拓扑共轭、符号动力系统和马蹄映射.pdf

混沌理论与应用混沌理论与应用 自动化学院自动化学院 禹思敏禹思敏 2012.10 三三. 拓扑共轭、符号动力系统拓扑共轭、符号动力系统 和马蹄映射和马蹄映射 自动化学院自动化学院 School of Automation 2 1. 拓扑共轭拓扑共轭 0）满射和满射和 1-1 满射的概念满射的概念 满射的定义：满射的定义：设设F是是AB内的映射。如果内的映射。如果B中的每一个元素都一定是中的每一个元素都一定是A中中 某个元素的映象，就称某个元素的映象，就称F是是AB上的满射。特别地，上的满射。特别地，AA上的满射称为变换。上的满射称为变换。 例例 1 设设1,2,3,4,5A =， , , , Ba b c d=，则，则下面左边图所示的下面左边图所示的映射映射:FAB是是 满射，但不是满射，但不是 1-1 满射。满射。 例例 2 设设1,2,3A =， , , , Ba b c d=，则，则下面右边图所示的下面右边图所示的映射映射:FAB不是满不是满 射，因为射，因为B中的元素中的元素d不是不是A中某个元素的映象。中某个元素的映象。 A B 1 2 3 4 5 a b c d A B 1 2 3 a b c d 例例 1 是是:FAB的的满射满射 例例 2 不是不是:FAB的的满射满射 自动化学院自动化学院 School of Automation 3 1. 拓扑共轭拓扑共轭 例例 3 设设1,2,3,4A =， , , , Ba b c d=， 下面左边图所示映射， 下面左边图所示映射:FAB是是 1-1 满射。满射。 例例 4 设设1,2,3,4,5A =， , , , Ba b c d=， 下面右边图所示映射， 下面右边图所示映射:FAB 也是也是 1-1 满射满射 A B 1 2 3 4 a b c d A B 1 2 3 4 5 a b c d 例例 3 是是:FAB的的 1-1 满射满射 例例 4 也是也是:FAB的的 1-1 满射满射 自动化学院自动化学院 School of Automation 4 1. 拓扑共轭拓扑共轭 1）复合映射复合映射的基本概念及其表示方法的基本概念及其表示方法 若存在两个若存在两个N维维映射映射,F G（即（即, N F GR） ，） ，通常用通常用GFxGF=)(表示表示 NN RR的复合映的复合映 射射。对于离散时间系统来说，每一次对于离散时间系统来说，每一次迭代运算迭代运算就是一次就是一次映射映射。那么，如果那么，如果存在映射存在映射 N FR自身自身 的的n次正向迭代次正向迭代 )(xFFFF n 个 我们将其我们将其记为记为)( )( xF n 。 同理，同理，若若( )F x的逆函数的逆函数 1( )N FxR 存在，存在，那么，映射那么，映射 N FR自身的自身的n次逆向迭代次逆向迭代 )( 1111 xFFFF n 个 我们将其我们将其记为记为)( )( xF n 。 在一般情况下，在一般情况下，若无特别说明，用右上角记号若无特别说明，用右上角记号)(n（或者（或者n）表示）表示n次正向迭代，次正向迭代，用用右上角右上角 记号记号)( n（或者（或者n）表示）表示n次逆向迭代。用这两个次逆向迭代。用这两个记号表示离散系统记号表示离散系统)( 1nn xFx= + 正向和逆向迭正向和逆向迭 代代。例如，若。例如，若初值初值为为 0 x，得，得)( 01 xFx =，)(,),()()( 0 )( 0 )2( 012 xFxxFxFFxFx n n =等等等等。 自动化学院自动化学院 School of Automation 5 1. 拓扑共轭拓扑共轭 2）同胚和微分同胚）同胚和微分同胚 定义定义 1： 设设VUF:是是 1-1 满射满射， 若若)(xF连续，连续，)( 1 xF 也连续， 则称也连续， 则称)(xF 是是 U 到到 V 的一个同胚的一个同胚；若；若)(xF和和)( 1 xF 不仅连续，而且还可微，则不仅连续，而且还可微，则称称)(xF 是是 U 到到 V 的一个的一个微分微分同胚同胚。 3）拓扑共轭拓扑共轭 在动力系统中，有一个重要的方法，即利用拓扑共轭将较为复杂的动力在动力系统中，有一个重要的方法，即利用拓扑共轭将较为复杂的动力 系统转化为较为简单的动力系统。系统转化为较为简单的动力系统。 