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旋光效应耦合波理论及电光效应测温 摘要 线性电光效应的传统应用是电光信号调制、电光电压测量和光弹效应测量 等。2 0 0 1 年，s h e 等人提出的线性电光效应的耦合波理论为线性电光效应提供了 一种极为方便的分析方法，又为线性电光效应的应用开辟了新的思路。不同于以 往的应用，本文将线性电光效应用于温度测量。 本论文首先以线性电光效应的耦台波理论为基础提出了一种通过探测铌酸 锂电光调制器透射率来进行高灵敏度温度测量的方法我们从理论上研究口角 ( 入射光波矢k 与晶体光轴的夹角) 、口角( x 轴与k 在x o y 平面上投影的夹角) 和，角( x 轴与外加电场方向单位矢量c 在x o y 平面上投影的夹角) 这三个量 对铌酸锂电光调制器温度特性的影响，发现当取口角为适当值时，调制器出射光 的透射率随温度变化的规律性十分适合进行温度的测量。进一步研究表明，可通 过调节外加电场大小的方式，使工作点始终处于温度敏感区，从而提高测量的灵 敏度。 受线性电光效应的耦合波理论的启发，本论文将旋光现象归属于二阶非线 性光学效应。并将相关的二阶电极化强度作微扰处理，直接从m a x w e l l 方程组出 发推导出双折射晶体中自然旋光效应的耦合波方程组；该方程组包含了描写旋光 效应的三阶赝张量r 密的具体表达式，其解析解包含了已有的旋光效应宏观理论 结果，可方便地用于描述任意偏振态的单色光波在任意点群的双折射旋光晶体中 沿任意方向的传播行为。我们还以石英晶体为例，通过对出射光波的偏振态分析， 研究了波矢失配对旋光效应的影响。 关键字：非线性光学，耦合波理论，旋光效应，线性电光效应，温度测量 椭偏测量 w a v e c o u p l i n gt h e o r y o f o p t i c a la c t i v i t y a n d t e m p e r a t u r em e a s u r e m e n tp r i n c i p l eb a s e d o nl i n e a r e l e c t r o o p t i ce f f e c t a b s t r a c t t h et r a d i t i o n a la p p l i c a d o l l so fl i n e a re l e c t r o o p t i ce f f e c ta me l e c t r o o p t i cs i g n a l m o d u l a t i o n , e l e c t r o o p t i cv o l t a g em e a s u r e m e n ta n dp h o t o e l a s t i ee f f e c tm e a s u r e m e n t e t c i n2 0 0 1 ，s h ee ta 1 p r o p o s e dt h ew a v ec o u p l i n gt h e o r yo f l i n e a re l e c l r c o p t i ce f f e c t , “p r o v i d i n gac o n v e n i e n tm e t h o df o rt h ea n a l y s i so fl i n e a re l e c t x o o p t i ee f f e c t , a n d i n a u g u r a t i n gan e ww a y f o rt h ea p p l i c a t i o no fl i n e a re l e c t r o o p t i ce f f e c t i nt h i sp a p e r , w ew i l lp u tf o r w a r dan e wp r i n c i p l eo ft e m p e r a t u r em e a s u r e m e n tb a s e d0 1 1w a v e c o u p l i n gt h e o r yo f l i n e a re l e c t r o o p t i ce f f e c t f i r s t l y , w ep r o p o s eah i g h - s e n s i t i v i t yt e m p e r a t u r em e a s u r e m e n tm e t h o db a s e d o nl i n e a re l e c t r o o p t i ce f f e c tb yd e t e c t i n gt h e l i g h tt r a n s m i s s i v i t yo fl 甜b 0 3 e l e c t r o o p t i cm o d u l a t o r w es t u d yt h et e m p e r a t u r ed e p e n d e n c eo