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原了系综系统的纠缠态制备 作用下系统的演化规律做了简单介绍，并介绍了原子间的里德堡阻塞机制。 第三章是本文的主体部分，详细讨论了原子系综纠缠态的制备方法。具体提 出了利用腔量子电动力学机制制备原子系综纠缠w 态和g h z 态的方法和利用里德 堡阻塞机制制备原子系综簇态的方法，并讨论了所制备的这几种纠缠态的保真度 问题。 在第四章对本文的工作做了总结和展望。 关键词：原子系综，腔量子电动力学机制，量子纠缠态，里德堡阻塞 原了系综系统的纠缠态制备 e n t a n g l e m e n tp r e p a r a tl0 no fa t o mlce n s e m b l es y s t e m s a b s t r a c t m a j o r ：o p t i c s n a m e ：l i n l i nx u s u p e r v i s o r ：y a f e iy u q u a m u me n t a n g l e m e n t ，w h i c hi st h en o n l o c a l ，n o n c l a s s i c a lc o r r e l a t i o nb e t w e e n t h eq u a n t u ms y s t e r m s ，p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u m c o m p u t a t i o nf i e l d ，s u c ha sq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ( q t ) ，q u a n t u md e n s ec o d i n g ( q d c ， q u a n t u ms e c r e ts h a r i n g ( q s s ) ，r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ，q u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h ma n d s oo n q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o nt h a tu s eq u a n t u me n t a n g l e d s t a t ea st h ep h y s i c a lr e s o u r c eh a v ee x c e l l e n ta d v a n t a g e st h a nc l a s s i c a li n f o r m a t i o na n d c l a s s i c a lc o m p u t a t i o ni ns e c u r i t ya n ds p e e da s p e c t s t h e r e f o r , t h er e s e a r c hc o n d u c t e d o nt h eq u a n t u me n t a n g l e ds t a t ei sa ni m p o r t a n tj o bi nt h e q u a n t u mi n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g ，i nt h i sj o b ，t h ep r e p a r a t i o no ft h eq u a n t u me n t a n g l e ds t a t ei sab a s i cw o r k a th o m ea n da b r o a d m a n yt h e o r e t i c a lm o d e l sh a v eb e e np r o p o s e dt o p r e p a r et h e e n t a n g l e ds t a t e ，s u c ha sq u a n t u md o ts y s t e m ，a t o ms y s t e m ，i o n t r a ps y s t e m ，l i n e a r o p t i c a ls y s t e m ，s u p e r c o n d u c t i n gq u a n t u mi n t e r f e r e n c ed e v i c es y s t e ma n ds oo n