（理论物理专业论文）低维玻色—爱因斯坦凝聚的转变温度和基态性质.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 是近年来物理学界的研究热点之一它揭示了一类新的 物质状态，高度密集的大量原子以相干的方式演变，将微观的量子现象带到了宏观尺度 激子b e c 是在半导体材料中实现的低维玻色一爱因斯坦凝聚，和原子b e c 相比，有着 更为广阔的前景：如最有希望在大功率、低功耗发光器件和可能在超快逻辑器件及量子 计算中得到应用。因而越来越受到人们的重视凝聚温度是普通玻色气体转变为玻色一 爱因斯坦凝聚体的相变温度本文考虑体系中粒子第一激发态能量不为零的条件下，对 低维体系的凝聚温度进行相关计算，考查体系中粒子的第一激发态能量的大小对体系 的凝聚温度的影响；以及在第一激发态能量大小一定的前提下，不同维度的空间中体系 的凝聚温度、基态占据数随总粒子数变化的关系，得到了与实验较为符合的结果研究 发现：随着粒子数密度的增加，低维体系的凝聚温度比高维情形增长的快；体系的凝聚 一一 温度与第一激发态能量密切相关，解释了对于囚禁在g a a s 量子阱中的激子气体，即使 在无谐振势或幂指数等特殊外势的条件下，也可以在几个k 实现玻色一爱因斯坦凝聚 的实验现象玻色一爱因斯坦凝聚体波函数藉由g r o s s p i t a e v s k i i 方程( g p 方程) 描述最 后，我们使用傅立叶一格雷德一哈密顿方法数值求解g p 方程，研究了总粒子数、粒子间 相互作用、谐振频率和一般幂指数外势对玻色凝聚体粒子数密度分布、基态能量的影响 研究结果表明：增大幂指数外势、谐振频率，降低粒子间的排斥作用都会增加凝聚体中 心的粒子数密度、缩小凝聚体半径：而增大总粒子数、谐振频率、粒子间的排斥作用及 幂指数外势的指数都会增大体系的基态能量：随着总粒子数增大，数值结果与托马斯 费米近似结果渐趋一致，托马斯费米近似在大粒子数条件下是一种较好的近似方法， 在粒子数有限时，托马斯费米结果与真实情形偏差较大，应采用数值解法 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚，凝聚温度，基态占据数，第一激发能级，傅立叶一格雷 德一哈密顿方法 c r i t i c a lt e m p e r a t u r ea n dg r o u n ds t a t ep r o p e r t i e so f l o w d i m e n s i o n a lb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n w ud 印e 1 1 9 ( t h e o r “c a lp h y s i c s ) d i r c c t e d b y p r o fm e l lf u d i a i l a b s t r a c t b o s e e i n s t e i nc o n d e n s 撕o n( b e c )i so n eo fm eh o t s p o ti i lt h ep h y s i c sr e s e 鲫c h r e c e l l t ly i tr e v e a l san e wf o r mo fm a t t e ri i lt h eu i l i v e r s e ，a1 a r g en 嘶b e ro fd e i l s ea t o m s e v o l v e sc o h e r t l y ，b r i n 舀n gm eq u a n t u mp h e l l o m e n o n 自o mt l l em i c r o s c o p i cw o r l dt ot 1 1 e m a i ：r o s c 0 p i cw o r l d e x c i t o n sb e ci st h eb o s e 卜e i n s t e i nc o n d e l l s a t i o nr e a l i z e di nt l l e s e m i - c o n d u c t o rm a t 耐a l s t h ep h y s i s t s l a ym o r e 锄dm o r e 锄p h a s i so ni t d u et 0i t s s p e c i a l 时柚dw i d ep r o s p e c t ，s u c h 舔t h e 印p l i c a t i o no nh i 曲- p o w e r e da n dl o w - c o n s u m p t i o n 1 i 曲t e m i t t i n gd e v i c e s ，u l t r a f 瓠t1 0 西cd e v i c e s ，a i l dq u 锄t u mc o m p u t i n g c r i t i c a lt 锄p e r a t u r e i st h ep h