（应用数学专业论文）关于植被与沙漠化模型的研究.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文首先利用上、下解的方法研究了植被与沙漠化模型解的局部存在性和唯一 性，接着讨论了该模型的非负平衡解的稳定性及渐近稳定性和它们的吸引区域本 文的结果对土壤沙漠化的预防与控制具有一定的指导意义 全文共分两章：在本文的第一章，我们简要地介绍了问题的背景，以及本文的 主要结果；第二章我们考虑了附加扩散项后的两个抛物方程耦合的方程组，首先研 究了解的局部存在性和唯一性，接着对其相应的常微分方程组做了平衡解的稳定性 分析，最后我们研究了该偏微分方程组常数平衡解与非常数平衡解的稳定性 关键词：植被与沙漠化模型，解的存在唯一性，非负平衡解，稳定和渐近稳定 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i l lt h i sp 印e r ，w es t u d yt h e1 0 c 2 l le x i 8 t e n c ea n du j l i q u e n e s so f8 0 l u t i o n 80 fi n i t i a l b o m l d a 哪、试u ep r o b l e mf o rav e g e t a t i o np a t t e r n sa n d 出 r t i f i c a 土i o nm o d e l t h 印w e p r o v et h a tt h en o n n e g a t i v ec o n 8 t 础a n dn o n c o n s t 锄ts t e a d ys 0 1 u t i o n s0 ft h ep r o b l e ma 舱 a s y m p t o t i c m l ys t a b l eu n d e r8 0 m ec o n d i t i o n s t h ew h o l ep 印e rc o 璐i s t so ft w 0c h 印t e r 8 i nt h e 缸s tc h a 批e r ，w ei n t r o d u c e8 0 m e b a c k 铲o u n da n dt h em 咖r 鹤l l l t so ft h i st h e s i sb r i e 丑y i nc b a 批e r2 ，w ep r o v et h el o c a l 嘲s t e n c ea n d 血q u e n e 鼹0 f8 0 1 u t i o 瑚f o rt l l i 8m o d e l ，t h e nw e8 t u d yt h es t a b i h t ya n d 鲫l r m p t o t i c a ls t a b i l i 锣0 ft h en o n n e g a t i v es t e a d y8 0 l u t i o nf o rt h ee q u a t i o 璐8 n dg e tt h e a t t r a c t i v ea r e a0 ft h en o 皿e g a t i v en o n c o 璐t a n t8 t e a d y 鲥u t i o n k e y w o r d s ：v e g e t a t i o np a t t e r 璐a n dd 鹤e r t m c a t i o nm o d e l ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - n e 豁o fs o l u t i o 璐，t h es t a b i l i 锣a n da s y m p t o t i c a l8 t a b i h t yo ft h en 0 腿e g a t i v es t e a d y8 0 l u t j o n i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 了明确的说明并表尊：j j 姆意。