（机械电子工程专业论文）基于matlab的倒立摆控制及参数优化.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 作为一个典型的不稳定的非线性系统，倒立摆具有结构简单，成本低，便于用各种方 法进行控制的特点，因而倒立摆系统常被人们用来检验各种控制方法的优劣。倒立摆控制 的难点在摆起的控制，当前关于摆起控制的研究已经很多，但这些研究大多是在假定倒立 摆系统小车轨道足够长的前提下进行的。 本文总体介绍了倒立摆系统的研究现状，并构建了一级倒立摆数学模型，提出了倒立 摆控制中轨道长度受限所带来的控制难题。为解决该问题，本文引入摹矩阵的概念，利用 摹矩阵的多阶段决策寻优的方法，将单级倒立摆的摆起控制表示为一个求最短时间的多阶 段决策问题。通过采用v c 与m a t l a b 混合编程，实现了用摹矩阵方法寻找到单级倒立 摆摆起控制的最优路径与最优决策的目的。由于整个寻优过程中将小车位移与摆起时间均 为优化参数，该方法可以达到在长度受限的轨道上以较少的时间实现摆起的目的。本文通 + 过在s i m u l i n k 环境下对轨道长度受限的单级倒立摆的仿真控制和实时控制，证明了该方 法的可行性。同时，利用m a t l a b 的界面设计功能开发出了基于s i m u l i n k 的单级倒立摆 实时控制界面，操作简单，易于演示。 本文利用摹矩阵法寻优实现了在长度受限的短轨道上单级倒立摆的快速摆起控制，对 摹矩阵法在寻优控制中的应用进行了研究，全文通过理论分析，软件寻优和实时控制证明 了该方法的可行性。 关键词：摹矩阵，小车一单摆系统，摆起控制，s i m u l i n k ，实时控制，界面设计 第1 i 页武汉科技大学 硕士学位论文 a b s t r a c t a sat y p i c a lu n s t a b l en o n l i n e a rs y s t e m ，i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mh a ss i m p l es t r u c t u r e ，l o w c o s ta n di tc a nb ec o n t r o l l e db yk i n d so fm e t h o d s ，s ot h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi so f t e nu s e d t ot e s tv a r i o u sc o n t r o lm e t h o d st ok n o ww h e t h e rt h e ya r eg o o do rb a d t h ed i f f i c u l t yo fi n v e r t e d p e n d u l u mc o n t r o li ss w i n g - u pc o n t r 0 1 t h e r ea r em a n yr e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa b o u ti tn o w , b u t m o s to ft h er e s e a r c h e sa r eo nt h ep r e m i s eo ft h a tt h et r a c ko ft h ec a ri sl o n ge n o u g h t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h ec u r r e n ts i t u a t i o na b o u ti n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mr e s e a r c h e s ， b u i l tu pt h em a t h e m a t i c sm o d e lo fs i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u ma n dp o i n t e dt h ec o n t r o ld i f f i c u l t y c a u s e db yl i m i t e dt r a c k - l e n g t h t or e s o l v et h i sp r o b l e m ，t h ep a p e ru s e dm o d i - m a t r i x w i t ht h e u s eo fm u l t i s t a g ed e c i s i o no p t i m i z a t i o nm e t h o do ft h em o d i - m a t r i x ，t h es w i n g - u pc o n t r o lo ft h e s i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u mw a st r a n s l a t e di n t oap r o b l e mo fm u l t i - s t a g ed e c i s i o nf o rm i n i m u m t i m e t h r o u g hm i x e dp r o g r a m m i n gb e t w e e nv i s u a lc + + a n dm a t l a b ，i ti sr e a l i z e dt h a tu s i n g t h em e