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哈尔滨理下大学理学硕士学位论文 多参数分歧问题的数值分析 摘要 随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现在自然科学、工程技术和 社会科学的许多领域，成为当前科学研究的一个重点。分歧是一种常见的非线 性现象，与非线性科学的其它分支密切相关，在非线性科学中占有重要的地 位。随着分歧理论研究的不断深入，分歧理论的数值方法研究也日益引起了人 们的重视。本文对某类分歧问题进行了理论分析，同时构造了计算格式。主要 内容如下： 1 首先介绍了分歧理论研究的重要意义，叙述了国内外的研究现状。在理 论基础部分，介绍了分歧问题的一些基本理论，包括分歧点的定义、隐函数存 在定理、单参数分歧点的分类和n e w t o n 迭代法等。 2 对单参数非线性分歧问题，在分歧点的小邻域内通过局部延拓方法取得 预估解，证明在以此预估解为中心，存在一个吸引域，以吸引域内任意点为初 始值，n e w t o n 1 i k e 迭代格式收敛于此非线性方程的解。 3 研究了两参数分歧问题中分歧点的分类，对一类两参数分歧问题构造了 扩张系统，证明了扩张系统的正则性，讨论用n e w t o n 方法求解扩张系统；对 一类分歧曲线也构造扩张系统，证明了扩张系统的正则性，用分块方法实现 n e w t o n 迭代过程。 4 对一类三参数分歧问题的分歧点构造了扩张系统，证明了扩张系统的正 则性；对一类三参数分歧问题的分歧曲线也构造扩张系统，证明了扩张系统的 正则性。由于扩张系统是正则的，就可用牛顿法或其它迭代格式求解此正则系 统，同样可用分块方法实现n e w t o n 方法的迭代过程，这是对多参数分歧理论 的补充。 关键词分歧；n e w t o n 1 i k e 法；扩张系统：正则性 哈尔滨理t 大学理学硕l 学位论文 n u m e r i c a l a n a l y s i sf o rb i f u r c a t i o np r o b l e m s w i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，m o r ea n dm o r en o n l i n e a r p r o b l e m sf r o mv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c e ，t e c h n o l o g ya n de v e ns o c i a ls c i e n c e ，h a v e b e e nb e c o m i n gt h ef o c u so fs c i e n c es t u d y b i f u r c a t i o ni sac o m m o nn o n l i n e a r p h e n o m e n o na n dp l a y s a l li m p o r t a n tr o l e i nt h en o n l i n e a rs c i e n c e w i t ht h e d e e p g o i n gr e s e a r c ho fb i f u r c a t i o nt h e o r y , n u m e r i c a lm e t h o d so fb i f u r c a t i o nt h e o r y a r ev a l u e db yp e o p l ei n c r e a s i n g l y t h i sp a p e rn o to n l ya n a l y s e st h et h e o r yf o rs o m eb i f u r c a t i o np r o b l e m ，b u ta l s o s t r u c t u r e st h ec o m p u t a t i o n a ls c h e m e s t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h em a i ns i g n i f i c a n c eo fb i f u r c a t i o nt h e o r yi si l l u s t r a t e d t h ed o m e s t i c a n di n t e m a t i o n a lr e s e a r c hr e s u l t sa r es u m m a r i z e d ，a n ds o m ef u n d a m e n t a lt h e o r i e sa r e i n t r o d u c e d ，s u c ha st h ed e f i n i t i o no fb i f u r c a t i o np o i n t ，i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，t h e c l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np