（计算数学专业论文）弯曲界面声波导中共轭算子的构造和分析.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文通过一类共轭算子的构造实现了对步进传播计算的改进，使得h e l m h o l t z 方 程的数值计算加速 首先，需要将无界区域上的h e l m h o l t z 方程转化到有界区域目前很好用的方法 是添加p m l 层在数学上相当于对坐标做了一个复的伸展变换，使方程转换为一个 新的复方程 其次，是对弯曲界面的处理先选取适当的非线性局部正交坐标变换及方程变 换将界面“拉直”，使得在新的特定坐标系下，对方程的离散和界面条件的处理可以 像平坦界面一样 再次，在有界区域上求解h e l m h o l t z 方程有许多直接的解法，如有限元和有限差分 法等但是若用有限差分或者有限元方法来处理这样一个水平区域很大的h e l m h o l t z 方程时，产生的线性方程组阶数将非常大，导致相当大的存储空间，计算的代价也很 高昂同时这些系统常常也是不定的，或非对称的，这就使得方程的求解更加困难 根据波导对区域水平距离依赖很弱的特征，本文采用在波的传播计算中有效常用的 步进方法 用步进方法计算波的传播问题将涉及相关算子的特征问题这个问题主要分成 两个方面：一步进计算中需要从原来复方程提取出的算子l 的特征值和特征函数。 用多重非对称的r a y l e i g h 迭代算法，得到此复矩阵的特征值和对应的特征向量，为波 的传播计算提供了基础二在步进计算中由于己算子的特征函数不满足正交性， 基转换系数的求得需要求解线形方程组，耗费很大的计算量为解决这个问题，构造 算子工的共轭算子m ，通过求解砺的特征问题得到与的特征函数集正交的特征函 数集，这样基转换系数的求解避免了求解线性方程组，大大减少了计算量，加速了传 播的计算 结果表明，共轭算子的构造是可行的，且对传播的计算带来了方便上述算法不 仅可以较好地求出h e l m h o l t z 方程在无界区域中的模式分布，而且可以模拟声波的传 播场此改进算法在数值计算上具有保持三对角矩阵运算的优点，极大的减少了存 储空间和计算量，在声波导和光波导的无界区域传播计算中得到应用 关键词：弯曲界面，完美匹配层，局部正交变换，共轭算子，共轭特征函数，步进算 法 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a e t i nt h i sp a p e rac o n j u g a t eo p e r a t o rmi sc o n s t r u c t e dt oc o m p u t ec o e f f i c i e n t si nm a r c h i n gm e t h o d w i t hn u m e r i c a le x p e r i m e n t sw ed e m o n s t r a t et h a tt h i sm e t h o dh a si m p r o v e dt h es i m u l a t i o np r o c e s s o fh e l m h o l t ze q u a t i o n f i r s to fa l l ，w eu s ep m l ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) t e c h n i q u et ot r u n c a t eh e l m h o l t ze q u a t i o nd e - f i n e di na nu n b o u n d e dd o m a i ni n t ot h eb o u n d e da r e a m a t h e m a t i c a l l yac o m p l e xs t r e t c h i n gt r a n s f o r mi so p e r a t e do nzc o o r d i n a t ew h i c hc h a n g e so r i g i n a le q u a t i o ni n t oac o m p l e xo n e s e c o n d l y , t oa v o i d “s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o no ft h ei n t e r n a li n t e r f a c e ，al o c a lo r t h o g o n a lt r a n s f o r m i su s e dt o f l a t t e n t h ec u r v e di n t e r n a ls u r f a c e u n d e rn e wc o o r d i n a t es y s t e m ，t h ei n t e r f a c ec o n d i t i o n sc a nb ee a s i l