（基础数学专业论文）grassmann流形g（28）和r8上的复结构.pdf

g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和f 护上的复结构中文提要 g r a s s m a n n 流形c ( 2 ，8 ) 和r 8 上的复结构 中文提要中又提要 本文利用c l i f f o r d 代数这一研究微分几何的有力工具进一步了解8 维欧 氏空间斧以及标准球面伊和酽上的复结构我们把g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，8 ) 看作c l i f f o r d 代数c p b 的子流形，根据c l i f f o r d 代数c 8 和矩阵代数r ( 1 6 ) 之 间的代数同构，建立a ( 2 ，8 ) 与欧氏空间印上全体保定向复结构所成齐性空 间的同胚，同时证明了a ( 2 ，8 ) 是s o ( 8 ) 上的全测地子流形进一步，这一同 胚限制于纤维丛丌：a ( 2 ，8 ) 一s e 的每一纤维，给出s e 的切空间上的保定向 复结构；限制于纤维丛r ：c p a s t 的纤维，又可以给出s t 的切空间上的 保定向复结构 关键词：c l i f f o r d 代数；g r a s s m a n n 流形；纤维丛；复结构 作者：赵秋 指导老师：周建伟 g r a e s m a n nm a n i f o l dv ( 2 ，8 ) a n dc o m p l e xs t r u c t u r e so nr b a b s t r a c t g r a s s m a n nm a n i f o l dg ( 2 ，8 ) a n dc o m p l e xs t r u c t u r e so nr 8 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eu s ec l i f f o r da l g e b r ac 如t os t u d yt h ec o m p l e xs t r u c t u r e so n 硭， u n i ts p h e r es 6a n ds 4 w ec o n s i d e rg r a s s m a n nm a n i f o l dg ( 2 ，8 ) a sas u b m a n i f o l do f t h e c l i f f o r da l g e b r ac 如t h u sw ec o n s t r u c th o m e o m o r p h i s mb e t w e e ng r a s s m a n nm a n i f o l d a ( 2 ，8 ) a n dt h e s e to f o r t h o g o n a lc o m p l e xs t r u c t u r e so n 斧b yt h ei s o m o r p h i s mb e t w e e n t h ec l i f f o r da l g e b r ac 如a n dt h em a t r i xa l g e b r ar ( 1 6 ) w es h o wt h a tg ( 2 ，8 ) i sat o t a l l y g e o d e s i cs u b m a n f f o l do fs o ( s ) r e s t r i c t i n gt h eh o m e o m o r p h i s mo nt h ef i b r e so ff i b r e b u n d l e s7 r ：g ( 2 ，8 ) _ s 6a n dr ：c p 3 _ s 4r e s p e c t i v e l y , w eg e tt h es e to fc o m p l e x s t r u c t u r e so i lt h et a n g e n ts p a c eo fs 6a n ds 4r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：c l i f f o r da l g e b r a ，g r a e s m a n nm a n i f o l d ，f i b r eb u n d l e ，c o m p l e xs t r u c t u r e i i w r i t t e nb yz h a oq i u s u p e r v i s e db yp r o f iz h o uj i a a w e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任。 