定义定义 2：设设 A 和和 B 是两个拓扑空间，是两个拓扑空间，BBgAAf:,:分别是分别是 A 与与 B 上的自映射，如果存在上的自映射，如果存在 A 到到 B 的同胚的同胚BAh:，使得，使得 hfg h= 则称则称f与与g是拓扑共轭的。是拓扑共轭的。另一方面，对上式作如下变换，得另一方面，对上式作如下变换，得 111111 ()()hhfhhg hhfhhg = 自动化学院自动化学院 School of Automation 6 1. 拓扑共轭拓扑共轭 这一概念可直观理解为：把拓扑空间这一概念可直观理解为：把拓扑空间 A，B 理解为直理解为直 线段、曲线弧、空间区域或曲面等具体的几何对象，同胚线段、曲线弧、空间区域或曲面等具体的几何对象，同胚 则理解为则理解为 A 与与 B 之间的连续的一一映射。之间的连续的一一映射。 当当f与与g拓扑共轭时，记作拓扑共轭时，记作gf ，或者为了强调，或者为了强调h 的作用，写成的作用，写成gf h 。拓扑共轭关系是一种等价关系，也。拓扑共轭关系是一种等价关系，也 就是说，它满足以下三条就是说，它满足以下三条 （1）反身性反身性。f与与f是拓扑共轭的，即是拓扑共轭的，即ff ； （2）对称性对称性。若若gf ，则，则fg ； （3）传递性传递性。若若gf ，g，则，则f。 自动化学院自动化学院 School of Automation 7 1. 拓扑共轭拓扑共轭 因此，将拓扑共轭的自映射归入同一类，称为拓扑共轭类。属于同一个拓扑共轭类的因此，将拓扑共轭的自映射归入同一类，称为拓扑共轭类。属于同一个拓扑共轭类的 自映射，它们的迭代轨道有着相同性质。这是因为，当自映射，它们的迭代轨道有着相同性质。这是因为，当gf h 时，可得时，可得 )()( )()()()( xhgxfhhgfh nnnn = 这表明在同胚这表明在同胚 h 作用下，作用下，f 在在 A 中的中的x的轨道的轨道 ),(,),(),(,)( )()2( xfxfxfxxO n = + 变成了变成了 g 在在 B 中的中的( )h x的轨道的轨道 ),(,),(),(),()( )()2( xhgxhgxhgxhxhO n = + 若若 f 有不动点有不动点 x，则，则 g 有不动点有不动点)( xh，若，若 x是是 f 为为吸引（排斥）不动点，则吸引（排斥）不动点，则)( xh是是 g 的吸引（排斥）不动点。若的吸引（排斥）不动点。若 f 有周期有周期k轨轨道道, 1210k xxxx，则，则 g 也有也有周期周期k轨轨道道 )(,),(),(),( 1210k xhxhxhxh等等。总之，涉及到动力系统研究中所感兴趣的一切性质，等等。总之，涉及到动力系统研究中所感兴趣的一切性质，f 与与 g 都可看作是一样的。因此，当研究一个自映射的动力系统性质时，可以用与它拓扑共都可看作是一样的。因此，当研究一个自映射的动力系统性质时，可以用与它拓扑共 轭的较为简单的自映射代替它。轭的较为简单的自映射代替它。 自动化学院自动化学院 School of Automation 8 1. 拓扑共轭拓扑共轭 例如，已知例如，已知抛物线映射抛物线映射( )4 (1)g xxx=，式中，式中 1 , 0x。试证明试证明( )g x与帐篷映射与帐篷映射( )f x 2 ,01/ 2 ( ) 2(1),1/ 21 xx f x xx = ，总存在，总存在0，当，当 | 0 xx时，不等式时，不等式，取自然数取自然数 n，使得，使得 n 2 1 ，并令，并令 1 2 1 + = n ，故故对于满足对于满足),( tsd（相当于（相当于| 0 xx）的任意）的任意 1 2 ()tt t=，由，由定理定理 1 知知，(1,2,1) ii st in=+，即即s和和t的前1n+项相同项相同，而而)(s和和)(t则分别是将原则分别是将原 序 列 左 移 一 位 的 结 果 ，序 列 左 移 一 位 的 结 果 ， 因 而因 而)(s与与)(t的 前的 前n项 相 同 ，项 相 同 ， 从 而 可 得从 而 可 得 ，取自然数取自然数 m 使得使得 m 2 1 ，令，令周期点周期点 1 21 21 () mm ts ss s ss s=，则，则 1 ( , ) 2m d s t，使得，使得 () k AB fUU 。 