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小，山大学领士学位论文 c a n t o r 级数和a h m e s 级数的无理性 专业： 硕士生： 指导教师： 基础数学 王耀荣 袁平之教授 摘要 ” l o 1l 本文主要研究c a n t o r 级数罗生一和m h m e s 级数罗l 以及级数y 垒。其 篙c i i a n篙篙 d pa l , a 2 , 为大于l 的整数，6 i ，6 2 ，为任意整数并使得c a n t o r 级数喜：毫和 a h m e s 级数妻n = l 土q l l 及级数妻n = l 生a n 收敛。 本文主要对h a n c l ，t i j d e m a n 和y u a n 等人的一些结果进行推广和改进，并 证明他们一些结果的条件可以减弱。 例如，本文证明若 ) 田- ，为单调不减整数序列，圭( 一1 ) ，q 4 。一：。( + 。) 以 及当。2 时，：f i - a + 2 - 2 i + 2 叭则s 。善i 蓉是有理数当且仅当对充分大 o h 本文还给出了若l i m s u p f 监笠1 o ，则 一m n mn 。j s ：手上是有理数的充分必要条件。 ：i 口。以 类似的，本文给出了a h m e s 级数罗上以及更一般的级数罗蔓的些判 类似的，本文给出了 级数善玄以及更一般的级数n = i 生a n i 的些判 = i ”，j 别准则。若“ o 以及 l i m s u p 4 。f 鱼趔k 丛生止盥一益1 s o ，其中 一 l q m q ， 4 ，：肥m ( 口：，吼) ，我们给出宝争是有理数充分必要条件。 n = 1 “” 关键词：无理性，无限级数，c a n t o r 级数 i 山大学碗十学位论文 d nt h ei r r a t i o n a l i t yo fc a n t o ra n da h m e ss e r i e s m a j o r ： n a m e ： s u p e r v i s o r ： p u r em a t h e m a t i c s y a o r o n gw a n g p r o f p i n g z h iy u a n a b s t r a c t w es t u d yc o 诎础眦a e 洲“t n e c a n t o r s e r i c s 善击a n d a h m e s s e r i e s 善玄b m n 。越1 h c r c q 捣，a r e n e g e r sg r e 疵“锄。n ea n d 扎6 2 a r e a r b i t r a r yi n t e g e r ss u c ht h a tt h ec a n t o rs e r i e sa n da h m e s s e r i e sc o n v e r g e w eg e n e r a l i z es o m er e s u l t so ft i j d e m a na n dy u a na n ds h o wt h a ts o m e c o n d i t i o n si nt h er e s u l t so f h a n c la n dt i j d e m a nc a nb ed r o p p e da n dr e l a x e d f o re x a m p l e ，w es a yt h a t i f a n ) ：l i sam o n o t o n i cs e q u e n c eo fi n t e g e r s ， 呶。柚da + 2 - 2 a n + i + a n = 0f o r 女兆t h e ns 2 善石b , j 女 i sr a t i o n a li fa n do n l yi f ( 一1 ) 。