yh a n d l e da n dt h et r a n s f o r m e de q u a t i o ni ss u i t a b l ef o rm a r c h i n gm e t h o dw i t h o u t a d d i n gm u c hc o m p u t a t i o nc o s t t h i r d l y , t h e r ea r es o m ed i r e c tm e t h o d so fs o l v i n gh e l m h o l t ze q u a t i o n ，s u c ha sf i n i t ee l e m e n t m e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d h o w e v e r , t h e ya r en o ts u i t a b l ef o rh e l m h o l t ze q u a t i o ni n l a r g er a n g e ，c o n s i d e r i n gt h el a r g el i n e a rs y s t e mt 1 1 e yp r o d u c e t h ec o m p u t a t i o nc o s ta n ds t o r a g e s p a c ea r eh i g h l ye x p e n s i v e a s ar e s u l t ，i t e r a t i v em e t h o d ，s u c ha so n e - w a ym e t h o da n dm a r c h i n g m e t h o da r ee m p l o y e dh e r et os i m u l a t et h ew a v ef i e l d d u r i n gt h ep r o c e s so fm a r c h i n gc o m p u t a t i o n ，t h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r so fr e l a t e do p e r a t o r ls h o u l db eg i v e no u t m u l t i p l eu n s y m m e t r i cr a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i v em e t h o di se m p l o y e dh e r e t os o l v et h ep r o b l e m b e c a u s el o c a le i g e n f u n c t i o n so f lo p e r a t o ra r en o to r t h o g o n a l ，r e l a t e de x p a n s i o nc o e f f i c i e n t sa r ec o m p u t e db ys o l v i n gs e v e r a ll a r g el i n e a rs y s t e m s t oa v o i ds o l v i n ge q u a t i o n s w ec o n s t r u c tt h ec o n j u g a t eo p e r a t o rmo flo p e r a t o r , w i t ht h ee i g e n v e c t o r so fm o p e r a t o ro r t h o g o n a lt oc o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o r so flo p e r a t o rt h ec o e f f i c i e n t sd u r i n ge i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o n c a nb ed e r i v e dw i t h o u ts o l v i n gl i n e a rs y s t e m s t h ei m p r o v e m e n ts a v e sm u c hc o m p u t a t i o nc o s t a n ds p e e d st h em a r c h i n gp r o c e s s n u m e r i c a le x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h eo r t h o g o n a l i t yo fe i g e n v e c t o r sb e t w e e nla n dm o p e r a - t o r s ，b e s i