（基础数学专业论文）共振条件下等时系统周期解的存在性.pdf

摘要 本文研究了类等时系统 + ，( 功一+ w ( x ) + 夕( z ) = p ( t ) ( 1 ) 在共振条件下周期解的存在性假设系统+ 矿( z ) = 0 的所有解都是簪周期的，且 。掣= ，z 融- - o o 掣舶 o ，击a + 磊= 等o - + z石vv o ， 成立；另外，极限。皇乳g ( z ) = 9 ( 士o o ) ，。坚乳f ( z ) = f ( 士o 。) ( f ( z ) = 厝，( u ) 砒) 存 在且有限本文证明了若函数 ) 刮掣一掣】。蕊1f 此删p 疵 或 不变号 性条件 2 ( 口) = n f ( + * ) 一f ( 一o 。) l 一互了1 i 广o + 口) 绯皿 则方程( 1 ) 至少存在个2 ”周期解同时，本文还研究了当g ( 。) 满足次线 m 盟：o 叶+ z 且f ( z ) 为有界函数时，方程( 1 ) 至少存在个2 ”周期解 关键词周期解；等时振子；b r o u w e r 不动点定理；p o i n c a r 6 映射；p o i n c a r 6 - b o h l 定理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i ca o l u t i o n so ft h ei s o c h r o n o n s s y s t e m + f ( x ) x + v ( z ) + g ( x ) = p ( t )( 1 ) u n d e rr e s o n a n ts i t u a t i o n a s s u m et h a ta l lt h es o l u t i o n so f + v = 0a r e 簪一 p e f i o d i ca n d h m 型：d o 。1 i n l 塑：6 o 一1 + 一1 ：塾 # 一+ z 什o oz x ax b n h o l d i na d d i t i o n ，t h el i m i t s ：皇9 0 ) 2g ( i o o ) a n d 。! 鲤k ， ) = f ( 士) e x i s ta n d a r eb o u n d e d w ep r o v et h a ti f n 巾) 刮掣一华】。獗1f 帅州p o ) 出 n 2 ( 。) 2n 伊( + o 。) 一f ( 一o o ) 】一焘j 0 ( + 9 ) p ( 。) 出 i so fc o n s t a n t ，t h ee q ( 1 ) h a sa tl e a s to n e2 r - p e r i o d i cs o l u t i o n m o r e o v e r ，w ea l s o p r o v et h ee x i s t e n c eo f2 7 r p e r i o d i co fe q ( 1 ) p r o v i d e dt h a tg ( x ) i ss u b l i n e a ra n df ( z ) i sb o u n d e d k e y w o r d sp e r i o d i cs o l u t i o n ；i s o c h r o n o u so s c i l l a t i o r s ；b r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ； p o i n c a r 6m a p p i n g ；p o i n c a r 6 - b o h lt h e o r e m n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：与耕 同期：2 0 0 7 年4 月1 0 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文储签名：马移右 曰期：2 0 0 7 年4 月1 0 日 第一章前言 众所周知，l i d n a r d 方程矿+ ，( z ) 一+ 9 ( z ) = p ( t ) 在机械振动和电子工程技术中 是个基本模型这类方程周期解的存在性与多解性是微分方程定性理论的重要研究 内容目前，关于这类方程周期解的存在性已取得丰富的研究成果 - i - ，( z ) ，+ d z + 一b x 一+ g ( x ) = p ( t )( 1 1 ) ( 其中矿= m a x ( x ，o ) ，z 一= t , a x ( - - ；g ，o ) ，口，b 是常数) 可以刻画许多非线性运动例 如，波在不均匀媒质中的传播，悬浮斜拉桥桥面的振动由于这类方程的共振谱是线 ( 研) 壶+ 去。