a s et r a n s i t i o nt e m p e r a t u r ea tw h i c ht h ec o m m o nb o s eg a s 们m s f o m si n t ot h e b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n t l l i st h e s i sc a l c u l a t e sm ec r i t i c a lt 锄p e r a t u r ei nt h e1 0 w d i m e n s i o n a ls p a c e sa c c o r d i n gt ot h ef i r s t e x c i t e d s t a t ee n e r g yo fp a i t i c l e si n l e 饥l p e d c o n d e n s a t eb e i n gd i 伍玳n te 。o mz e r o ，m v e s t i g a t e sm ee 毹c to ff i r s t - e x c i t e d - s t a t ee n e 唱yo n t h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r e 硒w e l la u sm er e l a t i o n s h i po ft h ec r i t i c a l t e m p e r a t l l r e 锄dm e g r o u l l d s t a t ef a c t i o nv e r s u st h et o t a ln u m b e ro fp a n i c l e si nd i f f e r e n td i m e n s i o n a ls p a c e s t h e r e s u l t sw eg e ta r ec o n s i s t e mw i 1t h ee x p 耐m e n td a t a ni ss h o 、nt h a tt h e 嘶t i c a lt 锄p 蹦l n l r e i i ll o w d i m e i l s i o n a ls p a c e si i l c r e a s e sm o r eq u i c k l ym a i lt h a ti nh i 曲- d i m e l l s i o n a ls p a c ew i t h d e n s 时o fp a n i c l en 啪b e ri n c r e a s i n 吕a n dt h e c r i t i c a lt 锄p e 咖u r eo fs y s t e r l lh a sc l o s e r e l a t i o nt ot h ef i r s t e x c i t e d s t a t ee i l e 唱y o u rt h e o r e t i c a lm e m o dc a ne x p l a i nt h ep h e n o m e n a t h a te v e i lu 1 1 d e rm ec o n d i t i o no fa b s e n ts p e c i a le x t e n l a lp o t e i l t i a l ，s u c h 舔h 锄o l l i cp o t e l l t i a l a 1 1 dp o w * l a wp o t e i l t i a l ，t h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o nc a nb er e a l i z e da ts e v e r a lkf o r e x c i t o n sg a l s 仃a p p e di ng a a sq u 锄佃nw e l l t h ew a v e c t i o no fb e cc a i lb ed e s 嘶b e db y m eg r o s s - p i t a e v s 虹ic q u a t i o n i nt h el a s tp a r to ft h et h e s i s ，w es t u d yt h ee f f l e c to ft o t a lp a r t i c l e n 啪b e r ，l ei n t e f a c t i o nb e t w e e np 抓i c l e s ，m e 厅e q u e n c yo fh a m o n i cp o t e n t i a la j l d t l l e 1 1 p o w * 1 a wp o t e l l t i a lo nm ed i s t r i b u t i o no f m ep a i t i c l e si i lb e ca 1 1 