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线性代数公式定理大全（精简版） 1 ( ) 0 A r An AAx A A 不可逆 有非零解 是 的特征值 的列（行）向量线性相关 12 ( ) 0 , , T si n A r An Ax A AA A A A Ap ppp Ax 可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵 总有唯一解R R 具有 向量组等价 相似矩阵反身性、对称性、传递性 矩阵合同 关于 12 , n e ee： 称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； 12 , n e ee线性无关； 12 ,1 n e ee； tr( )=En； 任意一个n维向量都可以用 12 , n e ee线性表示. 行列式的计算： 若AB与都是方阵（不必同阶）,则 ( 1)mn AAA A B BBB A A B B 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线： (1) 2 11 2121 121 11 ( 1) n n nn nn nnn nn aa aa a aa aa 逆矩阵的求法: 1 A A A 线性代数公式定理大全（精简版） 2 1 ()()A EE A 初等行变换 1 1 abdb cdcaadbc T TT TT ABAC CDBD 1 2 11 1 1 2 1 n a a n a a a a 2 1 11 1 2 1 1 n a a n a a a a 1 1 1 1 1 2 2 1 n n AA AA AA 1 1 1 2 1 2 1 1 n n AA A A AA 方阵的幂的性质： mnm n A AA ()( ) mnmn AA 设 1 110 ( ) mm mm f xa xaxa xa ， 对n阶矩阵A规定： 1 110 ( ) mm mm f Aa AaAa Aa E 为A的一个多项式. 设, m nn s AB A的 列 向 量 为 12 , n ,B的 列 向 量 为 12 , s ，AB的 列 向 量 为 12 , s r rr, 1212 121122 ,1,2, ,(,)(,) , ( ,) , , ,. iiss T nnn ii ii rAisAAAA A B b bbAbbb ABirA ABirB 则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第 个列向量 是 的列向量的线性组合 组合系数就是 的各分量；高运算速度 的第 个行向量 是 的行向量的线性组合 组合系数就是的各分量 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即： 1111 2222 , kkkk AB AB AB AB 线性代数公式定理大全（精简版） 3 1111 2222 kkkk A B A B AB A B 矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I) 或 (II) 当0A 时, ,B A BE X 初等行变换 （当 为一列时 (I)的解法：构造()() 即为克莱姆法则） TTT T A XB XX (II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得 Ax和Bx同解（,A B列向量个数相同）,则： 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断 12 , s 是0Ax 的基础解系的条件： 12 , s 线性无关； 12 , s 是0Ax 的解； ( )snr A 每个解向量中自由变量的个数. 1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 4原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 5两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 6向量组 12 , n 中任一向量 i (1i)n都是此向量组的线性组合. 7向量组 12 , n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示. 线性代数公式定理大全（精简版） 4 向量组 12 , n 线性无关向量组中每一个向量 i 都不能由其余1n个向量线性表示. 8m维列向量组 12 , n 线性相关( )r An； m维列向量组 12 , n 线性无关( )r An. 9( )0r AA. 10若 12 , n 线性无关， 而 12 , n 线性相关,则可由 12 , n 线性表示,且表示法惟 一. 11矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 12矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 12 , n 和 12 , n 可以相互线性表示.记作： 1212 , nn 矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB 13矩阵A与B等价( )( ),r Ar BA B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价 1212 (,)(,) nn rr 1212 (,) nn r 矩阵A与B等价. 14向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示 1212 (,) ns r 12 (,) n r 12 (,) s r 12 (,) n r . 15向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示,且sn，则 12 , s 线性相关. 向量组 12 , s 线性无关,且可由 12 , n 线性表示,则sn. 16向量组 12 , s 可由向量组 12 , n 线性表示,且 12 (,) s r 12 (,) n r ,则两向 量组等价； 17任一向量组和它的极大无关组等价. 18向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 线性代数公式定理大全（精简版） 5 19若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 20若A是m n矩阵,则( )min,r Am n,若( )r Am，A的行向量线性无关； 若( )r An，A的列向量线性无关,即： 12 , n 线性无关. 