i ，竹n ， d a n c e r 1 1 】在研究方程- i - n 矿一b x 一+ g ( z ) = p ( t ) 周期解的存在性时，引进了辅助 e ( 日) = p ( ) 妒( + o ) d t ，0 r ， ，_ 莓篡o 静 o ； 定义函数 g ( p ) 2 j c9 ( p 妒( t ) ) 妒( t ) d t ，垂( 口) 2 上p ( 。) 妒( t + 0 ) 出 其中是妒( t ) 方程+ + 一b x 一= 0 满足初值条件x ( o ) = 1 ，一( o ) = 0 的解记 g + 2 业伽，g ( 力， g + 2 p t i m + 。s u pg ( 力- 他们证明了若存在g i g + ，g + 】，使得圣一g + 在区间【o ，2 ”妨内零点的个数不等于 2 ，则方程( 1 3 ) 至少存在个周期解 本文研究当条件( 甄) a = 1 ，2 ，3 ) 和( k ) o = 1 ，2 ) 成立时，具有阻尼项的等时系统 + ，( z ) 一+ v ( z ) + g ( x ) = p ( t )( 1 4 ) 周期解的存在性，得到以下结论； 定理1若条件( 日- ) ，( 也) ，( 岛) 和( ) ，( k ) 成立，则当函数 ) 叫掣一掣卜去j ( “仲+ 洲t ) d r 或 2 ( 口) = 圳，( + o 。) 一f ( 一o o ) 】一互云上( + 曰) p ( ) 班 不变号时，方程( 1 4 ) 至少存在个2 ”周期解 3 本文还研究了当9 ( z ) 满足符号条件和次线性条件 ( 凰) 卅l i m 州咖( 加慨川l i m 譬_ 0 而f ( z ) 为有界函数时，方程( 1 4 ) 周期解的存在性 定理2若条件( h 1 ) ，( h 4 ) 和( k ) ，( k ) 成立，且f ( z ) 是有界函数时，方程( 1 4 ) 至少存在个2 1 r 周期解 4 第二章预备知识 本章证明没有扰动的振子+ y ( 功= 0 满足初值条件解的一些基本性质记 c a n c h y 问题t l 矿+ v 7 ( z ) = 0 ， ( 2 1 ) iz ( o ) = p ，一( o ) = 0 的解为妒( f ，p ) 这里v ( x ) 满足条件( k ) ，( k ) ，( 日1 ) 引理z ，对v p ? o ，器，磊，繇存在臌，从而鑫= 磊 证明首先证明鬻的存在性固定p o ，记 伽( ) ：妒( t ，p ) ，忱( ) ：妒( ，p + ) ，识( t ) ：堕垒掣 设充分小，则 杉( ) = ，1 t , ( ) 一妒：o ) 】= 一；【矿( 仇) 一v ( 妒o ) 】 ( 2 2 ) 根据解对初值的连续依赖性可知，当e 一0 时，有一咖一0 又( z ) 满足条件 m ) ，( ) ，故存在k 0 ，使得 i y 7 ( 妒。) 一v 7 ( 妒o ) ls i 妒。幻i ，t 【o ，2 7 r 】 ( 2 3 ) 成立，因此 i 坛。) i k i 噍( ) | ( 2 4 ) 结合识( o ) = 1 ，以( 0 ) = 0 可以得到 班( ) = l + j o 咝( s ) d s ，诞( ) 2 j o 彤( s ) d s 进而 l 仉( ) i + i 观( ) l l + j o “以( 3 ) l + i 以( s ) 1 ) a ssi + m o ( i 键( s ) i + i 以( 3 ) i ) d s ( 2 5 ) 其中m = m a x ( 1 ，) 由g r o n w a l l 不等式可以得到 j 叽( ) i + i 观( ) i e ” 由a s c o l i 定理可知，函数列 仇( t ) ) 在【0 ，2 卅上是一致有界且等度连续因此 以( ) ) 为列紧集， 讥( ) ) 的任一序列都存在收敛的子列为方便其见，仍记为 也( f ) ，且设 让( ) 一咖( t ) ，一0 5 因对几乎所有的t 【0 ，2 7 r 】有 新川，= 邕导半 成立，又因( z ) 是局部l i p s c h i t z 连续的，所以( z ) 是几乎处处可导的，故对几乎 所有的t 【0 ，2 7 r 】，有 i y 7 ( 妒。) 