dt 1 1 eg r o u n ds t a t ee n e 嚼7o f m ec o n d e i l sa _ t eb ys o l v i n gm eg pe q u a t i o nu s i n gt h ef o 嘶* g r i d - h 锄i l t o i l i a l lm e m o d n 啪甜c a l ly t h er e s u l t sw eg e ts h o wn l a tw i t ht l l ei n t e i l s i t yo fp o w e r - l a wp o t e n t i a l0 rt h e 丘e q u e i l c yo fh 跏f 1 1 0 i l i cp o t e n t i a li n c r e a s e so rm er 印u l s i v ei n t e r a c t i o nb e 帆e e i lp a n i c l e s d e c r e a s e s ，t h ep a n i c l ed e n s 时i nm ec o n d e l l s a t ec e n t e rw i l li 1 1 c r e a s ea 1 1 dt 1 1 er a d i u so ft h e c o n d e l l s a t ew i l ld e c r e a s e t h eg r o u n ds t a t ee i l e 唱yo fm eb e cw i l ld s ew i t ht h ei n c r e a s eo f m et o t a lp 积i c l en u m b n l er 印u l s i v ei m e r a c t i o nb 咖嘲p a n i c l e s ，m e 丘e q u c yo f h a m o l l i cp o t t i a la 1 1 dt h ei n t e l l s 埘o fp o w 昏1 a wp o t e n t i a l t h o m a s f e n l l i 印p r o x i m a t i o n g r o w sm o r ea n dm o r er c s e i 】1 b l i n gw i t ht 1 1 en u l m 嘶cr e s u l tw h 髓t h ep a n i c l en 邶曲e ri n c r e a s e s ， w h i c hs h o w st l l o m a s - f 咖i1 i m i ti sag o o dm e t h o di nt h ec o n d i t i o no fl 鹕ep a n i c l en 1 n b i fm ep a n i c l en 啪b e ri nt l l es y s t e mi s1 e s s ，t h en u m 耐cw a ys h o u l db eu s ew h s t u d ym e b e c p r o b l e m k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，嘶t i c a lt e m p e i i 绷】r e ，g r o u l l ds t a t e 缸l c t i o l l ， f i r s t - e x c i t e d - s t a t ee i l e r g y ，f o 嘶e r 一( 新d - h a m i l t o i l i a l lm e t h o d 1 1l 主要符号表 普朗克常数 粒子数密度 s 波散射长度 化学势 玻尔兹曼常数 温度 凝聚温度 空间维度 态密度 体系逸度 基态能量 第一激发念能量 基态粒子数 激发态粒子数 总粒子数 第一激发态动能 相互作用能 粒子的有效质量 粒子质量 位置坐标 谐振角频率 自旋简并度 对称整体波函数 g 。 协 n ： s 咒 口 k r 乏 d 哪 z g 。 q k 心 缸 m ， 彩 g 扎 p n ，p s ，p p i a s 玎 o p l i p l 反对称整体波函数 几率密度 激光激发功率 激子云半径 归一化的复合发光强度 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：兰竺堕 日期：仍d8 年岁月日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：墨苎堕 指导教师签名： l ：丑盔丕屋垡 日期：加咿年 同期：矽彦年 5 只lb 岁月，1 日 中国石油人学( 华东) 硕上学位论文 1 1 原子b e c 的实现 1 1 1 原子b e c 理论提出 第一章引言 1 9 2 4 年，印度物理学家玻色( b o s e ) 在推导黑体辐射定律系数8 形2 c 3 时，假定相空 间基本区域的体积为壳，并采用了光子状态计数而非光子数计数的统计方法后来将推 