o i n tw i t hs i n g l ep a r a m e t e ra n dn e w t o n sm e t h o d s s e c o n d l y , f o rt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m s 、i t l ls i n g l ep a r a m e t e r , ap r e d i c t o rc a nb e g m n e di n t h en e i g h b o r h o o do ft h eb i f u r c a t i o np o i n tb yt h em e t h o do fl o c a l p r o l o n g a t i o n t h ee x i s t e n c eo f t h ed o m a i no fa t t r a c t i o nc e n t e r e da tt h ep r e d i c t o rc a n b ep r o v e d a n du s i n gt h ep o i n t si nt h ed o m a i no fa t t r a c t i o na sa ni n i t i a lv a l u e ， n e w t o n - l i k em e t h o d sa r ep r o v e dt oc o n v e r g et oas o l u t i o no ft h eb i f u r c a t i o np r o b l e m t h i r d l y , f o rt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t ht w op a r a m e t e r s ，t h ec l a s s i f i c a t i o no f b i f u r c a t i o np o i n t si sd i s c u s s e d t h ee x t e n d e ds y s t e m sf o rc a l c u l a t i n gak i n do f b i f u r c a t i o np o i n t sa n db i f u r c a t i o nc u t v c sw i t ht w op a r a m e t e r sa r eg i v e n t h e n o n s i n g u l a r i t yo ft h ee x t e n d e ds y s t e m si sp r o v e d 。h o wt oc a l c u l a t et h ee x t e n d e d s y s t e mb yn e w t o ni t e r a t i v ei sd i s c u s s e d a tl a s t ，t h ee x t e n d e ds y s t e mf o rc a l c u l a t i n gak i n do fb i f u r c a t i o np o i n t sa n d b i f u r c a t i o nc u r v e sa r ec o n s t r u c t e df o rt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t ht h r e ep a r a m e t e r s ， a n dt h en o n s i n g u l a r i t yo ft h ee x t e n d e ds y s t e m si sp r o v e d b e c a u s et h ee x t e n d e d s y s t e mi sn o n s i n g u l a r , n e w t o n sm e t h o da n do t h e ri t e r a t i v em e t h o d sc a nb eu s e dt o i i 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s o l v et h ee x t e n d e ds y s t e m t h e s ea r et h eb e n e f i ts u p p l e m e n t sf o rt h eb i f u r c a t i o n t h e o r i e sw i t hm u l t i p l ep a r a m e t e r s k e y w o r d sb i f u r c a t i o n ，n e w t o n - l i k em e t h o d s ，e x t e n d e ds y s t e m ，n o n s i n g u l a r i t y i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文多参数分歧问题的数值分 