a m o n gt h e m ，e n t a n g l e m e n tp r e p a r a t i o no fa t o ms y s t e mb a s e do nt h ec a v i t yq u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c a lm e c h a n i s mi sw e l ld e v e l o p e d c o n s i d e r i n gt h ec o h e r e n c ea b i l i t yo f t h eq u a n t u ms y s t e m ，t h ec h i o c e o ft h e q u b i ts y s t e m i sa l s o i m p o r t a n ti n t h e p r e p a r a t i o no ft h eq u a n t u me n t a n g l e ds t a t e i nt h ea t o ms y s t e m ，a na t o mi su s u a l l y c h o s et ob eas i n g l eq u b i tt op r e p a r et h eq u a n t u me n t a n g l e ds t a t e ，t h em o d e li s a l s o i v 洲m1 叭5叭3 帆8叭6m7，川1洲y 原了系综系统的纠缠态制备 v e r ys i m p l e r e c e n t l y ，i nv i e wo ft h es u p e r i o r i t yo fc h o o s i n ga t o m i ce n s e m b l ea sa s i n g l eq u b i t ，s o m em e t h o d st h a tp r e p a r et h ee n t a n g l e m e n to fa t o m i ce n s e m b l e sa r e p r o p o s e d t h em a i nw o r ko ft h ep a p e ri ss t u d yh o wt op r e p a r et h ee n t a n g l e m e n to f a t o m i ce n s e m b l e sb a s e do nt h ec a v i t yq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c a lm e c h a n i s m a n dt h e r e d b e r gb l o c k a d e t h em a i nc o n t e n t so ft h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h ec o n c e p to ft h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，s o m es p e c i a l e n t a n g l e d s t a t e sa n dt h em e a s u r e m e n to ft h ee n t a n g l e ds t a t e sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i n c h a p t e r2 ，t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o ma n dt h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d ( w h i c hi n c l u d i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o ma n dq u a n t u m e l e c t r o m a g n e t i c f i e l da n dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o ma n dc l a s s i c a le l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ) a sw e l l a st h ee v o l u t i o nl a wo ft h es