1 轰瓷l 、墨爹i i 。 7毒蛰峙、，蚤& 一 叮、办 学位申请珠鼍学位论文作者) j 菇= ：缝鱼 麟蜃l 戮隧裟游 疆、，关于学位论文著作权使用授权书。，5 寥 篱：嘉一瓠一| 气。移。獠孙毒。1 ：飞爹 学位获得者( 学位论文作者) 签名：丝垒 2 0 ，3 年石月彳审日 学位论文指导教师釜名： 2 0 第一章引言及主要结果 土壤沙漠化问题一直被生态学家关注，保护有限土地资源对于提高人类生活质 量有很大意义许多生态学家已经对作为空间生态学分支的植被模型做了大量研究 d j t 0 n 卵- a y 和j a l u d w i n g 于1 9 9 0 年研究了干旱与半干旱气候带的植被模式，他 们发现此植被模式是自我对称破缺复系统中一个十分有趣的例子c v 砒e n t i n ，j m h e r b e 琊j m h e r b e 8 和j p 0 e s e n 于1 9 9 9 年也研究了该模式，并得出了植被对水的竞 争导致了它们之间的相互作用例如，当水不足时，某种植物系将会灭绝 g f g a w 于1 9 3 4 年把生物对共有资源的竞争作为人口动力学的个基本过 程进行研究在1 9 8 2 年d t i l l a n ，1 9 9 3 年j d m u r r a y 也研究了该过程，他们发现 当两种生物对同一资源竞争时，需要较少资源就能生存的那种生物将占优势地位， 最终将取代另一种生物如果种生物能够稳定的共存而不被其它生物所替代，那 么至少存在种资源且每种生物对其中一种资源的竞争占优势地位，这就形成了一 个生物链 j h l l i s m a n ，r r j o n k e r c ，z 删l d 和f j w e i 8 s i n g 于1 9 9 9 年研究了资源的分布 符合空间动力学的情形，此时模型就变得更加复杂他们的理论和实验工作描述了 水生种群对有限光源的竞争表现为上层浮游生物逐渐把光吸收并消耗这种模型可 以延拓到包括动物群的空间动力学，但不包括与时间独立的模式 j v o n ，h 盯d e n b e r g e 于2 0 0 1 年研究了从属于自我分离系统( 一种生物与一种资 源) 的植被模式他们关于场论方面的研究得出了植被模式在大范围内是稳定的或几 乎处处稳定的，理解产生这种模式的潜在机制和弹性守恒机制是理解土壤沙漠化过 程的主要一步，由于气候的改变和过度放牧打破了自然守恒从而生态模式趋向稳定 的干旱态 这种系统在技术上已经被视为空间延拓的非线性系统，即在合适的参数范围 内，系统自身产生了积极的反馈机制，减少了水的消耗和植物叶面蒸腾从而得到了 植被的带状模式、点状模式、迷宫模式和其它一些有序的空间分布 1 河南大学硕士学位论文 然而在2 0 0 7 年n m s h n e r b p s 缸a h l a e e 和s s o l o m o n 在 1 】中通过数字 模拟发现半干旱地带多年生植被形式是无序的随机的，这一点可以从【1 中的图( 1 ) 看 出来多年生植物在空间的分布随降雨量而变化，在降雨量少的半干旱气候带植被 以零星分布的绿点( 灌木丛) 为主，而在湿润或半湿润气候带则是茂盛的植物几乎处 处覆盖了地面 他们分析了下面方程 f 等= b 棚，、 1 罾一一吣 o j 其中a ，p ，d 都为正常数，b 代表该区域内植被密度，代表可用的地下水资源 ( 单位体积土壤含水量) ，p 表示由于水的缺乏所导致的植被死亡率，r 表示地下 水的增加量( 降雨量) ，w b 表示植被消耗a j e i 水后的增长率，因土壤渗透和植 物叶面蒸腾而损失的水量记为一w 【1 中的图形( 1 ) 中三个图横向对比表明半干旱气候带的相关长度大于其它两个 地域，看起来像是预示了地中海气候带的弱大范围的震荡，这有可能是嘶n g 不稳 定性的一个前兆他们加入了固有的噪声，即增大了因多年生植物生存所需的最小 范围而导致的初始波动，从而得到了该植被模式是无序的旺盛，可以看作是舀髑反 