（应用数学专业论文）lyapunov量复算法的研究与应用.pdf

摘要 摘要 l y a p 吼o v 量( 或与之等价的焦点量) 在平面向量场的定性理论和分岔理论 中占有非常重要的地位，对于研究微分方程的稳定性有重要作用，是判定原点是 否为细焦点或中心类型的一种经典手段，同时可以用来判断由退化h o p f 分岔所 产生的极限环的个数与著名的h i l b c r t 第1 6 问题有着密切的关系。l y a p u n o v 量复 算法是得到焦点量的一种好方法。 本文借助于m a p l e 符号计算软件研究了具有一对纯虚特征根的两类平面多 项式系统的l y a p u n o v 量的复算法。共分为五个部分：第一部分综述了平面多项 式微分系统研究中的分支、极限环和i 归p l m o v 量等有关研究现状及工程应用背 景；第二部分介绍了本文所依据的主要理论基础和研究方法一i 沪p l m o v 量复 算法；第三部分研究了两类平面多项式系统的l y a p u n o v 量复算法，给出了相应 于两类系统的l y a p u n o v 量的复计算公式；第四部分给出了l y a p m o v 量的复公式 表及计算流程；并用m a p l e 程序计算了若干实例的l y a p 岫o v 量。本文的研究成 果对平面多项式系统多极限环分岔的研究具有重要理论意义；最后，给出结论与 展望，概述了本文所获得的主要研究成果及进一步研究的方向。 关键词平面多项式系统；极限环分岔； l y a p o v 量；m a p l e 符号计算软件 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c el y a p u n o vv a l e t s ( o r 州v a l c n tf o c a lv a l u e s ) a 砖v e r yi m p o r t a n ti nt h eq u a l i t a t i v e t l l e o r ya n db i f u r c a t i o nt t ”o r yo fv i x t o rf i e l d s 。r e r e l a l y a p t m o vv a l u 目p l a y sav i t a lr o l ei n r c a r e l a i n gm b i l i t yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o nt h e eb a 正i ti s 咄c l a s s i c a la l 班o a e ht o d 出m a i m g 山co r i g i nw h e t l 蝣f o raw e a kf o e m0 1 ae a m t e r ；, o 咀t h eo f l a e rh a n d , f o c a lv a l u e s 啪 如i d g et h en t m a b e ro fl i m i tc y c l e so c e u r r i n gi nd e g e r a t eh o l , fb i f u r c a t i o nw h i c hh a st l a ed o o e r e l a t i o n t ot b of f l l l l o l l sl - i i l b e r t1 6 t l ap r o b l e m 1 1 c o m l ，l c xa l g o r i t l m af o rl y a p u n o vv a l u e si sa g o o dm e t h o df o ro b t a i n i n gl y a p t m o vv a l u e s t h em a i na i mo f t l a i sd i s s c n l l t i o i j ti st os t u d yn i ec o m p l e xe o m l m t i n go f l y a p u n o vv a h u f o r t w op l a n a rp o l y n o m i a ls ”l t c m 3w i t hap a i ro f p u r e l ym p t ye i