fo u t p u to fl i n b 0 3 e l e c t r o o p t i cm o d u l a t o ro nt h r e ev a r i a b l e s ：0 ( t h ea n g l ed c t w e e ni n c i d e n tl i g h tv e c t o rk a n dc r y s t a lo p a c a la x i s ) ，9 ( t h ea n g l eb e t w e e nx - a x i sa n dp r o j e c t i o nv e c t o ro fki n x o y p l a t e ) a n dy ( t h ea n g l eb e t o w e e nx - a x i sa n dt h ee x t e r n a ld ee l e c t r i cf i e l di nx o y p l a t e ) w ef o u n dt h a tt h er e g u l a rc h a n g eo ft h eo u t p u ti n t e n s i t yw h i c he a u s l 蚰b y t e m p e r a t u r ei se x t r e m e l ys u i t a b l ef o rt h et e m p e r a t m em e a s u r e m e n tu n d e rap r o p e r a n g l e 晓w ea l s of o u n dt h a tt h es u i t a b l eo p e r a t i n gp o i n tc a nb es h i f t e dt ot h e t e m p e r a t u r e s e n s i t i v ea r e ab ya d j u s t i n gt h ee x t e r n a le l e c t r i cf i e l dt h a tw ec a ng e ta h i 曲s e n s i t i v i t yi n t h em e a s u r e m e n t s e c o n m y ，i n s p i r e db yt h ew a v ec o u p l i n gt h e o r yo fl i n e a re l e c t r o o p t i ee f f e c t , w ec o n s i d e rt h eo p t i c a la c t i v i t ya st h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a ro p t i c a le f f e c t s t a r t i n g f r o mm a x w e l l se q u a t i o n sa n dt a k i n gt h ec o r r e s p o n d i n gp o l a r i z a t i o na sap e r t u r b a t i o n ， w ed i r e c t l yd e r i v ew a v ec o u p l i n ge q u a t i o n so fo p t i c a la c t i v i t ya n do b t a i ni t sa n a l y t i c s o l u t i o n t h ew a v ec o u p l i n ge q u a t i o n sg i v et h ed e f i n i t ee x p r e s s i o no ft h et h i r d o r d e r t e n s o rd e s c r i b i n go p t i c a la c t i v i t ya n di t sa n a l y t i cs o l u t i o n ，w h i c hc o n t a i n st h er e s u l to f t h ep r e v i o u sm a c r o s c o p i ct h e o r yo fo p t i c a la c t i v i t y t h ew a v ec o u p l i n ge q u a t i o n sc a n d e s c r i b et h ep r o p a g a t i o no f m o n o c h r o m a t i cl i g h tw i t ha n yp o l a r i z a t i o ns t a t ew h e nt h e l i g h tt r a v e l i n ga l o n ga r b i t r a r yd i r e c t i o ni na l lo p t i c a la c t i v ec r y s t a lb e l