线性方程组的矩阵式Ax向量式 1122nn xxx 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 1 2 ,1,2, j j j mj jn 线性代数公式定理大全（精简版） 6 12 12 12 0 , 0 ,( )() , A n A n n AxAxA n AxAxA Axr Ar A n 当 为方阵时 当 为方阵时 有无穷多解有非零解 线性相关 有唯一组解只有零解 可由线性表示有解 线性无关 12 ( )() ,( )() ( ) 1() A n r Ar A Axr Ar A r Ar A 当 为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解 矩阵转置的性质：() TT AA()T TT ABB A()T T kAkA T AA()T TT ABAB 矩阵可逆的性质： 11 ()AA 111 ()ABB A 111 ()kAk A 1 1 AA 11 ()() TT AA 11 ()() kkk AAA 伴随矩阵的性质： 2 () n AAA ()ABB A 1 () n kAkA 1n AA 11 ()() ()() A A TT AA AA ()() kk AA AAA AA E 线性代数公式定理大全（精简版） 7 ( ) ()1 ( )1 0 ( )1 nr An r Ar An r An 若 若 若 ABA B n kAkA k k AA 线性代数公式定理大全（精简版） 8 线性方程组解的性质： 1212 12 121 122 1212 (1),0, (2)0, (3),0, , (4),0, (5),0 (6) k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx 是的解也是它的解 是的解 对任意也是它的解 齐次方程组 是的解 对任意 个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 1 12212 1 12212 ,0 (7), 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax 是的解 则也是它的解是其导出组的解 是的解 则 也是的解 是的解 设A为m n矩阵,若( )r Am,则( )()r Ar A,从而Ax一定有解. 当mn时,一定不是唯一解. 方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 ,则该向量组线性相关. m是( )()r Ar A和的上限. 矩阵的秩的性质： ( )()() TT r Ar Ar A A ()r AB( )( )r Ar B ()r ABmin( ), ( )r A r B ( )0 () 00 r Ak r kA k 若 若 ( )( ) A rr Ar B B 0,( )Ar A若则1 ,()0,( )( ) m nn s ABr ABr Ar B 若且则n ,()()( )P Qr PAr AQr A若可逆,则 ,()( )Ar ABr B若 可逆 则 ,()( )Br ABr A若 可逆 则 线性代数公式定理大全（精简版） 9 ( ),()( ),r Anr ABr B若则且A在矩阵乘法中有左消去律: 0ABB ABACBC 标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1. 与 正交( ,)0 . 是单位向量( , )1 . 内积的性质： 正定性：( , )0,( , )0 且 对称性：( ,)( , ) 双线性： 1212 ( ,)( ,)( ,) 1212 (,)(,)(,) (,)(,)( ,)ccc 施密特 123 , 线性无关, 11 21 221 11 3132 3312 1122 (,) () (,)(,) ()() 正交化 单位化： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 正交矩阵 T AAE. A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成 n 的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： 1T AA； TT AAA AE； A是正交阵,则 T A（或 1 A）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于 1 或-1. 线性代数公式定理大全（精简版） 10 A的特征矩阵EA. A的特征多项式( )EAf. A的特征方程0EA.AxxAxx 与 线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素. 若0A ,则0为A的特征值,且0Ax 的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量. 12n A 1 n i A tr 若( )1r A ,则A一定可分解为A= 1 2 12 , n n a a bbb a 、 2 1 122 () nn Aaba ba b A,从而A 的特征值为： 11 122nn Aaba ba btr, 23 0 n . 若A的全部特征值 12 , n ，( )f x是多项式,则: ( )f A的全部特征值为 12 (),(),() n fff； 当A可逆时, 1 A的全部特征值为 12 111 , n , A的全部特征值为 12 , n AAA . 11 2 2 ,. m m A k kA ab aAbE A A A A A 是 的特征值 则:分别有特征值 11 2 2 , m m A k kA ab aAbE A xAx A A A 是 关于 的特征向量 则 也是关于的特征向量. A与B相似 1 BP AP （P为可逆阵）记为：AB 线性代数公式定理大全（精简版） 11 A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成 的矩阵， 1 P AP 为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值. A可对角化的充要条件：() ii nrEAk i k为 i 的重数. 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似. A与B正交相似 1 BP AP （P为正交矩阵） 相似矩阵的性质： 11 AB 若,A B均可逆 TT AB kk AB（k为整数） EAEB,从而,A B有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 即:x是A关于 0 的特征向量, 1 P x 是B关于 0 的特征向量. AB从而,A B同时可逆或不可逆 ( )( )r Ar B ( )( )ABtrtr 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； k重特征值必定有k个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重 的特征值,重数=()nrEA）. A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A（称是A的相似标准型） 若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）( )r A. 线性代数公式定理大全（精简版） 12 设 i 为对应于 i 的线性无关的特征向量,则有： 1 2 1212112212 (,)(,)(,), nnnnn n P AAAA . 若AB,CD,则： AB CD . 若AB,则( )( )f Af B,( )( )f Af B. 二次型 12 ( ,) T n f x xxX AXA为对称矩阵 12 ( ,)T n Xx xx A与B合同 T BC AC.记作：AB（,A BC为对称阵为可逆阵） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：( )( )r Ar B 12 ( ,) T n f x xxX AX