一( 伽) 】一( 伽) 妒o ( t ) ，s 一0( 2 6 ) 成立显然妒o ( t ) 是c a u c h y 问题 o 2 一y 1 妒曲“。l ( 2 7 ) l 【0 ) 2 1 ，【0 j = 0 的解，由解的唯性可知，以( ) 的极限不依赖子列的选取，故对任意的p 0 ，器存 在，并且嚣= 妒o 由讥( ) e t 【o ，2 丌】可知番( 器) 的存在性也是显然的 下面证明番( 髻) 的存在性和连续性定义 峨：= ( 警一警) s ， 则有 以( ) = 一；【y 7 ( 忱) 一y ( 妒。) 】，雌( o ) = o ( 2 8 ) 和前面的做法一样，我们可以证明t 峨 是列紧集，故t ) 的任一序列都存在收敛的 子列，不妨仍记为f 峨 ，并设它一致收敛到0 3 0 ，这里满足方程 州= 甲( 笔，邮) = 。 ( 2 9 ) 由解的唯性可知南( 甏) 是存在的因e 一( 妒。( ) ) 是l ，连续的，则鑫( 甏) 也是连续的，从而 未( 警) = 旦r 塑o p 、 引理2 2 对vp o ，当te ( o ，磊) 时，蛊 o 证明因为妒( t ，p ) 关于t 是等周期的，并且是偶函数，所以在这里仅证明t ( o ，磊) 时的情况容易知道在( o ，吾) 上有鬻 0 ， 结论显然成立 若存在0 t 妒( 岛力则对vt ( t ，磊) 一定有 一 妒( t ，p + ) 妒( t ，力 事实上。如果存在t c t ，磊) 使得妒( t ，p + ) = 妒( ，力，则根据系统( 2 1 ) 的能量守衡 性质可知 警似p 删 警纯力 妒( s ，力成立，又因i ，( z ) 是严凸函数，v ( 卫) 是 严格递增的，且 妒( t ，p + g ) 一妒( t ，p ) = p + e p + ff 5 【( 妒代) ，p ) 一y ，( 妒征) ，p + ) 】d d s ，妒( t ，p + g ) 一妒( t ，p ) = 一p + 上上【 代) ，p ) 一( 妒( f ) ，+ 8 ) 】4 3 ， 所以有 v 7 ( 妒( ) ，p ) ( 妒( ) ，p + e ) ， 从而 妒( o ，p + ) 一妒o ，力se 总之，对于任意的j o ，嚣) 郡有妒( t ，p + 6 ) 一妒( ，p ) s 引茂立 下面我们证明荔爰 o ，铆裙( o 对于情况( n ) ，结合器s1 ，等 o 和y ) o ，由情况( d ) 的结论可知器在区间( o ，t o ) 严格递减， 7 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 0 ， = 0 ，并且在 即磊 对称地，存在t l ( t o ，磊) ，使得荔( t 1 ) = o ，并且鬻在( t i ，磊) 严格递减。即 畿 吼n 因为磊爰f 。 幽o v o t 掣圳( 办 由此矛盾产生故t 。= t 1 ，即苗费 o 引理2 3 在( k ) ，( ) 条件下，有 掣刊) ；警一m 等刈线( p 一删 j “l 扩_ 0 ， i z ( o ) = 1 ，一( o ) = 0 的解 证明设蜘( ) ：亟掣，则蜘( ) 满足 f 彰+ 掣：0 1 l 弘( o ) ：1 ，虻( o ) ：o 根据条件( ) ，( k ) ，可知存在k l 0 对任意z r 有 l 彬h 掣i 蛐 因为 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) v 7 ( z ) i k d x l 成立则 蜘( ) = 1 + z 。虻( s ) 如，虻( ) = z 蟛( s ) 如， 所以 f 耶( ) l + i 虻( ) lsl + m 1 f o ( i 弘( s ) l + i 虻( s ) i ) d s 这里a “= m a z ( 1 ，k 1 ) ，和前面的证明类似，由g r o n w a l l 不等式可得 1 9 a t ) l + i g ( t ) l e m ”，t o ，2 丌】 8 再结合a s c o l i 定理可知，函数列 卫业) 在【0 2 卅上是一致有界且等度连续，故 亟铲 为列紧集，任一序列存在收敛的子列，为方便其见，仍记为 ! 