研究生签名。盘盖些日期：盘：生! f 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：盘兰盔监日期：! i ：垒丛 导师签名：l i 妊盔日期：r ! 兰生 g r 躐m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和j 护上的复结构 引言 引言 c l i f f o r d 代数是由c l i f f o r d 于1 8 7 8 年发现的 7 】它推广了h a m i l t o n 的四元 数和g r a s s m a n n 代数，能够进行高维的几何计算和分析，被c l i f f o r d 取名为几 何代数历史上，c 抛 4 1 ，w e y l 2 ，c h e v a u e y 5 6 】等数学大师都曾研究和应 用过c l i f f o r d 代数，对它的发展起了重要作用近年来，c l i f f o r d 代数及s p i n 表示在微分几何、理论物理、经典分析等方面取得了辉煌的成就，是现代理 论数学和物理的一个核心工具，并在现代科技的各个领域，如机器入学、信 号处理、计算机视觉、计算生物学、量子计算等方面有广泛的应用 众所周知，g r a s s m a n n 流形在微分几何中占有很重要的地位比如，g r a s s - m a n n 流形上的典型向量丛是微分矢丛的万有丛，因而它的同调结构是示性 类理论的基础( 【9 】 1 2 】【1 3 】) 另外g r a s s m a n n 流形是齐性空间、对称黎曼空间 的典型例子，对它的黎曼几何性质的研究已有很多( 1 1 1 4 1 1 8 ) 在子流形的 微分几何的研究中，它是欧氏空间中一般子流形的g a u s s 映射的靶空间本 文的目的是通过研究g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 来讨论8 维欧氏空间舻以及标 准球面s 6 和伊上的复结构g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 是欧氏空间斧中2 维 定向子空间的集合，它可以看作欧氏空间辟上2 维外向量空间 2 ( 印) 的一 个子流形在8 维c l i f f o r d 代数c 如与外代数 ( 萨) 的自然同构下，又可以 把g ( 2 ，8 ) 看作c 9 8 的子流形 l a w s o n 和m i c h e l s o h n 1 0 指出存在类似张量运算的局部s p i n o r 计算，它们 应是局部黎曼几何的重要组成部分在文 1 5 】中周建伟教授具体构造c l i f f o r d 代数的不可约表示空间，进而建立了c f i f f o r d 代数和矩阵代数的同构他给出 了c l i f f o r d 代数c 如的不可约模的一组生成元，利用这组生成元给出了c l i f f o r d 代数e 如与矩阵代数r ( 1 6 ) 之间的代数同构圣：c g s 竺r ( 1 6 ) 本文把代数同构 g r a s s o a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和j 栌上的复结构引言 西限制在c l i f f o r d 代数c 如的子流形c ( 2 ，8 ) 上，建立g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 与欧氏空间科上所有保定向的复结构全体的同胚，记为妒利用此同胚映 射矿可以证明c ( 2 ，8 ) 是s o ( 8 ) 的全测地子流形 f l7 】证明了存在纤维丛 7 r ：c ( 2 ，8 ) 一s 6 ，纤维为复射影空间c p a 本文在3 中证明把同胚映射矿限 制到丌：c ( 2 ，8 ) 一s 6 的每一纤维，得到了s 6 的切空间上全体保定向的复结 构进一步将矿限制到纤维丛下：c p 3 一s 4 的每一纤维，给出s 4 切空间上 的保定向复结构的全体 2 g r a 蹄m a n n 流形a ( 2 ，8 ) 和j 铲上的复结构 1预备知识 1 预备知识 为了叙述完整起见，我们首先简要介绍有关c l i f f o r d 代数c 。