d e sla n dmo p e r a t o r ss h a r et h es a m ee i g e n v a l u ed i s t r i b u t i o nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n ， w h i c hm e a n sc o n s t r u c t i o no fm o p e r a t o ri sf e a s i b l e f u r t h e rm o r ew es i m u l a t et h ew a v ef i e l d w i t ho n e - w a ym e t h o da n dm a r c h i n gm e t h o du s i n ga n dn o tu s i n gt h em o p e r a t o rf o rc o m p a r i s o n t h ef o r m e rr e s u l t sk e e pa c c e p t a b l ea c c u r a c y t h i sm e t h o dc a nb ef u r t h e ra p p l i e df o ru n b o u n d e d o p t i c a lw a v e g u i d e s k e y w o r d s ：c u r v e di n t e r f a c e ，p m l ，l o c a lo r t h o g o n a lt r a n s f o r m ，c o n j u g a t eo p e r a t o r , c o n j u g a t ee i g e n f u n c t i o n s ，m a r c h i n gm e t h o d 浙江大学硕士学位论文 第一章引言 波导是一种引导波的传播的结构，波导的主要特征是传播模式解的存在传播 模式沿着水平的x 方向以e i p x 渐变，其中卢是传播常数由于p 是实的，所以解在x 方向传播且保持模不变 任何声学事件的过程包括五个步骤：成因，发生机制，声波传播，接收和声波 产生相应的效果其中核心的一步是声波的传播声波携带着从其他形式转化过来 的能量在接收端又被转化成其他的形式当声音在液体中传播时，声波会改变周围 环境的压强，形成声压通常我们采集一定时间范围内的声信号，通过频率来研究 声压 声波导在海洋声学中起着特别突出的作用由于海洋介质的不均匀性，声速随 海洋深度有规律变化会形成水下声道，利用水下声道可以进行数百、甚至数千公里 的远程声传播随着水平距离也有变化，但变化非常缓慢。声波导应用领域包括运 用声学装置测量海洋特性，描绘海洋概貌；依靠海洋声波导的信息传递，可以实现 语音或数据信号的声发射与声接受，声应答器英语导航和靠码头导引，声激活装置 用于锚系仪器舱的脱钩释放等 3 9 。 声波导满足波动方程： 等：c 2 v 2 够, ( 1 )i 了2l l j c ，l 一 其中砂是声压，c 是声速 若波源是单一频率时间调和的，u 为角频率，x = ( x ，z ) r ，即 矽( x ，d = e - y o 。7 u ( x ) ( 2 ) 则波场由h e l m h o l t z 方程决定： z h + m 毖+ x 2 ( x ，z ) u = 0 ，0 z + o o ，0 x + ( 3 ) 其中k = 筹是波数，z 方向是垂直向下的，海平面处z = 0 x 表示水平方向距离变 量 对上述h e i m h o l t z 方程，由于k 在水平x 方向上是弱衰减的，故可以把x 方向分 成两部分，即0 x l 和x l ，其中这两部分由水平方向o u t g o i n g 条件连接当 x l 时，可由分离变量的方法得到方程的近似解，本文主要考虑的0 x l 这部 分h e l m h o l t z 方程的求解问题。 当k 是常数，并且定解区域是矩形区域时，h e l m h o l t z 方程有精确的平面波解和 球面波解但实际的大部分问题中，k 并不是常数，而是与水平距离x 和深度z 等有 浙江大学硕士学位论文 2 关的，此时无法给出解析解数值求解h e l m h o l t z 方程可以应用直接解法，如有限差 分法，有限元法有限差分法操作简单易行 4 0 】，有限元法处理复杂边界条件的能 力强【8 , 9 ，3 7 】，但是在求解区域很大，而且波场内部的振荡也比较大时，需要细的的 剖分，由此产生的高阶非对称的线性系统导致相当大的存储空间和计算量海洋中 的声波导是缓慢渐变的，对水平距离的依赖性很弱，而且传播方向的求解长度三远 大于其垂直方向。