y s t e mu n d e rs u c hi n t e r a c t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e d t h e r e d b e r gb l o c k a d ei sa l s od e s c r i b e di nt h i sc h a p t e r t h em a i np a r to ft h ep a p e rl i e si nc h a p t e r3 ，w h e r et h em e t h o d so fp r e p a r i n g e n t a n g l e m e n ta m o n ga t o m i ce n s e m b l e sa r ed e s c r i b e di nd e t a i l w ec o n c e n t r a t eo nt h e e n t a n g l e m e n tp r e p a r a t i o na m o n ga t o m i ce n s e m b l e su n d e rt h e c a v i t yq u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c a lm e c h a n i s ma n dr e d b e r gb l o c k a d e w ea l s oa n a l y z et h er i d e l i t vo f t h ep r e p a r e de n t a n g l e ds t a t e si nt h i sc h a p t e r ab r i e fs u m m a r yo ft h ew o r ka n da no u t l o o ko ft h ef u t u r ea r e g i v e ni nc h a p t e r4 k e yw o r d s ：a t o m i ce n s e m b l e ，c a v i t yq u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c a lm e c h a n i s m ，q u a n t u m e n t a n g l e ds t a t e ，r e d b e r gb l o c k a d e v 目录 摘要l i a b s t r a c t i1 f 第一章量子纠缠1 1 1量子纠缠的概念提出及其应用1 1 2 量子纠缠态的定义和几种常见的量子纠缠态2 1 2 1 量子纠缠态的定义2 1 2 2 几种常见的量子纠缠态3 1 3 量子纠缠态的度量6 第二章原子与场的相互作用和里德堡偶极阻塞机制9 2 1 原子与单模经典电磁场的相互作用和系统演化规律一9 2 2 原子与单模量子电磁场的相互作用和系统演化规律1l 2 3 里德堡偶极阻塞机制13 2 3 1 里德堡原子13 2 3 2 里德堡阻塞机制1 4 第三章原子系综纠缠态制备1 6 3 1 基于拉曼跃迁的原子系综纠缠态的制备方案16 3 2 腔量子电动力学机制下的原子系综纠缠态制备2 0 3 2 1 理论模型2 0 3 2 2n 个原子系综的w 态禾h g h z 态的制备过程2 l 3 2 3 纠缠态制备的保真度讨论2 6 v i 3 3 基于里德堡偶极阻塞机制的纠缠态制备2 7 第四章总结与展望3 2 参考文献3 3 致谢3 8 攻读硕士学位期间发表的论文3 9 原了系综系统的纠缠态制备 第一章量子纠缠 1 1 量子纠缠的概念提出及其应用 相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。其中量子力学主要研究微 观粒子的运动规律，原子物理学、固体物理学、核物理学等学科都是以量子力学 为基础发展起来的。量子纠缠是量子力学的一个很独特的现象，它是量子系统间 非定域、非经典的关联，对一个子系统的测量无法独立于其他子系统。量子纠缠 这一概念最早于1 9 3 5 年由a e i n s e t i n ，b p o d o l s k y 和n r o s e n 就量子力 学的完备性问题进行探讨时被提出来的 1 。他们对量子力学的完备性提出了质 疑，得出了用波函数来描述量子态的量子力学是不完备的结论，此即e p r 佯谬， 其核心思想是定域实在论。b o h m 企图给量子纠缠现象以理论解释 2 ，在他提出 的隐参数理论中，测量实际上是经典决定论的，但由于某些自由度不是严格己知 的，才表现出概率性。