t h o do fm o d i - m a t r i xt of i n dt h eo p t i m a lp a t ha n do p t i m a ld e c i s i o no fs w i n g u pc o n t r o lo f t h es i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u m i nt h ew h o l e p r o c e s sl o o k i n gf o rt h eo p t i m a l ，t h ec a rd i s p l a c e m e n t a n dt h es w i n g - u pt i m ea r eo p t i m a lp a r a m e t e r s ，i ti sa c h i e v e dt h a tt os w i n gu pi nal i t t l et i m eo n a l i m i t e dt r a c k - l e n g t h t h es i m u l a t i o nc o n t r o la n dr e a lt i m ec o n t r o lf o rat r a c k - l e n g t hl i m i t e d s i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u ms h o w e dt h a tt h em e t h o di sf e a s i b l e a tt h es a m et i m e ，ar e a lt i m e c o n t r o li n t e r f a c eo fs i n g l ei n v e r t e dp e n d u l u mo nt h eb a s eo fs i m u l i n ki s d e v e l o p e dw i t h m a t l a b ，w h i c hi se a s yt ob eo p e r a t e da n dd e m o n s t r a t e d i ti sr e a l i z e dt h a tu s i n gt h em e t h o do fm o d i m a t r i xt os w i n gu pt h es i n g l ei n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e ms w i f t l yo nal i m i t e dt r a c k l e n g t h t h ep a p e rd i ds o m er e s e a r c h e so nt h e a p p l i c a t i o no fm o d i m a t r i xt ol o o k i n gf o ro p t i m a lc o n t r o l ，t h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，s o f t w a r e o p t i m i z a t i o na n dr e a lt i m ec o n t r o lp r o v e dt h a tt h em e t h o di sf e a s i b l e k e y w o r d s ：m o d i - m a t r i x ，c a r t p e n d u l u ms y s t e m ，s w i n g u pc o n t r o l ，s i m u l i n k ，r e a l t i m e c o n t r o l ，i n t e r f a c ed e s i g n 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 倒立摆系统的研究意义哪 第一章绪论 倒立摆系统的控制是控制理论应用的一个典型范例，其结构简单、成本较低，便于用 模拟或数字方法进行控制。虽然其结构形式多种多样，但无论何种结构，就其本身而言， 都是一个非最小相位、多变量、绝对不稳定的非线性系统。由于倒立摆系统的绝对不稳定 性，必须采取有效的措施稳定它。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程 中都有着广泛的用途。从日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题，到空 间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性。对其的稳定控制在 实际中也有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控 制、飞机安全着陆、机器人行走过程中的平衡控制等。同时，由于摩擦力的存在，该系统 具有一定的不确定性。对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键 问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例 进行研究。 随着倒立摆系统研究的不断深入，倒立摆系统的种类也由简单的单级倒立摆发展为多 种形式的倒立摆。如直线式倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、 二级、三级、四级乃至多级。