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李彤彤 某些h o p f r t 数的h o p f 数结构! 某些h o p f 代数的h o p f * 代数结构 中文摘要 h o p f ，一代数结构是针对复h o p f 代数丽给出的k a s s e l 在 3 中给出了 g 岛( 2 ) 和龇4 ( 2 ) _ p _ _ i 的i h o p f 一代数结构，并且对量子化包络代数p ( 2 ) ) 进行了 详细的描述r h 于h o _ p f 代数与量子群在物理学和几何学中有着广泛的应用，因此 这一领域吸引了许多学者的关注 日( a g ) 是一类特殊的h o p f 4 数，它有六个生成元：a , b ，b - i c ，c - is d 生成， c h e n 曾在 1 中从量子群的角度给出它的定义并详细地描述了它的性质由于当 p o ，q 为撑次本原单位根时，h ( p ，留) 有一个一维商代数风( p ，g ) 同构于甩2 一 t a f t f 激a n ( q 。) 的d _ 艰嬲q u a n t u md o “b l ed ( 4 ( 9 。1 ) ) ，这样一个很好的性质 使人们对片( b q ) 表现出极大的兴趣本文所要研究的是：作为一类唰代数， h ( p ，g ) 是否存y w ：h o p f 一代数结构? 事实上，在本文的最后一部分，我们针对日( p ，q ) 中的一类锄代数日( 1 ，q 2 ) 进行讨论，而最终得出一结构在h ( i ，矿) 上是存在的，并且给出h ( t ，碍- 2 ) 上的 h o p f 一代数的结构和等价分类 文章的第二部分主要介绍一些有关丑硝代数、 ( 2 ) ) 和日( p ，g ) 的基本概 念和性质 第三部分介绍胁一代数结构的概念，并给出u 口( s l ( 2 ) ) 上五f h o p f 一代 数结构 第四部分给出了( s l ( 2 ) ) _ i z h o p f 一代数结构存在的充要条件，并给出了这 扬州大学硕士学位论文 些结构的等价分类，即定理4 5 和定理4 6 ： 定理4 5 玑有一个段强矿玳数结构当且仅当q 2 是一个实数或者孽为一个模为 1 的复数 定理4 6 在等价意义下，引理3 2 - 引理3 6 给出了u 的全部王锄矿一代数结构 第五部分是本文的重点，这部分首先给出了h ( 1 ，q 4 ) 1 - h o p f 一代数结构的三 个例子然后对日( 1 ，矿) 中的群样元和某些本原元的结构进行分析，得到一些相关 结论，即引理5 5 一引理5 8 ( 见p 2 9 - p 3 2 ) 然后得出了群样元b ，c 在映射下的像， 这就是引理5 9 ： 引理5 9 若日( 1 ，q _ 2 ) 有一 i h o p f - 代数结构，则或者矿= 6 ，c = c ；或者 矿= c ，= b 进而证明了日( 1 ，q 4 ) _ 1 2 h o p f 一代数结构存在条件，这也是一个充要条件，最后给 出了这些结构的等价分类，即定理5 1 0 和定理5 1 1 ： 定理5 1 0 日( 1 ，q 。2 ) 有一1 h o p f - 代数结构当且仅当9 2 是一个实数或者g 为 一个模为1 的复数 定理5 1 1 在等价意义下，引理5 1 一引理5 3 给出了日( 1 ，q - 2 ) 的全部唰- 代 数结构 关键词：月珂代数，牝结构 李彤彤 某些h o p 代数的肠k 代数结构 h o p f * - a l g e b r a s t r u c t u r e so ns o m eh o p f a l g e b r a s a b s t r a c t h o p f - a l g e b r as t r u c t i 聪sa t eg i v e nf o rc o m p l e xh o p fa l g e b r a s i n 【3 】，k a s s e lg a v e h o p f * - a l g e b r as m l c t u 螂o ng 乓( 2 ) a n d ( 2 ) ，a n d a l s od e s c r i b e dt h o s eo nt h e q u a n t u me n v e l o p i n ga l g e b r a ( s l ( 2 ) ) i nd e t m l a sh o p fa l g e b r a sa n dq u a n t u m g r o u p st h e o r yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i c a t e di np h y s i c sa n dg e o m e t r y , m o r ea n d m o r er e s