（材料学专业论文）梯度结构硬质合金残余热应力的数值模拟.pdf

中南大学博士学位论文摘要 摘要 本研究主要采用有限元方法分析了梯度结构硬质合金在制备过 程中形成的宏观热应力，同时对于均质硬质合金内部微观热应力采用 有限元方法中的单胞模型进行分析，并与e s h e l b y 理论模型进行比较。 为了验证模型和分析结果的正确性，利用s e m 、x r d 、e d a x 等现 代材料分析与测试手段，对梯度结构硬质合金的成分、组织结构与性 能之间的关系进行了必要研究，得到以下结论： ( 1 ) 通过渗碳制备了具有三层结构的梯度硬质合金，外层贫钴，中间 层富钴，芯部为渗碳前的名义钴含量，该合金在硬度和韧性方面 均优于常规的均质硬质合金。 ( 2 ) 通过定义弹性约束因子，运用修正的混合律，建立了梯度硬质合 金的弹性本构关系，即得到了简化的体积比相关的复合材料杨氏 模量表达式，同时采用简单的混合律得到两相复合材料热膨胀系 数和泊松比表达式，该模型可以通过有限元软件m s c m a r c 2 0 0 5 实现，计算表明：渗碳后硬质合金在温度从8 0 0o c 下降到室温时， 材料表面产生了压应力，在富钴区产生了拉应力，要使表面存在 5 0 0 7 0 0 m p a 的压应力以阻止热裂纹产生，合金内钴的名义含量应 在1 5 w t 以上。 ( 3 ) 采用材料常数随温度变化的弹塑性本构关系有限元单胞模型分析 了均质硬质合金内部残余热应力。计算表明，增强相钴相内最大 拉应力为1 4 0 0 m p a ，基体碳化钨相内最大压应力为1 0 6 4 m p a ；当 钴相为非理想的椭球形状( 这里为圆柱形) 时，钴相内部有较大的 等效应力( 5 6 5 m p a ) ，且在应力集中处有塑性流动。 ( 4 ) 通过引入塑性约束因子，建立两相梯度复合材料弹塑性变形的本 构关系，较之以前研究者们建立的塑性本构，该塑性本构模型的 屈服准则是温度相关和体积比相关的，并可以通过有限元软件 m s c m a r c 2 0 0 5 实现，更符合客观实际，计算表明：相对于完全 弹性，渗碳后硬质合金引入塑性变形时，最大轴向应力为7 5 0 m p a ， 而最大等效应力为6 0 0 m p a ，下降了7 0 。 ( 5 ) 对于脱氮后得到的梯度硬质合金，采用同样方法，建立了弹塑性 本构关系，分析制备时产生的宏观残余热应力，计算得出：表面 两相区存在拉应力，向内逐渐过度到压应力，两相区最大拉应力 为14 0 m p a ，而芯部最大压应力为12 0 m p a 。 中南大学博士学位论文 摘要 ( 6 ) 采用有限元方法分析了均质基体和梯度基体单层和多层复合涂层 内部宏观残余热应力。t i c a 1 2 0 3 t i n 复合涂层温度从8 0 0 下降 到o 时，在t i n 涂层内以拉应力为主，在硬质合金基体内以压 应力为主。另外，t i c 涂层内，表现为拉应力，a 1 2 0 3 涂层为一应 力低谷，夹在两个高峰之间。 ( 7 ) 采用x r d 方法测试了渗碳后梯度硬质合金表面宏观残余应力，与 有限元计算有较好的符合。 关键词：梯度结构，硬质合金，约束因子，本构关系，有限元模型 中南大学博士学位论文a b s t r a c t a b s t r a ct i nt h ep r e s e n t s t u d y , m a c r o s t r e s s i n f u n c t i o n a l l yg r a d e dc e m e n t e d c a r b i d e sw a si n v e s t i g a t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，y e tm i c r o s t r e s si n h o m o g e n e o u sc e m e n t e dc a r b i d e sw a sa n a l y z e db yf i n i t ee l e m e n tu n i tm o d e l a n dc o m p a r e dt ot h er e s u l t so fe s h e l b yt h e o r e t i c a lm o d e l t op r o v et h e a c c u r a c y o ft h e m o d e l s ，t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r o p e r t i e s a n d m i c r o s t r u c t u r ef o rg r a d e dc e m e n t e dc a r b i d e sw e r es t u d i e db yu s i n gs e m ， x r da n de d a x ，f o l l o w i n gc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ： ( 1 ) g r a d e d c e m e n t e dc a r b i d e sh a v eb e e n d e v e l o p e db yp r e s i n t e r i n g c a r b