o n g e dt oa n y p o i n tg r o u p f i n a l l y , a sa l la p p l i c a t i o no f t h i st h e o r y , t h ei n f l u e n c eo ft h ew a v e v e c t o r m i s m a t c ho nt h eo p t i c a lr o t a t i o ni nq u a r t zc r y s t a li ss t u d i e di nd e t a i l ，b ya n a l y z i n gt h e p o l a r i z a t i o ns t a t eo f t h eo u t p u tl i g h t k e yw o r d s ：n o n l i n e a ro p t i c s ，w a v ec o u p l i n gt h e o r y , o p t i c a la c t i v i t y , l i n e a r e l e c t r o o p t i ce f f e c t ，t e m p e r a t u r em e a s u r e m e n t ，e l l i p s o m e t r y i t i 第1 章引言 光调制是指改变光波的振幅、强度、相位、频率、偏振状态等物理参量使之 携带信息的过程。在光调制中，电光调制的应用范围最广泛，发展最成熟，它的 物理基础是电光效应。电光效应是指在外加直流电场或低频电场作用下，介质的 折射率发生变化的一种现象【l 】。除了在调制领域，电光效应在其它领域如物理量 的测量、电光探测等领域中也有着巨大的应用潜力 2 - 1 2 1 。关于电光效应的研究一 直都比较活跃，已经出现的理论有折射率椭球理论t ，电磁波理论方法 1 4 - 1 5 1 ， 平面波本征方程的微扰理论阚，线性电光效应的耦合波理论【1 7 1 等，我们的研究 工作也是围绕着电光效应的理论展开电光效应可分为两类，表现为介质折射率 同外加电场成线性变化的电光效应称为线性电光效应( 或称泡克耳斯效应) ，表现 为介质折射率同外加电场幅度的平方成比例的电光效应称为二次电光效应( 或称 一克尔效应) 。线性电光效应只发生在没有反演中心的晶体中，由于它比二次电光 效应强很多，所以目前使用的电光调制器主要是基于线性电光效应i l 羽。在以下 的讨论中，我们所指的电光效应都是线性电光效应。 1 1 电光效应的理论发展 为了更好利用电光效应，人们不断的提出新理论并运用理论解决电光效应 问题。新理论方法的提出深化了我们对电光效应的认识，推动了电光效应应用的 发展。本论文的主要内容之一就是对s h e 等人在2 0 0 1 年提出的线性电光效应的 耦合波理论哪的运用。在这里先介绍下自从1 8 9 3 年电光效应被发现以来，人们 从理论和实验中获得的几种主要的电光效应理论方法： 1 ) 折射率椭球理论 由于光在晶体中的传播特性可以用折射率椭球完全的描述，所以人们主要 用电场对折射率椭球的影响来描述电光效应，建立在折射率椭球模型上的理论被 称为折射率椭球理论【1 3 】。折射率椭球模型简单直观易理解，所以长期以来人们 都倾向于用它来解决电光效应问题，但是在运用该理论来分析电光效应的过程 中，存在着难以绕过的工作：如何找到合适的坐标变换，从而使加电场后的折射 率椭球方程主轴化。这个工作往往比较复杂，有时甚至是不可能办到的，是折射 率椭球理论运用中的难点。即使可以成功的得到加电场后主轴化的折射率椭球方 程，也仅知道加电场后的三个主折射率，难以获得此时晶体中沿任意一个方向传 播的偏振光的信息。所以人们只能用此理论研究电光效应的几种特殊情况，这就 限制了电光效应在实际中的应用。所以，为了突破折射率椭球理论的局限性，人 们要寻找更有效的解决电光效应问题的理论。 2 ) 特殊耦含波理论 文献【1 4 1 提出的特殊耦合波理论是针对电光效应一些特殊情况的研究，该理 论值得借鉴的地方在于它从麦克斯韦方程和晶体的电光效应出发，导出了入射光 沿光轴方向传播时的祸合波方程组，给出了单轴晶体中两偏振光( o 光和e 光) 的 解析解。但是作者给出的是特殊情况下的耦合波方程组，导致文献给出的最终结 果的实用价值有限。但它提出的这种新的想法给了人们一些重要启示。文献 1 5 】 将电场所感生的附加极化矢量视为一个微扰量，再将这个微扰量当作新的极化波 源弓l 入麦克斯韦方程组中，建立起耦合波方程，通过求解方程给出电光效应的衍 射效率公式。它提出了一个很好的想法，但可惜它不能用来研究入射光沿任意一 个方向入射时的情况，而且还受到入射光方向和初始值等因素的限制，所以很难 用于电光调制器性能的优化。 3 ) 平面波本征方程的微扰理论 优于以上介绍的两种理论，文献【1 6 】提出的平面波本 正方程的微扰理论可以 给出任意传播方向上的两偏振模式的折射率的改变量。由于在此理论中电光效应 表示的是微扰电场引起的一阶变化，所以在电磁场的波长达到电光晶体尺寸的数 量级这个条件下，可将微扰理论加入到本征矢量方程中来研究电光效应。