（基础数学专业论文）序压缩映射的若干新的不动点定理.pdf

摘要 本文中作者利用锥理论和单调迭代技巧对序压缩映射作了进一 步的研究，得到了一些序区间上新的压缩映射的唯一不动点定理。 全文共分为两节，第一节中主要介绍在本文中所要用到的一些基 本知识点。在第二节里作者将文献 2 、 7 中的完备度量空间条件转 化为半序空间，算子a 为作用于序区间上的自映射，此时a 不再要求 单增和连续，将映射条件放宽，并最终找到了唯一的不动点，改进和 推广了某些己知结果。主要结论为： 定理2 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。 设u 。，v 。e ，u 。v 。， u 。，v 。 是序区间，设映射a ： u 。，v 。 斗 u 。，v 。 满足条件：v u 、v u 。，v 。 ，若u 和v 是可比 较的，则a u 和a v 也是可比较的，且存在常数o h 喜，又若u 和a u 、 z v 和a v 是可比较的，则有 ( a u - a v ) v ( a v a u ) h ( ( a u u ) v ( u - a u ) + ( a v - v ) v ( v a v ) ) 则a 存在唯一不动点，且对v x e u 。，v 。 ，迭代序列 a x ) 收敛于a 的 这个不动点。 定理2 5 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。 设u 。，v 。e ，u 。v 。， u 。，v 。 是序区间，设映射a ： u 。，v 。 _ u 。，v 。 满足条件：存在非负数a 、口：、呜、d 。、d ，且n ， j i l ，v u 、v e u 。，v 。 ，若u 和v 是可比较的，则a u 和a v 也是可比 较的，又若u 和a u 、v 和a v 、u 和a v 、v 和a u 是可比较的，则有 ( a u a v ) v ( a v a u ) 口，( ( u v ) v ( v u ) ) + ，( a u u ) v ( u a u ) ) + 甜，( ( a v v ) v ( v a v ) ) + d 。( ( a v u ) v ( u a v ) ) + 口；( ( a u v ) v ( v a u ) ) i i i 则a 存在唯一不动点，且对v x u 。，v 。 ，迭代序列 a ”x ) 收敛于a 的 这个不动点。 关键词：锥；序压缩映射；不动点；混合单调算子 a b s t r a c t w i t ht h ec o n et h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h i sp a p e r m a i n l yi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ef i x e dp o i n to ft h e o r d e r i n gs y m m e t r i cc o n t r a c t i o nm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r , a n ds e t su p s e v e r a ln e wt h e o r e m so ff i x e dp o i n t t h ew h o l ep a p e rc o n c l u d e st w o c h a p t e r s m a i n l yi n t r o d u c t i o ni s c l i c k e di ns o m eb a s i ck n o w l e d g et h a ts h o u l do r i g i n a l l yb eu t i l i z e di nt h e p a p e ri nc h a p t e ro n e i nc h a p t e rt w o ，t h ew r i t e rc h a n g e s ( x ，d ) i nr e f e r e n c e 2 ， 7 】t ot h e p a r t i a lo r d e r i n gs p a c e o p e r a t o rai s am a p p i n gi n u o vo 】w i t h o u t i n c r e a s i n ga n dc o n t i n u i t y a n dt h i s p a p e rg e t s t h et h e o r e m so ft h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ef i x e dp o i n t s o m ec o v a i l a b l er e s u l t sa r e i m p r o v e da n dg e n e r a l i z e d t h em a i n l yt h e o r e m ： t h 2 1ei sar e a lb a n a c hs p a c e ，pi san o r m a lc o i t io f e ni sp o s i t i v e c o n s t a n t s u p p o s euo ，vo e ， u o vo ， uo ，vo i so r d e r i n gs p a c e ，a ： u 。