g e n v a l u e sw i t h 血ca i do f m a p l e t h e m a j o rv o t ! k 墨o ft h i s 击捌虻r 嘶o nm a i n l ya r ea 8f o l l o w s ：i np a r to 趾t h er e s e a r e l ad e v e l o p m e n t , a e l a i e v e m e n t sa n dt h ea p p l yb a e k g r m m do fb i f i m 础o n 、l i m i tc y c l ea n dl y a p t m o vv a l u ei np l , e p o l y n o m i a lv e c t o rf i e l d s 黜鲫m m a r i ；础hp a r tt w o ，cm a i nt t a e o r e t i e a lc o n c e p t sa n dt h e c o m p l e xa l g o r i t l a mf o rl y a p t m o vv a l u e sa mi n t r o d u e 礼i np a r tt h r e e t h ec o m p l e xa l g o r i t h m _ f o r l y a p t m o vv a l u e sf o rt w op l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m 8a ms t u d i e d c o x r c s r l o n d i n gc o m p l e xf o r m u l a s o f l y a p u n o vv a l u 目f o rt w op l a n a r5 y s t 口a smp r e s c n t e d i np a r tf o u r , e o m l l e xa l g o r i t l m t a b l e a n dt l a co l l l t l i mo f 出cm a p l es y m b o l i cc o m p u t i n gp r o g r a m 峨g i v e n ；t h el y a p t m o vv a l u e so f s o m ee x , a p l c sa mc o m p u t e db ym a p l cp r o g r a m t h er e s u l t si nt h i sd i 镕砷血mh a v es i g m f i e a u t g u i d i n gr o l et ot 目h 岫b i f u r c a t i o n so fl i m i tc y c l e so fp l a n a rl , o y i m i a l , l y s t e m s f i n a l l y , i nc o n c l u s i o na n dp r o s p e c t ms u m m a r i z et h em a i nr c s e a r e l aa c h i c v m e n l 3a 曲p o i n to u tt h e f i l r t h e rr e s c a r e l ad i r c c t i o n 1 k e y w o r d l l ：p l a n a rp o l y n o m i a ls y s t e m ；b i f u r c a t i o no fl i m i te y e l e ；l y a p u n o vv a l u e ； m a p l es y m b o l i ce o m l m t a t i o ns o f t w a r e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：l ，董日期：盐翊：! ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京- 1 - 业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定玉 签名：i 盘。