e a r c h e r sh a v eb e e ns h o w i n gt h e i rg r e a ti n t e r e s t i n gi nt h i sa t e , a - ( p ，q ) i sas p e c i a lc l a s so f h o p f a l g e b r aw i t hs i xg e n e r a t o r s a , b ，b - i , g c - l , d c h e nd e f i n e di ta n dd e s c r i b e di t sp r o p e r t i e si n 【1 f r o mq u a n t u mg r o u pv e r s i o n w h e n p 0a n dqi s a n 刀- t hp r i m i t i v er o o to fu n i t y , - ( p ，q ) h a sa nn 4 - d i m e n s i o n a l q u o t i e n ta l g e b r a 巩( p ，g ) i s o m o r p h i ct o d ( 4 ( g 一) ) ，w h i c h i st h e d r m f e l d g 翮m 埘d o u b l e o fn 2 一d i m e n s i o n a l t a f t a l g e b r a 以( g 。1 ) t h i s d i s t i n g u i s h e d p r o p e r t yd r a w sp e o p l e si n t e r e s t i n go nz ( p ，q 1 a sac l a s so f h o p f a l g e b r a , d o e st h e r e e x i s ta n yh o p f - a l g e b r as t r u c t u r eo n h ( p ，q 17 t h a ti st h et o p i ct h a tw i l lb e d i s c u s s e di nt h i sp a p e r i nf a c t , i nt h el a s ts e c t i o n , w ed i s c u s s e dt h eh o p f a l g e b r a 日( 1 ，q 。2 ) ，w h i c hi sa k i n do fh ( p ，g ) w ec o n c l u d e dt h a t - s t r u c t u r e sd oe x i s to n 胃( 1 ，q 。2 ) ，a n dt h e e q u i v a l e n c ec l a s s i f i c a t i o no fh o p f 一s t r n c l u r e so n - ( t q 2a r eg i v 吼 i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n sa n dp r o p e r t i e s0 nh o p f a l g e b r a s ， e s p e c i a l l yf o r ( 西( 2 ) ) a n d 日( 1 ，严) i ns e c t i o n3 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fh o p f - a l g e b r as t r u c t u r e ，a n dg i v ef i v e h o p f 一a l g e b r as t r u c t u r e s0 1 1u q ( s l ( 2 ) ) i ns e c t i o n4 ，w eg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r u ( j z ( 2 ) ) t o a d m i t 扬州大学硕士学位论文 一4 ah o p f 一a l g e b r as t r u c t u r e ，a n dt h ee q u i v a l e n c ec l a s s i f i c a t i o no ft h e s es t r u c t u r e si n t h e o r e m 4 5a n dt h e o r e m 4 6 ： t h e o r e m 4 5 u q h a sa h o p f a l g e b r as l x a l e t u r ei fa n do n l y i fq 2i sar e a ln u m b e r 0 1 g i sa c o m p l e