，v0 u 。，v0 i s a l lo p e r a t o ra n ds a t i s f i e s ： 3 c o n s t a n to h 寺，v u 、v e u 。，v 0 ，i f ua n dv a r ec o m p a r a b l e ，t h e n a ua n da va r ec o m p a r a b l e ( a u a v ) v ( a v - a u ) h ( ( a u u ) v ( u - a u ) + ( a v v ) v ( v a v ) ) t h e n a h a s e x a c t l yo n ef i x e d p o i n tx + vx un ，v0 ，a n x 斗x + t h 2 5ei sar e a lb a n a c hs p a c e ，pi san o r m a lc o r no f e ni sp o s i t i v e c o n s t a n t s u p p o s eu 。，v 。e ， u 。v 。， u 。，v0 i so r d e r i n gs p a c e ，a ，v 。 _ u 。 i sa no p e r a t o ra n ds a t i s f i e s ： 5 j n o n n e g a t i v ec o n s t a n t 口l 、d 2 、d 3 、d 4 、口5 ，n ， 1 ，v u 、v u 。，v0 i = 1 v i fua n dva r ec o m p a r a b l e ，t h e na ua n da va r ec o m p a r a b l e a n d i fua n d a u ，va n d a v , ua n d a v , v a n d a ua y ec o m p a r a b l e ( a u a v ) v ( a v a u ) 口l ( ( u v ) v ( v u ) ) + 口：( a u u ) ( u a u ) ) + 口，( ( a v v ) v ( v a v ) ) + d 。( ( a v u ) ( u a v ) ) + 口5 ( ( a u v ) v ( v a u ) ) t h e n a h a se x a c t l yo n ef i x e dp o i n tx v x u 。，v 。 ，a x 寸x v v k e y w o r d sc o r n ；o r d e r e dc o n t r a c t i v em a p p i n g ；f i x e dp o i n t ：m i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r v i 第一节引言及预备知识 第一节引言及预备知识 对抽象空间上算予的研究，从1 9 2 2 年b a n a c h 的工作算起，已有近九十年的 历程。它的研究脉络一条是压缩算子、非压缩算子、扩张算子、非扩张算子等； 另一条是全连续算子、k 一级压缩算子、凝聚算子、u 。一凹算子、u 。一凸算子等； 第三条是保序算子、反序算子，上世纪末又出现了变序算子。本文对一类变序算 子的不动点进行了讨论。 具体地，本文利用“可比较的”这一概念，将文献 7 中的五类压缩映射进 行了改进，做成序压缩映射。将这几种序压缩映射作用在序区间上，从而得到唯 一的不动点，并证明了定理。另外，还给出了相应的结论。 张石生先生在“不动点理论及应用”一书中，给出了如下定理： 设( x ，d ) 是一完备度量空间，设t 是x 的自映象，若存在常数o o ，使得对0 x y ，有j | xj l nj lyj j ， 则称p 是正规的，n 为正规常数。 设“”是由锥p 确定的半序，对u ，v g ，若有u v 或v u 之一成立，则 称u 和v 是可比较的。当u 和v 是可比较的时，若v u ，则记u v v = u ：若u v ，则记u v v = v 引理1 “3 若u 和v 是可比较的，则u v 和v u 也是可比较的，且 臼( u v ) v ( v u ) 引理2 ”1 若u 和v ，u 和w ，w 和v 是可比较的，则 ( u v ) v ( v u ) ( ( u - w ) v ( w u ) + ( w v ) v ( v w ) ) 引理3 ”1 若对所有”，u 和v 。