利用这些特性已经研究出了很多方法，如模式匹配法，射线法， 抛物方程方法等 1 0 ，1l ，1 2 】 海洋环境中通常具有弯曲的内界面或底面，在界面处满足连续性条件界面上 下的介质密度，折射率不同，波的传播行为也会有差异，考虑具有一个弯曲内界面 的情况，h e l m h o l t z 方程具体为： z ，联+ + z ， 巩盯+ z 忆+ 砖u 1 l i mu ( x ，z ) z - 厅( d 一 ，瓤一者挈 z - ( 曲一一l “1 = 0 ，0 z 厅( 功 = ：蠕+ 甜o ，z ) q = ：j 踽+ 壶挈 其中| l z ( 曲为内弯曲界面，i l 为界面处的单位外法向假设问题与距离无关，即 对于石0 和x 芝l ， “工，力= ( z ) ，办( j ( ) = h o ，工0 ， d x ，力= k o o ( z ) ，办( x ) = h 。，x l 假设在x = + o o 处没有波源，则在x = l 处，满足辐射条件： 驴t 扫万丽， 将要研究的物理模型如下图： ( 5 ) ( 6 ) 浙江大学硕士学位论文 o h d 、， h ( x ) p m 7 z x 3 针对以上模型，我们将使用完美匹配层将无界区域截断，确定矩形的求解区域， 然后将弯曲的内界面用局部的解析的坐标变换来“拉平”，而且变换后的方程不含 有关于传播方向的一阶导数( 使其系数为零) 整理后得到的方程使用抛物方程方 法和基于d t n 映射的步进算法来求解波的传播场为了改进步进算法中的特征展开 系数求解，构造出原特征方程的共轭算子，求解共轭特征函数，用它们与原特征函 数的积分来直接求解系数。文章第六部分给出了数值模拟的结果验证了共轭算子的 与原算子问特征函数的正交性，并通过传播计算表明这一算子的构造加速了步进的 过程，且保持了解的精度 浙江大学硕士学位论文 第二章完美匹配层 4 p m l 层最初在1 9 9 4 年由j e a n p i e r r eb e r e n g e r 提出 5 】5 但是此时的p m l 层还只是 应用在物理上，没有涉及到数学的应用在1 9 9 5 年，b c h e n 和d g f a n g 对p m l 进 行了改进，使得在边界的反射系数更小 2 0 直到19 9 7 年，f r a n c i sc o l l i n o 将p m l 的 理论转化为了数学方程 6 】此后的十几年中，添加p m l 透明边界成为波导计算中迅 速发展并已趋成熟的技术，在数学分析和数值处理中都有很多成果【7 ，2 l ，2 6 ，2 7 ，2 8 】 因此，我们引入p m l 层，将原先无界的区域截断为有界首先指定需要加p m l 层的区域，在d z h 中进行操作p m l 层的长度越长，理论上越接近真实情况 p m l 层可以近似地看作是变量通过衰减系数“z ) 从实坐标到复坐标系的变换： 严 2 = z + ii 矿( 丁) 打 ( 8 ) j 0 其中矿( z ) 是一个非负的连续函数，它在日 z d 内是正值，而在其他区域则 取0 这一变换使得波由区域内通过界面传播至p m l 层后被逐步吸收，基本上不会 发生反射 浙江大学硕士学位论文 第三章局部正交变换 5 3 1 坐标变换 对于弯曲内界面办( x ) ，为避免对界面做阶梯状近似 1 7 ，1 8 带来的误差以及不能 使用大步长方法的缺点，使用坐标变换来处理文献 11 ，1 2 提出了一种全局变换， 需要很大的计算量，尤其在波导很长而且界面复杂的时候局部非正交变换 1 9 】遇 到的困难是在处理界面的法向导数条件时，将出现传播方向的一阶导数魄，这不适 合后面的步进计算自然地需要采取局部正交变换 1 , 2 ，3 ，使得界面法向与该处某 一坐标的方向重合，既简化了边界条件的处理，也不会出现新坐标系下的一阶导数 如，给步进计算带来方便 4 , 3 3 ，3 8 】讨论了不同局部正交变换的解析形式 局部正交变换的构造如下； 令( 工，z ) 在新坐标系下对应的坐标为 ，句，其中量= f ( x ，力，三= g ( x ，z ) ，f 和g 满足 正交性： 关关+ 娑害：o ( 9 ) a x8 x 8 z a z 、。 z 方向的变换是线性给出的，由上式可以求得厂在0 z 厅( 工) 层，令 三2g ( x ，z ) 2 赢，( 1 0 ) 代入正交关系式，有 r 怒衍+ 三夕一o ， ， 且满足叠= f ( x ，0 ) = 毛求导司得 厅( x ) h ( 量) 厶2 雨丽 z h ( 受、 五2 酉 在办( 力 z d 层，同理可令： 2 咄，z ) = 丽1 - d 一鬻掣， 厂的求解中需要用到第一层与第二层边界处三= 1 时的坐标， ( j ，1 ) ，且矿= h ( x + ) ，( ，z + ) 可由下式解出： r 篇出+ 扣切2 - o ， 0 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 定义0 ，z 1 ) t f 。g ) ( 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文 则有类似的积分式： 厂冬掣疵一! ( z 一功2 一( 厅( 工) 一d ) 2 _ o ，2 山办，( f ) ” v 、”7 一。1 求导可得， ，办( 戈) d 一向( 工) 2 丽。