凸函数在微观经济学中的应用研究.doc

凸函数在微观经济学中的应用研究No.6,2009现代商贸工业ModernBusinessTradeIndustry2009年第6期凸函数在微观经济学中的应用研究黑志华付云权(1.曲靖师范学院数信学院,云南曲靖655011;2.云南大学数学系,云南昆明650091)摘要:利用凸函数的性质,结合经济学中的实际问题,这为处理某些经济模型,如投资决策,风险管理等提供了一定的理论基础.在研究凸函数性质及其理论的基础上得出了引理5.1和定理5.1,并利用规划模型探讨了凸函数在微观经济学中的应用问题,并得出定理6.1.关键词:凸函数;凸集;效用函数;优化中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:16723198(2009)060279021凸函数的定义设函数,()在开区间J有定义,若VXl,2I,Vt(0,1),有尢txl+(1-t)xztf(x)+(1-t)f(xz),(1)则称,()在区间I是凸函数或向下凸函数,或简称厂()在区间j凸.在(1)式中,若12,且不等号是严格不等号<,则称,()在区间是严格凸函数或函数厂()在区间,严格凸.下面给出定义凸函数的不等式(1)更为方便的等价形式:设ql=f,qz=1-t,t6(O,1),则(1)式变为厂(口1aCl3cq2x2)qlf(x1)+qf(xz)再设=l+(1一)2,有2一Xl1一f=盟.2一1来的问题.该系统利用64QAM作为最大的调制层数,当信道条件满足它所需要的要求时.在信道上将传输包含六个比特信息的符号流,而当信道条件相当恶劣时采用BPSK调制方式TDD系统用于上下行链路的同步传输,基站和移动台使用相同的频率,可以假定上下行链路之间的信道情况是相关的,而业务量主要集中下行链路中,为不对称业务.由移动台对下行链路的SNR进行测量,并将测量结果输入到预测器中.预测器进行定期的预测,移动台进行相应的判决.根据sNR选择何种调制方式.这种判决为查表方式,即根据要求的BER和SNR选择何种调制方式.移动台的判决被存储到缓存器中,然后借助上行控制链路将其发送到基站.最后由基站来决定下行链路的调制采用何种方式,再将这一判决结果送到移动台,移动台据此准备接收.由于采用TDD系统,下行链路的信道情况可以由上行链路的分析进行测量.但由于上下行链路的业务是不对称的,这就需要在上行链路中经常传输导频信号.所以,建议将下行链路的检测和预测部分放在移动台上.尽管由于上行链路的业务量不大,所需传输时间不长,但是必需要保证其传输质量,因此上行链路的调制同样要适应信道情况变化.为了评估所建议的系统结构,作者进行了一些仿真实验.仿真的对象是基站与一个移动台的通信,在仿真中忽略了移动台之间的相互影响,同时我们假设给定时刻之后的一定时问长度的信道条件己知.本次仿真结果适合于FDD与TDD方式的通信系统,适合的前提条件为信道的预测是正确无误的.对于接收机对SCR的预测问题,我们采用每次的调制层数的选择是针对于512个连续的调制符号.这就意味着信道评估单元与预测单元是工作在BW/512这样的速率下,BW是信道带宽.这样数据比特流被调制以及在噪声信道中传输方差变化的高斯白噪声用来仿真信道条件的不同模型.信号的接收端将己调信号解调从而得到相应的比特数据,并与原始数据相比较,得到误比特数的相对值和绝对值.设计了七种仿真,前三种是采用不同误差判决值的自适应调制解调方案的情况,后四种分别是采用BPSK.4QAM,16QAM和64QAM的情况.每一种情况在时间上分成29个间隔,每个间隔又包含的48个时隙(每个时隙由512个符号组成).灰色表示发送的比特数,而黑色表示错误的比特数.BERmax:传输中最大的误比特数(针对时隙而言);BER:传输中平均误比特数;BERmin:传输中最小的误比特数(针对时隙而言).