（基础数学专业论文）potential+kadomstevpetviashvili方程的精确孤子解.pdf

摘要 孤子方程是非线性科学领域中极具潜力的课题之一现在已经有很多方 法得到孤子方程的解其中，h i r o t a 方法是一种重要而直接的方法，它主要 是把非线性方程化成双线性方程，然后通过摄动法便可找到孤子方程的精确 解本文考虑一个重要的孤子方程：p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程，运用 h i r o t 方法将它化为双线性方程，从而得到单孤子解双孤子解以及n 孤子解， 并进一步求出方程的w r o n s k i a n 解与g r a m m i a n 解 本文主要分五个部分第一部分是引言，主要介绍了有关孤子理论和h i r o t a 方法的一些背景知识的介绍 第二部分，考虑了p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 孤子方程( 如下) 的双线 性化 z f + o ( u z z + p 乱扎+ 7 札鲫= 0 下面我们引入对数变换： u ：霉( m j k u2 可k u 将孤子方程化成了双线性形式： 0 d z d t + 8 d 4 。- i - - t d 2 v 、f f = 0 第三部分，用摄动法求出了孤子方程的精确孤子解 第四部分，求出方程的w r o n s k i a n 解 第五部分，求出方程的g r a m m i a n 解 关键词：h i r o t a 方法，p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程，精确孤子解 a b s t r a c t t h es o l i t o ne q u a t i o ni so n eo ft h em o s tp r o m i n e n ts u b j e c ti nt h ef i e l d so fn o n l i e a r s c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e ra ni m p o r t a n ts o l i t o ne q u a t i o n t h e r ea r es e v r a ls y s t e m a t i ca p p r o c h e st oo b t a i ns o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n t h ed i r e c tm e t h o dh a sb e e n p r o v e dt ob eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o di ns o l i t o nt h e o r y t h en o n l i n e a rd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e di n t oa t y p eo fab i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nh i r o t a m e t h o d t h e n ，t of i n da ne x a c ts o l u t i o nb yap e r t u r b a t i o nm e t h o d i nt h i st h e s i s ，t h e r ea r ef i v ep a r t s i ns e c t i o no n e ，w em a i n l yi n t r o d u c eb a c k g r o u d i n g k n o w l e d g ea n dt h ee s s e n t i a l so ft h ed i r e c tm e t h o d si ns o l i t o nt h e o r y i ns e c t i o nt w o w ec o n s i d e rt h ep o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l ls o l i t o ne q u a t i o n ， t h e nt h ep o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l is o l i t o ne q u a t i o nc a nb et r a n s f o r m e di n t ob i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h r o u g hl o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o n t h el o g a r i t h m i ct r a n s - f o r m a t i o na r e 让= 虿1 2 c 。( f n 他 a n dt h eb i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e ： 0 d 。