q r m ，= 0f o rl a r g en w ea l s og i v et h en e c e s s a r y 旧0 a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ec a n t o rs e r e s 号! l i sr a t i o n a li f 鲁口1 l i m s u p f 监一生1 o l q a n w es v es i m i l a rc r i t e r i ar o r 恤r a t i o n a l i t y 吖a h m e ss e r i e s 喜去a n as c r i e s ；| | ；尝f o re x a 咄，i r ”。a n a - i 紫“丝警一昝。， w h e n 4 = i c m ( a l ，a 2 ，d 。) ，w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n su n d e r w h i c ht h es e r i e s 争笠i sr a t i o m l 智a j ， k e yw o r d s ：i r r a t i o n a l i t y , i n f i n i t es e r i e s ，c a n t o rs e d e s l l 卜 1q )卜 。 巾山大学硕十学位论文 第1 章绪论 本文主要研究的是c a n t 。r 级数量土和a h m e s 级数量上以及级数 一n = l 口r ：i q 喜鲁。其中q 如，为大于1 的整数，岛，6 2 ，为任意整数并使得c a n t o r 级数 砉击和a h m e s 级数喜专1 及级数喜每收敛。 y ! 一和级数罗一及级数f 生收敛。 篙q 巳= 篙 本章先介绍c a n t o r 级数妻垒一和 篙q 吒 接着说明一下本文的主要工作。 1 1 研究背景和现状 a h m e s 级数妻n = l 土a n 的研究背景和现状， 对于无穷级数和中哪些是无理数，1 7 7 6 年l a m b e r t 证明了e = 喜去是无理 数。1 8 7 3 h e r m i t e 确定e = 喜去的超越性可推出砉等的无理性( m 为任意非 。整数) 。1 8 6 9 年g c 锄t 。r 证明了若。s 匆， 0 和无限多个瓦 。和色 o ，“疗+ 6 o ，j f ) ( x ) = 圭q x ，z x 】：则主1 盟是有理数 。” “。丌( “”+ 6 ) 当且仅当喜q 篆 丽1 万丢kc t ，7 ；) c 一鲁+ t 一= 。 i i 山大学硕士学位论文 t i j d e m a n 和y u a n 4 还对s y l v e s t e r 7 ，b a d e a 8 】， 9 】以及e r d o s 和s t r a u s 1 0 】 的a h m e s 级数喜去以及级数喜鲁的有理性的一些准则进行推广，得出了级数 争的一些判别准则。若 ) ：和 屯 二，是正整数序列，使争收敛， h = lu n月lu ” a , , = l c m “，巾，l i m s u p a 一- 【等一沙川o ；| | ；益a n 是有理数当且仅当 lq + 1 i i 对充分大的n ，q 。= 百b n + 1 ( a - 1 ) + l 。 山大学帧十学位沦文 1 2 本论文主要工作 本文主要研究的是c a n t o r 级数妻土和a h m e s 级数量上以及级数 篙a i 一矗。一n = l 口。 ol 争。其中q ，6 为整数，且使级数收敛。 n = l “ 第一章我们主要介绍研究背景和本文主要工作。 第二章我们主要介绍几个c a n t o r 级数y 兰h l 一的性质和引理。 一n = l 口a n 第三章我们主要研究c a n t o r 级数喜百譬的无理性。我们对h a n c l , t i j d e m a n 和y u a n 等人的一些结果进行推广和改进。在 4 e et i j d e m a n 和y u a n 证明了 若h ，) ：= 是a 户l 的整数尊调序列，+ ，一坟= 。( “。1 ) l 则s 2 喜：去是有理数 的充分必要条件是当n 1 1 0 时，卫为常数。本章对此进行推广得到更一般的 “一l 结果若 q ， 二。为单调不减整数序列， ( 一1 ) 。q “。，= o ( “+ 。) 以及当k 2 时，存 ， 0 ”2 驴。：舢= 喜去是有理数龇l 仅当对充分大的n ，有 k ( 一1 ) q 置。一，= o 。本文还证明了若 ：和 匆，) ：是f 整数序列， “ ：，单调 i = 0 不减，吒 t ：有j ，掣一c 瓮一等j 。