应平衡虽然在反应系统中缺失了自由能量、局部最小值和热平衡，但是该模型仍表 现了从自我对称破缺到无序的永久亚稳定态他们又得到了在没有相互扩散作用条 件下不存在，1 1 1 1 i n g 1 i k e 不稳定性和稳定态是通过与稳定点相同数量的植物系一致覆 盖了整个平面，特别的沙漠化的滞后环与 2 】中植物聚集过程很类似 由于植物的无性繁殖可导致该种群的扩散，设记其扩散率为d 1 o ，那么模型 河南大学硕士学位论文 ( 1 1 ) 可衍生出如下的反应扩散方程组 等_ d 1 b = b 一归= 胛m ， 詈一d = 冗一一入b = 郴朋， b l 鲫= 风，i 鲫= ， b ，0 ) = 妒( z ) o ，w 7 ，0 ) = 妒( z ) 0 ， ( z ，t ) q t ， ( z ，亡) q t ， ( 1 2 ) 0 亡 o ，若 入1 d 一2 ( 岛+ ) 一岳e ，则只要 1 2 免( z ) 一p ( o ) 妒1 ( z ) 妒( z ) 1 2 瓦( z ) + 罗( o ) 妒l ( z ) ， ( 2 2 8 ) li 亿( z ) 一p ( o ) 妒1 ( z ) 砂( z ) w 名( z ) + p ( o ) 妒1 ( z ) ， l 成立，就有模型( 1 2 ) 的解( b ( z ，t ) ，( z ，舌) ) 满足 l i b ( z ，亡) 一b 。( z ) i p ) 妒1 ( z ) ， ( 2 2 9 ) li ( z ，t ) 一矾( z ) i p ( 亡) 妒1 ( z ) ， l 即模型( 1 2 ) 非负非常数平衡解( 展，巩) 是渐近稳定的，( 2 2 8 ) 属于( 玩，矾) 的吸引 区域其中p ( t ) 满足： 当。 入 1 时，+ 印艰2 再蠹，( 0 p ( 0 ) 三) ； 当入1 时，+ 印2 舻棚p 2 f 素，( 0 0 ) 其中厶= 铲七叠。孙t ) 彘+ 喜魄( 叫) 击( i - 1 ，m ) 引理2 2 ( 比较原理) 若( b 1 ，矾) 与( 玩，) 满足下面不等式 等一d 1 b 1 一阢b 1 一p b l 等一d 1 b 2 一玩一p 玩， ( z ，亡) q t ， 鲁一d 肌一r + 肌+ a 肌励警一d 一冗+ + 入b 1 ，( 础) 锄， b 1 i 锄岛i 铀，肌i 舰i 鼬， b l ( z ，o ) 历( z ，o ) ，v n ( z ，o ) v ( z ，o ) ， 贝b 1 ( z ，t ) 岛( z ，t ) ，w ，1 ( z ，t ) v 吃( z ，t ) ，( z ，亡) q t 5 0 亡 z z q 。 河南大学硕士学位论文 证明令缸= b 1 ( z ，亡) 一场( z ，t ) ，口= 啊( z ，亡) 一 ( z ，亡) ，则由第一个不等式得 象一d 1 u ( 历，m ) 一 ( 玩，玑) = h 1 1 ，t ) 缸+ 危1 2 ，t ) 钌， 其中 = 石1 型塑竖爿笋删d s ，0 u d = 1 型塑竖名笋删d 8 ，0 u y y 因为在上霈o ，故危1 22o 再由第二个不等式得 窑一d 口丘( b 毫，吼) 一丘( b 1 ，) = 一圯1 ( z ，t ) 钍+ 幻2 ( z ，t ) 口， 其中 蛔= 石1 型塑竖名竽删d s ，0 u 上7 锄= 石1 幽塑堕芦删如， ，0 【， 因为在上铬so ，故一九2 1 o 叉 t 正( z ，o ) o ，口( z ，o ) o ，( z ，) q ， t 正( z ，亡) i 加o ， ( z ，亡) i 鼬o ， z q ， 故由弓i 理2 1 得u ( z ，t ) o ，t ，( z ，亡) o ，( z ，亡) q r 因此， b 1 ( z ，t ) 且1 2 ( z ，t ) ，w ，1 ( z ，t ) v 晚( z ，t ) ，( z ，t ) q t 接着利用比较原理给出局部解的存在唯一性定理 定理2 1 ( 局部解的存在唯一性) 设o 蜀m 玩，v 坩i 舰，o 亡 正 k 二独 。