是可比较的，且v 。斗vo ( 一o o ) ，则u 和v 。是可比较的。 引理4 若对所有胛，u 。和v 。是可比较的，且u 。一uo ，v 。一v 。( 阿斗o 。) ： 则uo 和v 。是可比较的。 定义：设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设a ：e 斗e 是 连续的且满足存在常数o 口 1 ，有 ( a u a v ) v ( a v a u ) 口( ( u v ) v ( v u ) ) 此时称a 是一序压缩的，为序压缩常数。 第二节序b a n a c h 空问上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 第二节序b a n a c h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在 性定理 定理2 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u 。，vo e ， uo v o ， uo ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，yo 斗 uo ，vo 满足条件：v u 、 v e u 。，v 。 ，若u 和v 是可比较的，则a u 和a v 也是可比较的，且存在常数o l ，有 ( a u a v ) v ( a v a u ) 口( ( u v ) v ( v u ) ) 则a 存在唯一不动点，且对vx u 。，v 。 ，迭代序列 a x ) 收敛于a 的这个不动 点。 证明略【。 推论2 1 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设uo ，vo e ， u o vo ， uo ，v0 是序区间，设映射a ： uo ，vo 寸 uo ，vo 满足条件：存在 正整数p ，v u 、v u 。，v 。 ，若u 和v 是可比较的，则a u 和a 4v 也是可比 较的，且存在常数 0 l ，有( a 9u a9v ) v ( a9v a9u ) ( ( u v ) v ( v u ) ) 则a 存在唯一不动点，且对vx e u 。，v 。 ，迭代序列 a ”x ) 收敛于a 的这个不动 点。 证明：若( a9 u a 9v ) v ( a v a 9 u ) 口( ( u v ) v ( v u ) ) ，由定理2 1 可得 a ，存在唯一不动点，设为x + ，且对v x “u 。，v 。 ，迭代序列 a ”_ x ) 收敛于这个 不动点。 a9 ( a x + ) = a ( a ，x + ) = a x + ，故a x 也是a9 的一个不动点即a x + = x i ，所以x + 是a 的唯一不动点。 令 = 所p + ，o 0m 寸o o 故a ”x - - x + 定理2 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u 。，v 。e ， u o vo ， u 。，vo 是序区间，设映射a ： uo ，v0 斗 uo ，vo 满足条件：v u 、 v e u 。，v0 ，若u 和v 是可比较的，则a u 和a v 也是可比较的，且存在常数o 三，又若u 和a u 、v 和a v 是可比较的，则有 ( a u a v ) v ( a v a u ) h ( ( a u u ) v ( u - a u ) + ( a v v ) v ( v a v ) ) 则a 存在唯一不动点，且对v x e u 。，v 。 ，迭代序列( a ”x 收敛于a 的这个不动 点。 证明：定义迭代序列 u l = a uo ， u 2 = h u l 3 a2 “o ，uh “：a u = 胪1 1uo v l = a vo ， v 2 ：a v l2 a 2 vo ，v 卅l = a v ”：a 肿1vo 则( u 。 、( v 。) c i no ，vo u 。u ，以a 反复作用之，可得对所有 ，u 。和u 。是可比较的，则有 0 ( u 。1 一u 。) v ( u 。u ) = ( a u 。一a u ，1 ) v ( a u h a u 。) h ( ( a u 。一u 。) v ( u 。一a u 。) + ( a un - l - - u ) v ( u 一a u ) ) 2 h ( ( u ，+ l u 。) v ( u 。一u 。+ 1 ) + ( u 。一u 。一】) v ( u 。一】一u 。) ) 整理得( u 一u 。) v ( u 。一u “) f h i ( ( u 。一u “) v ( u 。，一u 。) ) 令2 f h ii 一九i n _ ( ( 旷u 。) v ( u 。