则s = 善：是有理数的充分必要条 一ml q ，百c 小一q ， 件是存在怫，使得堡生型型堡i ! 生! 生三竺! 韭型：! 兰! 垒：兰鱼：! ! 些坠丛! ：! ! 二! ：兰“：! ! “f q + m + i a l 州，_ i ) k - i 为常数。考虑 二。和 以 ：= 是整数序列 则s = y ! 一是有理数的充分必要 篙a i g 条件是存在整数b o ，n o ， ：= 。，使得当n n 时，b 包，= c , , a l ，一f 。， 且 山大学硕十学位论文 l i m 鱼! ! ! l ：0 。 _ ”口口+ i 第四章我们研究a h m e s 级数善去以及更一般级数喜鲁。若钆 0 以及 第四章我们研究 级数y l 以及更一般级数y 生。若饥 以及 篙吼篙q “ l i 罢! u p 4 一，( 五坐世竽一争1 o ，其中 4 = 缸巩( 吗，吒) ，则 * “ n h “ n hj 是有理数当且仅当对充分大的m 有 益+ 虹+ + 虹 芝导t 警l = + + l q + i i 一1 k + 虹+ _ + 盐赳 垒l 纽止警l + i q “+ l q 忡2 kl j 喜鲁 巾山大学硕士学位论文 第2 章c a n t o r 级数的一些基本性质 本章主要介绍一些记号以及c a n t o r 级数y ! - 一的几个重要的引理。 o 篙q 2 1c a n t o r 级数和a h m e s 级数的一些记号 ” o 1 o k 本文主要研究的是c a n t o r 数善：a h m e s 级数善毒以及级数善毒。= q = 吼篙吼 其中 吒 ：= 和 钆 ：。是整数序列，对所有n ， l ，且使级数收敛。 o 为了方便，我 r - e s = 生。我们主要通过研究s 的n 项部分和s 。以 ：i q 口。 及n 项余项r 。来研究c a n t o r 级数，并记 乳：爹土 “ 二一n = l0 1 一, o j 。氐= n 妻= , v 上o n - - - f j 。 ok 同样，我们记s + = 生，记s 的n 项部分和s ：以及n 项余项或为： 篙巩 ” ” 耻善乏 月：争益 ”。怠， 大学硕+ 学位论文 2 2 c a n t o r 级数几个重要引理 这一节我们主要介绍c a n t o r 级数的几个重要引理 引理2 2 1 ( 1 3 1 ) = i 口。 d 和 圾名l 是整数序夕u ，对所有n ，口。 1 ，若存在常数 g 使得勤劭舸，有”c ( 旷1 ) 棚怙。善去姐 h 证明： 当n # 2 0 时，有吒= c ( 一1 ) 。 北嵩击 z + 争上l _ 一z + c 争旦兰 盏口。赢“ = z + c 姜c 去一去， ：z + 旦亡q 口 d 。 r _ i l 理2 2 2 ( 【3 】) ： “ 二、和 包j ：是整数序列，对所有n ，“ 1 ：若 s = r q ，r z ，q n 。则对所有n ，有q r n z 。 证明： 二：- 鱼l - q 篙8 1 d 。 ：箩上+ l 争j l 恕c i u p ，“r “息n p m n r 珥k i q = 。善 v - i ( “熙n - i + 。n 妻= n 上a - - - ( - ，l r 兀q = g ( “na g l 中山大学硕士学位沦文 前两项都为整数 所以抵= a 砉去钇 对引理2 2 1 进行推广可以得到如下引理 口 引理2 2 3 ：h ：和 屯) 二是整数序列，对所有n ， 1 ，任意给定正整数 k ，若存在正整数，使得 生：幽! 二! 垒立型坚垒：业! ：! ： 气，+ m m i 垦土! 垒生型型垒生型! 二! ：墨生! ! ! ：c + ，+ 1 ) 一l 一1 其中c 为常数，( f = 0 ，1 ，2 ，圳慨善击q 。 证明： 设垒! ! ：坠! ! 业：坠! 垒：业型：生生! 生! 型型垒：幽! 二生立塑：c q ”m q ” + i + ( 忡t ) ki 一1 ( c 为常数) 令d j = a n , m a n ”m a j 州+ ” 则 b ? = 巨+ l + i ”一i + b n , , + ( i + l k - 2 口+ 【j + 1 ) 一1 + 一+ 6 + ，女口q + ( + 1 ) t 一1 口+ l ，+ i ”一2 口+ m + 印喜去 一喜鑫一c 善藉a 0 ， 一c 萎矗一去， ：z + _ c q 9 口 一q 上吣 。 