o n d e f i c i e n tc o m p a c t sa n ds u b s e q u e n t l yc a r b u r i z i n g t h et h r e e - l a y e r e d s t r u c t u r eo ft h ec e m e n t e dc a r b i d e sw a sf o r m e da f t e rt h ec a r b u r i z a t i o n ，t h e o u t e rl a y e rw h i c hi sw c r i c h ，t h em i d d l el a y e rw h i c hi sc o r i c ha n dt h ei n n e r l a y e rw h i c hi sa s s i n t e r e dm i c r o s t r u c t u r e t h eg r a d e ds t r u c t u r eh a ss i g n i f i c a n t a d v a n c ec o m p a r e dt oc o n v e n t i o n a lc e m e n t e dc a r b i d e s ( 2 ) t h ee l a s t i cc o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fg r a d e dc e m e n t e dc a r b i d e sw e r ed e v e l o p e d b yt h ed e f i n i t i o no fe l a s t i cc o n s t r a i n tf a c t o ra n dm o d i f i e dm i x e dl a w , n a m e l y t h ef o r m a t i o no f y o u n g sm o d u l u sf o rc o m p o s i t em a t e r i a l sa c c o r d i n gt os i m p l e v o l u m ef r a c t i o na n dt h et h e r m a le x p a n s i o nc o e f f i c i e n ta n dp a s s i o nr a t i ow e r e o b t a i n e db ys i m p l em i x e dl a w t h em o d e lc a nb ea c h i e v e db yt h ef i n i t e e l e m e n ts o f t w a r eo fm s c m a r c 2 0 0 5 t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o ww h e nt h e t e m p e r a t u r ed r o p sf r o mi n i t i a l s t r e s s - f r e et e m p e r a t u r eo f8 0 0 0 ct or o o m t e m p e r a t u r e ，c o m p r e s s i v es t r e s sg e n e r a t e si nt h es u r f a c ez o n ea n dt e n s i l es t r e s s i nt h ec o r i c hz o n e ，a n dt h en o m i n a lc o b a l tc o n t e n ts h o u l db ea b o v e15 w t i no r d e rt oo b t a i n c o m p r e s s i v es t r e s s o f5 0 0 7 0 0 m p at o p r e v e n tt h e r m a l c r a c k i n go c c u r r e n c e s ( 3 ) t h em i c r o s t r e s si nh o m o g e n o u sc e m e n t e dc a r b i d e sw a sa n a n l y z e db yf i n i t e e l e m e n tu n i tc e l lm o d e lw h i c ht h e i rm a t e r i a l p a r a m e t e r sa r e v a r i e dw i t h t e m p e r a t u r e t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h em a x i m u mt e n s i l es t r e s si n t h er c i n f o r c e m e n tp h a s ec oi s14 0 0m p a ，t h em a x i m u mc o m p r e s s i v es t r e s si n m a t r i xw ci s10 6 4m p a ；w h e nt h ec op h a s ei sn o n i d e a le l l i p s o i d a ls h a p e ( h e r ei sc y l i n d r i c a ls h a p e ) ，t h e r ei sl a r g ee q u i v a l e n ts t r e s s ( 5 6 5m p a ) a n d p l a s t i cf l o wg e n e r a t e si ns t r e s sc o n c e n t r a t i o np l a c e ( 4 ) t h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o no fe l a s t o p l a s t i cd e f o r m a t i o no ff u n c t i o n a l l yg r a d e d c e m e n t e dc a r b i d e si s d e v e l o p e db yi n t r o d u c i n gp l a s t i c c o n s t r a i n tf a c t o r c o m p a r e dt oo t h e rr e s e a r c h e r s n o tl o n ga g o ，t h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o ni s t e m p e r a t u r e - d e p e n d e n t ，v o l u m ef r a c t i o nd e p e n d e n ta n dc o u l d b ea c h i e v e di n t h ef i n i t ee l e m e n ts o f e w a r e o fm s c m a r c 2 0 0 5 ，h a v i n g m o r eo b j e c t i v e r a t i o n a l i t y t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wi ne l a s t o p l a s t i cd e f o r m a t i o n ( c o m p a r e d t oe l a s t i c o n l y ) ，t h em a x i m u ma x i a ls t r e s si s7 5 0 m p aa n dt h em a x i m u m e q u i v a l e n ts t r e s si s6 0 0 m p a ，n a m e l y d e c r e a s e sb y7 0 ( 5 ) t h ee l a s t o p l a s t i cc o n s t i t u t i v er e l a t i o nf o rc e m e n t e dc a r b i d e sa f t e rd e n i t r i d i n g w a sd e v e l o p e da l s ob yc o n s t r a i n tf a c t o r s t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt e n s i l e s t r e s s e sg e n e r a t e si nt h es u r f a c et w o p h a s ez o n ea n dg r a d u a l l yt r a n s f e r t o c o m p r e s s i v es t r e s si nt h ei n n e rl a y e r ；t h em a x i m u m h y d r o s t a t i ct e n s i l es t r e s s i nt h et w o p h a s ez o n ei s14 0 m p aa n dt h eh y d r o s t a t i cc o m p r e s s i v es t r e s si nt h e c e n t r ei s12 0 m p a ( 6 ) t h et h e r m a lr e s i d u a lm a c r o s t r e s sf o rm o n o l a y e ra n dm u l t i l a y e ro fh o m o g e n o u s a n dg r a d e dc e m e n t e dc a r b i d e sw e r ei n v e s t i g a t e da l s ob yf i n i t ee l e m e n t m e t h o d w h e nt h e t e m p e r a t u r ed r o p s f r o m8 0 0 t o0 f o rt i c a l z 0 3 t i n c o m p o s i t ec o a t i n gw i t hc e m e n t e dc