l 导师签名：兰捭e tj ! l t ：掣- j 第1 章绪论 第1 章绪论 本章综述了平面多项式微分系统研究中分支、极限环和l y a p u n o v 量等基本 概念的发展历史、国内外研究现状、进展及工程应用背景，给出了本文研究的主 要内容。 1 1 相关研究问题综述 在1 9 世纪中叶，通过刘维尔的工作，人们已经知道绝大多数的微分方程不 能用初等积分法求解，这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响，使微 分方程的研究发生了一个转折。既然初等积分法有着不可克服的局限性，那么是 否可以不求微分方程的解，而是从微分方程本身来推断其解的性质呢? 定性理论 与稳定性理论正是在这种背景下发展起来了。前者由法国数学家庞加莱( p o i n c a r e , 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 在1 9 世纪8 0 年代所创立，后者由俄国数学家李雅普诺夫( l i a p u n o v , 1 8 5 7 - 1 9 1 8 ) 在同年代所创立他们的共同特点就是在不求出方程解的情况下， 直接根据微分方程本身的结构与特点，来研究其解的性质。由于这种方法的有效 性，近一百多年以来，他们已经成为从事许多学科和尖端技术，包括自动控制理 论、航天技术、生物学、医学、经济学等研究中不可缺少的数学工具，并且其思 想也渗透到数学的其他分支。近半个世纪以来，随着在结构稳定系统的研究中所 取得的突破性进展，对结构不稳定性系统，即分支系统的研究，也越来越受到关 注。 1 1 1 分支概念及分类 如果某个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓 扑结构发生突然的变化，这种变化称为分支( b i f u r c a t i o n ) ，也称为分叉、分歧、 分岔。当分支出现时，系统是结构不稳定的。对分支问题的研究可以追溯到十八 世纪以来对天体力学、弹性力学、流体力学和非线性振动中的一些失稳现象的探 讨，因此分支问题有着深刻的应用背景。不过，长期以来，分支研究主要在应用 领域中进行。直到本世纪七十年代，由于动力系统，非线性分析和非线性微分方 程等方面研究的推动，以及强有力的数值计算手段的协助，才开始形成分支的数 学理论和方法，并在力学、物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、 工程技术，以及经济学和社会学中得到广泛的应用。当前对分支的研究无论在理 论上还是应用上都在迅速深入地发展着【1 1 。 一般地说，完整的分支分析需要研究向量场的全局拓扑结构，这是十分困难 北京t 业大学理学硕十学位论文 复杂的，甚至是难以完成的。在实际应用中，有时只关心在平衡点或闭轨附近轨 线的拓扑结构的变化，即只研究在平衡点或闭轨的某个邻域内的向量场的分支， 这类分支问题称为局部分支。如果在分支分析中需要考虑向量场的全局性态，则 称为全局分支。按研究对象来看，数学上作为研究分支现象的理论分支理论 主要研究三类问题：由常微分方程或向量场所定义的连续动力系统的分支；由映 射所定义的离散动力系统的分支；函数方程的零解随参数变化而产生的分支。前 两类分支称为动态分支，第三类分支称为静态分支。本文研究第一类即向量场所 定义的连续动力系统的分支。 动力系统通常可用以下的常微分方程组 面dx=厂(功0i) 来描述。其中工= “，而，毛) 7 r 4 是疗维向量，表示系统的状态，t r 而 ，( 功= “( 功，五( 工) ，工( 功) 7 是一维向量场，由系统所遵循的某些规律决定。 上式右端不显含时间，所以是定常的动力系统。 动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一，主要研究 依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数而变化的规律。在自然界中，分 支现象是普遍存在的。在生态系统中，当一些自然条件超过某些特定状态时，便 可引起生态平衡被破坏或种群灭绝：上世纪6 0 年代从气象学研究中提出的 l o r e n z 方程 尝= - - o x + o y ，譬= 一露+ 卢一y ，j d z = 砂一k ( i - 2 ) 当参数盯，b 在某些值附近时，相应系统的轨道结构呈现某种。