，萨上的复 结构以及g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，8 ) 方面的知识 1 1c l i f f o r d 代数c l s 设讲是8 维欧氏空间，优8 是相应的c l i f f o r d 代数c l i f f o r d 代数是一 个结合代数，其上有两种运算：加法运算和乘法运算设i h 一，自是r 8 上 取定的一组幺正基，那么c l i f f o r d 代数c g s 中元素可用形如毛。毛。的元 生成c l i f f o r d 乘法由下式决定 b 配+ 配b = - - 2 6 b c ，b ，c = 1 ，8 定义c l i f f o r d 代数c g s 的体积元素为 “8 = i l e 2 西 定义c l i f f o r d 元素 风= e l 黾如西， 蠡= 烈ie - 复一1 + 黾) ，t 毒l ，4 ， 显然魇= 1 记 a s = r e ( 蚕l 一西) 定义c g s 上的子空间v = c t s a 8 ( 1 + 风) ，它是的不可约表示空间，也叫做 s p i n 空间进一步y 可以分解为v = v + o y 一，其中y + = c 掣“a 8 ( 1 十风) ，v 一= c 掣a 8 ( 1 + 风) 定义同态o ：c + c ，如果亭e 篙“，则乜( f ) = ；如果 叩g 靠謦，贝口( 叶) = 一叶 引理1v = 矿+ o v 一是c l i f f o r d 代数c e s 的不可约表示空间子空间y + 和y 一分别由啦= g l 邑也( 1 + 风) 与q m = e , a 8 ( 1 + 风) 生成的其中i = 1 ，8 利用c q 的不可约表示空间y 的生成元a 。，n 。6 可以构造c l i f f o r d 代 数c 。与矩阵代数n ( i 6 ) 之间的同构 g r a s s m a a n 流形g ( 2 ，8 ) 和j 妒上的复结构1预备知识 引理2 代数同构c i , ：c t 8 鲁a ( t 6 ) 可由 圣( q k o ( a ；) ) = ，七，j = l ，1 6 来定义 不难知道，对任意c t 8 ，矩阵t = 西( ) 也可以由 ( o t l ，一，o t l 6 ) = 偿q l ，q 1 6 ) = ( q l 一，a t 6 ) t 决定，其中表示c l i f f o r d 乘法对于 ：苎饥磊斧，通过简单的计算可得 西c ”，= ( 一只r ) ，其中 r = t ，1也魄 0 4 0 5 嘶砘 一妇 的一地9 3 3一盼 0 5一强印 一地讹u 1一现狮一地一班v 6 一地一地7 2 2 0 1一一狮 0 6地 一地一狮 0 8v l一地 7 3 3 一啦 一讹一口5 地 y 77 ) 2 u 1一蛳一地 一嘶v 87 2 5一一 0 4 u 1一抛 一口8 一狮一佻一口5y 4t j 3 0 2 0 1 引理1 , 2 的证明和矩阵的推导过程可参考引文【1 5 】 1 2 r 8 上的复结构 设y 是一个实欧氏空间，如果线性变换，：y y 使户= 一，称j 是y 上的一个复结构 引理3 设j 是2 n 维实欧氏空间y 上的个复结构，对任意g g l ( 2 n ，r ) ， 则j g = g 。j g 也是v 上的复结构，并且y 上的任何复结构j 都可以这样 生成 设 是磁上的欧氏内积，对于任意x ，y 舻，把x ，y 表示成横向 量， = x y 。设j 是斧上的复结构，如果 = ，则 4 g r a m a m l 流形g ( 2 ，8 ) 和矗8 上的复结构1 预备知识 j 保持 显然，保持内积的复结构j 在辟的幺正基e 。，e 。下可用正 交矩阵表示舒上保持内积的所有复结构可以与集合 a o ( 8 ) ia k a 一一对应另一方面，记 - ，= ( 一厶 ) ，j 2 = - i 对于任意a d ( 8 ) ，a - 1 j a = a 。j a 为| r 8 上的保持内积的复结构如果j a = t ，则 a = ( 一三暑) 。c s ，c ，。