弘 ，并设 。! 罂。鲣盟：螂) ， p + 十p 显然，饥( ) 满足方程( 2 1 2 ) 由解的唯性可知讥( ) = 妒( t ) ，故丛弘一致收敛到 妒( t ) ，且不依赖子列的选取，则有 熙掣刮铣熙；箬= 附 下面研究器的极限记蜘_ 器 对( 2 1 1 ) 式两边同时乘以i 得， a 2 妒1 a 妒y ( 妒) 却v ( p ) o p o tp o t 十万2 即 嵋；等吩孚= 半 ( 2 1 4 ) 在引理2 1 中已经证明 i f + f 嵋j e m ，t 【0 ，2 ”】， 可知 ) 有收敛子列，不妨仍记为 ，下面分情况讨论 邯 的极限 1 ) 【一焘，焘】 设咋。，0 ( p 一+ o 。) 由引理2 3 前面的内容可知 ；箬一姒半邓p 一慨 则有 吒o 1 ( t ) + ，o o 妒( ) = 口， 即 一面s i n v 伍t 吒o + a c o s v 乞t f f o o o = 口 容易解出 ，0 = c 0 6 、缸+ c s i n 、，位 因为0 是偶函数，则可以推出c = 0 2 ) t 【磊蠢，磊) 设。l ( p _ + o o ) 则 叱1 ( t ) + ，1 蛳( ) = a 一v d g ( 一焘) 吒，- + 6 【_ ；s i n 以( 一焘) 】- - = 。 同样可以解得 呦2 一以s i n v g ( # 一丽7 1 ) + d c o s j g ( t 一焘) 结合引理2 2 的结论可知印在( 嚣云，器) 和( 磊，磊+ 磊老) 上是对称的，且都是严格 单调的故有d = 0 由此可见 = 1 ；f ，吒= ，te 0 ，7 f 同样可以证明 = 蛾叱= ，f 唔7 1 i 2 7 r 】 则引理2 3 结 务成立 1 0 第三章定理1 的证明 在第二章，已经证明系统+ ( z ) = 0 满足初值条件妒( o ，力= p ，( o ，p ) = 0 解的性质本章研究有扰动的等时系统( 1 4 ) 的周期解的存在性将方程( 1 4 ) 写成如 下的等价形式- i 一= 一f ( 茗) ， ( 3 1 ) i3 ，一- v 0 ) g 忙) + p ( o 这里y ( z ) ，9 ( $ ) ，p ( t ) 满足条件( k ) 和( ) 首先研究方程( 3 1 ) 的解的大范围存在 性 引理3 1 当条件( 甄) 成立且f ( x ) 为有界函数时。方程( 3 1 ) 解的最大存在区间是 ( 一o 。，+ o 。) 证明令 w ( z ，y ) = 毒f 2 + y ( z ) + g ) 记 w ( t ) = 计 ( t ) ，f ( t ) ) = 妻y 2 ( ) + v ( x ( o ) + g ( z ( f ) ) ， 则 w 7 ( ) = 口( ) p ( ) 一【v 0 ( ) ) + f 0 ( ) ) 】f ( z ( ) ) 由于 1 i i n 塑：融1 i n l 型：b ，l i m 塑：o ， 2 一十z什z 一+ z f ( x ) 是有界函数，故有 l i 。l ! ! f 型窭! ! | 兰l 兰2 ：l i 。! ! ( 塑! l 兰2 ：! ：盟：o 1 0 v l 一+ o oz 1l z i 叶+ zz 于是，对任意充分小的 0 ，存在常数 0 使得对vz r 有 i 矿( 功+ g ( z ) f 0 ) i 如2 + o z ， r 1 w 7 7 ( t ) i ；2 ( ) + 矿( ) + z 2 ( ) + 如 沪( t ) + 矿( ) + 舻( ) + 龟 y 2 ( t ) + p 2 ( t ) + 矿( ) + g ( z ) 一c 2 + 岛 这里c = 龟+ k i + m l p ( t ) 1 2 因此，在任何有限区间【0 ，t ) 上，有 w ( t ) w ，( o ) ，+ c ( e t 一1 ) 由此可知，当g ( x ) 满足次线性条件， f ( z ) 有界时方程( 3 1 ) 的解( z ( ) ，( ) ) 在整个 陆词当有条件( 如) ，( 风) 成立时，这个结论显然也是成立的 另外，由i w 似) | 1 w ( t ) l + c 可知，当( t ) 21 时，有i 甏拱| sl + c 由此可以推出 。 