= 仁2 ) 兰? 脚扎 ( z ，t ) q t ， 0 t 正 ( 2 3 ) z q 河南大学硕士学位论文 同理知玩印是问题( 2 3 ) 的唯一非负解因而我们得到了模型( 1 2 ) 的一对有序上、 下解( 玩印，矾印) 和( 玩曲，职曲) 下面运用迭代的方法证明模型( 1 2 ) 解的局部存在唯一性 构造如下迭代格式 垒磬一。1 雪( 妨+ m 廖( 动：m 雪 _ 1 ) + ( 雪( 知- 1 ) ，形 - 1 ) ) ，亡) q t ， 坐掣一d 形( 七) + m 形( 知) ：m 形( 七一1 ) + 尼( 尽( 一1 1 ，缈( 知一1 ) ，( z ，t ) q t ， 优 旦罢：一d 1 虽( 七) + m 尽( 七) ：m 墨 一1 ) + ( 虽( 七一1 1 ，肜( j c 一1 ) ， ，t ) q r ， 优 掣一d 彤( 知) + m 彬( 七) ：m 彬( 七一1 ) + 丘( 雪( 知一1 1 ，彤( 七一1 ) ，( z ，t ) q r ， ( 2 4 ) 优 尽( 知) l 鼬= 雪( 七) i 砌= 玩，形( 七) l 勰= 彬( 庇) i = ， 0 t 正 尽( ) ( z ，o ) = 雪( ( z ，o ) = 妒( z ) ，形( 七) ( z ，o ) = 彬( 知) ( z ，o ) = 妒( z ) ，z q ， 七= 1 ，2 ， 并记( 雪( 柚，形( 舶，尽( m ，彬( 知) ) = t ( 豆( 七一，形( 七一1 1 ，尽( 七一，肜( 七一1 ) ) 令 雪( o ) = b 唧，形( o ) = 矾婶，尽( o ) = 玩曲，彬( o ) = 矾曲， 豇( o ) = 雪( 1 ) 一雪( 0 1 ，面( o ) = 彬( 1 ) 一形( o ) ， 由迭代序列可得 蔗- 讹( o ) 0 8 ( z ，亡) q t ， 0 t 正 ( 2 5 ) z q 河南大学硕士学位论文 和 即 e 懒( 0 ) 0 ， 用同样的方法可得 面( o ) o ，移( o ) o ， ( z ，t ) q t ， 0 t 正 ( 2 6 ) z q 雪( 1 ) 雪( o ) = 玩卸，形( 1 ) 形( o ) = 矾婶 虽( 1 ) 尽( m ，彬( 1 ) 彬( m 如此下去，进行七步后，我们得到 玩曲= 尽( o ) 尽( 1 ) 量( 2 ) 尽( 惫) 雷( 知) 雪( 1 ) b 卿， 巩曲= 肜( o ) 肜( 1 ) s 彤( 2 ) 彬( 七) 形( 七) 形( 1 ) 职叩 按照同样的方法可知对任意序列 豆( 七) ) 和 形( 詹) ) 是单调不减的，而序列 虽( 七) ) 和 ( 七) ) 是单调不增的因此这些序列的极限存在，不妨记为廖，彬和虽，彬，即 l i m 雪( 七) ：雪 拧+ o o 1 i m 彬( 知) ：形 七+ + o o 9 1 i m 垦( 七) = 彬， 七+ o o 。u 平彬( 七) = 彬， 血+ 虽b ， 彤 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 河南大学硕士学位论文 由迭代格式知雪，尽，形，肜满足下列条件： 等_ d 1 雪= 椰厕， 豢喝尽= 椰， 詈一d 形= 椰， 署一d w = 郴，觋 雪i 加= 虽i 舳= b 0 ， 形j a q = 肜i 鳓= 眠， 雪( z ，o ) = 量( z ，o ) = 妒( z ) ， 形幻，0 ) ：- y 仕0 1 ：移亿) ( z ，亡) q r ， ( z ，t ) q t ， ( z ，亡) q t ， ( z ，t ) q t ， ( 2 9 ) o 舌 z 0 t z z q 。 z q 令缸1 = 啻一尽，影l = 形一彬，则 号笋一d 1 留1 = ( 豆，刃) 一 ( 虽，彤) = ( 彬雷一p 雷) 一( 彤雪一p 雪) + ( 彬雪一p 豆) 一( 彤尽一肛尽) = b ( 一彬) + ( 彬一p ) ( b 一尽) ， 进而知在区域q 。