d t + 8 d 4 。+ - y d 2 、f f = 0 f i n dt h ee x a c tns o l i t o ns o l u t i o n sb yap e r t u r b a t i o nm e t h o d i ns e c t i o nt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ep o t e n t i a l k a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l is o l i t o ne q u a t i o n t h ee x a c ts i n g l e ，d o u b l ea n dns o l i t o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yt h eh i r o t am e t h o d i ns e c t i o nf o u r ，w eg o tt h ew r o n s k i a ns o l u t i o n s i ns e c t i o nf i v e ，w eg o tt h eg r a m m i a ns o l u t i o n s 1 1 k e yw o r d s ：h i r o t am e t h o d ，p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l ie q u a t i o n s ，e x a c t s o l i t o ns o l u t i o n ； 1引言 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，许多科学领域 如流体力学等离子体物理非线性光学，聚态物理，超导物理，经典场论和量 子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的问题，利用孤立子理论已经成功 的解释了物理上长期用经典理论未能得到鹪答的现象 早在1 8 3 4 年，英国著名科学家r u s s e l l 观察并记录了孤立波现象，他认为这 种孤立波是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤立波”r u s s e l l 当时未能成 功地证明并使物理学家信服他的论断直到1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波运动，得到了著名的k d v 方程，从而在理论 上证实了孤立波的存在性 1 9 6 5 年美国著名科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 通过数值模拟k d v 方程详细地考 察和分析了等离子体中孤立波非线性相互作用后不改变波形和波速的论断 由于这种孤立波具有类似粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种孤立波为孤 立子 随着对孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已 初步形成了比较完整的理论体系对孤子方程，近年来已经有许多求解的方 法，例如反散射方法，达布变换法，贝克隆( b a c k l u n d ) 变换，代数几何法，双线 性( h i r o t a ) 方法这些方法各有特点，也有其内在联系其中，h i r o t a 方法是 一种重要而直接的方法，相对于反散射方法而言，被称为直接方法，这种方法 的优点在于它是一种代数而不是解析的方法h i r o t a 方法是1 9 7 1 年h i m t a 为 了求出k d v 方程的多孤子解而发展起来的，这种方法已从求k d v 方程，m k d v 方程，s i n e - g o r d o n 方程，非线性薛定鄂方程的n 一孤立子解而发展成一种求解 一大批非线性偏微分方程孤立子解的相当普遍的方法这种方法的关键是相 关的变量变换，把非线性方程化成了双线性方程，之后通过摄动方法找到方 程的精确解关于( 1 + 1 ) 维孤立子方程的研究已经有很成熟的理论和方法但 对于高维的孤子方程研究很少，8 0 年代后，人们逐渐开始把注意力转移到高 维空间问题上 1 在这篇论文中，我们主要运用直接方法来求解( 2 + 1 ) 维的p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的精确孤子解关于p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程，前人 已有大量的研究在文献【9 】中，用推广的t a n h 方法求出了方程的孤子解在文 献【1 0 】中，使用p a i n l e v6t e s t 和齐次平衡法罗列出了求解p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程精确孤子解的主要步骤 2 2 p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的双线性化 首先考虑p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程： u 科+ o 札z “z 十卢札z z z z + 7 札鲫= 0 取牡= 警( i n f ) 。