1）设开集）设开集 A U的中心点的中心点 A s为为 12 () kn AA AAA A ss sssU= 开集开集 B U的中心点的中心点 B s为为 12 () kn BBBBB B ss sssU= 并设并设 A U中中与与 A s不同不同的的任意一任意一点点 A sU。 自动化学院自动化学院 School of Automation 17 2. 符号动力系统符号动力系统 2）若）若 s 和和 A s前的前的m个元素相同，则个元素相同，则(, )2 Am d ss 。故对。故对1 A r，总能，总能 找到找到 0 k，使得，使得 0 (, )2 k AA d ssr 成立。由成立。由 0 2 k A r ，只需取，只需取 2 round( log)1 A kr=+即可。即可。 3）根据选取的）根据选取的k，设设 s 的形式为的形式为 1212 () k AAA B BB nA ss ss s ssU= 4）显见）显见迭代迭代k次次后后，正好满足，正好满足 ( ) kB fss= 从而使得从而使得 () k AB fUU 成立。成立。根据上述分析过程，得拓扑传递的示意图如图根据上述分析过程，得拓扑传递的示意图如图 0 所示。所示。 自动化学院自动化学院 School of Automation 18 2. 符号动力系统符号动力系统 A s A r A U B s B r B U s A U () kA fs () k AB fUU () k A fU ( ) k f s 迭代 次后的结果 A Uk 迭代前的 和 A U B U B r B s 图图 0 拓扑传递的图示拓扑传递的图示 自动化学院自动化学院 School of Automation 19 3. 符号动力系统的应用价值符号动力系统的应用价值 定理定理 5： 2 2 所表所表示的符号动力系统示的符号动力系统具有具有 Devaney 意义下意义下的的混沌混沌性质性质。 证明：证明：根据根据 Devaney 混沌定义和定理混沌定义和定理 34，可知，可知： 2 2 表示的符号动力系统是混沌的。表示的符号动力系统是混沌的。 根据上面的分析可知，根据上面的分析可知，： 2 2 的主要特点是每迭代（或的主要特点是每迭代（或 映射）一次，符号序列就向左移位一次。对于一个动力系统，如下面映射）一次，符号序列就向左移位一次。对于一个动力系统，如下面 将要介绍的帐篷映射和马蹄映射等，它们的共同特点与符号动力系统将要介绍的帐篷映射和马蹄映射等，它们的共同特点与符号动力系统 具有具有相同相同的性质的性质，即即具有移位的作用。广而言之，如果发现某个动力具有移位的作用。广而言之，如果发现某个动力 系统对符号序列具有移位作用的话，根据符号动力系统的结论，可知系统对符号序列具有移位作用的话，根据符号动力系统的结论，可知 该动力系统是混沌的。该动力系统是混沌的。 自动化学院自动化学院 School of Automation 20 4. 帐篷映射帐篷映射 帐帐篷映射篷映射是一种单峰映射，是一种单峰映射，其数学表达式为其数学表达式为 1 1 2, 0 2 () 1 2(1), 1 2 nn nn nn xx xf x xx + ） ，在水平方向上压缩（压缩比） ，在水平方向上压缩（压缩比2/1，2/1 满足满足，故在，故在n时，每个小方块都收缩为一点，因而时，每个小方块都收缩为一点，因而是一个无穷点集，其中每是一个无穷点集，其中每 一个点可以用由一个点可以用由 0 和和 1 构成的双向无穷序列相对应，这就建立了构成的双向无穷序列相对应，这就建立了与与 2 之间的之间的一一 种种对应关系。对应关系。 自动化学院自动化学院 School of Automation 32 5. 马蹄映射马蹄映射 现观察现观察中点在中点在f作用下的变化情况。由图作用下的变化情况。由图 10 可见可见中一点原先在方块中一点原先在方块10 . 1 之中，它之中，它 在在f作用下到了作用下到了 0 . 11方块之中，因而方块之中，因而f对对中点的作用相当于对符号序列左移的作用。中点的作用相当于对符号序列左移的作用。 图图 11 示出了示出了中的点在中的点在f作用下的变化情况的另一个例子， 从而进一步说明了作用下的变化情况的另一个例子， 从而进一步说明了f对对 中点的作用相当于对符号序列左移的作用。