h 7 ( o ) e 一( 1 + c ) w ( t ) h 7 ( o ) e ( 1 + 。p 令w ( o ) 6 l = e ( 1 + o “，则有 掣s w ( ) b l w ( o ) ，o 2 r 因此，对于方程( 3 1 ) 的解( z ( ) ，”( ) ) ，当瑶+ 瞻足够大时，z 2 ( ) + y 2 ( ) ( t 【0 ，2 州) 也将充分大因此当瑶+ 荫充分大时，可以引入变换 p2 ，加) ， 【( ) = 鬻o + 口( ) ，p ( ) ) ， f 誊器= 一f ( 妒) ， i 和+ 磊，一删 。2 仁搭1端12 韶罐 s ，卜啊釉加顾秘) 一南毗) 磊 一“ 记方程( 3 3 ) 满足初始条件p ( o ) = p o ，e ( o ) = o o 的解为( p ( t ) ，p ( ) ) ，并定义方程( 3 3 ) 的p o i n c a r 6 映射p ， p ：( p o ，o o ) 一( m ，8 1 ) = 如( 2 ，r ) ，口( 2 ) ) 为了证明( 3 3 ) 的2 ”周期解的存在性，只需证明映射p 存在不动点首先对方程( 3 3 ) 的解d ( ) ，口( t ) ) 进行估计 引理3 2 在( 皿) ，( h 3 ) 成立的情况下。当巾一+ o o 时，有 p ( t ) = p o 十d ( 1 ) ；口( ) = e o + d ( 1 ) 证明由引理2 3 的结论可知，当舶一+ o 。时，有 掣一们) 故有 焉0 妒- - * 0 他) 妒( ，力= 础( # ) + 。( 力，警= ( ) + 。 另外由( v 2 ) 可得 v ( z ) = n z + d ( 茹) ，z 0 ；v ( z ) = b z + o ( z ) ， 0 ，存在岛 0 ，使得 f 矿( z ) i s ( r + ) i z l + c c ，r = m a z ( a ，6 ) 因此 1 a l p 1 a 妒 1 1 8 妒 订两一0tap+o(a)ata+o(1)pot j 器i s 糍产 又因为9 ( z ) ，f ( 。) 和妒( ) ，( t ) 都是有界的，故存在k 0 使得当p o 充分大时，有 一i p l = i 一南鲁咖) + 南鼢) + 南) 雾i s 缸 于是，当1 9 0 充分大时 p ( t ) = p o + d ( 1 ) ，t 【0 ，2 卅 同样，再结合 鬻刊) 袅一m p 一慨 不难得到 熙矿= 热【南雾咖) 一南鼢) 一丽1 吼) 蛊j - 0 对t 【o 2 7 r 】一致成立，故有 o ( t ) = 0 0 + d ( 1 ) ，t 【o ，2 丌】 下面证明定理1 定理1 若条件( 凰) ，( 现) ，( 风) 和( k ) ，( ) 成立，则当i i i ( 日) 或1 1 2 ( 口) 不变号时， 方程( 1 4 ) 至少存在个2 7 r 周期解 证明因为 顶蒜= 承而i 1 丽= 厕1 + 。而1 ) ( 3 4 ) 可硒2i 趸巧j i ；百面2 面i 万十o 石而 【。4 ) 和 所以 另外 p ( t ) = p o + 0 0 ) ，t 【0 ，2 丌】 订下鬲：l + 。( 三) 【0 ，2 丌j ( 3 5 ) 瓦丽2 一a p ( t ) + 。( 石) 。啪叫 ( 3 5 ) 纠= 缈( f ) + 。( p ) ：警= 州t ) + 。( 1 ) ，【o ，2 ” 再结合引理3 1 的结论，对( 3 3 ) 的第一个式子 = 一南警咖) + 而1 瓦0 p 础) + 丽1 跏譬 1 4 在【0 2 1 r l 上积分得 俐叫。) = f 【- 矿蒜箬咖) + 品可和) + 赢两) 雾】d = f 卜赤象咖，+ 南鼢卜害赫酬出州去， = 一i 0 2 - 帕( p 0 妒p + ) + 。( 肋) ) 班+ ：z “o + 如) p ( ) d 一r 7 器f ( p o e ( m ) + 0 ( p o ) ) d t + o ( 1 ) = 一 f ( 矿) 7 卅o o ) d t 一五x ，。2 。( c - o ) d t + lf o “帅圳础 r 2 0 v 一五矿( t + 0 0 ) f ( p o 妒( t + 0 0 ) + o ( p o ) ) d t 一2 f ( 蒯h 如) + 。