析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究 工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或 撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：豸幽娜 日期：2 0 0 8年3 月日 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 多参数分歧问题的数值分析系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：魏搂阁p 日期：2 0 0 8 年3 月7 日 别币签锄1 日期：2 0 0 8年3 月 e t 哈尔滨理工人学理学硕士学位论文 1 1 研究目的及意义 第1 章绪论 随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现于自然科学、工程技术等 许多科学领域中，非线性分析日益成为当今科学研究的热点。固体力学、流体 力学、非线性振动和控制论等科学与工程问题一直是推动非线性问题研究的强 大动力。分歧是一类常见的非线性现象，并与其它非线性现象( 如混沌、湍 流、突变、分形、拟序结构等) 密切相关，是非线性科学的一个重要分支，在 其他自然科学、社会科学和工程技术领域中发挥着日益显著的作用，因此，分 歧问题有着十分丰富的理论内涵及应用前景。 大量的非线性系统均可表述为带参数的非线性方程问题，分歧点的发生标 志着系统发生质的变化，受到人们特殊的关注。分歧是指对于一些含参数的系 统，当参数发生变动并经过某些临界值时，系统的定性性态( o l j 其拓扑结构， 例如平衡状态或周期运动的数量、性质以及稳定性等) 会发生突然变化的现 象，对应的参数的临界值称为分歧值。分歧问题来源于自然科学与社会科学的 众多领域，例如压力杆的屈曲问题、单自由度强迫d u f f i n g 振动系统、热对流和 l o r e n z 系统、b r u s s e l a t o r 振子系统以及反应扩散系统等，具有广泛的实用性， 起初的研究在几十年内一直在应用领域内进行，由于微分动力系统、突变、非 线性分析等数学理论和实际计算手段的发展，尤其是不同领域混沌现象的发 现，促使分歧理论迅速发展，并且在力学、物理学、化学、生物学、生态学、 医学、控制工程论、车辆工程、航天工程乃至经济学中得到广泛应用，所以研 究分歧点、分歧曲线的计算具有重要的理论意义及实用价值。 计算机和计算技术的迅速发展，促使数值计算成为研究非线性分歧、周期 解、混沌现象等有关的非线性问题的一种重要手段，人们往往是先进行计算而 后进行分析，理论分析与数值计算并重，通过对理论分析与数值计算进行比较 得到可信的结果。 1 2 国内外现状分析 分歧问题起源于研究一些力学失稳现象，早在1 8 世纪中叶，伯努利 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 ( d a n i e lb e r n o u l l i ) 和欧拉( e u l e r ) 等就已经研究过杆件在纵向压力作用下的屈曲问 题。 1 8 3 4 年j a c o b i 在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首 先引进“a b z w e i g u n g ”( 德文“分岔”) 这个术语。1 8 8 3 年，r e y n o l d s 发现在临界 雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。1 8 8 5 年 p o i n c a r e 提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分歧理论。固体力学的屈曲和 流体力学的转扳一直是推动分歧现象的重要动力。 2 0 世纪3 0 年代，v a n d e r p o l 、a a j i p o n o b 等人在非线性振动研究中发现大 量分歧现象。到2 0 世纪6 0 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析 等方面逐渐形成了现代数学理论。2 0 世纪7 0 年代，非线性科学发展迅速，混 沌理论作为2 0 世纪物理学的三大发现之一，得到长足的进步，在理解混沌的 机理和非线性系统如何走向混沌的过程中，分歧理论起到了很重要的作用。 8 0 年代以来，曾多次召开非线性分歧计算方面的国际会议，出版了有关的 论文集 i , 2 , 3 1 ，总结了各种非线性分歧计算方面的研究成果。 目前对非线性分歧的研究主要使用的l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法、中心流 形方法【4 5 】、p b 范式方法【6 1 、摄动方法等。计算机的快速发展和对复杂非线性 系统的数值模拟刺激了有关计算方法的发展。用于非线性分歧计算的专用软件 也不断涌现 8 t 9 。