d - h ( x * ) 石叫x 鬻厕v - z ， 若出现厅7 = 0 ，则g 仍保持线性变换，曼= f ( x ，力= x 6 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 3 2 方程变换 在新坐标系下，原方程u ( x ，z ) 变成了以量，句为了让氓系数变成零，方程具有 更加简单的形式，进一步，令u ，句= 职戈，句以量，句，( j ，句的给定使得方程简化成 关于y ，笏的方程： + 口 ，勿圪2 + 卢( 戈，匐圪+ y ，三) y = 0( 1 9 ) 在第一层0 z h ( x ) 中，若j l l 7 0 ( 戈，句= ，e 、 向( x ) 】【乃( 曼) 】 烈x ，刁2 历两丽 2 z 2 h 7 ( 瑚2 一h ( x ) h ”( 曲 【办( 瑚2 【办( 量) 】2 卢( 曼，2 ) = 丽两丽丽面酉专砸丽万一， 俺国= 2 错一2 鬻 尹f 以j ) 2 2 h ( 曼) ( 劝。4 办( 曼) 以劝j 办7 ( 戈) 】41 。4 【h 2 ( 爻)h 3 ( 。办4 ( 劝j + 而h 2 ( x ) 【+ 而【 2 h 7 ( x ) 办7 7 7 ( x ) 一 办7 ( x ) 22 h 7 ( 量) 办7 7 7 ( 妨一 厅7 ( 筇】2 h2(功h2(量) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 端 雩h 3 铲一丢铲 + ) 船鹿 ， 办7 ( 工) 2 【( 土) 4 办4 ( 量)j 。一1j v 工。2 ， ”。7 其中 厶5 丽h 五丽h ，。( 土) 矗( 力， ( 殳) 若j i z 7 ( 刁= 0 且办”( 习0 ，贝0 l j i m 一缫：p 一季锵， ! 。i 丽卅圳” ( 2 4 ) 浙江大学硕士学位论文 口( i 习= 丽1 p 卑锵， 觑i 习一乜鬻广锪， 厄句= 哿【7 帮_ 2 】+ 唑帮【1 一，锊】 + ；锗+ 砰p 锵 若( 习= 0 且厅”( 习= 0 ，则 磐篇= - 口( i 三) = 丽1 ， 烈i 艺) = 0 ， 煳= 砰一；等 在第二层厅( 曲 z d 中，若办7 ( 力0 ( 量，三) = 厅( 叠) d h ( x + )办7 ( 功 办7 ( 戈) h ( x )【d 一办( 工) 】2 础国= p 叫2 赛搿黼， 觑量，三，=2c。一-，cz一。，三肇；呈穹磊三嘉委等；苫考器 糍】2 【黟 2 搿， 7 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 浙江大学硕士学位论文 俺圆=鞯d_z丛a12 t 鬻c 丢鬻 +警+14【知(i)2三2办(i)乃7，(j妁)办( j ) l 。v r ，jv v v ， d h ( r ) 】z 。h ( x + ) 【d h ( x + ) 】【l + 办7 + ) ) 2 】2 ( 三 厅7 0 ) 】2 ( d 一2 h ( x + ) )办7 7 ( 工+ ) h ( x ) ( d h ( x ) )1 + j 1 7 ( r ) ) 2 8 + 2 拦糯+ 2 器+ 三鬻一；搿 吲丽高然筹帮端两 ， 州：j 丽葡雨砑而万i 丽万币画洒两 u 训 若厅7 ( 刁= 0 且办”国0 ，则 磐糍h = p 勰即d 抖。， 量_ i7 ( 戈) 。 口( i 动= 丽( d - 1 ) 2 p 龋p 讹+ d r ， 觑i 笏= 2 ( d - 瓦 ) ( z 矿- d ) h ( x - ) e 龋p 蛾+ d j 厄句= 蠲( z 2 - 2 d z + d h ( x - ) ) x 雠h ( x - j ) h ( x - ) 旷h ( x - 郴) ( d 旷- z ) 2 一晶拽一龋留_ 2 d 什d 矗鳓】 - _ 3 勰龋 掀2 胁瑚鳓一石万石5 i 5 询e 压厩可铲“v v 八“” + 丽2 h ( x - ) + 砭牟篇【l p 龋即附肭( 劝】) 若( 刁= 0 且办”( 刁= 0 ，则 磐糍乩 工工仃i 工j 口( 云三) = 而( d - 1 ) 2 ， 觑x ，三) = 0 ， 7 ( i 三) = + 石1 三三二- 等言铲向c 4 ) ( 刁 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 浙江大学硕士学位论文 在第二层日 三 d 区域添加p m l ，方程变化为： 边界条件变化为： ( v ) h ：1 一= ( 形v ) h ：1 + ， 上形“ 纠 、2 上矽f 丢 , 0 2 、z 在2 = h 处要满足： x = l 处的条件变化为在曼= l 处： = y 1 2 ：月斗， = 圪k ：+ = 0 ， = 0 ， = 0 ， 圪= ；缸历虿瓦丽i 历矿 9 0 三 1 1 三 1 4 ,( 4 4 ) h 皂( d ( 4 5 ) 南 y y 卜 竹 忱 + + 一拓 1：肿脚邯邯瓤 吃吃l 嘶哦 | ：s 1 呲 x 石 x 扭 圪p一0 司肛+ 圪n 簪蹦 - 肛 矧黯 力力 ，ii_-fl-i 浙江大学硕士学位论文 第四章正交特征函数 