中点的作用相当于对符号序列左移的作用。 水平方向收缩 垂直方向扩张 .00.10 .11.01 0 . 1 . 0 . 11 ”“放回 折叠并 10 . 1 000 010 110 100 001 011 111 10 . 1 0.1. .10 .11 .01 .00 图图 10 马蹄中马蹄中2442的拉伸与折叠变换及对应符号序列的移位结果的拉伸与折叠变换及对应符号序列的移位结果 自动化学院自动化学院 School of Automation 33 5. 马蹄映射马蹄映射 .00.10.11.01 0000. 0001. 0011. 0010. 0110. 0111. 0101. 0100. 1000. 1001. 1011. 1010. 1110. 1111. 1101. 1100. 收缩 水平 扩张 垂直 .000.100.110.010.011.111.101.001 000. 001. 011. 010. 110. 111. 101. 100. 001.111 111.001 ”“放回 折叠并 1111.00 1001.11 1001.11 1111.00 图图 11 马蹄中马蹄中88164的拉伸与折叠变换及对应符号序列的移位结果的拉伸与折叠变换及对应符号序列的移位结果 自动化学院自动化学院 School of Automation 34 结论结论 1：通过上述分析可知，马蹄映射是一种通过上述分析可知，马蹄映射是一种双边双边序列的移位映射，对应双边符号动力序列的移位映射，对应双边符号动力 系统，因而马蹄映射是混沌的。系统，因而马蹄映射是混沌的。 结论结论 2： 马蹄映射是一切具有拉伸与折叠变换的共同数学模型。 若在一个动力系统中发马蹄映射是一切具有拉伸与折叠变换的共同数学模型。 若在一个动力系统中发 现拉伸与折叠变换，并找到对应的马蹄映射，则从机理上证明了该系统为混沌系统。现拉伸与折叠变换，并找到对应的马蹄映射，则从机理上证明了该系统为混沌系统。 结论结论 3：实际情况下的拉伸与折叠变换并不具备马蹄映射中的实际情况下的拉伸与折叠变换并不具备马蹄映射中的“方块” 、 “水平条” 、 “竖“方块” 、 “水平条” 、 “竖 直条”这样的理想化形状，但只要一个动力系统有拉伸与折叠的变换，就可以在一定条件直条”这样的理想化形状，但只要一个动力系统有拉伸与折叠的变换，就可以在一定条件 下用斯梅尔马蹄映射的这种数学模型来对它进行分析，从而得出混沌的结论。也下用斯梅尔马蹄映射的这种数学模型来对它进行分析，从而得出混沌的结论。也可以这样可以这样 认为认为，一个映射如果满足拉伸与折叠的要求，就可以在一定条件下证明这个映射在，一个映射如果满足拉伸与折叠的要求，就可以在一定条件下证明这个映射在 Q 的某的某 个不变集上具有斯梅尔马蹄变换意义下的混沌。个不变集上具有斯梅尔马蹄变换意义下的混沌。 结论结论 4：寻找拉伸与折叠变换中的马蹄，寻找拉伸与折叠变换中的马蹄，在实际应用中，在实际应用中，关键关键的一点的一点在于能找到一个在于能找到一个不不 变集变集 Q，并且能够使得并且能够使得所有所有的的变换结果变换结果 (2)(3)( ) ( ), ( ), ( ), , ( ), (1,2,) n f QfQfQfQn =以以 及及 ( 1)( 2)( 3)() ( ), ( ), ( ), , ( ), (1,2,) n fQfQfQfQn =都应与都应与不变集不变集 Q 相交，相交，但寻找不变但寻找不变 集集 Q 并不是一件容易的事。并不是一件容易的事。 5. 马蹄映射马蹄映射 自动化学院自动化学院 School of Automation 35 6. 混沌吸引子名称的由来混沌吸引子名称的由来 混沌是无穷多次拉伸与折叠变换的结果。 我们用马蹄映射来描述这种拉伸与折叠的变换性混沌是无穷多次拉伸与折叠变换的结果。 我们用马蹄映射来描述这种拉伸与折叠的变换性 质。根据前面有关马蹄映射的介绍，得马蹄映射所得的集合为：质。根据前面有关马蹄映射的介绍，得马蹄映射所得的集合为： n ni in n QfQfQfQfQQfQfQf = =)()()()()()()( 2212 当当进行进行无穷多次无穷多次拉伸与折叠拉伸与折叠的的变换时，亦即当变换时，亦即当n 时，得时，得f的不变集为：的不变集为： n n = lim 则则内的每个初始小方块最后都收缩为一点，因而内的每个初始小方块最后都收缩为一点，因而是一个无穷点集，本质上是康托集，是一个无穷点集，本质上是康托集，并在并在 这个康托集中这个康托集中包含有一个无穷子集（也是康托集） ，称包含有一个无穷子集（也是康托集） ，称之之为为“混沌不变集” 。