如测量处于纠缠态但彼此分离开的两电子时，二电子就各 自处在由隐参数支配的一个实在的状态，只是在现在的实验技术条件下还没有发 现、认识、控制它，才使测量表现出概率性。而这种隐参数又确实在起作用，使 电子表现出相关性。b e l l 从定域实在论和隐变量理论出发，推导出了著名的b e l l 不等式 3 。该不等式指出，基于隐变量和定域实在论的任何理论都会使不等式 成立，而量子力学的预言却应当破坏不等式。 量子纠缠是彼此分离的量子系统间的非定域和非经典的关联，可作为一种物 理资源。近2 0 年来，基于量子纠缠的量子通信和量子计算蓬勃发展，包括量子 密码学 4 ，量子隐形传态 5 ，量子密集编码 6 ，量子秘密分享 7 ，远程态制 备 8 ，9 ，量子计算 1 0 ，1 1 等等。基于量子纠缠的量子信息方案和量子计算以量 子态不可克隆原理和态叠加原理为理论依据，在安全性和速度方面远强于经典的 信息处理和计算，因此量子信息处理是未来信息处理发展的方向。目前各国科学 家正致力于该方面的研究，虽然对量子信息处理的研究目前只处在试验阶段，大 原了系综系统的纠缠态刨备 量可喜的实验成果预示着量子信息未来可观的应用前景。 作为量子信息处理的物理基础，量子纠缠特性及制备研究可谓是实现量子信 息和量子计算的重中之中。目前对两体系统的量子纠缠的研究最为成熟 1 2 1 5 。 多体量子纠缠态在多用户量子信息处理中的应用 7 ，1 6 - 1 9 和其对局域理论的违 背 2 0 ，2 2 ，使得国内外许多研究小组致力于多体量子纠缠态的研究和制备 2 3 2 7 。这为量子纠缠在量子通信和量子计算方面的应用奠定了基础。 1 2 量子纠缠态的定义和几种常见的量子纠缠态 1 2 1 量子纠缠态的定义 在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) ，一比特的取值只能 是是o 或者1 。在量子信息理论中，量子信息的基本单位是量子比特( q u b i t ) 。 一个量子比特就是一个双态量子系统。这里双态指的是两个线性独立的态，对于 极化光子，这两个线性独立的态常记为lo ) 和i1 ) ，分别表示垂直极化和水平极化。 在自旋系统中，双态系统也可以是自旋向上的态和自旋向下的态。以这两个线性 独立态为基矢，张起一个二维复矢量空间，因此也可以说一个量子比特系统就是 一个二维的h i l b e r t 空间。 一个量子比特的任意纯态( p u r es t a t e ) 可以表示为： i 痧) = a i o ) + 6 1 1 ) ( 1 2 1 ) 其中，口，6 是复数，满足关系2 + l b l 2 = 1 。h 2 表示在 l o ) ，1 1 ) 基下测量时得到 o ) 态的几率，l b l 2 表示得到1 1 ) 态的几率。 由刀个量子比特组成的复合量子系统的纯态可写为： 沙) ：艺c , l i ) e l c , 1 2 ：l ( 1 2 2 ) ，- o 哇。 其中i 是行比特的经典布尔态。特别地，当l5 f ，) = i 缈) 。圆i 缈) ：l 妒) 。时，即复 合系统的态处在这n 个子系的直积态的时候，( 1 2 2 ) 式就表示此疗个量子比特 2 原了系综系统的纠缠态制备 之间是非纠缠的，其他情况表示此刀个量子比特之间是纠缠的，这里 缈) 。( 七= l ，2 玎) 表示第k 个量子比特的任意纯态，其表达式如( 1 2 1 ) 式所示。 对于由n 个量子比特组成的复合量子系统来说，其混态的表达式为： p = p i 沙，) ( y ， p o ，y 尸：i 。o ( 1 。2 3 ) ( 1 2 3 ) 式中，i ”) 是描述该复合量子系统的纯态，p 是该纯态出现的概率。仅 当l ) = l 仍( 1 ) ) 圆l 够( 2 ) ) l 够( 行) ) 时( 1 够( 七) ) ( j = 1 ，2 行) 表示第k 个量子比特的任 意纯态) ，( 1 2 3 ) 式表示此复合量子系统处在混合非纠缠态上，否则就是处在 混合纠缠态上。 1 2 2 几种常见的量子纠缠态 归一的基矢，又称b e l l 基： 2 万1 ( | 0 0 ) 州i ) ) 惜抄帅i ) ) ( 1 2 4 ) 2 万1 ( f 0 1 ) 删i ) ) 2 忑1 ( 1 0 1 ) 一i l o ) ) 四个b e l l 态在局域幺正操作下相互转化，且单体约化密度算符均为 p ( 1 ) = p ( 2 ) = 1 2 ，其中，= ( 三；) ，这表示单体的最大不确定性，不携带任何信 息。这种性质使b e l 】态在量子信息中有很重要的作用，如最初的量子隐形传态 ( q t ) 和量子稠密编码( q d c ) 方案都是以b e 1 态为量子信道提出来的。