混乱”现象。并 由此引出了一系列有关混沌现象的研究工作，至今还是物理和数学界关注的热点 问题之一。它们构成了动力系统的分支理论丰富多彩的研究内容。 当疗= 2 时，f ( x ) = ( 功， ( 功) 7 r 2 称为平面向量场。 就平面向量场的分支理论而言，最为人们所关注的是极限环分支，也就是研 究当系统中的参数作微小变化时，极限环的产生和消失问题。平面向量场极限环 的产生有四种可能：细焦点分支( h o p f 分支) ；重环分支；奇闭轨分支( 分为同 宿轨分支和异宿轨分支两种) 和周期环域分支( p o i n c a r e 分支) 这四种分支中 的前三种属于局部分支或半局部分支，目前已有一些系统的研究方法和理论 2 - 3 。 最后一种p o i n c a r e 分支属于全局分支，目前的研究方法尚不完备。 1 1 2 极限环和i - l i l b c r t 第1 6 问题 随着h p o i n c a r e 在他的论文微分方程所定义的积分曲线中发现极限环以 后，它就立即受到这位著名的数学家的重视。为了研究一个给定的方程的极限环 2 第1 苹绪论 的存在性及极限环的性质，p o n c a r e 分别提出了地形系法、后继函数法、小参数 法和环域定理等重要的理论，并且人为地造出许多例子来检验这些方法的效果。 关于极限环的研究大体上分为两个方面，一个方面是关于极限环随系统中的 参数的变化而产生或消失的问题；另一个方面是关于极限环的存在性、稳定性、 个数以及它们的相对位置等问题。关于极限环存在性问题的研究相对多一些，唯 一性问题的工作就比较少【4 】，其原因有两个：第一，唯一性问题比存在性问题困 难些，不容易得到好的结果；第二，唯一性问题在微分方程定性理论中的重要性 被人较少认识。至于个数问题以及相对位置问题难度比较大，著名数学家 d h i l b e r t 也在1 9 0 0 年的国际数学会上提出了一系列的数学难题【5 】，其中第1 6 个 问题由两部分组成：第一部分是研究n 次代数曲线的具有最大闭分支数时的相对 位置关系以及非奇异实代数丛的相应研究，传统上，这是实代数几何学者的研究 课题：第二部分涉及到极限环问题，研究给定的多项式微分系统 ，ir， 1 ；= 只( 工，y ) ，等= q “) ) ( 1 3 ) ma r ( g ( x ，力与q “y ) 是次数不高于n 的实系数多项式，x , y 是实变量) 在kj ，) 平 面上最多有几个极限环? 他们的相对位置如何? 长期以来，这一问题吸引了许多 数学家的兴趣，但其困难程度也困扰着人们。用日( n ) 表示极限环个数的最小上 界，对于二次系统，1 9 7 9 年陈兰荪、王明淑【6 】和史松龄1 7 】分别举出了平面二次系 统中m ( 2 ) 4 的例子，突破了平面二次系统极限环个数的上界是3 的传统猜测， 对n = 2 时的h i l b c f t 第1 6 问题是一个极大的推进。自1 9 8 4 年来，李继斌【o 】利 用判别函数方法，运用数值分析的工具( 如m a p l e ) ，得到高次多项式可以具有非 常有趣的极限环分布和尽可能多的极限环个数。他对于寻找三次系统从一族闭轨 线分岔多少个极限环以及可能形式的分布作了很多工作，证明了日( 3 ) 1 1 的结 论。2 0 0 4 年俞培和韩茂安1 1 1 】又指出了三次平面系统可以存在1 2 个小极限环。对 偶数 6 ，有h ( n ) ( n 2 + 2 n 一1 4 ) 2 对奇数 6 ，有胃( 刀) ( h 2 + 5 n 一2 6 ) 2 ( 可 见 1 2 】) 。叶彦谢”d 4 】对于极限环的存在唯一性及相对位置分布的问题进行了探 索和研究。s s m a l d ”】认为h i l b e r t 第1 6 问题是“2 3 个数学问题中最困难的一个”， 它仍是本世纪尚待解决的数学难题之一 1 1 3 弱h i l b c r t 第1 6 问题简介 1 9 7 7 年，俄国数学家a r n o l d 1 司提出了一个解决此难题的步骤，称为弱化的 h i l b e f t 第1 6 问题： 考虑系统( 1 3 ) 的一种特殊情形，即h a m i l t o n 扰动系统： 妾：鼍掣+ 驴( 量力 出却 7 北京- y 业大学理学碘士学位论文 害：曼掣+ c o ( x , y ) ( 1 - 4 ) 其中，e 是小参数，0 叫 0 ，f 和g 是实解析函数。 ( 1 ) 在a b 的条件下，首先引入非奇异线性变换： 历 归丁工，忙y 。d 将( 3 - 2 ) 代a ( 3 - 1 ) 得到 譬= 垢a b y + j 。( x ，y ) ， 面2 叫 y j d y 。= 腼+ g 。g ，力， 出 一一 在b ，m 胞y ，= 亟a 譬训 ，小= g ( 孚 i d ji 口 j 进一步对时间变量t 作变换：f ：。l - f 曲 同时也有 -dx=历妄，dytltd t = 磊害4 rd f 将( 3 - 4 ) ，( 3 5 玳入( 3 3 ) 得到 霉。 ( 3 - 1 ) v ： 量 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 川 ( 3 5 ) _ d x = 叫+ 五g ，_ y ) ， 孕= x + g ：g ，y ) ，( 3 - 6 ) ( 3 - 6 ) 具有基本形式，在( 3 - 6 ) 中 胞小击删= 吉桴w ， 湘) = 护1 聃而1g 降训 令z = 工+ 耖，得到系统( 3 - 6 ) 等价的复形式： 2 = i z + r ( z ，j ) ，：ec，(3-7) ( 3 7 ) 是( 3 一1 ) 的复形式。在( 3 - 7 ) 中 婶h f ：l 丁z + 手，等) 幅( 孚，等) = ：if ( b 历a bz + j ，等 + 而ig 降孚，等 结论1 系统( 3 - 1 ) 具有复数形式j = z + r ( z ，三) ，其中 昨国= 三厂降孚，等 + 面ig 净字，等 p s ， 在原点的第i 个l y a p l l n o v 量的复表出是 厶= r ：。，忙+ 2 ，) g o ) ， ( 3 - 9 ) 其中，9 2 = ( o ，1 ，o ) 7 ，g = i d 。r 。_ _ ，g ，式( 2 8 ) ，( 2 - 9 ) ，( 2 - l o ) 中，取s = 0 ： r t 。由( 2 - 6 ) 确定，u ) = 0 ，u k + 1 ) ，r k ( j + 1 ) 是( 3 8 ) 中r ( z ，z ) 中项 z 三。7 ( 0 j s k ) 的系数：q 由( 2 - 7 ) 定义。 结论2 假设j = z + r ( z ，三) 中r ( z ，习为一历次多项式。令| ，为整数，且满 足七+ 用一3 r s 后+ m 一2 ，1 2 兰笔学，如果由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 所定义的m 一1 个连 续的向量乳，g 。一：都为零向量，并且有厶= 三：一= 厶= 0 ，则系统( 3 - 7 ) 存在多项式首次积分，且原点为中心。 ( 2 ) 在口= b 的条件下 考虑简化系统 1 2 生=叫+(x，y)，dt 。1 生= a x + g ( x ，y ) (310)dt 、 对时间变量t 作变换： f ：三f ， ( 3 1 1 ) 同时有 dx=口当。尘=4生dr(3-12)dtd rd td r 将( 3 1 0 ，( 3 1 2 ) 代入( 3 - l o ) 得到 孚= - y + a ( x ，y ) ，_ =，y j ， 罢= 工+ 9 3 g ，力，( 3 - 1 3 ) ( 3 1 3 ) 具有基本形式，在( 3 一1 3 ) 中 石g ，y ) ：三厂g ，y ) ，自g ，y ) ：! g g ，) ，) 令z = x + i y ，得到系统( 3 1 3 ) 等价的复形式： 2 2 扫+ 胄( 2 ，三) ，z c ， ( 3 1 4 ) ( 3 - 1 4 ) 是( 3 1 0 ) 的复形式。在( 3 - 1 4 ) 中 脚m 睁等卜降，等 = 吉( 玎孚，等) + 文学，等) 结论3 系统( 3 - l o ) 具有复数形式j = 拓+ r ( z ，动，其中 昨力= 三( 玎孚，等卜l z 2 f ，等 s ， 在原点的第七个l y a p u n o v 量的复表出是 厶= 是。+ 。， + 2 ，j ) g ( ，) ， ( 3 - 1 6 ) 其中，9 2 = ( o ，1 ，o ) 7 ，g 。