导过程寄给爱因斯坦( a e i n s t e i n ) 请其审阅【l 】- 爱因斯坦把手稿译成德文发表于( 德国) 物理杂志上【2 1 ，并在文末加注说：“我认为玻色先生对普朗克公式的推导是一项重大进 步，他所使用的方法也将导致产生理想气体的量子理论，我将另行阐述”接着爱因斯 坦发表了文掣3 1 ，将玻色使用的统计方法，推广至原子，而且提出了原子在低温下将“凝 聚 的大胆预言 虽然光子一词1 9 2 6 年才正式出现，但爱因斯坦在1 9 0 5 年关于光电效应的著名论文 中，已经把普朗克的“能量量子概念推广到光玻色1 9 2 4 年推导的关键是用光子状态 计数，而不是用光子数计数爱因斯坦立即把状态计数的思想用到组成理想气体的原子， 指出遵从这种统计的气体将在一定的转变温度下发生凝聚：随着体系温度降低，基态上 的粒子数将逐渐增多，当温度降至一临界温度时，基态上的粒子快速大量增加，这种玻 色子凝聚在基态的集体性运动现象即是我们今天称之为的玻色一爱因斯坦凝聚 ( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，缩写为b e c ) ，其他处于激发态的原子则组成“饱和理想气 体”由于相变在当时没有被作为一类深刻的物理问题，物理学家也并不清楚两种量子 统计的存在以及它们的各自性质，所以人们并没意识到b e c 是首次由统计物理学推导 出的一种相变现象 1 1 2 原子b e c 的实现 玻色子在一定温度下发生凝聚的理论设想提出后，立即就有实验物理学家欲以证 实第一个引起注意的是氦4 h e 的超流现象，它可能是b e c 的表现，因为在研究超流的 长程作用时发现它们具有玻色系统的关联性这一现象发生的临界温度为2 1 7 k ，但超 流液氦中只有1 0 左右的原子凝聚同样，低温下超导体内形成c o o p e r 电子对，使得在 单体遵从费米统计规律的电子在强关联作用下与玻色子相似但这种情形导致b e c 相 变的量子统计特性复杂化，很难被看成纯的b e c 这些都促使人们在稀薄的、弱相互作 第一章引言 用下的玻色气体中寻求实现玻色凝聚1 9 5 9 年有人提出自旋极化的氢原子气体可能是 b e c 的候选者 4 1 ，1 9 8 0 年，又有另一种候选者一氧化亚铜中的激子被提出【5 】但直到8 0 年 代中期，s t e v e i lc h u 、c l a u d ec o h 吼t a 姗o u d j i 和w i l l i 锄d p m l l i p s 提出激光冷却法【6 】( 1 9 9 7 年诺贝尔奖) ：藉由激光与原子的相互作用，可将原子冷却到约1 0 3k ；光阱与磁阱的机 制被提出，可提高原子团密度及增长局限原子的时间；还有1 9 8 5 年h e s s 提出在磁阱中蒸 发式冷却的机制【7 】，原子b e c 的研究才出现曙光几个研究小组在不断解决实现b e c 的 一系列技术难题后，1 9 9 5 年7 月，j i l a 研究中心的e a c o m e l l 与c e w i e m a n 在稀薄 铷( r b ) 原子气体中，首先实验证实玻色一爱因斯坦凝聚【8 】同年十二月麻省理工学院的 w k 甜甜e 也成功实现了钠州a ) 原子b e c 【9 1 此后在1 9 9 8 年实现了自旋极化氢原子气体 的b e c 液【l o 】，2 0 0 1 年报道了亚稳态氦原子和钾原子气体的b e c 【1 1 1 而c o m e l l 、w i e n l a n 、 k 甜甜e 三人，因为在原子b e c 研究中的卓越贡献获颁同年的诺贝尔物理奖这都使人 们对量子简并气体的b e c 研究进入了一个全新的阶段通过多年的研究，人们对b e c 现 象认识有了极大的提高，b e c 并不单纯出现在理想气体中，而是一类普遍存在的物理现 象人们在理论研究中了解到实现b e c 有两种途径：( 1 ) 降低体系的温度；( 2 ) 增加体系的 密度在实验上就是应用这两种方法，通过各种技术实现b e c 的 1 1 3 冷却方法简介 激光冷却( 1 a l s e rc o o l i n g ) 是实现原子b e c 的关键技术 6 】激光冷却的基本原理是让 原子吸收低能量的光子，释放出高能量光子，因能量守恒，原子动能必须降低，温度自 然降低实验上用六道激光使原子减速，除此之外加上磁光阱，原子会在里面逐渐消耗 动能，进而达成降温的目的，如图1 1 但激光冷却有温度的下限，约为l o 一3 k 进一步降温需要蒸发式冷却法【7 1 ，其概念 类似一杯热水的冷却过程，当能量高的水分子蒸发脱离水表面后，剩下能量低的水分子 重新达成热平衡时，整杯水的温度也就跟着降低在实际实验中，关闭所有激光束后， 将低温原子限制在一个完全由磁场所构成的势能阱内逐渐降低势能阱的高度，使得能 量较高的原子脱离势能阱的束缚，仅留住能量低的原子，剩下的原子重新达到热平衡后， 温度也随着下降，但这方法必须以牺牲系统内原子数目才能达到降温的目的，此方法可 将系统内的温度降低至约1 0 q k 2 中目i 油 学( 华东) 硕学位论z 圈l l 激光冷却基本原理田净却空间的三十方向各有两谴相向的簟光，两十置耳代表螺线 管蔓电磁铰 圈环上的麓号指示电流方向。