常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成( 另有旋转式 倒立摆等形式) 。控制的目标一般都是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望位 置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。 由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新 的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定性的能力。也就是说，倒立摆 统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段通常有着用来检验控制策略有效性的 功能。 1 2 倒立摆系统的研究现状阻7 l 倒立摆的研究始于2 0 世纪5 0 年代，由麻省理工学院( m r r ) 的控制理论专家根据火箭 发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，接着研究人员又参照双足机器人的步行控制 问题研制了二级倒立摆，后来又在二级倒立摆上继续铰接一级或二级摆，提出了对三级和 四级倒立摆的控制研究，迸一步提高了检验控制理论或方法的能力，拓宽了控制理论和控 制方法的检验范围。1 9 6 6 年s c h a e f e r 和c a n n o n 应用b a n g - b a n g 控制理论i s ，将一个曲轴 稳定于倒置位置。其后，作为一个典型的不稳定、严重非线性的证例，提出了倒立摆的概 念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多 科学家的重视。倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题，也因此成为自 动控制实验中验证控制算法优劣及好坏的实验装置。在多种控制理论与方法的研究和应用 中，特别是工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，倒立摆可为此提供一个控制理论 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 通往实践的桥梁。 作为一个典型的被控对象，倒立摆适合用多种理论和方法进行控制。当前，常见的倒 立摆的控方法有以下几种： ( 1 ) 线性理论控制方法。将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统 在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制 器，如p i d 控制，状态反馈控制，l q r 控制算法【9 】等。这类方法对一二级的倒立摆( 线性化 后误差较小，模型较简单) 控制时可以解决常规倒立摆的稳定控制问题，但对于像非线性较 强模型较复杂的多变量系统( 三四级以及多级倒立摆) 线性系统设计方法的局限性就十分明 显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。 ( 2 ) 模糊控制【1 0 】【1 1 j 。经典的模糊控制器利用模糊集合理论将专家知识或操作人员经 验形成的语言规则，直接转化为自动控制策略。其设计不依靠对象精确的数学模型而是利 用其语言知识模型进行设计和修正，但常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，难 以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制 则，其控制效果也是难以保证。因此，常将模糊控制与其他控制方法相结合使用。 ( 3 ) 利用云模型实现对倒立摆的控制【1 2 1 。用云模型构成语言值，用语言值构成规则， 形成一种定性的推理机制。这种拟人式的控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅 依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模 型转换到语言控制规则器中，解决非线性问题和不确定性问题。 ( 4 ) 预测控制和变结构控制方法1 1 3 】。由于线性控制理论与倒立摆系统多变量，非线 性之间的矛盾使人们意识到了针对多变量，非线性对象采用具有非线性特性的多变量控制 解决多变量，非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制和变结构控制的研究。预 测控制是由工业过程控制领域发展起来的一种计算机控制算法，其特点是算法不基于对象 精确的数学模型，而是建立在对象的非参数模型基础上，既具有优化功能又引入了系统的 实时反馈信息。近年来，随着与其它控制技术的结合，它也开始应用于快速系统和非线性 系统中【1 4 1 1 5 l 。一般说来，预测控制是一种优化的控制方法，强调实模型的功能而不是结构。 变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统 的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制和变结构控制在理论上有较好的控制效 果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。 ( 5 ) 神经网络( n 如控制【1 6 】。