z 山大学硕十学位睑文 引理2 2 1 即为引理2 2 3 中k = 1 的情形。 引理2 2 4 ： “。) 二和 瓯 ：是整数序列，对所有n ，吼 1 ，任意给定诈 整数k ，若存在正整数，使得e 。l + l = r 。“，i = o ，1 ，2 ，。 则盘坐坠! 生立! ! 坐! ：! 垒立型坚三：垒型! 鱼! ! 型旦二! 垒! 生! 坠! ：二生：型为常数。 j ”i k 日n o + * + i q b + ( ，+ i ) 一l 一1 证明： 若凡，+ ( j 圳= & ，+ m ，f _ o ，1 ，2 ，a 由r o 的定义，有e 。= g i n r t ，一吒 m = 6 1 1 州r i ”m 一& m 】 。+ i = q ”e “i r p 巨”m l 2 t t i j ”一i r ”( 1 一r ”眦 ! 生【：l ! ：! 竺! ：! ! ：l ! ! 二! ：二! ! ：! ! 竺尘! ：_ 竺：l 竺! ：! ! ：l 堕二! ：竺! ：! ! ： 1 n q , + r k a “+ m + 1 一“，“，十】) 一1 一l 令心，十 = e 。m = c ( 常数) i = o ，1 ，2 ， 即 电”女一l + 匆+ ( ) t 一2 l l 巾“j i l + + 巨”* 州h 计 q t o t h j + j k + 1 d ，+ 吣i 一1 2 e ” 为常数。 口 - i 山大学硕士学位论文 第3 章c a n t o r 级数的无理性 本章我们主要研究 n t o 级数量! l 的无理性。我们对 ，ticantorh a n c lt i j d e m a n 和 本章我们主要研究级数y ! t 一的无理性。我们对 ， 和 石q ”q y u a n 等人的一些结果进行推广和改进。 3 1 r + 。一r ， 一占的情形 令 ) 二。和 “ 曲_ 是整数序列，且对所有n 有 1 ，通过改变h a n c l 和 t i j d e m a n 【3 】中定理4 1 的条件，可以导出c a m o r 级数善：的一些结果。 h 命题3 1 i ：h 0 ：，和 4 ， 二，是整数序列，对所有n ， l ；若 r ，暴。有上界， 且任意刚，当”圳洲，取r p 七舢= 喜去是有理数的充分 必要条件是当一时，若为常数。 证明。 必要性： 若s q ，设s = r g ，r g ，g n 则，由引理2 2 2 ，对所有n ，有g r z 。 因为当 _ ( 三) 时，g e 川一9 r 一i ， 即q r , 一q r , ，0 所以 q b ) ：。单调不减。 大学坝十学位论文 又 g r ) 二有上界且为整数序列， 所以存在，使得当 时，有r ，= r 。 又山巨，= a n r 心+ 得：南= r = c 即当脏时，若为常数。 充分性：由引理2 2 1 可得。 利用命题3 1 1 的结果我们可以导出定理3 1 1 。 口 定理3 1 1 ： q j ) 2 。和 匆，) ：= l 是整数序列，对所有n ，q ， l ；若 笠 ：，_ 仃上界 q ， l i r a 土：o ，对任意 o ， 一。q h q 有虹 垒一。 叱+ i“。 则s=呈：是有理数的充分必要条件是当”non=l,f时，各为常数。 则= f l 是有理数的充分必要条件是当”时，旦为常数。 一a r d 。一1 证明 必要性： 当月 2 f s ) 时 耻制蔫+ 磊b n i h 1 刮羔h 剥 1 。t i j d e m a n 和y u a n 4 _ i i e 明了若巩“一屯= 。( j ，则s = 喜i 是有理数的充分必要条件是当h 时 ! t 为常数。在本节定理3 2 1 将对此结果进行推广。 a n i 定理3 2 1 ：设 二为单调不减整数序列，对所有n ，有 1 ，k 为任意 给定非负整数，且当k 2 时，有吼+ ：一2 a , 。+ 吼= o ； 钆 二，是整数序列使得 ( 一1 ) q 一( 。贝忪2 喜去是有理数的充分必要条件是当n n o h q ( 一1 ) q 一，= o 一l e ，。= ( 一1 ) q 一置。一，一c 。