代入( 2 1 ) 可得 ( 警劫+ a ( 警m 崩i 1 2 d w k + p ( 警w ) 一。+ ，y ( 警w ) 。鲫= o 对x 积分一次并令常数为0 ，可得 ( 2 1 ) ( 警t ) + a 。( 1 。2 5 w ) ：。+ 卢( 警w ) 一州, i 1 2 f m ) 硼= o ( 2 2 ) 下面我q j i j l 入双线性算子： 叼噬叫( 晏一未) ”( 杀一面( 9j n g ( 州) ，( 一，即舱7 = 州7 = t 通过计算可得公式 z 彘h ，= 等掣 z 昙町= 孚 2 杀l n ，= 学_ 3 ( d x 2 f f 1 2 把( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) 代入( 2 2 ) 得 即 ( 警1 2f 坐a 抚f ) l + p ( 警埘b 一十，y t , i 1 2 f w ) 璐 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) = 警半+ 警c 孚) 2 + 警学叫半) 2 】+ 警丁d y 2 f f ：等型址萼掣：o qr ( d 。d - t - 卢d 4 。+ ，1 , d 2 u ) ，f = 0 ( 2 6 ) 这就是所求方程的双线性化形式。 3 3p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的孤子解 在上一节，我们求出了p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的双线性形式， 接下来我们用摄动法求它的孤子解令 | = 1 七h 七亡i 2 七p l + 其中 0 = l ，2 ，) 是光滑函数，e 是一个小参数将这个式子代入( 2 6 ) ，并 令g - 的系数为0 其中江1 ，2 ，可得 e 可令 ( 眈d t + 卢d 4 。+ , 7 d 2 y ) ( 1 + 1 ) = 0 ( 3 1 ) ( 取d t + p | d 4 。+ 3 , d 2 t ，) ( ，2 1 + ，14 - 1 ，2 ) 一0 ( 3 2 ) ( 仇鼠+ 卢d 4 。4 - y d 2 u ) ( 厶1 4 - ，2 ，1 4 - ，2 4 - 1 - ，3 ) = 0 ( 3 3 ) ( d 。d t 4 - p d 4 。4 - ? d z y ) ( 厶1 + ，3 f l + ，2 f z + f l ，3 + 1 ，4 ) = 0 ( 3 4 ) 代入( 3 1 ) 可得 = g i ，6 = p l x + q l y 4 - q l 4 - f i x o p 1 q 1 + 口眵1 44 - ，y 口1 2 = 0 ( 3 6 ) 即为色散关系把( 3 5 ) 带入( 3 2 ) 并化简可得 ( 见b + p 口4 。+ ，y d 2 9 ) ( 厶1 + 1 厶) = 0 4 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 此时可选取f 2 = 0 代入( 3 7 ) 可使等式两边恒相等 0 所以解可表示为 ，= 1 + e e l 选取= 1 可得 u = 百1 2 a 【岬+ e 嘲。 于是 0 = 3 ，4 ) 皆可取 以下证明( 3 9 ) 是方程( 2 1 ) 的解 只需证职l = 1 + e 6 是( 2 6 ) 的解。把，代入( 2 6 ) 得， ( d 。d t + 卢d 4 。+ y d 2 y ) ，l = 2 ( f f t 。一 z t 、+ 2 8 0 f z z z z 一4 f j z z 。+ 3 | t 0 、+ 趴q l 蚴一 孑、 = 2 【( 1 + e 1 ) p l n l e f l 一p 1 q l e 越1 】+ 2 p 【( 1 + 毒1 ) p 1 4 e e l 4 p 1 4 e 麓1 + 3 p 1 4 e 1 】 代入( 3 6 ) + 2 7 【( 1 + e 自) q l 2 e q l 一q 1 2 e 笃1 】 = 2 p 1 q 1 e f l + 2 p p l 4 e e l + 2 7 q t 2 e e l 2 p l e 1 ( p l n l + 励1 4 + q l2 ) = 0 5 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 至此，证明完毕 下面求二孤子解令 ，1 = e 1 + e 如 其中靠= 纯z + q i y + n t + 舻，( i = 1 ，2 ) 代入( 3 1 ) 得 p f g + 矽i + 7 q 2 f = 0 ，( i = 1 ，2 ) ( 3 1 0 ) 把 = 莎- + e 如代入( 3 2 ) 化简得 ( 眈d t + 卢d 4 。+ 7 d 2 y ) ( ，2 1 + 1 ，2 ) = p l q 2 + p 2 q 1 + 4 j 3 p z l p 2 + 4 励1 p 3 2 6 p p 2 l p 2 2 2 q l q 2 ( 3 1 1 ) 设，2 = a 1 2 e 针。