在低维动力学研究取得显著进展的同时，对无穷维动力学长 时间行为的研究也引起很多人的兴趣，特别是对n a v i e r - s t o k e s 方程【1 0 1 、 k u r a m o t o s i v a s i n s k y 方程、c a h n h i l i a r d 方程、g i m z b u r g l a n d a n 方程、非线性 s c h r o d i n g e r 方程、非线性反应扩散方程等的研究取得了一些成果，建立了一些 新的算法，从而促进分歧问题在力学、物理学、化学、生物学、生态学、医 学、控制、工程技术以及社会科学中的进一步广泛应用。 在分歧问题的研究中，可以依据参数的个数分为单参数分歧问题和多参数 分歧问题，也可以依据其是否具有对称性而分为对称分歧问题和非对称分歧问 题f 1 。 1 9 8 0 年，k e l l e r t l 2 1 从实际问题中提出了多参数问题。关于多参数数值方面 较早期的工作主要由w e m e r ”】和r e h e i n b o l d 完成的。1 9 8 5 年s p e n c e 和 j e p s o n t l 4 1 就两个参数问题的转向点及转向曲线的计算做了一些工作。1 9 8 7 年， 林有浩和黄厚本【1 5 】研究多参数了大范围分歧问题，得到与单参数大范围分歧定 理完全一致的结论，并研究带年龄的多种群非线性增长方程的平衡态的整体存 在性。1 9 9 4 年，刘深泉和史本广【1 6 1 推广了多参数h a l e 定理。2 0 0 1 年李兵1 1 7 , 1 5 1 研究了在u 一等价群作用的情形下对等变两参数分歧问题的开折，得到一个分 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 歧问题的某个开折是通用开折的充要条件，给出了分歧问题余维有限开折稳定 的充分必要条件。 对称性是许多物理模型、生态模型中的固有现象。1 9 8 4 年，w e m e r 和 s p e n c e t l 9 1 做了比较深刻的工作，证明了依赖于一个参数的非线性分歧问题的对 称间断简单奇异点的情况。这些点与音叉分歧点密切相关，并且可以用一个适 当的扩张系统及一个稳定的方法计算这些对称间断音叉分歧点。1 9 8 6 年， m o o r e 和w e m e r 2 0 1 考虑了单参数对称间断分歧点的近似及收敛性。r a u g e l 2 1 】证 明了依据常用的保留对称性的近似条件，可以定义一个离散问题，该问题的解 能够比较准确地描述，并且给出了原来的解与近似解之间的比较精确的误差估 计。由于具有对称性，它的计算要比非对称情况下的计算要简便的多。 随着分歧理论研究的巨大发展，分歧理论的数值方法研究日益引起了人们 的重视。早期的文献中，c r a n d a l l 和r a b i n o w i t z 2 2 1 讨论了特征值与分歧的关 系，指出分歧问题的解能被简单分歧点附近的某个参数参数化。随后，公开发 表了许多关于分歧计算的文章【2 3 趔乃】。现在，分歧计算在分歧问题的研究中扮 演着重要的角色。 在分歧问题的计算中存在一个本质的困难，那就是分歧点处导数是奇异 的，通常的简单迭代法和n e w t o n 迭代法将会失效。在探讨解决这一问题的新 方法中，构造适当的扩张系统是分歧数值计算的一种有效方法。它的基本想法 是通过引入新的方程来扩展原来的非线性方程，从而消除分歧问题的奇异性。 这种方法有几个优点，使它成为分歧问题研究领域的一个重要的，甚至是不可 缺少的方面军。它的第一个优点是直接处理高维甚至无穷维问题。它的第二个 优点是可以将许多复杂的高阶分歧问题化为简单的低阶分歧问题。它的第三个 优点是其结果常常可以直接用于计算机上的数值计算，或为数值计算提供重要 而有用的信息。 1 9 9 0 年胡国庆【2 6 】构造扩张系统求解了“非简单”转向点。1 9 9 9 年徐美进 和王贺元【2 7 1 对单参数简单分歧点构造了扩张系统，给出了拟牛顿法算法，证明 其收敛性。2 0 0 2 年王贺元和王为民1 2 8 1 构造了定常n a v i e r - s t o k e s 方程简单分歧 点的扩张系统。同年，王立周和李开泰f 2 9 】给出了求解n a v i e r - s t o k e s 方程简单分 歧点的扩张系统的一步牛顿迭代法。杨忠华 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 1 等研究了当参数为多个时， 针对各种高阶奇异点( 例如高阶折叠点、横截式分歧点、音叉式分歧点等) 分别 构造出相应不同的正则扩张系统，在解枝延拓过程中通过求解这些扩张系统得 到解枝上存在的各种高阶奇异点。 潘状元在对两个参数的分歧问题研究中，构造了正则扩张系统，讨论了如 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 何计算分歧点及分歧曲线【3 4 1 ，特别是两参数对称音叉分歧问题，潘状元构造了 正则扩张系统，并证明了扩张系统的正则性【3 5 1 。 1 3 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师研究课题。 1 4 本文主要研究内容 在本文的研究中，注重吸收前人已有的研究成果，有针对性的开展了多参 数分歧问题理论和数值算法的分析与研究。 