神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，它能 够学习和适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息按等势分布贮存于网 络内的各种神经元，有很强的鲁棒性和容错性。早在1 9 8 3 年，b a r t o 等【r 7 】就设计了两个单 层神经网络，采用a h c ( a d a p t i v eh e u r i s t i cc r i t i c ) 学习算法实现状态离散化的倒立摆控制。 而在1 9 8 9 年，a n d e r s o n 【1 8 l 进一步用两个双层神经网络和a h c 方法实现了状态未离散化 的倒立摆系统的平衡控制。将神经网络理论应用于倒立摆系统的控制还有许多成功的例 子，由于神经网络理论本身的缺陷仍有一些问题需要解决，如在如何有效地获取神经网络 控制器的初始结构和参数值等方面就有许多问题值得探讨。虽然许多学者已经在这一方面 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 做了有益尝试并取得了一些成剁1 9 】，例如p a s e m a n n 等【冽提出了一种e n s ( e v o l u t i o no f n e u r a ls y s t e mb ys t o c h a s t i cs y n t h e s i s ) 算法来获取神经网络的内部结构和权值，但是神经网络 的多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择只有一种简单定性的指导原 则，如何进行定量的选择，特别是具体到倒立摆的应用上确定其层数、激发函数类型等就 更加困难了。 ( 6 ) 采用g a 与n n 相结合的算法。这种方法是首先建立倒立摆系统的数学模型，然 后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对 倒立摆的控制。由于神经网络的建立需要高质量的训练数据，而训练数据一般只能靠模型 预测得到，难以完全代表系统的真实结构；而且神经网络结构一旦建立，难以在线改变。 c h o w d h u r y 等1 2 1 j 将遗传算法应用于模糊神经网络结构中，利用可变长的染色体，基于模糊 逻辑与增强式学习算法相结合的函数推理，提出了m c a ( m e s s yg e n e t i ca l g o r i t h m s ) 算法进行 全局优化以及神经元模糊控制器的在线学习，有效地解决了这些问题。采用g a 学习的n n 控制器兼有b i n 的广泛映射能力和g a 快速收敛以及增强式学习等性能。 ( 7 ) 仿人智能控制i z 2 j 。模糊控制，神经网络控制等智能控制理论的问世促进了当代 自动控制理论的发展，然而基于这些智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和 相应的推理机，不利于实现实时控制，这又阻碍了智能控制理论的发展。因此又有学者提 出了一种新的理论仿人控制理论，仿人智能控制的基本思想是通过对人运动控制的宏观 结构和手动控制行为的综合模仿把人在控制中的动觉智能模型化，提出了仿人智能控制方 法。仿人智能控制视智能控制为对问题求解的二次映射的信息处理过程，即从“认知到判 断 的定性推理过程和从“判断到操作刀的定量处理过程，它不仅具有模糊控制理论那样 的并行、逻辑控制和语言控制的特点，而且还有以数学模型为基础的传统控制理论那样的 解析定量控制的特点。通过控制模态与控制策略的映射关系，可以对系统不同的状态采取 不同的控制方法，从而可以很好的应用各种控制策略，以达到满意的效果，各种控制不同 研究结果表明仿人智能控制方法解决复杂强非线性系统的控制具有很强的实用性。对于典 型的倒立摆的控制采用仿人智能控制也可以得到满意的效果。 ( 8 ) 其它的控制方法。如鲁棒控制以及多种智能控制方法相结合的方法等。例如模 糊自适应控制、分散鲁棒自适应控制等。 1 3 倒立摆系统的控制特点 图1 1 所示为直线一级倒立摆的系统模型【捌，单摆摆杆的一端通过铰链与小车连接， 另端可以在小车运动平面上自由运动。一般而言，对倒立摆的控制目的就是通过控制力 f 的作用，使小车左右运动，从而带动单摆的摆动，将单摆控制在倒立点( 0 = 兀) 附近。 在这种小车单摆系统中，摆杆的平衡位置有两个，一个是自然下垂位置( o = 0 ) ，一个是 竖直向上倒立的位置( 0 = 兀) 。单摆的倒立点是其重力势能最大的点，而系统稳定的充要 条件是势能为极小值。因而倒立点是一个不稳定的平衡位置，摆杆一旦偏离倒立点，即使 是很小的角度，也会导致整个系统失去平衡。 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 图1 1 直线一级倒立摆系统模型 根据倒立摆系统初始状态的不同，可以将倒立摆的控制问题分为两大类：倒立摆的摆 起控制和摆起后的稳定控制( 即稳摆控制) 。稳摆控制过程中，摆杆只是在倒立点位置附 近的一个很小范围内变化，可以对系统模型进行近似的线性化处理，从而可以运用成熟的 线性系统理论，因此，当前的研究成果很多，控制方法也比较成熟，如l q r 控制【2 4 1 ，p i d 冽 控制等。倒立摆的摆起的控制是一个非线性控制问题，其目的是使摆杆从自然下垂位置运 动到竖直向上的位置附近，以便于稳摆控制的实现。由于传统的控制理论主要是针对线性 系统，而摆起倒立控制是一个完全非线性的问题，对它的控制难度较大。摆起倒立控制的 研究很多，最典型如b a n g b a n g 控制1 2 6 l ，基于能量的甩起控制【明等。本文将重点讨论摆起 的控制问题。 