根据仿真结果可以看出,采用自适应调制技术使误比特率保持在某个常量附近,相反采用一般调制方式在遇到信道衰落时产生误比特率的大幅恶化.参考文献1张贤达.通信信号处理M.北京:国防工业出版社,2000.2沈兰荪.调制解调的数字实现口.电信科学,1993,9(6):87.31.33宋庆峰,路啸,房文伟.OFDM信号在离散时变信道中的新均衡J.现代电视技术,2004.作者简介:黑志华(1981),男,硕士研究生,助教,研究方向为金融工程;#-ex.(1982-),男,云南大学数学系在读硕士研究生,研究方向为计算数学.一279现代商贸工业ModernBusinessTradeIndustry2009年第6期(1)式可变为,()X2-X,(z1)+篆,(X2)(2)设.TI<xz.由z1z2.将(2)式两端乘以z2-Xl>O,有(z2-x)f(x1)+(xl-X2)厂()+(z1)f(xz)0(3)由于.272371一(x2-x)+(zX1),所以(3)式可变为型二(4)zzlIlz当:Cl<x<xz(xl<xz)时,不等式(2),(3),(4)与不等式(1)等价,即它们都是凸函数定义的不同形式.如果将不等式改为严格不等号<它们都是严格凸函数定义的不同形式.(4)式凸函数,(z)的几何意义是:连接曲线一,()上两点(1,(X1)和(,(z)的弦的斜率三不超工z1过连接曲线一,()上两点(,()和(xz,f(x2)的弦的斜率.女1F图:.图12凸函数的性质定理2.1设函数厂()在开区间J可导.函数,()在区间I是凸函数当且仅当VXl,X2I,且Xl<xz,/(x1)</(x2).推论2.1若函数Jf(z)在开区间存在二阶导数,且VI,有()>o,则函数,()在开区间严格凸.定理2.2设函数,()在开区间J可导,函数,()在j是凸当且仅当曲线Y一,()位于它的任意一点切线的上方.3偏好关系如果消费集X上的二元关系满足公理3.1与公理3.2,它则被称为一种偏好关系.公理3.1完备性.对于所有属于X集的两个选择与2,要么z2,要么z0.公理3.2传递性.对于属于X集的任何三个元素.1,z0与z3,如果0且0,则X0.4凸集的定义如果对于所有S,0S,VtEO,1有tx1+(1一)z2S,则SCR是一个凸集.5拟凸与严格拟凸函数定义定义5.1设s为凸子集,若对任意的Xl,X25,t(O,1)有f(txl+(1一t)xz)maxf(xx),f(zz),则称函数,是拟凸的.定义5.2设为凸子集,若对任意的zl,2,且iX2,t(O,1),有fox1+(1一t)x2)<maxf(x1),f(xz),则称,是严格拟凸函数.?-280?-引理5.1假设Sl,s2都是凸集,可微函数,(x)是严格凸性的充分必要条件是:f(X2)f(X】)>()x(2一X1),其中X1xz都是维向量,孺af一(,3x2,差),定理5.1设厂()为定义在R中某一凸集S上的一阶可导函数,对不同的X和XS则f在S上是凸函数的充要条件是:,(x)一f(X*)(一6经济学中的凸函数问题研究若经济目标函数,(?)是拟凸的,并且约束集合由凸函数所确定,则满足Lagrange问题就是在约束条件三c一下求maxf(xl,X2,z)或minf(xl,2,).把与约束条件相关的m个数1,2,称为La-grange乘子,定义L(x):L(xl,X2,一)一,(x)一A()一):f(xl,X2,zn)一A(gj(1,X2,Xm)一)(6)经济学中最优化问题的约束条件往往是不等式约束,gl(?x2,勰,?lgn(1,2,3,)68【o(j1,2,n)定理6.1设,为定义在某一个凸集S上的一阶可导3f(x)0,若:0或:o.则z,就是在条件O(f=1,2,)下,f(xl,2,Xn)最优化问题的解.证明:由定理5.1可得:卜)(矿)又由于o(i一1,2,n),一.或一故,()一,(*)(z)>1o.则X就是在条件Xio(i一1,2,1)下,(l2,?)最优化问