“混沌不变集” 。 一方面，映射生成的序列（即相轨迹）被这个无穷点集所“吸引” ，总是在“围绕着”这一方面，映射生成的序列（即相轨迹）被这个无穷点集所“吸引” ，总是在“围绕着”这 个无穷点集运动，因而相轨迹无法罢脱出这个不变集区域而“跑到”相空间的其它区域中。另个无穷点集运动，因而相轨迹无法罢脱出这个不变集区域而“跑到”相空间的其它区域中。另 一方面，相轨迹也不会真正到达这个无穷点集上（如果真正到达，则需要无穷长的时间） ，这一方面，相轨迹也不会真正到达这个无穷点集上（如果真正到达，则需要无穷长的时间） ，这 正是“混沌吸引子”名称的实质所在，如图正是“混沌吸引子”名称的实质所在，如图 12 所示。注意到混沌不变集是混沌吸引子的终极所示。注意到混沌不变集是混沌吸引子的终极 状态，是看不到的，看到的其实是被它吸引的、有限时间范围内的相轨迹，通常也就简单地称状态，是看不到的，看到的其实是被它吸引的、有限时间范围内的相轨迹，通常也就简单地称 所见到的图像为“混沌吸引子” 。所见到的图像为“混沌吸引子” 。 自动化学院自动化学院 School of Automation 36 6. 混沌吸引子名称的由来混沌吸引子名称的由来 红点表示的康托集是混沌不变集 是看不到的混沌吸引子终极状态 图图 12 混沌不变集混沌不变集（康托集）（康托集）与混沌吸引子图示与混沌吸引子图示 自动化学院自动化学院 School of Automation 37 6. 混沌吸引子名称的由来混沌吸引子名称的由来 所谓“吸引子” ，指的是一个系统的状态点在相空间中运动，最后趋向的极限所谓“吸引子” ，指的是一个系统的状态点在相空间中运动，最后趋向的极限 图形，这个极限图形就叫做该系统的“吸引子” ，换句通俗一点的话来说， “吸图形，这个极限图形就叫做该系统的“吸引子” ，换句通俗一点的话来说， “吸 引子”就是一个系统的最后归宿。引子”就是一个系统的最后归宿。 例如例如一个被踢出去的足球，在空中飞了一段距离之后，掉到地上，又在草地上一个被踢出去的足球，在空中飞了一段距离之后，掉到地上，又在草地上 滚了一会儿，然后静止停在地上，如果没有其它情况发生，静止不动就是它的滚了一会儿，然后静止停在地上，如果没有其它情况发生，静止不动就是它的 最后归属。因此，这段足球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定点。最后归属。因此，这段足球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定点。 再如，再如，人造卫星离开地面被发射出去之后，最后进入预定的轨道，绕着地球作人造卫星离开地面被发射出去之后，最后进入预定的轨道，绕着地球作 二维周期运动，它和地球近似构成的二体系统的吸引子，便是一个椭圆。二维周期运动，它和地球近似构成的二体系统的吸引子，便是一个椭圆。 前面的前面的图图 12 表示的吸引子表示的吸引子，其特点是既不收敛、不发散、也不周期，它与常，其特点是既不收敛、不发散、也不周期，它与常 规的收敛或周期吸引子的性质大不相同，故人们称之为“奇怪吸引子”或“混规的收敛或周期吸引子的性质大不相同，故人们称之为“奇怪吸引子”或“混 沌吸引子” 。沌吸引子” 。 自动化学院自动化学院 School of Automation 38 7. Henon映射映射 自动化学院自动化学院 School of Automation 39 7. Henon映射映射 令令 nn xx= +1 , nn yy= +1 , 得平衡点方程为得平衡点方程为 = += nn nnn xy axbyx 2 1 （1） 可求得平衡点之值。可求得平衡点之值。 设上式的不动点为设上式的不动点为),(，其雅可比行列式为，其雅可比行列式为 3 . 0 0 1 3 . 0 8 . 