飞) ) 纠，2 由o 圭得o p 1 第二节序b a n a c h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 u h u 。j j ”ni iu i uo 可证fu 。) 是c a u c h y 列，同理 v 。) 也是c a u c h y 列。由e 的闭性可得存在u + v + ，使得u 。一u + uo ，vo ，v 。斗v uo ，v0 ，由u 和v 是可比较的，则 对所有聍，u 。和v 。是可比较的，且 臼( u 。一v 。) v ( v 。一u 。) 2 ( a un - i - a v ，1 ) v ( a v ，l a u ) h ( ( a u 一un - 1 ) v ( u 一a u ) + ( a v 一v 。1 ) v ( v 一a v h ) ) 2 h ( ( u 。一u 。一1 ) v ( u 。一i u 。) + ( v 。一v 。一1 ) v ( v 。一l v 。) ) h “( ( u l uo ) v ( uo u i ) 十( v l vo ) v ( vo v 1 ) ) u 。一v 。f f h 卢“n ( f fu l uo | fv l v of | ) j ju + 一v + j j2 1 i 墨”u 。一v 。jj 1 1 粤乃“n ( u l uo ”+ v l v o ”) = o 。” 从而u + = v + 下证u + 是a 的一个不动点。 对于vn ，由于uo 和u 是可比较的，可得a ”u o = u 。和a ”u = u 。是可 比较的，令m 斗o o ，则u 。和u 是可比较的，从而a u 。和a u 是可比较的，而 a u 。= u 。l 再令n 呻o ou 一u + ，故u + 和a u 是可比较的。于是有 臼( a u 。一a u + ) v ( a u + a u 。) h ( ( a u 。一u 。) v ( u 。一a u 。) + ( a u u ) v ( u 一a u + ) ) a u ，= u 肿l u + ，u 。寸u + ， 当n 寸o o 一 ( a u + 一u + ) v ( u + 一a u ) h ( a u 一u + ) v ( u 一a u + ) 所以u + = a u + ，u + 是a 的个不动点。 若x 也是a 的一个不动点，x u 。，vo ，u 。x ，u 。和x + 可比较，以a 反复 作用之可得u 。和x + = a x + 是可比较的，令n 寸c o 得u + 和x + 是可比较的。会有 序压缩映射的若干新的爿i 动点定理 0 ( u 。x + ) v ( x o u + ) = ( a u + - a x ) v ( a x + - a u + ) h ( ( a u - u + ) v ( u o a u + ) + ( a x o x + ) v ( x o a x + ) ) = 0 所以x = u ，唯一性得证。 对vx uo ，v0 ，由x 和uo 是可比较的，a x 和a ”uo 也是可比较的，有 0 ( a ”x a “uo ) v ( a ”u 。一a ”x ) h ( ( a j 7 x a “x ) v ( a “x a “x ) + ( a ”u o a uo ) v ( a n - i uo - a ”u 。) ) h “( ( a x x ) v ( x a x ) + ( u 1 一uo ) v ( uo - - u 1 ) ) a ”x a ”u ol i h “n ( i ia x xl j + l iu j uoi i ) 斗o 当”斗o o 故a x 斗u + 推论22 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u o ，vo e ， uo vo ， u o ，vo 是序区间，设映射a ：f uo ，vo - - + uo ，vo 满足条件：存在 正整数p ，vu 、v e uo ，vo ，若u 和v 是可比较的，则a 9u 和a9v 也是可比 较的，且存在常数 1 o h 妄，又若u 和a e u 、v 和a pv 是可比较的，则有 ( a 9u a ”v ) v ( a9v a ”u ) h ( ( a9u u ) v ( u a9u ) + ( a p v v ) v ( v a 9v ) ) 则a 存在唯一不动点，且对vx e f u 。，v 。 ，迭代序列f a ”x 收敛于a 的这个不动 点。 证明：由定理2 2 可得a9 存在唯_ 不动点，设为x + ，且对vx u 。，v0 ，迭代序 列 ，x ) 收敛于这个不动点i ) ( + 。 a ”( a x + ) = a ( a 9 x ) = a x + ，故a x 也是a ，的一个不动点即a x + = x ，所以x + 是a 的唯一不动点。 令n 3 mp + o ， p v x u o ，v0 a 。