中央的实心暇代表被捕捉的低沮豆子 f 吨l 一1 t h ep n c i p l ed j _ g f h 特r 一i “窑1 h i - 盯b 曲m t t r 栅i n i n g 缸山eo p p i 把 d i 嘣i r yc r d i 聃怔札札t w o n 弘托p 蝴t t h e 蚰l 蚰。柚e 岫g n e t 曼， h d w 证t h er ；d 2j n 柑t 皓岫ee k h r kc td i r e c c i o n ，哺eb i _ c kd o ii n 曲e c e n t e r i s t h e t n p p e d i d _ 啦o p e n t u 删- t 吣 从1 9 9 7 年5 月1 日至2 0 0 2 年l o 月2 2 日，完成b e c 的团体使用的气体，及粒子数目如图 1 2 【l “横坐标是实验日期纵坐标是实验所用的原子数目 j 时州柚t 口肿b 舯t j j 田l 一2 研究蛆所完威的眦c 气体种类、及蜃子撤 f i 9 1 0t h e - t o m a d “e n u m b e r f p 6 d 髑t h e 啪m h b “b e ce i p e d 删“b e 仲。匝2 2 t h2 2 12 低维b e c 实验进展 随着实验技术的不断进步，通过使得处于势阱中的粒子在一个或两个方向上受到 第一章引言 更紧的束缚，粒子在这个或这两个方向上的能级差远大于在另外方向上的能级差，低维 体系的b e c 也已在实验上实现【1 3 】如可以在半导体材料的基底上进行刻蚀，形成准二维 的“耦合量子阱( q w ) 刻蚀层的厚度w 远小于其在x ，y 方向上的尺度，间接激子被局 限在五y 平面上另外，也可以利用量子阱中原子不规则排列或无序的掺杂，造成由于阱 中势场的随机起伏而形成的“天然势阱来约束激子【1 4 1 激子是半导体材料中带负电的电子和带正电的空穴通过库仑相互作用形成的束缚 对，是一种有弱排斥作用的准玻色粒子上世纪6 0 年代末，k e l d y s h 和k o z l o v 通过理论分 析预言，低密度的激子可能形成玻色一爱因斯坦凝聚体【”】经过3 0 多年的努力，加州大 学伯克利分校的b u t o v 小组首先观察到了耦合量子阱中的激子凝聚现象【1 4 】，之后b u t o v 和l a i 等人又对结构完全相同的n i - n g a a s a 1 g a a s 耦合双量子阱系统进行了研究【1 6 】， 在相似的条件下多次重复半导体耦合量子阱中由“天然势阱 约束的激子的凝聚实验 实验发现激子b e c 的凝聚温度比预想中高的多，如b u t o v 实验在几个k 就出现激子云面 积快速收缩和复合发光峰值强度迅速增加的现象撕的实验在1 0 k 附近出现明显的相交 特征对此，很多学者试图作出解释一般认为，无特殊外势二维系统中实现b e c 的关 键温度是0k 如果将受限势采用二维谐振子势来近似，b u t o v 首先估算出激子的玻色一 爱因斯坦凝聚温度【1 4 】，约为耳o 5 k 接近但低于实验温度1 6 k 2 0 0 4 年，b 印y a i 又将 势阱中的激子看作是准二维分布，受限势采用二维谐振子近似，计算所得势阱中的间接 激子凝聚温度可达到几个k 【1 7 1 此外实验中还观察到，在强激光照射下，随光照强度增 强在凝聚区周边出现的增大的激子发光环( r i n g ) 和环上形成的有规则斑点图案，引起了 广泛的兴趣和重视理论研究认为，发光环的出现是电子和空穴在量子阱中的反常输运 行为造成的，但环上形成有规则斑点的物理机理目前还不清楚 1 3b e c 的研究意义 玻色一爱因斯坦凝聚是近年来非常热门的研究课题，它揭示了一类新的物质状态： 原子自身的德布罗意波波长比原子间距大，导致原子完全失去了孤立粒子的特征，高度 密集的大量原子以相干的方式演化，构成宏观量子系统，将量子现象带到了宏观尺度 这是一类涉及物理学很多领域的普遍物理现象，从基础理论到应用科学覆盖了原子分子 物理、量子光学、统计物理和凝聚态物理等众多领域近年来相继报道的b e c 实验，从 最初的碱金属原子的b e c 【8 】【9 】【1 8 】，到2 0 0 3 年前后实现的光学势阱中的分子b e c 【1 9 】 2 0 1 ， 4 中国“油人学( 华东) 硕 j 学位论文 逐渐揭开了玻色一爱因斯坦凝聚理论的神秘面纱，也大大推动了b e c f 2 和耦合 b e c 【2 2 】【2 3 】的相关理论研究对于不同势场，如幂指数外势【2 4 】、谐振势【2 5 】【2 6 】【2 7 1 ，和谐振 势中粒子存在相互作用的低维b e c 【2 8 1 ，文献等也都做了研究，并取得了许多成果对这 种新物态特性广泛和迅猛的的研究和进展，必将会对将来的物理学产生深远的影响 低维的玻色一爱因斯坦凝聚特别是随着纳米技术的发展，在半导体材料中实现的 激子b e c ，是一个重要的基础研究方向： 提供了研究玻色一爱因斯坦凝聚体向b c s 超导转变的一种新手段，可为研究 和运用宏观量子相干性提供更好的方法： 激子玻色一爱因斯坦凝聚体的载体是半导体量子阱，它具有人工物性裁剪的特 点，所以激子玻色一爱因斯坦凝聚最有希望在大功率、低功耗发光器件中得到应用； 同时，激子凝聚的研究发展可在固态量子信息处理和存储，量子计算以及物态转 变等信息科学研究中有重要的应用它加快了量子光学和量子信息处理前进的步伐固 态量子计算被国内外公认是未来量子信息的发展方向。