= 蛾胄+ ，g ，式( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 一l o ) 中，取墨= o ； 且由( 2 6 ) 确定，屹u ) = 0 ，【， 七+ 1 ) ，u + 1 ) 是( 3 _ 1 5 ) 中r ( z ，三) 中项 z 三。7 ( 0 j k ) 的系数；d i 由( 2 7 ) 定义。 3 2 第二类平面多项式系统的l y a p u n o v 量的复计算公式 本节研究一般平面多项式系统 北尿1 业亢芋埋掌坝士芋位论文 一du=alu+bv+f(u，y)，dt 2 a u ，y j ， i d v = a 2 u + b 2 v + g ( u ，v ) ，( 3 - 1 7 ) i 。 ，j ， 其中u , t ，r ，a l ，6 l ，4 2 ，b 2 r ，和g 是实解析函数。 首先考虑使一般形式8 9 平面系统( 3 - 1 7 ) 转化为标准形式( 2 - 2 ) ，这要求( 3 - 1 7 ) 和( 2 - 2 ) 应具有相似的线性矩阵，同时它们的线性矩阵应有相同的特征值。 c ，- ，和q z ，的线性矩阵分别为4 = ( ：乞 和曰= 口一) 矩阵b 的特征方程是矛+ i = 0 ，矩阵a 的特征方程是 d e t ( 4 一甜) = 牙一g l + 6 22 + a l b 2 一口26 l = o ， 口l ，b l ，a 2 ，b 2 须满足条件 a i + b 2 = o a i b a a 2 b l = 1 ( 3 1 8 ) 在条件( 3 - 1 8 ) 下，若 ( 1 ) 当a 1 - 如时，对, ，v 作非奇异线性变换： u ；j 一工+ 上4 。y ，v ：_ ) ，( 3 1 9 ) 相应有 生d t = 去生d t + 导a 生d t ，生d t = 立d t ( 3 2 0 ) 口， 、7 将( 3 - 1 9 ) ，( 3 - 2 0 ) 代入( 3 - 1 7 ) 得到 譬= 叫+ 石g ，a 面2 叫+ ，协，y ， d 出y = x + g l g ，y ) ，( 3 - 2 1 ) ( 3 - 2 1 ) 具有基本形式，在( 3 - 2 1 ) 6 f f ， 胞小口：档工+ 寸啪陆工+ 扣，y ，l 口2 口2 口2 4 2 蜀g ，y ) ：g 仁工+ 上州，y 令z = 工+ y ，得到( 3 2 0 8 9 复形式： j = i z + r ( z ，三) ，z c ，( 3 - 2 2 ) 在( 3 - 2 2 ) q h ， 脚m ( 孚，等卜( 孚，等 1 4 第3 章曲荚一殷半曲多项式系统的l y a p u n o v 重的夏计算 2 如1 等+ a x 兹，筹j + ( - 叫杖专+ q 兹，寻j 鸹l 瓦酉百j + 【- ”杖瓦均酉百j 结论4 在条件( 3 - 1 8 ) 下，系统( 3 1 7 ) 具有复数形式2 = 拓+ r ( z ，三) ，其中 酢咖口：1 等扣- 爱，等 + ( - ”z ) g ( 等扣- 署，等) ( 3 z s ， 在原点的第七个l y a p u n o v 量的复形式为 丘= r 2 。 + 2 ，) g 。( ，) ，( 3 - 2 4 ) 其中，9 2 = ( o ，1 ，o ) 7 ，g = 蛾且胂，g ，式( 2 - 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 一l o ) 中，取e = o ； r k 。由( 2 - 6 ) 确定，唯u ) = 0 ，u k + 1 ) ，u + 1 ) 是( 3 - 2 3 ) 中r ( z ，z ) 中 项z 三卜7 ( 0 j k ) 的系数；见f l q ( 2 7 ) 定义。 ( 2 ) 当a = b 2 = o 时，一般形式的平面多项式系统( 3 - 1 7 ) 成为如下 老= 6 l ，+ 巾，v ) ， i d v - - a 2 u + 2 u + 9 0 ，( 3 - 2 5 ) 面 g 啦，w ， 即为系统( 3 1 ) 形式。 3 3 本章小结 本章主要研究了两类具有一对纯虚特征根的一般平面多项式系统的 l y a p u n o v 量复算法。