上，o 雪 忍卸，彤一p o 使得 成立从而有 8 l a 幻，l 彬一p l j ，( 。，亡) q i k 。 对口1 类似地也有 瓮一蛐( 珏怕) 瓮一砒( u ，佃) 1 0 河南大学硕士学位论文 再结合( 2 9 ) 我们得到 等一帅一( u - 怕) 0 瓮一跳一( u - 怕) 0 钍1 l = 0 ， u 1 i 舳= 0 ， u 1 ( z ，0 ) = 0 ， 们佃。0 1 = o ， 再由抛物方程极大值原理可得 即 由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式可得 u 1 0 ，钐l 0 ， b 尽，彬 b = 尽，= 彤 ( z ，亡) q t ， ( z ，t ) q t ， 0 t z ( 2 1 0 ) 0 t p 时，常微分方程组( 2 1 1 ) 的非负常数平衡解p ( o ，冗) 是 不稳定的；当冗= 肛时，常微分方程组( 2 1 1 ) 的非负常数平衡解p ( o ，兄) 是稳定的； 当r o ，6 o ，且当p 1 ( o ) o 足够大时，有下式成立 p 1 ( o ) a 妒( z ) 一日l o ，n ( o ) 6 妒( z ) 一w 勺， vz q 因此( 札唧， 卿) 和( 牡。t 6 ，口。曲) 如果是问题( 2 1 7 ) 的一对上、下解，只要 讲妒1 e m 一7 7 叼，1 妒1 e m 。+ 入1 e 一仇t p l 妒1 ( 耽妒2 e m t + 吼) ( p 1 妒1 e 一耐+ 玩) 一肛p 1 妒1 e 一棚+ 玩) ， 耐妒1 e m t + 仃巾1 妒1 e 一戚一a 1 p l 妒1 e m 亡4 ( 一砌妒2 e 一删+ 甄) ( 叩1 妒1 e 一僦+ b o ) 一p ( - p 1 妒l e 一仇t + 玩) ， ( 2 1 8 ) 建妒2 e f n t m 阮妒2 e 一俐+ 入2 p 2 妒2 e 一耐 r 一( p 2 妒2 e m + 甄) 一a 0 2 妒2 e m t + ) ( - p 1 妒1 e 一耐+ 玩) ， 硝妒2 e m t + 嘞妒2 e 一仇一入2 沈妒2 e 一佩 r 一( 一p 2 妒2 e m 亡+ ) 一入( 纯妒2 e 一础+ ) 1 妒1 e 一耐+ 疡) 成立即 1 8 河南大学硕士学位论文 研妒l m p l 妒1 + 入1 p 1 妒1 ) e 一疵 p 1 妒1 e 一眦( 现妒2 e m 。+ 矸白一p ) + 玩( 陇妒2 e 一删+ ，0 一p ) ， 吼妒1 一们p 1 妒l + 入l p l 妒1 ) e 一僦 之p 1 妒1 e m 。( 一p 一纯妒2 e m 。) 一玩( 甄一p 一沈妒2 e 一础) ， 0 ；妒2 一嘞妒2 + 入2 p 2 妒2 ) e 一麻 耽妒2 e 一僦( 1 妒1 e 一硝一入b 0 1 ) + 冗一+ a w ，o 1 妒1 e 一”n + 风) ， 白；妒2 一嘞妒2 + 入2 p 2 妒2 ) e 一删 一沈仰e 一删( 1 + 蛔1 妒1 e 一删+ a 岛) + 甄一冗+ 久甄慨妒1 e 一僦+ 玩) 成立 而( 2 1 9 ) 式成立的一个充分条件是下面的不等式组成立： ( 西妒1 + a 1 p l 妒1 ) e 一仇。夕1 妒1 e 一眦娩p 2 e 一僦 + 一p + m ) + 玩娩妒2 e 一7 眦+ 甄一p ) ， 泓妒2 + 入2 耽妒2 ) e 一础耽妒2 e 一仇。( 蛔1 妒1 e 一仇t 一入风一1 + m ) + 冗一甄+ a 1 妒1 e 一础+ 玩) ， 泓忱+ 入2 耽妒2 ) 一珑妒2 e 一栅( 1 + 1 妒1 e 一删 + 入玩一m ) + 一r + 入甄( p 1 妒1 e 一仇。