( c 为常数) 一0 在证明定理3 2 1 前我们先证明儿个引珲 引理3 2 1 ： ( 一1 ) q a i 。，= q ( ( i = 0；0 ，= 0 证明： 任意给定整数p ，q ，当0 q p k 时 q ( ( - 07 e 7 q 。 l y c a , 。一，) ( ( 一1 ) q 一，+ ，) t j ) ( ( 一1 ) q 一见+ 。) 中。，e 。的系数为 ，；0 中山大学颁+ 学位论文 + c ：一9 “【( 一1 ) 一”c ：k 一- ，p “】【( 一1 ) p - q - 2 i ：善j 。2 】 + + 口一9 【( 一1 ) “9 口j 】【( 一1 ) o c o = ( 一1 ) “4 磷一9 q k 一- 产p ，p 1 - i - ( - 1 ) “川c 。k 1 q k ，- p ，c 等一 + ( 一1 ) k - q - 2 或2 q k ，- p ：c l 7 2 + + ( 一1 ) “”畔1 q k 一- 产p 。0 2 ( 一广。正茄杀丽+ ( 一1 ) 一目一i j i i ：i ；j i + ( 一1 ) 一g 一2i j i ：j ；j i j f = 丢p - q ( - 1 ) jf 丽告而 2 若薪善p - qc 棚面丽1( 七一p ) ! q ! 考吾、 f ! ( p g f ) 又因为 和y 志，= 0o 、“， 2 去扣y 志2 扣矿2 。 - 一+ ( _ 旷1 矿孤兰丽 所以淼静r 杀两2 。 即当。茎q 0 ，当疗，l i ，有( - d 。q “+ ， 日。( 一1 ) 。q r 。一，一e ( 1 n 。 i = o 则( - d q 胄。一， 0 由c i = q 一+ q ：i 易知： k- i - i ( 一1 ) q r 。+ ，= ( - 0 。q 一。r 。- z ( 一1 ) q 一，r 。， 则( 一1 ) q 如。 k a m 。e ( - i ) q r 。+ ，一g o 。+ i = o 一竹吮qd 卜 。 一 ，一 “墨 一qd卜 )一 “吒 一 +巩(q + 一 心q)卜 。 睛 1 1 0 一一卜如一q ) 卜 n ：l 小吃一q ) 卜 m “ 一 一一“h qd卜 )卜 一 mq + 一“rqd卜 。 “q r | 山大学侦i 学位沦文 1 ) q 如m ，一c a n t m i a t + 女一。“ 取s = 击，由归纳法得 ( 一1 ) q r o 。 吼t + “r _ i e ( a f l m a n 忏i + 盯+ a m + 一i + 日“+ ) ：q + k + r - i 百i 。ai 1 - - a m + k c m + k a m + k + r - i ( i t + ) q q 百g i + _ + - 2 面q m ”p l m + k 与r ，= o ( a 1 1 1 2 “。i ) 矛盾。 l i m r 。k ” a l n k r 0 一i 一l 因此，若( 一1 ) r 。+ ，o ，则( 一1 ) 。q 。r 。一， 所以存在 i ，使得当月i t o 时 ( 一1 ) 7 q 一。，= z ( - 1 ) q 一。一， 即( 一1 ) 。q r 。，= o 。 若存在m 啊，使得 ( 一1 ) q 一，r 。一， e ( 一1 ) q 一，如+ 。 卜“如q 一 )卜 。h r丰如 = 一“kq ) 卜 。 “ 一日 = 一川 k 埘 一q i i m i p r q)卜 q 山大学硕+ 学位论文 t 则( i = 0 k k 且( 一1 ) q 如m 。 o i = 0 k - l一l 所以( 一1 ) q l r 。+ ， ( 一1 ) 。g 一r 。 o 1 = 0，= 0 由第一种情形可以推出矛盾。 综合以 二三种情况可得，当”时， 女1女- i ( 一1 ) 7 q 一。r 。= ( 一1 ) q 一，置一，= c 。( c 为常数) ，；0j ；0 充分性： 若当h 时，( 一i ) 7 c 如+ ，= 0 。 则山递推公式： r 1 = 置h b r ”2 = k + l e k + i 一 ” r ，h + 女。d + il r ，一l 6 ，+ * l 1 ) q r 。一，= 0 山这k 个方程联立可用q ，。巨，t 。表示k + 。 删s 哦一蒜杀e q 1 ) q r 。