该理论 2 从电磁场的波动方程出发，把晶体( 包括各向同性的晶体、单轴晶体和双轴晶体) 中的电光效应当成微扰来处理，得出了对应的微扰情况下的本征方程。于是，通 过解出对应的本征值和本征矢量，可最终得到任意方向的电场作用下，沿任意方 向传播的光波的两种偏振模式的折射率改变量。虽然这套理论在研究电光效应上 有着非常大的进步，但是它无法给出这两个偏振模式在出射面的场强表达式，而 且在使用上也受到电磁场波长的限定，所以不能彻底克服折射率椭球理论的局限 性。 4 ) 线性电光效应的耦合波理论 从折射率椭球理论到平面波本征方程的微扰理论，前面所提到的这几套分 析电光效应的理论都存在些不足和局限，对晶体上的外电场方向、对入射光的偏 振态和传播方向、对所使用的电光晶体的对称点群等方面，都有一定的限制。而 s h e 等人所提出的l 】线性电光效应的耦合波理论就可以很好地满足以上的要求， 该理论从麦克斯韦方程出发，考虑到介质的二阶非线性光学效应，建立了线性电 光效应的耦合波理论，给出了耦合波方程组及其普遍解。此解可以用来描述，在 任意方向的外加电场的作用下，任意偏振态的入射光在任意点群的电光晶体中沿 任意方向传播时的情况。我们可以用这套理论来研究电光调制器的温度特性，以 及进行包括降低半波电压、提高消光比、提高调制度等的调制器优化。关于电光 效应耦合波理论的具体分析方法，我们会在第二章详细介绍。 1 2 电光效应的应用发展 伴随电光效应理论的发展，电光效应的应用也在不断的发展。这些年来，电 光调制器【1 3 l 作为电光效应最重要的应用，发展十分迅速。因为电光调制方式不 仅拥有广泛的调制范围，可以实现对光波的相位、强度及频率的调制，而且在调 制速率方面有着其他调制方式所不可比拟的优势，是最重要的光信号调制方法之 一普克耳斯盒就是利用线性电光效应( 普克耳斯效应) 制成的调制器。如图1 1 所示，普克耳斯盒中使用的光学介质为非中心对称的压电晶体，根据加在晶体上 的电场方向与光束在晶体中传播的方向的关系，有纵向调制和横向调制两种调制 方式。电场方向平行于光的传播方向的调制方式，称为纵向电光调制，电场方向 垂直于光传播的方向的调制方式，称为横向电光调制。横向电光调制的优点是半 波电压低，驱动功率小，应用较为广泛，可由于自然双折射的关系，这种调制方 式对温度的变化比较敏感。图1 - i 所示的就是纵向电光调制和横向电光调制的示 意图。关于电光调制的理论和计算，我们将在第二章中作详细介绍，并进行研究 和讨论。 意 p l x x 级向电光调制 横向电光调耧 图i - i两种电光调制器的基本结构形式 q 西 x 汐l l l _ 射兜 魏 毪l = 射光 目前电光调制器的主要应用是光信号调制而且电光调制器的性能已达到相 当高的水平。下表列出的是几种不同电光材料的调制器的工作特性： 4 职r 吟舭 表卜1 不同介质电光调制器的比较( 除非特别说明，工作波长都为1 5 5 a n ) m a t e r i a ls 3 ，s t e mr e l v 石 f k 田。 e r m a x f o m ( g h h v ) c o m m e n t s ( v )( g h z )( d b ) l i n b 0 3 k a w a n o1 9 8 9 【1 8 1 4 71 02 1 3 g o p a l a k r i s l m a n【1 9 5 01 53 1 9 9 2 d o m l 9 9 2 【2 0 1 2 34 43 5 8 r a n g a r a j1 9 9 2【2 1 1 5 ol o2 o n o g u c h i1 9 9 4【2 2 1 5 o4 02 2 8 6 m 旷7 5 g h z n o g u c h i1 9 9 8【2 3 2 93 01 0 3 m i t o m i1 9 9 8 口4 1 34 01 3 3 g a a s a i g a a s w a n g1 9 8 8 2 5 l i l1 61 31 2 2 l ；1 3 a n w a i k e r1 9 9 l 【2 6 4 2 52 2 53 t 9 3 l ；1 1 5 a m s p i c k e r m a n n1 9 9 6【”】 1 4 4 0 2 8 6 6 4 5 s p i c k e r m a n n1 9 9 6【2 8 】 j k h a z a e i1 9 9 8 【2 9 1 2 0 52 29 51 0 7 i n g a a s p i n p t m q w a g r a w a l1 9 9 5【3 0 6 81 41 92 1 f e t t e r m a n1 9 9 6 【3 1 6 o 1 , - - 3 0 0 , 0 7 1 r o l l a n d1 9 9 8 【3 2 , - - 4 0- 1 01 6 r o l l a n d1 9 9 8 【3 2 - 2 6- 2 5 i n g n a i a c l n a i a s ，m q w w a k i t a 。