独立思考的时间，提供给学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会。让自己的观点与别人的观点相互碰撞与补充，共同解决一些困难，从而培养学生独立探究的能力。创新能力、相互交流与合作的能力 2经历探究、发现规律之后，均安排了学生用自己的语言归纳与表达的环节这是因为学生的归纳整理、表达能力的提高并非是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程因此，我们在每堂课中都应予以重视，并积极鼓励，让学生大胆表达 3，在探究出新知识，或解决了一个问题后，引导学生及时对知识或方法进行回顾总结目的是让学生及时把新知识纳入已有的知识结构，从而构建更完整、更有效的知识体系，并可以逐步培养学生反思的习惯，获得更好的学习方法，也养成理性的思维习惯三角形全等的条件-直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、2、如图，rtabc中，直角边是 、 ，斜边是3、如图，abbe于c，debe于e，（1）若a=d，ab=de，则abc与def （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（2）若a=d，bc=ef，则abc与def （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若ab=de，bc=ef，则abc与def （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若ab=de，bc=ef，ac=df则abc与def （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a0 a+ b 0 b0a1个 b2个 c3个 d4个二、填空题：（每小题3分，共12分）13（3）= 、 （2）3 = 、 = 14任写一个与是同类项的单项式：_.15观察下列等式：想一想，等式左边各次幂的底数与右边幂的底数有什么关系，猜一猜可以得到什么规律.并把这个规律用等式写出来：_16与多项式的和是的多项式是_三、解答题（共72