xn u m b e ro f m o d u l u s 1 t h e o r e m 4 6 l e m m a 3 2 一l _ e m m a 3 6 咖a l lh o p f - a l g e b r a s t l u e t o l e so n 虬i | p t oe q u i v a l e n c e t h ef i f t hs e c t i o ni st h em a i np a r to ft h i sp a p e r f i r s to fa l l ，w eg i v et h r e eh o p f - a l g e b r as t r u c t u r e so n 日( 1 ，矿) t h e nw ed e s c r i b et h e s h o c t u 鹏so fg r o u p l i k e e l e m e n t sa n ds o n i cp r i m i t i v ee l e m e n t si n 日( 1 ，q 五) ，a n dg e ts o r t i er e s u l t s , w h i c h 眦 s t a t e di n i e m m a 5 5 - l e m m a 5 8 ( s e ep 2 9 - p 3 2 ) t h e n w ed e s c r i b et h e i n a g o $ o f g r o u p - l i k ee l e m e n t sb , c u n d e rt h em o r p h i s m i nl e m m a5 9 ： l e m m a 5 9 i ft h e r ee x i s t sah o p f a l g e b r a s t r u c t u r eo n h ( 1 ，q 2 1 ，t h e n b = 6 a n d c + = c o rb = c a n d c = b t h e nw eg i v et h ee x i s t e n c ec o n d i t i o nf o rh o p f a l g e b r as t r u c t u r e so n 日( 1 ，矿) ， w h i c hi sa l s oan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f i n a l l y , w eg i v et h ee q u i v a l e n c e c l a s s i f i c a t i o n o f t h e s es t r u c t u r e s i n t h e e r e m 5 1 0 a n d t h e o r e m 5 1 1 ： t h e o r e m 5 1 0 h ( 1 ，q 。1 h a sa h o p f 。- a l g e b r as 协】a l 】r ei fa n do n l yi fq 2 i sar e a l n u m b e ro rqi sac o m p l e xn u m b e ro f m o d u l u s1 t h e o r e m 5 1 1 l e n l l n a 5 ，1 l e m m a 5 3g i v ea l lh o p f - a l g e b r a s t r u c 。f l l r e so n 日( 1 ，q 4 ) u p t oe q u i v a l e n c e k e y w o r d sa n d p h r a s e s ：h o p fa l g e b r a s ，* - s t r u e t r u e s 李彤彤 某些h o p 代数的h o p f * - 代数结构 ! 某些h o p f 代数的h o p f * - 代数结构 1 引言 h o p f 代数起源于二十世纪四十年代，主要由h o p f 对l i e 群的拓扑性质的公理 性研究 1 0 而给出的一种代数系统到t - - 十世纪六十年代，h o c h s c h i l d m o s t o w 在研究l i e 群的环表示的应用 1 1 及后续研究 1 2 ，1 3 ，1 4 中，发展和丰富了h o p f 的这一代数系统的理论，奠定了h o p f 代数理论的基本框架作为代数系统，h o p f 代数研究与应用的领域非常广泛 笼统地说，h o p f 代数是可能使得两个模张量积仍然是模的那部分代数既然 张量积是一个基本的运算，因此h o p f 代数必然与数学的很多内容，包括三缸理论 上的代数拓扑，数学物理到代数群等发生关系，从而导致h o p f 代数理论在量子学 和数学物理等方面的重要应用 1 5 关于h o p f 