a r b i d es u b s t r a t e ，t h e r e i st e n s i l es t r e s si n t i nc o a t i n g t h e r ei sc o m p r e s s i v es t r e s si nc e m e n t e d c a r b i d es u b s t r a t e f u r t h e r m o r et h e r ei st e n s i l es t r e s si nt i cc o a t i n ga n dt h e s t r e s si na 1 2 0 3 c o a t i n gi ss m a l l e rt h a no t h e rc o a t i n gl a y e r s ( 7 ) t h em a c r o s t r e s si nt h es u r f a c ez o n eo fc e m e n t e dc a r b i d e sa f t e rc a r b u r i n gw a s m e a s u r e db yx r dm e t h o da n dt h er e s u l t sh a v eag o o da g r e e m e n tw i t ht h e c a l c u l a t e dr e s u l t s k e yw o r d s ：g r a d i e n ts t r u c t u r e ，c e m e n t e dc a r b i d e s ，c o n s t r a i n t f a c t o r , c o n s t i t u t i v er e l a t i o n ，f i n i t ee l e m e n tm o d e l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：扯作者签名：俚邈爨 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：皿年驻月也日 中南大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论弟一早珀v 匕 硬质合金作为一种工具新材料，它是以难熔金属硬质化合物( 通常是指元素 周期表中第、v 、族中过渡元素，钛、锆、铪；钒、铌、钽：铬、钼、钨的 碳化物，氮化物，硼化物和硅化物等) 为基，以铁族金属( 如钴、镍、铁) 等做 粘结金属，用粉末冶金方法制备的高硬度、高耐磨性材料【l 】。硬质合金具有高强 度、高硬度、高弹性模量、耐磨损、耐腐蚀、低热膨胀系数以及高化学稳定性等 特点，被誉为“工业的牙齿”，广泛地用作刀具、钻具、耐磨零部件等。梯度结构 硬质合金的产生为发展在极端条件下使用和综合性能的材料开辟了途径，适用了 现代加工技术的要求。 硬质合金的发明是材料发展史中，特别是近代工具材料发展史中的划时代变 革，它对世界工业的发展起着重要的推动作用，使人类开发自然的效率成十倍， 甚至上百倍的提耐到。尽管硬质合金在漫长的材料发展过程中只有短短九十余年 历史，由于它惊人的发展，其触角几乎伸到了国民经济的各个部门，已成为现代 社会和新技术领域不可缺少的工具材料和结构材料。 由于数值预测方法在材料科学与工程领域所取得的进步，近年来已发展起来 一个新兴的、令人激动的跨学科分支，这就是通常所说的“计算材料学”。它是 综合材料科学、物理学、计算机科学、数学、化学以及机械工程等学科而发展起 来的。例如材料物理领域，在原子尺度上利用分子动力学和蒙特卡罗方法关于晶 格及其缺陷动力学的模拟研究：机械工程领域与材料有关的关于大尺度结构问题 的模拟，是采用有限元法通过平均化本构定律包含了微结构的信息。通过建立模 型模拟材料的微结构及性能可以缩短实验时间，节约实验资源和费用，为材料科 学的研发提供结构设计方法和理论指导。因此，数值模拟方法不失为材料研究方 面的一种重要的手段和方法。 1 2 硬质合金发展历程 k 施律泰尔( s c h r s t e r ) 在德国第一个获得用粉末冶金技术制造碳化钨基硬质 合金工具的专利至今已有一个世纪【3 1 。在工具制造技术上，碳化钨基硬质合金的 问世是一个重要的进步。因为它首次使硬质碳化物能够成形，而且用于金属加工。 其后的许多专利涉及的是对基本概念和工艺的改进。由于这些努力的结果大大地 改进了硬质合金的质量，使切削速度增加了一个数量级，同时刀具寿命增加了三 中南火学博士学位论文第一章绪论 倍左右。 自从k 施律泰尔开辟了重要的新概念工作以来，直到市场上出现以涂层形 式的刀具为止，其间经历了近四十五年。作为回顾，值得奇怪的是在早期虽然做 了很多基本的研究，但没有出现涂层刀具，其原因从逻辑上讲，乃是当时已经满 足了刀具实际需要。 切削刀具必须满足两方面的要求：表面的和整体的要求。刀具表面必须能够 耐磨和抗崩刃，而整体必须是韧性的，能够阻止表面裂纹的发生。整体和表面都 必须是硬的，以防止塑性变形。应用同一种材料完全满足整体的和表面的要求是 困难的。因此，对韧性硬质基体和耐磨涂层所构成的复合刀具的研究，是和对理 想切削刀具广泛概念上的要求相一致的。 在选择涂层技术时，基本的考虑之一是在基体和涂层之间的粘结质量。