1 9 9 2 f 3 3 3 82 02 05 jl = 3 0 0 n n 聚合物 v a ns c h o o t i ，1 9 9 6 【3 4 】 7 52 02 02 7l = 2 m ， l e e 。1 9 9 7 3 5 1 4 8 5 l = 1 5c m e r m e r ，1 9 9 7 【3 6 】 3 5l = 2 6e m c h e n ，1 9 9 7 【3 7 】 c h e n ，1 9 9 9 【3 8 】 选择晶体的主轴系建立坐标系，在此坐标系 中，未加电场时，折射率椭球方程已经主轴化，则有： 1 5 地如如托以几以 若十簧+ 专= - ( 2 - 1 4 ) 施加电场后，折射率椭球方程发生了变化，根据k d p 晶体的电光效应矩阵 000 000 000 托- 0 0 0 蚝1 0 0 0 和方程( 2 6 ) 、( 2 - 7 ) 可得： 言+ 专+ 考+ z 。e 弦+ z _ ，b 船+ ：e 砂= ， q m ， 方程左边后三项含x y 、x z 、y z ，是施加电场( t ，e 。，e ：) 引起的交叉项。这说明， 在电场作用下，折射率椭球f 抟_ - - 个主轴方向将会发生改变，不再分别与晶体的原 主轴方向x 、y 、z 轴平行。我们接下来的工作就是以折射率椭球理论为依据，找 出一个毅的坐标系，使新的折射率椭球方程( 2 1 5 ) 在该坐标系中主轴化。为了简 单起见，我们以k d p 晶体的纵向调制为例，即所加的电场平行于z 轴，电场变 为( o ，0 ，e z ) ，于是方程( 2 - 1 5 ) 变成 吾+ 了y 2 + 害+ 2 r 6 3 e 砂：1 ( 2 - 1 6 ) 虿+ 虿+ 了 l e + 2 五：砂2 1 设新坐标系的主轴分别为x 、y 、z ，在新坐标系中椭球体的方程不含混 合项，即它所表示的椭球方程主轴化，则有 譬+ 譬+ 譬= ， 协忉 ，l 挖，l 显然，加电场后新椭球在三个主轴方向x 、j ，、z 上的主轴长分别为2 、2 n i 和2 以? 。新坐标x 、y 、z 和原坐标x 、y 、z 的关系可以用坐标变换的方法得 出。 观察式( 2 1 6 ) n - - 看, q 4 , ，为了得到变换系数4 ，的对角形式( 也即主轴化) ，应该 1 6 这样选择x 、y 和z 1 轴：使z 轴平行与z 轴；由于工和j ，的对称性，把x o y 平 面以z 轴为轴逆时针旋转4 5 。就变成了x o y 平面，如图2 - 2 所示。 ， 图2 - 2 新坐标( 善，y ，：) 与原坐标( x ，y ，z ) 之问的关系 这样坐标变换关系就为 石t 万 弘“0 8 i j ，锄i 石 ，r y 钉锄百+ y 。0 8 i z = 孑 把上式代入方程( 2 - 1 6 ) ，得到 ( 2 - 1 8 ) 哮1 + r e e , ) x “咭一r o e ：) y 2 + 虿1 z “= 1 ( 2 - 1 9 ) 由该式可知，由于外加电场的作用，晶体坐标系的主轴由原来的x 、y 、z 变成 现在的x 、，、z 。，对比方程( 2 1 7 ) 和方程( 2 1 9 ) 可以得到新的主折射率与原主 折射率有下面的关系 ( 2 2 0 ) 在一般情况下，有这样的关系，6 3 置“，f ，又因为砌= ) d ( 1 栉2 ) ，把这两 个关系代入式( 2 2 0 ) 中可得到，受外加电场的影响后的晶体新的主折射率的表达 1 7 e 丘 上一i上 ，一矿，。一矿，。一矛： 式： q = 胛。一冬e 行： t 2 + 占： 玎? 2 兄 期7 一必 篷 图2 - 3 施加电场前后的两个折射率椭球之间的关系 ( 2 2 1 ) 图2 - 3 表示了施加电场前后的折射率椭球的关系。整个变换的过程说明，当 施加沿z 轴方向的外加电场e z 后，k d p 晶体的原主轴系中的折射率椭球以z 轴 为轴，沿逆时针方向旋转4 5 0 ，就构成了新的主轴坐标系下的折射率椭球。对应 的新的主轴为x 、y 、z ，新的主折射率为取、，t ，大小由式( 2 - 2 1 ) 决定。 2 1 2 2 偏振态调制、强度调制和相位调制 这节我们还是以k d p 晶体的纵向调制为例，解释电光晶体中的偏振态调制、 强度调制和相位调制。 1 ) 偏振态调制 图2 1 4 电光偏振态调制的典型装置 矧_ 篙c o ：喜1 捌3 蚴， 弓= 昂e x p t 鲥一呼x + 圭届丘弦 卜 r = 办一移= i 3 e z = 詈露r 6 3 矿( 2 - 2 3 ) 其中矿= e ，是加在晶体两端的电压，九= _ ( 拧? ，以= - ( 詈) 行，分别是光场 如果在晶体的出射面，r = 要，略去共同的因子，就有 _ ：晶。饼一争：乓s i n 耐 ，鸟 一(一 写 它们合成的是沿顺时针方向旋转的圆偏振光。由此可见，我们可以通过控制 相位延迟量i 的方法来改变出射光的偏振态，从而实现偏振态调制。 2 ) 强度调制 入射光秉 - 广 i 图2 5电光强度调制的典型装置 如 实现强度调制的典型装置是在上节装置的基础上，在电光晶体之后放置一个 同偏振器丘相互垂直的偏振器丘，并在电光晶体与丘之间插入一个詈波片，目 的是调节两个光束的相对相位延迟量，好使它们在偏振器丘上发生干涉，最终 转化为强度调制波。