1 0 4 1 共轭算子的构造 在有界的传播区域内原始h e l m h o l t z 方程的特征函数具有加权正交性质，该性 质可以运用至步进算法中局部基下的坐标转换然而添加了p m l 层和进行局部坐 标变换后的复方程的特征函数系不再具有正交性，此时局部基下的坐标转换需要求 解线性方程组，算法精度和效率都受到影响文献 3 4 】关于平坦界面的情形推导出 了复方程的共轭特征函数系，文献【3 5 针对弯曲界面情形作了推广，但没有进行后 续的传播计算本文在前两篇文章基础上仍然推导给出此共轭算子的推导，而且对 传播模，泄漏模和p m l 模三种模的特征函数及其共轭特征函数进行详细的验证， 并用于步进计算中求解波的传播，与未使用该共轭特征函数系的步进计算进行了比 较 从原方程中提取如下l 算子： l 妒：z l r l a 华 l + 壁尝+ y 妒 ( 4 6 ) s0 7 so zsd z 其中， 口：善a l ( 戈，句， o 三1 i 眈( 爻，约，1 2 d ， 卢： 卢“戈，句 o 2 1 【屈( 殳，勿，1 三d ， i7 l ( 幺句，0 2 1 【忱( j ，匐，1 2 d ， s ：l ， o 趑h i1 + 打回，h z ) d 其特征值问题如下： a 5a a 三l s lo 出9 j 1 + 譬塞+ y 妒5a 妒， 妒( 0 ) = 0 ，妒( d ) = 0 ， ( 妒) 1 2 ：i 一= ( 妒) i ：1 + ， 击形( 妒( 功一2 镨卜祥忱) h ： 7 去( 【( 曲+ 2 苦 妒一丽d - i 【l + 矗7 ( 工) 2 忱) i 扛。+ ， 浙江大学硕士学位论文 1l 设特征值集合 a j l j = l ，, - - n ) 对应的特征向量函数集合 竹( 量，动u = 1 ，, - - n ) 令算子的共轭算子为m ，m 算子的构造可由如下的推导过程来得出： 由共轭算子的定义， e 埘趣( 4 8 、 其中， ip l ( 戈，句，0 艺1 【见( 殳，句，1 2 d 将三算子代入上式，得到( 注意当0 2 1 时，s = 1 ，故不写出j ) r 妒毖= r 引谢o ! d 耐ld t a + 譬老仰卜 = 去肌诵塞懒- 西d v , 卜 p 上2d r d l ，。鲍s 非纷c a 2 - 6 ) d 妒 出 + j ( o ；1 厕触 ( 5 。) = 扑诵忱卜f 0 1 掣懈+ 帅妒卜f 0 1 掣雄 + 铷字廿f 三譬懈+ 睁r 譬硼 + t 鼍咖d 乞 = 击- 6 ) 化h ( 口t 张妒卜f 0 1 警衅 + 妒卜1 1 掣懈 + 壶似竽) 忱r 三( 雩1 妒 d + r 象仁譬】础 + ( 譬) 妒卜r 学妒毖 + r 去咖，妒龙 ， 浙江大学硕士学位论文 + p 土e 肥 l 、s 堕s1 1 忱】d _ 【委( 譬卜】d + 【( 譬) 妒】d ) + 睇警一z ) le 降e ( - - ；- ) h 一峙警硼+ r 击譬舻l + r d ! 厕础 d op = q + r 三爰b 譬1 衄一f 丢譬舻+ r 去厕础 ：q + f 艄妄譬陶譬) + 叫懈 ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 如果a = 0 ，则 胁f o 。l d ；c 净一尝+ 再卜。 c s s ， 由此令 就有， = = 亭 面= h 瓤一( 譬卜万 l 净山出= t 叫艺 e 侧2 = t 叫2 = o e 扣叫2 = 扣砸= o m 巾= 砷 其中a 为特征值问题妒= 却的解 此外，砺算子有如下的边界条件， 眇( o ) = 砂( d ) = 0 ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 6 0 ) ( 6 1 ) 浙江大学硕士学位论文 且在三= h 界面处满足如下的连续性条件， 缈( h 一) = 砂( 日+ ) ， 忆( 一) = 忆( + ) 由q = 0 ，得到砺算子的另一边界条件 1 3 ( 6 2 ) ( 6 3 ) q = 去 【( 口- _ ) 协】j 一【( a ，观妒1 0 + 咿_ ) 纠j ) 一 去( 【( a z ) 忱】? 一 ( 口2 观妒】? + 慨劢妒】 ) ) = 去【a l ( 1 一) - ( 1 一) 忱( 1 一) 一( 口l f ) d 1 一) 妒( 1 一) + p l ( 1 一) - ( 1 一) 妒( 1 一) 】 一去【a 2 ( 1 + i f ( 1 + ) 化( 1 + ) 一( 口2 观( 1 + ) 妒( 1 + ) + 尼( 1 + ) _ ( 1 + ) 妒( 1 + ) 】= 。( 6 4 ) 推出j ， i ( 形砂) ( 1 一) = ( 砂) ( 1 + ) ， 石i 【a l ( 1 一) - ( 1 一) 忱( 1 一) 一( 口l 观( 1 一) 妒( 1 一) + f l l ( 1 - ) f ( 1 - ) 妒( 1 - ) _ ( 6 5 ) 【历1 【a 2 ( 1 + ) 万( 1 + ) 化( 1 + ) 一( 口2 观( 1 + ) 妒( 1 + ) + 位( 1 + ) _ ( 1 + ) 妒( 1 + ) i 副。