1 对单参数非线性分歧问题，在分歧点的小邻域内通过局部延拓方法取 得预估解，如简单预估、弦预估、切线预估等方法，证明在以此预估解为中 心，存在一个小邻域，以此邻域内任意点为初值，n e w t o n 1 i k e 迭代格式收敛于 此非线性方程的解曲线。 2 研究了两参数分歧问题中分歧点的分类，对一类两参数分歧方程构造 扩张系统，证明了扩张系统的正则性，讨论用n e w t o n 方法求解扩张系统；对 一类分歧曲线也构造扩张系统，证明了扩张系统的正则性，用分块方法实现 n e w t o n 迭代过程。 3 对一类三参数分歧问题的分歧点构造了扩张系统，证明了扩张系统的 正则性；对一类三参数分歧问题的分歧曲线也构造扩张系统，证明了扩张系统 的正则性。由于扩张系统是正则的，就可用牛顿法或其它迭代格式求解此正则 系统，同样可用分块方法实现n e w t o n 方法的迭代过程。 1 5 本章小结 本章首先介绍了本文研究的目的和意义，叙述了分歧理论研究在国内外研 究的现状，说明了对分歧问题进行深入研究的重要学术意义。同时简述了本文 主要研究内容。 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 第2 章分歧的基本理论 考虑含参数的非线性问题 f ( x ，旯) = 0 ( 2 1 ) 这里f ：x r m x ，x 为b a n a c h 空间，x x ，见r 埘为参数。m = 1 时，式( 2 1 ) 称为单参数非线性问题，m 1 时，式( 2 1 ) 称为多参数非线性问 题。如果式( 2 1 ) 的解不依赖时间，则为定常问题。 参数在实际问题中是广泛存在的，不同的环境、条件等都是参数。因此形 如方程( 2 1 ) 的非线性问题也是广泛存在的，只是传统的研究方式是对固定的一 组参数讨论的，它相当于在方程( 2 1 ) 中取定参数兄，方程( 2 1 ) 则转化为讨论非 线性方程组问题，求的解是一系列孤立的点，而方程( 2 1 ) 的解则通常是依赖于 参数的曲线或曲面( 确切地应称为流形) 。它揭示问题的解与参数的依赖关系， 即系统的行为与环境条件的依赖关系。 分歧理论所要研究的中心问题是当参数五变化时，方程解的变化情况。主 要可分为如下三个方向： ( 1 ) 如何确定临界点； ( 2 ) 如何计算分岐点( 线) 附近的解曲线( 面) 使得曲线( 面) 的跟踪可以不间断 地进行下去，解的性态如何； ( 3 ) 如何计算次曲线( 面) 。 2 1 分歧的定义 用scx 人表不非线性问题( 2 - 1 ) 的解集。对任何五a ，记 s 五= x x ：b ，兄) s )、， 假定u 是x 中的一个开集，如果集合s 。n u 和集合s 。n u 同胚，我们就 称在u 中s ；等价于s 一 定义2 1 3 6 1 如果对于厶任一领域y ，存在s 厶和x o 的一个领域u ，以 及a ，如v ，使在u 中s 不等价于s 也，那么称g o ，厶) 是f ( x ，旯) = 0 的一个分 歧点。 从直观上看，在分歧点k ，厶) 的领域内，f ( x ，a ) = 0 的解的个数发生了变 化。 引理2 1 如果g 。，厶) 是式( 2 - 1 ) 的一个分歧点，那么q f ( x o ，矗) 一定是奇 哈尔滨理工大学理学硕l ：学位论文 异的。 证明如果皿f ( x o ，厶) 是正则的，那么由隐函数定理可知道，在( 勤，厶) 的 邻域中，存在唯一的解x = x 以) 通过g 。，厶) 。由定义2 1 知，g 。，厶) 不是式( 2 1 ) 的一个分歧点，得到矛盾。 所以定理得证。 由引理2 1 可知，在分歧点附近求解方程( 2 1 ) 时，简单迭代法和n e w t o n 迭代法将会失效，这正是非线性分歧问题计算中存在的一个本质性困难。 2 2 隐函数定理 对于非线性分歧问题( 2 - 1 ) ，若( x ，z ) 是f ( x ，旯) = 0 的一个已知解，如果 e ( x ，名) 正则，那么隐函数定理保证存在一条解枝x = x q ) 通过( x ，z ) 。如果 ( x ，z ) 是一个分歧点，那么可能有多条解曲线从( x ，z ) 分歧出来。 定理2 1 隐函数定z t 里( i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ) 假定f ：x x r 埘专x ，x 为b a n a c h 空间，x x ，五r ”，所1 满足如 下条件： ( i ) f ( x ，允) = 0 ，x x ，z r ”； ( i i ) 巧= c ( x + ，见) 非奇异，其逆有界，即i i ( e ) - 10 眠； ( i i i ) f ( x ，允) 和e ( x ，旯) 在( x ，z ) 的某个开邻域连续； 那么存在p l 0 ，p 2 0 充分小，对于旯一仍，+ 见) ，存在 x 似) g ) ，g ) = k x l l x - x 0 0 ( 2 6 ) 那么存在两个不用的实根 f ，口、一b 4 b 2 一a c t , n j l 2 口 定义2 5 t 3 8 】若( x ，z ) 是方程( 2 1 ) d e j - 个简单奇异点，有只r ( t ) ，并 且满足式( 2 6 ) ，则称 ，彳) 为方程( 2 - 1 ) 关于旯的一个简单横截分歧点。 