1 4 本文的主要内容 第一章主要介绍倒立摆的研究和发展状况。 第二章是倒立摆数学模型的建立与摹矩阵理论的介绍，并指出摹矩阵理论与摆起控制 的联系，提出用摹矩阵寻优确定摆起控制策略的方法。 第三章将摹矩阵理论具体应用于摆起寻优，并利用v c 与m 矧a b 混合编程实现整 个寻优过程，找到摆起控制的最优策略。 第四章主要讲述倒立摆稳摆控制。 第五章利用m a t l a b 实现倒立摆的摆起与稳摆的仿真控制。 第六章倒立摆的实时控制。利用固高的倒立摆试验设备顺利实现倒立摆的实时控制， 并制作出人机交互的实时控制界面。 第七章总结与展望，对本文的优点与不足提出自己的看法。 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章摆起控制的研究与摹矩阵理论 2 1 一级倒立摆系统的模型的建立刚 为了在数学上推导和处理问题的方便，可作出如下假设： ( 1 ) 摆杆在运动中是不变形的刚体； ( 2 ) 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； ( 3 ) 小车在运动过程中，摩擦系数一定； ( 4 ) 忽略空气阻力； 基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统( 图2 1 ) ， 并将倒立摆的数学模型分解为小车和摆杆的受力模型，如图2 2 所示。 辩i m ( )( ) 图2 1 直线一级倒立摆系统 图2 2 ( a ) 小车隔离受力图 图2 2 ( b ) 摆杆隔离受力图 图2 2 倒立摆系统受力分析 图2 2 中，n 和p 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量，f 为小车受到的 作用力，x 为小车位移，巾为摆杆与垂直向上方向的夹角，0 为摆杆与垂直向下方向的夹 角( 考虑到摆杆初始位置为竖直向下) ，其余各参数的取值如下t 膨小车质量 1 0 9 6k g m摆杆质量0109k g b 小车摩擦系数 0 1n m s e e j 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0 2 5m i摆杆惯量00034k g m 2 由图2 2 ( a ) ，分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 胍- f 一舷一n ( 2 1 ) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： _ 朋 + l s i n 0 ) ( 2 - 2 ) 即：n 一歧+ ，拧z 痧c o s p m 1 0 2 s i n 0 ( 2 3 ) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： ( m + ，珂f + 6 面+ m l oc o s o - m 1 0 2s i n 0af( 2 4 ) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析( 图2 2 ( b ) ) ， 可以得到下面方程： p m g 。朋象( 1 e e s 口) ( 2 5 ) 即： p 一打曙。- m l o s i n 0 一m 1 0 2c o s o 力矩平衡方程如下： 一p l s i n o n l c o s oa ，痧 ( 2 6 ) 注意：此方程中力矩的方向，由于0 = 斛巾，e e s 4 , = - e e s o ，s i n 巾= s i n o ，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去p 和n ，得到第二个运动方程： ( ，+ m 1 2 妒+ m g l s i n 0 一- m l s i e e s o( 2 7 ) 用u 来代表被控对象的输入力f ，则运动方程组为： 似? 谚支鬈棚冶0 0 s 弘蒯酽虹仰叫 ( 2 8 ) iu + m 1 2 妒+ m g l s i n 0 一- m l s i c o s o 、7 设0 = 冗+ 巾仲是摆杆与垂直向上方向之间的夹角) ，假设巾无限趋近于零，则可以进行近 似处理：o a s o = - 1 ，s i n 0 = 一巾，( 鲁) 一o 。用u 来代表被控对象的输入力f ，线性化后 两个运动方程如下： j ( i + m l z 、二二) _ 。m g l 妒_ 2 ( 2 9 ) i ( m + m f + 蜮一，咒z 妒一“ 、7 可以得到系统的状态空间方程为： o 二垡竺! ：望： 哗+ m ) + m m l 00 0 一= 竺丝 ： y 。 i 】2 三 0 o 01 ：】巨 m 2 9 1 2 i ( m + 掰) + m m l 2 0 m g l ( m + 所1 i ( m + ，1 ) + m m l 2 懵 +i ( m i ( m 每l 仁捌 熹丽i ( 2 1 1 ) 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 由此可见，一级倒立摆实际上是一个单输人多输出的系统。将系统各参数值代人式 ( 2 1 0 ) 可以得到系统状态矩阵具体数值如下： 01 o0 0 8 8 3 o0 o 一0 2 3 5 7 2 2 摆起控制的研究降删 o0 0 6 2 9 30 o1 2 7 8 2 8 50 + ( 2 1 2 ) 对倒立摆系统的研究经历了几十年的发展，其间许多控制理论都成功的实现了对倒立 摆的控制。随着研究的进一步深入，人们不仅要求能成功的对倒立摆实现控制，而且对其 控制性能的优化也提出了进一步的要求。