代入( 3 1 1 ) 得 ( p l p 2 ) ( q 1 一q 2 ) + f l ( p l p 2 ) 4 + 7 ( q l 9 2 ) 2 啦23 一面了两瓦干两干瓦再面河巧石石矛 将 ，2 代入( 3 3 ) 中，经化简得 ( d 。d t + 卢d 4 。+ 7 d 2 v ) ( ，3 1 + 1 ，3 ) = 0 类似于上面所述，令，3 = 0 ，于是 ( 江4 ，5 ，) 可取0 所以解可表示为 f = 1 + ( e e l + e 2 ) + s 2 0 1 2 e 1 + 如 ( 3 1 2 ) 选取s = 1 并代入( 2 6 ) 经过验证( 3 1 2 ) 为( 2 6 ) 的解 于是方程的双孤子解为u = 可1 2 a n ( 1 + ( e 6 + e 如) + a 1 2 e 如) k 6 4 p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的w r o n s k i a n 解 记号：d x = 鑫，仇。= d y ，d x 。= d t w r o n s k i a n 解的形式是： 其中n 满足方程 t n = 1 0 | 0 谴对 ： i 沓| k ( 眈d t + p d 4 。+ , d 2 u ) n t n = 0 ，o = 圳o 互f f 丝t ) x 2 = 土居辔，筹= 一4 p 碧 为了便于证明n 满足( 26 ) ，下面的证明过程中采用简化形式取 a ，3 口a 2 厂 面2 v 了一o x 2 把( 2 6 ) 式展开为偏微分方程的形式： ( 己。+ p 兄。+ ，y e 。：) 了k 一( 瓦。+ 4 3 t 。x 。) e + 3 3 t 2 。一 y t 2 。= 0 1 4 1 ) 把简写为 甄= 【0 ，1 ，一1 】 对n 连续求z 的偏导可得 知，。= 【0 ，1 ，一2 ，卅 ( 4 2 ) ，。= 【0 ，1 ，一，n 一2 ，n + 1 】一【o ，l ，一3 ，n 一1 ，n 】 ( 4 3 ) 7 肛 ；扩符 虱一= 【0 ，1 ，n 一2 ，+ 2 1 + 2 【0 ，1 ，一，n 一3 ，n - 1 ，+ l 】+ 【o ，1 ，n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，n 】 ( 4 4 ) 西，。一【0 ，1 ，n 一2 ，n + 3 1 + 3 0 ，1 ，n 一3 ，n 一1 ，+ 2 】+ 2 【o ，1 ，n 一3 ，n ，+ l 】+ 3 o ，1 ，一4 ，一2 ，n - 1 ，+ 1 】+ 【o ，1 ，n 一5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，n ，】 ( 4 5 ) 对茹3 分别求导得 t n , x 2 v 俘【o ，”一一川+ 序”一一，似6 ， 。= 等【o ，1 ，一1 ，+ 2 1 一等n 1 ，一3 ，+ 1 】+ 2 等【0 1 ，一3 ，+ 1 1 一了3 3 【o ，l ，- 4 , n - 2 , - 1 , n + i + 3 7 3 0 , 1 , 一，一5 ，- - 3 , n - 2 , n - l , n ( 4 7 ) 目= 一4 1 3 1 0 ，1 ，一4 ，n 一2 ，n 一1 ，n ，】+ 4 p 【0 ，1 ，n 一2 ，n + 2 】 ( 4 8 ) 总结上述结果，可得 n = 【0 ，1 ，j 7 、r 一1 】 8 t n 。= 1 0 ，1 ，n 一2 ，n 1 霸m + 4 f f t n ，一= 1 2 a o ，1 ，一3 ，n 一1 ，n + 1 l ( 4 9 ) 、砜。+ v 呵t n , 。= 2 v 俪 o ，1 ，n 一2 ，n + 1 】 ( 4 t o ) 、砜口一、可，。：= 2 v 币 0 ，1 ，n 一3 ，n 一1 ，n 1 ( 4 1 1 ) n ，。+ 阢，。+ 7 t n ，。，= 1 2 f l 0 ，1 ，一3 ，n ，n + 1 1 ( 4 1 2 ) 以上等式代入( 4 1 ) ，化简后得 【一2 ，n 一1 ，口，口1 【口，口，n ，n + 1 】一【n 一2 ，d ，n ，口】【口，n 一1 ，d ，n + i 】 + i n + 2 ，口，d ，n + i 1 【口，n + 1 ，n + 2 ，口】= 0 这正是行列式满足的p l i i c k e r 关系 9 5 p o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i 方程的g r a m m i a n 解 g r a m m i a n 解具有下面形式并满足方程( 2 6 ) t m = 其中口玎= 劬+ 厂 毋如，c 玎= c o n s t 帆t ，差= 扩亨籍，如o y _ 。= 一4 卢辔，笼= 一扩亨象 ，筹= 一4 p 器为了证明n 满足( 2 ，6 ) ，借助于p f a f f i a n 式表示t n ， t n = ( 1 ，2 ，j i v ，2 ，1 ) 其中心j + ) = + f f g j d x ，c i i = c o n s t a n t ，俄歹) = ( t j ) = 0 记( d n ，j ) = 纽o x n ，( d n ，矿) = 鬻，( d i n ，矿。) = o ，( d n ， ) = ( d 。 ) = o ，n = 屑，6 4 p 对元素( t ，j + ) 求导并用p f a f f i a n 式表示 警= ， 缈= ( 州一o , l 3 + ) ( 5 1 ) 鬻= n 五。毋一，i 缈。d z = 。( ， 。g j 一，l 缈。) = 一n ( d - ，矿。_ j + ) + n ( d o ，d 。， ，j + ) ( 5 1 ) 瓮舶l k 锄吨吣。；a z = b ( f 拓z g j 一 。彩。+ 五毋。) = b ( d 2 ，d * o ，i ，j ) 一b ( d l ，d * l ，i ，j + ) + b ( d o ，d * 2 ，i ，j + ) ( 5 1 ) 1 0 h 瓤 n o i 毖 d n l l 毗 眈 代入中可得 等= ( “2 ，1 ，2 1 ) ( 5 4 ) 雩= ( d l ，d 。，1 ，2 ，2 ，l + ) + ( d 0 ，矿，1 ，2 ，一，+ ，2 + ，1 + ) ( 5 5 ) 笔等= 一n ( d - ，d 。，1 ，2 ，2 ，1 + ) + 口( d o ，矿，1 ，2 ，、r ，2 + ，r ) ( 5 6 ) 鬻= 6 ( d 2 ，d + 。，1 ，2 ，+ ，2 ，1 + ) 一6 ( d - ，扩t ，l ，2 ，2 + ，r ) + 6 ( d o ，d * 2 ，1 ，2 ，一，+ ，2 + ，1 + ) ( 5 7 ) 0 舭3 t 3 n = ( d 2 ，d * o , 1 , 2 , - - - , ，v 。，2 + ，1 + ) + 2 ( d 1 ，矿l ，1 ，2 ，+ ，2 + ，1 ) + ( d 0 ，d * 2 ，1 ，2 ，j v ，+ ，2 ，1 + ) ( 5 8 ) 苇子= ( d 3 ，矿。，1 ，2 ，一，+ ，2 + ，1 + ) + 3 ( d 2 ，d ，1 ，2 ，7 v + ，2 + ，1 ) 1 1 + 2 ( d o ，d o ，d l ，a t * l ，1 ，2 ，+ ，2 ，1 + ) + 3 ( d l ，d 2 ，1 ，2 ，+ ，2 + ，1 + ) + ( d o ，d * 3 ，1 ，2 ，。，2 ，1 + )( 5 9 ) 瓦0 2 ；孬t n = ( 如，d 。，l ，2 ，+ ，2 ，1 + ) + ( d 0 ，矿3 , 1 , 2 , - - - , ，2 + ，l + ) 一( d o ，d * o ，d l ，d * l ，1 ，2 ，+ ，2 ，1 + ) ( 5 1 0 ) 鬻：( d 3 ，甄，1 7 2 ，1 + ，2 + ) _ ( d 2 ，叭2 ，j + ，2 + 1 ) 一2 ( d o ，d + o ，d 1 ，d 1 ，1 ，2 ，+ ，2 ，1 ) 一( d l ，d * 2 ，1 ，2 ，2 ，1 + ) 将珏简写为 对珏求导 + ( d 0 ，d * 3 ，1 ，2 ，m | 7 v + ，2 + ，1 ) t n = ( ) t n 。= ( d o ，d * o ，) 1 2 ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) t n m + 4 卢t n , 。= 1 2 1 3 ( d l ，d * l ，) v v t n ，。+ 俑m = 2 v 俪c d o ，a t * 1 ，) v f f - 朋，。一, f 彳t n ，。：= 一2 v 丽, o ( d o ，d 1 ，) ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) ( 5 1 5 ) 珏，。+ p ，k # 。+ 1 n ，。：。：= 1 2 p ( d o ，d * o ，d l ，d * l ，) ( 5 1 6 ) 将上面的式子代入( 4 1 ) ( d o ，d + o ，d 1 ，d + l ，) x ( ) = ( d o ，d o ，) ( d 1 ，d + 1 ，) + ( d o ，d 1 ，) x ( d * o ，d 1 ，)( 5 1 7 ) 这正是行列式的j a c o b i 性质 参考文献 【1 】1r y o g oh i r o t a t h ed i r e c tm e t h o di ns o l i t o nt h e o r y 2 7 ，6 5 - 6 8 ，7 7 - 7 9 ，1 0 1 1 0 3 【2 】陈登远，孤子引论 1 3 - 1 5 1 3 1 张金顺，有限维可积系统的母函数方法，博士论文( 1 9 9 8 ) 【4 】c w c a o ，x g g e n g ，i n ：n o n l i e a rp h y s i c s ，r e s e a r c hr e p o r t si np h y s i c s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ， ( 1 9 9 0 ) 6 8 - 7 8 f 5 jx g ，g e n g c w ，c a o c h a o s ，s o l i t o n ，f r a c t a l s 2 2 ( 2 0 0 4 ) 6 8 3 - 6 9 1 f 6 】y c h e n g ，y s l i ，p h y sl e t t a 1 5 7 ( 1 9 9 1 ) 2 2 f 7 】x g g e n g ，c w c a o ，n o n l