实验图中的砉波片产生的最大的附加相位延迟量为r o = 三。 这样，可令在入射面口= 力处分解为沿x 、y 方向偏振的是两个有相同相位的分 量，并且表示成 苎。= e oc os(at(2-2s) = e oc o s o j t 因此入射光强可以写成厶o c2 e o ，在出射端0 = ) 处，这两个分量产生相对相位 延迟为f ，为简单起见，可以把它们分别写成 笔 z 尝e o ， q e ，( ，) = p - n 。 它们在偏振器上的干涉即为毋( ，) 和e ，( ，) 分量在j ，方向上投影之和，于是有 弩 一 耵一 ，鸟 一 ( 髟) 。= 隽( e 可一1 ) ( 2 于是，出射光的光强为 乙叫( 耳) 。( ) 。】= ls i n 2 白 ( 2 2 8 ) 此式中的r 还包括詈波片的附加固定相位延迟r 0 ，即r = f o + r ( 矿) t 其中r ( n 是 电场引起的，即r 缈 = 三i 号) 将这些代入上式即得 k 一2 k 刚 可见，当v 是调制信号时，输出强度，一即成为调强波 3 ) 电光相位调制 下面，我们同样还是以k d p 晶体为例来说明电光相位调制的主要原理。如 图所示，相位调制装置与偏振态调制装置的大致相同，其区别在于：相位调制器 中的起偏器丘的偏振轴与k d p 晶体中的感应轴x 相平行 魏 图2 - 6 电光相位调制 调相光波输出 电场臣施加在z 方向上，通过上节中折射率椭球理论的分析可知，偏振方 向沿工。方向传播的光波分量速度加快，偏振方向沿j ，方向传播的光波分量速度减 慢。x 、y 方向上的偏振分量的表达形式如下： 2 i 若偏振方向与电感应轴工方向平行的入射光束沿z 轴方向入射，光波的相位 会发生相应的变化。取调制电场为单频信号，即 e ：= e ms i n a 。f ( 2 3 1 ) 参照图2 - 6 ，若令输入面( z = o ) 入射光场为毛= e 0c o s ( o c t ，则根据式( 2 2 2 ) 可知，在输出面( z = z ) 处出射光场应为 = e 0 c o s r o c 卜詈( ”等，既s i n 刚刁 ( 2 3 2 ) 将该式改写为 e = e o c o s o c t 一九+ 矿。s i n ( o m t 】 ( 2 - 3 3 ) 其中，常数相位因子九表示为 九= 生n o l f 九被定义为“调相系数”，它的表达式为 办= 警 ( 2 - 3 4 ) ( 2 3 5 ) 比较式( 2 - 3 5 ) 与式( 2 2 3 ) ，即可发现这里给出的调相系数屯大小恰好等于电光延 迟量r 的一半，即力= 圭r 。所以 妒扣茜 d 这样，我们调制所加的电压”就实现了电光相位调制。 o g m m e e 露一2露一2 一 + 缈一c 国一c 一 一 枷 愀 唧 唧 瓦 磊 = = 砧 才 盯， 怎。忠。 一 一 甜 耐 研 m 唧 唧 晶 岛 = = e j e ， 2 2 线性电光效应的耦合波理论 在上节我们介绍了折射率椭球理论及其在调制中的应用，这种传统的方法 直观易懂，但是存在着不可忽略的局限性：在外加电场的作用下，电光晶体中的 折射率椭球将会随之发生变化，为了使折射率椭球方程在新的坐标系中主轴化， 我们需要找到新旧坐标系的线性变换，而求得新旧坐标系线性变换的过程大多很 复杂，有时甚至是不可能办到的，所以折射率椭球理论仅适用于某些情况，它对 电场方向、入射光的偏振态、入射方向都有着比较高的要求，如果换做双轴晶体 情况，折射率椭球理论就更难被运用。2 0 0 1 年，s h e 等人f 1 7 1 提出的线性电光效 应的耦合波理论，突破了以上的局限性，可被用于拓展电光材料的选择范围， 优化调制器的调制方式，它的出现引起了电光效应研究领域内的新探索【1 2 , 4 5 - 4 7 1 ， 而本论文的主要工作内容也是围绕着线性电光效应的耦合波理论展开的。下面我 就详细的介绍下线性电光效应的耦合波理论的基本内容 2 2 1 基本内容 不考虑介质的吸收，并且假设介质为非磁性介质，净电荷为零，由麦克斯 韦方程组我们可以推导出 v 【v e ( r ) 】- v 2 e ( t ) + 吉掣哪! 矿p s l 广s ( t ) ( 2 3 7 ) 占为介质的相对介电常数，j o 为真空中的磁导率，c 为真空中的光速，e ( f ) 为介 质中的总电场强度，p “( f ) 为介质的非线性极化强度。假设光波为单色平面电 磁波，沿r 方向传播，平行于r 的电场强度分量为零，所以我们只需保留e ( f ) 垂 直于传播方向r 上的分量e 上o ) ，所以方程( 2 - 3 7 ) 可变为 - v 2 e ) 专警产= 一铲p a & t 2 ( 2 - ，8 ) 其中频率为出的单色平面电磁波e ( t ) 的表达式为 1 e ( t ) = e ( o ) + e e ( 国) p 叫耐+ c c 】( 2 - 3 9 ) 二 c c 表示电场的复共轭部分；e ( 0 ) 为外加直流电场或频率远小于缈的低频电场； 一般说来，频率为的单色甲面波在各向异性晶体中传播时，可分为两个相互独 立的平面电磁波分量，因此我们可定义 e ( 缈) = e l ( m ) + e 2 ( m ) = e i ( r ) e 血- + e 2 ( r ) p z ( 2 - 4 0 ) 其中，e ，( 国) ，e ：( c o ) 是频率为的单色平面波在介质中沿r 方向传播时，光场的 两个相互正交的偏振分量；k ，、k ：分别为e ，( 国) ，e ：( 甜) 所对应的波矢。