一( 譬l + 形= 面， f ( o ) = 0 ，_ ( d ) = 0 ， ( 肜( 1 一) = ( 形奶( 1 + ) ， 者【a l ( 1 一) 砂( 1 一) o r l 一) 一( 口l 砂) 2 ( 1 一) 妒( 1 一) + p l ( 1 一) 砂( 1 一) 妒( 1 一) j = 麦【a 2 ( 1 + ) 砂( 1 + ) 仍( 1 + ) 一( a 2 砂b ( 1 + ) 妒( 1 + ) + 屈( 1 + ) 沙( 1 + ) 妒( 1 + ) j ， f ( e 一) = 万( h + ) ，万2 ( h 一) ：万( h + ) 其中s ，a ，p ，y ，p 的定义同上 下面求解砺算子的特征值问题此时特征值集合 乃) 对应的特征向量函数集合 瓦( 量，三) ) 与l 算子的特征向量函数集合 竹( 殳，三) 具有正交性 将砺算子用有限差分法进行离散，得到如下三对角线性方程组： a j 巾j i + b j 巾j + c j 巾j + 、= a j 串j ，j = 2 ，n i 0 6 7 、) 浙江大学硕士学位论文 矩阵； b ( 1 ) c ( o a ( 2 )b ( 2 ) c ( 2 ) c ( n 一1 ) 彳( )b 1 4 的元素具体如下：假设在各层剖分点的个数分别为l l ，l 2 ，l 3 ，各层相邻剖分点之间 的距离分别为h i ，h 2 ，h 3 ，其中h i = 币i 碍，h 2 = 瓦h 面- i ，h 3 = 警，当= 1 时， 卜等卜睁龛卜确 郴， 当1 j l i 时， ( 等+ 盟2 h lh ， j 一( ”一智) 乃+ ( 等一瓮 - = 碱； ， 当歹= 三l 时，在三= 1 处进行延拓，令万在会= 1 + 譬处的值为瓦，令万在三= 1 一纽2 处的值为瓦，则有 n ) ：学，n ) ： ( 珏，+ 荔+ 。) 2 1 沈( 1 一) ：坠h 丑i ，珐( 1 + ) ：亟! h 二2 型 类似地对妒，忱，口，哟，p ，尾，7 ，忱作同样的延拓，它们的值在计算三算子的特征问题时 可以得到 妒( 1 一) ：鱼竺 ；竺2 皇妒一，妒( 1 + ) ：鱼竺掣皇妒+ ，。妒( 1 一) = - 二：；皇妒一，妒( 1 + ) = 二i 三= 皇妒+ ， 州= 掣锈删= 竽掣 w ，、( 野+ ) 形( 1 一) = 丁 叁疗， 皇w 一，形( 1 + ) ：! 坠妻型皇矿， 皇 一， 形( 1 + ) = 二i 旦皇矿， 唧+ ) _ 掣皇 兰口 啦( 1 一) ：t - 0 0 皇啄， 、( 咿l + a 知1 ) a ( 1 + ) = 二f ，、( q + l a 丸1 ) 啦( 1 + ) = 二1 二 叁口+ 垒a ；， 浙江大学硕士学位论文 令 则有 串j 。 ，+ 成) 觑l 一) = 二皇， 脚_ ) _ 竿坼 屈( 1 一) = 叁历， 认1 一) ：塑2 型皇厂， 住( 1 一) = 笪h 型i 圭百， p 1 = p 2 p 2 = p 2 p 3 = p l p 4 = p l ( p 3 劳一p 2 赐+ ( p 4 一p 3 而+ 1 觑l + ) - 掣圭矿，觑l + ) = 二二i 二圭矿， 当j = l l + 1 时， p l p 3 篑 ，吩+ 1 = 皇劈， 圭广， 簪( p l 一尸2 而+ ( p 4 簪一p - 羁+ 1 1 5 ( 7 0 ) 尸l b 簪 砌= 并+ 瓮， b = 竹一鲁+ 糍( 等一斜 彳= p 4 一p 3 尸l b ，簪( 等一等) ； b = 竹一虿2 a j + 篇( 蛩+ 钳 当l 1 + 1 j 三l + l 2 1 时， a j + lj “j h ； 2 h 2 ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 专+ 象弦t + ( ”一鲁矽+ ( 等一筹) 珏- = 慨； ， 丝啦 堕磋等篑百 浙江大学硕士学位论文 当j = l + l 2 时， j ， 2 t y j - i 丹。i 4 = h 2 ( h 2 + h 3 ) + 丽p j - i ， d ，n2 q b 2 竹一蒜， ，。2 t z j + l 疗i c = h 3 ( h 2 + h 3 ) 面p j 两+ l ； 当l + 2 + 1 ，三l 十三2 + l 3 1 时( 仃啦) = 旷( 勿) ) ， a = b = c = 1 6 ( 7 8 ) ( 7 9 ) ( 8 0 ) 【丽1+ 燕1 卟- + 溉， ， l石；l硐-21h i i ； 三一揣l 町+ 刁静+ ，( 8 2 )i ( + f a 。g ) ) 2 ； ( 1 + f 矿g ) ) 4( 1 + d q ) ) 3i 一。( 1 + 幻啦) ) 2 。 1 3 i 一圆 ( 1 + 打) 2 h ；( 1 + f 雌) ) 3 2 h 3 当_ ，= lx + l 2 + l 3 时， a = b = c = 卜一而丽； ， 【赢+ 燕卜+ 志， 斛， i 石l 南h 一可1 害孑戛一篇l 。