x uo ，v 。 a 。x 和uo 是可比 第二节序b a n a c h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 较的，a ”( a jx ) 和a e uo 是可比较的，a ”( a x ) 和a ”u0 是可比较的，当m - o o ， a ”p u 。一x + 由引理3 a ”( a x ) = a ”x 和x + = a ”x + ，对vn ，是可比较的。 vu uo ，vo ，又若u 和h 9 u 是可比较的，令u = a 7x ，则a ”x 和a7x 是可比 较的。 护( a ”x - k ”x ) v ( a “x + 一a x ) = ( a 一”( a 7x ) 一h ”9 ( a 。x ) ) v ( a ”( a x + ) 一a ”( a7x ) ) h “。( ( a + 9 x h 。x ) v ( a 。x a + x ) + ( a 。+ 9 x + a x + ) v ( a 。x + - a 。+ 9 x ) ) = 矗口”一1 ( a 。+ 9x a x ) v ( a 。x a 。+ ”x ) i ia x x + i i h 口”1 n | | a x a 。x | j 斗0 - - 9 , 0 0 ，m o o 故a x 寸x + 定理2 3 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u 。，v 。e ， u o vo ， uo ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，vo 斗 uo ，vo 满足条件：存在 非负数n 、b 、c ，k a + b 十c 1 ，v u 、v uo ，vo ，若u 和v 是可比较的，则 a u 和a v 也是可比较的，又若u 和a u 、v 和a v 是可比较的，则有 ( a u a v ) v ( a v h u ) 口( ( a u u ) v ( u a u ) ) + 6 ( ( a v v ) v ( v a v ) ) + c ( ( u v ) v ( v u ) ) 则a 存在唯一不动点，且对v x u 。，v0 ，迭代序列 a ”x 收敛于a 的这个不动 点。 证明：定义迭代序列 u 1 = a uo ， u 2 = r u l 2 a 2 uo ，。un 十l = a u 日= a 肿u 。 v l = a vo ， v2 = a v i = a 2v o ，vh “= a vn = a “+ 1 vo 则 u 。) 、 v 。) 匕 uo ，v0 易知u 。和a u 。是可比较的 占( u 。+ j u 。) v ( u 。一u 。“) 2 ( h u 。一a u 。一1 ) v ( h u ，一】一a u 。) a ( ( a u 。一u 。) v ( u 。一a u 。) ) + b ( a u 一u ) v ( u ，1 一a u ) ) + c ( ( u 。一u ，i ) 序压缩映射的若干新的不动点定理 v ( u 一u 。) ) ( 一u 。) v ( u 。一u 。) 竽( ( u 。) v ( u 。) ) 4 p = 警 l a 1 一a ”( ( u 1 一uo ) v ( uo u 1 ) )n = l ，2 由a + b + c 1 得o 1 | | t l 一u 。”nf fu l uo | | 可证 u 。 是c a u c h y 列，同理fv 。) 也是c a u c h y 列。由e 的闭性可得存在u + ， v + ，使得u 。u + uo ，vo ，v 。斗v + uo ，vo ， 由u 和v 是可比较的，则 对所有n ，u 。和v 。是可比较的，且 0 ( u 。一v 。) v ( v 。一u 。) 2 ( a u 一i v ) v ( a v h k u ) a ( ( a u ) v ( u ，i a uh ) ) + b ( ( i v ) v ( vh h v ) ) + c a ( ( u 。一u ) v ( u 。) ) + 6 ( ( v 。一v ) v ( v 一v 。) ) + c ( ( u 。一u ) v ( u 。一i u 。) + ( u 。一v 。) v ( v 。一u 。) + ( v 。一v 。一1 ) v ( vnl - v 。) ) ( u 。- vn ) v ( v 。- un ) 竽( ( u 。一un - i ) v ( u 。一u 。) ) + _ b + c ( ( v 。) 1 一c 1 一c v ( v v 。) ) 警( ( u 。一uo ) v ( u 。一u ) ) + 等( ( v 一v 。) v ( v 。一 1 一cl c v ，) ) i i u 。v 。i l 卢”n ( _ a + 一c | | u 1 - - u 。b + c | 1v 1 - v 。