如摆起时间的长短，次数的多少，所需轨道的长 度等。倒立摆的研究可以归结为两个问题：一是如何快速的使得倒立摆从初始位置达到工 作位置的起摆控制；二是在工作平衡点的稳定控制问题。对于典型的一级倒立摆系统而言， 为使摆杆稳摆控制能顺利地进行，对进入稳摆阶段时摆杆的状态和小车的状态都有很高的 要求，而整个系统进入稳摆时的状态直接由摆起控制所决定，因此，整个控制过程能否成 功，摆起的控制是关键。 与平衡点的稳摆控制不同，摆起控制问题是复杂的非线性力学与控制问题，涉及到精 确模型，参数识别和有效的控制方法等一系列需要解决的关键问题，属于多学科研究的热 点，可看成是力学、控制学科等交叉的前沿科学。早在1 9 8 9 年t a k a h a s h i 刈就开始了摆 起控制问题的研究，1 9 9 6 年b r a d s h a w a t 3 5 】又对摆起控制问题作了进一步的研究。目前倒立 摆的起摆控制方法主要有以下几种：基于能量的控$ | j t 2 7 1 和b a n g b a n g 2 6 】控制、基于最优控 制【3 6 1 3 7 1 、基于智能控制【3 8 j 等。其中基于能量的控制方法和b a n g b a n g 控制应用较为广泛， 所谓的能量控制起摆就是起摆的过程中，通过不断增加摆杆摆动时的动能，加大摆杆的摆 动动作从而达到起摆的目的。b a n g b a n g 控制的实质也是通过不断增加单摆的能量最终实 现摆起的。目前这两种方法在倒立摆的摆起中的研究和应用中较多，文献【2 7 】详细讲述了 基于能量的控制理论，并实现了对直线一级摆的摆起控制。而文献【3 9 】也采用能量反馈的 方法完成了倒立摆的起摆控制。文献【4 0 】还在能量分析的基础上给出了单摆甩起时间最短 的优化方法。 2 3 摆起控制的难点 当前，在直线一级倒立摆的摆起控制中，以基于能量的b a n g - b a n g 控制的方法最为典 型。本文以b a n g b a n g 控制为例说明摆起中存在的问题。其控制规则如下1 2 3 1 ： 鹾吕：二： 眩 式( 2 1 3 ) 中e 一万一0 ，i l 为小车受到的控制力，“ 0 ，h 一 0 。这种控制方式在摆起 ，il-_-iil_-ij 2 6 3 6o 鼹0 药 o 2 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 过程中，当摆杆每次到达最高点，速度即将为零时，施加一反向控制力。从而保证摆杆能 量不断增加，直至最后摆起并以尽量小的速度倒立在平衡点附近。但实际的车摆系统中由 于小车轨道长度有限，可能在摆起中摆杆速度还没达到零，控制力还没来得及反向时，小 车就已经移动到了轨道末端，发生“撞墙 了。为此，文献 4 1 1 对b a n g b a n g 控制做了一 定的改进，仅在摆杆偏角位于一定范围内的时候对小车施加与摆杆角速度的方向相反的驱 动力，依次设计如下控制规律： j 加+ 距( _ 1 5 4 , o 】薏导? 0 ( 2 “) l u - 一，o 口( o ，+ 1 5 4 】并且口 ，怛) 。 把每一个部分叫做状态集合。彳叫做初态( i n i t i a ls t a t e ) 或者状态0 ，b ，c ，d 的叫做状 态1 ，2 ，3 。而e 点叫做终态( f i n a ls t a t e ) 或者状态4 。有向边的始点在状态i - 1 ，则终点一 定在状态f 。把相邻两个状态以及它们之间的有向边所构成的有向图叫做一个阶段( s t a g e ) 。 例如第2 阶段是由状态集合1 和2 以及它们之间的有向边所构成。可设状态集合1 中的顶 点叫做是第2 阶段的始态集。把状态2 中的顶点叫做是第2 阶段的末态集。图2 3 由四个 阶段所组成，叫做4 阶段有向图。当然有任意阶段数的多阶段有向图。如果每一条有向边 都赋有一个实数，理解为权或长度，这样的图是赋权多阶段有向图。 从a 到e 有若干条路。无论哪一条，它们都要经过四个阶段。路a b l c 田x e 就是其中 的一条。它的值( 长度) 等于1 9 。现要求从a 到e 的所有路径中的最短的路径。 对于图2 3 而言，规模不大，一共只有1 5 条路。可以用枚举算法来解决。但如果规模 很大，阶段数增加，不仅计算工作量大，而且难以在合理的时间内求出答案。 由于从彳到e 确实有路可通而且只有有限条路，所以最短路肯定存在。现在来考虑状 态c 处的两个顶点，无论如何，最短路总要经过c l 或者c 2 由文献 4 3 1 中关于最短路径的 定理5 4 知，如果它经过c 1 ，则从c 1 到e 的那段路，一定是最短的。是哪一条呢? 从c 1 到e 一共只有三条路，长度分别是1 3 ( = 6 + 7 ，经过d 1 ) ，1 2 ( = 6 + 6 ，经过d 2 ) 和8 ( = 5 + 3 ， 经过d 3 ) 。所以从c 1 到e 的最短路是经过d 3 的那一条，长度等于8 。可以记为： f 6 + 7 1 l ( c 1 ，e ) 一m i n 6 + 6 = 8 ( 2 1 5 ) l 5 + 3 j d ( c 。) = d ， ( 2 1 6 ) 这里z ( c 。，e ) 表示从c 。到e 的最短路的长度，式( 2 1 6 ) 表示从c 。到e 的最短路是“从c l 出发，下一个顶点是d ，再一。 如果最短路经过c ，而从c ，到e 只有两条路，于是有： z c c ：，e ，一m ；n 三：霎，一5 c 2 1 7 ， d ( c 2 ) = d 3 ( 2 1 8 ) 从状态集合c 倒退一步来考虑状态集合b 的三个顶点 b 。，b ：，b ，) 。从彳到e 的最 短路总要经过这三个顶点中的一个。如果经过e ，则从且出发的路，也应该是最短的。