+ 玩) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 河南大学硕士学位论文 巨兰篆誊三 = 竺= ：卜 仁：三攀= 二 f 象硇她+ r + m p ) ， 1 孥：毕+ 耽( 砌1 + m l 一入2 ) 1i f2 丁十耽【卸1 十m l 一 2 j 。 a b 川= ( 筝_ 一p _ 入1m 一1 一入2 。) r 一( r + m p 一入1 ) 0 一竿 r 一( m 一1 一入2 ) 6 。 、。” ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 河南大学硕士学位论文 = 妒+ p + 入1 一冗一m ) ( r m + 1 + 沁) = 0 ， 容易求得此方程的特征根为 r 1 = r + m p 一入1 ，仡= 仇一1 一沁 不妨令p = ( p 1 ，沈) ，显然f ( t ，p ) = 0 1 仡，1 忱) r 在( o ，o ) 附近满足( 2 1 3 ) 式，故 由冗+ m 一弘一入1 o 和m 一1 一入2 o 知，r 1 0 和r 2 p 时，设o 弘1 p 2 瑚 。 由上可知 以1 + n 2 = 一历 0 ， 所以 如【n ，) o ，觑 n 2 ) o ， 只需取j = 仇饥【 i ) ，即可知( 2 2 7 ) 成立由【1 2 】知，模型( 1 2 ) 的平衡解( 警，p ) 是线性化渐近稳定的 定理2 3 证毕 河南大学硕士学位论文 2 4模型( 1 2 ) 的非负非常数平衡解的稳定性 篡二= 篡：篡竺 仁 二= 羔： 仁驯 当。 入 1 时，p ，+ 印艰2 耳蠹，( 0 p ( 0 ) 三) ； 当入1 时，+ 印2 舻p 2 盯杀毒，( 0 p ( 0 ) 0 ，使 刀0 ，| p = p ) 妒1 ( z ) + 目0 ( z ) ，v ，伊= p ) 妒1 ( z ) + v ( z ) ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 忙0 ， z ：! ：篇慧舻， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 河南大学硕士学位论文 和 + ( 入1 d 一矾一鼠汩一矿妒1 ( 2 3 5 ) 注意到一d b = 肌玩一p 玩，结合( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 可得 和 矿妒1 一d 玩+ a 1 p d 妒1 一职鼠一( 矾+ 鼠) p 妒1 一矿妒i + p 鼠o ，( 2 3 6 ) 一妒1 一d b 8 一入1p d 妒1 一矾玩+ ( 矾+ 玩) p 妒1 一p 2 垆 + p 玩o ( 2 3 7 ) 又注意到a 1 妒1 = 一妒1 ，脚1 o ，由( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 可得 和 即 和 ( j 瓦( z ) + p ) 妒1 ( z ) ) t d ( j 兔( z ) + p ( 亡) 妒1 ( z ) ) 一( 职( z ) + p ( 舌) 妒1 ( z ) ) ( 吼( z ) + p ) 妒1 ( z ) ) + p ( j ( z ) + p ( t ) 妒1 ( z ) ) o ，( 2 3 8 ) ( 玩( z ) 一p ( t ) 妒1 ( z ) ) t d ( j ( z ) 一p ) 妒1 ( z ) ) 一( i 忆( z ) 一p ) 妒1 ( z ) ) ( b 0 ( z ) 一p ) 妒1 ( z ) ) + p ( 岛( z ) 一p ( ) 妒1 ( z ) ) o ，( 2 。3 9 ) 垒挚一d 1 玩印一矾婶b 姊+ p 玩叼o ， ( 2 4 0 ) 旦挚一d 1 毋曲一巩曲玩曲+ 卢墨乳6 o ( 2 4 1 ) 类似地我们从( 2 3 3 ) 的第二个式子出发可得 旦髻竽一d 矾卸一冗+ 矾叩+ 入矾叩岛t 6 o ， ( 2 4 2 ) 2 6 河南大学硕士学位论文 和 堡弯竽一d 一r + 矾t 6 + a 岛叩o ( 2 4 3 ) 结合( 2 4 0 ) 一( 2 4 3 ) 与( 2 2 8 ) 可知( 鼠印，矾叼) 、( 日t 6 ，1 曲) 是模型( 1 2 ) 的一对有序上、 下解，故 即 鼠( z ) 一p ( t ) 妒1 ( z ) = 玩。