由化 学作用或机械作用，或者两者都有而建立了粘结。为了产生以化学粘结为主，在 基体和涂层之间必须发生化学反应，或者必须有元素扩散，以在界面上形成固溶 体。 由于涂层复合刀具始终存在粘结质量问题，从上世纪八九十年代开始，出现 了一种全新概念的硬质合金，即梯度结构硬质合金 4 1 。该合金把切削刀具的表面 的和整体的要求做到了完美结合，大大提高了工具的性能和质量。 进入2 0 世纪9 0 年代以来，世界硬质合金工业，无论在生产技术和工艺装备 改进方面，还是在材质和品种开发方面都取得了长足的进步，并采取了一些新技 术、新工艺和新设备，从而进一步推动了硬质合金工业的发展，到2 0 0 0 年世界 硬质合金的产量已达3 0 0 0 0 多吨【5 。7 】。特别是随着金属陶瓷、高性能陶瓷、超硬 材料等新型硬质材料的发展，硬质合金则面临着严重的挑战。为了保持其在市场 上的地位，并开拓新的应用领域，在硬质合金领域中，正在通过工艺技术的改进 和创新，进一步提高硬质合金的功能和使用效能，不断丌发出一些新型硬质合金。 近年中国硬质合金工业快速发展，年产量超过世界硬质合金产量的三分之 一，就生产规模和生产量而言，中国已经成为世界硬质合金的第一生产大国，硬 质合金的品种齐全，绝大部分产品中国均能生产。据介绍，中国的硬质合金从 2 0 世纪5 0 年代起步，从无到有，不断发展，至今取得了令人瞩目的成就。2 0 世纪8 0 年代初期，世界硬质合金年产量在2 5 万吨时，中国硬质合金年产量约 5 0 0 0 吨：进入2 1 世纪，世界硬质合金年产量达到了3 8 万吨，而中国硬质合金 产量已经快速增长到1 5 万吨，超过世界硬质合金产量的三分之一。 1 3 梯度结构硬质合金 功能梯度材料系指成分或显微组织结构在空间呈现梯度变化而使材料物理、 2 中南大学博士学位论文 第一章绪论 化学和力学性能在空间具有相应梯度变化的材料。它可分为成分梯度材料、晶粒 度梯度材料和显微组织结构梯度材料等。功能梯度材料概念在1 9 8 7 年提出后， 为发展极端条件下使用的材料或超常综合性能材料开辟了途径，得到全世界材料 界的高度重视。 从均质材料向复合材料发展这是材料技术发展的大趋势。由于功能梯度硬质 合金独特的组织结构和性能，已成为当前f g m 及硬质合金领域的重要研究内容。 有人预测，梯度结构硬质合金的研究成功，将会使硬质合金的应用在涂层合金的 基础上再一次发生“革命性变化 。 上个世纪八九十年代，瑞典的s a n d v i k 公司开发了一种新的硬质合金材料， 被称为是上个世纪五十年代以来在硬质合金领域“最伟大的革新” s - l o 】。这种双 相( d p ) 专利技术使得硬质合金在韧性和耐磨损方面同时得到提高，或者说单独提 高一项而不影响其他。这种两相( d p ) 材料是通过改变钻头中钴相的分布，及形成 钴相梯度结构而得到的。这旱表面的钴含量约3 以得到高的耐磨性用来穿透岩 石；次表面的中间层钴含量约1 0 是钻头得到高的韧性和强度；而芯部的钴含量 约6 以平衡整个钻头的性能。这种钻头的硬度从表面层、中间层到芯部呈现由 高到低再到高的梯度分布。较之普通的硬质合金，这种双相( d p ) 梯度硬质合金的 服役寿命提高了4 0 。 有关钴相梯度结构的形成机理，专家们意见不统一。含1 1 相的硬质合金在渗 碳处理前，烧结体已基本致密。在液相温度下进行渗碳处理时，合金主要由固相 和液相组成。a f l i s o v s k y t l l , 1 2 】认为，毛细管力只在固相、液相和气相的三相界 面处存在。因此，羊建高等【l3 】认为含q 相的致密硬质合金烧结体在渗碳处理过 程中的钴相迁移是由毛细管力作用而引起的观点缺乏理论依据。根据 a f l i s o v s k y 的观点，在液相渗碳处理过程中，合金中不存在毛细管力的作用。 实验结果表明，在固相温度下对含1 相的硬质合金进行渗碳处理，也能得到钴相 呈梯度结构的两相区。固相渗碳处理过程中显然不存在毛细管力的作用。由此推 断，在固相渗碳处理过程中可能存在其它的驱动力，它促使钴原子向合金的中间 区域扩散。进一步实验观察发现，合金的表层含有较高的w c 含量，双相区内 某些与c o 相连的区域w c 晶粒呈现台阶状。因此，可以认为在固相渗碳处理过 程中，双相区内w c 晶粒的长大方式为w 原子和c 原子在w c 晶粒上呈二维台 阶生长。在渗碳处理过程中，渗碳剂中的活性碳原子向合金内扩散，与合金中的 1 1 相发生反应，所游离出的w 原子在合金中碳浓度梯度的作用下通过钴相向表 层扩散，与表层钴相中的碳原子结合，在原来的w c 晶粒上生长，扩散的结果 使得在合金w c 叶加w c 岬界面产生许多体积缺陷，促使钴原子向该区域扩散， 从而在合金中形成钴相梯度结构。 中南人学博士学位论文第一章绪论 为了提高硬质合金切削工具的使用寿命和切削性能，通常采用化学气相沉积 ( c v d ) 和物理气相沉积( p v d ) 方法在合金的表面涂上薄层的t i n 、t i c 、t i ( c n ) 和a 1 2 0 3 等高硬度耐磨材料【1 4 1 7 】，但是由于不同材料的热膨胀系数不同，涂层工 具材料在冷却过程中可能会由于热应力而产生裂纹【1 8 】。由于涂层材料的脆性， 因此，通常裂纹更加容易在涂层表面产生并向合金内部扩散，为了尽可能的防止 由于裂纹的产生和扩展而导致的材料失效，以获得高性能的硬质合金切削工具材 料。