| | ) l c1 一c 。v 川= l i r a 。i v 。峪l i r a 扩l n ( 等帅。“”篝 i p4 v 1 一vo 1 1 ) = o 从而u + = v + 同定理3 可证得u + 是a 的唯一不动点，且对vx uo ，vo ，a x 寸u + 第二节序b a n a c h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 推论2 3 1 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u 。，v 。e uo vo ， u o ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，vo 哼 uo ，v0 满足条件：存在 非负数口、b 、c ，且口+ 6 + c 1 ，vu 、v uo ，vo ，存在正整数p ，若u 和v 是 可比较的，则a u 和a v 也是可比较的，又若u 和a 9u 、v 和a pv 是可比较的， 则有 ( a 9u a9v ) v ( a 9v a 9 u ) 口( ( a pu u ) v ( u - a pu ) ) + 6 ( a 9 v v ) v ( v a pv ) ) + c ( ( u v ) v ( v - u ) ) 则a 存在唯一不动点，且对vx e u 。，v0 ，迭代序列 a “x ) 收敛于a 的这个不动 点。 证明：由定理2 3 可得a 9 存在唯一不动点，设为x ，且对vx u 。，v0 ，迭代 序列 a ”x ) 收敛于这个不动点x + 。 a9 ( a x ) = a ( a 9 x + ) = a x ，故a x 也是a9 的一个不动点即a x + = x + ，所以x + 是a 的唯一不动点。 令月= mp + ， o j pv x uo ，vo a x r uo ，vo a x 和l 10 是可比 较的，a9 ( a 。x ) 和a 9u 。是可比较的，a ”( a 。x ) 和a ” d o 是可比较的，当m 寸o o ， a ”9u o - - 9 x + 由引理3 a ”( a 。x ) 2a ”x 和x + = a ”x + ，对v ”，是可比较的。 vu uo ，vo ，又若u 和a 9u 是可比较的，令u = a 。x ，则a ”x 和a 。x 是可比 较的。 0 ( a ，x a x + ) v ( a ”x + 2 a n x ) = ( a ”( a x ) 一a ”9 ( a jx + ) ) v ( a ”( a x ) 一a ”( ajx ) ) l l i + c ( ( 胪批) v ( a x - a j + px ) ) 其中o 卢3 篙 1 l an x x + i i 导竺“n | 1a j + p x a jxi i - 4 , 0 竹叶o 。，m 呻。o l c 故a ”x 斗x 序压缩映射的若干新的刁；动点定理 定理2 4 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数a 设uo ，vo e ， u 。vo ， uo ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，vo 斗 uo ，v0 满足条件：v u 、 v u 。，vo ，若u 和v 是可比较的，则a u 和a v 也是可比较的，且存在常数0 厅 丢，又若u 和a v 、v 年 ia u 是可比较的，则有 ( a u a v ) v ( a v a u ) h ( ( a u v ) v ( v - a u ) 十( a v u ) v ( u a v ) ) 则a 存在唯一不动点，且x t - v x e u 。，v0 ，迭代序列 a “x 收敛于a 的这个不动 点。 证明：定义迭代序列 u i = a uo ， u 2 = a u i = a 2u 。，u 。+ l = a u h = a ”+ 1u 。 v 1 = a v 。， ”23 a ”i2 a2 ”o ，v ，+ 】2 a v ”= a + 1 ”o 则 u 。) 、 v 。) 仁 uo ，v0 u 。u ，以a 反复作用之，可得对所有 ，u ，和u 。是可比较的， u 2 = a u l = a 2 uo u 。，vo u o u2 ，即u 。和u2 也是可比较的，那么u 。和 a 。= u 可比较，则有 口( “一u 。) v ( u 。一“) = ( a u 。一a u ) v ( a u h a u 。) ( ( a u 。一u ，f ) v ( u ，i a u 。) 十( a u h 。) v ( u 。一a u 。i ) ) = h ( ( u 。+ i u 。一1 ) v ( u ，一i u 。+ j ) ) h ( ( u 。) v ( u 。一u 。【) + ( u 。