代数的最新发展，m o n t g o m e r y 和 k a s s e l 分鄹在文献 2 和 3 中做了非常系统的总结 h o p f 一代数结构是针对复h o p f 代数而提出的，在复h o p f 代数日中，给出 一个乖_ 结构要满足是一个反线性对合，并且要满足两个条件：0 3 它是一个实代数 反同态并且保持余乘法和余单位，对垤t t ，有s ( s ( x ) ) = x 因此对于一个 给定的复h o p f 代数日，在日上是否存在h o p f + 一结构以及如何确定这些+ 一结构， 是一个有趣的问题k a s s e l 在_ 3 中给出了g k ( 2 ) 和跹4 ( 2 ) 的h o p f 一代数结构 三招代数酊( 2 ) 的量子化包络代数( 酊( 2 ) ) 是一种特殊的啊代数，k a s s e l 在 3 中给出了其结构及基本性质的详细描述( j ，( 2 ) ) 引起了众多学者的研究 兴趣，x i a o 于1 9 9 7 年给出了u ( “( 2 ) ) 的有限维表示 1 6 】一 h ( p ，q ) 是另一类强耐代数，它的定义涉及到m ( p ，q ) ，c 行在 1 中定义并 指出肘( ，g ) 是一种非交换和非余交换的双代数，p ，q 是它的两个参数，它由 岛b ，g d 四个生成元生成，生成关系与( j z ( 2 ) ) 类似，局部化它生成元中的6 ，c 便 定义了h ( p ，q ) 事实上，肘0 ，g ) 是u ( p ，q ) 的一个子双代数，并且当g = 1 时 扬州大学硕士学位论文 ! 日( p ，g ) 有一个辫子结构( 6 m 触略s t r u c t u r e ) 另外，h ( p ，g ) 有一个有限维商代数 珥( p ，q ) ，当p o ，g 为一次本原单位根时，作为一个埘代数，只( p ，g ) 同构 于栉2 一维丁够代数4 l ( g 1 ) 的d r 打咖埘d o “b l ed ( 4 ( g 。) ) ，即峨( p ，g ) 兰d ( 4 ( g - 1 ) ) 之后，c h e n 又分别在 6 和 8 中描述了这类d r i n f e l dd o u b l e 的不可约表示和有限 维表示z h a n g ，w u ，三m 和c h e n 通过上述的同构关系给出了一类d r i n f e l d d o u b l e 的g r o t h e n d i e e k 群w a n g 和c h e n 亦通过上述的同构关系描述了一类 d r i n f e l dd o u b l e 上的g e n e r i c 模由此可见，日( b q ) 也是一类有趣的代数结构， 值得研究 本文主要从对( s z ( 2 ) ) 和- ( 1 ，q _ 2 ) ( g r o u p l i k ep 如脚肼) 和某些本 原元的性质分析入手，通过分析和证明先后找出这两类段孕旷代数上的h o p f 一代 数结构 本文的第3 节主要介绍了h o p f 一代数结构的定义，并给出些具体的例子， 第4 节主要通过论证得出了up ( 2 ) ) 上全部王蛔，厂一代数的结构及其等价分类 第5 节通过对日( 1 ，q - 2 ) 生成元中的群样元和某些本原元，以及生成关系的分析得 出了h ( 1 ，q _ 21 i ：全部h o p f 一代数结构及其等价分类 文中所用涉及相关的符号和记号参见文献 2 ， 3 李彤彤某些凰万代数的肠万。代数结构1 2 预备知识 本文在复数域七上展开讨论，除非特别指出，所出现的代数、余代数和h o p f 代 数等均是定义在复数域七上的，0 是指o 。用表示非负整数之全体，z 表示全 体整数之集，r 表示全体实数之集 下面我们给出本文中所需要的一些基本概念 定义2 1 2 ，d e f 1 1 1 一个后一代数( 有单位) 是一个露向量空间彳，且有两个 七一线性映射：乘法映射臃：a o a a 和单位映射口：老一a ，使下面两图交换： ( 彩结合律( 6 ) 单位 a 翁a o of 墼 醯 曩a 翌，且o _ 三竺 a 罗i 弋 自。墨f m a p 南 ! a 定义2 2 2 ，d e f 1 1 3 一个七一余代数( 有余单位) 是一个七一向量空间c ，且 有两个k 一线性映射：余乘法映射a ：g g 固0 和余单位映射e ：g 一七，使下面 两图交换： ( a ) 余结合律( 6 ) 余单位 c 鸟a o 口 a li 厶。“ 口喜c j 塑纶9 古。