i n e a r i t y1 4 ( 2 0 0 1 ) 1 4 3 3 【8 jd e - s h e n gl i ，h o n g - q iz h a n g n e ws o l i t o n - l i k es o l u t i o n st ot h ep o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e ! t v i a s h v i l ie q u a t i o n ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 4 6 ：3 8 1 3 8 4 【9 ld o g a nk a y a ，s a l a hm e l - s a y e d n u m e r i c a ls o l i t o n l i k es o l u t i o n so f t h ep o t e n t i a lk a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l ie q u a t i o nb yt h ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，p h y s i c sl e t t e r sa ，2 0 0 3 ，3 2 0 ：1 9 2 - 1 9 9 【1 0 ir u s s e l ljs ，”r e p o r to nw a v e s ”，r e p o r to ft h e1 4 t hm e e t i n go fb r i t i s ha s s o s o c i a t i o nf o r t h ea d v a n c e e n to fs c i e n c e ，1 8 4 4 ，j o h nm u r r a y , l o m d o n ，p p 。3 1 1 3 9 0 。 1 1 1 】s c o t tac ，c h u nfyfa n dm c l a u g h l i ndw ，t h es o l i t o n - an e wc o n c e p ti na p p l i e d s c i e n c e ，p r o c ，i e e e ，6 1 ( 1 9 7 3 ) ：1 4 4 3 - 1 4 8 3 1 2 】k o r t e w e gdja n dg d ev r i e s ，o nt h ec h a n g eo ff o r mo fl o n gw a v e sa d v a n c i n gi na r e c t a n g u l a rc a n a l ，a n do nan e wt y p eo fl o n gs t a t i o n a r yw a v c s ，p h i l m a g 3 9 ( 1 8 9 5 ) 4 2 2 4 4 3 f 1 3 z a b n s k ynja n dk r u s k a lmd ，i n t e r a c t i o no fs o l i t o n sn ac o l l i s i o n l e s sp l a s m sa n dt h e r e c u r r e n c eo fi n i t i a ls t a t e s ，p a y s r e v l e t t 1 5 ( 1 9 6 5 ) ：2 4 0 - 2 4 3 1 4 g a r d n e rcs ，g r e e n ejm ，k r u s k a lmda n dm i u r arm ，m e t h o df o rs o l v i n gt h ek o r t e w e g - d e v r i e se q u a t i o n ，p h y s r e v l e t t 1 9 ( 1 9 6 7 ) ：1 0 9 5 - 1 0 9 7 【1 5 】w a h l q u i s th da n de s t a b r o o kfb ，p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e sa n dn o n l i n e a re v e l u t i o ne q u a - t i o n s ，j m a t h p h y s 1 6f 1 9 7 5 ：1 2 9 3 1 2 9 7 1 4 【1 6 1a b l o w i t zm ja n ds e g u rh ，s o l i o n sa n di n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ， p a ，1 9 8 1 f 1 7 n o v i k o vsp ，m a n a k o vsv ，p i t a e v s k i ilp a n dz a k h a r o vve ，t h e o r yo fs o l i t o n s ，t h e i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d s ，c o n s u l t a n t sb u r e a u ，n e wy o r k ，1 9 8 4 