c 4 ， 容易得到c + v - = t d u ( 4 ) 所以有下面的结论： 引理4 欧氏空间印上保持内积的复结构的全体与o ( 8 ) u ( 4 ) 同胚 同理我们可以得到：欧氏空间r 8 上保定向且等距的复结构的全体与集 合 a s o ( 2 n ) ia t - 一m 是一一对应的 引理5 欧氏空间磷上保定向等距的复结构的全体同胚于s o ( s ) u ( 4 ) 1 3 g r a s s m a n n 流形c ( 2 ，8 ) 设g r a s s m a m a 流形g ( 2 ，8 ) 是欧氏空间r 8 中2 维定向子空间的集合对 于霄c ( 2 ，8 ) ，取它的定向幺正基e - ，e z ，把丌表示为e ，ae 。设e j ，岛是，r 的另 一组幺正基，不妨设= c o s 8 e 1 + s i n 日e 2 ，e ；= 一s i n 日e 14 - c o s 8 e 2 ，则 丌= e ia 鸥 = ( c o s p e l + s i n 8 e 2 ) a ( 一s i n 日e l4 - c o s 0 e 2 ) = e l a e 2 因此e zae 2 与丌的定向幺正基的选取无关，于是g ( 2 ，8 ) 也可以表示为 c ( 2 ，8 ) = e 1 ae 2e t ，e 2 为幺正基 这样g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 成为外代数a 2 ( r 8 ) 的一个子流形在自然同 构 p ：c q 星 ( j 铲) ， e q e t 2 e 址p 呻e t laq 2 ae “ 5 g r a s a m a a n 流形c ( 2 ，8 ) 和j 栌上的复结构l璜备知识 下，又可以把c ( 2 ，8 ) 看作c 如的子流形，显然c ( 2 ，8 ) cs 讲n ( 8 ) 以 记为 c t 8 或 ( 硒) 上内积，对任意 ，叩c 如， = 进一步，对于任意( c t 8 ， = 专，a ( 6 g r 猫m 眦流形g ( 2 ，8 ) 和f 栌上的复结构2g r s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和f 乎上的复结构 5 2g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和r 8 上的复结构 g r a s s m a n a 流形g ( 2 ，8 ) 是舻中的2 维定向子空间的集合，我们知遭 g ( 2 ，8 ) = s o ( s 2 ) o 。 在s 6 = 口s 7i 口上e l 上的作用也是传递的 1 2 g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和j 芦上的复结构3 伊上的复结构 因此扩c “u ，= 1 01 a ，其中a s 。c 鱿由定理e 可知( 三：a ) ( 。0 。1a ) 为舻上的复结构，则存在z g c z ，满足妒c 。，= ( 二： 即 x a s ( 1 + 风) = c l e 2 a s ( 1 + 风) 所以z u j uu s 7 因此，在同胚矿：c ( 2 ，8 ) 一m 下，? r - 1 ) 给出了 疋。s 6 上所有保定向等距的复结构 1 3 g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和f 2 8 上的复结构 3 s 6 上的复结构 。c口：，q：，一，q：，=cq：，。：，一，口；，1 0 t 。1 a ， ， = u ；e 2 e 。+ 蠼e l e 0 一j ( 醒8 口e 2 - - a ) 2 ( g a e l ) 1 4 g r s m a t m 流形g ( 2 ，8 ) 和j 护上的复结构 3s 6 上的复结构 同理可证( v j ) e 。e 。= 0 因此v j 三0 ，这证明了复结构j 是可积的，而且 g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，8 ) 是个k 址f 1 e r 流形下面我们证明霄：a ( 2 ，8 ) + | s 6 是 伪全纯映射，即任意e 。ae 2 a ( 2 ，8 ) ，下面的映射图可交换 正1 a e 2 a ( 2 ，8 ) e 。 e 。g ( 2 ，8 ) 工霄。l 霄。 e s 6 ：! i疋s 6 以e 。e 2 e i a e 2 g ( 2 ，8 ) 为例取彳( t ) = ( e 1c o s t + e 。s i n t ) ae 2 为0 ( 2 ，8 ) 中的 一条曲线，彳( o ) = e 。ae 2 ，辛( o ) = e 。