以半导体为基本载体的方案最 为诱人，因为它可以充分利用现有及未来的半导体技术，并可与经典的微电子信息处理、 系统实现集成【2 9 1 对于固态量子计算的实现，纳米结构中的准粒子一激子已成为极有应 用前景的发展目标： 同原子或分子相比，激子的玻色一爱因斯坦凝聚温度要高得多，所以同原予或分 子b e c 相比，激子的玻色一爱因斯坦凝聚有其特殊性和更为广阔的应用前景 1 4 本文的研究内容概况 第一章：绪论概述了原子b e c 理论的提出、实现过程及冷却相关技术、低维激子 b e c 的实验研究进展和b e c 研究的意义 第二章：玻色一爱因斯坦凝聚的理论基础包括由玻色子统计性质导出玻色一爱 因斯坦分布、玻色体系在跨越凝聚温度时的临界性质和以往一些关于低维b e c 的观点 及讨论 第三章：综述了激子b e c 实验研究的最新进展包括激子b e c 的提出、实现和激 子b e c 的凝聚温度比预期的高的多的试验结果 第四章：低维b e c 凝聚温度和基态占据数的理论计算在计算玻色一爱因斯坦凝 聚温度时，通常采用计算玻色积分方法并将能量的积分下限值取为0 ，但为了提高粒子 数密度，不管是原子b e c 还是激子b e c 实验，都是将粒子囚禁在各种外势形成的势阱 5 第一章引言 中完成的根据量子力学的观点，被囚禁在势阱中的粒子的波函数必然形成束缚念，导 致能量量子化和不为0 的零点能出现这样我们试图考虑第一激发念能量不为零时，对 低维体系的凝聚温度进行相关计算，考查体系中粒子第一激发态能量大小对体系凝聚 温度的影响，以及在第一激发态能量一定的前提下，不同维度的空间中体系的凝聚温 度、基态占据数随总粒子数变化的关系，希望能够得到与实验较为符合的结果，解释囚 禁在g 啦s 量子阱中的激子气体，即使在无谐振势或幂指数等特殊外势的条件下，也可 以在几个k 实现玻色一爱因斯坦凝聚的实验现象 第五章：玻色一爱因斯坦凝聚体基态性质玻色一爱因斯坦凝聚态波函数可由 ( 衲s s p i t a e v s 妊方程描述g 胁s s p i t a e v s 方程是非线性薛定谔方程，需要数值方法求 解傅立叶格雷德哈密顿方法是上世纪9 0 年代由英国学者c c m a r s t o n 和qg b a l i n t k u n i 等人提出的一种使用离散傅立叶变换技术精确求解非线性薛定谔方程本征 态和本征值的新方法可以用以求解各种外势条件下含时和不含时( 定态) 非线性薛定谔 方程因其能够简洁、准确地直接求解出位形空间的波形函数值和对应的能量本征值等 众多优点而被越来越广泛的应用我们试图将傅立叶格雷德哈密顿方法应用于数值求 解g p 方程研究总粒子数、粒子间相互作用、谐振频率和一般幂指数外势对玻色凝聚 体粒子数密度分布、基念能量的影响 第六章：总结与展望总结本论文的研究成果，提出有待进一步研究的一些问题 6 中国石油火学( 华东) 硕j j 学位论文 第二章b e c 理论基础 2 1 玻色子统计性质与玻色爱因斯坦分布 所有的基本粒子根据其自旋数可分为：玻色子( b o s o n ) ，自旋为整数，遵守玻色一 爱因斯坦统计，具有b e c 现象；费米子( f 黜i o n ) ，自旋为半整数，遵守费米狄拉克 统计b e c 可视为是一种相变现象，当温度低于临界温度时，大量的玻色子快速掉到基 态，形成凝聚体，并有集体性运动，这种集体运动是玻色子的统计性质造成的 在宏观世界，因物体的物质波长度远小于物体的大小，实验可同时精确测量物体的 所有物理性质，经典物理学中的测量并不会影响物体本身的物理性质但在微观世界， 因为物质波波长近似等于或大于粒子的大小，受限于海森堡测不准原理，无法同时精确 测量粒子的一些性质，如无法同时测量粒子的动量和位置因此描述多个粒子组成的量 子体系时，必须将量子力学中全同粒子的不可区分性( i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y ) 考虑进来，因 为测量结果不应与粒子的标记有关，我们写下两粒子体系的对称整体波函数( 甲s ： s ) ，i l 啪e 研c a lt o t a le i g e n 缸l c t i o n ) 和反对称整体波函数( 甲a ：a 1 1 t i s ) ，n 1 m e t r i c a lt o t a l e i g e n 劬c t i o n ) 分别为： 甲s = 爿甲口( 1 ) 甲( 2 ) + 甲口( 2 ) 甲删 ( 2 - 