一种方法是：通常在涂层之前，对合金基体进行梯度烧结，经梯度烧结后的 涂层基体在其表面区域形成缺立方相碳化物和碳氮化合物的韧性区域，相应的粘 结剂的含量高于涂层基体名义粘结剂的含量，当涂层中形成的裂纹扩散到该区域 时，由于其良好的塑性和韧性，可以吸收裂纹扩散时的能量，因此能够有效的阻 止裂纹向合金内部的扩散，提高硬质合金切削工具的使用性能【l9 1 。 在( w ，t i ) c t i n ( t i ，w ) ( c ，n ) w c c o 硬质合金中，如果金属粘 结剂中含有溶解氮，在真空退火时，将产生无立方相碳化物和碳氮化物的外表层。 s u z u k i 最早建立了含氮硬质合金表面梯度层形成的动力学模型，他假定液相中的 氮含量降低决定了立方相碳化物的分解，并认为氮通过液相向外扩散形成无立方 相碳化物表面韧性区的过程由氮的扩散速率控制。随后s c h w a r t z k o p f 等指出了 s u z u k i 模型中存在的问题，他们认为，真空退火时，表面韧性层的成长速率受氮 向外扩散与钛向内扩散速率的综合作用控制。人们用碳扩散的过程，解释了通过 几个不同的工艺循环( 包括渗碳和脱碳) 在w c c o 硬质合金中形成大约2 0 0 p m 厚 梯度层的现象【2 u j 。 1 4 有限元方法 有限单元法最初是在二十世纪五十年代作为处理固体力学问题的方法出现 的，在1 9 4 5 - - - 1 9 5 5 这十年间发展起来的结构分析矩阵( 位移) 法可以说是它的 雏形【2 l 】。“有限单元法这一名称是克拉夫( c l o u g h ) 2 2 】在1 9 6 0 年首先引用的， 第一个成功的尝试是对飞机结构的分析。 1 9 5 6 年t u r n e r 、c l o u g h 把刚架位移法( 直接刚度法) 【2 3 】应用到弹性力学平面 应力问题中去，他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元 。与矩阵法相 同，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示；所不同的是，矩阵法分析中每一结 构构件的力与位移之间的关系是精确推导出来的，而有限单元法的解则是利用每 一单元中近似的位移函数。因此，有限单元法是一种近似的数值方法。 初期的有限( 单) 元法是建立在虚功原理的基础上。1 9 6 3 1 9 6 4 年 b e s s e l i n g 、m e l o s h 和j o n e s 等人1 2 4 j 证明了有限元法是基于变分原理的里兹 ( r i t z ) 法【2 5 ，2 6 】的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍 4 中南大学博士学位论文 第一章绪论 方法，扩大了有限元法的应用范围。 从2 0 世纪6 0 年代后期开始，进一步利用加权余量法，主要是伽辽金 ( g a l e r k i n ) 【2 7 】法，来确定单元特性和建立有限元求解方程，使之应用于已知问 题的微分方程和边界条件、但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，进一 步扩大了有限元法的应用领域。 五十年来，有限单元法蓬勃发展，不仅已经成为结构分析中必不可少的工具， 而且成为现象分析的一种手段。其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、 板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象 从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体 力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题以及建筑声学与噪音问 题。不仅涉及稳态场问题，还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂 力学等。 已出现多种新单元( 先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、 样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元) 和求解方法( 如半 带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等) 。能解 决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应 过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。 有限元法作为一种离散化的数值解法，也己成为应用数学的一个新的分支。 1 4 1 基本原理和数理概念 在工程技术领域中，绝大多数问题尽管已得到其基本方程和边界条件，但仍 得不到解析解。于是引入简化假设，求得问题在简化状态下的近似解，由于问题 的复杂性，这种近似解往往导致误差过大甚至是错误的结论。另辟蹊径的有限元 法则是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解。 