e 2 ，7 ( t ) = 丌( 彳( t ) ) 是伊中过点z = 丌( e ae 2 ) 的一条曲线，由z t ( t ) a 8 ( 1 十风) = 9 1 7 ( t ) a 8 ( 1 + 风) 给出两边微分得： 寺( t ) 山( 1 + 风) = e l x ( t ) a 8 ( 1 + 风) 当t = 0 时，e a e 2 a 8 ( 1 + 风) = e 1 x ( 0 ) a s ( 1 + 风) 于是 e 。e 2 a s ( 1 + 风) = 9 1 丌( e 。e 2 ) a s ( 1 + 风) 同理 e l e 。a s ( 1 + 风) = g l r , ( e l e 。) a s ( 1 + 风) 对于v x 瓦s 6 ，以。：x - 以，。，x 是由e l 五。：x a 8 ( 1 + 风) = e l e 2 c h x a s ( 1 + 风) 定义的因此 e l 以。：( o ) a 8 ( 1 + 风) = e l e 2 e l x f ( o ) a s ( 1 + 风) = e l e 2 e a e 2 a s ( 1 + 风) = e l e 。a s ( 1 + 风) ， 所以 五。：0 仉( e 。e 2 ) = 丌- oj ( e 。e 2 ) 同理可得 以l 。2o 丌( e l e o ) = 7 r 。oj ( e l e n ) 1 5 g r a & m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和r 8 上的复结构3 s 6 上的复结构 由，r o ，= i d ，可得五。：= 丌。ojo ，如果映射，：s 6 一g ( 2 ，8 ) 给出的复 结构可积且有下面的交换图： l s 6 ：攀t , s 8 i | 。、1 巧( 。) g ( 2 ，8 ) j 乃( 。) g ( 2 ，8 ) 这时，：伊+ g ( 2 ，8 ) 是全纯嵌入，从而s 6 也是一个k 5 3 1 e r 流形，这与 m ( s 6 ) = 0 矛盾因此这里的讨论可能可以用来证明猜想： s 6 上没有可积的复结构，使之成为复流形 1 6 g r a s s m a n n 流形c ( 2 ，8 ) 和舻上的复结构 4 s 4 上的复结构 4s 4 上的复结构 在这一节我们讨论s 4 上的复结构，首先给出s t 上的一个纤维丛对于 任意z c 学“，存在单位向量8 ，t 使得 x a s ( 1 + 风) = 百l s a 8 ( 1 + 岛) ，x a s ( 1 一风) = e l t a 8 ( 1 一风) 两式相减可得：2 x a 8 风= i 1 ( s t ) a 8 + e 1 ( s + t ) a 8 风 由文 16 】中的命题3 6 可知，对于任意向量秽，甜r s ，如果存在z g ( 2 ，8 ) ， 使得 x a 8 风= l v a 8 + e 1 w a s l 3 s ， 那么向量”，叫应满足下面的条件： 口上自，百2 ，w 上百l ，i 训2 + 叫1 2 = 1 ， = = 0 我们将z 限制于纤维丛”：c ( 2 ，8 ) 一s 6 的纤维丌一1 涵) 对于。丌一涵) ， 有x a s ( 1 + 风) = 黾黾凡( 1 + 风) 由上面的讨论可知这时v + w = b ，即加= 西一 因此如果存在z 丌一( b ) ，使得 x a s & 一目l v a s + e 1 ( b v ) a s 口s 那么向量”应满足 上百1 ，百2 ， = 0 ， = 0 由 = 0 ，即 一 + = ；1 ，可得： i 如一2 v l = l 或l e 4 2 j r l = 1 由 = 0 ，得 = 0 ，即j 口上e 3 1 7 g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，$ ) 和f 护上的复结构 4 s 4 上的复结构 综上所述这时j v 应满足：如上e l ，面，黾，且i e 4 2 j r l = 1 这样由x a s 届s = 目口a 8 + e 1 ( 3 一口) a 8 风定义了纤维丛 r ：c p a _ s 4 z 卜i t = 黾一2 j v ， 它的纤维同胚于复射影空间c p ( 也见 1 6 1 ) 类似定理9 ，我们把同胚妒限制 于纤维丛- r 的每一纤维，有下面的定理 定理1 1 把扩限制在纤维丛r ：c p 3 一s 4 的纤维t - - i ( p ) 上，给出了耳s 4 上所有保定向复结构 证( 1 ) 设p = c o s o a 4 + s i n 06 ，这时 