这两类一般平面多项式系统的线性部分不同于基本形式 ( 2 2 ) ，在文中分别讨论了两类一般平面多项式系统和基本形式( 2 2 ) 之间的变换关 系，给出了它们之间的转换公式；给出了相应于两类系统的l y a p u n o v 量的复计 算公式及一种判定平面多项式系统中心的方法。这一结果可以用于判断平面多项 式系统的奇点类型和极限环的个数。本章所得到的结果拓展了文献 3 2 】的应用范 围。 北京工业大学理学硕士学位论文 第4 章计算l y a p u n o v 量的m a p l e ( 符号计算软件) 流程及实例 本章给出了利用m a p l e 符号计算软件和计算l y a p u n o v 量的复公式表计算 l y a p u n o v 量的三个流程步骤及流程图；在第二节中，使用m a p l e 结合计算 l y a p u n o v 量的复计算流程，计算了三个实例的l y a p u n o v 量，并对照文献 3 2 q a 的相关结果作出了比较。 4 1 计算l y a p u n o v 量的m a p l e ( 符号计算软件) 流程 按照第二章和第三章介绍的部分定理和相应公式，本节给出计算一般平面多 项式系统l y a p u n o v 量复计算公式一览表，见附录( l y a p u n o v 量复计算公式一览 表) 。由附录，计算按以下三个步骤进行： 第一步：参照第三章计算平面多项式系统的l y a p u n o v 量的复公式中的转换 关系及相应计算公式，由结论可以首先计算出在不同条件下不同系统的r ( z ，习； 结合按照在第二章预备知识中研究方法中所给出的矩阵定义3 ，依次计算r k ( j ) 和 它的相关矩阵墨 第二步：按照在第二章预备知识中研究方法中所给出的矩阵定义4 ，计算了 相关的矩阵d ( 注：在程序中矩阵名称的设定会有所改变) ；结合第一步所得结 果依研究方法引理所给出的晶定义，通过m a p l e 符号计算软件得到g _ 第三步：结合第一步和第二步所获计算结果，由第三章中计算平面多项式系 统的l y a p u a o v 量的复公式中结论所给计算公式，计算得到最终的丘，并与论 文【3 2 】中的所获结果做出比较。 下图是利用m a p l e 计算l y a p u a o v 量的算法流程图。 1 6 第4 章计算l y a p u r l o v 量的m a p l e ( 符号计算软件) 流程及实例 4 2 实例分析 图4 1 计算l y a p u n o v 量的算法流程图 下文主要考虑利用m a p l e 符号计算软件按照流程步骤计算三个实例的 l y a p u n o v 量，并和论文【3 2 】中的相关结果进行比较。 4 2 1 例子 例1 v a n d e r p o l 方程 j + ( 工2 1 ) k + x = 0 ( 4 - 1 ) ( 1 ) 作变量代换量= 少以及相应的代换j = 夕，得到初始方程( 4 - 1 ) 的等价 形式： j d r ：叫， 等爿一 ( x 2 - - 1 ) y 件2 ) 按照文中计算l y a p u n o v 量的附表所示，取z = x + y ，( 4 - 2 ) 转换成复形式： j = i z + r ( z ，习，z c ，( 4 - 3 ) ( 4 - d 的复数形式是( 4 3 ) ，在( 4 3 ) 中 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 胄c z 刃= 一譬一；皿2 + ；胆2 z + 扣3 + 等一三厚 ( 2 ) 按照计算流程使用m a p l e 得到了o - 1 ) 的l y a p u n o v 量。结果如下： l ：一竺 4 工2 = 厶= = = 0( 厶= o ) 由此可知方程具有一个细焦点和一个极限环。 例2一类二次平面微分方程 ( 1 ) 方程( 4 - 4 ) 属于附表中的第二种情况。在方程( 似) 中， f ( u ，) = 口掣2 + 口1 1 u v + a 0 2 v 2 ，g ( u ，v ) = ”2 + 6 1 1 圳+ v 2 将转换公式 “：掣，v ：一三，( z 一习( s )z 岛o ， z 代入( 4 - 4 ) ，( 4 - 4 ) 具有等价的复形式： j = i z + r ( z ，三) ，z c ，( 4 - 6 ) 在( 4 6 ) 中，r ( z ，三) = z 2 + b l a + c 1 孑2 ，方程( 4 4 ) 和它的复形式件- 6 ) 的系数关 系见附录1 。 ( 2 ) 为计算简捷，用4 ，马，c 2 代替石，酉，巧在本文程序下，应用i v i a p l e 符号计算软件，有： 上i = ( 4 置一4 岛) f ， 三2 = ( 一；) i m ( ( 2 4 + b 2 ) ( 4 2 岛) b 2c 1 ) ，( 1 = o ) 上，= 詈蚂3 8 2 a 2 c , 一1 3 1 9 , 4 岛3 4c i 一言吗4 皿2 c 1 2 一寻f c 2 岛吖一2 - 莩i c ：岛4 一；峨以c 。+ 詈吗4 c l 且+ ；j c 2 2 4 c 2 十；哆皿砰以一；吗岛c 1 2 + 半嘲马2 鸣2 + ；蜴2 c i b i ( z 1 吐_ 0 ) ( 3 ) 本例与文献【3 2 】中的结果的比较 在论文【3 2 】中的复方程为j = 拓+ a z 2 + 肱+ 口2 ，z c ，l y a p u v 量为 厶= - 2 i n , a s ) ， 厶= 一詈i m ( ( 2 a + b ) ( 4 2 b ) b c ) ， ( 上l = o ) 1 8 户 + 巩晰以 嘞址 扣忙 厶= 一丢q 纠2 一i c | 2 ) i m ( ( 2 爿+ 百) 百2 0 ( 厶= 三：= o ) 通过化简，得到结果相一致。 例3 一类三次平面微分方程 ：嚣扣：0盘+anu2v也+au以uv2+aoov3u+bob 3 0 u 口= 6 1 01 1 ，+3 + 6 2 l “2 y + 6 1 2 l v 2 + ， 、。 ( 1 ) 方程( 4 - 7 ) 属于附表中的第三种情况。在方程( 4 - 7 ) 5 h f ( u ，= a j o u 3 + 4 2 i “2 v + a 1 2 “v 2 + 口 ，3 ， g ( u ，v ) = b 3 0 u3 + b 2 l u 2 v + 岛2 u v 2 + b 0 3 v 3 引入相应交换公式“2 击g + 三) 一三，等( z 一三) ，y = g 一三) ( 4 7 ) 的复形式是： j = i z + r ( z ，三) ，z c ，( 4 - 9 ) 在件9 ) 中，r ( z ，三) = 4 ，+ 马z 2 牙+ c i 应2 + d 1 尹( 4 7 ) 和( 4 _ 9 ) 的系数关系见附录2 1 ( 2 ) 用鸣，垦，c 2 ，d 2 分别代替石，鬲，百，o i 借助于m a e 符号计算软件， 得到l y a p u n o v 量为： 厶= 骂+ 易， 厶= 4 c t i 一以c 2 f ，( 厶= 0 ) _ , 3 _ - - 3 d 。l a t - - - - - 篚2 + d 2 g a 2 扣3 c 2 8 2 d 1 + 4 c 2 d t + t 3 d 2 c 1 2 一半，编吐= d ) 丘= ( 一去f ) ( 3 4 c 2 d l + 3 d 2 c t a 2 + c 2 2 d 1 + d x c , 2 ) 最，( 厶= 厶= 厶= o ) 工。= 1 2 9 a i c 2 8 2 2 d , + 4 3 d 2 b 2 2 c 1 2 + 4 3 c 2 2 b 2 2 d , + 1 2 9 d 2 b 2 2 c t a 2 + d 2 d t 2 c 2 2 + 垒：垒刍：+ d 2 2 a 2 d | c i + 4 0 1 d 2 c 2 c 1 3 + ! ! ! 刍：生垒一! ! ! 生刍：生垒 + d 2 4 d 1 2 c 2 + 1 3 3 d 2 c 2 c , 2 4 2 + 4 0 1 d , c - c 2 一! ! 竺垒鱼刍垒： ( 上i = 厶= 厶= = o ) ( 3 ) 对在本例和论文 3 2 】中的结果作t g 较。 在论文 3 2 1 中的复方程为：2 = z + d z 3 + & 2 三+ 肱2 + g 乞3 ，ze c ，l y a p u n o v 量为： 厶= 2 r e ( l 0 ， l 2 = - 2 i m ( d f ) ，( 厶= o ) 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 厶= 一互1r e ( ( 3 。+ 驰一3 f ) g ) ，( 厶= 岛= o ) l = - 2 i m ( ( 3 d