有限元法一开始就对一个连续体用有限个( 然而是大量的) 坐标或自由度来 近似地( 然而是系统的) 加以描绘。一个离散化的结构可由许多结构单元组成， 这些单元仅在有限个结点上彼此铰结。每一单元所受的已知体力和面力都按静力 等效原则移置到结点上，成为结点荷载。计算通常采用位移法，取结点的未知位 移分量 6 ) 。为基本未知量。为了在求得结点位移后可求得应力，必须建立单元 中应力与结点位移的关系，由应力转换矩阵 s 表达。 首先利用弹性力学的几何方程写出单元应变与结点位移的关系矩阵，称应变 矩阵 b ，即 占 。= l 曰l 万 。( 1 - 1 ) 再由材料的本构关系( 即物理方程) ，得到单元弹性矩阵 d ，从而推出用结 点位移表示单元应力表达式 中南大学博士学位论文第一章绪论 p r = p ) 。= 【d 】陋) 。= 陋 ( 1 - 2 ) 其中， s = d b 。 然后考虑结点平衡求得单元结点力与结点位移的关系，由矩阵 k 。表示，称 单元刚度矩阵。根据虚功原理或最小势能原理( 平衡条件) ，也可导出用结点位 移表示结点力的表达式 扩) 。= f f 陋】r 【d p 蜘p ) 。= k 】。p y ( 1 - 3 ) 其中，单元刚度矩阵 陆r = f f 陋r d b d x d y d z = 计【d 捌矿( 1 - 4 ) 利用虚功原理( 或变分原理) 可同时导出单元等效结点力 f 。 有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意 力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能 小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在 结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起 经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的r i t z 法，要求选取一 个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难 的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必 考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形 状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。 在经逐个单元( 逐个结点) 叠加其贡献予以集合( 整体分析) 后，生成结构 刚度矩阵 k ( 也称总刚) 、荷载列阵 f 和结构结点位移列阵 6 ，并利用平衡 条件建立表达结构的力一位移的关系式，即所谓结构刚度方程： k ) = ( 1 - 5 ) 考虑几何边界条件作适当修改后，求解上式所示的高阶线性代数方程组，得 到结构所有的未知结点位移( 同矩阵位移法) 。最后利用式( 1 - 9 ) 和已求出的结 点位移计算各个单元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。 单元内任一点位移与结点位移的关系，则由所选定的位移模式确定。 1 4 2 m a r c 程序介绍 m a r ca n a l y s i sr e s e a r c hc o r p o r a t i o n ( 简称m a r c ) 始创于1 9 6 7 年，总部 设在美国加州的p a l oa l t o ，是全球第一家非线性有限元软件公司。 m a r c 是基于位移法的有限元程序，在非线性方面具有强大的功能。程序按 模块化编程，工作空间可根据计算机内存大小自动进行调整。用户如果对精度要 求较高，可选用双精度进行运算。当单元数、节点数太多，内存不能满足需要时， 程序能够自动利用硬盘空间进行分析。在分析过程中，利用网格自适应和重划分 6 中南大学博士学位论文第一章绪论 技术，能够变更单元的划分和节点数目。 m a r c 对于非线性问题采用增量解法，在各增量步内对非线性代数方程组进 行迭代以满足收敛判定条件。根据具体分析的问题可采用不同的分析方法，如对 于弹塑性分析和大位移分析可采用切线刚度法，对于蠕变分析或热应力分析可采 用初应变法。 单元刚度矩阵采用数值积分法生成。连续体单元及梁、板、壳单元的面内区 域采用高斯积分法，而梁、板、壳单元厚度方向则采用任意奇数个点的s i m p s o n 积分法。应变一位移函数根据高斯点来评价。程序计算、存贮单元所有积分点或 单元中心点的应力、应变、温度等。总刚矩阵，总质量矩阵等采用轮廓或稀疏存 贮法存贮。 输入数据可借助于m e n t a t 界面生成，由用户填卡也可生成。输入数据文件 由四部分组成，其中分析功能的指示由参数选项组确定，分析模型的内容由模型 定义选项组确定，增量步数据由历程定义选项组确定，图形输出由绘图定义选项 组确定。 m a r c 程序拥有许多对用户开放的子程序即用户子程序，用户可以根据各自 需要用f o r t r a n 语言编制用户子程序，实现对输入数据的修改、材料本构关系的 定义、载荷条件、边界条件、约束条件的变更，甚至扩展m a r c 程序的功能。 