g 9 7l 弋 硒kj 6 夕鼬 趴l 啦 c o c 设c 是一个七一余代数一个元素g c 叫做群样元( g r o 印一l i k ee l e m e n t ) ，若 ( g ) = g 固g 且占( g ) = 1 c 中群样元全体记作g ( c ) ，则g ( c ) 是一个七一线性无 关集合( 见文献 2 或 7 ) 设岛h e g ( c ) ，一个元素x c 称为( & 厅) 一本原元，若 o ) = g o x + x 圆而显然，若x 是一个( g ，矗) 一本原元，则占( x ) = o 定义2 3 2 ，d e f 1 3 1 一个七一向量空间b 称为一个双代数，若( b ，仇，d 是 扬州大学硕士学位论文 苎 一个代数，( e ，e ) 是一个余代数，并且下列两个等价条件成立： 1 ) a 和是代数同态： 2 ) m 和口是余代数同态 定义2 。4 。 2 ，d e f 1 5 。1 设( 只仇，段，g ) 是一个双代数，则日称为一个衄咎矿 代数，若存在一个元素s 上砧m i ( 日，日) 是i 如的卷积逆，即满足 s 仇如= e ( h ) 1 日= 啊s 魄) ， v h c h s 称为日的反极元 1 生质2 5 2 ，p r o p 1 5 1 0 设为删代数，s 是其反极元，则 ( 1 ) s 是一个代数反同态，即 s ( h k ) = s ( 七) s ( 危) ，v h , k 日 且 s 0 ) = 1 ； ( 2 ) s 是一个余代数反同态，即 a 0 8 = r o 够圆8 ) 。且e o s = e ， 其中r 是普通的对换映射 。 下面我们回顾一下量子化包络代数= ( 盯( 2 ) ) 的定义及结构 3 设o g 七且g 1 = u ( 酊( 2 ) ) 是一个由四个元素e ，f ，k ，k 4 生成的代数， 具有如下关系：k k = k - 1 k = 1 ，肛k 一= q 2 e ，麟一= g - 2 f ，【e ，e l = _ k - - k - 广1 ， 口一口一 是一个觑彤代数，其余代数结构及反极元s 由下述等式给出： ( 功= 1 圆e + e o k ，占( 功= 一e k 4( 刀) = 0 ( f ) = k 1 0 f + f o l ，s ( f ) = 凹s 妒) = 0 a ( k ) = k o k ，s ( 砷= k 。1e 假) = 1 暇_ 1 ) = k _ 1 圆k _ 1s ( k _ 1 ) = ke ( k - 1 ) = 1 k 堆，n ，z 是的一组七一基 下面我们回顾一下有关高斯多项式的一些概念，在本文的证明过程中多次用 到这些知识，文献【3 ，p 7 4 ，p 1 2 1 q b 有过详细的描述 一 ! 丝丝丕兰璺型：垡墼堕丝型! 垡墼堕塑 一9 设o g j i ，对任意正整数再，设( 功。= l + 留+ + 碍卅= 等 ，当一 o 时，定 义以的g - 阶乘为( 帕。= 蛳”( 吐= ( q - d 百( q ：- r d - ( q “- d ，吣o ) ，嗍= 1 事实上，玎的g - 阶乘是q 的整系数多项式当口= 1 时即为通常情况下的阶乘 ，! 对o 七g 玎，定义高斯多项式系数为 盼揣， 设z 和y 是变量，满足量子交换关系y x = q x y ，则v 疗 o ，有 圳。丕桫t o 啦如 ， 设q 是k 中不同于1 和1 的可逆元，对任整数珂，令 m k ；_ q n _ q - 广n = g n 一1 + g 3 + + g n + 3 + g n + l ， q q 。 因此会有如下关系： 【一行k = 一m k ， 【m + n l = q “【仇b + q m 【n k 注意到：若口不是一个单位根，则对任意非零整数厅，m k 0 若g 是一个单位 根，设g 的阶为d ，即d 是使得矿= 1 的最小正整数由于我们假定g 士l ，所以 d 2 ，定义 f d若d 是奇数 8 2 1 d 2 ， 若d 是偶数 【 ，若d 是偶数 若当g 不是单位根时，可以取d = e = 易证；m k = 0 甘n 车o m o d e 设【o l ! = 1 ，而对正整数七，令嘲! ，= 【1 l 【2 】。【若o s 七s 刀，记 阻= 蒜， 弛妒棚川。= q 掣肾g 叫州阱 一塑型盔堂堡主兰垒堡塞竺 从而若交凯y 满足2 砂，则c 蚪仆静叫肾扩，h 地 引理2 6 在砜e o ，v ，j n ，z z ，有 a ( e f k l ，= 宝r - - - o 喜p 眦矿p 一。胛刑一 扣oi 。ll 。i 证明：见【3 ，p 1 4 3 注：从该引理可以看出：( ) 的表达式中每一项各张量因子中露的指数之 和与，的指数之和分别为j ，_ ，因此，当e f k 。e 7 f k 时，a ( f j k 。) 与 ( ) 的表达式中没有同类的项更一般地，设= 嘶， x r j = e t f i k l ，当f ，或，时，( b ) 与( 砷 ，) 的表达式中没有同类的 项， 下面我们介绍一下日( 1 ，g - 2 ) 的定义及结构 定义2 7 h o ，q 4 ) 是由口，b ，b - 1 , c ，c “1 和j 生成的一个代数，生成元的关系为 b a = q 4 a b ，d b = q 。