，+ 捣1 岛+ ，c 8 5 ， l ( + 打g ) ) 2 ；( + 硼) ) 4 ( 1 + 打国) 3i1 。( + f 旷 ) ) 2 刊 0 ( 8 6 ) 4 2 正交特征函数的应用 上文中我们构造了三算子的共轭算子m ，并导出了砑算子的特征值问题上 算子和m 算子的特征函数系共轭正交这个良好的性质可以帮助求解某一函数在工 算子的特征函数系下展开时各项展开系数。在步进算法【1 , 2 】中，为了将算子离散成 可以求解的矩阵形式，我们通常需要不同基下的转换系数，由于算子的特征函数 系一般不具有正交性，这些展开系数的求解共要解2 n m ( ”为选取的特征向量个 数，m 为步进的步数) 个系数矩阵非稀疏的线性方程组，存储量和计算量都很大， 且随着矩阵阶数的增大，数值不稳定现象严重有了与三算子特征函数系正交的特 征函数系 万肛，句l 后，容易得到解析的计算展开系数公式与前一算法相比，每个 展开系数c j 的获得只需在已知特征值五，和特征函数妒，( 叠，句的前提下，求解丽算子 对应的特征向量万肛，三) ，存储量为砺算子离散后的三对角矩阵，且以妒舻，三) 为初 始值，进行有限步迭代，如非对称的r a y l e i g h 迭代就可以收敛到万胎，三) ，避免了求 解系数矩阵稠密的线性方程组，计算精度随着计算量和存储量的减小得到提高 浙江大学硕士学位论文 令 以量，句= 勺( 曼) 叻 ，句 实际计算中取其前玎项作为近似， 其中 以曼，力勺( 曼) 叻( 量，匐 1 7 ( 8 7 ) ( 8 8 ) 砸，= 甓鬻篙幺m ， 浙江大学硕士学位论文 第五章波的传播 这章给出o n e w a y 方法和基于d t n 映射步进算法的介绍 5 1 o n e - w a y 方法 1 8 p e ( 抛物型近似) 方法，如o n e w a y 方法，是用抛物型方程代替简化的椭圆型波 动方程，通过算子的分解，在初始场已知的情况下，通过“步进解法”可求得该方程 的数值解抛物型近似在计算上的好处，在于抛物型微分方程在距离坐标上可被向 前推进，而椭圆简化的波动方程必须在整个距离深度范围同时进行数值求解对 于缓慢渐变波导，抛物型近似方法很有效 o n e w a y 方法的具体过程如下： 当波的传播对于水平方向的依赖性比较弱的时候，利用根号算子，对于式+ 0 1 ( 2 ，三) 吃+ 3 ( 2 ，句圪+ 们，句y = 0 其可转换为如下形式： v ( 2 件l ，三) = e i r 、口懈竹以曼f ，笏( 9 0 ) 其中丁= 氟- 一毫，令氟 处的特征向量为 噶，= 1 ，刀 ，特征值为 山，= 1 ，疗) ， 则离散后的计算过程如下： 0 v ( 2 f ，三) = 哆! ，唿，嚷 l ，0 1 2 ，】日， 以叠件l ，匐= 【! ，2 ，哆2 昭l ，3 2 ，岛】， 2 ) 眵l ，皮，岛r = d i a g e i r v 页7 ，扩俩，矿惦k 1 0 1 l ，0 1 2 ，0 1 h ， 3 ) 【嗜 ，哆j ，噶 眵- ，尼，岛】= 【嚯；，嚯；，唿；- ，0 1 2 ，0 1 n p ， 4 ) 根据3 ) 可求得 0 1 1 ，0 1 2 ，】月， 5 ) 将4 ) 的结果代入2 ) ，重复上述两步，直至传播计算结束 5 2 基于d t n 算子步进方法 然而抛物近似方法本身是对h e l m h o l t z 方程的近似，难免会存在数值上的误差： 为了构造精确的步进算法，【1 4 ，1 5 】构造了基于d t n 映射算子q 和基本解算子y 的 步进方法该方法对内存的要求与传播距离无关，计算时间与该距离成线性关系 这一有效的算法已经得到了应用【2 2 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，并在此基础上发展了一些大步长的 算法【1 5 】当需计算的传播距离很大时，在适当的地方使用大步长来减少计算量， 同时保持解的高分辨率。基于d t n 映射算子的步进算法是精确收敛的 1 3 ，1 4 ，1 5 】 将传播方向0 戈l 剖分为： 0 = 2 0 戈l 2 2 戈小= l ，劣眵长f = 戈“l 一戈i 浙江大学硕士学位论文 基于d t n 映射的步进算法描述如下： 在固定的刈硷，定义映射q 和基本解算子】， 坎= q ( j ) kv ( l ，) = y ( j ) 矿( 戈，) 从关于v 的方程，可以得到： = 一q 2 一( 口a ；+ 芦出+ 们， y ，= 一y q ( 动 初值条件为：q ( ) = i = 五j 诱i 瓦i 夏i 巧瓦葛， y ) = ， 1 9 ( 9 1 ) ( 9 2 ) 步进计算中从而到缸l 步，用区间( 让l ，毫) 中点逼近算子9 ，奸满足的方程和 界面条件，并且推导出鲸l 与q ，距l 与巧之间步进关系如下： b = 扛厨丽i 蟑 j p = ( q i + i b ) 一1 ( 一q i + i b ) r= e l r s p e i