引理2 4 如果( x ，z ) 是方程( 2 1 ) 的一个简单横截分歧点，那么在( x ，z ) 的邻域u 中f ( x ，允) = 0 的解集由两条光滑曲线组成。 引理2 4 说明，在简单横截分歧点( x ，z ) 处，解枝存在两个不同的切向 量，也就是两条解枝在简单分歧点处相交。 2 3 3 音叉式分歧点 定义2 6 若( x ，z ) 满足f ( z ，五) = 0 ，且存在矿x 0 ) ，x 7 0 ) ， 有( f ) = 印口n 缈) ，尺( e ) = y x ，y 叶y = o ) ，则称点( x ，z ) 为方程( 2 - 1 ) 的 一个简单退化点。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定义2 7 若( x ，z ) 是方程( 2 1 ) 的简单退化点，且满足沙7 e ( f ，z ) = o ， 矿7 ( f ，石) 矿矿= o ，矿7 ( 瓦( ，刀) 矿v + 如( f ，刀) 矿) o ，则称 ，z ) 是方程 ( 2 1 ) 的一个音叉分歧点。 定义2 8 若存在x 上的有界算子s ，即s l ( x ) ，s i ，s 2 = i ，使得 f ( s x ，旯) = s f ( x ，a ) ，v x x ，兄r 称方程( 2 - 1 ) 满足z ：对称性的，或方程( 2 1 ) 是z ：等变的。 取互补映射 去u + s ) 和去( ，一s ) 使得x 有分解： x=x sqxo 这里x 。= 扛彳，：= x ，x a = 扛x o ：= 一x ) ，x 是x 共轭空间。 2 4n e w t o n 迭代方法 现在讨论用于求解方程( 2 1 ) 的n e w t o n 迭代格式 + 。= 一( c ( ，允) ) 。1f ( 吒，a ) 形成的迭代序列 的收敛性及收敛速度，为了记号简单，把f 中的固定 参数五略去。 定理2 2n e w t o n k a n t o r o v i c h 定理 设映射f ：x j x ，x 为b a n a c h 空间，满足： ( i ) 存在p x ，使q ( x ) 非奇异，且8 巧1 ( p ) l l p ； ( i i ) p ( z 。) g ( x o ) l l o ，使8 e ( x ) 一c ( y ) 0 川x y 0 ，v x ，少( x 。) ( 访) 卿 吉，所1 - 4 面1 - 2 一a f l y 那么n e w t o n 迭代 酩+ 。- x n 一( c ( ) ) - 1f ( ) ，确= x 。 定义的序列 x n 学县： ( 1 ) ( 妒) ； ( 2 ) 吒 收敛于f ( x ) = o 的根x ( x 。) ，并且这样的根在( ) 中是 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 唯一的，露：1 + 4 1 - 一2 a f t 。p 7 定理2 3n e w t o n 收敛定理 设映射f ：x 专x ，x 为b a n a c h 空间，f ( x ) = o 有根x 。x ，满足： ( i ) 忙1 ( x ) l l o ，侧e ( x ) 一c ( 圳l y 忙一y i i 坛，y g ( x 。) 一 ( i i i ) 晰 ： 那么对易( x o ) 的n e w t o n 迭代序列 有下列结论成立： ( 1 ) 易( x ) ； ( 2 ) i l x n + l - - x * pi x n - - x * 1 1 2 这里c = j 2 ( 1 - l p f l y ) 万1 n e w t o n 收敛定理说明，n e w t o n 迭代是平方收敛的。 当然，在求解非线性分歧问题f ( x ，旯) = 0 时，我们可以考虑c h o r d 迭代法 + ，= 一巧1 ( x o ，旯) ，( ，允) 也可以考虑n e w t o n 迭代的其它变形格式，如 吒+ l = 一巧1 f ( ，力) 这里4 ，是适当选取的矩阵，要求4 的逆比较容易求出，并且上式定义的 序列 吒) 要求收敛于方程f ( x ，兄) = 0 的一个根x 。 2 5 迭代初值的选择 2 5 1 简单预估解的选取方法 选取 x o ( 兄) = x ( 厶) 即迭代初值为前一次参数磊时式( 2 - 1 ) 的解。 迭代初值离开解的距离有如下估计： ) 一( 名) l f 篙嘞( 卜兄。f ) 连续模 哈尔滨理工大学理学硕+ 学位论文 ( 岛) _ - i 丑一s u i p s 凸i i f ( x ，允) 一f ( x ，五) 1 1 卜矿b 庙 k 易x o ) 其中，胁定义如隐函数定理。 由f 的连续性可知，当岛j0 时，( 岛) 专0 。 若f ( x ，a ) 关于旯是l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 常数为k ，则 0 x ( a ) 一( 五) 8 1 m o 臼k ( i 五一五。f ) 所以，只要延拓步长旯= a 一允。取得足够小，就可以使迭代初值落在 n e w t o n 的收敛范围之内。 