2 b d ， c a = q - z a c ，d c = q - 2 c d ， b c ：c 6 ， d a q 。2 a d - - 1 一b c ，b b 一= 6 1 6 ：1 ：c c ：c 1 c 日( 1 ，q 4 ) 的余代数结构及反极元s 由下述等式给出 ( 4 ) = a p b + l a ，( 6 ) = 6 0 6 ， ( 6 。1 ) = 6 1 。6 ， ( d ) = d 固c + 1 。d ，( c ) = c p c ， a ( c - 1 1 = c 1 0 c ， ( 4 ) = f ( d ) = o ，占( 6 ) = s ( c ) = l ， 占p 。1 ) = f ( c ) - - 1 ， s ( 痒) = c 小，s ( 6 ) = 6 ，s ( 6 一) - - b ，s ( c ) = c 一，s ( c 一1 ) = c ，s ( 印= d o 一 h ( 1 ，q 。2 ) 为一个觑蹿矿代数 5 ，它有一组七一基为 4 。6 7 c 。d ”l i ，m n ，z z ) 李彤彤 某些h o p f 代数的h o p f * - 代数结构旦 3h o p f 誊- 代数的定义及例子 设k 是复数域给定一个复数z k ，记它的共轭复数为芽设v ，v 是复向量 空间，一个加法群同态_ ：v v 7 称为反线性的，若p ( a 口) = 耻( ) ，v a 毛口v 定义3 1 设( 日，m ，“，回是一个复月珂代数，称是一个月磅矿一代数， 若日上存在一个反线性对合，满足下述两个条件： ( 1 ) 映射是一个实代数反同态，即日到日”的一个实代数同态，并且保持余乘 法和余单位，即 ( x + ) = ( 嘞) 圆( 勘) + ， s ( x 1 = g ( x ) ，v x e h ； ( 2 ) 我们有s ( s ) ) + = x ， 垤日 h i 衙h o p f 一代数结构，与：是等价的，若存在日的一个h o p f f 磷x 自同构 9 ，使妒( ) = 妒( x ) ：，v x 日 设矿，是两个复向量空间，矿_ ，v + 是一个反线性映射，则 v 固v 斗y o ，v l v 2 卜v 1 o 哼仍是一个反线性映射记v 1 o 哼为“p 屹) 此 时定义3 1 ( 1 ) 中的后半部分可以写成 ( x ) - - 0 ( x ) ) ，p ( x ) = 孑丽= ( 占( x ) ) ， v x c h 在下面的引理3 2 - 3 6 中，我们将给出乩上的一些眉砭矿一代数结构 引理3 2 若= l ，则是一个吲一代数，其一结构由下式确定： e = e ，f = f ，k = k ，( k 。1 r = k 证明：( i ) 作为实数域上的代数，u 由i , e , f ，k ，k 1 生成，其中j 是虚数单位( e p i 2 = 一1 ) ，且f z ( ) ，的中心，e , f ，k ，k _ 1 满足上一章中给出的关系式引 理中给出的关系式及f = 一f 确定了u 到u 的一个实代数反同态，即到u ”的实 扬州大学硕士学位论文 代数同态 因此有 事实上，因为i g i = l ，所以g = 虿= 垡，( 9 2 ) = g - 2 ，( q - 2 ) = q 2 ( 足。) k + = 置( 五。) + = 1 = l ， k 。) e k = k - 1 e k = q 4 e = ( 9 2 ) 一e ， 鬈一1 ) f + k = 鬈- 1 f k = q 2 f = ( g 2 ) f + ， p h 删= 篙= 斜， 这就证得了确是的一个实代数反同态 显然，是一个反线性对合又因为 a ( e + ) = ( 占) = 1 。e + e 。足= 1 p e + e + 固量= ( ( e ) ) ， ( f + ) = ( f ) = 世一1 因f + f 。l = ( 置一1 ) 。f + f 。1 = ( ( f ) ) ， 占( 叫= 占( e ，= o = 羽，占( ，) = 占( f ) = o = 羽， ( r ) = s ( k ) = l = 羽，占弦) ) = s ( ) 小羽， 1 2 所以保持余乘法和余早位 ( i i ) 因为s 是的复代数反同态，是的反线性自同态且是实代数反同态，所 以u ，善h s ( s ( x ) ) ，是的一个复代数白同态- 自于 s ( s ( 州= s ( ( 一e k 。1 玎= s ( 一( ) f ) = s ( 一k 。1 e ) = ( 一s ( e ) s ( k 。) ) = ( 麟。k f = e + = e ， s ( s ( f ) ) = s ( ( 一腰) + ) = s ( 一r f ) k d = k ， p 砷衅卜 = 4 茁 麟q 置0弦 k o r f 吼 = o k 足 融卜 茁 = 置 p “ ，、 i i 、lj i i 、j 4 r 衅 “， 李彤彤 某些h o p f 代数的h o p f * q 弋数结构 = s ( 一s k ) 。