黾一2 v = - j # = c o s 日黾+ s i n o e s 从而相应的u l e 3 一w 为： = 三：产西一1 s i n r - 0 c - 5 = s i n 2 ( s i n2 黾一c o s2 如) e 3 一 = h ：等盟百3 + s t i n o c - 5 = c o s 2 ( c 0 8 ；百3 + s l n2 吾5 ) 由z a 8 风= e l v a b + 1 ( 南一v ) a 8 岛进一步可得： x a 8 风= e ls i n ；( s i n2 e 3 一c o s2 9 s ) a s + 黾c o s ；( c o s2 e 3 + s i n2 黾) a 8 风 = e 1s i n5 ( 8 i n3 西一c o s 2 毛) 风a 8 风+ 9 1c o s2 ( s i n2 e 3 + s i n2 如) a 8 风 = 一s i n ；( s i n2 南+ c 0 8g 黾) 西a 8 风+ e lc 0 8 ；( s i n 扣3 + s i n ；e s ) a s & = c o s ；i 1 + s i n2 西) ( c o s2 黾+ s i n2 s s ) a s 扁s 根据【1 6 】中的命题2 6 可知z a 8 风决定的c a l i b r a t i o n 为： ( c o s ；a ，+ s 洫；西) ( c o s ；如+ 西n ；如) 一( c o s 互0 如+ s t n ；黾) ( c 。s ：自+ 甑n ；拓) 记 a ，= c 。s ：a 。+ 或n ：a ，e 2 = c o s i 0 自+ s t n ：毛， 8 12 。o s 互8 1 + s l n 互8 7 ， i 8 3 + 8 m j 8 5 驴c o s ：如+ s 洫知c o s 多州n 知e 3 = c o s 互e 2 + s m 互e 8 ，e 4 = c o s j e 4 + s l n 互e 6 1 8 g r e e e m a n n 浇形g ( 2 ，8 ) 和r b 上的复结构4s 4 上的复结构 设这组幺正基生成的4 维欧氏空间为昏显然纤维t - 1 ( 肛) zc p t 由序中向 量生成序在r b 中的垂直子空间( 露) 上的基是 e 5 = - - s i n ；e 。+ c o s 互0 西，g e = 一s i n ：黾+ c o s 互0 黾， 9 7 = - - s i n ：龟+ c 。s 互0 黾，a s = 一s i n ：自+ c o s 互9 e 一6 g ( 2 ，( 昏) 上) 中的元素作用于a 。( 1 + 风) 可得： 西e 6 a 8 ( 1 + 。岛) 黾7 山( 1 + 风) e 5 s a 8 ( 1 + 风) 毛如9 5 a s ( 1 + 风) = e l i s a s ( 1 + 风) e s j g s a s ( 1 + 风) = i 1 幻a 8 ( 1 + 风) ( 一s i n2 e 1 + c o s2 西) ( 一s i n5 民+ c o s5 黾) a 8 ( 1 - i - 风) ( 1 - 百c o s o e l 幽一下s i n o e l 西+ 址竽盟西昂一下s i n o c - 7 - ) a 8 ( 1 + 风) 由一而黾黾西山( 1 + 风) = a 8 ( 1 + 风) ，上式可以改写为： 哪8 a s ( i + 风) = 、l - c 2 “# e l e 4 一s i r n 0 e 1 黾一12 峨i e 4 一t s i n 8 c - 1 ) a 8 ( 1 + 风) = 一e l ( c o s 0 e 4 + s i n p 民) a s ( 1 + 岛) = 一e l 1 a s ( 1 - - 风) 由正7 r 一1 ( 黾) 可得 z 口1 = 一百1 黾a 8 ( 1 + 风) = 一a 3 z a 3 = o 西南凡( i + 魇) = 。z a 8 ( i + 角) = a 1 由于z c p lc 昏，d 5 ，黾( 序) 上，有 因此 x i l # a s ( 1 + 风) = 一z e 5 e s a s ( 1 + 风) = 一e 5 e 8 。