，= 0 ，即 t i j d e m a n 和y u a n 4 “? 定理3 1 的结果即为奉定理k = 1 的情形。 口 山大学砸士学位论文 下面我们举几个例子 例1 ： s ：宝掣甓q ”n ( 4 i 一2 ) 证明：取以= 一( n + 1 ) ，q = 4 n 一2 利用定理3 3 1 ，若取k = 1 。 吒+ l 一巩= ( + 2 ) ( ，l + 1 ) 一( 疗+ 1 ) h = 2 n + 2 不满足条件6 i 。一= o ( 吒+ ) 。 取k = 2 ， 以+ ：一2 瓦+ + 吒 = ( h + 3 ) ( 盯+ 2 ) 一2 ( 一十2 ) ( 玎+ i ) + ( 玎+ 1 ) n = 2 满足条件玩+ 2 2 吮+ 。+ 既= o ( a o + 2 ) 。 若s q ，则r 。一置。= r n + 一e ，= c ( 常数) 又由递推公式r o + ，= q ，r ，一6 可得： + l r + 。一吃+ 一r 。：置。一r n + l + 电j = 器 r n + 2 = q n + l 也一2 卷导 呱z 吨= 攀1 = c a 。n 、一n 十 把吮= n ( n + 1 ) ，= 4 n - 2 代入上式 一r + = 而4 n 2 哂- 2 n 丽- 6 c 山大学硕十学位论文 例2 s ：妻盟坐e q ”1 兀( 4 i - 2 ) 证明：取= ( + 2 ) ( n + 1 ) n ，口。= 4 n 一2 利用定理3 3 1 若取k = 2 ， t 。2 2 + 6 j ， ( 7 + 4 ) ( 胛+ 3 x n + 2 ) 一2 ( n + 3 ) ( 肝+ 2 ) ( ”+ 1 ) + ( 盯+ 2 ) ( 门+ 1 ) n 6 n + 1 2 不满足条件钆+ ：一2 + ，+ 巨，= 。( + ：) 。 取k = 3 ，则 4 ，“一3 b , ，+ ! + 3 b , 一匆 口 = ( 盯+ 5 ) ( 疗+ 4 ) ( + 3 ) 一3 ( n + 4 ) ( ”+ 3 ) ( 盯+ 2 ) + 3 ( n + 3 ) ( 疗+ 2 ) ( 肝+ 1 ) 一( 玎+ 2 ) ( 盯+ 1 ) n = 6 满足条中r6 ，+ 3 3 b , ，+ ：+ 36 j 。- h , ，= d ( q 。3 ) 若s q ，则暑。一2 r , m + e 。= e h 2 - 2 r , 。+ e ，= c ( 常数) 又由递推公式只。= “，r ，一6 ，可得 垒! 1 2 堡型! ! 生! ! 二翌生，! 堡生! 堡盐! 二! 堡! l ! ! r = 6 1 j ，e ， + 2 a ，“a l ，一3 a , ，+ l a i 4 - 3 a , ，一1 墨7 + = q r - b , ，+ 垒! ! ! 鱼! ! 竺! 二垒山! ! 璺! 二! ! 垒堡! ! q ，+ 2 1 d ，一3 a 。+ l 口。+ 3 口。一l 6 _ 一 + 一 o ) 一3 1 j 一一+ 监q 一“瓦 盟一 6 j 0 + 一一 q q，一 i i 良 c 山大学硕士学位论文 且口 ：垒蝗! 鱼! 】生二! 生1 2 二生t d ! 堡出生二鱼韭二! 生! ! 生! 生生生：l 二! 堡! ! 尘：c 吒+ 2 d l n + 1 g n 一3 a n + i a n + 3 a i l 一1 把“= 0 + 2 ) q + 1 加，a n = 4 n 一2 代入上式 口 例一例二都不能用t j d e m a n 和y u a n 【4 】的定理3 1 判别，定理3 2 1 确实对他 们的结果进行了推广。用h a n c l 和t u d e m a n 在 6 】中定理也可用不同方法对例一 例二进行判别。 定理3 2 1 中q 。- - 2 a , 。+ n 。= 0 的条件是否能再减弱，这个问题还有待进 一步探讨。 粉 蚀 滞 伽一埘 c 一虮 篇而 一#。 2 k 似 山大学做十学位论文 3 3 从1 到k 的一些推广 聊e m n 和y u a n 【4 证明了削竺p 【县一等j l ；对 给定的正整数k ，有l i 竺9 c 鲁一冬j 兰。则s = 妻n = l 上o l t l n e l n 是有理数的充分必要 l “j 一 条件是存在n o ，使得 鱼! 