如 果是从且经过c ，再到e ，则从c 。到e 的路是最短的，它的长度已经算出，等于8 。所以 从且经过c 。，再到e 的最短路长应该是1 4 ( = 6 + 8 ) ，又从b 。经过c ：再到e 的最短路m - t ： 度等于8 ( = 3 + 5 ) 。写成式子有 z c b ，e ，= m ；n 霎二；篆：暑) 2 m ；n g ：；) 2 8 c 2 ，9 ， 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 式( 2 2 0 ) 表示从e 出发的最短路应该是“从b 。出发，下一个顶点是c ：，再 类 邶g ：端 - m i n 髑比 仁2 1 ， z c b ，e ，一m ；n 【1 4 4 + + i ，( 。c c l ：, ，e e ) ，) 。m t n ：二兰) 。9 c 2 2 3 ， 式( 2 2 4 ) 表示从丑，出发的最短路应该是：“从b ，出发，下一个顶点是c ，或者c ：，再。刀 跏黼1+i(b1,e剿)irain 4 i ( b r a i n 41+斗12 9 g25)8 l ( b 3e 8 9 z 似，e ) 一 + ：，e ) 一 | ( 2 i + ， ) il + i 顶点是召。而f 1 3 ( 2 2 0 ) ，从b 。出发的下一个顶点是c 2 ；再f 1 3 ( 2 1 8 ) ，知道再经过d ，而至于 2 4 2 摹矩阵理论及其应用 2 4 1 节中对图2 3 所示的最短路径问题的解法虽然能很好的解决这种路径最短的问 题，但应用起来比较繁琐。我国的运筹学专家秦裕瑗教提出的摹矩阵法使得这一计算过程 得到了极大的简化。摹矩阵的定义如下： 为了推广矩阵的概念，在实数的某一个集合s 中，规定两个运算，一是摹加法o ，另 一是摹乘法o ，它们能够满足下面的特性： ( 1 ) 对于s 中任何两个数的摹和以及摹积保证仍在s 中。 ( 2 ) 关于。和 的各自交换律和结合律成立。 ( 3 ) 分配律成立。 ( 4 ) 具有零元素z 和单位元素e 。 这样的系统叫做半域，记作岱，o ， ) 。而在半域上定义一类新的矩阵，叫做摹矩阵。 为了用摹矩阵来解决图2 3 的计算问题，先来建立一个半域。设所论的某实数集合s 包含 着实数全体尺，两个运算规定为 = + ，= m i n 。容易验证( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 都成立。零元素z 和 单位元素e 应该等于多少呢? 它们对于任意一个实数a ，要能起到零的作用和1 的作用， 应该有： 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 + ，即s = 怛】- u + ，m r 。所需的半域是( 忑，r a i n ，+ ) 。这种摹矩阵的摹加法和摹乘法也具 【；：弓】。 ：主三】。b 。三二】 匡量 。 兰三】2 【三茎】 在图2 3 中从c 。到b ，d ：和d ，的有向边的长度可以用摹矩阵记为： 上式中数字5 表示从行号c 1 到列号d 3 的有向边的长度。同理，从q ，d ：和d 。到e 的三 三堋6d 3 d ，ll 3ll “d 6 1 d 6 2 9 5 3 ， 南 ( 2 2 7 ) 由于从c ：到d 。没有边相连，为了把( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 写成式( 2 2 7 ) f f 擀：，可以假设它确实 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 d ld 2 c 2 【+ 0 0 4 岛 q 2 】 d 2 d 3 e 7 6 3 e c 2 5 d 3 】 在这个摹矩阵中，还可以把写零元素+ 的位置空置。上面两个式子可以合并为： c l c 2 d 2 6 4 e 7 6 3 一c 1 c 2 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 不难验证，为了计算从彳到e 的最短路及其长度，可以类似地写下四个阶段的摹矩阵， 再作摹乘法，就可得到答案。各个阶段的摹矩阵可以写为： s t a g e ( a 加彳占17 28 】，b 3 s t a g e ( b 胁：1 b 3 d i0 2d 3 d 1 一耳g 功= c c l ：【6 7 2 5 】心一一= 荟 c 2 3 7 4 e 7 6 3 从而有： l ( a ，目= s t a g e ( a ，口) s t a g e ( b ，o s t a g e ( c ，d ) os t a g e ( d ，d( 2 3 0 ) 所以，图2 3 所示的求a 到e 的最短路径问题可以通过摹矩阵得到解决，整个求解过程如 表2 1 所示t 表2 1 摹矩阵法求最短路径 c lc 2 s t a g e ( a = 彳占17 2 南 s t a g e ( b 胁复 。631 i b 3蚓 j s t a g e ( a ，c ) = s t a g e ( a ，b ) 0 s t a g e ( b ，c ) d l d 2d 3 c lc 2 s 一2 吣：646c l2 5 一a 7 1 b 。4 b 。】 s t a g e ( a ，d ) = s t a g e ( a ，c ) o s t a g e ( c , d ) 一 d ld 2d 3 一驴 一彳 1 3 c ，8 c 26 c ：】 s t a g e ( a ，d = s t a g e ( a ，d ) 0 s t a g e ( d , e ) 答案最短路长：9 = e a 9 o ，】 最短路径：a ，b l ，c 2 ，d 3 ，e 。 