2 ,( ,( ) )11 = = = = = + n n y x nn nn yx yx J 这说明每一次迭代任何面积单元缩小到原来的这说明每一次迭代任何面积单元缩小到原来的 0.3 倍，倍，J 的负号说明面积边界的指向在迭代的负号说明面积边界的指向在迭代 中改变。由（中改变。由（1）式可得两个不动点）式可得两个不动点)631. 0 ,631 . 0 (A和和)131 . 1 ,131 . 1 (B（近似值） 。在（近似值） 。在 A 处，处， 雅可比矩阵的特征值为雅可比矩阵的特征值为924 . 1 1 =，相应的特征向量为，相应的特征向量为 T ) 1,924 . 1 (，156 . 0 2 =，相应的特，相应的特 征向量为征向量为 T ) 1,156 . 0 (，得，得1|, 1| 21 ，知，知 1 的特征向量方向为不稳定流形方向，的特征向量方向为不稳定流形方向， 2 的的 自动化学院自动化学院 School of Automation 40 7. Henon映射映射 特征向量方向为稳定的流形方向。在特征向量方向为稳定的流形方向。在 A 点附近尚两个特征方向取平行四边形点附近尚两个特征方向取平行四边形 单元单元 abcd，经过（，经过（5-1）式的一次线性化迭代后，变换成）式的一次线性化迭代后，变换成dcba，在，在 1 的特征的特征 方向拉长方向拉长924. 1倍，而在倍，而在 2 的特征方向上压缩的特征方向上压缩156. 0倍。又注意到倍。又注意到0 1 ，故在，故在 2 的特的特 征方向朝靠近征方向朝靠近 A 点方向移动到点方向移动到 A 的同一侧， 而且面积缩小到原来的的同一侧， 而且面积缩小到原来的3 . 0倍， 照倍， 照 此类推，经过多次反复迭代，原来平行四边行此类推，经过多次反复迭代，原来平行四边行 abcd 点集，最终极限是面积趋点集，最终极限是面积趋 向于零的直线，它与直线向于零的直线，它与直线CAE无限接近，但却远离直线无限接近，但却远离直线AK，如图，如图 14 所示所示的的 结果结果。这是在平衡附近线性化后的结论，由于实际系统是非线性的，系统在这是在平衡附近线性化后的结论，由于实际系统是非线性的，系统在 大范围或全局的性态并不完全是这样，但一个十分重要的结论是，一个面积大范围或全局的性态并不完全是这样，但一个十分重要的结论是，一个面积 单元将被“拉长”成为很窄很长面积趋于零的这一性质仍然存在。单元将被“拉长”成为很窄很长面积趋于零的这一性质仍然存在。 自动化学院自动化学院 School of Automation 41 7. Henon映射映射 C A E G K 924 . 1 1 = 156 . 0 2 = a b c d a d c b 1 156 . 0 1 924 . 1 图图 14 不动点不动点 A 附近的性态附近的性态 自动化学院自动化学院 School of Automation 42 7. Henon映射映射 为了说明全局的性态， 考虑图为了说明全局的性态， 考虑图 15 中的一个四边形中的一个四边形 PQRS， 它的每一边都， 它的每一边都 是线段，因而经迭代（是线段，因而经迭代（1）式）式 H 迭代一次后，它变为由四段抛物线围成的四迭代一次后，它变为由四段抛物线围成的四 边形边形SRQP。从所给的。从所给的 Henon 迭代式（迭代式（1）式，能找到）式，能找到 PQRS，使一次迭代，使一次迭代 SRQP位于位于 PQRS 之中，构成不变集。满足以上条件的一组数据为之中，构成不变集。满足以上条件的一组数据为 )39. 1 ,325. 1(P，)45. 0 ,32. 1 (Q，)41. 0,25. 1 (R，)56. 1,05. 1(S，这也是寻找不这也是寻找不 变集的关键所在。变集的关键所在。 如果用如果用 D 代表代表 PQRS 所围成的区域， 则上述性质可表示为所围成的区域， 则上述性质可表示为 ()DH D 因为因为SRQP在在 PQRS 之内，故它们的多次迭代后的结果仍有这种关系，即之内，故它们的多次迭代后的结果仍有这种关系，即 SRQP 也位于也位于SRQP之内。照此类推可得之内。照此类推可得 23 ()()()() n DH DHDHDHD 自动化学院自动化学院 School of Automation 43 P Q R S Q R W x y V S P W V QR , SP , W V 图图 15 Henon 映射的拉伸与折叠示意图映射的拉伸与折叠示意