如果 k 1 = k 2 ，e 1 ( 彩) ，e 2 ( m ) 分别表示光电场强度的两个相互垂直的分量：如果k ，k 2 ， e ，( 缈) e ：( c o ) 分别代表两个折射率不同，在晶体的传播中各自独立的电场强度。 例如，在各项异性晶体中，e ，( 缈) ，e ：( 国) 分别表示0 光和e 光的电场强度。 由于这里只考虑线性电光效应的贡献，忽略其它二阶非线性效应以及高阶的 非线性效应。式( 2 3 8 ) 中的p “( ，) 应只包含二阶非线性极化强度，其表达式为 p o ) o ) = 去p 啦( ) p 叫耐+ c c = c o x ( 2 ) ( c o ，o ) ：e ( c o ) e ( 0 ) e 一1 “+ c c ( 2 4 1 ) = 岛z 2 1 ( c o ，o ) ：e i ( r ) e ( o ) p 嵋p 一耐+ c o x 2 ( ，o ) ：e 2 ( ，) e ( 0 ) p 也p 一州+ c c 岛为真空中的介电常数，z “( c a ，o ) 为二阶极化率张量。把二阶非线性效应当成 是微扰，考虑慢变振幅近似刀，并且仍然定义e ( 口) 的两个相互垂直和相互独 立的偏振分量分别为e 。( r ) p 岫。和e 2 ( ，) p “：一，由式( 2 - 3 8 ) ( 2 - 4 1 ) ，我们可以得到 其中 玩堡盟+ 玩。蚵堡盟 2 防 毋 2(2-42) = 一等z 2 ( ，o ) ：e l ( ，) e ( o 如号z ( 2 ( 国，o ) ：e 2 ( ，) e ( o 弦蚶 e 1 p ) = 置驴沁 e 2 ( ，) = 易( r ) b ( 2 - 4 3 ) e ( 0 1 = e o c 垦笋刮毒- 以戤o ) ：鸣( ，) e o e , a t r + i 吾- 铲，o ) ：a 蜗岛 掣：，b 铲c 卿。啪烨气，b 以鳓，毛q 删 掣：喇易( ，弦曲一吐巨( r ) 掣：嘲e 1 ( r ) e - 一一峨驯 2 彻 匾= 丢们畋= 等弛， 岛= 嘉们反= 去弛 饧。= ( 气e a ) ( a ，b k 0 1 ) 饧2 = ( 占。) ( 口，吼c ) ( 2 - 4 9 ) 饧，= ( 占。) ( 6 ，r j 。b k g ) t j 设在晶体的入射端面处，入射光光强的两个相互垂直的分量为巨( o ) 、e z ( 0 ) 。 方程组( 2 4 7 ) 的解，即出射端面两分量的光强，可以根据，的取值分为以下两 种情况： 1 ) 饧l = o ，此时，由式( 2 4 8 ) p t 知d = = 以= 0 ，出射端面两分量的光强为 嬲( c o 二要篓：淼， 仁s 最) = 巨( ，弦归= 易( 0 ) p “b 呐) ， 、1 2 ) 0 ，出射端面两分量的光强为 其中 以及 妻e ：三誉e 篡，嚣芝r ) e ：2 ， 2 ( 珊) = 2 ( ，p 峨= p 2 ( 哺+ ，p 哦7 、， 岛( ，) =e ( 0 ) c o s 2 ( ) + 【堕盟鱼业】：如：( ) 魂( r ) = a r g 【毛( o ) c 。s ( ) + i z e , ( 0 ) - d , e 2 ( 0 ) s i n ( ) 】 仍驴) =砭( o ) c 0 5 2 ( ) + 掣墨塑二垡! 墨盟】：s i n ：( ) u 欢( r ) = a r g 【易( o ) s i n ( ) + i - 7 e 2 ( 0 ) - d ，e ( 0 ) s i n ( ) 】 ( 2 - 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) ，= d _ l - _ d 2 - - 一a k = a k - f d 2 - d 4 ( 2 4 4 ) ：垣4(zlk+平d2-d4)2+4d,d， 式( 2 - 5 0 ) 式( 2 - 5 3 ) 就是我们希望得到的普遍解。不同于折射率椭球理论，它们可 以描述任意方向的外加电场的作用下，光在任意晶体中，沿任意方向传播时的线 性电光效应。 需要特别提出的是，式( 2 5 1 ) 在以下情况还可以分为两类： ( a ) a k = 0 ，即毛= 七2 时，对应于各向同性介质，但又没有中心反演对称性 的材料，如4 3 m 和2 3 对称点群的晶体，或者对应于光波沿单轴晶体光轴方向传 播时的情况。