些i 垫坐坚叠幽! ：立：生坠型坐业：型：生型为常数。 屯，+ k a , ”* 一+ i ) k - i 证明 必要性： 山l i ms u p f 监一生- 1 o 得，对任意 o ，存在_ ( s ) ，使得当月一( s ) ，有 e i - - + m l a l ，+ 女q 。 若：s q ，设s = r q ，r a t ，q 令f = 石1 ，当”啊忙) ，有 r 一r 。 ( 监一生) 十( 且一立l ) + ( 上! 坠一盘一) | 口 kn a q + k n n + k + 1a “q in i + k ah + k + i o + k + 2n n a | i + i 0 , + 2 蜢、 q i + 2 邻 “一监 k 去 + 石虹上细“ 巾山大学硕：卜学位论文 0 。 所以对存在，使得氏州川= & m ，i = 0 ，1 ，2 ，。 由引理2 4 得： 生! ! 业：立垒生型! ! 二! 刍：型型：! ! 生! 坐坐二! 生! 型! ：! ：生：! ：! 为常数。 + * m i - a n , + ( ) i i 一1 充分性：由引理2 2 3 可得。 t i j d e m a n 和y u a n 4 中定理4 2 的结果即为本定理k = i 的情形。 对h a n c l 和t i j d e m a n 【3 】中定理4 1 进行推广，可得如下一些结果 口 命题3 3 1 ： ：和 6 f ， ：= 是整数序列，对所有n 1 ：若 e ， ：有下 界，且任意占 0 ，对给定正整数k ，当肝喝( 占) 时，有e 。一r 占 则s ：艺且是有理数的充分必要条件是存在，使得 = n l q ， 。 垒! 坐坠! 生立型型：堡! ：! 鱼：! ! 鳖! 垒! 业! ! 二! ：刍些! ! 为常数。 q + * + * + p q ”( ，+ 1 ) 女一l 一1 ( i = 0 ，1 ，2 ，) 证明： 必要性： 若s q ，设s = r q ，z ，q n 则，由引理2 2 2 ，对所有n ，有g r z 。 山大学顺一| = 学位论文 因为当h ( 土) 时，g 砖+ 。一g r 0 ，对给定汇整数k ，当”( ) 时，有皇业 笠+ 。 忡d “q“k “ 则s = 竺l 是仃理数的充分必要条件是存在n o ，使得 篇1 1 。 监盟髦杀甍兰半坠业堑黼数o k a q , + 1 q h ，+ i ) 一l j ( i = 0 ，1 ，2 ，) 证明： 山l i m 且：o 知 ”斗”，一】q ， 耻制且o 1 2 n + i + 热+ 1 有 匆，l 昙q 。q ， r l 山大学硕士学位沦文 刮蔫h 划 0 ，对给定f 整数k ，当疗( s ) 时，有色。一色， 占。 。“ 则s = 竺l 是有理数的充分必要条件是存在，使得 = 口r 垒型：! 竖立皇型：竖! 垒竺坐二! ：皇! ：! 垒坐坐：! 垒! 型! ：生坐：! 为常数。 + m q “+ d + f q 州“卅+ i i ( i = 0 ，i ，2 ，) 证明： 显然盘 = 有下界 山大学顺十学位证文 且 上 0 ，和整数序列 q 二。，使得当n n 时， 8 6 = q ，一矗j 1 1 i r a 吐= 0 。 t - + ”口n 口+ 证明： 充分性： 若当1 3 2 n 时，b “= 吒一q “，则 b a l a n - i 善高b 。z + 争l ：z + 争c n a n - - c , , + i ：磊h n ：翥d = = z + c 一i l i r a + 。c u 口+ 卫+ i ：z + c n q 即s q 必要性： 若s q ，设s = ，g ，r z ，9 n 令b 。q ，且当n n 时，t2 。以一地，“2 一一一肋r 刀* - 善n ：； 一1 山大学侦十学位| 仑文 贝l j b a i a n _ i 善去= b q i q u - i 篓去- - c ：n - | i r a c j v * 哪k * t _ 一r 田一一l i r a 老表 因j ；jb a r t l = 去一一 i ” ” 所以1 i m j 亟丛一 _ + 。口口+ 1 0 。 口 山大学硕士学位论文 3 5 吒+ 。一“= o ( + 。) 的情形 令 ? 为单调不减整数序列，对所有n ，有q 1 。