后来也 原了系综系统的纠缠态制备 有以b e l l 态为量子信道提出了一些其他的量子通信方案，如量子秘密分享( o s s ) 2 8 。 2 g h z 态： b e l l 态在三体及三体以上量子系统的推广即为g h z 态。n 量子比特的g h z 态的表达式为： l g h z ) 垃。= 去( i o ) ，io ) ：i o ) 。+ 1 ) h ) ( 1 2 5 ) v 二 g h z 最早由g r e e n b e r g ，h o r n e 和z e i l i n g e r 三者提出来 2 9 ，最早的量子 秘密分享方案就是以g h z 态为量子信道提出来的。我们以三体g h z 态为例来了解 一下g h z 态。对三体g h z 态的第一个量子比特求迹后，得到的剩下的两个量子比 特的约化密度算符为： p ( 2 ，3 ) = 圭f o 。) ：，( o o f + 互1f 11 ) ：，( 11 ( 1 2 6 ) 对第二个或第三个量子比特进行求迹之后，会得到类似( 1 2 6 ) 式的剩下两体的 约化密度算符。从( 1 2 6 ) 式的形式可以得出这样的结论：对于g h z 态来说，任 意量子比特的丢失将导致剩余量子比特间的解纠缠。因此g h z 态是比较脆弱的一 种多体纠缠态。但是作为一种最大纠缠的多粒子纠缠态，g h z 态在量子信息中仍 有重要应用 7 ，3 0 一3 2 。 3 w 态： w 态是n 量子比特系统另一种特殊的纠缠态，其表达式为： i 形) 他。= 亡( 1 0 ) 1 0 ) 2 h + l o ) 1 | 1 ) ，卜，h + + f 1 ) 1 i o ) 川陬) ( 1 2 7 ) 吖门 对三体w 纠缠态的第三个量子比特求迹后，1 ，2 量子系统的约化密度算符为： p ( 1 ，2 ) = j 1l o o ) 。：( o o i + ；l + ) 。：( + l ( 1 2 8 ) 说明，对第一个或第二个量子比特进行求迹之后，会得到类似( 1 2 3 ) 式的两 体约化密度算符，l + ) 为( 1 2 4 ) 式定义的b e l 态，是两体系统的最大纠缠态。 ( 1 2 6 ) 式说明对于三体w 态，任何一个子系统的丢失，剩余的两体系统仍有2 3 的概率处在纠缠态上，并且是最大纠缠态。w 态的这一重要的性质使其成为一种 重要的纠缠资源，在量予信息处理，i ：l s 女n 量子稠密编码 3 3 ，有很重要的应用。 4 原了系综系统的纠缠态制备 多体系统还存在另一种形式的w 态，其表达式可以写为： 慨广( 汀0 0 ：| 1 ) 。+ | 0 ) 0 1 1 ) 。0 。 ( 1 2 9 ) + 压i o ) 1 1 1 ) 棚i o 川i o ) 。+ + ( 压) ”_ 1 1 ) 1 一i o 川i o ) 。) 一般称为w t y p e 态。 对三体w t y p e 态的第一个量子比特求迹后，2 ，3 量子系统的约化密度算符为： p ( 2 ，3 ) = 了1l o o ：，( o o l + 导i y + ) ：，( + i ( 1 2 1 0 ) 这说明，在三体w - t y p e 中第2 ，3 量子比特作为一个整体与第一个量子比特之间 是最大纠缠的，这一特点使得w - t y p e 态可以执行完美的量子隐形传态，量子稠 密编码和量子秘密分享等量子信息处理方案 3 4 ，3 5 。 w 态作为另一种多体纠缠态，性质不同于g h z 态，二者不可以在局域操作和 经典通信( l o c c ) 下相互转化 3 6 。 4 簇态： 簇态最早是于2 0 0 1 年由b r i e g e l 等人提出来的 3 7 ，它是另一种多体纠缠 态，一维n 量子比特的簇态的表达式为： | c ) 垃。= ( 去) ” 圳o ) ，+ 1 1 ) ，仃) ( 1 2 11 ) 其中仃 ”兰1 ，上式中，只有当门4 时，簇态才表现出其特殊性质。当，? = 2 时，( 1 2 11 ) 式局域的等价于b e ll 态，即当，7 = 2 时，可以通过局域的幺正操作 使( 1 2 1 1 ) 式转化成b e l l 态；当”= 3 时，( 1 2 1 1 ) 式局域的等价于g h z 态。 簇态的几个特殊的性质如下：1 簇态具有可链接性，即可以先制备一些量 子比特数较少的簇态，然后再把它们连接起来得到更多量子比特簇态：2 簇态 具有可分性，即可以通过选择合适的局域测量，使得一个量子比特数较多的簇态 分解为若干量子比特数较少的簇态；3 簇态同时具有g h z 类态和w 类态的性质， 且较之具有更牢固的纠缠顽性：4 簇态可以看作是生成其他纠缠态的资源，比 如g h z 类态。簇态的这些独特的性质使其成为量子信息处理和量子计算机的理想 资源 3 8 4 0 。 