【1 8 】acn e w e l l ，s o l i t o n si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，p a ，1 9 8 5 1 9 a b l o w i t zmja n dc l a r k s o npa ，s o h t o n s ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n di n v e r s e s c a t t e r i n g ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 1 2 0 1g uch ，h uhsa n dz h o uzx ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ni ns o l i t o nt h e o r ya n di t s g e o m e t r i ca p p l i c a t i o n s ，s h a n g h a is c e o n t i f i ca n dt e c h n i c a lp u b l i s h e r s ，c h i n a ，1 9 9 9 【2 1 】b e l o k o l o sed ，b o b e n k oai ，e n o l s k i ivz ，i t sar a n dm a t v e e vv b ，a l g e b r o - g e o m e t r i c a p p r o a c ht on o n l i n e a ri n t e g r a b l ee q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 9 4 1 2 2 】m t s u m oy ，b i l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，a c a d e m i c ，n e wy o r k ，1 9 8 4 【2 3 】h i r o t ar ，t h ed i r e c tm e t h o di ns o l i t o nt h e o r y ( c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ) 【2 4 1 h i r o t ar ，e x a c ts o l u t i o no ft h ek o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o nf o rm u l t i p l ec o l l i s i o n so f s o l i t o n s ，p h y s r e v l e t t 2 7 ( 1 9 7 1 ) ：1 1 9 2 - 1 1 9 4 【2 5 】h i r o t ar ，e x a c ts o l u t i o no ft h em o d i f i e dk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o nf o rl n n l t i p l ec o l l i s i o n s o fs o l i t o n s ，j p h y s s o c j p n 3 3 ( 1 9 7 2 ) ：1 4 5 6 - 1 4 5 8 【2 6 h i r o t ar ，e x a c ts o l u t i o no ft h es i n e - g o r d o ne q u a t i o nf o rm u l t i p l ec o l l i s i o n so fs o l i t o n s ， j p a y s s o c j p n 3 3r 1 9 7 2 ) ：1 4 5 9 - 1 4 6 3 2 t h i r o t ar ，e x a c te n v e l o p e - s o l i t o ns o l u t i o n so fan o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，j m a t h p h y s 1 4 ( 1 9 7 3 ) ：8 0 5 - 8 0 9 2 s d jk a u p ，p r o g ，t h e o r 1 5 ( 1 9 7 5 ) 3 9 6 【2 9 lk u p e r s h m i d t ，c o m m u n m a t h p h y s 9 9 ( 1 9 8 5 ) 5 i 3 0 j s a t s u m a ，k k a j i w a r a ，j m a t s u k i d a r a ，j h i e t a r i t a ，j p h y s s o c j a n 6 1 ( 1 9 9 2 ) 3 0 9 6 1 3 1 z a k h a r o v v ea n ds h a b a t a b ，as c h e m ef o ri n t e g r a t i n gt h en o n l i n e a re q u a t i o n so f m a t h e