( p o ) ) d t + d ( 1 ) = z “妒o + ) p ( ) d t z “矿+ o + 如) f ( + o o ) d t 一2 上妒一o + ) f ( 一o o ) d t + 。( 1 = j ( “坝h 咖( f ) 舡笔【f ( + o o ) _ f ( 刊( 1 ) 2 一赤 “f f ( + o 。) 一f ( 一o o ) 】一式焉上妒，o + 扫( 。) 出卜 。( 1 ) ， n1，甜 其中妒+ = m a x o ，妒) ，妒一= m i n o ，妒 则有 p ( 2 ”) 一胛) = 一击。( 岛) + m ) 若1 1 2 ( e ) 0 ，贝存在d 1 0 使得当p ( o ) d l 时，有p ( 2 r ) 一p ( o ) d 2 时，有p ( 2 ”) 一p ( o ) 0 考虑映 射p 的逆映射p ，同样可以利用b r o u w e r 不动点定理证明p - 1 至少有个不动点 故方程( 1 4 ) 至少存在个2 u 周期解 下面对( 3 3 ) 的第二个式子 = 南嚣咖) 一丽1 万0 妒邢) 一而1 跏) 蛊 即小印) = 所赢两鬈删一南鼢) _ 而丽吼) 器冲 = 州南嚣( 吣删训卜丽1 吼) 鑫( 嗍) 卜。( 石1 ) 。上高( p ( 。) 妒+ 。( 删) 一c p ( ) 一f ( p ( ) 母+ 。( 俐) 小+ 。( 去) = 击z “川如) 妒+ d ( p ( ) ) ) 一雠) 一跏妒+ d ( 俐) 纠。( 去) = 去z “此( p ( 咖+ + d ( 印) ) ) 出+ 去z h 妒- g ( 础) 批) ) ) 出 一击z “螂净一去z h 瞅胁咖( ) 胂叭。( 熹) = 击【鼍笋一掣一o “帅圳砸) 卅 一击旺“f ( + o o ) ( 矿) 7 疵+ 去f 0 2 f ( 一o o ) ( 妒- ) ，卅+ 。( 去) = 去眦掣一掣) - 赤z “帅圳删。( n 】( 驴n 掣一掣卜孺1 o “仲圳删t 不变号时，结合o ( t ) = 0 0 + o ( i ) 可知对充分大的p o ，一定有以下两种情况之一成立： 若 l ( 口) 0 ， 有0 0 ( 2 7 r ) 一o ( o ) 2 1 r ； 若n l ( 口) 0 ， 有一2 7 r o 使得 1 9 ( z ) l e l z i + c ：，vze r 另外 妒( t ，力= 州( t ) - i - o ( p ) ，t 【0 ，2 7 r 】 于是 1 9 ( 妒( t + o c t ) ，p ( t ) ) ) i e l 妒o - i - 日( t ) ，p ( ) ) l - i - c ：印( ) i 妒( ) i - t - c ：- t - d ( p ( t ) ) 另一方面 11 矿丽2 面两了五石两珈- + ” 故有 高l 南筹删外，销黼 可知 m 1 1 霉。熹熹等9 ( 妒) ：o ，t 【o ，2 】 ( 4 1 ) m 粤丽而舻刮涎【u ，孙j 【4 l 另外 。 丽1i 阿1 瓦。巩p 砸肛。虫m o o la p ( t ) l o ( p ( t ) ) 业剑p ( 驯= 0 又因为r ( x ) 有界，所以存在c 0 使得i f ( z ) i 0 ，使得 i 击豢9 ( 妒) l s 托 i 而丽9 圳3 艇+ 又因为 南珈，= 器瓣叫u i 南毗) 名厕而1 丽c ( 卅o ( 1 驯- o ( 1 ) 所以 。磐。) = o ，t m 7 r 】_ ( 4 5 ) 定理2若条件( h - ) ，( h 4 ) 和( ) ，( k ) 成立，且f ( x ) 是有界函数时，方程( 1 4 ) 至 少存在一个2 ”周期解 证明结合引理2 3 的结论，对( 3 3 ) 的第二个式子在【0 ，2 n 上积分，得 即小即) = j 0 0 2 ”【南雾咖) - 高珈) - 南毗) 器， f 南鬈( 川p ( 啪础冲 = f 品两【嚣( h 帅) p ( ) 十d ( 1 ) 】d = f 南鬻( t 地觯舾( t ) d t + 器疵 ( 4 e ) = z 打南饰+ o o ) p 出+ d ( 去)2 上亢南妒( 。+ p ( 2 + 。