e 位佃 o o i ，j -。-_-l l 2 3 n d d o 3 1j d 5 2 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 表2 i q b s t a g e ( a , o 对应的矩阵表示从4 到c l 的最短长度是7 ，要经过口1 ，a n c ：的最 短长度是4 ，经渤1 。由s t a g e 似毋的值知最短路径为9 ，f l 了a n e 最短的路线为：彳，召1 ， c 2 ，d 3 ，e 。可见，摹矩阵法的求解思路和表达方式都比较清楚直观，而且能够在寻优的 过程中保存所经过的路径信息，可以很好的解决这种最短路径问题。 倒立摆的快速摆起问题属于时间最短的优化问题，摆起控制的最终目的是在摆起的 最后阶段摆杆的角度，角速度以及小车位移都在一定的范围内，以便于进行稳摆控制。 可以认为这个最终的状态就是最短路径中的终态。整个摆起控制可以分为许多依次相连 的控制阶段，不同的控制阶段倒立摆系统的受力不同，在各阶段控制力的作用下小车倒 立摆系统的状态( 角度，角速度，位移，速度) 会由一种状态向另外一种状态转变，倒 立摆系统各控制阶段完成时，系统的状态相当于最短路径中的节点a ，b ，c ，而由一 个状态向另一个状态转变时所需要的时间就相当于路径的长度。因此倒立摆的摆起控制 可以转化为确定由最初状态向终态转变的时间最短的路径。这里的最初状态即摆杆的角 度，角速度和小车位移，速度均为零时的状态，最短路径由最优的终态所对应的系统各 阶段的节点组成。 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章倒立摆的摆起控制 倒立摆的控制可分为两个阶段：第一个阶段是摆起控制问题，第二个阶段是平衡点的 稳摆控制问题。本文将采用摹矩阵的方法寻找摆起控制的最优路径，而对于平衡点附近的 稳摆控制采用l q r 控制方法。 3 2 基于摹矩阵方法的摆起控制 在摆起控制中，摆起控制的最终目的是使得摆杆从下垂位置( 9 = o ) 在尽可能短的时 间内摆起到上垂位置( 即使i 纠接近于石) ，同时蚓也尽量小。为达到这个目标，将整个控 制过程分为多个阶段来进行，每一个控制周期为一个阶段，各个阶段施加适当的控制力， 使系统从初始状态经过个阶段的控制后达到符合条件的最终状态。由于每个阶段所花的 时间都相等，因此第一个到达终态所花费的时间一定是最短的，也就是说倒立摆的摆起控 制可以表示为一个多阶段决策的最短路径的求解问题： m i n j - 三，( 七) + 口l 万一1 0 i i + p l x 一工。l + ) ，i 扫l ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) x - - x 。ls 屯，卜一川s 屯，川s6 i x - - x 。卜6 矿“- 恤+ ，u 一) 。 式( 3 1 ) 中厂( 七) 表示第k 阶段两节点间的长度值，即各个阶段控制时间的长度，而状态舡1 的第f 个节点到状态k 的第7 个节点的长度可表示为，伙) 。( 这里规定阶段k 对应的节点为 状态七) ，由于每个阶段均为一个控制周期，时间相等，所以可取，嘞。= ，；1 ；式( 3 2 ) 、 ( 3 3 ) 为单级倒立摆的动力学方程l 硐；如图2 1 ，图2 2 所示，f 为加在小车上的力，单位 n ，这里用u 代表f ，为简化计算，u 只取两个离散的值，且h + = 5 ，u - 5 ；x 为小车位移， 单位m ；0 为摆杆与垂直向下方向的央角，单位r a d ；n 表示到达最终目标所需的最少的决 策数；0 ，扫，为最终状态n 对应的摆杆角度，角速度和小车位移；为小车的目标 位置；a ，卢，) ，为相应权值。定义数组x ? 表示阶段k 中的第f 个节点的状态，x ! = 工；， 钟，劈，j ；) ，如x ：表示节点b l ，x ；表示节点c 2 等，如图3 1 所示。 券等器罴鱼m 蚕| 童万竺妻 萨一u 们i 叭 堂胛堕m 掣，旦 坚 生 、-、一o一 盟 堕 型 一 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 初态状态一状态二状态三 iiii 图3 1 倒立摆摆起的多阶段决策示意图 由图3 1 ，初始状态x o o = x ：，o o o ，o o ，戈： = o ，0 ，0 ，o 可记为a ( o ，0 ，0 ，o ) ， 从初始状态开始，可以得到各个阶段的摹矩阵，例如由状态a 向状态b 转变的摹矩阵为： s t a g e ( a ，b ) = 由状态b 向状态c 转变的摹矩阵为： s t a g e ( b ，c ) = b 1 b 2 在s t a g e ( a , b ) 中，土表示从a 到b 1 的时间为1 个控制周期且受力为+ ，其余类推； h 在s t a g e ( b ，a 中的的符号“ 表示相应的节点没有联系，也可以认为它们之间的长度 为+ 。 由于摹矩阵满足结合律，因此有： s t a g f _ , ( a 吩s t a g e ( a , b ) 。s t a g e ( b , c ) ：a 虐三c 2 皇兰1 l 马马岛b 2j 在s t a g e ( a ，c ) 中的第一项云表示由a 到c 1 的最短时间为2 个控制周期且经过节 点b 1 ，其余类推。根据结合律不难得到由a 到c ，由a 到d 由a 到终念的最短路径。 由于任意一阶段两端有联系的节点间长度值均为1 ，当k = n 时，由( 3 1 ) 式可得： m i n j 一+ 口卜一0 l l + 卢k 飞i + ) ，