1 ) 甲a 亍去m 1 ) 甲( 2 ) 一甲口( 2 ) 甲删 ( 2 - 2 ) 其中0 【、b 表示能级，l 、2 表示第一、二个全同粒子，假如将两个粒子对调 甲s = 击卜( ，) 甲夕( 2 ) + 甲口( 2 ) 甲删骂甲s ( 2 - 3 ) 甲a2 去卜( 1 ) 甲( 2 ) 一甲口( 2 ) 甲卢( 1 ) 上- 一、 ，一 ( 2 - 4 ) lr1 j + 2 也不会影响几率密度p n ，因几率密度定义： 只= 甲+ 、壬， ( 2 5 ) 而 7 第 二章b e c 理论摹础 弓州s s 马( 1 ) s s 2 b ( 2 - 6 ) 1 只= 甲彳幸甲爿三生专( 一1 ) 2 甲一甲一= 只 所以相对应的几率密度并不会随着粒子对调而改变，换句话说，给粒子加上标记没有破 坏量子力学上粒子不可区分性的要求 1 9 2 5 年庖利( p a u l i ) 依靠分析原子能级的数据，提出了不相容原理，可分为：( 1 ) 弱 条件：在一个多电子原子内一个能级最多只能被一个电子占据( 2 ) 强条件：包含电子， 即费米子体系必须用反对称整体波函数描述 如果原子核外的电子系统不受不相容原理的限制，则所有电子都恰好处于能量最低 的能级上，就像惰性气体元素一样，原子们将变得极为安定，无法进一步相互作用形成 分子，这世界将截然不同 表2 1 各种粒子的对称性及分类洲 t h b i e 2 1 m a n yp a r t i c l e ss y m m e t r ya n dt h e i rc a t e g o r i e s 粒子对称性分类自旋数 电子( e l e c 缸d n ) 反对称。 费米予( 传眦i o n ) 1 2 止电子( p o s i 仃d n ) 反对称费米子 l j 2 质f ( p r o t o n ) 反对称费米子 l 2 中子( n e u t r o n ) 反对称费米子 1 2 q 粒子对称玻色子( b o s o n ) 0 基态h e 原子对称玻色子 0 兀m e s o n 对称玻色子 0 光子( p h o t o n ) 对称玻色子 ， l d e u t e m n对称 玻色子 l 而玻色子体系则必须用对称整体波函数来描述，考虑到两个全同玻色子构成的体系， 它的对称整体波函数为： 甲s = 击卜( 1 ) 甲( 2 ) + 甲口( 2 ) 甲( 1 ) ( 2 - 7 ) 8 中国石油人学( 华东) 硕l ：学位论文 1 段设两个玻色子处于i 司一能级上( q2p ) ，则几率密度增大为两倍，凼为： 甲s = 2 甲卢( 1 ) 甲( 2 ) ( 2 - 8 ) 我们也可以将此推广到三个玻色子构成的体系，具有像甲口( 1 ) 甲口( 2 ) 甲y ( 3 ) 这样形式 的项共有3 1 个，所以几率密度增加( 3 i 夏) z = 31 倍设置为第一颗玻色子占据某一特定 能级的几率，假设向体系中再加入玻色子时没有几率增强效应，则该能级上有n 个玻色 子的几率为 只= ( 日) 押 ( 2 9 ) 但实际上因为玻色子体系有几率增益效应所以体系中有刀个玻色子的几率函数应该 为辟一= ，z 1 ( 墨) 刀，而 碳p = ( 以+ 1 ) ! 只+ 。= ( ，z + 1 ) 力i 只足= ( 甩+ 1 ) 片中伽 ( 2 - 1 0 ) 也就是说：假如某一能级已经有了，z 个玻色子占据，则再多一个玻色子加入该能级的几 率比起没有量子力学不可区分性要求时增加了( 刀+ 1 ) 倍 接下来，我们将推导玻色子的分布函数设强为处于能级毛的总粒子数，r 1 2 是能 量为q 的粒子向能级龟作跃迁的跃迁几率，所以惕r 1 2 为体系中单位时间从能级毛向 乞跃迁的总粒子数；他为处于能级龟的总粒子数，r 2 l 是能量为吃的粒子向能级q 作 跃迁的跃迁几率，所以刀2 r 2 1 为体系中单位时间从能级龟向毛跃迁的总粒子数首先当 经典体系处于平衡时，根据单位时间内能级毛向能级龟跃迁的总粒子数与能级龟向毛 跃迁的总粒子数相等，我们写下： 件r 1 2 = 刀2 r 2 l ( 2 - 1 1 ) 达到热平衡时，z l 和甩2 遵守玻尔兹曼分布： 啊( q ) = 4 p q 7 k 7 ( 2 一1 2 ) ，z 2 ( s 2 ) = 彳p 一龟k 7 ( 2 - 1 3 ) k 是玻尔兹曼常数，堤体系的温度，所以对于经典粒子而言，有如下关系： 9 第二章b e c 理论接础 若是玻色体系则应修正为： 考虑到玻色子的几率增益效应： 便可得到： 定义： 鼍= 筹 r 1 2 p 一龟k 7 。 ，z 1 r 分伽= 他r 警硎 ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ，z l ( 1 + ，z 2 ) r 1 2 = n 2 ( 1 + 玎1 ) r 2 1 ( 2 1 6 ) 旦p q 盯：旦p 一龟盯：e 一口( r l + 编1 + ，z ， 厶 最后可推得玻色一爱因斯坦分布： ( s ) 2 看巧 若为费米子同理可推得费米一狄拉克分布： 对于( 2 1 9 ) 式，其中再定义 栉f ( 占) = 志 萨兰e 鼬三z 为化学能( c h 锄i c a lp o t e n t i a l ) ，z 为逸度，三1 k 丁，( 2 - 1 9 ) 式最终可化为： ( g ) = 南 1 0 1 ( 2 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 竺缈 竺护 甜一 心 r r 嗵hh 一他 中圉石油人学( 华东) 硕 j 学位论文 表2 2 三种统计分布的比较 1 r a b i e 2 - 2c o m p a r i s i o no ft h 代弩s t a t i s t i c a id i s t r i b u t i o n 玻耳兹曼分布玻色爱冈斯坦分布费米狄拉克分布 特 具可区分性粒子不可区分性粒子，不可区分性粒子， 征 不遵守不相容原理 遵守不兼容原理 例 当s 灯 白旋为o 或整数白旋为、卜整数 子 经典粒子的全同粒子的全同粒子 对 称 性 无对称性要求对称反对称 函 数 以艇( f ) = p 刮盯 ，、 1 玎肋p 占) p 口十l ，+ i 形玎距2 p 口+ 纠盯一1 式 2 2b e c 临界性质 凋1 一尢待铢外封明二姬埋想气谇，用周期任迈峁条仟利柏归一化阴计算处埋、，气 体粒子的动量取下列分立值 e = 兰啊e = 圭= 兰伤 ( 2 - 2 6 ) 其中以l ，玎2 ，传可取整数： 珂l ，伤= o ，1 ，2 ，3 ( 2 - 2 7 ) 因此，单粒子态可以用动量空间的点表示，这些点位于动量分别为圭的整数倍的格 点上所以平均每个态在动量空间所占的“体积”为等，状态在动量空间分布的密度为 吾，因而动量在_ + d 范围内的状态数为： g 吾犯犯妲 ( 2 - 2 8 ) 第_ 二章b e c 理论基础 g 睾4 肭p 在非相对论情况，能量动量关系为： p。p d p s = d s = z，打，” ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 则能量在s 哼占+ d 占范围内的状态数为： c 3 ( s ) 加矿等( 2 m ) 纠2 届s = 蹦届s ( 2 - 3 1 ) 其中c 3 ( g ) 称为态密度，表示单位能量间隔内的状态数由态密度可以将各种求和 化为积分将( 2 3 1 ) 式代入( 2 2 5 ) 式，可得体系粒子数密度： 力兰等j c o 兰叫州2 j c o 惫 亿3 2 ， 由粒子数守恒可知，随着体系温度降低，化学势上升，但玻色体系化学势非正， 定义化学势= 0 对应的温度为乏，则砭的数值由上式决定： 一旺等灿非叫酣r ( 3 2 ) 删 亿3 3 、 = 孕( 2 ，z k 疋) 班1 1 ( 3 2 ) f ( 3 2 ) 其中利用了g 锄m a 函数的性质： r ( z ) 三卜卜1 p 叫出 ( 2 - 3 4 ) o 唯+ 1 ) 珂； r ( 三) = 石( r ( z ) 。) 9 3 2 ( z ) = z + 2 3 2 2 2 + 3 3 2 2 3 + 4 一2 2 3 + ( o z 1 ) 刚) = 喜专= f ( 争2 剐2 其中g 。( z ) = 备为黜e m 绷z e t a 函数，且9 3 ：2 6 1 2 图形如下： ，= l 1 2 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 中固石油人学( 华东) 硕l 二学位论文 f i 9 2 1 i u e m a nz e t af h n c t i o n 由( 2 3 3 ) 式可解出疋： 疋= 箦币专丽 2 3 赤= 爹羔扩 p 3 8 ， 当r 0 的总粒子数为： 心= 蹦r 芜= 班 亿3 9 ， 因此，处在占= o 念中的粒子数为： 叫t 俐2 。， 由( 2 3 8 ) 式可估计出物质的凝聚温度，如h ：气体密度为1 0 1 9 c m 3 ，凝聚温度毛约为 1 0 一2 k ；液体4 h e 密度为1 0 2 2 c m 3 ，疋约为2 k 3 2 1 2 3 二维b e c 的一些讨论 无特殊外势二维情况下，动量空间的体积元为2 万r 护，在周期性边界条件与箱归一 化下，每个单粒子态所占的动量空间体积为等，为箱的边长，令g 为自旋简并度，则 态密度： 1 3 第_ 二章b e c 理论摹础 c 2 ( s ) 加g 竽= g 孚d s ( 2 4 1 ) 为一常数 ( 2 4 2 ) x ( 占) = 1 一砂5 一川 。 ( 2 4 3 ) 。有 j c o 南珊j i o 譬珊h 砂刮胛面 p 融g 半硎n ( 1 k 7 ) 从而得到二维玻色气体化学势的严格解为： 眦弛 1 _ e x p 翥 亿4 6 ， 因此在任何有限温度下 o 分布函数为： 磊( s ) = 南 南 ( 2 - 4 7 ) 对一切温度均为有界的因此在有限温度下? 一般认为不可能出现真正意义的玻色 1 4 中国杠油人学( 华东) 硕士学位论文 第三章激子