1 4 3m a r o 热传导分析 在进行热分析和热应力分析时，首先要进行热传导分析。热传导分析的特点： 将伽辽金加权余量法应用于固体热传导方程中。 热传导分析时，采用向后差分方法进行时间积分；时间增量可以自动控制； 可考虑与温度相关的材料特性( 包括潜热) ；可定义与温度或时间相关的边界条 件。 应力分析用的单元与热传导分析的单元相容，具有相同的有限元网格。热应 力分析进可以从热传导分析的后处理文件中将温度分析结果读入。 ( 1 ) 理论概要 固体内部能量平衡： 内部能量变化率= 热传导所得热能积累速率+ 内部热生成速率 ( 卜6 ) 用数学公式表示为： pc 兰：kv 2t + q a t ( 1 7 ) 省略坐标，可表为： 儿a _ a z t 。= k ( 筹x + 筹y + 筹 + q m 8 ， a t i8 2 a 。a z 2j 、 7 中南大学博士学位论文 第一章绪论 其中：p 为密度、c 为比热、k 为热传导翠、t 为温度、q 为热生成远翠、t 为时 间。 边界条件为 t = t 。 在边界s l ( 指定温度) - - k n - v t = q在边界s 2 ( 热流边界) ( 卜9 ) 一k 堕v t = h ( t l )在边界s 3 ( 对流换热边界) 式中：q 为热流、h 为对流换热系数、t 为环境温度。 应用伽辽金加权余量法，由( 卜7 ) 、( i - 9 ) 可得 肚罂叱v 2h j 6 t 卜+ 阻v m 】6 t ) d s ： + j 舳v t + h ( t l ) 】6t ) d s 3 = o ( 卜1 0 ) 由高斯散度定理上式可化为： 工 p c a - d - - ! 。- t + k v t v _ q 6t ) a v 一：q d t d ”j ，h ( t ) s t d s ，( 1 - 1 1 ) 应用有限元法，上式可化为 m 塑+ ( k + f ) t = q + s ( 1 1 2 ) t 3 t 、7 、。 式中： 【m 卜p t pc d v ，为热容矩阵 【k 】= p t k b d v ，为热传导矩阵 【f 】= i n t h n d s ， 【q 】= 工n t q d v n t q d s 2 + 夜 ，为热流矢量，q 为节点热流。 其中：n 为插值函数，b 司n i a x j 。 关于热传导时间积分，m a r c 程序的时间积分采用向后差分方法，温度对时 间的导数表示为： 塑：王二王= ! ! ( 1 1 3 ) 8 中南大学博士学位论文 第一章绪论 t 为时间增量 将( 卜1 3 ) 式代入( 1 - 1 2 ) 式可得t 时刻的方程为： ( 告) t t = q + s + 静 m 线性分析时( 材料特性的温度相关性和边界条件的温度时间相关性均不存在 时) ，( 1 - 1 4 ) 式为显式，此时采用向后差分的时间积分法，即使时间增量很大也 是无条件稳定的。 非线性分析时( 1 - 1 4 ) 式中的m 、k 、f 与温度、时间相关时) ，各矩阵可以 用预想温度t 来生成。 增量步开始时： 千- - - - t h + f 亿一广t j 一2 ) ( 卜1 5 ) f 取决于时间增量大小的系数( = a t i a t i 1 ) 同一增量步的某个迭代步 t = t i h n = t ：觚 t 妇：迭代所得的温度。 对于稳态分析的场合有孥：0 ，在( 卜1 3 ) 式中a 仁。o 可得稳态解。在m a r c d t 过程中，如果输入a t = o 即进行稳态分析。 对于非线性稳态问题，通常系数矩阵与温度相关，经过数次迭代即可得到收 敛的解。 物体在极短时间内发生相变所放出或吸收的大量热量即为潜热，相变引起的 潜热在温度场求解中引入了高度非线性的影响。在m a r c 程序中采用修正比热的 方法考虑潜热的影响。 如相变起、止温度范围为t s t t l ，则产生的潜热q 1 为 q l = pc i “- t ) ( 卜1 6 ) 式中：c 。即为修正的比热。 利用潜热的功能可以在t e m p e r a t u r ee f f e c t s 选项中输入t 。，t s 和c 。 仅限于低次单元( 插值函数为线性的单元) 使用。 考虑辐射边界条件，辐射现象可由下式表示 q = o e ( t 4 w e ) ( 卜1 7 ) 式中：t 为物体表面温度、t o c 为环境温度、o 为s t e f a n b o t z m a n n 常数、为发散 率。 9 中南大学博士学位论文 第一章绪论 上式可以用以下二种方法加以考虑 1 ) 热流边界，利用用户子程序f l u x ，定义与温度相关的热流密度q ，此法 稳定性较差。 2 ) 对流换热边界，将( 1 - 2 1 ) 式改写为 q - - a e ( t 3 + t 2 l + 碰+ t 三n l ) = j j l ( r - 瓦) ( 卜1 8 ) 式中：h = o 【t 3 + t 2 l + t 1 三+ e ) 利用用户子程序f i l m 定义( 1 - 2 2 ) 式的h 、l 。此法稳定性较好。m a r c k 7 2 正是采用等效对流换热方法处理热辐射边界。m a r c 程序一般采用一致热容矩阵， 当温度变化剧烈时，如果热容矩阵性质不好会引起温度的空间分布出现波动，此 时只要选用参数选项l u m p 即采用集中热容矩阵可以避免波动现象。只有