a 8 ( 1 + 风) 一z e 5 e 8 a 8 ( 1 + 风) 一9 5 9 8 自b a 8 ( 1 + 风) = 一( 一s i n ；e 1 十c o s l 西) ( 一s i n ；黾+ c o s2 黾) e 1 黾a 8 ( 1 + 风) = 一( s i n2 e 3 一c o s ；毛) ( 一s i n2 e 4 + c o s ；黾) a 8 ( 1 + 风) = e 1 而a s ( 1 + 风) = q 2 g r a s s m a n n 流形g ( 2 ，8 ) 和j 护上的复结构4 s 4 上的复结构 z a 2 = z z 百1 弘a 8 ( 1 + 风) = 一吞1 # a 8 ( 1 + 风) 这证明了对任意。t - - 1 ( p ) ，- ，黾，e s ，p 是矿( z ) 的不变子空间从而妒( 。) 定 义了垂直于黾，e 2 ，两，p 的舻的子空间上的一个复结构 另一方面，我们知道t s 4 = 加r 8i 上e 1 ，e 一2 ，黾，肛) 由定理6 可知 靠s 4 上任意个保定向的复结构，存在z g ( 2 ，8 ) 与之相对应不难知道，有 唯一的z g ( 2 ，8 ) ，使矿( z ) 给出瓦伊上的这一复结构，且z a 。= 一q 3 ，z q 。= a l ，o 口2 = - e l d a 8 ( i + 风) ，z e “t a s ( 1 + 风) = 2 由- e l e 2 e 3 e 4 a s ( 1 + 风) = a s ( i + 风) 和- e l e 2 e s e 6 a s ( 1 + 风) = a s ( 1 + 风) 得： 一9 1 ( c o s 口黾+ s i n s 如) a s ( 1 + 风) = e 1 ( c o s 口e 3 + s m p e 5 ) e 1 e 2 a 8 ( 1 + 风) 由e l 邑a 8 ( 1 + 风) = 一a 8 ( 1 一风) e l 邑可知 z a 8 ( 1 一风) = e 1 ( c o s 日b + s i n 8 6 ) a 8 ( 1 一风) = l ( 西一2 v ) a 8 ( 1 风) 把它与x a 8 ( 1 + 风) = 5 - 黾a 8 ( 1 + 风) 相加得： x a s 风= e l u a 8 + 9 1 ( 如一v ) a s 3 s 因此，在同胚妒：g ( 2 ，8 ) 一m 下，r “( 肛) 给出l s 4 上保定向的复结构的全 体 ( 2 ) 对任意p s 4 ，存在g v ( 4 ) cs 彬n 7 ，使得g ，( e 1 ) = g l ，g ，) = 邑，g 7 ( 西) = 黾，g ( e 4 ) = e 4 ，且g ，( 肛) = c o s 0 黾+ s i n o g n 类似定理9 的证明我们可 以得到：t - 1 ( p ) 给出耳s 4 上保定向的复结构的全体 定理1 1 也可见a t i y a h l l 推论1 2s 0 ( 4 ) u ( 2 ) c p l g r a s s m a n n 流形c ( 2 ，8 ) 和j 护上的复结构 3 结论 结论 本文证明了g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，8 ) 与欧氏空间舻的全体保定向复结构 所成的齐性空间 毛同胚，即s o ( 8 ) u ( 4 ) a ( 2 ，8 ) ，此同胚记为矿利用同胚 映射妒可证明c ( 2 ，8 ) 是s o ( 8 ) 的全测地子流形由于c ( 2 ，8 ) 是完备的，进一 步得知对任意a m s ，有m s = a e x p a - 1 t a ，其中指数映射e x p a = 登爷 把圣+ 限制于纤维丛丌：a ( 2 ，8 ) 一s 6 的每一纤维7 1 - - 1 ( ”) ，给出了e s 6 上所 有保定向复结构由此得同胚：s 0 ( 6 ) u ( 3 ) c p 。把垂限制在纤维丛 r ：c p 3 一的纤维7 - - 1 ( ) 上，给出了瓦s 4 上所有保定向复结构由此又可 得同胚： s o ( 4 ) g ( 2 ) c p l g r e 目s m a n n 流形c ( 2 ，8 ) 和舻上的复结构 参考文献 参考文献 【1 la t i y a h ，m ，g e o m e t r yo fy a n g - m i l l sf i e l d s ，l e z i o n if e r m i a a e ，a c c a d e m i a n a z i o n a l ed e il i n c e ia n ds c u o l an o r m a l es u p e r i o r e ，p i s s ( 1 9 7 9 ) 【2