( 亳 = 印1j 0 2 r 馋+ 咖d 。( 去) 又因f ( z ) ，躲有界，所以有 f 赢两踟) 器拈。( p 一慨 ( 4 ，) 下面估计积分 0 2 。1 ，o ! ，a , + 慨俐酬h 慨删) 出 的值记 j + = “等( t + 口( t ) ，p 2 o ，t 【o ，2 7 r ) ， l = 矧箬( + 口( ) ，p ( ) ) so ，【o ，2 ”】 因为器是连续的函数，则4 和l 都是由连通的区间构成的 因为k 牌。s g n ( z ) 9 ( z ) = 十o o ，所以对任意充分大的正数a ，存在a o 使得 j g ( z ) 1 2 al z i 口 成立。记 b = ( t l 妒( t + 口( ) ，p ( ) ) 芝a ，t ，+ ， 辟= t t q o ( t + 日( t ) ，p 0 ) ) o ，t ，+ ， 吐= ( t b ( t + 口o ) ，“t ) ) s o ，t i - ) ， 芒= i 妒( t + 口o ) ，p ( ) ) 一n ，t 厂 则 其中 因为 所以 则有 广志鬻( 删m 州味础) ) ) 出 = 厶杰鬻( 啉础) ) 咖( 慨郇) ) ) 出 + 五南雾( 州味p ( t ) ) 咖( 删) 出 厶矿蒜嚣( 川国删) 咖吐州嘎艄) ) 出 = 厶高等( 吼俐咖( h 帆删) d c + 厶杰鬻( t 州线俐咖( h 慨出) ) ) 出 a 厶南鬈( 川蒯 + 厶高鬻( t 州嘎郇) ) 咖( 州味删) 出 熙赢= 熙瑞南。1 t 【o ，z 乩 瓦p 而o = 云1 + d ( 1 ) ，瓦1 丽= 丽1 + 。( ，舶一佃 厶志雾( 川( f ) “啪出 兹靛篇冀：誉 s ， = 击j ( j 鬻( 地郇脚+ o ( 去) 一 = 南二：。仲+ 州z + d ( 去) 这是因为对v 0 ，当妒( ) 时，都可以选择充分大的p ，使得妒( ) a 成立 2 0 l 厶志嚣( h 嘲肿) ) 咖( 郇) ) ) 出i 奶厶顶蒜毗 宁奶厶【去+ “去) 胁 ( 4 _ 9 ) = 2 静眦s ( 缉) + 舰m e s ( 辟) 。( 击) = 。( 杀) 其中，m = 嚣譬恼o ) f ，：= 懈f i 器f | 跏 o ，【o ，刎) 另外，根据姬妒一妒( t ) 以及妒( ) 在( o ，磊) 和( 磊，韶) 上的严格单调性和有界性不 难得到m e s ( 辟) = 。( 1 ) ( 详细证明见后面的附录) 故由( 4 8 ) 和( 4 9 ) 可得 厶南嚣( f 州矾印) ) 咖( 啉柏) ) 疵 鑫上：。帅+ o o ) d ( 知 另一方面。 二南嚣( + 帆郇) ) 咖( 慨印) ) ) 班 = 厶南鬻( h ) ，印) ) 如( 抖) “嘞) 巩 + 厶杰嚣。州班郇) ) 咖( 蚪啉荆) ) 出， 其中 i x 1 、一o ，妒( 蚪慨p ( 力扫( 妒( 蚪帆荆) 渺 h 厶南雾( 从啪砒 h 1 同样可证 厶高雾c 删啪出= 去z 圳出+ “如 和 山f ! 瓦1 而面o 妒( f 州班俐咖( 慨俐) 船“去) 2 1 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 结合( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) 可知 即旷印) = f o 。l 而1 矽c 9 o ( 沪南珈) 一南吼) 蛊冲 一鑫z ；。妒o + 口( 啪疵+ 未z 0 妒p + 口( 啪出+ 。( 去) 茜+ o ( 南) 0 这里g 为充分大的常数，当a 选的充分大时，这是可以得到的 结合引理4 1 的结论。望( t ) = 0 则当选取的p o 足够大时，有( ) 1 成立 故对选取的足够大的p o 有 0 o ( 2 r ) 一口( o ) 2 口 成立故根据p o i n c a r 6 - b o h l 定理可知方程( 3 3 ) 的p o i n c a r 6 映射p 至少存在个不 动点，故方程( 1 4 ) 至少存在一个2 f 周期解 附录 附录0 ，m s ( 辟) = 0 证明我们知道 。