不失一般性，可以假设e l ( o ) = 0 ，从而有 ，：蔓尝 = 一生粤( 2 5 5 ) ：垣型些 则式( 2 5 2 ) 和式( 2 5 3 ) 变成 届( ，) = i 易( o ) l 办( ，) = 詈( 具体符号由4 决定) p 2 ( r ) = i e ：( o ( 2 - 5 6 ) ( 2 5 7 ) 欢( ，) ：a r g e 2 ( 0 ) s i n ( ) + f 二堕盟s i n ( ) 】 根据上节所讲的强度调制的原理，出射光的强度可表示为 驯纠2 孤i z ( 耍o ) 劬平，) 4 d ? 其中，1 2 ( 0 ) = i e 2 ( 0 ) 1 2 。由上式可知，只有当以一巩= o 时，j 州( o ) 才有可能等 于厶( o ) 图2 - 7 反映了l ，l ( o ) 随( 攻一巩) ，吐变化的情况 j 1 2 1 0 8 o 6 o 4 0 2 o o l o 附蚴，d 2 0 l 3 0 图2 - 7 越= 0 时，正交偏振系统的振幅调制下，出射光光强l 。随( 如一矾) l d l 变化 的曲线图 为了方便研究，在计算中，我们取【( d ：一面) 2 + 4 砰】，= 万。由图中曲线 可以看出，当( d 2 - d 。) d l 2 0 时，振幅调制已无法实现。此结论是由文献【1 7 】 首次发现的。 ( b ) z l k 0 ，即毛七2 时，e ) 的两个相互独立的偏振分量具有不同的折 射率大多数双折射晶体中，k 一心l 都约为1 0 。3 到1 0 一，丽折射率的改变量幽约 为1 0 。，所以我们可以知道，在除了k ，k ：很靠近光轴的情况下，都有 业 吐( i = l ，2 ，3 ，4 ) 。在出 谚这个条件下，可以得到 口：坐二生二尘 “。堕生二型 2 圆 一厣磊鬲巫学甄 破( r ) = a r g a k l e , ( 0 ) c 。s ( ，的+ f 二兰。旦2 ：乎鱼也s i n ( ，叻】 时，= 厣忑磊蓐萼甄 竹) = a r g e ：( 0 ) s n ( 肿f 型督趔 陀6 0 ) ( 2 - 6 1 ) 利用积分中值定理，可将含p 脯的项舍去，电光效应的耦合波方程组近似为 d r (2-62)dea _ r ) ：- i c i e r ( r ) m ”。7 方程组的解为 船二蹶： p 6 ， 易( 回易( ，) p “屯呐p 、。 0 3 1 ) 对于相位调制，我们可可取e l ( 0 ) = 0 ，或易( 0 ) = 0 ，则有 鲁坦2 即训7 ( 2 - 6 4 ) 易( 彩) = 0 或 怒- 4 4 p 易( m ) = 易( 0 弦“如矿 、 ( b 2 ) 对于振幅调制，可以选择e d o ) = 易( o ) ，这将导致 ( 矾，4 ) e l ，( o ) 一的条件得不到满足，出射光的光强则要采用精确的表达式 l ：丛坐丛r 上纽嵝型竺蜓则( 2 - 6 8 ) 其中，p s ( r ) p 2 ( r ) ( ，) 和屯( ，) 的表达式如式( 2 5 2 ) 和( 2 5 3 ) 所示。 为了形象的说明出条件对于出射光强的影响，我们用l i n b o ，晶体为例作 图。l i n b 0 3 晶体的非零电光张量元【6 7 】分别为：= - 3 4 x 1 0 “m v ， 3 = 8 6 x 1 0 一”m v ，r 3 3 = 3 0 8 x 1 0 一”m v ，r 4 2 = 2 8 x 1 0 一”m v ；吃2 = 1 2 场= 3 ， 吩l = ，：1 2 和l = r 1 2 。假设入射波长为5 x 1 0 c m ，此入射波长对应的l i n b 0 3 晶体0 光和e 光的折射率分别为n 。= 2 2 9 ，n 。= 2 2 0 。假设k 1 ( 或者k 2 ) 与光轴( z 轴) 的夹 角为目，在x o y 平面的射影与x 轴的夹角为妒，所以有a = ( s i n ，一c o s f a , 0 ) ， b = ( 一c o s o c o s f p ，一c o s o s i n ( o ，s i n 回。我们选定缈= o 0 6 5 5 7 j r ，e 0 = 2 0 0 0 v c m ， 矗= 5 0 0 h m ，r = 2 5 c m ，k o = 2 e r ( 5 x 1 0 4 ) c m 一1 和c = ( 互，2 ，互2 ，o ) 。将以上数 据代入式( 2 6 3 ) 与式( 2 - 6 4 ) ，得到了j 。1 0 随口变化的精确曲线和近似曲线的重叠 图2 8 。对图2 8 进行分析研究可发现，当口o 0 0 5 l r 时，近似曲线与精确曲线 重叠得很好。当口 d ，的条件得不到满足时，近似曲线与精 确曲线出现明显的分离。 1 2 1 o 8 “0 。6 o 。4 o 2 o o o 0 0 50 e l e 0 1 5 图2 - 8k h 0 随口变化的精确曲线图和近似曲线图 观察图2 8 ，我们可对入射光的入射角度进行选择，从而使之具有好的调制 效果。例如，可选择口= 0 0 0 6 4 z r 的角度进行考察，图2 - 9 为此时的强度调制曲 线图，经过计算，零场泄漏只有4 ，横向调制的半波电压只有2 0 0 0 v ，若采用 波导装置，半波电压将会降低至1 0 0 v 。 1 2 l o 8 0 1 6 0 4 o 2