另外还有一些其他形式的纠缠态，在这里将不再一一列举。 原了系综系统的纠缠态制备 1 3 量子纠缠态的度量 我们知道，纠缠态作为一种纠缠信道资源，在量子隐形传态，量子密集编码， 量子秘密分享，远程态制备，量子计算等方面有很重要的作用，因此给出这种资 源定量的描述也是很自然的事情，这就是所谓的纠缠度的度量问题。对纠缠度的 描述，实质上是对不同纠缠态之间建立定量的可比关系。但是对纠缠度的度量并 不是一件容易的事情，尽管如此，经过几十年的努力，还是获得了一些可喜得成 果。在对纠缠度的研究当中，两体纯态纠缠的纠缠度最为清楚。两体纠缠的纠缠 度的定义主要有这几种 4 1 ：部分熵纠缠度，相对熵纠缠度，形成纠缠度，可提 纯纠缠度等。不同的纠缠度定义有不同的用途，也不完全吻合，但是作为量子纠 缠的定量描述，不论如何定义，都应该满足一些共同的准则： i ) 可分离态的纠缠度为0 ； i i ) 对任一组分的粒子进行任何的局域幺正操作( l u o ) 都不会改变纠缠度， 这就是说l u o 等价的态应该具有相同的纠缠度： i i i ) 在局域操作和经典通信( l o c c ) 下，整个量子系统的纠缠度不应该增加。 i v ) 对于纠缠态的直积，纠缠度具有可加性。 下面我们具体的介绍一下上面提到的这几种纠缠度： ( 一) 部分熵纠缠度 当由子系a ，b 组成的两体量子态处于纯态f 甲) 月占时，部分熵纠缠度 易( 1 甲) 爿b ) 定义为： ( 1 甲) 一b ) = s ( n ) = 一，r 爿) ( nl o g p a ) ；p a = 护片n b2 护厅( i 甲) 爿片( 甲i ) ( 1 3 1 ) 其中，矿m ，护“”分别表示对子系a ，b 求迹，s ( n ) 时v o nn e u m a n n 熵。 对于两个量子比特的最大纠缠态4 个b e l l 态有： e p = s ( p a ) = s ( p d = 嘶( 主l g j i ) = 1 ( 1 3 2 ) 是单位矩阵。这里将对数底数取2 是为了将b e 1 基的纠缠 6 原了系综系统的纠缠态制备 部分熵纠缠度向两体混态的直接推广是v o nn e u m a n n 相对信息熵巨，e 等于互信息s ( a ：b ) 的一半： 巨= i 1s ( 彳：b ) = i 1 s ( n ) + s ( 绕) 一s ( p a j = ) ) ( 1 3 3 ) 但是该相对信息熵包含了经典的信息关联，在l o c c 操作下可以增加，因此它也 不是对量子纠缠度的最好的度量。 ( 二) 相对熵纠缠度 对于两体量子态仍口，相对熵纠缠度e r ( p 曰) 定义为：态n 疗对于全体可分离 态的相对熵的最小值： 巨( n 月) = 9 i q s ( n bp o a 8 ) ( 1 3 4 ) 巧i b e l ) 其中，s ( 凡月p 片) 为态n b 相对可分离态口的相对熵： s ( p a 8p c r 月b ) = t r p 月b ( 1 0 9p a 疗一l o g o - 爿口) ) ( 1 3 5 ) 这里，d 为所有两体可分离态的集合。 由上面的式子可知，态以疗相对熵纠缠度的关键是找出能使相对熵达到极小 值的可分离态。 ( 三) 形成纠缠度 对于两体量子态成劈，形成纠缠度e f ( 凡片) 定义为： e j - ( p a b ) - ：焉觋；二见e ，( 爿拧) ( 1 3 6 ) 其中， b ，i v ，) 彳b ) 是n 片的任意分解，即岛疗= 只j 甲，) 一片( 甲小而( 1 甲，) 爿矗) 为 l 甲，) 月片的部分熵纠缠度。注意n 8 分解并不一定是相互正交的，只要求i 甲，) 一8 为 归一化纯态。因此，两体系统一片的形成纠缠度是其所有可能分解的部分熵权重 和的极小值。 ( 四) 可提纯纠缠度 假设n 份两体量子态n 片为a ，b 共有，a ，b 通过l o c c 能得到e p r 对的个数 最多为七( ) ，则可提纯纠缠度d ( 以8 ) 定义为： 原了系综系统的纠缠态锖i 备 沪熙警 ( 1 - 3 7 ) 注意：如果限制信息传递的方向，情况和定义会有所不同，有的多量子系统纠缠 态可以提纯，有的不可以。 对于两体纯态的纠缠度，由以上介绍的四种不同的纠缠度的定义算出的纠缠 度应该是相等的，但是两体混合态的纠缠度由各种定义算出来的有出入。 w o o t t e r s 等人在形成纠缠度的基础上提出了c o n c u r r e n c e 的概念 4 2 ，4 3 ，将形 成纠缠度的计算转化为相应的c o n c u r r e n c e 的计算，随后g f w a n g 等 4 4 用 w o o t t e r s 的方法，定义了推广的c o n c u r r e n c e ，给出了一类高维量子混合态的形 成纠缠度。