一t l ) v ( u ，i u 。) ) 整理得( l in + l - u , ) v ( dn - - l n + 1 ) l - l h ( ( l i ，- u _ 1 ) v ( u 。一u j ) 令芦2 击 卢”( ( u 。一u 。) v ( 1 , 2o - b ) ) 玎：1 ，2 由o 三得。 声 l u 。1 一u 。“声”删u 1 一uo l l 可证 i j 。 是c a u c h y 列，同理 v 。) 也是c a u c h y 列。由e 的闭性可得存在u + 第二节序b a n a c h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 v + ，使得u 。_ u uo ，vo ，v 。呻v + uo ，vo ， 由u 和v 是可比较的，则 对所有n ，u 。和v 。是可比较的，且 目“。一v 。) v ( v 。一u 。) 2 ( a u h a v ) v ( a v 一a u ) h ( ( a u h v ) v ( v ，l a u ) + ( a vn - i - u ) v ( u 一a v ) ) 2 ( ( u 。v 。一】) v ( v 。一i u 。) + ( v 。一u 。一1 ) v ( un - l - - v 。) ) 自( ( uo - - v 。) v ( v 。一u 。) + ( v 。一v 。一1 ) v ( v ，l v 。) + ( u 。一v 。) v ( v 。u 。) 整理得 “。w 。) v “。刈。) 忐( ( u n - u _ i ) v ( hn _ 1 - un ) + ( vn-vn _ i ) v ( v 。一 v 。) ) 尚“u l 。) v ( u 0 - u i ) + ( v 1 。) v ( v 。一v i ) ) i i u 。飞憔南矿i i u 1 - - u 。i i + i iv ，一v 。i i ) u * - v * 忙一l i r a 。i i u n - y n | | l i r a 高 u o v l _ v 刈) = o 从而u = v + 下证u + 是a 的一个不动点。 同定理2 2 可知u 。和u + 是可比较的，a u 。和a u + 是可比较的，u + 和a u 是可 比较的。于是有 臼( a u 。a u ) v ( a u a u 。) h ( ( a u 。一u ) v ( u + 一a u 。) + ( a u4 一u 。) v ( u 。一a u + ) ) a u ，= u 州o u + ， u n 斗u ， 当, jo o 目( a u + 一u + ) v ( u + 一a u + ) h ( a u + 一u + ) v ( u + 一a u ) 所以u + = a u + ，u + 是a 的一个不动点。 唯一性易证。 1 1 序压缩映射的若干新的不动点定理 对v x e u 。，v0 ，由x 和uo 是可比较的，a ”x 和a u 。也是可比较的，有 臼( a ”x a “uo ) v ( a ”u o a x ) h ( ( a “x a “uo ) v ( a “一1 uo a ”x ) + ( a uo a , , - 1 x ) v ( d t - t x a ”uo ) ) h ( 2 ( a ”x a ”uo ) v ( a ”uo a ”x ) + ( a u o a “uo ) v ( a ”1 uo a uo ) 十( a ”x 整理得( a ”x a ”uo ) v ( a ”uo a ”x ) 南( ( a u o - u 0 ) v ( 圹k a uo ) + ( 胁一a “- lx ) v ( x 卅x ) ) _ _ 志f l “( ( u l - u o ) v ( l id - l 1 1 ) + ( a x _ x ) v ( x - a x ) ) f 1 a ”x a ”u 刈i 笔f l “n ( i iu 一u 。t l + l la x x 寸。当n c o 故a x - o u 推论2 41设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设uo ，vo e u o vo ， ud ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，vo _ uo ，vo 满足条件：v u 、 v e uo ，vo ，存在正整数p ，若u 和v 是可比较的，则a 9u 和a v 也是可比较 的，且存在常数。 丢，又若u 和a 9 v 、v 和a 9 u 是可比较的，则有 ( a 9u a ”v ) v ( a 9 v a 9u ) h ( ( a9u v ) v ( v a9u ) + ( a 9 v - u ) v ( u a 9v ) ) 则a 存在唯一不动点，目x c vx u 。，v 。 ，迭代序列 a ”x ) 收敛于a 的这个不动 点。 证明同匕。 定理2 5没e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中正规锥，n 为正规常数。设u 。，v 。e e u 。vo ， uo ，vo 是序区间，设映射a ： uo ，vo 寺 uo ，vo 满足条件：存在 5 非负数日l 、口2 、吗、口4 、d 5 ，且q l ，v u 、v u 。，vo ，若u 和v 是可比 f = j 第二节序b a n a e h 空间上的几种压缩映射的不动点唯一存在性定理 较的，则a u 和a v 也是可比较的，又若u 和a u 、v 和a v 、u 和a v 、v 和a u 是可比 较的，则有 ( a u a v ) v ( a v a u ) 口i ( ( u v ) v ( v u ) ) + 口2 ( a u u ) v ( u a u ) ) + 吒 ( ( a v v ) v ( v a v ) ) + 盯4 ( ( a v u ) v ( u a v ) ) + 口5 ( ( a u v ) v ( v a u ) ) 则a 存在唯一不动点，且对vx u 。，v 。 ，迭代序列 a ”x ) 收敛于a 的这个不动 点。 证明：定义迭代序列 u l = a uo ， u 2 = a u l = a 2 u o ，u 。“= a u 。= a 肿1uo v l = a vo ， v 2 = a v l = a 2 vo ，v “= a vn = a “+ 1v o 则 u 。) 、 v 。) c uo ，vo uo ul ，以a 反复作用之，可得对所有”，u 。和u 是可比较的， u z2 a u l 2 a 2 u o u 。，v 。 uo u2 ，即u 。和u2 也是可比较的，那么u 。和 a 2 u 。一m 可比较，则有 目( u 。+ l u 。) v ( u 。一u ) = ( a u 。一a u ) v ( a u h a u 。) d i ( ( u 。一u ) v ( u 一。) ) + 口2 ( ( a u 。一u 。) v ( u 。一a u 。) ) + a 3 ( ( a u + 1 一un - i ) v ( u 一a u ，1 ) ) + 口4 ( ( a u h 。) v ( u 。a u ) ) + d 5 ( ( a u 。一u ) v ( u 一k u 。) ) 2 a l ( ( u 。一u 。一1 ) v ( u 。一l u 。) ) + 口2 ( u 。+ l u 。) v ( u 。u 。“) + 日3 ( ( u 一u 。一i ) v ( u 一。) ) + 口5 ( ( u 1 h ) v ( u 一u ) ) 口l ( ( u 。一u 。一1 ) v ( u ，。一1 u 。) ) + 订2 ( u 。一u 。) v ( u ，一u 。+ 1 ) + 口3 ( ( u ，一u 。一1 ) v ( u 。一l u 。) ) + 口5 ( ( u 。+ 1 一u 。) v ( u 。u 。+ 1 ) ) + d 5 ( ( u 。一u 月一1 ) v ( u 。一i u 。) ) ( 1 ) 臼( u 。一“) v ( u 。】一u 。) = ( a u ，l a u 。) v ( a u 。一a u h ) a 【( ( u ，i 。) v ( u 。一i ) ) 十口2 ( ( a u 一u ，1 ) v ( u h a u h ) ) + q ( ( a u 。一u 。) 1 序压缩映射的若干新的不动点定理 v ( u 。一a u 。) ) + 口4 ( ( a u 。一u 。一1 ) v ( u 。一1 一a u 。) ) + 甜5 ( ( u 。一a u 。一1 ) v ( a u ，一l 一1 _ 1 。) ) a l ( ( u 。u 。一1 ) v ( u 。一i u 。) ) + d 2 ( u 。一u 。一i ) v ( u 。一1 一u 。) + 口3 ( ( u 。+ i u 。) v ( u 。一u 。+ 1 ) ) + 口4 ( ( u 。+ l u 。一1 ) v ( u 。一1 一u 。+ 1 ) ) 。l ( ( u 。一u 。一1 ) v ( u 。一1 u 。) ) + 口2 ( u 。一u 。一1 ) v ( u ，一l u 。) + 口3 ( ( u ，+ l u 。) v ( u 。一u 。“) ) + d 4 ( ( u 。+ 1 一u 。) v ( u 。一u 。+ 1 ) ) + 口4 ( ( u 。一u 。一1 ) v ( u 。一1 一u 。) ) ( 2 ) ( 1 ) 、( 2 ) 两式相加得 2 ( u 。+ l u 。) v ( u 。一u 。+ 1 ) ( 2 a l + a 2 十盘3 + d 4 + a 5 ) ( ( u 。一u 。一】) v ( u 。一1 一u 。) ) + ( a 2 + 日3