鲫o o 幽p 刊班冉4 - o o ：拿o t = 加_ 十 户o - d ，mi 咖何( + 焘) ，川- 一焘2 ，乐】 以幻2i 一行蝴：知吲焘，棼 是簪周期函数，它在【0 ，2 丌】是连续可微的，很显然对任意的t 辟砉 粤o o 趔p = 州= o ，冉4 - o o 州= 狐， 舶_ 十舶一 。 因此对选择足够大的助，有i q ( o i2 乎成立， 则对v l ，2 辟 一 d ( j ) = i 妒0 1 ) 一妒( 如) i 之- 雩- i t l - t 2 1 ， 柴m e s ( ，；) = 0 参考文献 1 】d b o n h e u r e ，c f a b r y , d s m e t s ，p e r i o d i cs o l u t i o no ff o r c e di s o c h r o n o u so s c i l l a t o ra t r e s o n a n c e ，d i s c o n t d y n s y s t e m s ，s ( 2 0 0 2 ) ，9 0 7 - 9 3 0 【2 】a c a p i e t t o ，z w a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o no fl i 6 n a r de q u a t i o n sw i t ha s y m m e t r i c n o n l i n e a r i t i e sa tr e s o n a n c e ，j l o n d o n m a t h s o c ( 2 ) ，6 8 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 9 - 1 3 2 【3 1c f a b r y a f o n d a ，p e r i o d i cs o l u t i o no fp e r t u r b e di s o c h r o n o u sh a m i l t o n i a ns y s t e m s a tr e s o n a n c e ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 1 4 ( 2 0 0 5 ) ，2 9 9 - 3 2 5 【4 】c f a b r y a f o n d a ，u n b o u n d e dm o t i o n so fp e r t u r b e di s o c h r o n o u sh a m i l t o n i a n s y s t e m sa tr e 6 0 n a n c e ，a d v a n c e dn o n l i n e a rs t u d i e s ，5 ( 2 0 0 5 ) ，3 5 1 3 7 3 【5 】a n n ac a p i e t t o ，z a i h o n gw a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o no fl i d n a r de q u a t i o n sa t r e s o n a n c e d i f f e r e n t i a la n di n t e r a le q u a t i o n s ，v o l u m e1 6 ，n u m b e r5m 8 y2 0 0 3 ， 6 0 5 6 2 4 6 1z a i h o n gw a n g ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e f i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e r l i 6 n a r de q u a t i o nw i t hl i p s c h i t z i a nc o n d i t i o n ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，4 9 ( 2 0 0 2 ) ， ( 1 0 4 9 - 1 0 6 4 ) 【7 】a c a p i e t t o ，w d a m b r o s i o ，z w a n g ，c o e x e s t e n c eo fu n b o u n d e da n dp