对三体纯态的情况，v c o f f m a n 等 4 5 提出了分布纠缠的概念，并给 出了纠缠的度量t a n g l e ”及“t a n g l e ”之间满足的关系式f 彳( 盯) = 乃占+ 乃c + 乃盯 原了系综系统的纠缠态制备 第二章原子与场的相互作用和里德堡偶极阻塞机制 原子与电磁场的相互作用是腔量子电动力学理论的基础，也是原子系统纠缠 态制备和门操作的基础，另外里德堡阻塞机制在纠缠态制备和量子逻辑门的实现 上不但模型简单，而且还易于操作，本章主要回顾一下单个原子同经典电磁场、 量子电磁场的相互作用以及两种相互作用下的系统演化规律，同时，还简单的介 绍一下里德堡阻塞机制。 2 1 原子与单模经典电磁场的相互作用和系统演化规律 经典电磁场与原子相互作用的最简单模型是一个单模经典电磁场与一个两 能级原子的相互作用。 经典单模电磁场可以表示为： e 1 ( ，) ：乞c 。s ( 纠+ 缈) ( 2 1 1 ) 原子的两个能级可分别记为：上能级l p ) 和下能级f g ) ，其能量可分别记为 h 眈= h m o 2 和h 哝= - h c o o 2 。则可以写出两能级原子的自由哈密顿量： h o = h 眈i p ) ( p i + h 嚷i g ) ( g i = - 与h m o s ： ( 2 1 2 ) 其中篷= l e ) ( e l i g ) ( g l 为原子布居差算符。 两能级原子的电偶极矩为 1=乞|p)(gi+乞ig)(pi=五(s+sd一) ( 2 1 3 ) = 呶l p ) ( g i + 锣i g ) ( p = 丘( s + + 一) ( 2 1 3 ) 其中s + = i p ) ( g i 和s 一= l g ) ( p 1 分别为原子的上跃算符和下跃算符。为了简单起见， 这里取略= 吒= 五。 单模经典电磁场和二能级原子的相互作用哈密顿量为 y = 一刍壶= 一三( s + + s 一) 乞c 。s ( 缈h 妒) ( 2 1 4 ) 山华( n s 扣( c o t + q 9 ) = h f 2 r ( n s 扣( c o t + ) 怕一一7 9 原了系综系统的纠缠态制备 其中q 凡奢一五l h ，为经典场r a b i 频率。 因此，单模经典电磁场和二能级原子的相互作用系统的总哈密顿量为 h ：风+ 矿：1 ，h c o o a ：+ h f 2 凡( s + + s 一) c 。s ( 似，+ 缈) ( 2 1 5 ) 在互作用绘景中的互作用哈密顿量为： 一= 1q r ( 乳恤刊+ 乳- ，( 脚) ( 2 1 6 ) 上式是取旋波近似，并记= c o o 一国后得出来的结果 在共振情况下，即a = 一功= 0 时，( 2 1 6 ) 式变为： 马：丢h q 月( 乳却+ 乳矿) ( 2 1 7 ) 由于珥不显含时间，因此可以得出该系统的时间演化算符： u ，( ，) = c 。s ( 圭q r ，) i - i s i n ( 1 ( 2 凡，) ( s + p 一，妒+ s p ，矿) c 2 - 8 ， 这样系统中初态处手i p ) 态或i g ) 态的原子在经历时间，后就有如下演化( 取 够= 0 ) ： 1 当q 凡f - 州2 时( 称为万2 脉冲) ，有： 怯) ) l = 扣叫g ) ) 亿。， k 轰) ) 2 = 万1 眙卜i 啪 2 当q r ，= 万时( 称为万脉冲) ，有 1 0 、。， ， k 广 、川、 v q 1 2 12厂卜l _ 叫 卜 ( 生2 1 一o n r=， , 2 3 = ，c o s e ：t l c g o 。s ) o l 。i ) 2 i 畏彳：；0 i 。xl ? ；2l 暑 ；i l c 。o ) s ：g i 。 t i ) ，c + c o s l s i ne t+ s i ne t g c 。s 刽2s n 占，3i g i 。xi 。21 1 3 ( 3 2 4 ) ， ：k ) l o ) 1 1 ) 2 | 0 ) 3。1 ) o ) ：i o ) ， 、。 0 如，t 3 分别为控制原子在每个腔中与原子系综的作用时间。 弼尸1 厂 幽幽幽 图7 实现三原子系综形态的实验模型图 选择作用时间乞= 云z ，方程( 3 2 4 ) 将变化为： l 玎乞) ，z s 彳c c ：i ：六。c 、o s s f z l ) l o ) 一o ) z1 ) s + c 。s s s i n ，zl ) l o ) 1 ) zo ) ， (325)i i g 。) 1 1 ) i o ) ：i u a ， ii i i+sinct 、“。7 可以看出来，在各项系