2 5 2 弦预估解的选取方法 假设已知解曲线上有两个解( 妒，a o ) 和( x 1 ，旯1 ) ，( 五o 旯1 五) ，那么迭代初 值的选取可为 x o ( 兄) = x l + ( 名一名1 ) j x 巧i _ x o 则 x ( 允) 一而( 力) x ( 兄) 一x ( 允) 一( a 一旯1 ) 丽x i _ x o = ( 兄纠) f ( 所+ ( ) 兄1 ) 飞( 纠+ ( 1 一f ) 见。) p = ( 旯一五1 ) ff x 从( s ( r 五十( 1 一r ) 名1 ) + ( 1 一s ) ( ，兄1 + ( 1 一兄) a 。) ) ( f ( 见纠) + ( 1 一f ) ( 允1 一五。) ) 出衍 所以有 内。 这里 。毛5 私m a x 五 m 硎 只要旯取得比较接近于兄1 ，就可以使迭代初值落在n e w t o n 的收敛范围之 力 。 一n ， 小 以 0 一 制 ，见、厂v 八 见 矿 卅 以 肛 卜 h 丫 力 一一，【 巧 墨 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 5 3 切向预估解的选取方法 选取 而( 五) = p + ( 2 - 2 0 ) p 这里妒：堕掣是解曲线x ：x ( 五) 在名：五。处的切向量，它由方程 六( 石( 五) ，兄) 戈( a ) + 厶( x ( 五) ，兄) = o 算出，其具体表示如下： 妒= 一( p ) 卅日 误差为 x ( 允) 一( 允) = 三j 。( a 一无。) 2 + d ( ( 兄一名。) 3 ) 同样，只要延拓步长兄= 五一允。取得足够小，就可以使迭代初值落在 n e w t o n 的收敛范围之内。 2 6 本章小结 本章为理论基础部分，详细介绍了分歧点的定义、单参数分歧点的分类、 隐函数定理、n e w t o n 迭代方法以及迭代初值的选取等。其中，介绍了单参数 非线性分歧方程的三种基本分歧点：折叠点，音叉式分歧点和横截式分歧点。 这三种点是单参数非线性方程最常见的分歧现象，许多复杂的多参数分歧问题 可以通过适当的扩张方程化为这些基本分歧问题，同时也介绍了三种预估解的 选取方法，并且所叙述的相关性质为分歧算法的研究提供了理论保障。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章用n e w t o n 类方法求解分歧曲线 这些年来，分歧问题的研究主要致力于寻求适当的数值方法跟踪解曲线， 主要内容包括三个方面： ( 1 ) 用延拓方法计算正则解枝1 3 9 1 ； ( 2 ) 确定解枝上的奇异点【4 0 1 ； ( 3 ) 跟踪解枝越过奇异点。 在跟踪解曲线的过程里的众多迭代格式，n e w t o n 法是经典算法，但是当 迭代算法中导数奇异或病态时，迭代过程将无法进行或很难进行，这就要求我 们考虑其它的迭代方法 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 】来克服这一困难。 本章主要证明在分歧点附近可构造预估解，对构造的预估解，以其一个小 邻域内任意点为初始值，n e w t o n - l i k e 方法收敛于分歧问题的解曲线。对于选定 初始值，j e p s o n 和d e c k e r t 4 5 】证明了n e w t o n 迭代法和c h o r d 迭代法收敛于非线 性分歧方程的解曲线，而本章运用的n e w t o n - l i k e 方法比n e w t o n 迭代法和 c h o r d 迭代法在应用上更具有广泛性。 3 1 分歧点附近的线性系统 对于非线性方程 f ( x ，a ) = 0( 3 1 ) 这里f ：蜀r 啼岛为光滑映射，岛、岛为b a n a c h 空间，x e ， 旯r ，a 为参数。 若( ，矗) 是式( 3 1 ) 的一个分歧点，则有多条解曲线从( ，九) 处分歧出 来，即f 羞只( x 0 ，磊) 奇异。 对参数厶，解p 兰x ( 厶) 可知，在a 凡处取适当的预估解z ( 允) ，如第二 章介绍的简单预估法、弦预估法、切向预估法。 设f r e c h e t 导数f 善c ( x 0 ，厶) 是指标为0 的f r e d h o l m 算子。对于有限维 m 1 ，p 和伴随算子p 1 的零空间表示为 lfl = s p a n l ，用 善i d i m i = 所 ( 3 - 2 ) n l ( f ! ) + i = s p a n ，甲稿三m d i m n ：- - m ( 3 3 ) p 的值域表示为 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 置三r p = y b 2i w y , = 0 ，i = 1 ，掰 ( 3 - 4 ) 取五和2 的补空间，给出e 和垦的分解，即 b l = n iox i ，i = 1 ，2 定义投影算子只：e 专m ，其中， z 忍= m ，p 置= 0 ( 3 - 5 ) p 的f r e d h o l m 性质的一个重要结果是：a o ：x i 一五存在有界逆 彳0 1 - l ：五专x ，其中 4 0 = ( ，一最) p ( ，一日) 用式( 3 - 5 ) 定义的投影算子表示e ( x ，名) ，设 m ( x ，允) = f c 彳( x x , a 2 ；丢 耋三j 其中 a ：墨一置，a = ( i - p 2 ) f x ( z ，a ) ( i - p 。) b ：l x 2 ，b = ( i 一忍) c ( x ，a ) 足 c ：墨一2 ，c = 县c ( x ，兄) ( ，一只) d ：l 寸2 ，d = 昱e ( x ，兄) 露 ( 3 6 ) 则c ：置专岛等价于m ：x l lj 置2 ，即对于t 置，刀 ( _ ，n i ) 一x i + n i ，毛置，吩m 。 