出b ( z ，t ) 园0 ，伊= p ( t ) 妒1 ( z ) + 胃0 ( z ) ， w 名( z ) 一p ( t ) 妒1 ( z ) = i 亿曲i 矿( z ，亡) i 亿，妒= p ) 妒1 ( z ) + i 忆( z ) b ( z ，t ) 一晚( z ) f p ( 亡) 妒1 ( z ) ， 矿( z ，t ) 一i 亿( z ) f p ( 亡) 妒1 ( z ) 由t 羔p ( t ) = o 可知模型( 1 2 ) 的平衡解( b ，职) 是渐近稳定的 定理2 4 证毕 2 7 参考文献 【1 】c v 砒e n t i n ，j m h e r b 鹤锄dj p o e 8 钮，d 妇e r s 呦d ， 叼e t 硎口礼p 础e ”韬觚dd e s e r 断抚d 竹【川， 瑚暑s 冗e 饥把毵8 71 9 8 1 0 1 ( 2 0 0 1 ) 【2 】n m s h n e r b ，p s a r a h ，h l a v e e ，s s 0 1 0 m o n ，j 玉c 撕优讹阳d 聆鲈纪巧p 口行e 册【川， 鼢删im 优e 三e 地伪2 0 0 3 一a p s 【3 】叶其孝，李正元反应扩散方程引论 m 】，北京；科学出版社，1 9 9 0 【4 】尤秉礼常微分方程补充教程p 田，北京：人民教育出版社，1 9 8 1 f 5 】p a o c v ，a s 扩印d 挽cs t 0 6 i 托坷口砌，l d 僦协t e n c ed ，夕如6 口fs d 玩坑d 御如r 口s e m 沈n f e 弘口统d 伽， p 口c 识cz 讹琥f j 】8 4 ( 1 9 7 9 ) ，1 9 1 1 9 7 【6 】p ，c v d 礼嘲t e n c e 巧d 6 越s d 玩挽。伽肌d6 撇挽d n 册口蜘妇，d r 口6 d 札n d 口删- 睨玩e p r d 6 跆仇d ，p 口m 6 d 托ct 9 妒，a 优a m e r 缸眈踟c 【j 】6 5 ( 1 9 7 7 ) ，2 4 5 _ 2 5 1 f 7 】p c v ，锄佗d n 托竹r 僦c 挽d 伽蜥威d 竹s 妒t e 脚，zm 口饶a 彻la 即驴】8 7 ( 1 9 8 2 ) ，1 6 5 - 1 9 8 【8 】p a o c v ，d 竹现e 渤钞印抛 口优o r 巧s d 玩挽d 瞄，d rn 舯m 的托c6 d 伽i d 口阿睨地ep 6 l e m 【j 】 a 即托6 f ea 纰j f ，l o ( 1 9 8 0 ) ，5 - 1 3 【9 】c h u c l 【k ，c c o n l e ya n dj s m o l l e r ，p d s i 渤咖饥抛n 勰t ， 嘶d 瑚如rs 妒t e 脚d ，竹o n 溉b 口r d 沂喇d 佗e 弘口既d 嬲f j 】胁出肌口踟饥讹纨z2 6 ( 1 9 7 7 ) ，3 7 粥9 2 【l o 】c a s t 明rg a n dc j h o l l 锄d ，加缸6 饿匆r 船以幻加口r c 既d n 幽舢t d ne 弘n 托o n 埘纸 e 铭仇口肌的t 正竹d 口哪c d n 成t i o 佗8 【j 1 zd 甸融化删以肋t 口托d 伽，2 7 ( 1 9 7 8 ) ，2 6 6 _ 2 7 3 【1 l 】c v 砒e n t i i l ，j m h e r b 骼蛐dj p o 雠n ， 舶以帆d 协b t e rc d 唧d 竹e n 缸巧她删以u 叼e 口t i d n 弘托e n 协【j 】仇钯帕3 7 ( 1 ) ( 1 9 9 9 ) 【1 2 】n i e d m 觚a ，凡俄以d 甸船他n 舌i 口fe 弘口挽。伽d