t i j d e m a n 和y u a n 4 _ i i e 明了若“一“= 。( q 。，则s = 喜口l b n 嚷是有理数的充分必要条件是当n 时， t 为常数。在本节定理3 5 1 将对以+ 一吒= d ( + ) 的条件放松，同时加强良的 a 一1 ” h 条件，从而导出s = y ! t 一是有理数的充分必要条件。 并口i 定理3 5 1 ： 设 ) 二。为单调不减整数序列，对所有n ，有靠 1 ， 匆，) 二，是 正整数序列，并且任意给定f 整飙酏圹驴帆山灿2 砉去是有 理数的充分必要条件是存在n o ，使得 垒上型型垒：型! 二! 鱼兰坐! ：! ：! ! ! ! 鱼! 型型鱼：型! ：! 鱼! ! 型为常数。 口+ m + 州d + ”i ) k l 一1 ( i = 0 ，l ，2 ，) 证明： 必要性： 由定理3 4 1 知：存在整数b o ，n o ， q 曩。，使得当n n 时，地= 矗吼一t 。， 且l i m j 丑：止：0 。 k 。n n a n - k 由b 匆，= q 一巳“ b b n + 女= c d 一乞m l 得 b ( 吒+ i 一以) = ( + t 一) “+ 巳( + t a ) 一( q + 一+ 1 ) 山大学硕+ 学位沦文 由吒+ 。一以= 。( 以+ ；) 知，当以时，有吃+ 。一瓯 c 。，0 ，则 q + 1 一+ i5 ( + 女一c , t r ) a m “+ c 。a n , + 女一口。) 一b ( 6 j 。女一) ( + + 一c n ，) a t n + 。一i 1 + i l a m + 女一= 。 c m + k + 2 - - + 2 ( q m + ，一+ i ) 口。m 1 一j 1 口。“ + t - ( 1 一百1 一百1i 1 ) 山归纳法得： c ”k m i c + i m a 。“一【1 _ 扣上a m + k 十东j + + 1 = 口m + 吒i “+ l 订+ i + ， 因此l i m ! i ! 业 a m i t n f i ? “+ ?m “m + k “l ? i k + ? 与l i m j 丑生l ：0 矛盾。 k 。a v n n + k 启i 以c 。o 时，有c 。q ，。 l o 2 所以存在使得q 州。 = 。，i = o i2 。 【| i 引理2 4 类似得剑： c l k “j h + k + t “ k ? 垒! 型：l 型! 皇型! ：l ! ! ：! 竺型! ! 坠! ：垒! ! ：! 垒：型型竺型! ! 竖尘垒：! ：! 为常数。 q ”m + q ”( ，+ i k - l 一1 若存在 o ，a ， 0 ， ， 0 j 知q + l 0 的条件是否能再放松，这个问题还有待进一步探讨。 口 一1 - 山大学硕+ 学位论文 第4 章a h m e s 级数的无理性 本章给出了a h m c s 级数善去以及更一般的级数言鲁的些判别准则。月- l “月肛j “h 令 吒) 二。为单调不减整数序列，对所有n ，有 1 ，吃 o a t i j d e m a n 和y u a n 4 证明了若n 竺一4 一 毛导一鲁) 。，其中a = 胁c q ，则喜鲁s l + 1 ，石q ， 是有理数当且仅当对充分大的n q + = 耸a n ( a n 1 ) + i 。在本节定理3 3 1 将 对此结果进行推广。 定理4 l ：若 吼) ：，和 良 ：，是正整数序列，使得宝，r = l 五。n 收敛，对任意给定f 整数k ，笮f l i m s u p 以一f 生丛丛二雌二生一笠1 蔓o ，其中4 ：l c m ( 吼，妈i ) o ， la n + q 则s + ：争鱼t 是有理数当且仅当对充分大的 n ， 有 篙吼 益+ 虹+ + 虹 等毛竿l 一 吒十i + 女一1 一 证明： 鱼丝+ 血+ + 垒! 生= ! t 】n + 2 k - l 堡! 韭竺! ! ! ! 堡! ! 塑：! 。 “q ，+ 女+ j + 2 i l 一1 n 叮 z g j j s 设 一 ：m 。m 生 = 鳓f 必若 令 l 1 i 大学倾十学位论义 则对所有m 巩e 砷一嘻等e n 任意s 0 ，存在 。( s ) ，使得当” 0 ) 垒! 丛生丛= 凸! 丛= i ：鱼 + 笠 三，笠 s 4 1 b n *