在名= 凡处展开m ( z ( a ) ，旯) 有 坼卅= ”凡粼眦) 其中 这里，对五的任意算子或函数， ，m ，嵌入 当见_ 厶时，记展( a ) = d ( 协一磊i ) 。 对于式( 3 6 ) 在允= 凡处展开，有d o ：lj 2 d 。= 最 碟( 2 。，墨) + 砖眉 扯鱼幽 d 丸 f = o = 瓦( x o ，厶) f ；o = 只五( x o ，厶) ( 3 - 7 ) ( 3 8 ) 式( 3 7 ) 也可写成 心卅= 三硝麓省。蝴兄) ) p 9 ， 1 4 - 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 若0 l 旯一九l 充分小，如果 d o ：m _ 2 ( 3 - 8 ) 非奇异，则m 。1 ( z ( a ) ，力) 存在。 事实上，当式( 3 8 ) 成立时，可找到 m c z c 旯，兄，= 么。乏：菇兄 。芋! ：2 。a ， ( 三。a 一三，一- j = 应。c 旯， ( 3 9 ) 由此可见，对预估解z ( 兄) ，m 一( z ( 旯) ，允) 存在等价于d o 是非退化的。 在对m - 1 ( z ( 允) ，名) 的存在性进行分析后：取以光滑弧( z ( 允) ，允) 上的点为球 心，以陋一九l 为半径的球中的点( 三( 兄) ，旯) ，对巧1 ( 虿( 允) ，允) 进行估计，这里满 足条件的三( 允) 可表示为 三( 见) = z ( a ；e ) = z ( a ) + ( a - a o ) e ( 3 - 1 0 ) 引理3 1 假设式( 3 2 ) 、式( 3 2 ) 和式( 3 - 4 ) 都成立，d o 是非奇异的，则存在 确定常数万，k ，k = k ( 艿，k ) ，使得m - 1 ：x2 2 一墨l m 。1 c z c 兄；p ，兄，= ( 耋 三；主 三； 存在，对于o 一凡l 万， o ，由式( 3 8 ) 和式( 3 - 1 1 ) ，知d - 1 存在， 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 d - i ( z ( 允；p ) ，五) = ( 兄一九) 。1 d o + 1 1 p 0 风( 见) + 屈( 五；p ) = ( 名一九) 1 d 。 。1 ( ，+ 屁( 旯) ) + 层( 旯；p ) 由式( 3 9 滑 ，、 扩￥吐班h 涝汐a 搿) b 坳 所以由式( 3 1 2 ) n 式( 3 1 3 ) 得到五( 旯) 、秀( 旯) 、e ( 允) 、d ( a ) 成立。 最后，由式( 3 一1 3 ) 即得到对巧1 ( 三( 旯) ，五) 分析。 由引理3 1 知，在以光滑曲线弧( z ( 旯) ，旯) 上的点为球心，以陋一磊i 为半径 的球中取得点( i ( 五) ，五) 满足时，巧1 ( 三( 五) ，名) 存在。 3 2 用n e w t o n l i k e 方法求解分歧曲线 设f ( x ，允) = 0 经过分歧点( x o ，矗) 的光滑解弧为( x ( a ) ，兄) ，方程 f ( x ( 允) ，旯) = 0 两边对五微分有 f ：j 毋七f ；= 0 由定义2 5 ，有劈尺p ，这里r p 是e 的值域，因此最日= o 。 因为f 是奇异的，方程f ( x ，允) = 0 在过( ，凡) 的解曲线不唯一，戈。也不 隹一。 方程p 戈o + 霹= 0 两边对五微分，得 碟( 妒，戈o ) + 2 砖妒+ 砖= 0 在点凡处对上式用映射有 最 碟( 妒，文。) + 2 f x 曼2 。+ 砖 = 0 设z ( 见) 有满足上述两个微分方程的一条切线，即满足下列条件： z ( 凡) 兰z o = x ( 凡) ( 3 1 4 ) f ：挚+ f ：= 0 0 1 5 ) ie ( 矿，三o ) + 2 砖三o + 砖l = 0 ( 3 1 6 ) 再假设2 0 满足算子d o 是非奇异的。 引理3 1 证明t - - 蒯牛t ，取光滑弧( z ( 五) ，允) 上的点为球心，i 力一九l 为 半径的球中的点( 三( 五) ，旯) ，巧1 ( 三( 五) ，名) 存在。 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 这里 三( a ) = z ( a ；e ) = z ( 五) + ( 旯一九) e 下面证明，用z ( 2 ；e ) 作为初始值，对于i 旯一九l 和i l e l i 充分小，n e w t o n l i k e 迭代法收敛，并收敛于方程( 3 1 ) 的解。 为完成这个证明，需要引入引理3 2 。 引理3 2 设式( 3 2 ) 式( 3 4 ) 成立，d o 是非奇异的，z ( 见) 满足式( 3 - 1 4 ) 一式( 3 - 1 6 ) ，z ( a ；e ) 由式( 3 一l