= ( s ( k ) s ( f ) ) = ( 置一1 k f ) = f + = f ， s ( s ( 置) ) + = s ( ( ) ) = ( s ( ) ) = r = x ， s ( s ( ) ) = s ( k + ) = ( s ( 是) ) = k 一1 ) = ， 因此，v 茁，都有s 拶 ) + ) = 由( i ) ，( m 可知，当i g i = 1 时，等式e 。= e ，f 。= f ，k = k ，( k 一1 ) = 足一1 确定了 u 的一个聊一代数结构 口 引理3 3 在上，若q 为实数，则是一个h o p f 一代数，其一结构由下式 确定： e 。= k f ，f = 一，k = 足，( k - 1 ) = 置一 证明：( i ) 类似于引理3 2 ，首先证明引理中的等式及j = 一f 确定了u 的一个反线 性对合，且是一个实代数反同态因为g 是实数，所以9 2 是大于0 的实数，从 而( 9 2 ) + = 9 2 ，( g 。) = 矿，g = g ，( g 。) = g 一因此， ( k 一) k + = x ( 足1 ) = r = l ， ( k 。) e k = 置。1 胱= 麒= g e = ( 9 2 ) 一e ， ( k 1 ) f + k + = k - 1 e k _ 1 k = k 4 e = q 以f = ( g _ 2 ) ， f ，e = f e 一e f = 麟1 k f - k f e k 一 一酬】= 符= 鬻， ，一hi d d l 这就证得了确是的一个实代数反同态由于( ( k ) ) = k ， ( 引= ( 腰) = p k + = 麟k = e ， ( ( ) ) 书1 ， ( ( f ) ) + = ( 职。) = ( 置4 ) f = k f = f ， 扬州大学硕士学位论文 坚 所以+ 是一个反线住对台易验证保行余乘法和余单位 ( i i ) 因为s 是的复代数反同态，是的反线性自同态且是实代数反同态，所 以u 哼，x 卜s p ( 工) ) ，是u 的一个复代数自同态由于 s ( s ( e ) + ) = s ( ( 一e k 。1 ) ) = s ( 一k - 1 ) 五) = s ( - k 一1 置f ) = ( 一s ( f ) ) = ( x f ) = f + k = e k k = e ， s p ( f ) ) = s ( ( 一j = f ) ) = s ( 一f + 置+ ) = s ( 一e k 一1 足) = ( d ( e ) ) = ( 髓。) = ( 置。) j r = 眉一k f = ， s ( s t l r ) ) = s ( ( 置4 ) ) = ( s ( k 。”+ = k + = k ， s ( s ( 足。) + ) = s ( k + ) = ( s ( 茁) ) + = ( 定。) = x 一， 因此，v 。，都有s 够( 功) = 茹 由( i ) ，( i i ) 可5 5 ，当g 为实数时，等式矿= k f ，f = 麒一，k = 足，( k i ) = k 。1 确定了眈的一个凰一代数结构 口 引理3 4 在上，若g 为实数，则是一个h o p f + 一代数，其一结构由下式 确定， e + = 一j i z ，f = - e k 一，k = k ，( k - 1 ) + = 足一 证明：( i ) 类似于引理3 3 ，首先证明引理中的等式及r = 一绷自定了的一个反线 性对合，且是一个实代数反同态因为q 是实数，所以9 2 是大于0 的实数，从 而 ( 9 2 ) = 9 2 ，( ，) = 矿，g = g ，( 牙q r = 譬 因此， ( k - i ) k = f ( 足一) = 1 = 1 ， ( k - 1 ) e k + = - k 。1 删= 一联= 9 2 e - - ( q 2 ) e ， 李彤彤 某些凰z 矿代数的h o p f - 代数结构 ( 置- 1 ) f k = - k 。e k 1 k = 一k - 1 e = q 4 f + = ( 9 4 ) f ， ，e = f e 一昱f = 一e k ( - r e ) 一( 一天f ) ( 一e k 一1 ) 一酬酗，= 鲁= 错， 这就证得了确是的一个实代数反同态由于 ( ( 足) ) = ：t ：， ( ( r 一1 ) ) = = r 一1 ， ( f ) = ( 一腰) 。= - f k = 麟一k = e ， ( ( f ) ) = ( 一e k 4 ) = 一( ) f = k k f = ， 所以是一个反线性对合易验证保持余乘法和余单位 ( i i ) 因为s 是的复代数反同态，是吃的反线性自同态且是实代数反同态，所 以- * g ，x h s ( s ( x ) + ) + ，是的一个复代数自同态由于 s ( s ( e ) ) + = s ( ( 一e k 。) ) = s ( 一( p y = s ( 一置1 ( 一时) ) = ( s ( f ) ) = ( 一腰) + = - f k = 麟k = e ， s ( s ( f ) ) = s ( ( 一艘) ) = s ( r ) = s ( z k 。k ) + = ( s ( e ) ) = ( 一倒1 ) = 一1 ) f = - k q ( 羽) = f ， s ( s ( k ) ) + = s ( ( 髟。) ) = ( s ( x 。) ) + = k = k ， s ( s ( k 一1 ) + ) = s ( 芷+ ) = ( s ( 足) ) = ( k - 1 ) = 足- 1 ， 因此，v 善，都有s p 0 广) 。= 茹 由( i ) ，( i i ) n - 可9 9 l ，当g 为实数时，等式= 一k f ，f = 一e k ，= k ，( 足。1 ) + = 置。1 确定了瓯的一个h o p f 代数结构 口 扬卅大学硕士学位论文堑 引理3 5 在u 上，若日= 办，其中五为非0 实数，则是一个觑彤”代数， 其，一结构由下式确定， = 强，f = i e k 。，k = k ，( k 一1 ) = k i i e 明( i ) 类似于引理3 3 ，首先证明引理中的等式及f = 一f 确定了的一个反线 性对合，且是一个实代数反同态因为q = a ，其中a 为非0 实数，所以q 2 是 4 , - t - 0 的实数，从而( 9 2 ) = 9 2 ，( q - 2 ) = 9 4 ， g = 碍， ( g - 1 ) = 1 一 因此， ( k 。1 ) + k = ( i c 。1 ) = 1 一1 ， ( ) 矿k 。= i k 。k f k = i f k = q e = ( 9 2 ) + e ， ( k 1 ) f 置= i k 。j 滋_ 1 k = i k - 1 e = q - 2 f = ( g - 2 ) f ， f ，f = ，e 一e f = 觥。( 灯) 一衄( 麟4 ) 一叫噼篙= 鬻， 这就证得了+ 确是的一个实代数反同态由于 ( ( x ) + ) = 鬈，( ( 髟- 1 ) ) + = 置- 1 ， p ) = ( 脚) + = - i f k = - i 2 e k k = e ， ( ，) = ( i e k 。) = - i ( k 4 ) = 。2 k k f = f ， 所以是一个反线性对合易验证+ 保持余乘法和余单位 ( i i ) 因为s 是的复代数反同态，是的反线性自同态且是实代数反同态，所 以_ ，善卜s p ( x ) ) ，是的一个复代数自同态 由于 s ( s ( 引= s ( ( 以一1 ) + ) = s ( 一( ) e ) = s ( 书1 ( 衄) ) = ( 一心( f ) ) = ( 脚) + = - f k = 一i 2 e k k = e ， 奎丝丝苤些曼3 巡墼塑鱼型巡垫堕塑 旦 s ( s ( f ) ) = s ( ( 一j ( f ) ) = s ( f 置) = s ( 诅j i = 一t 足) = ( 一谬( e ) ) = ( 话x 4 ) = 一f ( k - 1 ) f = 彳2 k k f = f ， s ( s ( x ) ) = s ( ( 置。1 ) ) = ( s ( x q ) ) = k = 量， s ( s ( k 。) ) = s ( 置+ ) = ( s ( x ) ) = ( k 。) = 置一， 因此，忱，都有s ( s ) ) = 霉 由( i ) ，伍) 可知，当g = a i ，五为非0 实数时，等式= i k f ，f = i e k 一，k ：k 。 ( k 。) = x 一1 确定了q 的一 个 h o p f 代数结构 o 引理3 6 在上，若留= 办，其中名为非0 实数，则虬是一个凰谚一代数， 其一结构由下式确定， e = 韶，= 联q ，k = 量，( k 。) = k - 2 证明：类似于引理3 5 事实上， 彳亦可以看作虚数单位，在引理3 5 中用_ 彳代 替f 即得因此，当g = a i ，a 为非0 实数时，等式f = 一f ，f + = i e k 一，k ；k ， ( k - 1 ) = 置_ 1 确定了u 的一 个 h o p f 一代数结构 口 扬州大学硕士学位论文堡 4 上的聊和代数结构的分类 在本章中，我们将证明1 i 约h o p f _ 代数结构在等价的意义下只能是上一 章中给出的几种情况为此，我们先给出中的群样元和某些本原元的刻画 引理4 1 g ( ) = 足4 吣z f f g $ ：显然，k 8 g ( 皈) ，z 另一方面，由于 是的一组i 一基， i 舵a e f k 圆f p k ) 是o 的一组_ j 一基，设x = a ，z j